Линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений в задачах идентификации диссипативных механических систем

Проведен сравнительный анализ эффективности известных методов оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели, использующих различные стохастические модели эквивалентного случайного возмущения . Результаты численно-аналитических исследований показали, что наиболее эффективным является метод среднеквадратичного оценивания, использующий АР модель эквивалентного случайного возмущения, построенную на основе стохастического уравнения (6).

Предложен новый подход к вычислению коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания, обеспечивающая минимизацию функционала . Алгоритм итерационной процедуры может быть описан последовательностью формул: , , , . Сформулированы и доказаны две теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной процедуры к решению векторного уравнения , где .

Теорема 2 (достаточное условие). Пусть функции и , , определены и непрерывны в известной замкнутой области действительного -мерного пространства , причем в области выполняется неравенство

,(7)

где - элементы матрицы размера ; - вектор остатков. Тогда, если последовательные приближения

,,(8)

не выходят из области , то: 1) независимо от выбора начального приближения процесс итерации (8) сходится, то есть существует предел ; 2) предельный вектор является единственным решением уравнения в области ; 3) имеет место оценка

.(9)

Следствия из теоремы 2 позволяют, во-первых, при заданной погрешности указать апостериорную оценку погрешности - того приближения: , и, во-вторых, сформулировать ограничения на величину случайной помехи, позволяющие обеспечить достаточное условие сходимости итерационной процедуры: , где идемпотентная матрица имеет вид: .

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и множество (замкнутый шар радиуса с центром в точке ) - замкнутая ограниченная область, целиком лежащая в , причем

,

где - вектор истинных значений коэффициентов разностного уравнения; - коэффициент сжатия, который определяется соотношением (7). Пусть , где - первоначальная оценка, найденная методом наименьших квадратов по формуле . Тогда итерационный процесс (8) сходится, предельный вектор является единственным решением уравнения в области и имеет место оценка (9).

Следствия из теоремы 3, во-первых, позволяют получить априорную оценку погрешности - того приближения: , и указать число итераций, необходимое для достижения заданной точности : ; во-вторых, описать ограничения на величину случайной помехи , обеспечивающую сходимость итерационной процедуры: .

Рассмотрены свойства оценок коэффициентов разностного уравнения, вычисленных на основе итерационной процедуры; описана матрица дисперсий-ковариаций . Разработан алгоритм формирования элементов обратной матрицы для матриц наиболее общего вида, описывающих линейное преобразование вектора случайной помехи в системах с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также в системах с диссипативными силами общего вида. Решение этой задачи позволило получить аналитическое описание матрицы для различных типов ЛПДМ.

Получены соотношения, описывающие смещение оценок коэффициентов, вычисленных на основе итерационной процедуры: . В частности, для систем с линейно-вязким трением, с точностью до принятых допущений при построении формул, вектор - нулевой, т. е. смещение в оценках отсутствует. Для систем с турбулентным трением: .

Для проверки адекватности и достоверности полученных соотношений и эффективности итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения проведены численно-аналитические исследования на основе компьютерного моделирования. Результаты численно-аналитических исследований смещения оценок коэффициентов подтверждают высокую сходимость и эффективность итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания (рис. 4). Применение итерационной процедуры позволяет существенно, на несколько порядков, уменьшить смещение оценок, а в ряде случаев практически устранить это смещение. Устранение смещения в оценках коэффициентов стохастического разностного уравнения за счет применения итерационной процедуры позволяет существенно повысить достоверность результатов вычисления динамических характеристик нелинейных диссипативных систем. На рис. 5 представлены зависимости смещения оценок декремента колебаний. Точки 1 соответствуют результатам, полученным без использования, а точки 2 - с использованием итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания.

Проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний в системах с линейно-вязким трением известным методом затухающих колебаний и численным методом, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения. На рис. 6 представлены зависимости погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах измерений при времени обработки экспериментальной виброграммы равном , где - период колебаний. Точки 1 соответствуют погрешности вычисления известным методом затухающих колебаний, а точки 2, 3, 4 и 5 - погрешности вычисления декремента колебаний на основе стохастического разностного уравнения при объемах выборки , 200, 400 и 800, соответственно. Результаты анализа показали, что точность оценивания декремента колебаний численным методом на порядок выше, чем известным методом затухающих колебаний.



Проведен сравнительный анализ эффективности устранения смещения МНК- оценок одним из новых методов, описанным в современной научной литературе, и методом на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Результаты исследований показали, что применение итерационной процедуры позволяет на порядок повысить точность вычислений оценок динамической системы по сравнению с известным методом.

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативной системы, проводится анализ вычислительной устойчивости алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, разрабатываются и исследуются структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок. В последнем параграфе главы рассматриваются линейно-параметрические дискретные модели, использующие результаты измерений различных фазовых переменных.

В п. 4.1 проводится анализ и численно-аналитические исследования процесса формирования результирующей погрешности на всех этапах математического моделирования и численного метода определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений. Результаты анализа составляющих погрешности вычисления динамических характеристик и способов их уменьшения систематизированы и представлены в форме таблицы.

Разработана методика оценки погрешности вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений при обработке результатов наблюдений. Получены формулы статистической оценки дисперсий и ковариаций результатов вычислений коэффициентов разностного уравнения, динамических характеристик, а также начальных амплитуды и фазы колебаний.

Проведены численно-аналитические исследования, результаты которых подтверждают достоверность и корректность рассмотренной методики вычисления погрешности оценок динамических характеристик диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений. На рис. 7 представлены зависимости экспериментально найденных относительных погрешностей (точки 3) и оценок предельной относительной погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Кривая 1 описывает зависимость максимальных значений , а кривая 2 - минимальных значений предельных относительных погрешностей. Видно, что практически все точки, соответствующие относительным погрешностям вычисления декремента колебаний, укладываются в границы, описываемые минимальными значениями предельной относительной погрешности. По результатам исследований можно сделать важный вывод о том, что при практических расчетах вполне достаточно одной реализации динамического процесса в диссипативной системе (одной выборки результатов наблюдений), чтобы достоверно оценить предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления любого параметра системы.

В п. 4.2 рассматриваются вопросы, связанные с анализом устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения. Дано определение устойчивости линейно-параметрической дискретной модели; сформулирована и доказана теорема о достаточном условии устойчивости линейно-параметрической дискретной модели второго порядка.

Теорема 4 (достаточное условие устойчивости).

Пусть функция описывается выражением вида , где , .

Тогда для устойчивости линейно-параметрической дискретной модели , где , , , , достаточно выполнения одного из двух условий: для значений или для значений , где , , .

Численно-аналитические исследования на основе компьютерного моделирования подтвердили достоверность полученных теоретических результатов.

Проведен комплекс численно-аналитических исследований вычислительной устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений для основных типов нелинейной диссипативной системы: систем с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением. Результаты исследований представлены в виде графиков зависимости меры обусловленности матрицы нормальной системы уравнений , а также смещения оценок декремента колебаний, от периода дискретизации и числа уравнений в обобщенной регрессионной модели. По результатам исследований сделан вывод о существенном ухудшении устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения при малых значениях периода дискретизации экспериментальной виброграммы.

В п. 4.3 разработан структурный метод повышения устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, в основе которого лежит построение модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей, инвариантных к уменьшению периода дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений. Методика построения инвариантных моделей подробно рассмотрена на примере модификации разностного уравнения для систем с турбулентным трением (как относительно простой, но при этом обладающей всеми основными свойствами ЛПДМ нелинейных систем, модели).

Модифицированная линейно-параметрическая дискретная модель, связывающая мгновенные значения функциональной зависимости, описывающей колебания систем с турбулентным трением, содержит целочисленный параметр и имеет вид , , где , , . Устойчивость вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов этой модели обеспечивается выборам оптимального значения параметра . Построены и представлены аналогичные инвариантные модели для систем с линейно-вязким, кулоновым трением и систем с диссипативными силами общего вида.

Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования значений параметра l, позволяющих уменьшить число обусловленности матрицы, порождаемой модифицированной линейно-параметрической дискретной моделью второго порядка.

Теорема 5 (достаточное условие минимизации числа обусловленности).

Пусть функция описывается выражением вида , где , , и ей соответствуют две линейно-параметрические дискретные модели: , , и , , , где , , , и пусть и - числа обусловленности матриц систем линейных алгебраических уравнений, порождаемых разностными уравнениями и .

Тогда для существования, по крайней мере, одного значения параметра , при котором , достаточно выполнения условия .

На основе рекуррентных формул модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей построены соответствующие стохастические разностные уравнения, описывающие результаты наблюдений динамического процесса в диссипативных системах. В частности, для систем с турбулентным трением инвариантные к изменению периода дискретизации стохастические разностные уравнения могут быть представлены в виде:

где , , , .

Проведены численно-аналитические исследования, подтверждающие высокую эффективность построенных модифицированных разностных уравнений при высокой частоте дискретизации экспериментальной виброграммы колебаний (малых значениях периода дискретизации и больших объемах выборки результатов измерений). Применение модифицированных моделей позволило в несколько раз уменьшить относительную погрешность вычисления декремента колебаний за счет повышения объема выборки результатов наблюдений при стабилизации устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок.

В п. 4.4 рассматривается разработка и исследование линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих результаты измерений Различных фазовых переменных: скорости и ускорения, как по отдельности, так и в их совокупности. Построены модели, аппроксимирующие уравнения, которые описывают скорость и ускорение движения квазилинейных диссипативных систем. Показано, что погрешность такой аппроксимации, даже для систем с достаточно высокой степенью диссипации, не превышает десятых долей процента.

Для всех основных типов диссипативной силы построены дискретные модели для различных фазовых переменных, как по отдельности, так и в их совокупности. Приведены формулы, описывающие соотношения между коэффициентами моделей и динамическими характеристиками системы, в том числе ее показателем нелинейности. В частности, для систем с турбулентным трением и систем с диссипативными силами общего вида соответствующие линейно-параметрические дискретные модели, с учетом соотношений и , описываются уравнениями , где , и , где . Алгоритм оценивания динамических характеристик на основе дискретных моделей, связывающих различные фазовые переменные в их совокупности, аналогичен рассмотренному выше. Частота и декремент колебаний, а также показатель нелинейности n, вычисляются через коэффициенты , и по формулам:

, и .

Полученные в данной главе результаты систематизированы и представлены в форме таблице. В ней приведены ссылки на соответствующие формулы для базовых и модифицированных моделей в зависимости от типа диссипативной силы. Даны рекомендации по выбору линейно-параметрической дискретной модели с учетом требуемой точности вычисления динамических характеристик, режима обработки экспериментальных данных, используемых технических средств измерения, фазовой переменной.

Пятая глава посвящена разработке и применению стохастических разностных уравнений в задачах параметрической идентификации систем различной физической природы, используемых в машиностроении.

В п. 5.1 рассматривается разработка и применение в задачах построения моделей неупругого реологического деформирования материалов и элементов конструкций нового численного метода определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели. Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений динамического процесса вида . Сформулирована и доказана теорема, которая используется при выводе соотношений, связывающих параметры кривой ползучести и коэффициенты разностного уравнения.

Описаны элементы матрицы и вектора в обобщенной регрессионной модели (5), соответствующей стохастическим разностным уравнениям вида: , , , , , а также элементы матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений.

Рассмотрен алгоритм численного метода определения параметров кривой ползучести на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Приведены результаты апробации разработанного метода в физических экспериментах, связанных с моделированием кривой ползучести отдельных образцов полихлорвинилового пластиката. Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения параметров кривой ползучести по экспериментальным данным: численного метода на основе разностных уравнений и известного метода последовательного выделения экспоненциальных составляющих (рис. 8). Установлено, что численный метод на основе разностных уравнений позволяет построить более простую (а значит более устойчивую и надежную) модель, аппроксимирующую экспериментальные данные с меньшей среднеквадратичной погрешностью, чем модель, построенная известным методом.

