Линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений в задачах идентификации диссипативных механических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Зотеев Владимир Евгеньевич

Самара - 2009

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

Научный консультант: - доктор физ.-мат. наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты: - доктор физ.-мат. наук, профессор

Жданов Александр Иванович

- доктор технических наук, профессор

Кораблин Михаил Александрович

- доктор технических наук, профессор

Семушин Иннокентий Васильевич

Ведущая организация: Южный федеральный университет,

г. Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится 28 декабря 2009 года в ___ часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: 443010, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус, на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.03.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Автореферат разослан ________ 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д 212.217.03Губанов Н.Г.

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Важнейшей проблемой в машиностроении является проблема идентификации нелинейных диссипативных механических систем в процессе их эксплуатации или прочностных промышленных испытаний. Это объясняется тем, что основным диагностическим признаком технического состояния диссипативной механической системы являются ее динамические характеристики (ДХ), в том числе показатель нелинейности системы. Результаты многочисленных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием различного рода механических систем (например, усталостным разрушением материалов, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением недопустимых люфтов в узлах конструкций, значительным износом контактирующих поверхностей, технологическим браком при сборке и т.п.) и ее динамическими характеристиками.

Решить задачу повышения достоверности и оперативности определения ДХ диссипативной системы можно только на основе новых математических моделей, описывающих результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы и ориентированных на современный уровень компьютеризации исследований и применение статистических методов обработки экспериментальных данных.

Проблема построения таких моделей неразрывно связана с проблемой адекватности математического описания динамического процесса на выходе колебательной системы. Ее решению посвящены фундаментальные труды выдающихся математиков 18 века Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, заложивших основы математического описания колебательных систем с конечным числом степеней свободы, а также работы ученых советской школы И.И. Артоболевского, А.Н. Боголюбова, В.В. Болотина, Ю.А. Митропольского, Я.Г. Пановко и др. Большой вклад в развитие математического описания распределенных колебательных систем, рассеяние энергии в которых вызвано внутренними процессами в материале, в теорию и практику моделирования вязкоупругого поведения материалов и гистерезисных явлений при циклическом деформировании, внесли ученые Н.Н. Давиденков, Г.С. Писаренко, Е.С. Сорокин, В.Т. Трощенко, Я.Г. Пановко и др. Построению математических моделей, описывающих кинетику твердых реологических тел, деформация которых является необратимой и описывается кривой ползучести, посвящены работы профессоров Ю.П. Самарина, В.П. Радченко.

В настоящее время существуют различные подходы и способы определения динамических характеристик механической колебательной системы. Среди них лидирующее место занимают высокоэффективные методы вибродиагностики, ориентированные на применение современных средств и алгоритмов вычислений и обработки информации, например, методы цифрового спектрального анализа, методы корреляционного анализа. Основу этих методов составляют стохастические параметрические модели временных рядов. Разработке и исследованию этих моделей, а также вопросам эффективного оценивания параметров моделей по результатам наблюдений, посвящены работы зарубежных ученых Т.В. Андерсена, Дж. Е. П. Бокса, Г.М. Дженкинса, Д.Г. Ваттса, М.Дж. Кендалла, С.Л. Марпла-мл., Р.Л. Кашьяпа, А.Р. Рао, С.М. Кей и др., а также работы В.С. Пугачева, А.И. Жданова, О.А. Коцюба и др.

Однако область применения этих методов функционально ограничена и исключает задачи, в которых основным диагностическим признаком технического состояния механической системы является характеристика рассеяния колебательной энергии, в том числе характеристика нелинейности диссипативной силы. Такие задачи возникают, в частности, при разработке гидравлических амортизаторов, исследованиях конструкционного демпфирования, то есть демпфирования, обусловленного потерями на трение в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, резьбовых, шлицевых и т.п.), или внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании.

Широко применяемые на практике методы определения характеристик рассеяния энергии колебаний различных механических конструкций и демпфирующих свойств материалов совершенно не вписываются в формат современных информационных технологий, применяемых в вибродиагностике. Как правило, эти методы громоздки, нередко требуют графических построений, применяемые алгоритмы вычислений построены на линеаризованных детерминированных моделях и используют минимально необходимое число точек эксперимента при полном отсутствии процедур, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений. Попытки преодолеть эти существенные недостатки на основе разностных уравнений можно найти в работах В.А. Кармалита, В.К. Семенычева, А.Н. Тырсина и др. Однако для принципиально нелинейных диссипативных механических систем задача определения их параметров на основе линейно-параметрических дискретных моделей решена до конца не была.

