Кинематика точки и твердого тела
Задачи кинематики точки, характеристика способов задания ее движения. Простейшие движения твердого тела. Кинематические характеристики вращающегося тела. Сложное движение точки. Плоскопараллельное движение твердого тела. Мгновенный центр скоростей.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.11.2017 |
| Размер файла | 441,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
44
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Лекция 1. Кинематика точки
- Переменный вектор и его производная по скалярному аргументу
- Свойства производной вектора по скалярному аргументу
- Основные задачи кинематики точки
- Векторный способ задания движения точки
- Координатный способ задания движения точки
- Естественный способ задания движения точки
- Скорость и ускорение точки
- Ускорение точки
- Определение скорости точки при координатном способе задания её движения
- Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения
- Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения
- Частные случаи движения точки
- Лекция 2. Кинематика твердого тела
- Первая задача кинематики твердого тела
- Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- Простейшие движение твердого тела
- Поступательное движение твердого тела
- Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- Лекция 3. Кинематические характеристики вращающегося тела
- Угловая скорость
- Угловое ускорение тела
- Частные случаи
- Распределение скоростей и ускорений в теле при вращательном движении
- Векторы угловой скорости и углового ускорения
- Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении
- Лекция 3. Сложное движение точки
- Относительное движение
- Абсолютное движение точки
- Переносное движение
- Постановка задач на сложное движение точки
- Теорема сложения скоростей
- Теорема сложения ускорений при произвольном переносном движении (теорема Кориолиса)
- Лекция 4. Плоскопараллельное движение твердого тела
- Уравнения плоского движения
- Разложение плоского движения твердого тела на два простых движения - поступательное и вращательное
- Распределение скоростей при плоском движении
- Мгновенный центр скоростей
Лекция 1. Кинематика точки
Кинематика изучает движение тел по отношению к системам координат, связанных с другими телами (например, с Землей) с геометрической стороны, без учета причин, вызывающих это движение. При этом движение тел предполагается совершающимся во времени.
Для простоты изучения, в кинематике изучается сначала движение одной точки, а затем - движение твердых тел.
Но прежде чем приступить к изучению кинематики точки, рассмотрим понятие производной вектора по скалярному аргументу.
Переменный вектор и его производная по скалярному аргументу
Если каждому значению независимого скалярного переменного u в интервале b < u < c соответствует определенный вектор , то будем говорить, что вектор есть непрерывная функция скалярного переменного u:
. (1.1)
Если вектор при своем изменении сохраняет одно и тоже начало (пусть точка О) (рис.5.1), то уравнение (5.1) определяет движение его конца. Кривая, которую описывает конец вектора называется годографом переменного вектора.
кинематика точка движение твердое тело
Пусть u некоторое фиксированное значение аргумента вектора , u - его приращение, тогда при значении
u +u - будем иметь другой вектор .
Разность называется приращением вектора .
Предел отношения
при u 0, если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу u и обозначается
.
Вектор всегда направлен по секущей (рис.5.1). При 0 секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора . Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.
Свойства производной вектора по скалярному аргументу
1. , если .
2. , если ,
т.е. изменяется только направление вектора в пространстве. Годограф при этом находится на поверхности сферы, а касательная к сфере перпендикулярна ее радиусу.
3. .
4. ,
где - скалярный коэффициент.
5. .
6. .
Пусть вектор задан в неподвижной прямоугольной системе координат, (рис.1.2).
Тогда
, (1.2)
где - проекции вектора на координатные оси, а - орты этих осей.
Так как - постоянные векторы
. (1.3)
С другой стороны, вектор можно также записать через его проекции
. (1.4)
Сравнивая формулы (5.3) и (5.4), получим:
, , . (1.5)
Таким образом, доказали:
Проекция производной вектора на неподвижное направление равна производной от проекции вектора на соответствующее направление.
Перейдем к изучению кинематики точки.
Основные задачи кинематики точки
Кинематика точки рассматривает две основные задачи.
А). Задача задания движения точки. Движение точки в пространстве считается заданным, если найден способ, при помощи которого каждому моменту времени t однозначно ставится в соответствие положение точки в пространстве.
Б). Задача определения кинематических характеристик движения точки - скорости точки и ускорения точки.
Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный способ задания движения точки
Рассмотрим движение материальной точки М относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть точка О - точка принадлежащая этому телу (рис.5.3). Радиус-вектор движущейся точки М относительно точки О можно задать как вектор-функцию времени t
. (1.6)
Равенство (1.6) называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.