Разработан и апробирован в задаче построения кривой ползучести полихлорвинилового пластиката алгоритм вычислений, использующий выделение экспоненциальных составляющих, параметры которых находятся на основе разностных уравнений.

В п. 5.2 рассматривается задача определения параметров передаточной функции объекта управления на основе разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений кривой разгона. Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений кривой разгона технологического объекта, передаточная функция которого может быть представлена в виде: . Получены соотношения, связывающие параметры передаточной функции линейной динамической системы третьего порядка и коэффициенты разностного уравнения. Построен идентификатор , на основе которого в зависимости от коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели проведена представлена в форме таблицы систематизация корней характеристического уравнения и различных типов кривой разгона.

В соответствии с построенной ЛПДМ, связывающей в форме стохастических разностных уравнений , , , , , , результаты измерений мгновенных значений кривой разгона, описаны элементы матрицы и вектора в обобщенной регрессионной модели (6), а также элементы матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи и ее обратной матрицы . Разработан и описан алгоритм определения параметров передаточной функции объекта управления на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения кривой разгона; получены соотношения, позволяющие оценить погрешность вычисления параметров передаточной функции. Приведены результаты апробации построенных ЛПДМ и разработанных на их основе алгоритмов вычислений в физическом эксперименте, связанном с построением передаточной функции котельного агрегата.

На примере прямоточного котла высокого давления проведен сравнительный анализ различных методов определения параметров передаточной функции по кривой разгона: известного метода площадей и численного метода, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Установлено, что определение параметров передаточной функции на основе разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений мгновенных значений кривой разгона объекта управления, позволяет существенно (более чем в два раза) повысить адекватность математической модели экспериментальным данным по сравнению с известным методом площадей.

В п. 5.3 рассматриваются вопросы, связанные с разработкой и применением численного метода определения декремента колебаний на основе разностных уравнений, описывающих дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением.

Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики систем с линейно-вязким трением: , , , , . Получены соотношения, связывающие параметры резонансной кривой и коэффициенты разностного уравнения: , . Разработан и описан алгоритм численного метода определения диссипативных характеристик по резонансной кривой для систем с линейно-вязким трением, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения диссипативных характеристик по резонансной кривой: известного метода «кривой резонанса» и численного метода на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. На рис. 9 представлены зависимости смещения (в относительных единицах) оценок декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Точки 1 соответствуют применению известного метода «кривой резонанса», а точки 2 - вычислениям на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения.

Очевидно, что применение численного метода определения декремента колебаний по резонансной кривой на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет существенно, почти на порядок, повысить точность оценивания по сравнению с известным методом определения декремента колебаний по ширине пика амплитудно-частотной характеристики.

В п. 5.4 рассматривается задача определения характеристик сопротивления нелинейной диссипативной системы с помощью численного метода, в основе которого лежат разностные уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений огибающей амплитуд колебаний для систем с диссипативными силами различного типа.

Построены и систематизированы в форме таблицы двенадцать различных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний нелинейной диссипативной системы, как для случая, когда показатель нелинейности априори известен (в том числе при кулоновом, линейно-вязком и турбулентном трении), так и для тех случаев, когда требуется найти оценку показателя нелинейности системы по экспериментальным данным. В частности, в задачах нахождения по огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными n- степени скорости движения, не только декремента колебаний, но и показателя нелинейности системы, может быть использована совокупность следующих стохастических разностных уравнений: , , , . Для всех построенных моделей получены соотношения, связывающие коэффициенты разностного уравнения с параметрами огибающей амплитуд колебаний, а также формулы, описывающие элементы матрицы линейного преобразования случайной помехи в результатах наблюдений. Например, для представленной выше модели имеют место соотношения: , , . Представлен алгоритм численного метода определения параметров характеристики сопротивления на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, описаны его основные этапы, приведены формулы вычисления декремента колебаний через коэффициенты разностного уравнения, для всех построенных моделей.

Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения параметров характеристики сопротивления: известным методом и численным методом, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения (рис. 10). Установлено, что применение алгоритмов вычислений с использованием итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели позволяет на порядок повысить точность оценивания параметров характеристики сопротивления, особенно при существенно разбросе экспериментальных данных.

механический уравнение колебание энергия

В п. 5.5 представлены результаты практического применения методов параметрической идентификации на основе стохастических разностных уравнений в научно-технических экспериментах: при оценке технического состояния силовых элементов шасси самолета, в задаче обнаружения некачественной сборки деталей прессованием, а также в алгоритмах измерительных устройств цифровых осциллографов.

Приведены результаты проверки адекватности линейно-параметрических дискретных моделей при прочностных испытаниях силовых элементов шасси самолета. Описана схема организации прочностного эксперимента; приведены характеристики используемой технической аппаратуры. Построены зависимости декремента колебаний от числа циклов нагружения в процессе ресурсных испытаний, которые позволяют своевременно обнаруживать появление усталостной трещины на поверхности образца.

Представлены результаты применения численного метода определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений в задачах обнаружения некачественной сборки деталей прессованием. Описана схема организации эксперимента по определению некачественной сборки на основе анализа динамических характеристик механической системы вал-втулка в режиме свободных колебаний; приведены технические характеристики исследуемого соединения.

Разработан и описан пакет прикладных программ, разработанный для обработки результатов научно-промышленного эксперимента по определению некачественной сборки механической системы. Система диалоговых и информационных окон, набор ниспадающих меню и кнопок управления обеспечивают удобство и простоту использования разработанного программного обеспечения.

Представлены результаты обработки физического эксперимента по выявлению некачественно сборки механической системы вал - втулка. Построенные для данных образцов зависимости динамических характеристик от параметров соединения могут быть использованы в качестве эталонных значений при автоматизированной сборке.

Шестая глава посвящена разработке программного обеспечения и синтезу специализированных устройств для определения параметров диссипативных систем на основе разностных уравнений.

В п. 6.1 описывается программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений. Программное обеспечение реализовано на языке Microsoft Visual Basic 6.0, поскольку он прост в обращении и код программы компактен. Разработанный комплекс программ предназначен для определения параметров диссипативной системы на основе обработки результатов измерений, полученных при использовании одного из трех источников экспериментальных данных: импульсной характеристики, амплитудно-частотной характеристики, огибающей амплитуд колебаний. Приведена и описана блок-схема алгоритма вычислений, реализованного в программном обеспечении.

Рассмотрены основные этапы работы программы. Представлена и описана удобная для пользователя система диалоговых и информационных окон, предназначенных для ввода данных эксперимента; выбора режимов обработки информации; ввода априорной информации, например, о типе силы трения или значении показателя нелинейности системы; для вывода протокола результатов вычислений; для графического отображения полученных результатов и др. Например, на рис. 11 изображено окно интерфейса, позволяющее пользователю выбрать источник экспериментальных данных.

В приложении представлен листинг программных кодов, реализующих описанный алгоритм вычислений.

В п. 6.2 рассмотрен синтез и описана работа специализированных устройств для измерения диссипативных характеристик систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением на основе линейно-параметрических дискретных моделей.

Описаны схемы организации измерений мгновенных значений затухающих колебаний, представлены структурные блок-схемы, описана работа, приведены временные диаграммы работы следующих специализированных устройств:

- устройства для измерения логарифмического декремента колебаний систем с линейно-вязким трением;

- устройства для измерения декремента колебаний систем с турбулентным трением;

- устройства для измерения показателя затухания в системах с турбулентным трением;

- устройство для измерения показателя затухания в системах с кулоновым трением.

