Основные характеристики сопротивления материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
• 1.1 Геометрические характеристики сечений
• 1.2 Классификация стержней
• 1.3 Классификация сил
• 1.4 Уравнения равновесия
• 1.5 Напряжения
• 1.6 Интегральные характеристики напряжений (внутренние усилия)
• 1.7 Метод определения внутренних усилий
• 1.8 Закон Гука при растяжении
• 1.9 Закон Гука при сдвиге
• 1.10 Гипотеза плоских сечений
• 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСТЯЖЕНИЯ, КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ С УЧЁТОМ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЭФФЕКТОВ (МАЛЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ)
• 2.1Статические (динамические) уравнения
• 2.2 Геометрические уравнения
• 2.3 Физические уравнения
• 2.4 Полная система дифференциальных уравнений технической теории стержней
• 3. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ И ЖЁСТКОСТИ
• 3.1 Критерий прочности Губера - Мизеса
• 3.2 Формулировка критерия прочности для частных случаев напряжённого состояния стержня
• 4. ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЁННОЙ НАГРУЗКИ
• И ХАРАКТЕРИСТИК ЖЁСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ ДИРАКА И ХЕВИСАЙДА
• 4.1 Обобщённые функции Дирака и Хевисайда
• 4.2 Табличные интегралы и их практическое применение
• 4.3 Формулировка силовых граничных условий
• 5. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
• 5.1 Расчёт балки на изгиб
• 5.2 Расчёт ступенчатых стержней на растяжение
• 5.3 Расчёт разрезной балки на изгиб
• КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК



1. Основные понятия и определения

Сопротивление материалов - это наука об инженерных методах расчета элементов конструкций и машин на прочность, жесткость и устойчивость. Одним из основных разделов сопротивления материалов является техническая теория стержней.

Уточним суть некоторых общих понятий.

Деформация - изменение размеров и формы материальных тел под действием внешних нагрузок.

Упругость - свойство материальных тел восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Пластичность - свойство материальных тел не восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Прочность - способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без разрушения и пластических деформаций.

Жесткость - способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без значительных упругих деформаций, которые могут нарушить их нормальную работу.

Устойчивость - способность конструкции и её элементов сохранять определенную начальную форму упругого равновесия под нагрузкой.

Материальная однородность: материал, из которого изготовлено тело, проявляет одинаковые свойства во всех точках.

изотропность: материал, из которого изготовлено тело, проявляет одинаковые свойства во всех направлениях.

1.1 Геометрические характеристики сечений

Пусть имеется некоторая плоская фигура (сечение тела), связанная с декартовой системой координат и имеющая площадь (рис. 1.1).



Рис. 1.1. Центр тяжести плоской фигуры

По определению центром тяжести плоской фигуры называется геометрическая точка с координатами

, , (1.1)

где

, . (1.2)

Величины (1.2) называются статическими моментами фигуры относительно оси и соответственно. Такое название дано по аналогии с понятием момента силы относительно оси, если только в качестве силы иметь в виду площадь фигуры.

Ось, проходящая через центр тяжести сечения, называется центральной осью. Очевидно, если начало координат совпадает с центром тяжести сечения , то обе координатные оси будут центральными осями. Относительно них , ибо в этом случае .

Осевым моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния от рассматриваемой оси. Так, моменты инерции плоской фигуры (рис. 1.1) относительно осей и соответственно равны

, . (1.3)

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно данной точки (полюса ) называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния до полюса (рис. 1.1):

. (1.4)

Поскольку , из (1.3) находим

. (1.5)

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на её расстояния от координатных осей , (рис. 1.1):

. (1.6)



Величины осевых моментов инерции , и полярного момента инерции плоской фигуры всегда положительны. Напротив, центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.

Главные оси, проходящие через цент тяжести плоской фигуры, называются главными центральными осями.

1.2 Классификация стержней

В сопротивлении материалов под стержнями подразумеваются тела довольно разнообразной и вместе с тем специфической формы. Представим себе некоторую линию, вдоль которой движется плоская фигура так, что её центр тяжести находится на этой линии, а плоскость фигуры нормальна к ней (рис. 1.2). Если размеры фигуры , существенно меньше длины линии , то описанное указанным образом тело называется стержнем (или брусом); соответственно отмеченная плоская фигура называется поперечным сечением стержня, а отмеченная линия - осью стержня.

Рис. 1.2. Прямой брус (стержень) постоянного сечения

Если поперечное сечение при движении вдоль оси не изменяется, то тогда имеет место стержень постоянного сечения; в противном случае - стержень переменного сечения. Если ось стержня - прямая линия, то это прямой стержень. Если ось стержня - кривая линия, то его называют кривым стержнем. Если поперечное сечение при движении вдоль оси вращается вокруг касательной к оси, то стержень называют естественно-закрученным. Примером прямого естественно-закрученного стержня постоянного сечения является рабочая часть сверла. Используются также и другие названия. В частности, стержень, работающий на изгиб, обычно называют балкой, а стержень, передающий вращательное движение, - валом.

1.3 Классификация сил

В механике понятие силы является первичным (неопределяемым) понятием. В качестве пояснения (но не определения) можно указать, что под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, которое вызывает их деформацию и ускоренное движение.

По характеру взаимодействия все силы можно разделить на объёмные (массовые) и поверхностные силы.

Массовые (объёмные) силы обусловлены взаимодействием материальных тел на расстоянии, они приложены к каждой точке тела (распределены по всему его объёму). К массовым силам относятся силы гравитационного и электромагнитного взаимодействия. Обычно из чисто формальных соображений к ним добавляют силы инерции (для сил инерции невозможно указать конкретный материальный источник).

