Обработка металлов давлением

,

где - коэффициент теплопередачи конвекцией, вт/(м²*град), ккал/(м²*ч*град); t - температура источника тепла;

t_п - температура омываемой теплоносителем поверхности,

F - площадь поверхности теплообмена.

Удельный тепловой поток при конвективном теплообмене:



где 1/ - термическое сопротивление теплоотдачи или внешнее тепловое сопротивление.

Внешний теплообмен конвекций связан с омыванием газом поверхности нагрева или охлаждения. Тепловой поток при передачи конвекцией определяется по формуле Ньютона:

, Вт, (1)

где б - коэффициент теплоотдачи,

t1 - температура теплоотдающей среды (твердого тела при его охлаждении, газа - при нагреве)

t2 - температура тепловоспринимающей среды (твердого тела - при его нагреве, газа или жидкости - при охлаждении), С

Удельный тепловой поток равен:

, (2)

Для определения коэффициентов теплоотдачи б обычно пользуются экспериментальными формулами, разработанными на основе теории подобия критериальном виде. Определяемым в этих формулах является критерий Нуссельта:



, (3)

где d - линейный размер твёрдого тела, м;

л - коэффициент теплопроводности среды,

Определяющий критерий зависит от характера движения (свободное или вынужденное) и режимы движения (ламинарное или турбулентное).

2.Свободная конвекция.

Внешний теплообмен свободной конвекцией возникает при свободном движении газа у нагретой или охлажденной поверхности, обусловленном разной плотностью среды при наличии разности температур (неравномерном температурном поле).

Например, теплоотдача свободной конвекцией имеет место при охлаждении на воздухе горячего металла, при передачи тепла в окружающую среду наружной поверхностью кладки печей и т.д.

Для определения коэффициента теплоотдачи при свободной конвекции пользуются следующими зависимостями:

. (4)

Здесь Gr - критерий Просгофа;

Pr - критерий Прандтля.

Критерий Просгофа:

, (5)



где g = 9,81 - ускорение силы тяжести;

d - определяющий размер тела, м;

t1 и t2 - температура соответственно греющей и нагреваемой среды, С;

х - коэффициент кинематической вязкости газа,

Критерий Прандтля:

, (6)

где а - коэффициент температуропроводности,

Расчетная формула для определения коэффициента теплоотдачи б в критериальном виде имеет вид:

, (7)

В формуле (7) физические величины отнесены к средней температуре:

.

а) при:

, (8)

б) при:

, (9)

в) при:

, (10)

Значение коэффициентов А находят из справочных таблиц.

В формулах (8), (9) и (10) приняты следующие линейные размеры тела: для шара и горизонтальных труб - их диаметр, для вертикальных труб и плит - высота омываемого участка, для горизонтальных плит - их наименьшая длина.

3. Вынужденная конвекция при продольном обтекании поверхности.

Продольная или поперечная обтекания твердой поверхности играют большую роль, например, при нагреве воздуха в трубчатых или блочных рекуператорах. Определяющим критерием конвективного теплообмена является критерием Рейнольдса:

;

где W - скорость движения потока при действительных условиях, м/с;

d - диаметр канала, м;

х - коэффициент кинематической вязкости.

При вынужденном ламинарном движении на условия теплообмена оказывает влияние также свободное движение, в связи, с чем в этом случае учитывается и критерий Gr.

При ламинарном движении газа в каналах различного сечения (Re ? 2100):

(11)

где е - коэффициент, зависящий от отношения L/d, определяется по справочным таблицам;

?t = t1 - t2 - температурный напор, С;

Pe - критерий Пекле; Pe = Wd/a; W - скорость потока, м/с; d - диаметр канала, м; a - коэффициент теплопроводности среды, .

В формуле (11) знак «+» относится к совпадению направления свободного и вынужденного движения, знак «?» при противоположных направлениях.

Физические величины в формуле (11) должны быть отнесены к средней температуре:

,

где tст - температура стенки, С;

tп - средняя температура потока, С.