Таким образом, необходимость коренного улучшения качества машиностроительных конструкций требует разработки и применения при диагностике технического состояния большого класса МС новых высокоточных, оперативных методов определения динамических характеристик, в том числе характеристик нелинейности механической системы как диагностического признака ее технического состояния, методов, соответствующих современному уровню компьютеризации и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и механизмах. Основой разработки таких методов могут стать стохастические параметрические модели временных рядов, описывающие результаты наблюдений мгновенных значений динамического процесса на выходе системы при типовых тестовых воздействиях.

Объектом исследования диссертации являются нелинейные диссипативные механические системы с одной и несколькими степенями свободы, а также с распределенными параметрами, к которым относятся, например, конструкционные материалы. Рассматриваются системы с диссипативными силами, пропорциональными n- степени скорости движения, в том числе системы с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также системы с гистерезисным трением.

Предметом исследования являются математические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений динамического процесса на выходе диссипативной механической системы, а также численный метод определения динамических характеристик диссипативной механической системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений.

Целью диссертационной работы является разработка нового научного подхода к решению проблемы идентификации диссипативных механических систем, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы.

Для достижения поставленной цели автором были поставлены и решены следующие взаимосвязанные научные задачи:

- разработка теоретических основ и принципов построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

- формирование класса и систематизация линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативной механической системы;

- разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения, позволяющего обеспечить высокую помехозащищенность оценок за счет эффективного использования статистических методов обработки экспериментальных данных;

- анализ и оценка погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений, в том числе исследование устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

- разработка и исследование эффективности структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

- разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычислений динамических характеристик и предназначенного для использования в физических экспериментах.

Научная новизна работы заключается в новизне научного подхода к решению проблемы параметрической идентификации диссипативной механической системы в процессе ее эксплуатации или в различных физических экспериментах.

В работе получены следующие новые научные результаты:

- разработан новый научный подход к решению задачи определения динамических характеристик нелинейной диссипативной механической системы;

- разработаны основы теории и техники построения линейно-параметрических моделей, связывающих дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

- построены и систематизированы в зависимости от типа нелинейности системы и вида тестового воздействия линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся от известных своей структурой и тем, что коэффициенты этих моделей известным образом связаны с динамическими характеристиками системы;

- разработан численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, новизна которого заключается в том, что задача вычисления параметров диссипативной системы сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов разностного уравнения;

- разработаны структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок, в основе которых лежат модифицированные линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся наличием параметра, который позволяет обеспечить высокую устойчивость вычислений;

- построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций, и на их основе разработаны высокоточные алгоритмы определения параметров кривой ползучести для нового класса задач оценки индивидуальной надежности механических систем;

- построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными n- степени скорости движения, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, лежащие в основе новых численных методов вычисления диссипативных характеристик системы по огибающей амплитуд колебаний;

- разработаны новые специализированные устройства для измерения различных диссипативных характеристик (декремента колебаний, показателя затухания) в системах с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, отличающиеся от аналогов более высокой точностью.

Научная новизна полученных результатов подтверждается пятью авторскими свидетельствами на изобретение.

Научная значимость работы. В диссертации разработан принципиально новый научный подход к решению задачи параметрической идентификации диссипативных механических систем, ориентированный на применение современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных и позволяющий решить важную научно-техническую проблему. Основу подхода составляют линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений, и новый численный метод определения параметров диссипативной системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Предлагаемый метод параметрической идентификации на основе разностных уравнений имеет существенно более широкую область применения, чем класс диссипативных механических систем. Он может быть эффективно использован при решении задач параметрической идентификации электрических и электротехнических систем, биологических, химических, экономических систем и т.п.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе, являются методологической базой для разработки новых линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты измерений динамических и иных процессов на выходе систем различной физической природы. Предлагаемый численный метод определения параметров системы, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяет практически обеспечить максимальную адекватность модели экспериментальным данным при использовании среднеквадратичного критерия близости.