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом взаимодействия материальных тел при непосредственном контакте. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные силы подразделяются на сосредоточенные и распределённые. К первым относятся нагрузки, площадь приложения которых несоизмеримо меньше площади поверхности тела. Таковыми являются, например, сила нормального давления и сила трения между колесом тележки и подкрановой балки, а также силы взаимодействия балки с опорами , , , Z₂ (рис. 1.3, а). При составлении расчётной схемы суммарный эффект от действия этих нагрузок представляется в виде сосредоточенных сил и моментов (рис. 1.3, б). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределённая. Таковыми являются, например, силы давления, вызываемые весом бетонного блока (рис. 1.3, в). Действие этого блока на подкрановую балку заменяется погонной нагрузкой , которая характеризует величину силы давления, приходящейся на единицу длины (рис. 1.3, а).

По отношению к выбранному материальному телу (элементу конструкции) все действующие силы подразделяются на внешние и внутренние силы. Под внешними силами (нагрузками) понимаются силы взаимодействия данного материального тела со всеми другими окружающими его телами. Под внутренними силами понимаются силы взаимодействия между частями данного тела.



Рис. 1.3. Подкрановая балка и её расчётная схема

Понятно, что деление сил (нагрузок) на внешние и внутренние силы является условным. Одна и та же сила может быть и внутренней и внешней, всё зависит от выбора объекта исследования. К примеру, на бетонный блок, лежащий на подкрановой балке, действует вес и распредёленная нагрузка , направленная в противоположную сторону (рис. 1.3, в). По отношению к блоку обе эти нагрузки внешние. Однако для механической системы, включающей в себя блок и балку, погонная нагрузка является внутренней распределённой силой.

Рис. 1.4. Типовые связи (опоры) и их реакции

Как правило, равновесие конструкций, состоящих из одного или нескольких элементов, обеспечивается наложением тех или иных связей. Наиболее распространёнными связями являются гладкая или шероховатая поверхность (опора), шарнирно-неподвижная опора (шарнир), шарнирно-подвижная опора (опора на катках), невесомый стержень, заделка (рис. 1.4). Для конструкции в целом, состоящей из стержней 1-3, реакции врезанных шарниров , (на рис. 1.4 не показаны) являются внутренними силами. Но для каждого из стрежней в отдельности эти реакции будут внешними силами, как и реакции остальных связей (опор).

В соответствии с этим внешние силы, действующие на выделенное тело, подразделяются на активные (заданные) силы и реактивные силы. Реактивные силы возникают в связях, наложенных на тело, их величина определяется действующими на тело активными силами.

1.4 Уравнения равновесия

В теоретической механике доказывается, что для равновесия свободного абсолютно твёрдого тела, находящегося под действием некоторой системы внешних сил , необходимо и достаточно выполнения двух векторных уравнений равновесия (рис. 1.5):

, , (1.7)

где



- момент силы относительно точки , - радиус-вектор приложения указанной силы с началом в точке (центре) . Если тело несвободно (из-за наложенных на него связей), то, пользуясь принципом освобождаемости от связей, последние надо мысленно отбросить и заменить их действие силами реакций, которые будут внешними силами по отношению к освобождённому указанным образом телу.

В проекции на координатные оси два векторных уравнения (1.7) дают шесть скалярных уравнений равновесия:

(1.8)

С их помощью можно найти не более шести неизвестных величин, в большинстве случаев - это реакции внешних (для данного тела) связей.

Рис. 1.5. Равновесие материального тела

Применительно к деформируемому твёрдому телу уравнения (1.7), (1.8) являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия. В качестве наглядного примера можно указать на ножницы (рис. 1.6). Для их равновесия нужно наложить дополнительные связи, например, заварить врезанный шарнир .

Рис. 1.6. Равновесие деформируемого тела

1.5 Напряжения

Рассечём тело некоторой плоскостью и отбросим одну из частей тела (рис. 1.7, а). Для плоскости сечения выберем то направление орта нормали , которое является внешним для оставшейся части тела. Поскольку до рассечения между обеими частями имело место взаимодействие, то в соответствии с принципом освобождаемости от связей действие отброшенной части на оставшуюся часть следует заменить поверхностными силами, распределёнными по всему сечению. На бесконечно малую площадку сечения с центром в точке будет действовать бесконечно малая сила . Величина

называется вектором напряжения на данной площадке. В общем случае вектор напряжения зависит не только от положения точки , но и от ориентации площадки, т. е. от направления орта нормали , что и отражено в обозначении в виде нижнего индекса.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена по нормали , а другая - перпендикулярно к ней (рис. 1.7, б). Составляющая , направленная по нормали , называется нормальным напряжением на площадке . Составляющая , лежащая в плоскости площадки , называется касательным напряжением на этой площадке. Очевидно, что

.

Рис. 1.7. Вектор напряжения (а), нормальное и касательное напряжения (б)

Так как при сечении тела была взята внешняя нормаль , растягивающие нормальные напряжения являются положительными, а сжимающие напряжения - отрицательными. Можно было бы поступить и наоборот, выбрав при сечении тела внутреннюю нормаль. Тогда сжимающие напряжения были бы положительными, а растягивающие напряжения - отрицательными. Оба случая используются на практике.



1.6 Интегральные характеристики напряжений (внутренние усилия)

Рассмотрим произвольное плоское сечение нагруженного стержня (рис. 1.8). Выберем декартову систему координат , , с началом в центре тяжести сечения . Ось направим по нормали сечения .

На каждой элементарной площадке сечения будет действовать вектор напряжения (нормаль направлена по оси ). Полное напряжение разложим на нормальное напряжение и касательное напряжение . В плоскости площадки направление касательного напряжения в общем случае произвольно. Чтобы обойти эту неопределённость, разложим полное касательное напряжение по координатным осям и , обозначив составляющие через , соответственно (рис. 1.8).