При турбулентном движении газа (Re ? 2300):



При переходном движении газа:

.

Значение коэффициента А = f (Re) в зависимости от Re определяют по справочным таблицам. Выражение (Prn/ Prст) для газов близко к единицы.

В каналах не круглого сечения в качестве диаметра канала применяется эквивалентный диаметр dэкв = 4F/П, где F- площадь канала; П - периметр; в случае круглого канала - о обычный диаметр d =

4) Вынужденная конвекция при поперечном обтекании труб и цилиндров.

При поперечном обтекании одиночной трубы или цилиндра и Ren = 10 ч 1000 коэффициент теплоотдачи конвекцией определяется из формулы:

При расчете рекуператоров большое значение имеет теплообмен в пучках труб.

Расположение пучков труб рекуператорах чаще всего бывает коридорное и шахматное.

При Ren = 2·100 ч 2·100000 формулы для определения критерия Нуссельта следующие:

а) для коридорных пучков:



б) для шахматных пучков:

В формулах (14) и (15) в качестве определяющего размера принимают наружный диаметр труб.

Лекция 10. Излучение твердых тел

1. Общие сведения. Закон Стефана-Больцмана

При теплопроводности и конвекции обязателен непосредственный контакт между обменивающимися теплом телами. При передаче тепла излучением (лучеиспусканием, радиацией) проходит обмен теплом без непосредственного соприкосновения тел через любую лучепрозрачную среду, в том числе и через вакуум.

Температурное или тепловое излучение лежит в диапазоне =0,4-40 мкм и включает в себя видимый спектр (0,4-0,8 мкм) и часть инфракрасного диапазона от 0,8 до 40 мкм.

В непрозрачных твердых телах в процессе излучения и поглощения энергии участвует лишь тонкий поверхностный слой: у металлов толщиной 0,0005 мм, у диэлектриков - не более десятых долей миллиметра. В прозрачных телах: стекло, а также в жидкостях и газах излучение является объемным. газ тепло конвекция излучение

В связи со способностью тел поглощать, отражать и пропускать энергию, введены понятия: поглощательная, отражательная и пропускная способности.

Пусть на поверхности некоторого тела падает поток лучистой энергии Q_пад. (Вт). Часть этого потока Q_погл. поглощается телом, часть Q_отр. Отражается от поверхности и часть Q_проп. Пропускается, если тело обладает некоторой прозрачностью.

В соответствии с законом сохранения энергии имеем:

Q_пад.= Q_погл.+ Q_отр + Q_проп.

Поделив обе части равенства на Q_пад, получим:

1=А+R+D

где - поглощательная способность тела;

- отражательная способность тела;

- пропускная способность тела.

Если тело непрозрачно, т. е. его пропускательная способность равна нулю, то A+R=1. Если кроме того, R=0, т. е. тело поглощает всю падающую на его поверхность лучистую энергию, то А=1 и такое тело называют абсолютно черным. В природе абсолютно черных тел не существует. Любые реальные тела являются серыми, т. е. отражающими часть падающей на них энергии. С моделировать абсолютно черное тело можно. Моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие в стенке непрозрачного полого тела любой сферической формы, если температура его всюду совершенно одинакова.

Любой луч, вошедший в такие отверстие, будет полностью поглощен и из тела не выйдет, хотя внутренняя поверхность стенок полости может обладать значительной отражательной способностью. Даже такое черное тело как сажа, отражает не менее 3% лучистой энергии падающей на покрытую его поверхность. Тем не менее, понятие об абсолютно черном теле является весьма важным для теории и эксперимента. По излучению абсолютно черного тела установлена международная температурная шкала в области высоких температур.

Известно, что всякое тело, температура которого отлична от абсолютного нуля, излучает энергию. Излучение поверхности тела, обусловленное его нагревом, называется собственным отражением. Если собственное излучение тела равно распределено по всем направлениям в пределах полусферы, то такое излучение также называется диффузным. Понятно, что абсолютно черное тело, не отражающее падающую на его поверхность энергию, обладает лишь собственным излучением.

