Гидродинамика неизотермической фильтрации в слоистых пластах

Размещено на http://allbest.ru

42

Размещено на http://allbest.ru

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Гидродинамика неизотермической фильтрации в слоистых пластах

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Плохотников Сергей Павлович

Казань, 2007

Работа выполнена на кафедре информатики и прикладной математики Казанского технологического университета

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Скворцов Владимир Викторович, Казанский государственный технологический университет, г. Казань

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Сенюков Ремир Васильевич, Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина, г. Москва

доктор технических наук, профессор Тазюков Фарук Хоснутдинович, Казанский государственный технологический университет, г. Казань

доктор физико-математических наук, профессор Голубев Георгий Викторович, Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань

Ведущая организация: Татарский научно-исследовательский и проектный институт (ТатНИПИнефть), г.Бугульма

Защита состоится "31" октября 2007 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д.212.079.02 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу : 420111, г. Казань, ул.. К. Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

Автореферат разослан: " ____ " 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, к.т.н., доцент А.Г.Каримова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие нефтяные и нефтегазовые месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью абсолютной проницаемости пласта.

При проведении многовариантных гидродинамических расчетов приходится рассматривать трёхмерные задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации, а при закачке в пласт водных растворов ПАВ - двухфазной трехкомпонентной фильтрации. Сделать это сложно из-за недостатка геологической информации о строении пласта. Особенно при отсутствии достоверной информации о наличии глиняных перемычек между пропластками на всём протяжении пласта, а не только на отдельных его участках. По-прежнему существенны затраты машинного времени при расчетах, особенно при решении задач оптимальной разработки, в которых приходится проводить многовариантные гидродинамические расчёты.

Следует отметить, что, несмотря на широкое использование в гидродинамических расчетах трехмерных моделей - программных комплекссов «ТРИАС», Oil Expert, «Техсхема» и др., приведенных в монографиях В.П. Майера, Э.С. Закирова и других авторов, вопрос понижения размерности задачи остается актуальным. Например, при объединении пластов в пачки на некоторых участках слоистого месторождения.

В практике гидродинамических расчетов при крупномасштабном описании процесса двухфазной фильтрации широкое распространение получила модель Баклея-Леверетта. Течение каждой фазы при этом подчиняется обобщенному закону Дарси. Функции абсолютной проницаемости и относительных проницаемостей , являются коэффициентами системы дифференциальных уравнений в рамках этой математической модели. В расчетах применяются и модели фильтрации, в которых используются осреднённые по толщине пласта параметры. Некоторые из этих моделей позволяют понизить размерность исходной задачи и эффективно провести численные гидродинамические расчеты в случае двухфазной изотермической фильтрации в рамках модели Баклея-Леверетта. Одной из таких моделей является модель, которую будем называть модель ( означает «средняя модель»). В ней используются исходные лабораторные относительные проницаемости, , и средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость , определяемая по кернам. Другой моделью является модель, предложенная в работах В.Я. Булыгина, С.М. Зиновьева, А.К. Курбанова, Г.А. Атанова, К. Хирна, которая основывается на струйном вытеснении. Ее будем называть моделью (означает модель Булыгина В.Я.). В ней используется средняя и фиктивные (модифицированные) фазовые проницаемости , . В этой модели были введены физические понятия «фиктивный однородный пласт» и «фиктивные фазовые проницаемости» однородного пласта.

Однако, при заданной средней абсолютной проницаемости и заданном вероятностном законе распределения абсолютной проницаемости при фиксированном коэффициенте вариации пропластки слоистого пласта могут быть расположены различным образом относительно друг друга и быть между собой как изолированными, так и гидродинамически связанными. Поэтому актуальной является задача исследования влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс двухфазной фильтрации и значения каждого из основных показателей разработки.

Исследование точности численных расчетов по двум описанным осредненным моделям в одномерной постановке по сравнению с результатами численного решения двумерной профильной задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации является актуальной задачей, необходимой для определения возможности использования этих осредненных моделей.

Создание новых методов расчета модифицированных фазовых проницаемостей представляется также важным и актуальным.

Математическому моделированию процессов разработки месторождений углеводородов посвящены монографии К.С.Басниева, В.Я.Булыгина, В.М.Максимова, Г.И.Баренблатта, В.М.Ентова, В.Л.Данилова, А.Ф.Задовско-го, А.Н.Коновалова, Р.Д.Каневской, В.М.Рыжика, М.И.Швидлера, Б.И.Леви и др. авторов.

