Основные характеристики сопротивления материалов

Изгиб стержня в главной плоскости . В данном случае по (2.53)

, , .

Поэтому

,

где - модуль координаты наиболее удалённой точки сечения.

Величина

(3.18)

называется моментом сопротивления сечения относительно оси .

Поэтому

. (3.19)

Изгиб стержня в главной плоскости . Пользуясь аналогией с предыдущим случаем, можно сразу записать условие прочности

, (3.20)

где

(3.21)

- момент сопротивления сечения относительно оси , - модуль координаты наиболее удалённой точки сечения.

Растяжение, изгиб, кручение стержня кругового (кольцевого) сечения. В данном случае по формулам (2.53), (2.54), (3.12)

, , .

Благодаря симметрии сечения данные формулы можно упростить, перейдя к новой системе координат (рис. 3.5, а), относительно которой

, , .

Здесь , - результирующий изгибающий момент. На основании этого можно записать

.

Рис. 3.5. К замене системы координат

Нетрудно заметить (рис. 3.5, б), что в поперечном сечении с координатой опасной является точка , в которой складываются нормальные напряжения от действия продольной силы и изгибающего момента . Для данной точки с координатой с учётом (3.17), (3.18) имеем

.

Отсюда получаем искомое условие прочности

. (3.22)



4. Единое представление распределённой нагрузки и характеристик жёсткости стержней через обобщённые функции Дирака и Хевисайда

Рассмотрим одну из типовых схем нагружения прямого стержня распределённой нагрузкой интенсивностью и сосредоточенной силой , которые для простоты изложения и без ограничения общности положим действующими перпендикулярно оси стержня (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема нагружения прямого стержня

В данном случае распределение внешних сил по длине стержня описывается функцией погонной нагрузки , которая складывается из непрерывной функции и некоторой функции , учитывающей действие сосредоточенной силы :

. (4.1)

Поскольку сила приложена в точке , чисто формально имеем

(4.2)



В рамках математического анализа функция вида (4.2) не имеет смысла. Чтобы преодолеть эту трудность, можно пойти по простейшему пути и отказаться от использования единого представления распределённой нагрузки (4.1). Однако такой шаг влечёт за собой ряд неудобств из-за необходимости привлечения искусственных приёмов при решении задач сопротивления материалов. Другой, более продуктивный путь состоит в привлечении достаточно простого и наглядного математического аппарата обобщённых функций, который широко применяется в математической физике, квантовой механике и других дисциплинах для описания точечных масс и зарядов, точечных источников теплоты, сосредоточенных сил и моментов.

4.1 Обобщённые функции Дирака и Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввёл в квантовой механике символ , названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщённой функцией. С физической точки зрения -функция представлялась Дираком как плотность единичного заряда, помещённого в начале координат. Если этот заряд имеет величину , то его линейная плотность (величина заряда на единицу длины)

.

Из физических соображений следует, что символ обладает свойствами

. (4.3)



С математической точки зрения символ со свойствами (4.3) не представляет собой функцию в обычном понимании. В результате сложился некоторый интуитивно ясный формализм в применении -функции Дирака, с помощью которого физиками достаточно просто были исследованы некоторые важные физические явления. Математикам понадобилось несколько десятков лет, чтобы строго обосновать методы, широко используемые физиками.

Не ставя перед собой задачи полного изложения основ теории обобщённых функций, познакомимся с техникой применения обобщённых функций, опираясь на физическое содержание моделируемых явлений.

Дельта-функцию Дирака можно определить соотношением

(4.4)

где - любая непрерывная функция.

Из (4.4) вытекает, что при сдвиге координаты

(4.5)

Действительно, при замене переменной из (4.4) будем иметь

Если в (4.4) положить , придём к соотношениям

, (4.6)

связывающим -функцию Дирака и так называемую единичную функцию Хевисайда (рис. 4.2, а):

(4.7)

Очевидно, что при сдвиге координаты на величину (рис. 4.2, в)

(4.8)

Функция Хевисайда обладает следующими интересными свойствами:

, , (4.9)

т. е. при возведении в любую степень функция Хевисайда остаётся неизменной, при перемножении двух функций Хевисайда результат равен тому сомножителю, у которого сдвиг координаты больше: . В частности, функция Хевисайда безразмерна. Поэтому, как следует из (4.6), размерность -функции Дирака обратна размерности аргумента .



Рис. 4.2. Единичная функция Хевисайда

Исходя из (4.7), можно записать (рис. 4.2, б)

Поэтому

. (4.10)

Дифференцируя (4.10) по и учитывая (4.6), будем иметь

. (4.11)

Равенство (4.11) указывает на чётность -функции Дирака.

Для практических целей чрезвычайно важно, что обобщённую

-функцию Дирака можно представить как предел последовательности некоторых «хороших» функций, которые называются дельтообразными последовательностями.

Самой простой является последовательность вида (рис. 4.3, а)

. (4.12)

Действительно, для любой непрерывной функции при

,

а при

,

где по интегральной теореме о среднем . Устремляя теперь положительное число к нулю, приходим к равенству

Следовательно,

.