Объект исследования принадлежит множеству различных по сложности, физической природе, служебному назначению и областям применения механических систем, которое в совокупности может быть описано классом нелинейных диссипативных систем. Например, конструкционные материалы, шарнирные и формально неподвижные соединения, различного рода демпфирующие и амортизирующие устройства, газотурбинные двигатели и их отдельные элементы и т.п. Поэтому область применения нового разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения не ограничена каким-либо одним типом механической конструкции, а охватывает экспериментальные исследования всего многообразия объектов машиностроения: от оценки внутреннего трения конструкционных материалов до диагностики технического состояния ответственных механических устройств и т.п. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Применение разработанных методов определения параметров механической системы на основе разностных уравнений обеспечивает существенное повышение точности вычисления диссипативных характеристик, а, следовательно, и достоверности оценки технического состояния механической системы. При этом по сравнению с известными методами определения параметров диссипативной системы по огибающей амплитуд колебаний или по резонансной кривой точность оценивания повышается в среднем на порядок. Применение итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет за счет устранения смещения уменьшить погрешность оценок по сравнению с известными алгоритмами вычислений в несколько раз.

Построенные модели позволяют с высокой точностью оценить показатель нелинейности механической системы, который является важнейшим диагностическим признаком ее технического состояния, что существенно расширяет функциональные возможности разработанного метода определения параметров диссипативной системы. Применение линейно-параметрических дискретных моделей обеспечивает высокую оперативность получения оценок диссипативных характеристик (за несколько периодов колебаний), что позволяет использовать разработанные алгоритмы в задачах управления в режиме реального времени (online).

Таким образом, научные результаты, представленные в работе, позволяют коренным образом изменить способы вычисления диссипативных характеристик при оценке технического состояния механической системы за счет внедрения в практику вибродиагностики диссипативных систем современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных. Экономический эффект от внедрения программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы вычислений, достигается за счет повышения быстродействия и достоверности оценивания технического состояния механической системы в процессе ее эксплуатации или промышленных испытаний.

Основные положения, выносимые на защиту:

- теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных и иных физических системах;

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативных механических систем при различных показателях нелинейности, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также систем с гистерезисным трением;

- новые структурные соотношения во временной области между ординатами колебаний, коэффициентами разностного уравнения и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

- численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений динамического процесса на выходе системы;

- структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

- численный метод определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций;

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний и численный метод определения диссипативных характеристик на их основе.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовался системный подход к решаемой проблеме, в том числе методы математического и функционального анализа, аналитические и численные методы линейной алгебры, методы прикладного регрессионного анализа, статистические методы обработки результатов эксперимента, а также методы решения некорректных задач и методы, использующие z- преобразования. С целью верификации теоретических результатов широко использовались методы численного и компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущений и гипотез, сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений, численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей, численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей. Справедливость выводов относительно адекватности построенных математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов вычислений подтверждена результатами промышленных и научно-технических экспериментов.

Реализация результатов исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

- при выполнении научно-исследовательской работы (НИР) «Разработка аналитических методов решения двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести», проводимой в СамГТУ по заданию Федерального агентства по образованию (Рособразование) (НИР №521/08);

- при выполнении аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», РНП 2.1.1/745;

- при выполнении НИР «Разработка методов и средств оценки состояния деталей машин, остаточного ресурса и технологических процессов формоизменения», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01.9.20.005773, Куйбышев, 1991);

- при выполнении НИР «Программное и приборное обеспечение прогнозирования и технологические методы предотвращения отказов», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01880016028, Куйбышев, 1990);

- при выполнении НИР «Разработка методов и программ оперативного определения динамических характеристик лопаток в прочностных испытаниях», проводимой для Куйбышевского моторного завода НПО «Труд» (х. д. №43/88, Куйбышев, 1990);

- при выполнении НИР «Доработка и передача алгоритмов и программ измерения параметров экспоненциально-синусных импульсных сигналов», проводимой в составе темы «СНОП-К» для предприятия п/я Р-6856 (договор на передачу научно-технических достижений 13П-86, Вильнюс, 1986);

- при выполнении НИР «Разработка методов и средств диагностирования силовых элементов ВПУ. Разработка методов диагностирования ВПУ для эксплуатации по техническому состоянию», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01830060143, Куйбышев, 1985);

- в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке студентов специальности 01.05.01 «Прикладная математика и информатика» в лекционных курсах по дисциплинам «Численные методы» и «Прикладной регрессионный анализ», а также в курсовых и выпускных квалификационных работах.

