Электрон-фононные системы со спонтанным нарушением трансляционной симметрии

Носитель заряда, освобожденный фотоном из поляризационной потенциальной ямы, оказывается в одном из состояний непрерывного спектра, волновые функции которых будем аппроксимировать плоскими волнами. Такая аппроксимация является общепринятой в случае фотоэмиссии, когда энергия фотона порядка десятков электронвольт. В случае оптической проводимости (оптического поглощения) такое приближение использовалось в работе [10]. Ниже оно также будет использоваться, а применимость его подтверждается при сравнении результатов расчета с экспериментом. Процессы внутреннего фотоэффекта и фотоэмиссии существенно подобны, что и было использовано Эмином [10], и мы будем использовать это подобие для того, чтобы найти корреляцию спектров оптической проводимости и фотоэмиссии с разрешением по углам (ARPES), обусловленных фотодиссоциацией ПБР. Энергии связи ПБР, рассчитанные по экспериментальным спектрам оптической проводимости и ARPES одного и того же вещества согласно полученным в этой главе выражениям, практически совпадают (различие их не превышает 10%). Такой результат может рассматриваться как подтверждение возможности аппроксимации конечного состояния носителя при внутреннем фотоэффекте с помощью плоских волн.

В соответствии с золотым правилом Ферми вероятность перехода системы в единицу времени из состояния в состояние под действием оператора взаимодействия имеет вид . В случае фотодисоциации ПБР начальное состояние системы - основное состояние ПБР (5) при учете (9) и (11) в поле электромагнитной волны с частотой , поперечное поле электромагнитной воны взаимодействует лишь с носителем заряда в поляроне: [37] , где - оператор импульса электрона, A - амплитуда вектор-потенциала электромагнитного поля, - волновой вектор электромагнитной волны. Конечное состояние системы после фотодиссоциации , где сумма чисел (принимающих значения 0 или 1) из набора равна некоторому числу [A7,A9]. Тогда энергия конечного состояния , если не учитывать зависимость от q, и

. (20)

Так как оператор действует только на переменные электрона, вероятность перехода электрона в состояния с волновым вектором, имеющим модуль и направление в телесном угле , с образованием набора фононов имеет вид [A7]

,(21)

где - спектральная плотность конечных состояний носителя заряда с направлением его импульса в интервале углов от до и от до [10]. Согласно (20), зависимость от энергии электрона выражается соотношением

. (22)

Экспериментально может быть проверена только вероятность (21), просуммированная по всем возможным наборам, у которых общее число возбужденных квантов и суммарный волновой вектор фононов (в соответствии с законом сохранения импульса ) одинаковы. Отнеся такую сумму к интенсивности возбуждающего света, получим [A7]

(23)

В этой формуле символ над знаком означает, что суммирование проводится по тем наборам , для которых . При этом среди наборов нет набора с , т.к. для этого случая , поэтому , и . Таким образом, переход с имеет нулевую вероятность (23), и, соответственно, интенсивность бесфононной составляющей спектра равна нулю. Сумма в выражении (23), определяющая вероятность излучения фононов при фотодиссоциации ПБР и рассчитанная в [А7], имеет вид :

(24)

Для сравнения с экспериментом получим выражение для действительной части оптической проводимости [A8]. В соответствии с ее определением [37] можно записать: , где W(?,н) - вероятность (23), проинтегрированная по угловым переменным, Np - концентрация поляронов, и учтено, что поляроны взаимодействуют со светом в среде с показателем преломления. Тогда [A8]

, (25)

где Pн определяется выражением (24).

Чтобы рассчитать полосу в спектре ARPES, обусловленную фотодиссоциацией ПБР, будем использовать обычную для ARPES геометрию эксперимента [22,23], когда волновой вектор Q падающего фотона лежит в XZ-плоскости системы координат и образует угол ш с осью z. Плоскость XY системы координат совпадает с поверхностью образца. Волновой вектор k фотоэлектрона внутри среды будем характеризовать проекцией на XY плоскость и проекцией на перпендикулярное поверхности образца направление. Угол между и осью x обозначим ц.

Поскольку ARPES определяет энергию и импульс электрона вне среды, необходимо выразить вероятность (23) в терминах этих величин. В соответствии с законом сохранения энергии [22,23] кинетическая энергия электрона вне среды имеет вид

, (26)

где Ц - работа выхода. Компонента волнового вектора электрона, лежащая в плоскости XY, непрерывна на границе образца [22,23]. Перпендикулярная плоскости образца компонента терпит разрыв на границе. Если дисперсия электрона внутри и вне образца отличается только значением эффективной массы (m* и me, соответственно), то перпендикулярная проекция волнового вектора электрона вне среды имеет вид .

Вероятность (23), выраженная как функция волнового вектора и энергии электрона вне среды имеет вид [A8]

, (27)

(28)

где k' определяется выражением (26). Выражение (27) представляет собой вероятность фотодиссоциации ПБР при T=0K с появлением н фононов и фотоэлектрона с кинетической энергией и волновым вектором , направление которого заключено в телесном угле dЩ' вокруг направления, определяемого проекциями на X-, Y- и Z-оси: cosц, sinц, и , соответственно.

Далее в главе 3 результаты расчета по выражениям (25) и (27) сравниваются с данными экспериментов на сложных оксидах с сильным электрон-фононным взаимодействием [13-28] и с теоретическими предсказаниями, имеющимися в литературе. Рис.2 [А8] демонстрирует так называемые энергетические дисперсионные кривые (количество испущенных в данном направлении электронов как функция энергии связи), точнее, их огибающие, рассчитанные в соответствии с выражением (27). Полоса, рассчитанная в пренебрежении фононной дисперсией, состоит из отдельных линий, каждая из которых соответствует определенному числу испущенных в результате фотодиссоциации фононов. Если не пренебрегать фононной дисперсией, или если учесть конечное время жизни (щ-1) носителя в состоянии плоской волны, линии преобразуются в полосы, и результирующая суммарная полоса может быть структурированной или неструктурированной в зависимости от величины фононной дисперсии, поскольку расстояние между соседними линиями равно энергии фонона.



Рис.2. Энергетические дисперсионные кривые (их огибающие), рассчитанные по (27) при Ep=0.17 эВ, б=6, =20 эВ. Кривые от нижней до верхней соответствуют ky=0, kx=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 в единицах р/a. По оси абсцисс отложена так называемая энергия связи носителя заряда - разность между энергией фотона за вычетом работы выхода и энергией фотоэлектрона

Как показывает рис. 2, полоса в спектре ARPES, обусловленная фотодиссоциацией ПБР, оказывается весьма широкой. Ее полуширина порядка 1.3 - 1.7Ep, в зависимости от энергии фонона, а максимум соответствует энергии фотоэлектрона , или энергии связи носителя заряда 3.2Ep. Подобные широкие полосы наблюдаются в спектрах ARPES низкодопированных купратов [22-27], а энергии связи поляронов, рассчитанные по положению их максимума, хорошо согласуются с оцененными по формулам теории поляронов для типичных параметров среды.