Для каждого представленного устройства указаны его преимущества по сравнению с аналогом, которые заключаются, как правило, в более высокой точности оценки декремента колебаний или показателя затухания за счет уменьшения методической погрешности. В частности, в основе аппаратурной реализации устройства для вычисления декремента колебаний систем с турбулентным трением лежит организация такого режима измерений, чтобы каждое второе измерение в совокупности и равнялось нулю. Это условие позволяет обеспечить выполнение соотношения , полученное на основе разностного уравнения для систем с турбулентным трением (рис. 12).



Структурная схема устройства представлена на рис. 13. Вход устройства подключен к входам запоминающих устройств 1 и 2 и к входу компаратора 3. Сигнал с выход компаратора 3 подается на вход коммутирующего устройства 4, первый выход которого подключен к управляющему входу первого запоминающего устройства 1 и первому управляющему входу коммутатора 5, а второй выход подключен к управляющему входу второго запоминающего устройства 2 и ко второму управляющему входу коммутатора 5. Выходы запоминающих устройств 1 и 2 подключены к входам сравнивающего устройства 6 и, соответственно, к первому и второму входам коммутатора 5. Выход сравнивающего устройства 6 подключен к первому входу делителя 7, а выход коммутатора 5 подключен ко второму входу делителя 7. На выходе делителя 7 формируется сигнал, соответствующий декременту колебаний системы

Устройство работает таким образом, что на входы сравнивающего устройства 6 постоянно, в течение промежутка времени , равного полупериоду колебаний, поступают разнополярные сигналы и , соответствующие результатам измерений в моменты времени , где - моменты равенства нулю ординат колебаний: , .

При этом на выходе устройства будет формироваться сигнал, пропорциональный отношению суммы двух измеренных последовательно одна за другой ординат колебаний и к значению последующей из них . Измерение ординат колебаний и осуществляется через время задержки после, соответственно, i-того и -го пересечения колебаний оси времени: .

Последующее значение ординаты колебаний в одном цикле измерения декремента колебаний служит предыдущим значением ординаты колебаний в следующем цикле. Поэтому измерение декремента колебаний происходит непрерывно за время, равное половине периода колебаний. На выходе устройства сигнал, соответствующий измеренному значению декремента колебаний в данном цикле измерений, сохраняется в течение времени, равного половине периода колебания. Рассмотренное устройство по сравнению с аналогом имеет более высокую точность измерения за счет уменьшения динамической составляющей методической погрешности.

Основные результаты диссертационной работы

1. Разработаны теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических моделей, связывающих в форме разностных уравнений дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы на выходе диссипативной системы; рассмотрены различные подходы к построению разностных уравнений в зависимости от режима колебаний системы, функций, аппроксимирующих монотонную составляющую в уравнениях колебаний, априорной информации о собственной частоте системы и параметрах типового тестового воздействия.

2. Сформирован класс линейно-параметрических дискретных моделей, систематизированных в зависимости от типа системы, режимов функционирования (типа тестового воздействия), функций, аппроксимирующих тренд, схемы организации эксперимента. Получены функциональные соотношения, связывающие коэффициенты линейно-параметрических дискретных моделей с динамическими характеристиками системы, в том числе с показателем ее нелинейности, тем самым решена задача классификации широкого класса систем при нестационарных режимах колебаний, содержащих тренд в форме монотонной составляющей.

3. Разработан и апробирован в различных физических экспериментах новый численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяющий обеспечить высокую помехозащищенность результатов вычислений.

4. Разработан структурный метод повышения устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, в основе которого лежит построение модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей, инвариантных к уменьшению периода дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений.

5. Разработан численный метод определения параметров кривых ползучести, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая данные эксперимента по построению уточненных моделей неупругого реологического деформирования материалов с целью прогнозирования индивидуальных деформационных свойств.

6. Построены линейно-параметрические дискретные модели и на их основе разработаны: численный метод определения параметров передаточной функции по кривой разгона объекта управления и численный метод определения диссипативных характеристик по резонансной кривой;

7. Построены и систематизированы линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний нелинейной диссипативной системы и лежащие в основе численного метода определения параметров диссипативной системы.