Рис. 1.8. К определению интегральных характеристик напряжений

Компоненты главного вектора и главного момента распределённых по сечению напряжений относительно центра тяжести плоского сечения называются или интегральными характеристиками напряжений, или внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями в сечении. Они равны

(1.9)

Каждая из компонент (1.9) имеет характерное название: - продольная (нормальная) сила; , - поперечные (перерезывающие) силы; , - изгибающие моменты; - крутящий момент.

1.7 Метод определения внутренних усилий

Рассмотрим тело, имеющее форму стержня и находящееся в покое под действием некоторой системы внешних сил. В данную систему сил в общем случае могут входить как активные (заданные) силы, так и пассивные силы (реакции внешних связей). Если число компонент реакций внешних связей не превышает числа независимых уравнений равновесия, то задача по отысканию внутренних усилий оказывается статически определимой задачей. В противном случае задача является статически неопределимой.

Суть метода по отысканию внутренних усилий, называемого методом сечений, можно пояснить на примере прямого стержня (рис. 1.9). Мысленно рассечём стержень на две части , произвольной плоскостью. Выберем декартову систему координат , , с началом в центре тяжести сечения . Оси , расположим в плоскости сечения, а ось направим по внешней нормали сечения одной из частей, например части (рис. 1.9, а). В согласии с выбранным направлением оси и для удобства дальнейшего изложения условно будем называть часть левой частью стержня, а часть - правой частью стержня.

Поскольку до рассечения обе части взаимодействовали друг с другом, действие одной части на другую следует заменить поверхностными силами, распределёнными в плоском сечении по некоторому закону (рис. 1.9, б). Согласно третьему закону Ньютона (закону действия и противодействия) в каждой точке сечения поверхностные силы, действующие на левую часть со стороны правой части , равны и противоположны по направлению поверхностным силам, действующим на правую часть со стороны левой части . Эти поверхностные силы являются для стержня внутренними силами, а для каждой из частей , - внешними силами. Так как , нормальные и касательные напряжения в сечениях левой и правой частей равны по величине и противоположно направлены. По отношению к единой (для обеих частей стержня) декартовой системе координат , , это означает, что:

, , .

Следовательно, интегральные характеристики напряжений (1.9), соответствующие каждой из частей, также имеют противоположные знаки:

(1.10)

Иными словами, в сечениях обеих частей стержня соответствующие интегральные характеристики напряжений равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.9, в).

После рассечения и приложения поверхностных сил обе части стержня становятся свободными телами, находящимися в состоянии покоя. Это позволяет составить две системы уравнений равновесия для каждой из частей стержня в отдельности. Для части имеем

(1.11)

Соответственно для части

(1.12)

Понятно, что обе части стержня - левая часть и правая часть - абсолютно равноправны. Поэтому в качестве внутренних силовых факторов в данном сечении стержня можно взять как величины , , , , , , так и величины , , , , , . Это вопрос простого соглашения. Посему за внутренние силовые факторы в данном сечении стержня принимаем значения интегральных характеристик напряжений для той части стержня, которая расположена слева от этого сечения (т. е. для части ):

(1.13)



Рис. 1.9. Определение внутренних усилий методом сечений



Благодаря равенствам (1.10), (1.13) из уравнений (1.11), (1.12) получаем две группы расчётных формул:

(1.14)

(1.15)

По первой группе расчётных формул (1.14) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком минус суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к левой (от сечения) части стержня.

По второй группе расчётных формул (1.15) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком плюс суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к правой (от сечения) части стержня.

Обе группы расчётных формул эквивалентны (из одной вытекает другая). Поэтому вопрос о том, какой из групп пользоваться, решается исходя из соображений простоты и удобства рассмотрения конкретной задачи. В частности, если заранее из уравнений равновесия для стержня в целом определены реакции всех внешних связей (статически определимая задача), то тогда одних уравнений (1.14) достаточно, чтобы найти значения всех внутренних усилий. При этом уравнения (1.15) можно использовать для проверки правильности полученного результата. Конечно, можно поступить и наоборот: найти по уравнениям (1.15) внутренние усилия и проверить результат подстановкой в уравнения (1.14).



1.8 Закон Гука при растяжении

По определению относительная деформация стержня равна

,

где , - первоначальная и текущая длина стержня соответственно.

Если удлинение стержня вызвано действием растягивающих нормальных напряжений , то относительная деформация

называется силовой деформацией (рис. 1.10, а). Если удлинение стержня вызвано изменением температуры , то деформация

называется температурной деформацией (рис. 1.10, б).

Рис. 1.10. Силовая (а) и температурная (б) деформации



В общем случае удлинение стержня происходит за счёт действия приложенных нагрузок и изменения температуры. Поэтому

. (1.16)

Как показывает опыт, силовая деформация стержня (рис. 1.10, а) пропорциональна действующим напряжениям , а температурная деформация стержня (рис. 1.10, б) пропорциональна приращению температуры :

, . (1.17)

Постоянная называется модулем Юнга (модулем растяжения или модулем упругости первого рода), постоянная - температурным коэффициентом линейного расширения. Для углеродистых сталей при комнатной температуре модуль Юнга и коэффициент линейного расширения имеют следующий порядок величины: 210¹¹ Па, 1210-⁶ К-¹.

Подставляя (1.17) в (1.16), имеем

(1.18)

. (1.19)

Равенство (1.19), как и эквивалентное ему равенство (1.18), носит название закона Гука при растяжении.