В спектре оптической проводимости полоса, обусловленная фотодиссоциацией ПБР, рассчитанная в соответствии с (25), представляет собой широкую бесструктурную полосу с максимумом на фотонной частоте и полушириной (в случае =6-8). Естественно сравнить ее с так называемыми mid-IR полосами в средней инфракрасной области в спектрах оптической проводимости низкодопированных сложных оксидов (купратов [13-21] и никелатов [28]). Максимумы этих полос приведены во втором столбце Таблицы 1. Значения энергии связи ПБР, рассчитанные для этих материалов по положению максимума полос, обусловленных фотодиссоциацией ПБР, как приведены в третьем столбце Таблицы 1. Они находятся в хорошем согласии с величиной энергии связи Ep , рассчитанной в соответствии с теорией ПБР [2] при типичных для сложных оксидов значениях параметров среды 3-4, m*/me=1-2 (Ep=0.092-0.327 эВ). Как демонстрирует рис.3, не только положение, но и форма полосы в спектре оптической проводимости, обусловленной фотодиссоциацией ПБР, хорошо согласуется с формой mid-IR полос, наблюдаемых в низкодопированных купратах и никелатах [13-21,28].

Рис.3. Mid-IR полоса в спектре оптической проводимости Nd2CuO4-y [19] при температуре T=10K (ромбы) и полоса, обусловленная фотодиссоци-ацией ПБР с энергией связи =0.18 eV при =6 (сплошная кривая), рассчитанная в соответствии с выражением (25).

Помимо этих полос в экспериментальных спектрах наблюдаются также полосы с меньшей энергией максимума, близкой к рассчитанной по (25) величине Ep. Естественно интерпретировать их как полосы, обусловленные переходами в поляронное возбужденное состояние. Возникающая в результате таких переходов полоса была рассчитана в работах [11,12], где показано, что ее максимум соответствует энергии фотона, близкой к Ep.

Таблица 1. Положение максимумов mid-IR полос в экспериментальных спектрах оптической проводимости ( и - максимум более высокочастотной и более низкочастотной mid-IR полос, соответственно) и энергия связи полярона Ep , рассчитанная по

Материал	,эВ	Ep , эВ	, эВ
Yba2Cu3O6+y	0.620.05 [19]	0.1550.01	0.160.03 [19]
Nd2CuO4-y	0.760.01 [19]	0.18	0.1620.005 [19]
La2-xSrxCuO4+y	0.530.05 [19]	0.1260.01	0.160.03 [19]
La2CuO4+y	0.60.02 [19]	0.1430.005	0.130.02 [19]
Nd2-xCexCuO4 (x=0.05)	0.55 [20]	0.131	0.11 [20]
Nd2-xCexCuO4 (x=0.1)	0.39 [20]	0.093	0.09 [20]

Поскольку положение максимума полос, обусловленных фотодиссоциацией ПБР, в спектрах оптической проводимости и ARPES определяется одим параметром Ep, можно сравнить энергии связи полярона, рассчитанные по экспериментальным спектрам оптической проводимости и ARPES одного и того же материала. Как показывает это сравнение (Таблица 2), они хорошо согласуются, отличаясь не более чем на 10%. Это можно рассматривать как свидетельство наличия ПБР в низкодопированных купратах [A8]. Более того, зная положение максимума в одном спектре (например, оптической проводимости) можно предсказать положение максимума в другом (ARPES), используя соотношение 3.2/4.2.

Таблица 2. Сравнение энергий связи ПБР, оцененных по спектрам оптической проводимости и ARPES для одних и тех же материалов.

Материал, спектр ARPES которого известен	Ep , рассчи-танная по спектру ARPES, эВ	Материал, спектр оптической проводимости которого известен	Ep , рассчитанная по спектру оптической проводимости, эВ
Nd2-xCexCuO4 (x=0.04)	0.122 [26]	Nd2-xCexCuO4 (x=0.05)	0.131 [20]
La2CuO4+y	0.156 [24]	La2CuO4+y	0.1430.005 [19]

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена изучению эффектов движения ПБР. Как было показано в главе 2, поле поляризации в ПБР находится в когерентном состоянии, поэтому его изменение со временем при движении полярона описывается классическими уравнениями движения. В этих уравнениях достаточно просто учесть пространственную дисперсию поляризуемости кристаллической решетки. Учет ее, как показывалось и ранее [35], необходим для анализа движения ПБР, так как в отсутствие пространственной дисперсии максимальная групповая скорость фононов равна нулю, так что фононный волновой пакет не может участвовать в движении ПБР, и движение ПБР даже с очень малой скоростью будет приводить к его разрушению.

По причинам, которые будут ясны из дальнейшего, будем рассматривать состояние носителя заряда в среде, где он взаимодействует не с одной фононной ветвью, что является обычной моделью теории поляронов, а с двумя фононными ветвями [A1 - А4]. Пусть дисперсия частот продольных фононов имеет вид , i=1,2, где ui - максимальная групповая скорость фононов i-й ветви. Тогда Гамильтониан системы среда плюс носитель заряда имеет вид

, (29)

где - оператор поля носителей, m* - эффективная масса "свободного" носителя в зоне проводимости, и нулевой уровень энергии соответствует дну этой зоны, Pi - вектор поляризации, связанный с i-й фононной ветвью. Член вида P1P2 в гармоническом приближении отсутствует. Удобно записывать уравнения движения поля поляризации не для вектора поляризации, а для плотности поляризационного заряда i = - divPi , i = l, 2, связанной с каждой из двух фононных ветвей [A1,А4]:

, (30)

(31)

где - действительная волновая функция носителя в автолокализованном состоянии, сi - обратная эффективная диэлектрическая проницаемость, связанная с наличием i-й фононной ветви: и ,- диэлектрическая проницаемость на частотах в промежутке между 1 и 2, в сооветствии с соотношением Лиддена- Сакса-Теллера: , где TO2 - частота поперечных оптических колебаний, соответствующих 2-й ветви.