Способность тел излучать тепловую энергию зависит не только от температуры, но и от свойств поверхности этих тел. Максимум тепловой энергии при данной температуре испускается абсолютно черным телом и количественно определяется законом Стефана-Больцмана:



,

где _о - коэффициент излучения абсолютно черного тела, 5,69 Вт/(м²*К⁴)

Т_о - абсолютная температура абсолютно черного тела, К;

F - площадь излучающей поверхности, м².

Реальные тела не являются абсолютно черными и для них закон Стефана-Больцмана имеет вид:

,

где - коэффициент излучения реального (серого) тела;

- степень черноты тела, ;

Т - абсолютная температура реального тела.

В технике чаще встречаются случаи, когда теплообмены излучением происходят между двумя и более телами. При лучистом теплообмене между двумя и более телами происходит взаимное одновременное облучение, по закону Стефана-Больцмана.

Результирующий тепловой поток поглощается поверхностью тела, температура которого ниже. Его величина определяется формулой:

,

где Т₁, Т₂ - абсолютные температуры первого и второго тела;

_пр - приведенный коэффициент излучения, рассчитывается по специальным формулам.

2. Угловые коэффициенты излучения.

На практике часто приходится решать задачу о том, какая доля тепла, излучаемого источником, попадает на соседнюю поверхность. Для решения таких задач пользуются понятием углового коэффициента или, как иногда говорят, коэффициента облученности. Рассмотрим вопрос для электропечи. Электрические нагревательные элементы расположены на своде и излучают тепловую энергию в количестве Q, Вт во всем направлении.

Предположим, что свод плоский. Он излучает поток Q₁ и Q₂ соответственно на левую и правую боковые стенки и Q₃ на лежащий на поду металл. Таким образом., на левую стенку свод будет излучать часть тепла, равную Q₁/Q, на правую Q₂/Q и на металл - Q₃/Q. Каждое из этих отношений называется - угловым коэффициентом и обозначают . Если обозначить свод индексом 4, то отношение Q₁/Q=_4,1 - есть угловой коэффициент от поверхности свода на левую стенку. Соотношение Q₃/Q=_4,3 - угловым коэффициентом излучения от свода на металл и т. д. Таким образом, угловой коэффициент показывает, какая часть всей излучаемой тепловой энергии одного тела (поверхности) попадает на другое тело (другую поверхность).

Угловые коэффициенты связаны между собой определенными соотношениями. Вот основные из них:

1. Правило замыкаемости. Для замкнутой системы изображенного на рис (а)



Q₁+Q₂+Q₃=Q или

то есть

, - для замкнутой системы

- правило замыкания

2. Правило взаимности. Установлено, что если две поверхности F₁ и F₂ излучают друг на друга, то будет справедливо выражение:

,

где _1,2 -угловой коэффициент с поверхности 1 на поверхность 2.

_2,1 - то же с поверхности 2 на поверхность 1.

Необходимо отметить, что возможен и такие случаи, когда лучистым теплом обмениваются элементы одной и той же поверхности. Для вогнутого свода (б) наряду с излучением на другие поверхности свод излучает и сам на себя (Q₄). В этом случае уравнение имеет вид:

Q₁+Q₂+Q₃+Q₄=Q

где Q₄ - количество тепла, излучаемое всеми элементами поверхности свода друг на друга, Вт.Соответственно угловой коэффициент _4,4 представляющий собой отношение Q₄/Q также может быть назван угловым коэффициентом тепла, излучающего само на себя.



Лекция 11. Закон Кирхгофа. Излучение газов

1. Закон Кирхгофа.

Связь между излучательной и поглощательной способностями тел устанавливает закон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: « Отношение излучательной способности какого-либо серого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел, находящихся при одинаковой температуре, и равно излучательной способности черного тела при той же температуре».