В диссертации рассмотрена фильтрация в слоистых пластах в рамках каждой из четырех известных математических моделей фильтрации:

1. Двухфазная изотермическая и неизотермическая фильтрации без учета капиллярных и гравитационных сил в модели Баклея-Леверетта;

2. Двухфазная трехкомпонентная фильтрация с учетом закачки в пласт водных растворов ПАВ;

3. Трехфазная фильтрация в модели Маскета-Мереса;

4. Двухфазная фильтрация в трещиновато-пористых средах в модели Г.И.Баренблатта.

Определение модифицированных проницаемостей для каждой из этих четырех математических моделей по единой методике для расчетов по осредненной модели тоже является актуальной задачей.

Для всех названных моделей приведены формулы модифицированных фазовых проницаемостей, полученные на основе коррекции лабораторных относительных проницаемостей с помощью поправочных коэффициентов. Эти коэффициенты получены на основе известной схемы струйного течения.

Актуальным остается и вопрос о применимости осреднённых моделей и их модифицированных проницаемостей в задачах площадного заводнения, например, при двухфазной фильтрации в пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. В работе рассмотрена и эта задача.

Цели работы.

1. Анализ влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс двухфазной изо- и неизотермической фильтрации и величину каждого из основных показателей разработки при линейных и нелинейных функциях лабораторных проницаемостей , , а также этот анализ для случая различных функций , , для разных пропластков исходного слоистого пласта. При решении этих задач были рассмотрены три вероятностных закона распределения функции по пропласткам.

2. Исследование точности результатов численных расчетов по одномерным осредненным моделям и в сравнении с результатами расчетов по двумерной профильной модели двухфазной неизотермической фильтрации, а также при площадном заводнении, путем сравнения решения двумерной плоской задачи с решением квазитрехмерной задачи.

3. На основе анализа течения в слоистых пластах ставится задача о построении новых модифицированных проницаемостей для четырех названных выше гидродинамических моделей фильтрации, позволяющих по упрощенным осредненным одномерным моделям получить верхнюю и нижнюю границы для некоторых основных показателей разработки вне зависимости от характера слоистой неоднородности изучаемого слоистого пласта. Возникает задача и об исследовании погрешности результатов расчетов с этими модифицированными проницаемостями.

Методика исследования. Анализ влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс фильтрации и величины основных показателей разработки осуществляется на основе вычислительного эксперимента (ВЭ). Этот ВЭ предполагал проведение серии численных гидродинамических расчетов в двумерной постановке при различном взаимном расположении пропластков слоистого пласта [варианты ], анализ результатов и сравнение их между собой. Расчеты по принимались за эталонные значения показателей разработки. Расчеты проводились на основе известного вычислительного алгоритма, разработанного в Казанском университете Р.А.Александровым, Р.Г.Гайфуллиным, Г.А.Волковым под руководством В.Я.Булыгина. Этот алгоритм использует дивергентные полностью консервативные конечно-разностные схемы и аналогичен попеременно-треугольному методу, приведенному в работах А.А.Самарского. Конечно-разностные схемы алгоритма приведены в первой главе.

Вычислительный эксперимент предполагал также проведение одномерных численных расчетов по моделям и , сравнение результатов показателей разработки с двумерными эталонами при неизотермической двухфазной фильтрации. Эталоны различаются только взаимным расположением пропластков.

Изучение возможности применимости новых , для расчетов фильтрации в слоистых пластах при площадном заводнении (пятиточечная и девятиточечная системы заводнения) проведено с помощью сравнения результатов численных расчетов показателей разработки двумерной -задачи с решением квазитрехмерной задачи двухфазного течения в слоистом пласте.

Новые модифицированные фазовые проницаемости были построены математически для случая нелинейных лабораторных , , на основе коррекции последних путем умножения их на определенные коэффициенты. Дискретные аналоги этих проницаемостей построены по аналогии с непрерывным случаем задания функции плотности распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта, но с учетом дискретности задания функции и толщины по пропласткам.

Новые модифицированные фазовые проницаемости для случая различных функций , для каждого пропластка исходного слоистого пласта были построены математически с помощью поправочных коэффициентов, полученных при струйном течении на основе допущения о струйности течения в слоистом пласте при линейных функциях , . Но при этом вводятся новые понятия «фиктивный слоистый пласт» , его «фиктивные относительные проницаемости» и «поправочные коэффициенты».