К примеру, если оба конца стержня закреплены, то его длина неизменна, а деформация . Тогда по формуле (1.16) при нагревании (охлаждении) стержня силовая деформация равна и противоположна по знаку тепловой деформации:

.

Согласно (1.19) возникающие при этом напряжения равны

.

Следовательно, когда приращение температуры , в стержне действуют сжимающие напряжения: . Напротив, в случае в стержне возникают растягивающие напряжения: .

1.9 Закон Гука при сдвиге

Рассмотрим куб со стороной , на верхней грани которого действуют равномерно распределённые касательные напряжения интенсивностью (рис. 1.11, а). Для того чтобы главный вектор системы внешних сил был равен нулю, к нижней грани должны быть приложены противоположно направленные касательные напряжения той же интенсивности. С другой стороны, оба усилия, действующие на верхней и нижней гранях, представляют собой пару сил с моментом . Для уравновешивания к левой и правой граням должны быть приложены равномерно распределённые касательные напряжения интенсивностью , которые создают пару сил с противоположным по направлению моментом . Из условия равновесия получаем

. (1.20)



Соотношение (1.20) известно под названием закона парности касательных напряжений. Более точная его формулировка имеет следующий вид: составляющие касательного напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой и перпендикулярны линии пересечения этих площадок.

Рис. 1.11. Напряжённо-деформированное состояние при чистом сдвиге

Под действием касательных напряжений грани параллелепипеда, свободные от напряжений и имевшие первоначально форму квадрата, превращаются в ромб (рис. 1.11, б). Иными словами, рёбра не меняют своей длины, а соответствующие прямые углы искажаются. Поэтому деформация чистого сдвига заключается в изменении первоначально прямых углов.

Грань, находящуюся в условиях чистого сдвига, удобно повернуть так, чтобы одна из её сторон совпала со стороной квадрата, представляющего начальное недеформированное состояние этой грани. Благодаря этому шагу можно добиться большей наглядности (рис. 1.11, в). Угол называется углом сдвига.

Как учит опыт, в пределах упругости связь между углом сдвига и касательным напряжением носит линейный характер:

. (1.21)

Постоянная , имеющая размерность напряжения, называется модулем сдвига (модулем упругости второго рода). Для углеродистой стали

.

У изотропных тел изменение температуры не приводит к скашиванию граней куба, поэтому деформация сдвига носит чисто силовой характер.

1.10 Гипотеза плоских сечений

В названии техническая теория стержней ударение на термин «техническая» подчёркивает тот факт, что в сопротивлении материалов задачи механики деформируемого твёрдого тела решаются приближёнными методами, основанными на ряде упрощающих предположений (гипотез) о характере напряжённо-деформированного состояния стержней. Благодаря этим гипотезам существенно упрощается вывод расчётных формул, позволяющих судить о прочности, жёсткости и устойчивости разнообразных конструкций и их элементов с приемлемой для практики точностью.

Одной из фундаментальных гипотез, принятием которой сопротивление материалов отличается от теорий упругости и пластичности, является гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли (по имени учёного Якова Бернулли, впервые её высказавшего в 1705 г.).

Гипотеза плоских сечений. Плоские сечения, нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси стержня после деформации.

Обычно данная традиционная формулировка дополняется (явно или неявно) следующим важным уточнением: в процессе деформирования расстояние между точками поперечного сечения не меняется.

С логической точки зрения, принятие гипотезы плоских сечений означает наложение на материал стержня внутренних связей, обеспечивающих абсолютную твёрдость поперечных сечений и неизменность угла между деформируемой осью стержня и его поперечными сечениями. Поэтому напряжения от действия сил реакций указанных внутренних связей накладываются на напряжения от деформации материала стержня. Определить их можно только из уравнений равновесия (движения) тех или иных элементарных объёмов стержня.

Таким образом, в общем случае деформация прямого стержня сопровождается искривлением его оси, называемой изогнутой или упругой осью. При этом согласно гипотезе Бернулли поперечные сечения стержня перемещаются как абсолютно твёрдые плоские фигуры, которые совершают поступательное перемещение вместе со своим центром тяжести и поворачиваются на угол вокруг некоторой оси, проходящей через этот центр (рис. 1.12). Здесь - некоторая фиксированная точка оси недеформированного стержня, взятая за начало координат ; , - радиус-векторы центров тяжести , произвольного поперечного сечения в недеформированном и деформированном состоянии стержня соответственно; - координата точки , - криволинейная координата точки ; , - орты осей и , жестко связанных с сечением. При деформировании стержня оси и занимают новое положение и с направляющими ортами , . Наконец, и - орты касательных к оси (исходной и изогнутой) стержня, совпадающие с ортами нормали , поперечного сечения до и после деформирования:

, .

Забегая вперёд, можно отметить, что в приближении малых перемещений, когда угол поворота достаточно мал, из формулы Эйлера вытекают приближённые равенства

, , . (1.22)

Рис. 1.12. Общий случай деформации стержня

Замечание. Формула Эйлера описывает распределение скоростей в абсолютно твёрдом теле при его вращении с угловой скоростью относительно неподвижной точки (например, центра тяжести тела). За малый промежуток времени тело поворачивается на малый угол , а радиус-вектор произвольной точки тела получает малое приращение . Поэтому . Отсюда, полагая поочерёдно , , , приходим к выражениям (1.22).



2. Математическое моделирование растяжения, кручения и изгиба прямых Стержней с учётом температурных эффектов (малые перемещения)

Полная математическая модель деформирования твёрдого тела включает в себя: 1) систему статических (динамических) уравнений, описывающих равновесие (движение) тела под действием приложенных нагрузок и реакций наложенных связей; 2) систему геометрических уравнений, выражающих деформации через перемещения точек тела; 3) систему физических уравнений, устанавливающих связь между деформациями и возникающими напряжениями.