8. Разработано программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативной механической системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей по результатам измерений различных по виду процессов, наблюдаемых на выходе системы, и предназначенное для использования в информационно-измерительных комплексах при оценке технического состояния механической системы.

9. На основе построенных линейно-параметрических дискретных моделей разработаны специализированные устройства для измерения диссипативных характеристик систем с линейно-вязким, кулоновым и турбулентным трением. Эти устройства защищены авторскими свидетельствами на изобретение, обладают повышенной точностью и быстродействием по сравнению с аналогами, просты в технической реализации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

МОНОГРАФИЯ

1. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / Под ред. В.П. Радченко. - М.: Машиностроение, 2009. -344 с.

ПУБЛИКАЦИИ В ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ

2. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20. - №9. - С. 120-128.

3. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик систем с турбулентным трением на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. 2008. №4. С. 30-40.

4. Радченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. -2007. - №1. - С. 3-10.

5. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик колебательных систем с турбулентным трением. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. - 1990. - № 11. - С. 42-45.

6. Зотеев В.Е. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2009. - № 1(18). - С. 133-141.

7. Зотеев В.Е. Определение параметров кривой разгона на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия техн. науки. - 2008. - № 2(22). - С. 29-37.

8. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация кривых ползучести на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. 2008, №1(16). С. 90-95.

9. Зотеев В.Е., Овсиенко А.С. Параметрическая идентификация специального уравнения Рикатти на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2008. - № 1(16). - С. 171-174.

10. Зотеев В.Е. Математические основы построения разностных уравнений для задач параметрической идентификации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С.192-202.

11. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров испытательных импульсов на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 262-267.

12. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Разработка и применение стохастических разностных уравнений для систем с кратными корнями характеристического уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 300.

13. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация динамических систем на основе разностных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 300-301.

14. Зотеев В.Е., Иранова А.А. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения для систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 302.

15. Зотеев В.Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2007. - № 1(14). - С.138-142.

16. Попова Д.Н., Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механической системы с линейно-вязким трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2007. - № 2(15). - С. 179-182.

17. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Помехозащищенный метод параметрической идентификации линейной динамической системы по ее импульсной характеристике // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 299-300.

18. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение декремента колебаний на основе линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 300-301.

19. Зотеев В.Е. Сравнительный анализ методов определения динамических характеристик диссипативной системы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2006. - № 43. - С. 153-158.

20. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2006. - № 42. - С. 162-168.

21. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2006. - № 42. - С.123-134.

22. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Определение постоянной времени последовательной активно-емкостной цепи на основе стохастического разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - Вып. 5. - С. 906-907.

23. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности диссипативной системы на основе итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - Вып. 5. - С. 907-908.

24. Зотеев В.Е. Исследование и сравнительный анализ эффективности методов вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2005.- № 34. - С.137-140.

25. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2005. - № 38. - С.100-109.

26. Зотеев В.Е. Исследование и сравнительный анализ эффективности методов вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - Вып. 2. - С. 372.

27. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - Вып. 2. - С. 373.

28. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - Вып. 4. - С. 970-971.

29. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов авторегрессионной модели колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2004. - № 26. - С.180-185.

30. Зотеев В.Е. Повышение точности среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2004. - № 30. - С.194-197.

31. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик диссипативных систем на основе авторегрессионных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11. - Вып. 3. - С. 644-645.

32. Зотеев В.Е. Обобщение метода наименьших квадратов при вычислении коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11. - Вып. 4. - С. 818-819.

33. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний систем с линейно вязким и турбулентным трением. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2003. - № 19. - С.53-58.

34. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний диссипативных систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 653-654.

35. Зотеев В.Е. Исследование эффективности применения линейных дискретных моделей при определении параметров математических моделей в форме обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2002. - № 15.- С.161-167.