Реализация результатов научных исследований подтверждается справками и актами внедрения, представленными в приложении к диссертации.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях, симпозиумах, конгрессе и съезде, в том числе: Шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2009; IV Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» - Екатеринбург, 2009; Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» - Ульяновск, 2009; Пятой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2008; V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» - Екатеринбург, 2008; XVI Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» - Пермь, 2007; Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2007; XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды Международной конференции) - Саратов, 2007; Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2007; Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» - Санкт-Петербург, 2007; Научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Самара, 2007; Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Йошкар-Ола, 2006; Научно-технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006)» - Самара, 2006; Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика» - Челябинск, 2006; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике - Нижний Новгород, 2006; Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Санкт-Петербург, 2005; Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2005; Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2004; Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2004; Четвертом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2003; Тринадцатой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2003; Десятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2000; Девятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1999; Восьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1998; Седьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1997; Шестой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1996; Конференции ученых России и стран Европы «Надежность механических систем» - Самара, 1995; Пятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1995; Семинаре «Новые методы и средства виброакустических исследований и диагностики» - Ленинград, 1990; Первой Всесоюзной школе-конференции «Математическое моделирование в машиностроении» - Куйбышев, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях» - Севастополь, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения» - Куйбышев, 1989; Всесоюзной научно-технической конференции «Эксплуатационная надежность машин, роботов и модулей гибких производственных систем» - Свердловск, 1987; X Всесоюзной научно-технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» - Куйбышев, 1985.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 113 научных работах, в том числе в 1 монографии, 36 научных работах, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций, в 46 статьях, 25 тезисах докладов и 5 авторских свидетельствах на изобретение.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованных источников, содержащего 206 наименований. Основная часть диссертационной работы содержит 400 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков и 52 таблиц.

2. Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, формулируются цель и основные задачи работы, кратко характеризуются научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится обзор известного математического описания колебаний диссипативных механических систем, рассматриваются их динамические характеристики, анализируются известные методы определения динамических характеристик и на основе систематизации результатов анализа формулируются научно-техническая проблема, цель и задачи диссертации. Указываются пути решения этих задач в рамках последовательной реализации основных этапов схемы математического моделирования и на основе современных компьютерных технологий.

В п. 1.1 кратко описываются известные математические модели колебаний диссипативных механических систем, в основе построения которых лежит общее уравнение динамики Даламбера-Эйлера, представляющее в дифференциальной форме вариационный принцип механики. При математическом описании колебательных систем обычно используется совокупность уравнений Лагранжа, выражающих интегральный принцип аналитической механики (принцип Гамильтона). С учетом диссипативных сил уравнения Лагранжа можно представить в виде , , где и - кинетическая и потенциальная энергии системы; - диссипативная функция Релея; - обобщенные силы (коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы); и - обобщенные координаты и скорости системы; - число степеней свободы.

В основе построения математических моделей, описывающих колебания нелинейных диссипативных систем с конечным числом степеней свободы лежит матричное дифференциальное уравнение относительно обобщенных координат



где и - матрицы коэффициентов инерции и упругости; , , - вектор-функция диссипативных сил; и - вектора размерностью s обобщенных координат и внешних возмущающих сил, соответственно; s - число степеней свободы системы. При математическом описании распределенных диссипативных колебательных систем используются аналогичные матричные дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие диссипативный оператор, вид которого существенно зависит от модели силы трения, действующей в системе.

При малой диссипации энергии колебаний механическая система является квазилинейной и при выполнении соответствующих условий можно принять гипотезу Базеля, т.е. пренебречь диссипативными связями между собственными формами и считать диссипативную матрицу диагональной. Это означает, что при указанных ограничениях математическая модель диссипативной механической системы может быть представлена системой скалярных, нелинейных в общем случае, дифференциальных уравнений вида , где m и с - масса и коэффициент жесткости; - линейная сила упругости (восстанавливающая сила); - внутренняя, в общем случае нелинейная, диссипативная сила (сила трения), обуславливающая рассеяние энергии колебаний на данной собственной частоте; - внешнее возбуждающее воздействие.