Если обозначить через q, q₁, q₂, q₃ и т. д. плотности тепловых потоков излучения различных серых тел при одной и той же температуре Т, через А, А₁, А₂, А₃ и т. д. поглощательные способности тех же серых тел при той же температуре Т и через q₀ плотность теплового потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре Т, то закон Кирхгофа можно записать следующим образом:

q/A= q₁/A₁=q₂/A₂=q₃/A₃=…..=q₀=C₀( T/100)⁴.

Отсюда следует, что q=AC₀( T/100)⁴; тоже для q₁, q₂, q₃ и т. д.

Если сравнить это уравнение с уравнением Стефана-Больцмана для излучения серого тела q=C₀( T/100)⁴, то можно увидеть, А= и сделать вывод о том, что степень черноты численно равна поглощательной способности данного тела. Таким образом, степень черноты может характеризовать как излучательную, так и поглощательную способности тела. Если, например, степень черноты тела составляет 0,7, то это означает, что данное серое тело при одинаковых температурах излучает энергии на 30% меньше, чем абсолютно черное тело и поглотит 70% падающей на него тепловой энергии. Принято и буквой обозначать и поглощательную способность, поскольку они равнозначны.

Закон Кирхгофа справедлив не только для полного, но и для монохроматического излучения, что позволяет установить важное следствие из этого закона: « всякое тело при определенной температуре может испускать только лучи тех длин волн, которые оно способно поглощать при той же температуре».

2. Особенности излучения и поглощения газами тепловой энергии.

Спектр поглощения газов является селективным. Это означает, что газы поглощают тепловую энергию в определенных интервалах длин волн , определяющих так называемые полосы поглощения. Как следует из закона Кирхгофа, газы могут испускать лучи только с теми длинами, что и лучи, которые они поглощают. Поэтому излучение газов является также селективным. Однако не все газы практически излучают и поглощают тепловые лучи. Спектр одно- и двухатомных газов ( кислорода, азота, окиси углерода и др.), встречающихся в составе печной атмосферы, состоит из очень низких полосок. Поэтому общее количество энергии, которое излучают эти газы, очень невелико и можно считать, что они совсем не излучают тепла.

Трехатомные и многоатомные газы, наоборот, могут излучать и поглощать большое количество тепла. Наибольшее практическое значение имеет излучение СО₂ и водяных паров Н₂О, поскольку из них (наряду с N₂) в основном состоят дымовые газы. Спектры этих газов очень сложны. Для СО₂ обычно принимают три полосы излучения и поглощения, соответствующие следующим интервалам длин волн, мкм: 2,3-3,02; 4,01-4,80 и 12,5-16,5.

Для Н₂О эти интервалы длин волн равны 2,24-3,27; 4,8-8,5 и 12,0-25,0 мкм. В отличие от твердых тел, излучение и поглощение газами происходит в объеме (у твердых тел - с поверхности).

Поглощение газами тепловой энергии наблюдается в результате поглощения тепла встречающимися молекулами. Количество встречающихся молекул зависит от концентрации газа, выражаемой его парциальным давлением Р и эффективной толщиной газового слоя S_эф. Большое влияние оказывает также температура. Поэтому поглощение газами тепловой энергии А_г= f (T; P; S_эф). По закону Кирхгофа можно записать то же самое для степени черноты газов: _г= f (T; P; S_эф), поскольку А_г= _г.

Излучение газами тепловой энергии, как показали исследования, для СО₂ пропорционально Т^3,5, а для Н₂О пропорционально Т³. Применение различных законов излучения для твердых и газообразных тел очень сильно затруднило бы расчет, поэтому для практических расчетов излучения газов также применяют закон Стефана-Больцмана: q_г=_г С₀ (. Погрешность, вносимая допущением о том, что q_г= f (Т⁴), учитывается при определении _г [ в действительности, q= f(T^3,5), q= f (T³)].

3. Определение степени черноты газов.