В дальнейшем, излагая техническую теорию стержней, будем считать все тела линейно упругими, материально однородными и изотропными.

2.1 Статические (динамические) уравнения

Чтобы установить дифференциальные уравнения равновесия, рассмотрим бесконечно малый элемент стержня (рис. 2.1).



Рис. 2.1. Равновесие бесконечно малого элемента стержня

До нагружения стержень имеет длину , после нагружения - длину (рис. 2.1, а). Величина

определяет относительное удлинение элемента оси стержня. Отсюда

. (2.1)



С другой стороны, для элемента оси стержня после деформации имеем

, (2.2)

где - орт касательной к изогнутой оси стержня (рис. 1.12).

В соответствии с правилом о знаках (разд. 1.6) в сечении элемента стержня с центром тяжести действует сила и момент , взятые с обратным знаком (рис. 2.1, б), поскольку для стрежня в целом данное сечение является «правым» сечением. В сечении элемента стержня с центром тяжести , являющимся «левым» сечением для стрежня в целом, действует сила и момент (рис. 2.1, б). Здесь , - бесконечно малые приращения, вызванные действием главного вектора и главного момента внешних сил, приведённых к срединной точке оси элемента стержня (рис. 2.1, б). При равновесии сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки, например точки , должна быть равна нулю:

(2.3)

Отбросив слагаемые второго порядка малости, разделим (2.3) на и примем во внимание (2.2). В результате получим

(2.4)

Здесь

(2.5)

- внешняя сила, приходящаяся на единицу длины деформированного стержня,

(2.6)

- момент внешних сил на единицу длины деформированного стержня.

Если разделить (2.3) на и проделать аналогичные выкладки со ссылкой на (2.1), будем иметь

(2.7)

Здесь уже

(2.8)

- внешняя сила на единицу длины недеформированного стержня,

(2.9)



- момент внешних сил на единицу длины недеформированного стержня. Величины (2.5), (2.6) и (2.8), (2.9) связаны между собой равенствами

, , (2.10)

, .

В случае малых деформаций в (2.7), (2.10) можно пренебречь величиной по сравнению с единицей, так как при упругом деформировании . Для малых перемещений приближённо . С учётом всех этих обстоятельств обе формы уравнений равновесия (2.4), (2.7) принимают одинаковый вид

(2.11)

Причём

, . (2.12)

В приближении (2.12) величину называют распределённой (погонной) силовой нагрузкой, а величину - распределённой (погонной)

моментной нагрузкой без указания на то, к какому состоянию стержня (деформированному или недеформированному) отнесены данные величины.

Чтобы из уравнений статики (2.11) получить уравнения динамики, достаточно воспользоваться принципом Даламбера и добавить к распределённым внешним нагрузкам , распределённые инерционные нагрузки , :

(2.13)

Распределённая инерционная нагрузка - это даламберова сила инерции, приходящаяся на единицу длины стержня. Она может быть определена из цепочки равенств

,

где - плотность материала стержня в недеформированном состоянии, - площадь поперечного сечения, - ускорение центра масс элемента стержня длиной (см. рис. 1.12, рис. 2.1). Значит,

, (2.14)

где , , - компоненты вектора перемещения центра тяжести поперечного сечения стержня (рис. 1.12).

Распределённая инерционная нагрузка - это момент сил инерции, приходящийся на единицу длины стержня:

. (2.15)

По динамическим уравнениям Эйлера, известным из курса теоретической механики, у абсолютно твёрдого тонкого диска с поперечным сечением и длиной тела момент сил инерции в проекциях на его главные центральные оси , , определяется выражениями



где , , - компоненты вектора угловой скорости. Главные моменты инерции тонкого диска , , связаны с осевыми моментами инерции его поперечного сечения , и полярным моментом инерции сечения следующими равенствами:

,

,

.

Применим данные соотношения к элементу стержня бесконечно малой длины (рис. 2.1) и учтём, что (рис. 1.12)

,

где , , - компоненты вектора поворота поперечного сечения вокруг его центра тяжести (рис. 1.12). Благодаря условию малости перемещений приближенно будем иметь

.

Сравнив данное выражение с (2.15), получим

. (2.16)

Если малыми являются не только компоненты вектора поворота , , , но и компоненты вектора угловой скорости , , , то тогда выражение (2.16) упростится и примет вид

. (2.17)

Запишем уравнения равновесия (2.11) в проекциях на оси координат (рис. 2.1). С этой целью воспользуемся разложениями

, ,

, ,

.



В результате получим шесть уравнений относительно шести неизвестных:

, , ,

, , .

Данные уравнения целесообразно разбить на четыре группы:

, (2.18)

, (2.19)

(2.20)

(2.21)

Уравнение (2.18) позволяет решать задачи на растяжение стержня и находить (с точностью до одной постоянной интегрирования) распределение продольной силы по известной погонной осевой нагрузке . Уравнение (2.19) позволяет решать задачи на кручение стержня и находить распределение (с точностью до одной постоянной интегрирования) крутящего момента по известной погонной моментной крутящей нагрузке . Система уравнений (2.20) описывает изгиб стержня в главной плоскости (рис. 2.1) и позволяет находить (с точностью до двух постоянных интегрирования) распределение поперечной силы и изгибающего момента по известным погонным нагрузкам , - поперечной силовой и моментной изгибающей нагрузками. Наконец, система уравнений (2.21) описывает изгиб стержня в главной плоскости (рис. 2.1) и позволяет находить (с точностью до двух постоянных интегрирования) распределение поперечной силы и изгибающего момента по известным погонным нагрузкам , - поперечной силовой и моментной изгибающей нагрузками.