Система уравнений движения (30) и (31) может быть решена прямым вариационным методом. Для этого необходимо минимизировать функционал

 (32)

[A1], где неизвестные распределения поляризационного заряда 1(r,t) и 2(r,t) выражены через распределение заряда носителя при t=0 2(r) и соответствующие функции Грина G1 и G2:

. (33)

Для случая прямолинейного поступательного движения носителя с постоянной скоростью v функцию Грина уравнения (31) можно определить из уравнения:

. (34)

В цилиндрической системе координат, ось z которой параллельна скорости носителя v, функция Грина Gi(r,t) имеет вид [42]

(35)

Функцию Грина Gi(r,t) можно назвать специализированной, поскольку -функция в правой части уравнения (34) задает форму траектории. Легко заметить, что решение такого уравнения представляет собой распределение плотности поляризационного заряда, создаваемое движущимся точечным зарядом. Выражение (35) локализовано при v<ui, а при v>ui осциллирует с длиной волны вдоль оси z z=2(v2-u12)1/2/1 внутри конуса . При v>ui, но близких к ui, лz много меньше радиуса полярона, поэтому интеграл (33) равен нулю. Следовательно, конденсат фононов i-й ветви (поляризационная “шуба” из фононов i-й ветви) не может сопровождать движение полярона со скоростью v>ui.

Пусть для определенности u1<u2. Тогда ПБР, скорость которого v<u1, имеет две поляризационные “шубы” из фононов обеих ветвей. Будем называть его двойным поляроном (ДП). Если условие адиабатичности выполняется для случая, когда носитель взаимодействует только с ветвью 2 (т.е. поляризационной “шубы”, соответствующей ветви 2, достаточно для поддержания автолокализованного состояния носителя), при средней скорости носителя заряда v из интервала u1<v<u2 он также находится в поляронном состоянии, но уже с одной поляризационной “шубой”, соответствующей 2-й ветви. Такой полярон назовем одинарным поляроном (ОП).

Рис.4. Пример автолокализаци-онной зонной структуры носите-ля заряда в среде с двухкомпонентной поляризуемостью кристаллической решетки. По оси абсцисс отложен средний импульс носителя заряда. Его критические значения, соответствующие разрывам зоны, равны m*u1 и m*u2.

При v>u2 сопровождать движение носителя заряда не может и вторая поляризационная “шуба”. Таким образом, поляронная зона оказывется ограниченной по импульсам и в случае среды с двухкомпонентной поляризацией имеет вид, изображенный на рис.4 [A1, A2].

Далее в главе 4 получены выражения для эффективной массы полярона, как инертной, продольной и поперечной, так и “энергетической”, в случае взаимодействия носителя заряда с одной фононной ветвью [A10-A13]. “Энергетическая” масса рассчитана [A10] как массовый коэффициент, характеризующий изменение энергии полярона с его скоростью: , где E(v) - энергия полярона, имеющего скорость v. При учете уравнения движения для Р: , где ,

можно представить функцию Гамильтона в виде

. (36)

Так как при учете (33) выражение для вектора поляризации имеет вид свертки: ,

дальнейший расчет удобно произвести, используя Фурье-разложения. Воспользовавшись свойством Фурье-образов сверток, можно записать Фурье-компоненту вектора поляризации Рk в виде произведения Фурье-образов функций :

, (37)

где k2 -- фурье-образ квадрата волновой функции носителя. Фурье-образ функции Грина легко получить, разложив обе части (34) в ряд Фурье. Эффективную “энергетическую” массу ПБР, рассчитанную по полученному таким образом выражению, как функцию скорости полярона при раличных значениях u демонстрирует рис.5.

Инертная масса ПБР определяется в главе 4 на основе производной по времени от среднего импульса полярона, (где - оператор импульса носителя), в предположении, что его скорость является функцией времени v = v(t) [A11,A12]. В локальной системе координат, которая в каждый момент времени связана с мгновенными направлениями скорости и ускорения, тензор инертной массы полярона всегда диагонален. Его компоненты (чисто поперечную инертную массу) можно рассчитать, полагая силу направленной вдоль оси x или y при скорости полярона, направленной вдоль оси z: [A12]. Продольную инертную массу mzz** можно получить, полагая, что действующая на полярон сила, как и его скорость, направлена вдоль оси z, [A11,А13]. Операторы рождения и уничтожения фононов bk+ , bk выражаются через операторы обобщенной координаты и импульса гармоники, для определения средних значений которых Pk, Tk, где , =4/(с2), используется выражение (37).

Пример зависимости эффективной массы ПБР, рассчитанной в соответствии с полученными в диссертации выражениями, от скорости полярона приведен на рис.5. Как показывает рис.5, “энергетическая” и инертная эффективная масса полярона демонстрируют квазирелятивистскую зависимость от скорости полярона, где в качестве скорости света выступает максимальная групповая скорость фононов и [А12]. Отличие от релятивистской зависимости связано с тем, что размер полярона в направлении движения при v и стремится не к нулю, а к конечному значению R. Отношение “размазки” за счет пространственной дисперсии u/ к квантовой «размазке» R определяет отличие массы полярона при v 0 от Пекаровской массы [2,32].

Рис. 5. Зависимость продольной инертной массы ПБР mzz** (кривые 1, 1', 1"), энергети-ческой массы ПБР men** (кривые 2, 2', 2") и поперечной инертной массы (кривые 3, 3', 3") от скорости полярона v для трех значений максимальной групповой скорости и фононов, участвующих в формировании ПБР. Кривые 1, 2, 3 соответ-ствуют и = 5 * 105 см с-1, кривые 1', 2', 3' -- и = 106 см с-1, кривые 1", 2", 3" -- и = 2 * 106 см с-1; остальные параметры среды: c=1/* = 0.27, = 6.78 * 1013 с-1, т* = me. Звездочкой на оси ординат показано значение Пекаровской эффективной массы MPek [2,32].

Далее в главе 4 исследуются эффекты когерентного квазичеренковского излучения волны поляризации, связанной с “низкоскоростной” ветвью [А1, А5], возникающего, как это видно из (35), (33), при движении одинарного полярона со скоростью v, u1<<v< u2. Это излучение тормозит движение полярона, обусловливая гигантские потери его энергии при движении в сильном электрическом поле. Впервые возможность подобных потерь вследствие электрон-фононного взаимодействия была предсказана Торнбером и Фейнманом [6] при использовании метода интегралов по траекториям, но механизм этих потерь не был определен вследствие специфики метода. В главе 4 потери на излучение на единицу длины пути рассчитаны с помощью функции Грина классического уравнения движения поляризационного поля [A5].