Новые модифицированные фазовые проницаемости были получены также для трехфазной фильтрации в модели Маскета-Мереса на основе определенных физических допущений, а также для сред с двойной пористостью в модели Баренблатта.

Научная новизна. Проанализировано влияние характера слоистой неоднородности пласта на процесс вытеснения и величину каждого из основных показателей разработки для трех вероятностных законов распределения функции : равномерного, Максвелла, экспоненциального.

Исследована погрешность расчетов основных показателей разработки по двум осредненным моделям и , при изо- и неизотермической фильтрации по сравнению с эталонами при линейных проницаемостях ,. Впервые получены границы изменения для эталонов , в которых находится каждый технологический показатель разработки: коэффициент нефтеотдачи, доля воды в потоке на выходе, суммарный отбор жидкости.

Предложен метод построения новых модифицированных проницаемостей для случая нелинейных исходных , и оценены погрешности расчетов с ними по сравнению с эталонами в этом нелинейном случае. Расчеты с новыми проницаемостями дали удовлетворительную погрешность.

Предложены два метода построения новых модифицированных проницаемостей для случая такого слоистого пласта, в котором исходные лабораторные функции , различны для каждого из пропластков и проведены оценки погрешности расчетов с ними.

Смоделированы новые модифицированные проницаемости для трехфазной фильтрации и для фильтрации в средах с двойной пористостью, а также двухфазной трехкомпонентной фильтрации с учетом закачки в слоистый пласт водных растворов поверхностно-активных веществ.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается использованием известного численного алгоритма, достаточно хорошо апробированного и широко внедренного в практику гидродинамических расчетов при двухфазной неизотермической фильтрации. Было проведено тестирование двумерного алгоритма по определению значений задаваемых погрешностей.

Потери тепла в окружающие пласт породы в одномерных моделях учитывались с помощью аналитических формул В.А.Локотунина, которые дали приемлемую погрешность в расчетах.

Новые формулы для модифицированных проницаемостей полностью совпадают с известными при переходе от нелинейных , к линейным для всех четырех приведенных выше математических моделей фильтрации.

Результаты расчетов с новыми , совпадают с результатами лабораторного физического эксперимента А.В.Богова и С.М.Зиновьева, приведенными в работе «Об оценке погрешности одной из моделей двухфазной фильтрации» (в сб. КГУ «Исследования по подземной гидромеханике», Казань, 1979, с. 16-20) с погрешностью до пяти процентов для коэффициента нефтеотдачи.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы в специализированных НИИ и проектных организациях, занимающихся проектированием и анализом разработки нефтяных месторождений, а именно: во ВНИИнефть (г. Москва), ВНИИОЭНГ (г. Москва), ТатНИПИнефть (г. Бугульма), Краснодар НИПИнефть и др.

Согласно документам о внедрении часть работы уже передана в ТатНИПИнефтъ. Имеются три справки о внедрении и акт внедрения, они приведены в конце работы в приложении.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором:

· на международных семинарах «Математические модели и численные методы механики сплошных сред», Новосибирск, СО РАН, 1986 г. и 1996 г.;

· на международной конференции «Разработка газоконденсатных место- рождений», г. Краснодар, 1990 г.;

· на Всесоюзной конференции «Краевые задачи в теории фильтрации», - Казань, КГУ, КАИ,1991 г.;

· на международной конференции «Течение в пористых средах», - Москва, СО РАН, 1992 г.;

· на международной конференции «Проблемы комплексного освоения трудно извлекаемых запасов нефти и природных битумов», - Казань, КГТУ (КХТИ), 1994 г.;

· на международных конференциях «Механика машиностроения», - Набережные Челны, 1995 г. и 1997 г.;

· на международной конференции «Модели механики сплошной среды», Казань, КГТУ, (КАИ), 1997 г.;

· на международной конференции «Методы кибернетики химико-техно-логических процессов», Казань, КГТУ (КХТИ), 1999 г.;

· на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Казань, КГТУ (КХТИ), 2005 г.;

· на республиканской научно-практической конференции «Интел-лектуальные системы и информационные технологии», Казань, КГТУ (КХТИ), 2001 г.;

· на итоговых конференциях КГТУ и семинарах кафедры ИПМ 1992 - 2006 г. г.;

· на региональных семинарах при КГУ «Численные методы решения задач подземной гидромеханики», 1990-1998 г.г. под руководством профессора В.Я. Булыгина. Все доклады, представленные на вышеуказанных конференциях и семинарах, опубликованы.