В зависимости от природы диссипативных сил (внутреннее трение в материале, конструкционное трение в опорах, шарнирах, сочленениях, силы сопротивления жидкой и газообразной среды, силы, возникающие с нагружением поглотителей энергии и т.п.) различают частотно-зависимое и гистерезисное трение. При частотно-зависимом трении (например, в различных демпфирующих устройствах), как правило, полагают, что диссипативные силы пропорциональны n-ной степени скорости движения: , а дифференциальное уравнение, описывающее движение таких систем, имеет вид:

(1)

При n = 0, 1 и 2 имеем уравнения, описывающие важнейшие для практики частные случаи движения систем с кулоновым (сухим), линейно-вязким и турбулентным (гидродинамическим) трением. При описании закона изменения силы гистерезисного трения в режиме свободных или вынужденных гармонических колебаний системы обычно отдают предпочтение эллиптической форме петли гистерезиса: . Решения соответствующих дифференциальных уравнений обычно строят методом энергетического баланса или на основе асимптотических разложений по малому параметру. В частности, известное приближенное решение уравнения (1) при , описывающее свободные колебания нелинейной диссипативной механической системы с силой трения, пропорциональной n-ной степени скорости движения, имеет вид:

.(2)

В этом же разделе первой главы описываются основные динамические характеристики диссипативной системы, которые могут служить диагностическим признаком ее технического состояния, а также известные методы определения параметров диссипативных систем по результатам наблюдений, полученным в процессе эксплуатации системы или прочностных промышленных испытаний.

В п. 1.2 проводится анализ эффективности применения в задачах параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем методов на основе стохастических разностных уравнений. По результатам проведенных исследований делаются выводы и отмечается основной принципиальный недостаток этих методов, который заключается в использовании линеаризованных моделей механической системы. Это является источником значительной систематической погрешности в оценках динамических характеристик, связанной с неадекватностью модели, что для систем с сильной нелинейностью вообще не допустимо. Более того, существенно ограничивается область применения этих методов, т.к. они не позволяют оценить степень нелинейности действующих в системе сил трения, то есть практически бесполезны при оценке одного из основных диагностических признаков технического состояния диссипативной системы.

В п. 1.3 рассматриваются перспективы решения задачи повышения помехоустойчивости и расширения функциональных возможностей методов оценки параметров диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Пути решения поставленной задачи конкретизированы с помощью схемы методологической обеспеченности экспериментальных исследований, в основу которой положена систематизация математических моделей по форме их представления, режимам функционирования и природе сил трения. Завершая анализ возможных путей решения поставленной задачи, выделяются основные этапы в разработке новых методов определения параметров нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей (рис. 1).

Вторая глава посвящена построению линейно-параметрических дискретных моделей (ЛПДМ), связывающих в виде рекуррентной формулы последовательность нескольких дискретных значений функциональной зависимости, описывающей колебаний диссипативной механической системы при различных законах силы трения и типовых тестовых воздействиях. С этой целью в данной главе разрабатывается математическое описание динамических процессов в нелинейных диссипативных системах при типовых тестовых воздействиях из класса монотонных функций; строятся математические модели огибающей амплитуд колебаний нелинейных диссипативных систем; рассматриваются математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей; формируется класс линейно-параметрических дискретных моделей, систематизированных в зависимости от типа диссипативной силы, режима функционирования системы (типового тестового воздействия) и функций, аппроксимирующих тренд.

В п. 2.1 описываются различные типовые тестовые воздействия, используемые в практике эксперимента; строится модель гистерезисной силы трения при колебаниях с аддитивной монотонной составляющей. На основе метода энергетического баланса построены решения квазилинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамический процесс в системах с диссипативной силой, пропорциональной n-ной степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением при воздействиях из класса монотонных функций. Так для систем с частотно-зависимым трением решение имеет вид

,



Рисунок 1 - Схема решения задачи параметрической идентификации диссипативных механических систем на основе разностных уравнений в формате триады: математическое моделирование-численные методы-комплексы программ

где декремент колебаний, соответствующий нулевому моменту времени, описывается формулой , , .