Данное предельное равенство обеспечивается благодаря тому, что при любом площадь каждого прямоугольника равна единице (рис. 4.3, а).



Рис. 4.3. Возможные представления -функции Дирака

Чуть более сложной является последовательность вида (рис. 4.3, б)

(4.13)

Так как площадь каждого треугольника равна единице при любом (рис. 4.3, б), легко убедиться в справедливости равенства

которое означает, что

.

Дельтообразных последовательностей, подобных (4.12) и (4.13), существует бесконечно много. Каждую из них можно использовать для представления сосредоточенной силы (или сосредоточенного момента) при проведении численных расчётов на ЭВМ. Делается это следующим простым способом.

Рассмотрим равномерно распределённую на отрезке погонную нагрузку (рис. 4.4, а)

(4.14)

Используя дельтообразную последовательность (4.12), распределение (4.14) можно представить в виде

. (4.15)

Переходя в (4.15) к пределу , получаем

. (4.16)



Это и есть математическое представление распределённой нагрузки от действия сосредоточенной силы. В векторной форме (4.16) можно записать так:

, (4.17)

где - орт оси . Если сила приложена не в начале координат, а в другой точке с координатой (рис. 4.4, б), то тогда соответствующее распределение получается из (4.17) простым сдвигом:

.

Рис. 4.4. Представление сосредоточенной силы в виде равномерно распределённой нагрузки

Рис. 4.5. Представление сосредоточенной силы в виде линейно распределённой нагрузки

Заметим, что в (4.15), (4.16) функция играет вспомогательную роль. Вместо неё можно использовать любую другую дельтообразную последовательность, например (4.13). В последнем случае надо рассмотреть нагрузку, распределённую в виде равнобедренного треугольника площадью (рис. 4.5):

Если переписать (4.13) эквивалентным образом

то тогда будем иметь

.

Переходя к пределу , получаем

,

что совпадает с представлением (4.16).

Рис. 4.6. К представлению сосредоточенной силы в виде поверхностной и объёмной распределённой нагрузки

Замечание. До сих пор рассматривалась распределённая нагрузка, приходящаяся на единицу длины. Если сила приложена в точке на грани параллелепипеда, то она может быть представлена в виде распределённой нагрузки, приходящейся на единицу площади (рис. 4.6):

.

Соответственно, сосредоточенная сила , приложенная в некоторой внутренней точке параллелепипеда, может быть представлена в виде нагрузки, распределённой по объёму (рис. 4.6):

,

где - радиус-вектор произвольной точки пространства, - радиус-вектор точки .



4.2 Табличные интегралы и их практическое применение

При решении задач сопротивления материалов достаточно располагать двумя табличными интегралами, содержащими обобщенные функции Дирака и Хевисайда:

, (4.18)

, (4.19)

где - некоторая непрерывная функция, , . Справедливость (4.18), (4.19) вытекает из (4.5), (4.8):



Рис. 4.7. Пример представления активной распределённой нагрузки

Приведём пример вычисления интегралов, содержащих обобщённые функции Дирака и Хевисайда. Глядя на рис. 4.7, а, можно записать

или в развёрнутом виде

. (4.20)

Последние два слагаемых в (4.20) можно интерпретировать как продолжение действия равномерно распределённой нагрузки интенсивностью до конца стержня и одновременное добавление нагрузки с интенсивностью обратного знака , которая, чтобы ничто не изменилось, равномерно распределена на крайне правом участке стержня (рис. 4.7, б).

Вычисляя интеграл от (4.20) с учётом (4.18) и (4.19), получим

или в развёрнутом виде

Для полноты общей картины возьмём повторный интеграл:

.

В развёрнутом виде данное выражение предстанет так:

Во всех этих выражениях нетрудно усмотреть простую закономерность.

4.3 Формулировка силовых граничных условий

Для решения практических задач система дифференциальных уравнений технической теории стержней (разд. 2.4) должна быть дополнена силовыми и геометрическими (кинематическими) граничными условиями, отражающими условия закрепления стрежня и условия нагружения на его концах.

Возможны два варианта записи силовых граничных условий:

1. Если силы и моменты, приложенные к концам стержня, включаются в выражения погонных силовых и моментных нагрузок , , и , , , то во всех задачах силовые граничные условия являются однородными, т. е.

, , , , , ;

, , , , , .

2. Если силы и моменты, приложенные к концам стержня, не включаются в выражения погонных нагрузок , , и , , , то тогда в каждой задаче имеют место свои силовые граничные условия вида

(4.21)

(4.22)



Здесь , , - компоненты внешней силы , а , , - составляющие момента внешних сил , приложенных к левому концу стержня . Соответственно, , , - компоненты внешней силы , а , , - составляющие момента внешних сил , приложенных к правому концу стержня . Наличие знака минус в (4.21) и его отсутствие в (4.22) является следствием ранее принятого соглашения о знаках внутренних силовых факторов для «левой» и «правой» сторон одного и того же поперечного сечения стержня (разд. 1.7) и интегральных уравнений равновесия (1.14), (1.15).

