Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами
Анализ основных методов современной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Разработка конструктивного метода точного решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | автореферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.02.2018 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
На правах рукописи
Автореферат диссертации
на соискание ученой степени доктора технических наук
Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами
Плешивцева Юлия Эдгаровна
Специальность 05.13.06 - «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность)»
Самара - 2009
Работа выполнена на кафедре «Управление и системный анализ в теплоэнергетике» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет».
Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Дилигенский Николай Владимирович.
Официальные оппоненты:
- член-корреспондент АН Республики Башкортостан, Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор ИЛЬЯСОВ Барый Галеевич;
- доктор технических наук, профессор КЛИМОВИЦКИЙ Михаил Давидович;
- доктор технических наук, профессор АБАКУМОВ Александр Михайлович.
Ведущая организация: Саратовский государственный технический университет, г. Саратов.
Защита диссертации состоится 25 июня 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: 443010, Россия, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.
Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.03; факс: (846) 278-44-00.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета (ул. Первомайская, 18).
Автореферат разослан 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.217.03 Н.Г. Губанов.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы.
Перспективы дальнейшего развития ведущих отраслей промышленности неразрывно связаны с повышением удельного веса энерготехнологических процессов, возрастанием их энерго- и материалоемкости. В этих условиях необходимо обеспечить достижение предельно возможных технико-экономических показателей работы промышленного оборудования, что требует разработки методов усовершенствования его конструкционных характеристик и соответствующей организации режимов функционирования, оптимальных по принятым критериям эффективности. Серьезные трудности, возникающие на этом пути, определяются высоким уровнем сложности большинства ответственных энерготехнологических процессов, функции состояния которых, прежде всего, характеризуются ярко выраженной неравномерностью их распределения в пределах пространственной области, занимаемой объектом.
Указанная проблема может быть решена в основных своих аспектах на базе современной теории и техники оптимального управления системами с распределенными параметрами (СРП). К числу СРП относится широкий круг управляемых объектов, охватывающих, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих алгоритмов автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП. Задачи оптимального управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с аналогичными задачами управления системами с сосредоточенными параметрами в виду целого ряда принципиальных особенностей этих систем, связанных с пространственной распределенностью управляемых величин.
Начиная с основополагающих работ А.Г. Бутковского, к настоящему времени в теории управления СРП получен целый ряд фундаментальных результатов. Здесь можно, прежде всего, отметить работы Г.Л. Дегтярева, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, В.А. Коваля, Ж.-Л. Лионса, К.А. Лурье, И.М. Першина, В.И. Плотникова, Л.М. Пустыльникова, Э.Я. Рапопорта, Т.К. Сиразетдинова, А.В.Фурсикова, Ф.Л. Черноусько и многих других отечественных и зарубежных ученых.
В последние годы интерес к проблеме оптимального управления СРП значительно возрастает. Однако, общая теория управления СРП вынужденно оперирует абстрактными теоретическими схемами, в которые не вписываются практические требования и многие принципиальные особенности конкретных прикладных задач. Это приводит к абстрагированию от целого ряда принципиальных для прикладных задач факторов, учет которых необходим для получения приемлемых на практике инженерных решений. При этом СРП характеризуются практически неограниченным спектром существенных особенностей, что приводит к возникновению отдельных задач управления применительно к каждому классу исследуемых процессов. Эффективные решения таких задач могут быть получены только на основе адаптации общетеоретических результатов к конкретной предметной области и максимального учёта ее базовых физических закономерностей.
Одной из центральных проблем в теории управления СРП применительно к целому ряду прикладных задач, представляющих самостоятельный интерес, остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями. Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, базирующиеся на приближенных описаниях СРП в терминах систем с сосредоточенными параметрами, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми. Точные решения задач оптимального управления для исходных моделей технологических объектов с распределенными параметрами (ТОРП) по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории, игнорирующей особенности большинства прикладных задач, либо не могут быть получены даже теоретически, либо существуют в классе нереализуемых управляющих воздействий.
Это вызывает необходимость разработки новых эффективных и реализуемых на практике методов поиска алгоритмов оптимального управления в подобных задачах, учитывающих практически всегда существующие допуски на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме.
Диссертация посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с подвижным правым концом траектории в бесконечномерном фазовом пространстве координат системы, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых процессов.
Диссертация выполнена в соответствии с планом фундаментальных научно-исследовательских работ Самарского государственного технического университета (СамГТУ), выполняемых по заданию Минобрнауки РФ. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 06-08-00041-а, 07-08-00342-а) и совместными грантами Минобрнауки РФ и Германской Службы Академических Обменов (DAAD).
Целью работы является разработка основ теории и техники применения эффективного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством конечных состояний и построение на базе этого метода вычислительных алгоритмов для решения широкого круга прикладных задач оптимального управления энерготехнологическими процессами.
Для достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие основные научные задачи:
- разработка основных теоретических положений и общей схемы реализации точного метода решения краевых задач оптимального управления (ЗОУ) с заданным целевым множеством конечных состояний для широкого класса ТОРП в постановке, адекватной реальным требованиям промышленных технологий;
- построение и разработка вычислительных алгоритмов предлагаемого точного метода решения ЗОУ технологическими объектами с распределенными параметрами;
- построение и исследование алгоритмов оптимального управления применительно к ряду процессов технологической теплофизики;
- оптимизация конструкционных характеристик и режимов работы энерготехнологических комплексов обработки металла давлением по системным критериям качества;
- разработка методик и вычислительных алгоритмов параметрической идентификации математических моделей ТОРП на примере обратных граничных задач теплопроводности (ОЗТ).