Для этого рассмотрено стационарное движение полярона в электрическом поле напряженностью E. Проекция силы торможения на направление движения (совпадающее с осью z) имеет вид:

, (38)

где G1 - функция Грина, определяемая (35). Величину Fz легко рассчитать, используя свойство фурье-образов сверток. Фурье-образ функции G1 находится как функция Грина уравнения , где зk(t) - фурье-образ :

, (39)

г - малый положительный параметр, характеризующий затухание, его знак определяет соответствующее принципу причинности положение полюсов функции G(k).

Рис. 6 (кривая 2) демонстрирует рассчитанную в соответствии с (38) зависимость потерь на квазичеренковское излучение от скорости полярона (напряженность E электрического поля, необходимую для поддержания скорости v полярона постоянной). Как следует из (35), условие возникновения излучения имеет вид v>u1. Однако, рис.6 показывает, что постепенное увеличение потерь от близких к нулю значений начинается при более высоких скоростях полярона вследствие того, что интерференция волн поляризации, излученных различными частями полярона, становится конструктивной, когда длина волны излучения начинает превышать радиус полярона Rpol. Из (35) также следует, что зависимость длины волны излучения, обусловленного элементом объема полярона, от его скорости имеет вид: =2(2-u12)1/2/ щ1. Поэтому условие возникновения когерентного излучения фононов имеет вид

. (40)

Частота излучения . Кривая 1 на рис.6 демонстрирует результат, полученный Торнбером и Фейнманом [6]. Различие в положении и высоте максимумов связано с различием использованных моделей, как это показывает кривая 3, рассчитанная в модели, приближенной к модели [6].

Экспериментально зафиксировать фононное излучение, порождаемое током поляронов, можно по рассеянию нейтронов [A14]. Оценка показывает, что относительное изменение импульса нейтронов с температурой порядка 1К в результате рассеяния их на когерентном фононном излучении будет заметным. Преимущественное направление рассеяния (направление волнового вектора излучения), как видно из (35), образует с направлением поляронного тока угол и=arccos(u1/v) [A5]. Поскольку его величина зависит от равновесной скорости полярона, ее можно изменять, меняя напряженность приложенного поля. Так как только возрастающая часть зависимости E(v) соответствует устойчивому равновесию, именно эту часть необходимо использовать при определении необходимой напряженности поля.

Рис.6. Кривые E(v) в логарифмическом масштабе. Кривая 1 рассчитана в соответствии с [6] для случая б=5, m*=me (что соответствует c1=с2=0.357), T=0.1, =0.07 эВ. Кривая 2 получена в соответствии с (38) для тех же параметров среды, что и кривая 1 (включая c2=0.357) и c1=0.03, u1=105 см/с, u>>u1. Кривая 3 рассчитана по выражению (38) для тех же параметров среды, что и кривая 2, кроме c1=с2 = 0.357, как это полагается в [6]

Помимо торможения движения полярона в сильном электрическом поле взаимодействие полярона с квазичеренковским излучением волн поляризации может (при соответствующих параметрах среды) стабилизировать движение двух поляронов на круговой орбите на частотах параметрического резонанса [A1,A15]. В главе 4 рассмотрено движение двух ОП с противоположно направленными импульсами на круговой орбите, радиус которой R0>>RОП, с частотой щ, такой, что его скорость v=щR0 удовлетворяет неравенству u1<<v<u2. Для этого записывается Гамильтониан и решаются уравнения движения для трех взаимодействующих полей, одно из которых (поле носителей заряда) квантованное, а два другие (поля поляризации) - нет, для электронной части системы используется приближение самосогласованного поля [A1]. Решение уравнения для специализированной функции Грина, соответствующей движению на круговой орбите, как была показано в работе [43], существует только при частотах щ из набора , который представляет собой половину набора частот параметрического резонанса. (Другая половина соответствует бесконечному увеличению амплитуды волны поляризационного заряда в результате передачи энергии движения полярона решетке.) Это решение имеет вид .

Как показывает численный расчет, функционал свободной энергии системы имеет минимум по параметрам волновой функции ОП в широком диапазоне изменения параметров среды [А1]. Квазичастицу, соответствующую этому минимуму, можно назвать резонансным биполяроном (РБ). Радиус R0 орбиты ОП определяется из условия равенства суммы нормальных проекций сил, действующих на каждый ОП, центростремительной силе . Энергия связи РБ для типичных параметров среды меньше энергии связи одноцентрового биполярона с корреляцией носителей заряда [44], но условие адиабатичности для образования РБ является менее жестким [A1].

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ строится функция распределения носителей заряда в системе, где возможно образование ПБР, и затем она используется для предсказания температурного поведения таких систем. Функциия распределения Ферми не может быть использована для систем с ПБР, так как она описывает распределение носителей по состояниям с определенным импульсом. В состоянии же ПБР неопределенность импульса носителя много больше его максимально возможного среднего значения [A16]. Действительно, по объему V0 области локализации носителя в поляроне можно оценить максимальное значение р0 импульса носителя в поляроне: (4/3)р03 = (2)з/V0. Как показано в главе 4, зона поляронов сильно ограничена по импульсам: максимальный средний импульс носителя в ПБР равен т*и, где т* -- эффективная масса носителя, и - максимальная групповая скорость фононов, участвующих в формировании ПБР. Во всех веществах с сильным электрон-фононным взаимодействием т*и<< р0.

Из-за ограниченности импульса ПБР ширина поляронной зоны много меньше энергии связи полярона Ep, так что энергия теплового движения поляронов не может быть большой, и их область существования должна быть ограничена по температурам. Из неравенства р0 >> т*и следует также вывод о существовании предельной, максимально возможной плотности поляронов в системе. В соответствии с принципом Паули в области пространства, занятой одним поляроном, другой носитель заряда может оказаться только со средним импульсом, большим р0 (без учета спинов). Но, так как р0 >> т*и, плотность поляронов в системе с учетом спинов не может превышать величину n0=2V0-1 . Конечно, это грубая оценка максимальной концентрации поляронов, так как она не учитывает их взаимодействие.

Возможность автолокализации накладывает ограничения и на заполнение нелокализованных состояний носителей. Нелокализованные носители с импульсами р < т*и не могут существовать даже в отсутствие поляронов в системе, так как они за время щ-1 (где щ -- частота фононов, взаимодействие носителя с которыми приводит к его автолокализации) будут переходить в автолокализованные состояния. В системе с плотностью поляронов 2V0-1 не могут по принципу Паули существовать и нелокализованные носители с импульсами p из интервала т*и <р < р0, так как вся область с р < р0 одночастичного (для носителей) фазового пространства уже занята автолокализованными носителями. При стремлении же плотности поляронов к нулю число возможных нелокализованных состояний носителя с р < р0 в системе объема V будет стремиться к 2VV0-1.