В случае статически определимой задачи значения всех постоянных интегрирования определяются из соответствующих силовых граничных условий, отражающих условия нагружения концов стержня.

В динамических задачах используются уравнения движения

, (2.22)

, (2.23)

(2.24)

(2.25)

которые вытекают из (2.13), (2.14), (2.17). В данном случае одних динамических уравнений (2.22)-(2.25) недостаточно, так как число неизвестных превышает число уравнений. Для решения задачи необходимы дополнительные уравнения.

2.2 Геометрические уравнения

Обратимся к рис. 1.12 и формулам (1.22), (2.1), согласно которым

, , (2.26)

, , , . (2.27)

Отсюда имеем

. (2.28)

С другой стороны, орт касательной изогнутой оси стержня равен

.

Поэтому с учётом (2.26), (2.27)

. (2.29)

Приравняв (2.28) и (2.29), находим

, , (2.30)

. (2.31)

В приближении малых деформаций, когда относительное удлинение элементов оси стержня имеет пренебрежимо малую величину по сравнению с единицей (т. е. ), формулы (2.30) упрощаются:

, . (2.32)

Однако формула (2.31) и в этом случае сохранят свою значимость.

Таким образом, из шести компонент вектора перемещения и вектора поворота независимыми являются только четыре компоненты. В качестве таковых удобно взять компоненты

, , , , (2.33)

каждая из которых отвечает растяжению, изгибу в главной плоскости , изгибу в главной плоскости и кручению стержня соответственно. Остальные две компоненты - углы поворота , , включая относительное удлинение элементов оси , определяются из выражений (2.31) и (2.32), которые можно рассматривать как кинематические ограничения, накладываемые гипотезой плоских сечений на перемещения стержня.

Растяжение. Рассмотрим сначала деформацию чистого растяжения, когда из величин (2.33) только . Записав размерную цепочку (рис. 2.2, а)

,

Получим

.

Значит, при чистом растяжении относительное удлинение материальных отрезков, параллельных оси стержня, одинаково по величине:

. (2.34)

Поэтому при упругом изотермическом растяжении в соответствии с законом Гука (1.19) в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределённые нормальные напряжения (рис. 2.2, б)

. (2.35)

Рис. 2.2. Чистое растяжение стержня

Изгиб в плоскости . Рассмотрим далее деформацию чистого изгиба в главной плоскости , когда из величин (2.33) только (рис. 2.3). Так как , из формул (2.31), (2.1) следует, что

; .

Рис. 2.3. Чистый изгиб в главной плоскости

Значит, элемент оси (рис. 2.3, а) при изгибе сохраняет свою длину, а другие элементарные отрезки, параллельные оси, либо растягиваются, либо удлиняются. Иными словами, глядя на рис. 2.3, а и полагая , имеем

, , ,

, .

Следовательно,

, .

Отсюда получается выражение



, (2.36)

определяющее алгебраическое значение радиуса кривизны изогнутой оси стержня, а также выражение для относительного удлинения материального элемента , параллельного оси стержня (рис. 2.3):

. (2.37)

Из (2.36) следует, что радиус кривизны изогнутой оси стержня имеет положительное (отрицательное) алгебраическое значение, если угол поворота поперечного сечения является возрастающей (убывающей) функцией . Если , то согласно (2.37) при имеет место растяжение, а при - сжатие соответствующего материального элемента.

При изотермическом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, распределённые в соответствии с законом Гука (1.19) и формулой (2.37) по линейному закону (рис. 2.3, б):

. (2.38)

Изгиб в плоскости . Аналогичный результат получается при рассмотрении деформации чистого изгиба в главной плоскости , когда из величин (2.33) только (рис. 2.4). Поскольку , то, как и ранее, . Поэтому при из рис. 2.4, а имеем



, , ,

, .

Следовательно,

, .

Отсюда вытекает выражение для алгебраического значения радиуса кривизны изогнутой оси стержня

, (2.39)

а также выражение для относительного удлинения материального элемента , параллельного оси стержня (рис. 2.4, а):

. (2.40)



Рис. 2.4. Чистый изгиб в главной плоскости

Из (2.39) следует, что радиус кривизны изогнутой оси стержня принимает положительное (отрицательное) алгебраическое значение, если угол поворота поперечного сечения является возрастающей (убывающей) функцией . Если , то в согласии с (2.40) при имеет место сжатие, а при - растяжение соответствующего материального

элемента.

При изотермическом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, распределённые в соответствии с законом Гука (1.19) и формулой (2.40) по линейному закону (рис. 2.4, б):

. (2.41)

Кручение. Рассмотрим чистое кручение, когда из всех величин (2.33) лишь . В этом случае торцы элемента стержня длиной поворачиваются на относительный угол (рис. 2.5, а). За счёт этого на цилиндрической поверхности радиуса наблюдается сдвиговая деформация мысленно нанесённой сетки. Угол сдвига определяется равенством (рис. 2.5, а)

.

Следовательно,

. (2.42)

В соответствии с законом Гука (1.21) в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения (рис. 2.5, б), которые с учётом (2.42) распределены по линейному закону (рис. 2.5, в):

. (2.43)

Рис. 2.5. Кручение стержня



По закону парности касательных напряжений (рис. 2.5, б) такое же распределение касательных напряжений имеет место и в диаметральных плоскостях продольных сечений стержня (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Распределение касательных напряжений при кручении

Нетрудно заметить (рис. 2.5, а), что отрезки длиной , параллельные оси стержня до деформации, после деформации имеют длину

.