Научная новизна работы определяется тем, что она расширяет и углубляет теоретические представления об общих закономерностях оптимальных процессов в краевых задачах управления СРП; предлагает новые методы их качественного и количественного описания, исследования и синтеза соответствующих алгоритмов оптимизации; устанавливает способы детализации общих закономерностей применительно к целому ряду прикладных ЗОУ ТОРП, представляющих самостоятельный интерес.
В работе получены следующие основные научные результаты в указанном направлении:
- созданы основы теории и техники применения нового метода точного решения широкого круга краевых задач оптимизации ТОРП, отличающегося конструктивным способом построения алгоритмов оптимального управления, которые гарантируют перевод объекта в соответствующую исходным требованиям область допустимых конечных состояний с предельно достижимыми технико-экономическими показателями оптимизируемых энерготехнологических процессов;
- на этой базе разработаны алгоритмы оптимального управления широким кругом процессов технологической теплофизики, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную точность равномерного приближения к требуемому конечному состоянию ТОРП;
- предложена не имеющая известных аналогов методика решения нового класса актуальных задач параметрической оптимизации объектов технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями, позволяющая распространить предлагаемую методологию исследования ЗОУ ТОРП на комплексную проблему оптимального проектирования технологического оборудования и последующей оптимальной организации режимов его функционирования;
- разработаны алгоритмы оптимизации по системным критериям качества энерготехнологических комплексов обработки металла давлением в производственных системах «индукционная нагревательная установка - пресс», устанавливающие и реализующие оптимальные начальные температурные кондиции прессуемого металла в процессе предварительного градиентного нагрева, которые, согласно существующим методикам, априори фиксируются технологическими инструкциями;
- предложен метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий, по сравнению с известными подходами, применения специальных регуляризирующих алгоритмов и обеспечивающий поиск идентифицируемых внешних воздействий в классе физически реализуемых функций.
Научная значимость работы. В диссертации разработан новый конструктивный метод точного решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами, представляющий собой методологическую основу построения алгоритмов оптимизации по основным технико-экономическим критериям широкого круга производственных процессов в различных отраслях промышленности с гарантированными качественными показателями конечной продукции.
Практическая ценность работы.
Предложенные в диссертации инженерные методики и способы организации вычислительных процедур распространяют предлагаемый метод точного решения краевых задач оптимизации ТОРП на ряд актуальных задач оптимального управления процессами технологической теплофизики, представляющих самостоятельный интерес для ведущих отраслей промышленного производства. Разработанное специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для подсистемы автоматизированного расчета оптимальных алгоритмов управления, может быть непосредственно использовано для решения конкретных задач оптимизации энерготехнологических объектов.
Применение разработанных методов и алгоритмов оптимального управления к решению практических задач обеспечивает существенные технико-экономические преимущества перед с типовыми технологиями и известными методами оптимизации ТОРП по всем основным качественным показателям оптимизируемых процессов. При этом по сравнению с существующими типовыми алгоритмами управления в среднем достигается выигрыш по времени, и, как следствие, увеличение производительности труда до; повышение в раза точности достижения требуемых кондиций конечной продукции; снижение брака и материальных потерь на 5-15%; экономия производственных площадей до 2 раз; сокращение износа и времени простоя деформирующего оборудования в технологических комплексах обработки металла давлением.
Основные положения, выносимые на защиту:
- метод последовательной параметризации управляющих воздействий на конечномерном подмножестве граничных значений бесконечного числа сопряженных переменных в условиях чебышевских оценок целевых множеств, позволяющий осуществить точную редукцию исходной задачи оптимизации ТОРП к принципиально более простой конечномерной задаче полубесконечного программирования;
- принцип минимальной сложности параметризованной структуры оптимальных управляющих воздействий, устанавливающий минимально возможное число параметров, характеризующих эту структуру, в зависимости от величины допуска на отклонения от требуемого конечного состояния ТОРП, оцениваемые в равномерной метрике;
- процедура точной редукции в одном классе задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством к эквивалентной задаче управления конечномерным объектом, описываемым сосредоточенной подсистемой уравнений исходной модели;
- вычислительные алгоритмы, базирующиеся на операции построения отображений параметризуемых структур управляющих воздействий на множество параметров в пространственно-временной области их определения, последующей процедуре точной редукции к задаче полубесконечной оптимизации и её решении альтернансным методом;
- инженерные методики, способы организации вычислительных процедур и алгоритмы оптимального управления, распространяющие предлагаемый метод точного решения ЗОУ ТОРП на ряд актуальных для ведущих отраслей промышленного производства задач оптимизации процессов технологической теплофизики;
- метод совместного решения задач оптимального проектирования и управления объектами технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями;
- метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности с управляющим воздействием по ограниченным значениям вторых производных идентифицируемых воздействий;
- результаты анализа и реализации алгоритмов оптимального управления процессами технологической теплофизики.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы, основанные на системном подходе к решаемой проблеме, в том числе методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории тепло- и массопереноса, аппарат конечных интегральных преобразований, методы численного и компьютерного моделирования, экспериментальные методы исследования ТОРП.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата, теории управления и методов математического моделирования СРП. Справедливость выводов относительно адекватности используемых математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов управления подтверждена результатами математического моделирования и промышленными экспериментами.