Рис.7.Дисперсия носителей за- Т.е. число доступных для частиц состояний ряда в среде с их однофононной одного сорта зависит от числа занятых такими автолокализацией. Штрихами частицами состояний другого сорта [A15]. показана область нелокализован- Зависимость энергии носителя в такой системе ных состояний, которые запол- от его среднего импульса показывает рис.7. няются, если общая концентрация Удобно называть носители с р < р0 носителей меньше максимальной «холодными», а с р > р0 -- «горячими».

Тогда концентрацию п0 = 2V0-1 можно назвать максимальной концентрацией холодных носителей. Возможность же существования любого горячего носителя никак не ограничена занятостью других состояний. Указанные свойства распределения носителей по состояниям должны быть адекватно отраженыв функции распределения. Но такой функции распределения до сих пор не было известно. Для ее построения в главе 5 используется метод Гиббса. Однако построение функции распределения на основе базиса, включающего состояния с определенной локализацией [A16], требует внесения изменений в этот метод, поскольку в обычной его реализации каждому состоянию приписывается определенная энергия.

Пусть носители в системе автолокализуются за счет взаимодействия с одной ветвью оптических фононов. Поскольку р0 >> т*и, любая скорость движения полярона v < и практически не влияет на область фазового пространства, занимаемую носителем этого полярона. Возможность же различной локализации полярона в кристалле объемом V является причиной существования 2VV0-1 различных (вне зависимости от среднего импульса носителя) поляронных состояний носителя в этом кристалле. Как уже указывалось, если поляроны занимают все 2VV0-1 состояний, то могут заполняться только нелокализованные состояния носителя с р > р0. В промежуточном случае холодные носители с импульсами р < р0 будут находиться частично в автолокализованном, частично в нелокализованном состояниях. То же самое можно сказать и о состояниях холодного фермиона в объеме V0. Этот объем в предельном случае может быть занят либо одним автолокализованным фермионом, либо одним нелокализованным, или, в общем случае, может быть частично занят локализованным и частично нелокализованным фермионом. При этом возможны два варианта: либо холодные фермионы в объеме V0 отсутствуют, либо этот объем занят одним холодным фермионом.

Будем рассматривать объем V0 ,содержащий N холодных фермионов, как подсистему с переменным числом частиц по методу Гиббса. Тогда вклад первого варианта (N = N1 + N2 = 0) в условие нормировки будет иметь вид exp(/T). Рассматривая случай N = 1, мы должны учесть, что если состояния одного типа полностью заполнены, то состояния другого типа недоступны. Тогда вклад случая N = 1 в условие нормировки будет иметь вид [A16]:

 (41)

где N2 -- число нелокализованных холодных фермионов, E1(p) -- энергия автолокализованного состояния, в котором средний импульс носителя равен р, E2(p) -- энергия холодного делокализованного носителя с импульсом р: Е2(р) = Epol +p2/2m. Нулевой уровень химического потенциала совпадает с дном зоны автолокализованных фермионов. Возможность двух предельных и всех промежуточных состояний холодных фермионов учитывается интегрированием по N2 в интервале от нуля до единицы.

Таким образом, условие нормировки будет иметь следующий вид:

(42)

[A16], откуда среднее число холодных фермионов в объеме V0

, (43)

Очевидно, что первое слагаемое в соответствует среднему числу поляронов, а второе - среднему числу “холодных” делокализованных носителей в объеме V0. Для среднего числа горячих фермионов в объеме V0 обычное использование распределения Ферми--Дирака дает

. (44)

Полная концентрация фермионов в системе есть сумма концентраций холодных и горячих носителей:

, (45)

откуда можно получить химический потенциал фермионов как функцию их плотности п и температуры Т.

На рис.8 изображена полученная по формулам (43)-(45) зависимость химического потенциала системы фермионов от их плотности n для нескольких значений температуры [A16]. Как видно из рис. 8, при n < n0 химический потенциал системы, в которой возможна автолокализация носителей, увеличивается с температурой, тогда как в системе нелокализован-ных фермионов он всегда уменьшается с ростом температуры. Такое поведение химического потенциала делает возможной Бозе-конденсацию метастабильных биполяронов, то есть биполяронов, энергия связи которых в расчете на носитель ниже, чем энергия связи поляронов, как это имеет место для обычного для сложных оксидов набора параметров среды [A16, A17].

Еще одной особенностью систем, где могут формироваться ПБР, является стремление химического потенциала к дну поляронной зоны при Т 0 K вне зависимости от концентрации n носителей при n < n0. Это связано, конечно, с тем, что при n < n0 и Т 0 K заполняется в основном поляронная зона, а количество поляронов в состоянии с одинаковым импульсом может быть макроскопическим. Такое вырождение можно назвать конденсацией автолокализованных фермионов в состоянии с наименьшей энергией.



Рис. 8. Кривые 1-4 - химический потенциал системы автолокализованных и нелокализованных фермионов как функция полной концентрации ферми-онов n/n0 при Т = 0.001 эВ, 0.005 эВ, 0.01 эВ и 0.02 эВ, соответствено. Кривая 5 - химический потенциал системы нелокализованных фермионов при T=0К. За нулевой уровень химпотенциала принято дно зоны проводимости

Рис. 9. Температурная зависимость концентрации поляронов - кривая 1 при n = 0.5n0 и кривая 1' при n = 1.8n0, холодных нелокализованных носителей - кривая 2 при n = 0.5n0 и кривая 2' при n = 1.8n0 и горячих фермионов - кривая 3 при n = 0.5n0 и кривая 3' при n = 1.8n0. Другие параметры системы: с = 1/- 1/0 = 0.27, и = 105 см с-1, m* = me.

Рис. 9 демонстрирует перераспределение носителей заряда между автолокализованными и свободными состояниями при изменении температуры, концентрации носителей в каждом состоянии рассчитаны в соотвествии с (43)-(45). Как видно из рис. 9, уже при температурах около 100 К, что много меньше энергии связи полярона (при рассматриваемых параметрах она составляет Epol =0.11 эВ), автолокализованные носители исчезают из системы, трансформируясь в делокализованные холодные состояния. При этом температура исчезновения поляронов не зависит от концентрации носителей в системе, а определяется лишь энергией связи полярона Epol и величиной максимальной групповой скорости и фононов, участвующих в его формировании. Зависимость температуры Тc, при которой плотность поляронов уменьшается в два раза, от этих параметров может быть аппроксимирована формулой [A18]

, (46)

где с - обратная эффективная диэлектрическая проницаемость. Ширина области перехода оказывается всегда величиной порядка Тс. Рис.9 также показывает, что при температурах ниже комнатной горячие фермионы появляются в системе только при n>n0. Значение этого результата связано с тем, что только горячие фермионы могут присутствовать в объеме, занятом поляроном, и, следовательно, участвовать в экранировании электрон-фононного взаимодействия носителями заряда.