Оба варианта записи силовых граничных условий абсолютно равноправны, выбор того или иного варианта определяется соображениями простоты. Так, первый вариант записи удобен при выводе энергетических соотношений. Второй вариант записи граничных условий удобен при интегрировании системы дифференциальных уравнений (2.57)-(2.60).



5. Типовые примеры решения задач сопротивления материалов

Проиллюстрируем применение универсального метода решения задач сопротивления материалов с использованием обобщённой функции Дирака и единичной функции Хевисайда на нескольких типовых примерах, расположенных по мере возрастания их сложности.

5.1 Расчёт балки на изгиб

Порядок записи силовых граничных условий (4.21), (4.22) поясним на примере решения статически определимой задачи изгиба стержня постоянной жёсткости (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Изгиб стержня постоянной жёсткости

Предварительно определим реакции опор. Для этого запишем уравнение равновесия в проекции на ось и уравнение моментов относительно точки :

, .

Отсюда находим

, .

Изгиб стержня описывается системой уравнений (2.59):

, , , , (5.1)

которые следует дополнить силовыми граничными условиями

, , , ,

и кинематическими граничными условиями

, . (5.2)

Согласно рис. 5.1 внешние погонные нагрузки равны

, .

Интегрируя первое уравнение (5.1) от нуля до , имеем

.

Подставляя выражение для во второе уравнение (5.1), находим

.

Затем, подставив значение в третье уравнение (5.1), получаем

. (5.3)

Наконец, подставляя значение в последнее уравнение (5.1), имеем

. (5.4)

Чтобы отыскать постоянные интегрирования , - прогиб и угол поворота поперечного сечения левого конца стержня, обратимся к кинематическим граничным условиям (5.2):

,

.

Решая данную систему двух алгебраических уравнений, находим

, .

В результате выражения (5.3), (5.4) для углов поворотов и прогибов полностью определённы.

5.2 Расчёт ступенчатых стержней на растяжение

Порядок расчёта ступенчатых стержней, поперечные сечения которых меняются скачкообразно, рассмотрим на примере решения статически определимой задачи изотермического растяжения стержня (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Растяжение ступенчатого стержня

Растяжение стержня описывается системой уравнений (2.57):

, . (5.5)

которые следует дополнить силовым граничным условием

(5.6)

и кинематическим граничным условием

. (5.7)

Второе силовое граничное условие содержит подлежащую определению реакцию опоры :

.

Согласно рис. 5.2 внешняя погонная нагрузка равна

.

Отсюда с помощью первого уравнения (5.5) и граничного условия (5.6) находится распределение продольной силы

.

Жесткость ступенчатого стержня изменяется по закону (рис. 5.2)



С использованием функции Хевисайда это выражение принимает вид

.

Аналогичным выражением описывается и податливость стержня:

.

Отсюда с учётом (4.9) получаем

.

Подставляя данное выражение во второе уравнение (5.5), находим

.

Постоянную интегрирования - осевое смещение поперечного сечения левого конца стержня - можно определить из граничного условия (5.7):

.



Следовательно,

.

5.3 Расчёт разрезной балки на изгиб

Рассматриваемый метод решения задач сопротивления материалов охватывает также случай составного стержня, отдельные части которого связаны между собой внутренними связями типа шарнирного соединения, подвижной заделки и т. п. Порядок решения данного типа задач проиллюстрируем на примере разрезной постоянной жёсткости балки, работающей на изгиб (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Изгиб разрезной балки постоянной жёсткости

Изгиб сплошной балки в плоскости описывается системой уравнений (2.59). Если балка содержит один или несколько врезанных шарниров, то нужно внести изменение в третье уравнение (2.59), записав его в виде

. (5.8)



Здесь - число врезанных шарниров;

(5.9)

- скачок угла поворота поперечного сечения балки при переходе через врезанный шарнир, положение которого (в недеформированном состоянии) определяется координатой . При решении задачи величины (5.9) заранее неизвестны, их численное значение определяется с помощью дополнительных ограничивающих условий

, (5.10)

накладываемых на изгибающий момент в сечениях .

В рассматриваемой задаче (рис. 5.3) изгиб разрезной балки с врезанным шарниром описывается системой уравнений

, , , . (5.11)

Внешние погонные нагрузки равны

, . (5.12)

Кинематические и силовые граничные условия имеют вид

, , , . (5.13)

К ним нужно добавить ограничение

. (5.14)

Пяти соотношений (5.13), (5.14) достаточно, чтобы определить пять неизвестных величин , , , , .

Проинтегрируем первые два уравнения (5.11) с учётом (5.12), (5.13). В результате получим

, . (5.15)

Отсюда на основании (5.14) имеем

или

.

Это позволяет переписать (5.15) в виде

, . (5.16)

Подставим (5.16) в третье уравнение (5.11) и проведём интегрирование:

. (5.17)

В свою очередь, подстановка (5.17) в последнее уравнение (5.11) и последующее интегрирование с учётом (5.13) даёт следующий результат:

. (5.18)

Наконец, воспользуемся двумя последними граничными условиями (5.13). На основании (5.17), (5.18) будем иметь

,

.

Решая систему алгебраических уравнений

Находим

, .

Таким образом, задача решена полностью

Размещено на Allbest.ru

...