Реализация результатов исследований.
Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:
- при выполнении с фундаментальной НИР «Создание основ теории и способов реализации точных методов определения алгоритмов оптимального управления объектами с распределенными параметрами», проводимой в СамГТУ по заданию Минобрнауки РФ;
- при выполнении НИР, проводимых СамГТУ в рамках Программы совместных научных исследований с Институтом Электротехнологий Университета им. Лейбница (г. Ганновер, Германия) в области оптимизации электротермических процессов;
- при выполнении НИР «Модели последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий, модельный анализ и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления распределенными объектами механики сплошных сред» по Программе №22 «Процессы управления» фундаментальных исследований Президиума РАН;
- при выполнении НИР по проектам Российского Фонда Фундаментальных Исследований «Разработка основ теории и методов реализации стратегии гарантированного результата в процессах идентификации и управления техническими системами с распределенными параметрами» (проект 06-08-00041) и «Разработка методов математического моделирования и оптимального управления взаимосвязанными электромагнитными и тепловыми полями в энерготехнологических процессах и установках промышленных производств» (проект 07-08-00342);
- при выполнении НИР по заданиям Рособразования в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)»: «Алгоритмы оптимального управления технологическими процессами индукционного нагрева с гарантированными критериями качества» (Проект 2.2.2.3.9691); «Оптимальное управление технологическим комплексом «нагрев - обработка давлением» (Проект 2.2.2.3.10157); «Оптимизация процессов нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока» (Проект 2.2.2.3.16170);
- при проектных разработках систем управления технологическим оборудованием в ОАО «СМЗ» (Самарский металлургический завод, г. Самара) и на Уральском машиностроительным заводе (г. Миасс Челябинской обл.);
- в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке инженеров по специальностям 220201 «Управление и информатика в технических системах», 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».
Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях и коллоквиумах, в том числе на Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-08).- Ганновер, Германия, 2008; X-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2008; Международной научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация и управление»- Москва, 2007; IX-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2007; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-07). - Падуя, Италия, 2007; Седьмой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». - Новочеркасск, 2007; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006; VIII-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2006; X-й Международной научно-практической конференции «Системный анализ, проектирование и управление». - Санкт-Петербург, 2006; 2-й Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Мехатроника, автоматизация, управление». - Уфа, 2005; 5-ом Минском международном форуме по тепло- и массообмену. - Минск, 2004; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-04) - Падуя, Италия, 2004; V-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2003; Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-03) - Ганновер, Германия, 2003; Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». - Москва, 2003; Международном Семинаре «East-West: Electrotechnology Network» - Санкт-Петербург, 2002; IV-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2002; Международном Семинаре «Induction Heating Seminar» (IHS-01). - Падуя, Италия, 2001; Международном Форуме «Тепломассообмен ММФ-2000. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена». - Минск, 2000; Международном Симпозиуме «International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Engineering» (ISEF 99). - Павия, Италия, 1999; 8-ом Международном Семинаре «Induction Heating». - Флорида, США, 1998; Международном Научном Конгрессе «Молодежь и наука- третье тысячелетие». - Москва, 1997; Всероссийской научно-технической конференции «Надежность механических систем». - Самара, 1995; V Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объёмных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ». - Сергиев-Посад, 1995; Международном Симпозиуме «Научные проблемы технологических процессов, связанных с вопросами сбережения энергоресурсов и экологии». - Санкт-Петербург, 1994.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 научных работах, в том числе в 1 монографии и 15 статьях, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, содержащего 198 наименований. Диссертационная работа содержит 416 страниц машинописного текста, включающего 124 рисунка, 26 таблиц.
решение краевой задача технологический
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, формулируются цель и основные задачи работы, кратко характеризуются научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе проводится анализ проблемы оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами, который приводит к необходимости дальнейшей разработки конструктивных методов точного в рамках используемых моделей решения краевых задач оптимизации СРП с заданной допустимой погрешностью приближения к требуемому конечному состоянию объекта.
Рассматриваются содержательные постановки, основные типы задач оптимального управления СРП и анализируются основные методы современной теории оптимального управления СРП.
Как следует из приведенного анализа, центральной проблемой в теории управления системами с распределенными параметрами остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями, в том числе, при неполном измерении состояния.
Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, связанные с использованием конечномерных аппроксимаций при описании ТОРП, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми в виду неуправляемости объекта относительно желаемого в идеале конечного состояния. При этом точные решения задач оптимального управления для исходных моделей ТОРП по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории фактически не могут быть получены из-за бесконечной размерности определяющих систем уравнений, характеризующих поведение СРП в соответствующем пространстве состояний.
Применительно к широкому кругу прикладных задач оптимизации СРП эффективный путь преодоления указанных затруднений состоит в учете практически всегда существующих допусков на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме. Оценка этих допусков в заданной метрике приводит к постановке оптимальной задачи с подвижным правым концом в бесконечномерном фазовом пространстве СРП, целевое множество в котором однозначно характеризуется допустимой погрешностью приближения к желаемому в идеале конечному состоянию объекта.