Далее в главе 5 строится функция распределения носителей заряда в системах с двухкомпонентной поляризуемостью [A16]. Она описывает последовательный переход носителей из состояний двухшубных поляронов в одношубные, а затем в делокализованные состояния с ростом температуры. Показывается, что вследствие ограниченности зоны биполяронов по импульсам их Бозе-конденсация (которая вследствие роста химпотенциала с температурой в системе с ПБР возможна для метастабильных биполяронов) имеет место при значительно более высоких температурах, чем в системе обычных бозонов при той же концентрации. Характерным признаком систем с метастабильными биполяронами является исчезновение бозе-конденсата при очень низких температурах вследствие конденсации носителей на дне поляронной зоны.

В главе 5 обсуждаются также возможные экспериментальные проявления статистических свойств систем с ПБР. Постепенное исчезновение поляронов с ростом температуры будет проявляться в уменьшении интенсивности полосы, обусловленной их фотодиссоциацией, в спектрах оптической проводимости и ARPES [A5].Такое уменьшение наблюдается в сложных оксидах, в частности, в низкодопированных купратах. Отсутствие в системе делокализованных фермионов при низких температурах (T<<Tc) и концентрациях носителей n<n0, а также их появление по мере повышения температуры, будет проявляться в спектрах фотоэмиссионной спектроскопии с разрешением по углам (ARPES). Так, в спектрах ARPES купратов наблюдается подавление спектрального веса вблизи поверхности Ферми в области шириной несколько сотых эВ [45], что означает отсутствие носителей заряда с такой энергией. При n>n0 и температурах T<<Tc отсутствие делокализованных носителей с p<p0 будет проявляться как “окно” в окрестности дна зоны проводимости [A19]. При повышении температуры это “окно” будет постепенно “закрываться”, то есть состояния в области “окна” будут заполняться носителями заряда.

Переход макроскопической части носителей из поляронного состояния в делокализованное при повышении температуры системы будет также проявляться в увеличении проводимости системы с температурой в области температур, соответствующей переходу, если время релаксации поляронов не превосходит существенно время релаксации свободных носителей [A18, A20].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В электрон-фононных системах с сильным взаимодействием имеет место спонтанное нарушение трансляционной симметрии в результате образования ПБР, в котором носитель заряда локализован в некоторой области пространства, а поле поляризации находится в квантово-когерентном состоянии. Параметры этого состояния (модуль и фазу деформации вакуума каждой гармоники фононного поля в ПБР) можно определить вариационным методом. Рассчитанный таким образом модуль смещения положения равновесия каждой гармоники поля поляризации, участвующей в образовании ПБР, много больше среднеквадратичного отклонения от среднего в этой гармонике. Поэтому теория ПБР Ландау-Пекара с классическим описанием поля поляризации дает для энергии связи ПБР практически точное значение. Вследствие неопределенности числа квантов в каждой гармонике фононного поля в ПБР (из-за достаточно точно определенной фазы гармоник), поляризационная “шуба” ПБР представляет собой фононный конденсат.

2. При фотодиссоциации ПБР фононный конденсат распадается спонтанно (не под действием электрон-фононного взаимодействия), так как время фотодиссоциации ПБР много меньше характерного фононного времени. Число фононов, излученных при распаде фононного конденсата, различно в различных актах, а его среднее значение 2Ep/ (где Ep - энергия связи полярона, - энергия фонона) много больше единицы.

3. Фотодиссоциация ПБР с энергией связи Ep при нулевой температуре проявляется в спектре оптической проводимости в виде полосы с максимумом около энергии фотона 4.2Ep и полушириной 2.2-2.8Ep. Помимо этой полосы в спектре оптической проводимости систем с ПБР должна присутствовать полоса, обусловленная фотопереходами носителя в возбужденное состояние в поляризационной потенциальной яме. В спектрах фотоэмиссионной спектроскопии с разрешением по углам (ARPES) фотодиссоциация ПБР при T=0K проявляется в виде полосы с максимумом при энергии связи носителя 3.2Ep и полушириной 1.5-1.7Ep. Таким образом, спектры оптической проводимости и ARPES материалов с ПБР демонстрируют корреляцию положения полос, обусловленных ПБР. Такая корреляция наблюдается в спектрах оптической проводимости и ARPES низкодопированных купратов, что позволяет сделать вывод о том, что носители заряда в них находятся в состоянии ПБР.

4. При движении ПБР по кристаллу параметры когерентного состояния поля поляризации как средние значения смещения положения равновесия в гармониках поля меняются в соответствии с классическими уравнениями движения. Решение их при учете пространственной дисперсии решеточной поляризуемости показывает, что зона ПБР ограничена максимальной групповой скоростью фононов, участвующих в его образовании.

5. Если в среде есть несколько фононных ветвей, взаимодействующих с носителем заряда, с различной дисперсией (характеризуемой максимальными групповыми скоростями ui, i=1,2,…, u1<u2<...), то в интервалах средней скорости носителя заряда 0<v<u1, u1<v<u2, … его состояния различны. Полярон, существующий в первом интервале, имеет поляризационные шубы из всех типов фононов, взаимодействующих с носителем. При превышении средней скоростью носителя величины u1 полярон теряет шубу, состоящую из фононов, имеющих наименьшую максимальную групповую скорость. Если для оставшихся шуб условие адиабатичности выполняется, во втором интервале скоростей существует полярон, имеющий на одну шубу меньше. Если с потерей следующей поляризационной шубы условие адиабатичности перестает выполняться, то в интервале средних скоростей носителя v>u2 носитель заряда может существовать лишь в делокализованном состоянии.

6. Эффективная масса полярона, рассчитанная при учете пространственной дисперсии решеточной поляризуемости, как инертная, продольная и поперечная, так и “энергетическая”, квазирелятивистски зависит от скорости полярона. Роль скорости света при этом играет максимальная групповая скорость фононов. С увеличением максимальной групповой скорости фононов инертная и “энергетическая” эффективная масса ПБР уменьшается вследствие роста способности поляризации самостоятельо перемещаться.

7. Полярон, движущийся в кристалле со скоростью, превышающей наименьшую из максимальных групповых скоростей фононов u1, порождает когерентное квазичеренковское излучение волны поляризации, соответствующей этой фононной ветви. Это излучение приводит к гигантскому торможению ПБР, экспериментально наблюдаемому в диэлектрических покрытиях холодных катодов. Взаимодействие с этим излучением может также стабилизировать движение двух поляронов по круговой орбите на частотах параметрического резонанса с колебаниями той же ветви.