Построены функции, описывающие при типовых тестовых воздействиях динамические процессы в системах с кулоновым, линейно вязким и турбулентным трением, как частных случаев диссипативных систем с частотно-зависимым трением.

Установлено, что при частотно-независимом трении гистерезисные явления проявляются при выполнении соотношения между динамическими параметрами системы и входного воздействия, а динамический процесс описывается функцией , где , .

Полученные зависимости для решений, декремента колебаний и функций и обобщают известные формулы для режима свободных колебаний. Приближенные решения уравнений являются равномерно пригодными асимптотическими разложениями первого порядка. Проведенные численно-аналитические исследования показали, что погрешность полученных решений, даже при относительно высокой степени диссипации, составляет доли процента в широком диапазоне изменения параметров системы и входного воздействия.

В п. 2.2 построены и исследованы математические модели огибающей амплитуд колебаний нелинейных диссипативных систем. В связи с этим для систем с диссипативными силами, пропорциональными n- степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением решена задача аппроксимации огибающей амплитуд колебаний дробно-рациональной и экспоненциальной функциями. Исследованы погрешности для различных аппроксимирующих функций, получены соотношения, определяющие временной интервал , в течение которого каждая модель с заданной погрешностью описывает огибающую амплитуд. В частности, при использовании в качестве огибающей амплитуд колебаний функции вида в соответствующей области определения имеет место соотношение . Построены области адекватного (для погрешностей 1%, 3%, 5%) приближения функции огибающей амплитуд колебаний различными моделями в форме дробно - рациональных или экспоненциальных функций.

В п. 2.3 рассматриваются математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов. Выделяются два различных подхода к решению задачи формирования линейно-параметрической дискретной модели, описывающей последовательность дискретных значений некоторой нелинейной зависимости. В основе первого подхода лежат обобщенные многочлены по системе линейно независимых функций , обладающие свойством , где , , - некоторая система линейно независимых функций. Сформулирована и доказана теорема о необходимом условии, вытекающем из существования таких функций.

На основе обобщенных многочленов формируется класс H непрерывных в области определения функций вида , где и - обобщенные многочлены, обладающие указанным свойством. Рассматриваются примеры таких функций; формулируется и доказывается теорема о свойствах функций этого класса.

Описанные функции из класса H позволяют свести задачу построения линейно-параметрических дискретных моделей к относительно простой задаче линейной алгебры: решению систем линейных алгебраических уравнений. Рассматриваются различные формулировки и способы решения такой задачи в матричной форме.

В основе второго подхода к построению линейно-параметрических дискретных моделей колебаний диссипативных механических систем лежит z- преобразование и теорема, доказательство которой представлено в работе.

Теорема 1 (достаточное условие линейности дискретной модели).

Пусть функция : представима в виде , где , , .

Тогда для формирования линейно-параметрической дискретной модели вида

,

где , - действительные рациональные функции своих аргументов, достаточно, чтобы мультипликативная компонента описывалась функцией вида , где - дробно-рациональная функция , не имеющая нулей на промежутке и полюсов на промежутке .

Разработан алгоритм построения линейно-параметрических дискретных моделей, включающий в себя переход от нелинейных по параметрам функций к их дискретным аналогам, применение z- преобразования, ряд эквивалентных преобразований в пространстве изображений и последующий возврат в пространство оригиналов. Рассмотрены и систематизированы различные подходы к построению ЛПДМ в зависимости от априорной информации о функции , описывающей монотонную составляющую, ее параметрах, частоте колебаний, от условий проведения физического эксперимента. В частности, при наиболее общем подходе, использующем полиномиальную аппроксимацию монотонной составляющей и позволяющем находить ее параметры, линейно-параметрические дискретные модели имеют вид

.

Ее коэффициенты описываются формулами , , , , , , а переменные являются коэффициентами многочлена .

Другой подход, при котором не требуется идентификации тренда в уравнении колебаний, позволяет построить модели вида

,

где при и ; , , , .