Кривая по которой движется точка в пространстве называется траекторией точки. Траектория - это годограф радиус-вектора точки.
Координатный способ задания движения точки
Пусть теперь вектор задан в декартовой системе координат, а - орты осей Ох, Оу, Оz. Тогда вектор-функция может быть задана тремя скалярными функциями :
=++.
Таким образом, для того, чтобы движение точки было задано координатным способом, должны быть заданы функции:
x = x (t), y= y (t), z = z (t). (1.7)
Равенства (5.7) называются уравнениями движения точки или законом движения точки в координатной форме.
Естественный способ задания движения точки
Этот способ применяется в случае, когда траектория точки известна заранее. Траектория точки может быть задана различными способами: словесно (например, можно сказать, что траекторией точки является окружность такого-то радиуса), графически в каком-либо масштабе или уравнениями, например, в общем виде как линия пересечения поверхностей
,
или другими уравнениями.
Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку М0, принимаемую за начало отсчета дуговой координаты и задать положительное направление отсчета (рис. 1.4.).
При движении точки М расстояние от нее до начальной точки изменяется с течением времени, следовательно, дуговую координату необходимо задать как функцию времени:
s = s (t), (1.8)
Зависимость (1.8) называется законом движения точки. Следовательно, для того, чтобы движение точки было задано естественным способом, должны быть заданы:
1) траектория точки;
2) закон движения точки s = s (t),
3) начало отсчета М0;
4) положительное направление отсчета дуги s.
При этом нужно отличать дугу s и пройденный точкой путь. Если точка движется по траектории все время в одном направлении, то дуга и путь совпадают, но если, например закон движения точки равен и точка совершает гармонические колебания по кривой, то дуга и путь совпадают только до достижения дуги своего максимального значения а. Далее путь в отличие от дуги будет все время увеличиваться.
Скорость и ускорение точки
Скорость точки
Пусть движение точки задано векторным способом . На рис. 1.5 М и М1 положения движущейся точки в моменты времени t и t + t.
44
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.1.5
Вектор называется вектором перемещения точки за время t. Отношение вектора к промежут ку времени t называется средней скоростью точки за промежуток времени t
.
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени за который произошло это перемещение, при стремлении последнего к нулю, т.е.
Таким образом, скорость точки в данный момент времени равна производной радиусавектора точки по времени
Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиусавектора точки и направленная по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с.
Ускорение точки
Пусть теперь известна функция . На рис.5.10 и векторы скорости движущейся точки в моменты t и t. Чтобы получить приращение вектора скорости перенесем параллельно вектор в точку М:
Средним ускорением точки за промежуток времени t называется отношение приращения вектора скорости к промежутку времени t:
44
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1.6
.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени t при стремлении последнего к нулю, т.е.
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени
Ускорение точки это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.
Построим годограф скорости (рис.1.7). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.
44
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1.7
Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна ускорению точки при ее движении по траектории.
Единицей измерения ускорения в системе Си является м/с2.
Определение скорости точки при координатном способе задания её движения
Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат
х = x (t), y = y (t), z = z (t)
Радиусвектор точки равен
.
Так как единичные векторы постоянны, то по определению
Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох, Оу и Oz через Vx, Vy, Vz соответственно и разложим вектор скорости по осям:
Сравнивая равенства, получим
В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.
.
Модуль скорости точки определяется формулой
Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:
Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения
Вектор скорости в декартовой системе координат равен
.
По определению
Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох, Оу и Oz через аx, аy, аz соответственно и разложим вектор скорости по осям:
Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим
Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:
а направление вектора ускорения направляющими косинусами:
Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения
44
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1.8
При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис.5.12) и единичными векторами Единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, единичный вектор направлен по бинормали к траектории в точке М.
Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и в спрямляющей плоскости.
Полученный трехгранник называется естественным.
Пусть задан закон движения точки s = s (t).
Радиус вектор точки М относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени .
Из дифференциальной геометрии известны формулы СерреФрене, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и векторфункцией кривой
где радиус кривизны траектории.
Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:
Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем
Сравнивая равенств, получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению
Величина положительна, если точка М движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.
Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:
Обозначим проекцию ускорения точки на касательную , главную нормаль и бинормаль соответственно.
Тогда ускорение равно
Из формул следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и :
Проекция ускорения на касательную называется касательным или тангенциальным ускорением. Оно характеризует изменение величины скорости.
Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.
Модуль вектора ускорения равен .
Если и одного знака, то движение точки будет ускоренным.
Если и разных знаков, то движение точки будет замедленным.
Частные случаи движения точки
1. Равномерное криволинейное движение
Пусть .
Тогда из следует
,
Учитывая, что и, разделяя переменные и интегрируя, получим
.
Откуда
Таким образом, если движение точки равномерное, то дуговая координата изменяется по линейному закону.
2. Равномерное прямолинейное движение.
Так как , то движение точки является прямолинейным, а так как , то оно является и равномерным. Это единственное движение, при котором полное ускорение равно нулю .
3. Равнопеременное движение
Следовательно, .
Разделяя переменные и интегрируя , получим
, или .
Снова разделяя переменные и интегрируя получим закон равнопеременного движения точки:
При этом, если (т.е. и одного знака), то движение будет равноускоренным. Если (т.е. и разного знака), то движение будет равнозамедленным.
Отличие от дуги будет все время увеличиваться.
Лекция 2. Кинематика твердого тела
Абсолютно твердым телом или неизменяемой системой называется механическая система, расстояния между точками которой неизменны при любых движениях.
Основными задачами кинематики твердого тела являются:
А) Задача задания движения тела.
Б) Задача определения кинематических характеристик твердого тела - угловой скорости и углового ускорения тела.
В) Задача определения кинематических характеристик отдельных точек тела - задача распределения скоростей и ускорений.
Первая задача кинематики твердого тела
Движение твердого тела будет заданным, если имеется способ определения положения любой его точки в любой момент времени относительно некоторой системы отсчета. Для этого нет необходимости задавать движение каждой его точки, поскольку координаты точек твердого тела связаны соотношениями неизменности расстояний между ними. Для свободного твердого тела достаточно задать шесть независимых параметров. Покажем это.
Возьмем три точки тела , не лежащие на одной прямой. Девять декартовых координат этих точек связаны между собой соотношениями неизменности расстояния между точками:
Поэтому положение трех точек тела определяется шестью независимыми координатами.
Если теперь добавить еще одну точку М, то ее положение определяется координатами , которые однако, связаны тремя условиями неизменности расстояний от точки М до точек :
Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение четырех точек, остается шестью. Следовательно, оно останется шестью и для любого количества точек.
Число независимых параметров, задание которых определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела.
Таким образом, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Если твердое тело закрепить в какой-либо точке, то оно уже будет иметь К=6 - 3 = 3 степени свободы.
Задать движение твердого тела не обязательно декартовыми координатами. В дальнейшем будет показано, что существует более удобные параметры, определяющие положение тела в пространстве.
Рассмотрим общую теорему кинематики, справедливую для любого движения твердого тела.
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
При любом движении твердого тела проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны.
Доказательство:
Возьмем произвольные точки тела А и В, скорость которых в некоторый момент времени обозначим и . Выберем произвольную неподвижную точку будут вектор-функциями и .
Из рис.1.2
Продифференцируем по времени обе части равенства
, или
Так как при движении тела длина отрезка АВ не меняется, т.е. , то из второго свойства производной вектора по скалярному аргументу
.
Проектируя теперь векторное равенство (6.4) на направление вектора , получим
Простейшие движение твердого тела
Существуют два простейших вида движения твердого тела, комбинированием которых можно получать другие, более сложные его движения. Такими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.
Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению.
Теорема:
Если твердое тело движется поступательно, то:
1. Траектории всех его точек одинаковы.
2. Скорости и ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны между собой.
Доказательство:
Если выбрать две точки А и В твердого тела, то радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию
При поступательном движении вектор является постоянным и по модулю и по направлению в любой момент времени.
Уравнения показывают, что годограф радиус-вектора точки В, являющийся траекторией этой точки, сдвинут по отношению к годографу радиус-вектора точки А (траектория точки А) на постоянный вектор . Если этот сдвиг осуществить, то обе траектории совпадают всеми своими точками. Такие траектории считаются одинаковыми. Следовательно, пункт 1) теоремы доказан. Далее продифференцируем по времени выражение:
По первому свойству производной вектор-функции скалярного аргумента
, т.к. и поскольку и , то имеем
Дифференцируя по времени (6.8) и учитывая, что
и ,
получим
Теорема доказана.