8. Концентрация ПБР даже при нулевой температуре ограничена, поскольку зона ПБР ограничена по скоростям, а носители заряда подчиняются статистике Ферми. Кроме того, тепловые скорости части поляронов при ненулевой температуре могут оказаться выше максимальной групповой скорости фононов. Поэтому в системах, где возможно формирование ПБР, может иметь место сосуществование автолокализованных и делокализованных носителей заряда. Построена функция распределения носителей заряда в такой системе. Она описывает постепенное тепловое разрушение поляронов при теапературах, много меньших их энергии связи. Если время релаксации ПБР не превышает значительно время релаксации делокализованного носителя, проводимость систем, где возможно образование ПБР, будет увеличиваться с температурой в интервале температур, соответствующих постепенному разрушению поляронов.

9. Химический потенциал систем, где возможно сосуществование ПБР и “свободных” носителей, может повышаться с температурой в ограниченной области температур, что делает возможным Бозе-конденсацию метастабильных биполяронов. Концентрация биполяронов, необходимая для их Бозе-конденсации при заданной температуре, существенно меньше, чем для обычных бозонов, вследствие ограниченности зоны биполяронов по импульсам.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Ландау, Л. Д. О движении электронов в кристаллической решетке / Л. Д. Ландау // Phys. Zs. Sowjet.- 1933.- V. 3.- P. 504-505.

Пекар, С. И. Исследования по электронной теории кристаллов / C. И. Пекар.- М.-Л.: ГИТТЛ, , 1951.- 256 c.

Allcock, G. R. in Polarons and Excitons, ed. by C.G. Kuper and G.D. Whitfield / G. R. Allcock. - Edinburg: Oliver and Boyd. - 1963.- P. 45-70.

Gerlach, B. Proof of the nonexistence of (formal) phase transitions in polaron systems/ B. Gerlach and H. Lowen// Phys. Rev. B. - 1987.- V.35.- P.4291-4296.

Lowen, H. Absence of phase transitions in Holstein systems / H. Lowen // Phys. Rev. B. - 1988. - V.37. - P. 8661-8667.

Thornber, K.K. Velocity Acquired by an Electron in a Finite Electric Field in a Polar Crystal / K.K. Thornber, R.P. Feynman // Phys. Rev. B. - 1970.- V.1.- P.4099-4114.

Feynman, R.P. Mobility of Slow Electrons in a Polar Crystal/ R.P. Feynman, R.W. Hellworth, C.K. Iddings, P.L. Platzman // Phys. Rev.- 1962. - V.127. - P. 1004-1017.

Kartheuser, E. Mechanism of Absorption of Light by Free Continuum Polarons/ E. Kartheuser, R. Evrard, J. Devreese// Phys. Rev. Lett. - 1969. -V.22.- P.94-97.

Devreese, J. Optical Absorption of Polarons in the Feynman-Hellwarth-Iddings-Platzman Approximation / J. Devreese, J. De Sitter, M. Goovaerts // Phys. Rev. B. - 1972.- V.5.- P.2367-2381.

Emin, D. Optical properties of large and small polarons and bipolarons / D. Emin // Phys. Rev. B.- 1993.-V.48.- P. 13691-13702.

Mishchenko, A.S. Optical Conductivity of the Frцhlich Polaron / A.S. Mishchenko, N. Nagaosa, N.V. Prokof'ev, A. Sakamoto, B.V. Svistunov // Phys. Rev. Lett.- 2003.-V.91.- P.236401-01-236401-04.

De Filippis, G. Validity of the Franck-Condon Principle in the Optical Spectroscopy: Optical Conductivity of the Frцhlich Polaron / G. De Filippis, V. Cataudella, A.S. Mishchenko, C.A. Perroni, J.T. Devreese // Phys. Rev. Lett.-2006.- V.96.- P.136405-01-136405-04.

Quijada, M.A. Anisotropy in the ab-plane optical properties of Bi2Sr2CaCu2O8 single-domain crystals / M.A. Quijada, D.B. Tanner, R.J. Kelley, M. Onellion, H. Berger and G. Margaritondo// Phys. Rev. B.- 1999.- V.60.- P.14917-14934.

Wang, N.L. Infrared properties of La2-x(Ca,Sr)xCaCu2O6+д single crystals / N.L. Wang, P. Zheng, T. Feng, G.D. Gu, C.C. Homes, J.M. Tranquada, B.D. Gaulin, T. Timusk // Phys. Rev. B.- 2003.- V.67.- P.134526-01-134526-05.

Uchida, S. Optical spectra of La2-xSrxCuO4: Effect of carrier doping on the electronic structure of the CuO2 plane / S. Uchida, T. Ido, H. Takagi, T. Arima, Y. Tokura, S. Tajima // Phys. Rev. B. - 1991.- V.43.- P.7942-7954.

Kircher, J. Dielectric tensor of YBa2Cu4O8: Experiment and theory / J. Kircher, M. Cardona, A. Zibold, H.-P. Geserich, E. Kaldis, J. Karpinski, S. Rusiecki // Phys. Rev. B.- 1993.- V.48.- P.3993-4001.

Van Heumen, E. Optical and thermodynamic properties of the high-temperature superconductor HgBa2CuO4+E. van Heumen, R. Lortz, A.B. Kuzmenko, F. Carbone, D. van der Marel, X. Zhao, G. Yu, Y. Cho, N. Barisic, M. Greven, C.C. Homes, and S.V. Dordevic, Phys. Rev. B.- 2007.- V.75.- P.054522-01-054522-10.

Carbone, F. Doping dependence of the redistribution of optical spectral weight in Bi2Sr2CaCu2O8+F. Carbone, A. B. Kuzmenko, H.J.A. Molegraaf, E. van Heumen, V. Lukovac, F. Marsiglio, D. van der Marel, K. Haule, G. Kotliar, H. Berger, S. Courjault, P.H. Kes, M. Li / Phys. Rev. B .- 2006.- V.74.- P. 064510-01-064510-08.

Thomas, G.A. Optical excitations of a few charges in cuprates / G.A. Thomas, D.H. Rapkine, S.L. Cooper, S-W. Cheong, A.S. Cooper, L.F. Schneemeyer, and J.V. Waszczak // Phys. Rev. B. - 1992.- V.45.- P.2474-2479.

Onose, Y. Doping Dependence of Pseudogap and Related Charge Dynamics in Nd2-xCexCuO4 / Y. Onose, Y. Taguchi, K. Ishizaka, Y. Tokura, Phys. Rev. Lett. - 2001.- V.87.- P.217001-217001-04.