Поэтому их относительное удлинение равно

. (2.44)

При упругом деформировании угол сдвига (2.42) крайне мал (для стали порядок максимального значения 10-³ рад). Поэтому величина (2.44) имеет второй порядок малости и ей можно пренебречь по сравнению с относительными удлинениями при растяжении и изгибе.

В общем случае малых перемещений стержня относительное удлинение элементарных отрезков, параллельных оси стержня до деформации, складывается из относительных удлинений при растяжении и изгибе:

. (2.45)

С учётом (2.34), (2.37), (2.40) формула (2.45) принимает вид

. (2.46)

Если же принять во внимание (2.36), (2.39), будем иметь

. (2.47)

В записи формулы (2.47) отражена структура зависимости относительного удлинения от координат точек стержня, являющихся началом бесконечно малых элементов стержня, нормальных к поперечным сечениям, как до деформации, так и после деформации (рис. 2.2, рис. 2.3, а, рис. 2.4, а).

Если привлечь зависимости (2.32), то тогда (2.47) перепишется так:

. (2.48)

Как видим, относительная деформация в данной точке стержня полностью определяется через перемещения точек оси стержня.



2.3 Физические уравнения

Деформации относительного удлинения (2.47) и сдвига (2.42) связаны законом Гука (1.19), (1.21) с нормальными напряжениями и касательными напряжения , действующими в поперечном сечении стержня (рис. 2.7):

, (2.49)

. (2.50)

Рис. 2.7. Нормальные и касательные напряжения в сечении

Располагая выражениями (2.49) и (2.50), можно вычислить внутренние силовые факторы (1.9):

,

,

,

.

растяжение изгиб сопротивление стержень

Здесь принято во внимание, что оси , являются главными центральными осями поперечного сечения стержня (разд. 1.1).

Таким образом, внутренние силовые факторы связаны с геометрическими характеристиками деформации и тепловым расширением стержня следующими определяющими соотношениями:

, , , (2.51)

. (2.52)

Подставив (2.51), (2.52) в (2.49), (2.50), можно выразить распределение нормальных и касательных напряжений в сечении через внутренние силовые факторы:

, (2.53)

. (2.54)

Выражение (2.53) называется трёхчленной формулой Навье. Данная формула вместе с формулами (2.51) составляет основу технической теории прямых стержней произвольного поперечного сечения. По формуле (2.53) нормальные напряжения линейно зависят от координат , точек поперечного сечения стержня.

Рис. 2.8. Типовые поперечные сечения

Формулы (2.52), (2.54), в которые входит полярный момент инерции и полярный радиус , справедливы только для стержней круглого (рис. 2.8, а) и кольцевого (рис. 2.8, б) поперечного сечения. Для остальных видов сечений, например прямоугольного (рис. 2.8, в), коробчатого (рис. 2.8, г), двутаврового (рис. 2.8, д), таврового (рис. 2.8, е), уголкового (рис. 2.8, ж) и т. п., формула (2.52) заменяется формулой

, (2.55)

а скалярная формула (2.54) - векторной формулой

. (2.56)

Здесь - вектор касательных напряжений, - геометрический параметр, называемый моментом инерции сечения при кручении, - некоторая векторная функция. Указанные величины не могут быть определены элементарными методами сопротивления материалов. Данный вопрос решается методами теории упругости. И только для круглого и кольцевого сечений

, .

2.4 Полная система дифференциальных уравнений технической теории стержней

Соберём вместе результаты (2.18)-(2.21), (2.32), (2.51), (2.55), сгруппировав их по типам напряжённо-деформированного состояния стержня.

Растяжение (сжатие) прямого стержня:

, . (2.57)

Кручение прямого стержня:

, . (2.58)

Изгиб прямого стержня в главной плоскости :

, . (2.59)

, , , . (2.60)



При известных внешних силовых нагрузках , , , внешних моментных нагрузках , , и температурном воздействии на стержень система 12 обыкновенных дифференциальных уравнений (2.57)-(2.60) позволяет находить 12 неизвестных величин

(, ; , ; , , , ; , , , ) с точностью до 12 постоянных интегрирования, определяемых из граничных условий.

После этого по соответствующим формулам можно найти распределение нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях стержня.



3. Условия прочности и жёсткости

Напомним, что жёсткость - это способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без значительных упругих деформаций - удлинений стержней, прогибов балок, углов закручивания валов и т. п., которые могут нарушить их нормальную работу. После определения линейных и угловых перемещений делается проверка на жёсткость элементов конструкций или подбираются их сечения из условий жёсткости вида

, , ,

, , .

Допускаемые значения линейных и угловых перемещений , , , , , регламентируются нормами проектирования, устанавливаемыми из условий эксплуатации или опытных данных. Например, в строительстве наибольший прогиб (стрела прогиба) () обычно составляет

,

где - длина пролёта балки.

Под прочностью понимается способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без разрушения и пластических деформаций. Основные конструкционные материалы, применяемые в машиностроении, обладают ярко выраженными пластическими свойствами и одинаково работают как на растяжение, так и сжатие. Поэтому предельным состоянием, которое может нарушить нормальную работу детали или конструкции, является переход из упругого состояния в пластическое состояние в одной из точек детали или конструкции. Данный переход характеризуется некоторым критерием, называемым критерием прочности (в сопротивлении материалов) или условием пластичности (в теории пластичности). В настоящее время наиболее обоснованным экспериментально и теоретически является критерий прочности, традиционно именуемый в сопротивлении материалов как энергетическая (или четвёртая) теория прочности. В теории пластичности тот же самый критерий называется условием пластичности Губера - Мизеса.

Сформулируем указанный критерий прочности в виде, удобном для общего практического использования, и проиллюстрируем его применение для разных случаев напряжённого состояния в стержнях.