В последующих разделах диссертации показывается, что алгоритмы оптимального управления в подобных задачах оказываются вполне реализуемыми. Поиск этих алгоритмов сводится, путем применения специальной процедуры предварительной параметризации управляющих воздействий и последующей операции точной редукции, к разрешаемым известными способами конечномерным экстремальным задачам, размерность которых непосредственно определяется требуемой точностью попадания в номинальную точку и в большинстве реальных ситуаций оказывается невысокой. При этом весьма продуктивным оказывается подход к организации вычислительных алгоритмов с использованием параметризации искомых оптимальных управлений на конечномерном множестве параметров, отличных от составляющих бесконечномерного вектора начальных значений сопряженных переменных, естественным образом выступающего в этой роли при использовании аналитических условий оптимальности в форме стандартных процедур принципа максимума Понтрягина.
В соответствии со сказанным, задача исследования сводится к разработке и теоретическому обоснованию нового метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством конечных состояний; построению конструктивных вычислительных алгоритмов, способов их реализации и применения для широкого круга прикладных задач управления технологическими объектами, представляющих самостоятельный интерес в соответствующих предметных областях.
Вторая глава посвящена описанию и теоретическому обоснованию предлагаемого точного метода решения краевых задач оптимального управления ТОРП.
В качестве базовой модели ТОРП в диссертации рассматриваются линейные краевые задачи, допускающие максимальные возможности для их аналитического исследования, получения фундаментальных результатов общего характера и в то же время оказывающиеся достаточно представительными для качественного и количественного описания широкого круга реальных управляемых процессов. В дальнейшем в работе демонстрируются возможности распространения получаемых результатов на задачи управления гораздо более сложными моделями ТОРП.
Управляемая функция состояния распределенного объекта описывается в зависимости от пространственной координаты и времени t типовым пространственно-одномерным уравнением второго порядка в частных производных параболического типа:
(1)
моделирующим, в частности, в линейном приближении широкий круг процессов тепломассопереноса в технологической теплофизике, с заданными начальными:
(2)
и граничными условиями:
(3)
распределенным внутренним и (или) сосредоточенными граничными управляющими воздействиями, соответственно , при заданных постоянных () и в общем случае координатно-зависимых () коэффициентах.
В настоящей работе при формальных исследованиях общего характера предполагается использование точных описаний поведения управляемой величины в рамках рассматриваемого класса моделей, сохраняющих основные качественные особенности ТОРП и исключающих тем самым потерю сущностных физических свойств СРП, связанную с типовыми схемами исходной дискретизации уравнений модели объекта. Неизбежные при конкретном анализе приближения, в частности, цифровые модели объектов, применяются лишь на конечном этапе численного решения задач оптимизации по уже найденным алгоритмам управления, т.е. используется метод завершающей дискретизации.
Общая постановка краевой задачи оптимального управления формулируется для описания модели ТОРП бесконечной системой уравнений в нормальной форме Коши:
(4)
относительно вектора фазовых переменных , конкретный содержательный смысл которых определяется используемым способом редукции уравнений модели (в частности, (1)-(3)) к виду (4).
Здесь - вектор управляющих воздействий
,
которые для широкого круга прикладных задач описываются в классе кусочно-непрерывных функций и связываются с , в (1), (3) выбираемой схемой приведения к модели (4). В реальных условиях изменение во времени управляющих воздействий ограничивается некоторой заранее заданной замкнутой областью их допустимых значений:
. (5)
В общем случае требования к конечному состоянию объекта при формулируются в виде условий его принадлежности некоторому множеству бесконечномерного фазового пространства переменных :
. (6)
Качество процесса управления оценивается интегральным функционалом I с заданной подынтегральной функцией , которая предполагается непрерывной по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемой по фазовым координатам:
. (7)
В работе формулируется следующая базовая задача оптимального программного управления объектом (4).
Задача 1. Среди допустимых управляющих воздействий (5), переводящих объект управления (4) из заданного начального в желаемое конечное состояние, согласно (6), требуется найти такое оптимальное управление и отвечающую ему фазовую траекторию , для которых критерий оптимальности (7) принимает экстремальное значение.
Применение стандартной процедуры принципа максимума Понтрягина, распространяющегося на задачу 1, приводит к весьма сложной бесконечномерной краевой задаче оптимального управления. Для данной краевой ЗОУ формально существует решение относительно искомых управляющих воздействий, представляемых в форме существенно нелинейных параметрических зависимостей от начальных значений бесконечного числа сопряженных переменных Трудности фактического вычисления таких решений приобретают принципиальный характер в классической двухточечной постановке с вырождением множества в (6) заданную точку
поскольку из-за отсутствия информации о значениях исходная ЗОУ сводится к практически неразрешимой относительно бесконечной системе равенств заданным величинам конечных значений фазовых координат :
.
Зависимости от неизвестного вектора представляются в явной форме после интегрирования уравнений объекта (4) с параметризованными на множестве управляющими воздействиями.
Кроме того, в целом ряде типичных требований к заданному конечному пространственному распределению функции состояния , объект либо оказывается неуправляемым относительно требуемого конечного состояния, либо заданное конечное состояние достигается в классе технически нереализуемых оптимальных управлений. В диссертации показано, что широко распространенные на практике способы приближенного решения этих задач, реализуемые по схеме исходной дискретизации, обладают рядом существенных недостатков, либо вообще оказываются неприменимыми в случае неуправляемости исходной модели ТОРП относительно заданного конечного состояния .