Lupi, S. Infrared optical conductivity of the Nd-Ce-Cu-O system / S. Lupi, P.Calvani, M.Capizzi, P.Maselli // Phys. Rev. B.- 1992.-V. 45.- P.12470-12477.

Zhou, X.J. Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy on Electronic Structure and Electron-Phonon Coupling in Cuprate Superconductors / X.J. Zhou, T. Cuk, T. Deveraux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen // cond-mat/0604284.- 2006.- 36 P.

Damascelli, A. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors / A. Damascelli, Z. Hussain, Z.-X. Shen // Rev. Mod. Phys.-2003.- V.75.- P.473-541.

Rosch, O. Polaronic Behavior of Undoped High-Tc Cuprate Superconductors from Angle-Resolved Photoemission Spectra / O. Rosch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T. Sasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, S. Uchida // Phys. Rev. Lett.-2005.- V.95.- P. 227002-01-227002-04.

Ino, A. Electronic structure of La2-xSrxCuO4 in the vicinity of the superconductor-insulator transition / A. Ino, C. Kim, M. Nakamura, T. Yoshida, T. Mizokawa, Z.-X. Shen, A. Fujimori, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida // Phys. Rev. B.- 2000.- V.62.- P.4137-4141.

Armitage, N.P. Doping Dependence of an n-Type Cuprate Superconductor Investigated by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy / N. P. Armitage, F. Ronning, D. H. Lu, C. Kim, A. Damascelli, K.M. Shen, D.L. Feng, H. Eisaki, Z.-X. Shen, P.K. Mang, N. Kaneko, M. Greven, Y. Onose, Y. Taguchi, Y. Tokura // Phys. Rev. Lett.- 2002.- V.88.- P.257001-01-257001-04 .

Shen, K.M. Missing Quasiparticles and the Chemical Potential Puzzle in the Doping Evolution of the Cuprate Superconductors / K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle, W. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Armitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H. Takagi, Z.-X. Shen // Phys. Rev. Lett. - 2004.- V.93.- P. 267002-01-267002-04.

Bi, X.-X. Polaron contribution to the infrared optical response of La2-xSrxCuO4+д and La2-xSrxNiO4+д / X.-X. Bi, P.C. Eklund // Phys. Rev. Lett. -1993.- V.70.- P.2625-2628.

Frohlich, H. Electrons in lattice fields / H. Frohlich // Adv. Phys.- 1954.- V.3.- P.325.

Frohlich, H. Properties of slow electrons in polar materials / H. Frohlich, H. Pelzer, S. Zienau // Phil. Mag. - 1950. - V.41.- P. 221.

Lee, T.D. The Motion of Slow Electrons in a Polar Crystal / T. D. Lee, F. Low, D. Pines // Phys. Rev. - 1953.- V.90.- P.297-302.

Ландау, Л.Д. Эффективная масса полярона / Л.Д. Ландау, С.И. Пекар // ЖЭТФ.- 1948. -Т.18.- С. 419-425.

Feynman, R.P. Slow Electrons in a Polar Crystal / R.P. Feynman // Phys. Rev. -1955.- V.97.- P. 660-665.

Holstein, T. Studies of polaron motion/ T. Holstein // Ann. Phys. - 1959.- V.8.- P.325-389.

Давыдов, А. С. Трехмерный солитон в ионном кристалле / А.С. Давыдов, В.З. Энольский // ЖЭТФ.-1981.-Т.81.- С.1088-1101.

Хакен, Х. Квантовополевая теория твердого тела / Х. Хакен. - М.: Наука, 1980. - 344 c.

Клаудер, Дж. Основы квантовой оптики / Дж. Клаудер, Э. Сударшан.- М.:Мир, 1970. - 428 c.

Давыдов, А.С. Квантовая механика / А.С.Давыдов.- М.:Наука,1973.-703 c.

Лэкс, М. Флуктуации и когерентные явления/M.Лэкс.- М.:Мир,1974.-299 c.

Боголюбов, Н.Н. / Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем / Н.Н. Боголюбов // УМЖ. - 1950. - Т.2. - С. 3-14.

Тябликов, С.В. Адиабатическая форма теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем / С.В. Тябликов // ЖЭТФ.- 1951. - Т.21. - С.377-389.

Мясников, Э.Н. Экранировка пробного заряда в диэлектрической среде при учете собственного движения ее поляризации / Э.Н. Мясников, А.П. Попов // ДАН УССР, сер.А.- 1980.- Т.5,№6.- С.73-78.

Мясников, Э.Н. Влияние запаздывания поляризации и пространственной дисперсии восприимчивости диэлектрического континуума на движение зарядов / Э.Н. Мясников, А.Л.Мартынюк // Изв.вузов.Физика.- 1986.- Т.11.- С.7-13.

Супрун С.Г. О роли электронной корреляции в образовании биполярона Пекара / С. Г. Супрун, Б. Я. Мойжес // ФТТ.- 1982.- Т.24.- С.1571-1573.

Marshall, D.S. Unconventional Electronic Structure Evolution with Hole Doping in Bi2Sr2CaCu2O8+д: Angle-Resolved Photoemission Results/ D.S. Marshall, D.S. Dessau, A.G. Loeser, C.-H. Park, A.Y. Matsuura, J.N. Eckstein, I. Bozovic, P. Fournier, A. Kapitulnik, W.E. Spicer, Z.-X. Shen // Phys. Rev. Lett. - 1996.- V.76.- P.4841-4844.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Myasnikova, A. E. Band structure in autolocalization and bipolaron models of high-temperature superconductivity / A. E. Myasnikova // Phys. Rev. B.- 1995.- V.52, №14.- P.10457-10467.

Myasnikova, A. E. Peculiarites of polaron electronics of complex oxides / A. E. Myasnikova // Ferroelectrics.- 1992.- V.133.- P.247-252.

Myasnikova, A. E. Polaron motion in complex oxides and high-temperature superconductivity / A. E. Myasnikova // Journ. of Phys.: Condensed Matter.- 1992.- V.4.- P.9067-9078.

Мясникова А.Э. Поляроны Пекара с двухкомпонентной поляризацией / А.Э. Мясникова, Э.Н. Мясников // Укр. Физ. Журнал.- 1992.- Т. 37, №11.- C.1648-1655.

Myasnikov, E.N. Coherence of the lattice polarization in large-polaron motion / E.N. Myasnikov, A.E. Myasnikova, F.V. Kusmartsev // Phys. Rev. B.- 2005.- V.72.- 224303-1 - 224303-11.

...