Рассмотрен также подход, в основе которого лежит использование изображения дискретной функции тренда в виде рациональной дроби, приводящий к разностным уравнениям вида



,

где

Всего рассмотрено около десяти различных подходов к решению задачи построения линейно-параметрических дискретных моделей, представлены соответствующие им разностные уравнения, приведены формулы, связывающие коэффициенты ЛПДМ с параметрами нелинейных функциональных зависимостей.

В п. 2.4 на основе разработанных подходов к построению разностных уравнений формируется и описывается класс линейно-параметрических дискретных моделей (более тридцати моделей) колебаний механических систем с диссипативными силами, пропорциональными n- степени скорости движения, в том числе, систем с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также систем с гистерезисным трением. Построенные модели систематизированы в зависимости от типа силы трения, входного типового тестового воздействия, вида аппроксимации монотонной составляющей, априорной информации о частоте колебаний системы. Получены соотношения, связывающие коэффициенты построенных линейно-параметрических дискретных моделей с динамическими характеристиками системы, в том числе с показателем нелинейности, а также с начальными амплитудой и фазой колебаний.

В частности, временная последовательность мгновенных значений свободных колебаний систем с линейно-вязким, турбулентным, кулоновым трением и систем с диссипативными силами общего вида соответственно описывается следующими разностными уравнениями:

, ,

где , ;

, ,

где , , ;

, ,

где , , , , ;

, ,

где , , , , .

Построенные линейно-параметрические дискретные модели позволяют определять степень нелинейности диссипативной системы и, тем самым, решать задачу классификации широкого класса нелинейных систем при нестационарных режимах колебаний.

Третья глава посвящена разработке и исследованию численных методов определения параметров диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений. В этой главе описывается алгоритм нового численного метода определения динамических характеристик диссипативной механической системы; формируются и систематизируются в зависимости от типа диссипативной силы и вида типового тестового воздействия стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений колебаний системы; проводится анализ эффективности различных статистических методов оценивания коэффициентов разностного уравнения; рассматривается итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; исследуется сходимость итерационной процедуры и статистические свойства среднеквадратичных оценок, полученных при ее использовании.

Рисунок 2

В п. 3.1 рассматривается алгоритм численного метода определения динамических характеристик диссипативных механических систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Основным содержанием метода является сведение нелинейной задачи вычисления динамических характеристик к задаче прикладного линейного регрессионного анализа, эффективное решение которой обеспечивается применением известных статистических методов идентификации динамических систем. Схема алгоритма численного метода представлена на рис. 2. Проведен анализ основных этапов численного метода. Для каждого этапа определен круг вопросов, связанных с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

Одним из важнейших этапов численного метода является формирование обобщенной регрессионной модели, в основе которой лежат стохастические разностные уравнения, описывающие результаты эксперимента. Эти уравнения строятся на базе линейно-параметрических дискретных моделей с учетом в результатах наблюдений аддитивной случайной помехи , природа которой интегрирована и может иметь различную интерпретацию от погрешности средств измерений и каналов обработки информации до неадекватности математического описания, используемого при моделировании динамических процессов в диссипативной механической системе.

В большинстве случаев линейно-параметрическую дискретную модель колебаний диссипативной системы можно описать разностным уравнением вида

, , (3)

где , , - теоретические (точные) значения динамического процесса в системе; - число последовательных отсчетов , используемых в разностном уравнении (обычно ). Коэффициенты и в общем случае могут явно зависеть (не обязательно линейно) от номера отсчета .

С учетом аддитивной случайной помехи в результатах наблюдений детерминированная модель (3) принимает вид линейной обобщенной регрессионной модели, которая описывается совокупностью стохастических разностных уравнений

, , …, ,

, , ,

, ,

, ,(4)

где - объем выборки результатов наблюдений.

В матричной форме обобщенная регрессионная модель, сформированная на основе стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений динамического процесса в системе, принимает вид

,(5)

.(6)

Здесь - матрица размера , имеющая блочную структуру; - единичная матрица размера ; - матрица размера , элементы которой формируются на основе соответствующей ЛПДМ; - - мерный вектор неизвестных коэффициентов; - - мерный вектор свободных членов обобщенной регрессионной модели, первые элементы которого совпадают с первыми членами выборки результатов наблюдений, а следующие , образующие вектор , вычисляются на основе соответствующей ЛПДМ. Вектор - - мерный вектор случайного эквивалентного возмущения в модели (5). Первые элементов этого вектора совпадают с первыми элементами вектора . Остальные элементы вектора , составляющие вектор размера , могут быть найдены с учетом формул (4). Матрица линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений имеет размер и блочную структуру: - единичная матрица размера ; - ленточная матрица размера , элементы которой описываются формулами (4).