В качестве эффективного пути преодоления указанных затруднений предлагается отказаться от традиционной схемы с фиксированным концом фазовой траектории уже на стадии постановки задачи, рассматриваемой для точной бесконечномерной модели ТОРП в рамках исходного описания управляемого процесса. Классическая формальная двухточечная схема, как правило, не соответствует практически предъявляемым требованиям к конечному состоянию , для которого во всех реальных ситуациях существуют некоторые ненулевые допуски на отклонение от желаемого распределения .Это означает, что на самом деле можно ограничиться постановкой задачи с эквивалентным требованию (6) заданным целевым множеством G конечных состояний
, (8)
каждое из которых отвечает допустимой величине такой погрешности, оцениваемой заранее выбираемым способом. Реально предъявляемым требованиям в большинстве наиболее характерных прикладных задач соответствуют оценки этой погрешности в равномерной метрике по максимальной величине абсолютного отклонения от в пределах пространственной области, занимаемой объектом. Применительно к рассматриваемому классу задач управления ТОРП, при заданном допустимом значении соответствующее целевое множество автоматически исключает недопустимые локальные отклонения конечного пространственного распределения управляемой величины от заданного состояния и описывается следующим соотношением:
. (9)
В связи со сказанным в диссертации предлагается постановка задачи оптимизации ТОРП с заданным в бесконечномерном фазовом пространстве достижимым целевым множеством (9), что создает потенциальные возможности её точного решения в классе технически реализуемых алгоритмов оптимального управления.
Применение к уравнениям объекта (1)-(3) конечных интегральных преобразований по пространственному аргументу с ядром, равным его собственным функциям , где - собственные числа, приводит к представлению модели ТОРП (4) бесконечной системой линейных уравнений относительно коэффициентов (временных мод) разложения в бесконечный ряд по :
(10)
с последующим восстановлением управляемой функции состояния СРП по известным модам в виде суммы ряда:
. (11)
Здесь , - моды разложения внутреннего распределенного воздействия и заданного начального распределения в бесконечные ряды вида (11); и - постоянные коэффициенты. Ограничения на поведение сосредоточенных управлений и , фигурирующих в граничных условиях (3), чаще всего представляются в простейшей форме с заданными границами диапазона их возможного изменения:
. (12)
Аналогичным образом формулируются ограничения на внутреннее распределенное управляющее воздействие, включаемое непосредственно в уравнение объекта (1):
. (13)
Тем самым на модальные управления накладывается связанное ограничение:
. (14)
При моделировании ТОРП системой уравнений (10), (11) целевому множеству (9) в бесконечномерном фазовом пространстве переменных отвечает допустимая область конечных состояний объекта в (6) следующего вида:
(15)
для заданной величины равномерного приближения к на отрезке изменения пространственной переменной. Интегральный функционал качества (7) при управлении объектом (10) с заданной подынтегральной функцией векторов управляющих воздействий
и фазовых переменных может быть записан в следующей форме:
. (16)
Теперь задача 1 конкретизируется следующим образом.
Задача 2. Среди стесненных заданными ограничениями (12), (14) управляющих воздействий , переводящих бесконечномерный объект управления (10) из заданного начального состояния в требуемое конечное состояние (15), необходимо найти оптимальное управление и соответствующую ему оптимальную траекторию , для которых критерий оптимальности (16) принимает наименьшее значение.
Точное решение сформулированной бесконечномерной ЗОУ ТОРП с помощью известных аналитических условий оптимальности связано с серьезными затруднениями и оказывается практически невыполнимым. Ситуация с негладким целевым множеством (15), кроме того, принципиально усложняется отсутствием классических условий трансверсальности для определения конечной точки оптимального процесса на его границе.
В диссертации разработан новый конструктивный метод решения задачи 2, существенно использующий ряд свойств целевых множеств (15). Для этого предлагается реализуемый в процессе применения стандартных процедур принципа максимума специальный способ конечномерной параметризации управлений на множестве значений бесконечного числа сопряженных переменных в конце оптимального процесса с числом параметров, однозначно определяемым величиной в (15). На этом множестве формируется такая упорядоченная определенным образом последовательность конечного числа S параметров, однозначно характеризующих зависящую от выбора S структуру оптимального управления, которая обеспечивает с возрастанием S попадание под действием этого управления в сужающиеся с уменьшением к заданной номинальной точке целевые множества (15). Тем самым гарантируется возможность достижения уменьшающихся с увеличением S отклонений от требуемого в идеале конечного состояния ТОРП. В качестве указанной последовательности выбирается S-мерный вектор
финишных значений первых S сопряженных функций, соответствующих первым S модам , , управляемой величины, при равных нулю всех остальных значениях
, :
(17)
Равенства (17) представляют собой условия трансверсальности на правом конце траектории в бесконечномерном фазовом пространстве СРП. При этом, согласно известным соотношениям, связывающим эти условия с положением конца фазовой траектории оптимального процесса, первые S составляющих соответствуют некоторым (априори неизвестным для каждого вектора фиксированным конечным значениям первых S мод
,
а остальные, равные нулю, составляющие означают свободу выбора величин
, ,
на числовой оси для остальных модальных переменных. Тогда для вектора модальных переменных в конечный момент оптимального процесса выполняются следующие условия:
. (18)
С этой точки зрения параметры (17) представляют собой опосредованное отображение в пространстве сопряженных переменных возможных вариантов конечного состояния части фазовых координат объекта , для каждого из которых конечные значения остальных компонент вектора автоматически определяются при решении краевой задачи принципа максимума (П-системы) из условий минимизации критерия оптимальности (16).