Новыми являются результаты, приведенные ниже. Они и выносятся на защиту.

1. Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения для каждого из основных показателей разработки слоистого пласта в зависимости от взаимного расположения его пропластков и их гидродинамической связи при заданных параметрах фиксированного вероятностного закона распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта при изотермической и неизотермической двухфазной фильтрации для линейных и нелинейных функций лабораторных относительных фазовых проницаемостей.

2. Новые модифицированные фазовые проницаемости и математический метод их вывода, полученные на основе коррекции исходных нелинейных проницаемостей , с помощью поправочных коэффициентов. Они основываются либо на непрерывном вероятностном законе распределения проницаемости по толщине пласта, либо на дискретном ряде распределения абсолютных проницаемостей и толщин пропластков .

3. Новый гидродинамический результат, состоящий в том, что границы изменения каждого показателя разработки при двухфазной фильтрации всегда находятся между двумя осреднёнными решениями моделей и . Были рассмотрены три вероятностных закона распределения.

4. Новые модифицированные проницаемости и два математических метода их вывода при двухфазной фильтрации в модели Баклея-Леверетта в слоистых пластах в случае, когда относительные проницаемости фаз имеют различные аналитические зависимости для различных пропластков. Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки.

5. Результаты исследования с помощью ВЭ возможности применимости предложенных в пунктах 2, 4 новых модифицированных проницаемостей при площадном заводнении (рассмотрены пятиточечная и девятиточечная системы заводнения слоистых пластов).

6. Новые модифицированные проницаемости для двухфазной трех-компонентной фильтрации. Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки, полученных на эталонной квази- двумерной модели и осредненных моделях и при закачке в слоистые по абсолютной проницаемости пласты водных растворов ПАВ.

7. Новые модифицированные проницаемости, полученные на основе поправочных коэффициентов аналогично пунктам 2, 4 для трехфазной фильтрации в модели Маскета-Мереса, а также для двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью в модели Г.И.Баренблатта.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Изложена на 220 страницах машинописного текста, содержит 23 таблицы, 76 рисунков. Список литературы состоит из 121 наименования. В приложении дается Акт внедрения и три справки об использовании результатов научных исследований, полученные в ТатНИПИнефть в 1985, 1989, 2000 и в 2005 г.г. Диссертация выполнена на кафедре информатики и прикладной математики КГТУ (КХТИ).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются вопросы актуальности темы, цели работы, методики исследования, научной новизны и достоверности результатов, их практической значимости и апробации. Дается обзор литературы, близкой к теме диссертации. Осредненная модель применялась в гидродинамических расчетах при двухфазной фильтрации многими авторами.

В частности, в работах Р.А. Александрова, Ю.В. Волкова и других авторов в Казанском университете (КГУ). Осредненная модель предложена в работах ряда авторов, указанных выше. Её модифицированные проницаемости строятся на предположении, что распределение флюидов в пласте определяется в основном действием гидродинамических сил; скорость продвижения фронта вытеснения в каждом пропластке тем выше, чем больше его абсолютная проницаемость. При этом принимается, что градиент давления в вертикальном направлении постоянен и незначителен в сравнении с горизонтальным, действие капиллярных и гравитационных сил не влияет на распределение жидкостей по вертикали.

Этот же подход применяется во многих работах различными авторами при двухфазной и трехфазной фильтрации без учета капиллярных сил и сил тяжести, с учетом сил тяжести, а также при закачке в пласт водных растворов ПАВ (поверхностно активных веществ).

Кроме того, известен алгоритм построения фазовых проницаемостей на основе истории разработки или на основе использования результатов решения профильной задачи, как это было сделано в работах Я.М.Зайделя, Б.И. Леви др. Р.Д.Каневская дала метод построения модифицированных фазовых проницаемостей на основе прослеживания координаты фронта воды при двухфазной фильтрации в каждом из изолированных пропластков.

При изучении же погрешностей осредненных моделей, как правило, за эталонное решение берутся численные расчеты двухфазной фильтрации в пласте с изолированными пропластками, т.е. рассматривается только один из эталонов , а не множество этих эталонов.