Поскольку все точки твердого тела при поступательном движении движутся одинаково, то поступательное движение полностью характеризуется движением одной точки тела. Для задания этого движения достаточно знать координаты какой-либо точки тела, как функции времени, т.е.
Следовательно, твердое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы
К = 3.
И уравнения (6.10) являются уравнениями поступательного движения твердого тела. Для изучения поступательного движения достаточно использовать кинематику точки.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения.
При этом остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела. Построим неподвижную плоскость, проходящую через ось вращения П1, и подвижную плоскость П, скрепленную с вращающимся телом и также проходящую через ось вращения.
Пусть в начальный момент обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двухгранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярных оси вращения.
Этот угол называется углом поворота тела.
Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано уравнение
= (t)
Зависимость выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием одного параметра . К = 1.
Угол будем считать положительным, если он откладывается от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки, и отрицательным - в противном случае, если смотреть с конца оси z. Дуговая стрелка на рис.6.4 показывает направление положительного отсчета угла .
Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Лекция 3. Кинематические характеристики вращающегося тела
Угловая скорость
Пусть в момент времени t тело повернулось на угол (t), а в момент времени t + t на угол (t + t). Тогда
- приращение угла за время t.
Отношение приращения угла к промежутку времени t называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени t:
.
Алгебраической угловой скоростью тела в данный момент времени называется предел отношения приращения угла поворота тела к промежутку времени, за которое это приращение произошло при стремлении последнего к нулю.
Таким образом, алгебраическая угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной по времени от угла поворота в этот момент:
Она является величиной положительной при вращении тела против хода часовой стрелки, так как при этом угол поворота возрастает с течением времени и отрицательной - при вращении тела по ходу часовой стрелки, если положительный угол откладывать против хода часовой стрелки.
Абсолютное значение угловой скорости обозначается щ:
.
Единица измерения угловой скорости в системе СИ - рад/с.
Угловая скорость тела характеризует быстроту изменения угла поворота тела с течением времени.
Угловое ускорение тела
Пусть теперь известен закон изменения угловой скорости
и в момент времени угловая скорость тела равна , а в момент времени - .
Тогда
- приращение угловой скорости за время .
Средним угловым ускорением тела за промежуток времени называется отношение приращения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, т.е.
.
Алгебраическим угловым ускорением тела в данный момент времени называется предел отношения приращения угловой скорости к промежутку времени, за которое это приращение произошло, при стремлении последнего к нулю.
Таким образом, алгебраическое угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от алгебраической угловой скорости или второй производной от угла поворота
Угловое ускорение тела характеризует быстроту изменения угловой скорости тела с течением времени.
Если знаки и совпадают, т.е. , то вращение тела называется ускоренным.
Если знаки и не совпадают, т.е. , то вращение тела называется замедленным.
Абсолютное значение углового ускорения будем обозначать :
Единица измерения углового ускорения тела в системе СИ - рад/с2.
Частные случаи
1. Равномерное вращение
- условие равномерного вращения.
Определим закон движения.
Пусть при : , .
Из условия равномерного вращения следует
Откуда и, следовательно, закон равномерного вращения тела
2. Равнопеременное вращение твердого тела
- условие равнопеременного вращения.
Из этого условия следует
, откуда .
Из последнего следует
И, следовательно, закон равнопеременного вращения тела имеет вид .
При этом, если знаки и совпадают, то вращение называется равноускоренным, если знаки и различны, то вращение называется равнозамедленным.
Замечание. Угловая скорость и угловое ускорение могут быть только у тела. Нельзя говорить угловая скорость или угловое ускорение точки. На первой лекции мы определили, что под материальной точкой понимают простейшую модель материального тела любой формы, размерами и вращением которого можно пренебречь. У точки есть только скорость и ускорение.
Таким образом, угловая скорость и угловое ускорение являются кинематическими характеристиками твердого тела. Определение этих характеристик, как известно из прошлой лекции, является второй основного задачей кинематики твердого тела. Перейдем к третьей задаче кинематики вращательного движения твердого тела.
Распределение скоростей и ускорений в теле при вращательном движении
Выберем в теле произвольную точку М. Обозначим ее начальное положение М0. Проведем через нее и ось вращения неподвижную плоскость отсчета По. Свяжем также точку М с подвижной плоскостью П. Если закон вращательного движения задан , то положение точки М в момент времени t будет определяться углом . Траекторией точки М будет окружность, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения. На рис.7.1 изображено это сечение.