36. Зотеев В.Е. Построение разностных уравнений для повышения точности параметрической идентификации колебательных систем со слабой нелинейностью общего вида // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2000. - № 9. - С. 169-173.

37. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 1999. - № 7. - С. 170-177.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В ДРУГИХ ЖУРНАЛАХ И СБОРНИКАХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ

38. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности. - 1988. - № 12. - С. 101-105.

39. Зотеев В.Е., Овсиенко А.С. Параметрическая идентификация дробных осцилляторов на основе разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 61-68.

40. Зотеев В.Е. Применение стохастических разностных уравнений в задаче параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов: Труды седьмой международной конференции: Сб. научн. тр. - Ульяновск: УлГУ, 2009. - С. 112.

41. Зотеев В.Е., Иранова А.А. Применение метода многих масштабов в задаче построения математической модели колебаний систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 69-74.

42. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Параметрическая идентификация систем, описываемых дифференциальным уравнением Эйлера // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С.54-61.

43. Зотеев В.Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С.47-54.

44. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Построение линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.79-84.

45. Зотеев В.Е., Овсиенко А.С. Параметрическая идентификация систем, описываемых специальным уравнением Риккати, на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.71-79.

46. Зотеев В.Е., Иранова А.А. Исследование эффективности итерационной процедуры в задаче параметрической идентификации систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.64-71.

47. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Параметрическая идентификация типовых ударных воздействий по их амплитудно-частотной характеристике // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.58-64.

48. Зотеев В.Е., Голудин Е.П. К построению теории ползучести с экспоненциальным ядром на основе стохастических разностных уравнений // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды. Материалы Международной конференции: Сб. науч. тр.- Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007. - С.137-140.

49. Зотеев В.Е., Иранова А.А. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения колебаний систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2007. - С. 59-63.

50. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Исследование помехозащищенности среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2007. - С.82-87.

51. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Применение стохастических разностных уравнений в задаче параметрической идентификации линейной динамической системы // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2007. - С.54-58.

52. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация нелинейных диссипативных систем на основе современных информационных технологий // Нелинейный динамический анализ-2007: Тезисы докладов Международного конгресса, Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. -СПб.: Санкт-Петербугский госуниверситет, 2007. -С. 92.

53. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006). Труды научно-технической конференции с международным участием. Т. 2: Сб. науч. тр. - Самара: СГАУ, 2006. С. 19-24.

54. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка погрешности вычисления динамических характеристик диссипативной системы при использовании разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2006. - С.78-86.

55. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Метод последовательных приближений при среднеквадратичном оценивании параметров переходного процесса // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2006. - С.72-78.

56. Зотеев В.Е. Определение диссипативных характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. 1: Сб. научн. тр.- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2006. -С. 57.

57. Зотеев В.Е. Среднеквадратичное оценивание параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2005. - С.113-118.

58. Зотеев В.Е. Повышение устойчивости вычислений динамических характеристик систем с линейно-вязким трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2004. - С.103-106.

59. Зотеев В.Е. Построение линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Тринадцатой межвуз. конф. Часть 2: Сб. науч. тр. - Самара: СамГТУ, 2003. - С. 40-42.

60. Зотеев В.Е. Построение разностных уравнений в задачах идентификации квазилинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 2000. - С. 46-50.

61. Зотеев В.Е., Зауэр Е.А., Дамм А.Э. Применение асимптотических разложений при математическом моделировании нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 1999. - С. 53-55.

62. Зотеев В.Е. Математические основы моделирования динамических процессов для задач идентификации нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 1998. - С. 45-48.

63. Зотеев В.Е. Разработка и применение авторегрессионных моделей при определении динамических характеристик нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование систем и процессов управления: Сб. науч. тр. / СамГТУ. - Самара: 1997. - С. 34-38.

64. Зотеев В.Е. Математические модели колебаний нелинейных диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой межвуз. конф. Часть 2: Сб. науч. тр. - Самара: СамГТУ, 1997. - С. 48-50.

...