Как мы указывали ранее, степень черноты газов _г зависит от температуры газа, его парциального давления и эффективной толщины газового слоя (средней длины пути луча). Обычно температура газов известна. Парциальное давление газов можно получить из расчета горения топлива. Например, если в продуктах горения содержится 10%СО₂ и 15%Н₂О, то, следовательно, их парциальные давления соответственно равны 0,1 и 0,15 общего давления печной среды (0,1ат, 0,15ат).

Эффективная толщина газового слоя (средняя длина луча) определяется по формуле

S_эф=0,9, м,

где V - объем, заполненный излучающим газом, м³;

F - поверхность всех стенок, ограничивающих этот объем, м²;

0,9 - постоянный коэффициент.

Для определения степени черноты газов пользуются графиками, с помощью которых находят сначала степень черноты и условную степень черноты водяных паров . Условную степень черноты необходимо умножить на поправку и найти степень черноты

=.

Общую степень черноты газов находят суммированием полученных степеней чернотРазмещено на http://www.allbest.ru/

ы отдельных газов:

_г= + = + .

Лекция 12. Сложный теплообмен в рабочем пространстве печей

В металлургических печах отдельно теплопроводность, конвекция, излучение являются, как правило, лишь составной частью общего сложного процесса теплообмена. Например, при плавлении металла в мартене тепло передается ванне от факела излучением и конвекцией. Внутри ванны расплавленной стали тепло передается теплопроводностью и конвекцией жидкого металла. В рекуператорах, предназначенное для нагрева воздуха тепло от продуктов сгорания передается к стенке металлической или керамической трубки излучением и конвекцией; через стенку трубы - теплопроводностью. При передаче тепла через однослойную стенку конвекцией и теплопроводностью:



На основании закона Ньютона и Фурье:

Складывая левые и правые части, получим:

где ₁ - коэффициент теплопередачи от газа к стенке; - толщина стенки; - коэффициент теплопроводности; ₂ -коэффициент теплоотдачи от стенки к воздуху;

В случае, когда тепло передается через многослойную стенку:



Суммарный коэффициент теплопередачи:

В рабочем пространстве печей происходит передача излучением и конвенцией. Лучистый поток:

;

Конвективный поток: ;

Суммарный поток:

Q=Q_л+Q_к=

- коэффициент теплообмена излучением.

- суммарный коэффициент теплоотдачи.

Тогда для суммарного теплового потока:



Лекция 13. Внутренний теплообмен при нагреве материалов. Нагрев тел при граничных условиях I, II, III рода

1.Основные понятия и определения.

Принято, что тепло в твердых материалах распространяется благодаря теплопроводности. Для передачи энергии необходима разность потенциалов.

Значит, при переносе тепла потенциалом является температура. Согласно, рассматриваемый процесс тесно связан с температурным полем - это совокупность мгновенных значений Т.

В общем случае Т в любой точке пространства является функцией координат х, у, z и времени : - нагрев материала.

Поле, в котором Т изменяется с течением времени, называется неустановившимся (или нестационарным), а если она остается постоянной - установившимся (стационарным). Тогда .

Температурное поле, если оно является функцией трех, двух и одной координаты, считается соответственно трех, двух, и одномерным. Наиболее простое из них - стационарное одномерное, т. е. при .

2.Нагрев тонких тел.

В теории нагрева все тела условно делятся на тонкие и массивные.

К тонким относятся те, по сечению которых при нагреве возникает малый перепад температур (обычно он не учитывается, нет t_ц), а к массивным - те, которые характеризуются значительным перепадом (и этой величиной пренебречь нельзя).

Идеально тонкими, которых в природе нет, принято считать тела, имеющие , а массивными -0. Чисто геометрически разделять тела на тонкие и массивные нельзя. Геометрически массивное тело (например, слиток) можно нагревать достаточно долго, так, что перепад t⁰ по сечению практически не будет. В тоже время пластину можно нагревать с большой скоростью подъема t⁰, так, что будет перепад t⁰ между поверхностью и центром.