Пусть задано положительное направление отсчета угла против хода часовой стрелки в сторону движения. П0, П - прямые пересечения соответствующие плоскостей с плоскостью сечения. Тогда зависимость дуги от угла запишется для движения точки М следующим образом
где - радиус окружности, по которой движется точка.
Так как задано, то таким образом движения точки М будет задано естественным способом. При этом проекция вектора скорости точки на касательную равна
Направление вектора скорости точки определяется направлением вращения тела:
Таким образом, величина скорости равна:
Скорости точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Скорости точек тела направлены по касательным к траекториям и, следовательно, перпендикулярны радиусам вращения.
Определим ускорение произвольной точки М при естественном способе задания ее движения (7.5). Раскладывая ускорение точки на касательную и нормальную составляющие , получим
,
.
Величина полного ускорения равна .
Таким образом, ускорение произвольной точки тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси определяется по формулам:
, ,
Как видно из формул касательное, нормальное и полное ускорения точек, как и скорости, распределены по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний до оси вращения. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу окружности к оси вращения (рис. 1.2).
Направление вектора касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. Если знаки и совпадают, т.е. , то направления векторов и совпадают, если , то векторы и направлены противоположно друг другу.
Обозначим угол б между полным ускорением и радиусом вращения. Имеем
т.е. угол б для всех точек тела один и тот же и от расстояния до оси вращения не зависит. Откладывать его следует от вектора ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения, независимо от направления вращения тела.
Векторы угловой скорости и углового ускорения
Вектором угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль которого равен абсолютному значению алгебраической угловой скорости и направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.
Если ввести единичный вектор оси вращения Oz, то
При направление вектора совпадает с направлением единичного вектора , а при , вектор направлен в сторону противоположную направлению вектора .
Вектором углового ускорения называется вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости.
Из формулы видно, что вектор направлен, как и вектор вдоль оси вращения.
Таким образом, величины и представляют проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения z.
Если и имеют одинаковые знаки, т.е. , векторы и направлены в одну сторону (рис.7.3) и тело как мы знаем, вращается ускоренно. Если и имеют разные знаки, т.е. , то векторы и направлены в разные стороны (рис.7.4) и тело вращается замедленно.
Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении
Скорость точки вращающегося твердого тела по модулю и направлению можно представить формулой Эйлера
где - радиус-вектор точки М, проведенный из произвольной точки оси вращения Oz, например, из точки О (рис.1.5).
Убедимся в справедливости этой формулы.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы, входящие в векторное произведение. По направлению он параллелен вектору скорости , направленному по касательной к траектории (окружности) точки. Модуль векторного произведения равен
,
т.к. .
Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки при вращательном движении тела.
Ускорение точки по определению равно:
.
Так как , получим
Вектор направлен по касательной к траектории точки. По модулю он равен
и следовательно эта составляющая ускорения является касательной составляющей ускорения точки М
Ее называют также вращательным ускорением.
Вектор направлен в плоскости окружности радиуса от точки М к точке . По модулю он равен
,
и, следовательно, эта составляющая ускорения является нормальной составляющей ускорения точки М
Ее называют также осестремительным ускорением.
Лекция 3. Сложное движение точки
Рассмотрим движение точки М относительно двух систем координат Oxyz и O1x1y1z1, движущихся друг относительно друга (рис.8.1). В механике системы координат предполагаются жестко скрепленными с телами, по отношению к которым рассматривается движение точки. Тела на рисунках можно не показывать.
Рис.1.1
Пусть задано движение системы координат Oxyz относительно системы координат O1x1y1z1. Движение точки М относительно системы координат O1x1y1z1 называют сложным, если задано ее движение относительно системы координат Oxyz. Систему координат O1x1y1z1 принимают при этом за неподвижную или основную, а систему координат Oxyz - за подвижную.
Относительное движение
Движение точки М относительно подвижной системы координат называют относительным. Соответственно, траектория (рис.8.1), скорость и ускорение точки в ее движении относительно подвижной системы координат называются относительными. Относительная скорость и относительное ускорение точки обозначается индексом r: , . Положение точки М по отношению к системе координат Oxyz определяет радиус-вектор .
Введем орты подвижной системы координат и разложим радиус-вектор по ортам
.
Уравнения
, ,
являются уравнениями относительного движения точки в координатной форме.