Стандартная процедура принципа максимума приводит путем решения П-системы в условиях (17) к параметрическому представлению искомого программного оптимального управления на конечномерном множестве S параметров
.
При этом для каждого достижимого значения в (15) оптимальное управление следует искать именно в этом классе управляющих воздействий, поскольку они учитывают все возможные комбинации S первых величин в (18), и конечные значения остальных мод находятся из условий минимизации функционала (16). Интегрирование уравнений объекта с управлениями приводит к параметрическому представлению конечного состояния системы . В классе управлений достигается в равномерной метрике некоторое отличное от нуля минимально возможное отклонение (минимакс) конечного состояния объекта от требуемого:
. (19)
Соотношение между величинами минимаксов в (19) для различных значений S устанавливает следующее утверждение, доказательство которого приводится в диссертации.
Минимально достижимые в классе управлений значения ошибки равномерного приближения к в (19) образуют невозрастающую (как правило, убывающую) последовательность неравенств:
. (20)
Здесь при некотором минимакс совпадает с минимально возможной ошибкой равномерного приближения к , достижимой на множестве управлений с любым числом S параметров в (17).
В силу неравенств (20) значениям , отвечают целевые множества вида (15):
, (21)
сужающиеся к номинальной точке при , согласно (20), вплоть до значения , где точная нижняя грань больше или равна нулю, соответственно, для неуправляемых или управляемых относительно объектов, и, следовательно,
(рисунок 1).
Для целевых множеств с непустой внутренностью при
,
неравенства (20) определяют потенциальную возможность выполнения условий (15) при конечном числе S, что принципиально упрощает соответствующую краевую задачу.
Сложность структуры оптимальных управлений при их описании параметрическими зависимостями определяется соответствующей размерностью
вектора в (17). Если оптимальное управление характеризуется вектором параметров , то его размерность , как это непосредственно следует из (20) по самому определению (19) величины минимакса, должна отвечать неравенству:
для всех
, , (22)
определяющему, тем самым, нижнюю границу требуемого числа параметров , при котором обеспечивает заданную точность приближения к номинальной точке, но оставляющему открытый вопрос о конкретном выборе по заданной величине в (15).
Решение этой задачи исчерпывается установленным в работе принципом минимальной сложности параметризованной структуры оптимальных программных управлений, который формулируется следующим образом. Размерность вектора параметров оптимального управляющего воздействия совпадает со своей нижней границей в (22) и находится по правилу
для всех , (23)
согласно которому принадлежит к классу управляющих воздействий, характеризуемых минимальным числом параметров из всех чисел , при котором еще оказывается возможным осуществить перевод объекта в заданное целевое множество (15), и, следовательно, оптимальное управление отличается структурой минимальной сложности по сравнению со всеми другими, обеспечивающими выполнение требований (15) к конечному состоянию объекта (рисунок 2).
Рисунок 1 - Семейство целевых множеств (1,2 фазовые траектории, при управлениях, определяемых векторами параметров и )
Рисунок 2 - Принцип минимальной сложности -параметризованной структуры оптимальных управлений
Согласно (23), определяется по месту заданного допуска в последовательности неравенств (20) для значений минимаксов , которые должны рассматриваться в качестве дополнительных неизвестных в процессе решения ЗОУ. Проблема их вычисления представляет собой самостоятельный интерес.
Если в рассматриваемой задаче 2 оптимального управления из условий (17) следует, что все сопряженные переменные, начиная с -ой, тождественно равны нулю:
, (24)
а в качестве аргументов в (16) фигурируют не более S первых составляющих , , вектора :
, (25)
то в таком случае функция Понтрягина в задаче 2 будет иметь вид:
(26)
Вместе с условием максимума Н на оптимальном управлении, ограничениями (12), (14) и первыми S уравнениями объекта (10) уравнения сопряженной системы для
(27)
образуют краевую задачу принципа максимума для управления конечномерной подсистемой S уравнений объекта (10) при для каждой совокупности фиксируемых величин
,
в (18). Таким образом, при выполнении допущений (24), (25) оптимальное управление S первыми модами функции состояния ТОРП в задаче с любыми закрепленными значениями их величин в конце оптимального процесса одновременно является решением исходной ЗОУ точной бесконечномерной моделью объекта с теми же краевыми условиями для учитываемых модальных переменных в (18). Следовательно, в рассматриваемом частном, но достаточно характерном для приложений случае структура оптимального управления ТОРП устанавливается в задаче оптимизации конечномерного объекта, что кардинальным образом упрощает решение исходной ЗОУ.
Для преодоления трудностей решения П-системы, связанных со сложным характером зависимости искомых управляющих воздействий от граничных значений сопряженных переменных, в диссертации предлагается осуществить переход от вектора к соответствующему вектору параметров , , другой природы, непосредственно характеризующему управления оптимальной структуры в пространственно-временной области их определения. Сопоставление и параметризованных структур с учетом общих свойств функции Понтрягина и особенностей конкретной задачи во многих случаях создают возможности построения однозначных отображений в форме соответствующей замкнутой системы соотношений, связывающих компоненты векторов и . В более простых ситуациях соответствующие условия оптимальности позволяют сразу получить -параметризованные представления оптимальных управлений, минуя этап -параметризации.