Согласно Г.П. Иванцова относить тело к той или иной категории принято по критерию Био:

,

где S - расчетный размер тела;

- коэффициент теплопередачи;

- коэффициент теплопроводности.

Если Bi0,25, то тело считается тонким, при Bi0,5 - массивным.

3.Нагрев массивных тел. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

В отличие от тонких тел нагрев массивных характеризуется тем, что тепловая волна проникает вглубь не сразу, косвенно. Послойное включение материала в нагрев объясняется не бесконечной (как в тонких телах), а конечной скоростью распространения тела.

Время, в течение которого тепловая волна достает самого удаленного слоя материала, называется инерционным (иррегулярным). При одностороннем нагреве таким слоем является противоположная поверхность тела, а при симметричном двустороннем - его центр.

Максимальная разность Т между поверхностью и центром принято считать перепад температур . По истечении некоторого времени наступает регулярный (упорядочный) тепловой режим, при котором различные точки подчиняются единым законам.

При нагреве массивного тела необходимо знать распределение величин Т в нем, или как мы сказали температурное поле, обусловленное внешним тепловым режимом.

Определение температурного поля становится возможным, если известны математические зависимости между температурой, временем и пространственными координатами в любом элементарном объеме материала. Связь между этими зависимостями устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. При этом считают, что твердое тело однородно и изотропно, его теплофизические параметры и агрегатное состояние не изменяются, а также внутренние источники теплоты в нем отсутствуют.

Давайте выведем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем, виде.

Выделим в нагревательном теле элементарный параллепипед с гранями dx, dy, dz.

В соответствии с законом сохранения энергии, разность между количеством тепла подводимого в элементарный объем за время d и убывающего из него за то же время, равна изменению его энтальпии.

Через грань dy dz поступает количество тепла



(1)

а уходит через противоположную грань

, (2)

где q_x, q_x+dx - плотность потока, соответственно подводимого и отводимого в направлении оси Х.

Плотность теплового потока в этой грана находится путем разложения в ряд Тейлора

Найдем разность между количеством тепла, поступившим в параллепипед и вышедшем из него в направлении оси Х: из (1) - (2)

; (3)

Аналогично определяются соответствующие величины для осей Y и Z:

; (4)

; (5)

Оставшееся в элементарном объеме количество тепла, расходуемое на изменение энтальпии тепла равно:



; (6)

С учетом, что - получаем:

; (7)

Составим баланс тепла в элементарном объеме:

Уравнение (7) приравняем к уравнениям (3), (4), (5)

; (8)

Согласно закону Фурье:

Тогда формула (8) запишется так (разделив также правую часть на с):

; (9)

Вводят оператор Лапласа ² набла:



и зная, что - коэффициент температуропроводности, мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в компактной форме:

Коэффициент температуропроводности а м²/с, (в условиях нестационарных процессов) характеризует теплоинерционные свойства тепла. Чем больше а, тем выше скорость изменения (параметров) Т в любой точке тела и тем быстрее перестраивается его температурное поле.

Для различных веществ значение а м²/с, как и , зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры.

Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье устанавливает зависимость между температурой, временем и пространственными координатами в любой элементарном объеме нагреваемого материала. Выше приведенное уравнение Фурье записано в общем виде.

Уравнение Фурье можно записать в иных системах координат. Так, для цилиндра бесконечно малой длины при симметричном относительно оси распределении температур уравнение имеет вид:

.

Для тел сферической формы



где r - радиус цилиндра или шара.

При одномерных температурных полях то же уравнение для простейших форм тела имеет вид:

,

где k₁ - коэффициент формы тела.

Мы отметили, что дифференциальное уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения (применительно к конкретному случаю) необходимо кроме основного дифференциального уравнения Фурье задать дополнительные условия.