Движение самой координатной системы Oxyz не учитывается, считаем ее неподвижной.
Если в уравнениях (8.1) исключить время, то получим уравнения траектории относительного движения (рис.8.1).
Если относительное движение задано, то для того, чтобы найти относительную скорость точки , необходимо продифференцировать вектор-функцию в предположении, что орты неподвижны.
Знак ~ (тильда) в равенстве (8.1а) означает, что производная берется в предположении, что - постоянные векторы. Такая производная называется локальной или относительной производной.
Раскладывая вектор по ортам
и сравнивая две записи вектора , имеем
, , .
Аналогично ускорение относительного движения точки равно:
Раскладывая вектор по ортам
и сравнивая обе записи вектора , имеем
, , .
Следовательно, для определения относительной скорости и относительного ускорения точки следует мысленно остановить движение подвижной системы координат и вычислить их по правилам кинематики точки.
Абсолютное движение точки
Движение точки М относительно неподвижной системы координат называют абсолютным. Соответственно, траекторию (рис. 1.1), скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат называют абсолютными.
Абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки обозначается индексом а: , . Положение точки М относительно неподвижной системы координат O1x1y1z1 определяется радиус-вектором . Введем орты неподвижной системы координат и разложим по ним радиус-вектор :
.
Тогда уравнения абсолютного движения точки имеют вид
, ,
Исключив в уравнениях время , получим уравнения траектории абсолютного движения точки (рис.1.1).
Чтобы найти скорость абсолютного движения точки, необходимо продифференцировать вектор-функцию :
.
Раскладывая вектор по ортам
и, сравнивая обе записи вектора , получим
, , .
Аналогично, ускорение абсолютного движения точки равно:
.
Раскладывая вектор по ортам
и сравнивая обе записи вектора , получим
, , .
Переносное движение
Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат.
Переносная скорость и переносное ускорение точки обозначается индексом е: , .
Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки m подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущая точка М (рис.8.1).
Проведем радиус-вектор начала координат (рис.8.1). Из рисунка видно, что
Чтобы найти переносную скорость точки в заданный момент времени необходимо продифференцировать радиус-вектор при условии, что координаты точки x, y, z не изменяются в данный момент времени:
Переносное ускорение соответственно равно
Таким образом для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку m тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М, и вычислить скорость и ускорение точки m тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.
Постановка задач на сложное движение точки
1. Прямая задача:
По заданным переносному и относительному движениям точки найти кинематические характеристики абсолютного движения точки.
2. Обратная задача:
Некоторое заданное движение точки представить сложным, разложив его на относительное и переносное, и определить кинематические характеристики этих движений. Для однозначного решения этой задачи необходимы дополнительные условия.
Теорема сложения скоростей
Абсолютная скорость точки определяется по теореме о сложении скоростей, согласно которой абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:
Доказательство:
Для определения абсолютной скорости точки продифференцируем выражение справа (8.4) по времени, используя свойства производной вектора по скалярному аргументу:
В последнем выражении слева первые четыре слагаемых по формуле (8.5) представляют переносную скорость , последние три слагаемых по формуле (8.1) - относительную скорость . Теорема доказана.
Теорема сложения ускорений при переносном поступательном движении
Абсолютное ускорение точки, совершающей сложное движение при переносном поступательном движении равно геометрической сумме относительного и переносного ускорения:
Доказательство:
Вернемся к рис. 1.1 При переносном поступательном движении орты не меняются не только по величине, но и по направлению, т.е. это постоянные векторы, а т.к. производные от постоянных векторов, а т.к. производные от постоянных векторов равны нулю, то по формуле
Для определения абсолютного ускорения точки продифференцируем дважды радиус-вектор (8.4) по времени, учитывая постоянство ортов :
В последнем выражении первое слагаемое по формуле (8.10) представляет переносное ускорение , а последние три по формуле (8.2) - относительное ускорение . Теорема доказана.
Теорема сложения ускорений при произвольном переносном движении (теорема Кориолиса)
Абсолютное ускорение точки определяется по теореме Кориолиса, согласно которой абсолютное ускорение точки, совершающей сложное движение, равно геометрической сумме переносного, относительно и кориолисова ускорений:
Кориолисово ускорение вычисляется по формуле:
где - вектор угловой скорости переносного движения, - вектор относительной скорости точки.
Направление вектора кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения: кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис.8.2), в ту сторону, откуда кратчайший поворот от вектора к вектору видится происходящим против хода часовой стрелки.