3.1 Критерий прочности Губера - Мизеса

Выделим в окрестности точки тела бесконечно малый параллелепипед, рёбра которого параллельны осям декартовой системы координат (рис. 3.1). В общем случае на гранях этого параллелепипеда будут действовать нормальные напряжения , , и касательные напряжения , , , , , (рис. 3.1, а). Из данных величин можно составить матрицу напряжений

, (3.1)

элементы которой называются компонентами тензора напряжений в данной системе координат. По закону парности касательных напряжений

, , .



Поэтому матрица напряжений (3.1) является симметрической:

. (3.2)

У неё только шесть независимых элементов.

Рис. 3.1. Напряжённое состояние в точке тела:

а - общий случай; б - случай всестороннего сжатия

Сумма диагональных элементов любой матрицы называется следом матрицы и обозначается через . Матрица с нулевым следом называется девиатором и обозначается через . Корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы называется её нормой и обозначается как . Например, для матрицы (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Следует подчеркнуть, что все введённые здесь понятия имеют смысл для любой матрицы, а не только для матрицы напряжений.

Величина

(3.5)

называется средним напряжением. Используя единичную матрицу

,

след которой , матрицу (3.2) можно представить в виде

, . (3.6)

Поскольку

,

матрица в (3.6) является девиатором матрицы напряжений. Очевидно, что у матрицы только пять независимых элементов.

При всестороннем сжатии (рис. 3.1, б) матрица напряжений имеет вид

,

где - гидростатическое давление (при всестороннем растяжении ). При этом все элементы девиатора матрицы напряжений (3.6) равны нулю. Как показывает опыт, при таком виде нагружения любой материал деформируется упруго. Поэтому переход в пластическое состояние может произойти только при отличном от нуля девиаторе матрицы напряжений .

По условию пластичности Губера - Мизеса (четвёртой теории прочности)

, (3.7)

где - некоторая постоянная. Когда в (3.7) выполняется строгое неравенство, материал деформируется упруго. Знак равенства соответствует предельному состоянию начала пластического деформирования.

Критерий прочности (3.7) допускает простую геометрическую интерпретацию. Для любого напряжённого состояния в данной точке тела девиатору матрицы напряжений можно поставить в соответствие вектор напряжений с пятью независимыми компонентами, длина которого . Пока приложенные к телу нагрузки таковы, что конец вектора находится внутри сферы радиусом (рис. 3.2, а), имеет место упругое состояние. Когда по мере увеличения приложенных нагрузок конец вектора достигает сферы радиусом (рис. 3.2, б), наступает предельное состояние в данной точке тела.

Рис. 3.2. Интерпретация условия пластичности Губера - Мизеса



Чтобы определить значение постоянной для данного материала, достаточно провести испытания на растяжение (рис. 3.3), при которых

, ,

.

Рис. 3.3. Испытание образца материала на одноосное растяжение

Отсюда получаем

.

Следовательно, для предельного состояния в соответствии с (3.7)

.

С другой стороны, наступление пластического состояния при одноосном растяжении (сжатии) характеризуется пределом текучести :

.



Сравнивая последние два равенства, находим

.

Это позволяет переписать критерий (3.7) в виде

. (3.8)

В сопротивлении материалов левая часть (3.8) называется эквивалентным напряжением , а правая часть - допускаемым напряжением :

, , . (3.9)

В то же время по ряду причин допускаемое напряжение нельзя принимать равным пределу текучести (необходимо иметь некоторый запас прочности на случай возможных перегрузок в процессе эксплуатации, неточного изготовления детали, отклонения свойств применяемого материала от тех свойств, которые установлены при испытании образца и т. д.). Поэтому для пластических материалов принимают следующее значение допускаемого напряжения:

, (3.10)

где - коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести; этот коэффициент всегда больше, чем единица. Например, в строительных машиностроительных конструкциях обычно = 1.5.

Таким образом, в общем случае напряжённого состояния критерий прочности имеет вид

. (3.11)

3.2 Формулировка критерия прочности для частных случаев напряжённого состояния стержня

Для суждения о прочности стержня необходимо знать вид напряжённого состояния в наиболее опасной точке. В общем случае стержень подвергается растяжению (сжатию), кручению и изгибу. При этом в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения от нормальной силы и изгибающих моментов, определяемые формулой Навье (2.53), и касательные напряжения от крутящего момента и перерезывающих сил (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Напряжённое состояние в точке стержня

В данном напряжённом состоянии



, , .

Поэтому

,

где - полное касательное напряжение в сечении

(рис. 3.4). Подставив полученное значение

в общее условие прочности (3.11), будем иметь

. (3.12)

Детализируем условие прочности (3.12) применительно к частным случаям напряжённого состояния, наиболее часто встречающимся на практике. Для упрощения записи конечных выражений введём обозначения

для эквивалентного напряжения в наиболее опасной точке стержня,

, ,

,

для наибольших абсолютных значений продольной (нормальной) силы, крутящего и изгибающих моментов в поперечных сечениях стержня.

Растяжение-сжатие стержня. В данном случае согласно (2.53)

, , .

Поэтому

. (3.13)

Кручение стержня. В данном случае по формуле (2.56)

, , .

Следовательно,

.

Величина



(3.14)

называется моментом сопротивления сечения стержня при кручении.

Поэтому

.

Данное выражение можно переписать в виде

, (3.15)

где

, (3.16)

- модуль полного касательного напряжения в опасной точке и допускаемое касательное напряжение при кручении соответственно.

В случае стержня кругового или кольцевого сечения формулы (3.14), (3.15) принимают следующий вид:

, , (3.17)



где - полярный момент инерции сечения, - радиус наибольшей окружности кольцевого сечения или радиус круга.

...