В условия однозначности входят:

геометрические условия, определяющие форму и размеры тела;

физические условия, т. е. физические параметры и свойства тела - , С_р;

начальные условия, т. е. распределение температуры в объеме тела в некоторый момент времени, принятый за начало отсчета, 0;

граничные условия, характеризующие тепловое взаимодействие окружающей среды с поверхностью тела, т. е. связь внешнего теплообмена в рабочем пространстве, с внутренним.

Начальное распределение температур показывает t⁰ состояние тела перед тем, как начался процесс нагрева и может быть различным. Наиболее простой случай имеющий практическое значение - одинаковое значение Т по всему объему: .

Например: это нагрев или охлаждение металла после стационарного режима. Во многих задачах используется начальное параболическое распределение t⁰ по объему тела:

где Т_ц.о - температура центра в начальный момент времени;

Т₀ - нач. перепад t по сечению тела (нагрев или охлаждение предварительно разогретого металла).

Граничные условия можно задавать различными способами и на них влияет характер взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.

Граничные условия первого рода (первая краевая задача).

В этом случае задается распределение t по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т. е. задается функция: Т_пов.=f(х, у, z, ).

Примером граничных условий первого рода является линейное изменение t⁰ поверхности во времени:



где С_н - скорость нагрева.

К описанному условию можно отнести задачу разогрева кладки печи или задачу нагрева (охлаждения) тел при термообработке с заданной скоростью.

Другим примером граничных условий первого рода является постоянство температуры поверхности:

Это задачи нагрева или охлаждения с мгновенным повышением (снижением) t⁰_пов. Тела (закалка, выдержка, томление металла).

Граничные условия второго рода (вторая краевая задача).

В этом случае задается распределение плотности теплового потока q по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени.

где n - координата, направленная к поверхности тела.

Таким образом, задание граничных условий второго рода - это задание величины градиента t⁰ на поверхности тела .

Часто принимают, что q=const - постоянный во времени и по всей поверхности тела.

Встречается в металлургических и камерных печах граничные условия третьего рода (смешанная краевая задача).

В этом случае задаются t⁰ окружающей среды или внешнего источника тепла Т₀ и закон теплообмена между средой и поверхностью тела.

Граничные условия часто третьего рода - часто встречаются на практике.

По существу задаемся некоторая связь между известной t⁰ окружающей среды (внешнего источника тепла) и неизвестными t⁰ поверхности тела и градиентом температур на поверхности.

Например, если внешний теплообмен осуществляется путем конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока, подводимого к поверхности тела, выражается формулой Ньютона:

где T₀ - t⁰ окружающей среды;

Т_пов. - t⁰ поверхности тела.

С другой стороны плотность теплового потока на поверхности тела q может быть выражена постулатом или формулой Фурье:

где n - координата, направленная по нормам к поверхности тела.

Приравнивая правые части уравнений, на основании закона сохранения энергии, получим математическую формулировку граничных условий третьего рода:

;

Частный случай Т₀=const или Т_печ.= const; - нагрев заготовки в печи при постоянной температуре. На практике при нагреве металла производят сочетание граничных условий нагрева. Например вначале нагрев при q_.= const, а заканчивать нагрев при t_печ=_.const.

Лекция 14. Решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при граничных условиях 3 рода

1. Определение температур нагрева металла.

Как мы отмечали ранее, при нестационарном тепловом состоянии с течением времени происходит изменение температуры тела, т. е. . Такое изменение температуры тела возможно, когда тело остывает или нагревается. На практике это широко распространенный процесс нагрева металла. Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с граничными условиями представляет собой весьма сложную математическую задачу. Мы остановимся на решении при граничных условиях 3-го рода, получившем наибольшее практическое распространение. На практике часто встречаются печи, в которых нагрев металла происходит при неизменной температуре рабочего пространства. Некоторые печи с изменяющейся температурой по длине рабочего пространства можно условно разделить на расчетные участки с приближенно неизменной температурой в пределах каждого участка и к каждому из них применить решения, полученные при граничных условиях 3-го рода.