Модуль кориолисова ускорения равен .
Рис.1.2
Докажем справедливость теоремы для переносного вращательного движения.
Рис.1.3
Пусть подвижная система координат Oxyz вращается вокруг оси l с угловой скоростью (рис.1.3). Во все время движения радиус-векторы точки по-прежнему связаны зависимостью
.
Так как по определению , продифференцируем выражение по времени, учитывая свойства производной вектора по скалярному аргументу:
В последнем выражении первые четыре слагаемые представляют переносное ускорение , следующие три слагаемые представляют относительную скорость . Оставшиеся слагаемые обозначим (*). В выражении (*) производная от каждого орта по времени представляет собой линейную скорость точки, для которой этот орт является радиусом-вектором. Например для орта (рис.8.3) скорость точки А его конца равна
.
Но так как орт вращается вокруг оси l, то скорость его конца можно определить по векторной формуле Эйлера:
.
Следовательно
Аналогично для ортов и :
,
Подставляя формулы (8.14) и (8.15) в выражение (*), получим
(*) =.
Используя сочетательное свойство векторного произведения относительно числовых множителей, какими являются , имеем
(*) =.
Далее, используя распределительное свойство для векторного произведения, получим
(*) =.
Таким образом,
.
Теорема для переносного вращательного движения доказана.
Лекция 4. Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Пример 1. Качение цилиндра (катка) по неподвижной плоскости (рис. 1.1).
Выберем неподвижную систему координат так, чтобы каток катился основанием параллельно плоскости : .
Пример 2. Кривошипный механизм (рис. 1.2).
Кривошип ОА кривошипного механизма совершает вращательное движение вокруг неподвижной точки О. Кривошип соединен шарнирно в точке А с шатуном АВ, совершающим плоскопараллельное движение, и приводящим в движение ползун В.
Пусть тело совершает плоско-параллельное движение, и все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости (рис. 1.3). Обозначим ее П1. Построим плоскость П параллельно плоскости П1 и пусть s - сечение тела плоскостью П. Тогда согласно определению сечение s будем двигаться в плоскости П. Проведем любую прямую АВ в теле, перпендикулярно плоскости П1. Из определения плоского движения и из свойств твердого тела прямая АВ будет двигаться параллельно самой себе, т.е. поступательно. Тогда из теоремы о поступательном движении все точки прямой АВ будут двигаться одинаково. Следовательно, если будем знать движение сечения s, то будем знать и движение всего тела. Поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению плоского сечения - движению плоской фигуры в своей плоскости.
Уравнения плоского движения
Пусть в неподвижной плоскости задано сечение тела s, совершающего плоское движение (рис.9.4). Выберем произвольную точку О и скрепим жестко в этой точке подвижную систему координат . Точку О называют полюсом. Положение сечения s будет определяться положением координатных осей , а их положение определяется координатами полюса и углом . Зададим эти параметры как функции времени и получим уравнения плоскопараллельного движения:
, ,
При этом число степеней свободы равно К=3.
Разложение плоского движения твердого тела на два простых движения - поступательное и вращательное
Вернемся к рис. 1.4 и введем вспомогательную подвижную систему координат , совершающую поступательное движение относительно системы координат . При поступательном движении осей оси будут совершать по отношению к ним вращательное движение вокруг полюса. Как известно для задания поступательного движения тела достаточно задать движения одной его точки, т.е. движение полюса О определяет поступательное движение осей :
,
Примем это движение за переносное. Тогда вращательное движение осей относительно подвижных осей , определяемое уравнением
будет относительным.
От выбора полюса О вид функции зависит существенным образом, а вид функции (9.3) от выбора точки О не зависит. Покажем это.
Возьмем для наглядности прямоугольную фигуру. На рис 9.5 изображено начальное положение фигуры а) прямоугольника АВ и конечное положение б). Выберем сначала за полюс точку А и переместим прямоугольник АВ из положения а) в положение В сначала параллельным переносом (положение ), а затем поворотом вокруг полюса А на угол . Затем выберем за полюс точку В и переместим прямоугольник АВ из положения а) в положение б) параллельным переносом в положение , затем поворотом вокруг полюса В на угол . Из рисунка видно, что по величине и откладываем угол в обоих случаях в одном направлении - по ходу часовой стрелки.