Предлагаемая в работе процедура параметризации в ЗОУ ТОРП отличается от известных, связанных, в основном, с исходной дискретизацией моделей СРП, отсутствием соответствующей погрешности моделирования; меньшей размерностью задачи по числу переменных; иным физическим смыслом компонент вектора параметров . В роли обычно небольшого числа параметров чаще всего фигурируют длительности во времени или протяженности по пространственным координатам отдельных интервалов изменения искомых управляющих воздействий по заранее фиксируемым с помощью рассматриваемых условий экстремума оптимальным зависимостям от соответствующих аргументов. При выборе в виде упорядоченной определенным образом последовательности S параметров подобно , в (17), конкретный характер которой диктуется знаниями предметной области применительно к каждой конкретной задаче оптимизации, минимально достижимые значения в классе управлений, однозначно характеризуемых величиной S, определяемые, подобно (19), на множестве значений и численно равные , монотонно убывают с возрастанием , подобно (20).
В широком классе задач -параметрической оптимизации сохраняется принцип (23) минимальной сложности структуры оптимальных управлений. Переход к параметрическому представлению оптимальных управлений вместо позволяет исключить сложную процедуру решения П-системы относительно , обращаясь к другим эффективным способам фактического решения оптимальной задачи. Интегрирование уравнений объекта с параметризованными управляющими воздействиями позволяет получить конечное состояние объекта и значение критерия оптимальности (16) в виде явных функций, соответственно и вектора . В результате, без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей, осуществляется точная редукция исходной ЗОУ СРП к специальной задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО)
(28)
(29)
на минимум функции конечного числа S переменных , с бесконечным числом ограничений для всех , записываемых в форме одного условия (29). Задача (28), (29) не содержит сопряженных переменных и отыскание её экстремалей не связано с наиболее сложной процедурой решения П-системы принципа максимума.
Решение достаточно широкого круга ЗПО вида (28), (29) с учетом правила (23) относительно всех характеристик оптимального процесса, включая число и величины
,
составляющих вектора параметров , однозначно определяющего искомые управляющие воздействия, а также априори неизвестные значения минимаксов при
в (29),
может быть получено в условиях малостеснительных ограничений альтернансным методом.
Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора оптимальных решений ЗПО (28), (29), являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, и дополнительной информации о конфигурации пространственного распределения результирующего состояния управляемой величины, диктуемой закономерностями предметной области конкретной рассматриваемой задачи.
Согласно альтернансным свойствам, равные допустимой величине одинаковые значения максимальных отклонений
достигаются в некоторых точках на отрезке , общее число которых оказывается равным числу искомых неизвестных в ЗПО (28), (29). Последующая редукция данных равенств на основании дополнительных сведений о форме кривых на к соответствующей системе уравнений относительно этих неизвестных, конструируемой по определенной совокупности правил, и последующее ее решение известными и проблемно-ориентированными численными методами исчерпывают решение исходной ЗОУ ТОРП.
В диссертации предложена и подробно описана регулярная процедура построения вычислительных алгоритмов точного решения достаточно широкого круга задач оптимизации ТОРП в рассматриваемой постановке, базирующаяся на полученных результатах общего характера (рис. 3). Рекомендуемая методика предполагает обязательное использование основных закономерностей предметной области и распространяется в последующих разделах диссертации на целый ряд прикладных задач оптимизации с сосредоточенными, пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями более сложных объектов с распределенными параметрами по сравнению с их типовыми моделями (рис. 4).
Рисунок 3 - Регулярная процедура точного решения задач оптимизации ТОРП
Рисунок 4 - Задачи оптимизации объектов технологической теплофизики
В третьей главе представлены результаты эффективного применения предлагаемого точного метода решения краевых задач оптимального управления ТОРП применительно к широкому кругу актуальных задач оптимизации процессов технологической теплофизики, характерных для целого ряда типичных технологий термической обработки металлических полуфабрикатов перед последующими операциями пластической деформации.
Полученные в работе результаты являются новыми, обладают рядом преимуществ перед известными в силу обоснованных в главе 2 общих преимуществ предлагаемого подхода, представляют самостоятельный интерес в соответствующих предметных областях и базируются на фундаментальных закономерностях нестационарных температурных полей, моделирующих поведение реальных промышленных объектов.
Из анализа решенных в диссертации задач следует, что разработанный метод обеспечивает точную редукцию исследуемых ЗОУ к конечномерным экстремальным задачам невысокой размерности, что, в свою очередь, приводит к искомым управляющим воздействиям сравнительно просто реализуемой структуры и резко упрощает технологию вычислительных процедур по их параметрическому синтезу.
В §3.1 общая методология применяется для решения типовой модельной задачи минимизации эффекта термохимических взаимодействий при нагреве металлических заготовок под обработку давлением, затраты на которые (в первую очередь, потери металла в окалину) являются одной из главных статей себестоимости производства конечной продукции технологических комплексов «нагрев - обработка давлением”».