Решение дифференциального уравнения для удобства заменяют критериальным уравнением следующего вида:

, (1)

Где - безразмерный температурный критерий;

Т₀ - температура среды печи;

Т_нач. и Т_кон. - температура нагреваемого тела соответственно начальная и конечная.

Из уравнения (1) видно, что температура нагрева металла Т зависит от трех безразмерных комплексов: критериев Фурье (F₀), Био (В_i) и безразмерного геометрического комплекса , определяющего собой местоположение точки в теле, для которой определяют температуру. Так, для центра нагреваемого тела x=0 и =0, для поверхности тела х=S и =1.

В зависимости от условий решения уравнения Т_кон может представлять собой как конечную температуру поверхности тела (при =1), так и конечную температуру в центре тела (при =0).

Таким образом, решая уравнение (1) для поверхности тела (=1), получаем температурный критерий:

, а для центра (=0): .

F₀= - критерий Фурье.

Его физический смысл вытекает из того, что главным его членом является время . Поэтому критерий F₀ определяет собой время процесса и называется безразмерным временем.

Характер нагрева тел существенно зависит от критерия Вi. Решение уравнения (1) для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина в графическом виде.

2. Определение продолжительности нагрева металла.

Факторы, влияющие на продолжительность нагрева. Время нагрева металла необходимо для определения производительности печи, ее размеров и зависит от следующих факторов:

· факторы, определяющие собой внешний теплообмен, т. е. теплоотдачу от печных газов и футеровки к поверхности металла: температура печи, температура металла в начале и конце периода нагрева, излучательная способность печных газов и футеровки, размеры рабочего пространства;

· факторы, определяющие собой внутренний теплообмен, т. е. характеризующие теплоотдачу от поверхности металла внутрь его: теплопроводность, теплоемкость, толщина металла.

Определение времени нагрева тонкого тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Передача тепла к поверхности изделия может осуществляться конвекцией и излучением. Если преобладает конвективная теплоотдача, то справедливо уравнение Ньютона: ; ккал, кДж. Тогда время нагрева металла определяют по уравнению:

, с, где с - теплоемкость металла, Дж/(кгК);

М - масса находящегося в печи металла (садка), кг;

F - поверхность металла, воспринимающая тепло, м²;

- коэффициент теплоотдачи конвекцией к поверхности металла, Вт/(м²К);

t_печ - температура печи, ⁰С;

t_{м. нач} и t_{м. кон} - температура металла соответственно начальная и конечная, ⁰С.

Если преобладает передача тепла излучением и справедлив закон Стефана-Больцмана, время нагрева тонких тел следует определять по выражению:

, с

где С_пр - приведенный коэффициент излучения системы печь-металл, Вт/(м²К⁴).

Значение f₁ и f₂ можно выбирать из графика в справочной литературы.

Определение времени нагрева массивного тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Как показано выше, решение дифференциального уравнения теплопроводности для этих условий представляют в виде следующего критериального вида

.

Решение этого уравнения для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина. Из этих номограмм для определения времени нагрева необходимо найти критерий

F₀=.

Для этого предварительно необходимо найти температурный критерий



и критерий Вi=. При определении значения Bi, а затем и времени нагрева из критерия F₀ необходимо правильно выбирать расчетную толщину нагреваемой заготовки. При двустороннем нагреве в качестве расчетной толщины принимают половину геометрической толщины. При одностороннем нагреве необходимо учитывать полную толщину заготовки.

Теплопроводность металла следует находить по средней его температуре за весь период его нагрева:

t_ср=0,5 (t_нач + t_кон).

По найденному значению из точки на ординате номограммы проводят горизонтальную линию до пересечения с линией Вi, соответствующей найденному его значению. Из полученной точки пересечения опускают перпендикуляр и на абсциссе находят искомое значение F₀. Затем из него определяют время нагрева

.

Размещено на Allbest.ru

...