В п. 3.2 рассматривается построение стохастического разностного уравнения общего вида, описывающего результаты измерений мгновенных значений динамического процесса в нелинейной диссипативной системе при типовых тестовых воздействиях, в том числе ее свободных колебаний. Представлены формулы, описывающие элементы матрицы и вектора для соответствующей обобщенной регрессионной модели (5), а также элементы матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений.

Рассматривается построение стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений реакции диссипативных систем с линейно-вязким, кулоновым, турбулентным трением, а также системы с нелинейной силой трения общего вида, при основных видах типового тестового воздействия: импульсном, ступенчатом, линейном. На основе этих уравнений формируются и описываются элементы матриц и , вектора для соответствующих обобщенных регрессионных моделей. Полученные результаты (более пятнадцати разностных уравнений различного порядка и сложности) систематизированы и представлены в зависимости от типа силы трения и вида тестового воздействия в форме таблицы. В частности, при описании результатов измерений свободных колебаний систем с турбулентным трением следует использовать разностные уравнения вида

, ,

, , , ,

, .

Соответствующие формулы, описывающие элементы матрицы и вектора обобщенной регрессионной модели имеют вид:

, ; , , , , , ,

а элементы матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений описываются формулой



В п. 3.3 рассматриваются проблемы, связанные со среднеквадратичным оцениванием коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, описывающей в форме стохастических разностных уравнений результаты эксперимента.

Исследуются свойства матрицы обобщенной регрессионной модели (5), элементы которой функционально зависят от результатов наблюдений, а, следовательно, и от случайной помехи. Описываются зависимости регрессоров - вектор-столбцов матрицы - и вектора в обобщенной регрессионной модели от случайной помехи в результатах наблюдений; строятся матрицы дисперсий-ковариаций и , где и - некоторые детерминированные матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи, размера , включающие блоки единичной и нулевой матриц; - дисперсия случайной помехи в результатах наблюдений.

Построены и описаны матрицы и для систем с линейно-вязким, турбулентным трением, а также для систем с диссипативными силами общего вида. В частности, для систем с линейно-вязким трением эти матрицы имеют вид: , , , где и - единичные матрицы и порядка; , и - нулевые матрицы размера , и соответственно.

Построенные матрицы лежат в основе теоретических и экспериментальных исследований статистических свойств оценок коэффициентов разностных уравнений, в первую очередь смещения оценок, которое является основным источником погрешности результатов вычислений. При применении классического метода наименьших квадратов (МНК) (который является основным инструментом регрессионного анализа) к вычислению коэффициентов регрессионной модели (5): , среднеквадратичные оценки коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели вычисляются по формуле .

Получены соотношения, позволяющие с высокой степенью достоверности оценить смещение вектора среднеквадратичных оценок коэффициентов ЛПДМ: , где - - мерный вектор, у которого последние элементов равны нулю; . Представлены формулы, описывающие элементы вектора для систем с линейно-вязким и турбулентным трением. В частности, для систем с линейно-вязким трением вектор имеет вид: . Представлены результаты численно-аналитических исследований адекватности полученных соотношений, описывающих смещение МНК- оценок, которые подтверждают высокую достоверность полученных аналитических формул. На рис. 3 точки 1 и 3 соответствуют экспериментально полученным результатам вычисления смещения МНК- оценок коэффициентов и для систем с линейно-вязким трением. Точки 2 и 4 на рис. 3 соответствуют смещению МНК- оценок коэффициентов и , вычисленному на основе построенных формул.

Результаты проведенных численно-аналитических исследований свойств оценок коэффициентов разностных уравнений, полученных на основе классической процедуры метода наименьших квадратов, т.е. на основе минимизации функционала , показали, что вследствие корреляции между элементами регрессоров и вектора эквивалентного случайного возмущения , смещение МНК- оценок практически для всех построенных линейно-параметрических дискретных моделей недопустимо большое.

...