...Подобные документы
Знакомство с моделью двухпроводной линии передачи. Характеристика цепей с распределенными параметрами. Рассмотрение способов решения телеграфных уравнений. Особенности линий передачи электрических сигналов. Анализ эквивалентной схемы участка линии.
презентация [192,5 K], добавлен 20.02.2014Схема линий с распределенными параметрами. Телеграфные уравнения для синусоидального сигнала. Расчет постоянной сопротивления, мощности и коэффициента полезного действия линии. Напряжение и ток длинной линии без потерь. Длина электрической волны.
контрольная работа [535,8 K], добавлен 27.06.2013Уравнения линии с распределенными параметрами. Эффект непрерывного изменения тока и электрического напряжения вдоль линии. Продольное активное сопротивление единицы длины линии. Применение законов Кирхгофа. Линии синусоидального тока без потерь.
реферат [801,3 K], добавлен 21.12.2013Характеристика длинных линий, соизмеримых с длиной электромагнитной волны; распределение их индуктивности, емкости, активного сопротивления. Установившийся гармонический режим однородной линии. Бегущие волны; свойства падающей и отраженной волн тока.
презентация [234,0 K], добавлен 28.10.2013Экспериментальное исследование распределения напряжения и тока вдоль однородной линии при различных режимах работы. Расчет зависимости действующих значений напряжения в линии от координаты для каждого режима. Графики расчетных функций напряжения.
лабораторная работа [771,3 K], добавлен 19.04.2015Первичные и вторичные параметры электрической линии. Формы записи токов и напряжений. Волны и виды нагрузки в длинной линии без потерь. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. Коэффициент стоячей волны, векторные диаграммы.
презентация [257,4 K], добавлен 20.02.2014Расчет цепей при замкнутом и разомкнутом ключах. Определение переходных тока и напряжения в нелинейных цепях до и после коммутации с помощью законов Кирхгофа. Расчет длинных линий и построение графиков токов при согласованной и несогласованной нагрузке.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 13.07.2013Расчет напряжения и токов в узлах в зависимости от времени. Графики напряжений, приходящих и уходящих волн. Метод бегущих волн и эквивалентного генератора. Перемещение и запись волн в массивы. Моделирование задачи в Matlab. Проектирование схемы в ATP.
лабораторная работа [708,4 K], добавлен 02.12.2013Проблема комплексной автоматизации. Структуры автоматизированной системы управления ТЭС. Анализ и выбор современных средств управления и обработки информации. Разработка функциональной схемы системы управления за параметрами. Управления расходом воды.
курсовая работа [424,9 K], добавлен 27.06.2013Применение автоматизированных систем управления. Технический, экономический, экологический и социальные эффекты внедрения автоматизированной системы управления технологическими процессами. Дистанционное управление, сигнализация и оперативная связь.
курсовая работа [479,2 K], добавлен 11.04.2012Разработка математических методов и построенных на их основе алгоритмов синтеза законов управления. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Применение спектрального метода для решения обратных задач динамики, характеристики функций.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 14.12.2009Разработка на основе концепций обратных задач динамики математических методов и построенных на их основе алгоритмов синтеза законов управления; определение параметров настройки САУ. Применение спектрального метода для решения обратных задач динамики.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 14.01.2010Общие свойства линейных цепей с постоянными параметрами. Рассмотрение преобразования сигналов линейными цепями в частотной и временной области. Простейшие цепи и их характеристики: фильтры интегрирующего, дифференцирующего и частотно-избирательного типа.
контрольная работа [739,7 K], добавлен 13.02.2015Мгновенные значения величин. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений. Расчет показателей ваттметров, напряжения между заданными точками. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
реферат [414,4 K], добавлен 30.08.2012Принцип действия магнитноразрядного измерителя плотности, механизм возникновения самостоятельного разряда. Разработка модернизированной математической модели моделирования аэродинамического взаимодействия набегающего потока с заданными параметрами.
дипломная работа [798,2 K], добавлен 03.02.2012Анализ взаимодействия электромагнитных волн с биологическими тканями. Разработка вычислительного алгоритма и программного обеспечения для анализа рассеяния монохроматических электромагнитных волн неоднородными контрастными объектами цилиндрической формы.
дипломная работа [3,3 M], добавлен 08.05.2012Построение задач термоупругости. Модели сплошной среды. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния. Плоские гармонические термоупругие волны расширения в неограниченной среде. Отражение преломления термоупругих волн в матричной формулировке.
курсовая работа [437,4 K], добавлен 26.04.2010Характеристика основных методов решения задач нелинейного программирования. Особенности оптимизации текущего режима электропотребления по реактивной мощности. Расчет сети, а также анализ оптимальных режимов электропотребления для ОАО "ММК им. Ильича".
магистерская работа [1,2 M], добавлен 03.09.2010Производственная характеристика хозяйства и состояние его электрификации. Анализ оборудования и процессов работы в птичнике. Расчет электропривода, вентиляции, освещения, силовой сети. Автоматизация системы управления технологическими процессами.
дипломная работа [2,6 M], добавлен 11.07.2012Определение закона изменения тока в катушке индуктивности классическим методом и методом интеграла Дюамеля. Решение системы уравнений состояния цепи после срабатывания ключа. Нахождение изображения напряжения на конденсаторе с помощью метода двух узлов.
контрольная работа [281,0 K], добавлен 18.08.2013