...Подобные документы
Поступательное, вращательное и сферическое движение твердого тела. Определение скоростей, ускорения его точек. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Мгновенный центр скоростей. Общий случай движения свободного твердого тела.
презентация [954,1 K], добавлен 23.09.2013Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.
презентация [8,5 M], добавлен 13.02.2016Характеристика движения простейшего тела и способы его задания. Определение скорости и ускорение точки при векторном, координатном, естественном способе задания движения. Простейшие движения твердого тела, теоремы о схождении скоростей и ускорений.
курс лекций [5,1 M], добавлен 23.05.2010Основы движения твердого тела. Сущность и законы, описывающие характер его поступательного перемещения. Описание вращения твердого тела вокруг неподвижной оси посредством формул. Особенности и базовые кинематические характеристики вращательного движения.
презентация [2,1 M], добавлен 24.10.2013Вывод формулы для нормального и тангенциального ускорения при движении материальной точки и твердого тела. Кинематические и динамические характеристики вращательного движения. Закон сохранения импульса и момента импульса. Движение в центральном поле.
реферат [716,3 K], добавлен 30.10.2014Задание движения точки. Годограф радиуса-вектора. Уравнение движения точки. Векторный, естественный, координатный способы. Поступательное, вращательное, плоскопараллельное движение тела. Скорости точек при движении тела. Мгновенный центр скоростей.
презентация [399,3 K], добавлен 09.11.2013Изучение основных задач динамики твердого тела: свободное движение и вращение вокруг оси и неподвижной точки. Уравнение Эйлера и порядок вычисления момента количества движения. Кинематика и условия совпадения динамических и статических реакций движения.
лекция [1,2 M], добавлен 30.07.2013Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Произвольное плоское движение твердого тела. Три независимые координаты. Скорости точек тела при плоском движении. Угловая скорость вращения фигуры. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорения.
презентация [2,5 M], добавлен 24.10.2013Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки, оси. Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения.
презентация [913,5 K], добавлен 26.10.2016Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
шпаргалка [1,5 M], добавлен 02.12.2014Сущность механического, поступательного и вращательного движения твердого тела. Использование угловых величин для кинематического описания вращения. Определение моментов инерции и импульса, центра масс, кинематической энергии и динамики вращающегося тела.
лабораторная работа [491,8 K], добавлен 31.03.2014Основные задачи динамики твердого тела. Шесть степеней свободы твердого тела: координаты центра масс и углы Эйлера, определяющие ориентацию тела относительно центра масс. Сведение к задаче о вращении вокруг неподвижной точки. Описание теоремы Гюйгенса.
презентация [772,2 K], добавлен 02.10.2013Поиск эффективных методов преподавания теории вращательного движения в профильных классах с углубленным изучением физики. Изучение движения материальной точки по окружности. Понятие динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 04.05.2011Изучение механики материальной точки, твердого тела и сплошных сред. Характеристика плотности, давления, вязкости и скорости движения элементов жидкости. Закон Архимеда. Определение скорости истечения жидкости из отверстия. Деформация твердого тела.
реферат [644,2 K], добавлен 21.03.2014Выражение для кинетического момента в ПСС. Динамические и кинематические уравнения Эйлера. Общая система уравнений Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Параметры устойчивости стационарного вращения. Понятие регулярной прецессии.
презентация [650,1 K], добавлен 30.07.2013Составление и решение уравнения движения груза по заданным параметрам, расчет скорости тела в заданной точке с помощью диффенциальных уравнений. Определение реакций опор твердого тела для определенного способа закрепления, уравнение равновесия.
контрольная работа [526,2 K], добавлен 23.11.2009Порядок определения реакции опор твердого тела, используя теорему об изменении кинетической энергии системы. Вычисление угла и дальности полета лыжника по заданным параметрам его движения. Исследование колебательного движения материальной точки.
задача [505,2 K], добавлен 23.11.2009Основы динамики вращений: движение центра масс твердого тела, свойства моментов импульса и силы, условия равновесия. Изучение момента инерции тел, суть теоремы Штейнера. Расчет кинетической энергии вращающегося тела. Устройство и принцип работы гироскопа.
презентация [3,4 M], добавлен 23.10.2013Прямолинейное движение точки на плоскости. Мгновенная скорость точки. Поиск радиуса вращающегося колеса. Зависимость пути от времени, ускорение и масса тела. Равноукоренное движение. Работа, совершаемая результирующей силой.
контрольная работа [195,3 K], добавлен 16.07.2007