В данной работе с помощью ВЭ изучается погрешность расчетов по каждой из осредненных моделей и по сравнению с эталонными двумерными решениями.

Предлагается новый метод построения модифицированных проницаемостей на основе известной схемы струйного течения. Показано, что этот метод применим и для случаев задания более сложных функций , , полученных экспериментально в лабораторных условиях; предложено развитие этого метода на двухфазное трехкомпонентное течение, на трехфазное течение в слоистых пластах, а также на течение в средах с двойной пористостью в слоистых пластах. Рассмотрены четыре общепринятые в настоящее время модели подземной гидромеханики.

Глава 1. Анализ процесса вытеснения и показателей разработки в слоистых пластах на различных моделях двухфазной неизотермической фильтрации при линейных фазовых проницаемостях

Посвящена изучению процесса двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при линейных лабораторных проницаемостях , вида

=, =, (1)

гидродинамический нефтяной пласт

на основе двумерной и одномерных математических моделей.

В параграфе 1.1 дается описание физических параметров изучаемых слоистых пластов. Приводится известная математическая постановка двумерной профильной задачи течения двухфазного неизотермического потока между двумя галереями в слоистом пласте при заданных давлениях на них и температуре закачиваемой жидкости. Течение изучается в рамках модели Баклея-Леверетта. При этом изменение температуры в окружающих породах учитывается благодаря уравнению:

,

которое справедливо, если пренебрегать горизонтальной составляющей теплопроводности . На границах пропластков, кровле и подошве заданы известные условия сопряжения. Кроме того, учтены известные граничные условия.

Приводится ссылка на численный алгоритм решения профильной задачи, разработанный в публикациях Р.А.Александрова, Ю.А.Волкова, Р.Р.Гайфуллина в КГУ и конечно-разностные схемы этого алгоритма. Дано описание восьми характерных вариантов взаимного расположения пропластков для эталонов , . Им соответствует один и тот же дискретный ряд распределения.

Этот ряд распределения абсолютных проницаемостей K_i и толщин H_i по пропласткам является некоторой дискретной реализацией одного из трех непрерывных законов распределения: либо равномерного, либо Максвелла, либо экспоненциального. Приводятся функции плотности вероятности f(k) для этих трёх законов, а также функции распределения. Приводится алгоритм построения этих рядов по заданным параметрам веро-

ятностного закона распределения. Даётся таблица значений , - абсолютных проницаемостей пропластков для трех законов при одинаковой толщине всех пропластков для случая пяти пропластков при одинаковой и коэффициентах вариации для равномерного закона, для закона Максвелла, для экспоненциального закона распределения.

В параграфе 1.2 воспроизведена известная одномерная постановка задачи двухфазной неизотермической фильтрации, используемая в осредненных моделях.

Приводится известная аналитическая зависимость для учета потерь тепла в окружающие породы. Делается предположение о возможности использования модифицированных фазовых проницаемостей модели при неизотермической фильтрации на основе допущения о постоянстве температуры в каждом вертикальном сечении пласта. Здесь же приводятся известные модифицированные проницаемости модели , которые в данной работе были представлены в виде:

, = (2)

В этой модели, основанной на допущении о струйности течения в каждом вертикальном сечении слоистого пласта, имеются пропластки, в которых вода уже полностью вытеснила нефть и пропластки, в которых в данный момент времени ещё нет воды. Поэтому можно выделить зону воды и зону нефти.

Здесь: - средняя проницаемость зоны воды в данном вертикальном сечении пласта; - средняя проницаемость зоны нефти (см. ниже формулы (6) - (8)).

Математический вывод этих формул приведен в работе в параграфе 2.1 при рассмотрении более сложного случая - нелинейных функций лабораторных относительных проницаемостей , .

В параграфе 1.3 на основе известного общего подхода построения функций , дается математический вывод этих проницаемостей для усеченного распределения функции для вероятностного закона Максвелла при двух заданных параметрах распределения.

Предлагается численный алгоритм нахождения этих параметров в зависимости от заданных средней и коэффициента вариации слоистой неоднородности. Исследованы границы изменения при таком усеченном распределении. Проведён сравнительный

анализ графиков построенных модифицированных проницаемостей с аналогичными графиками проницаемостей для равномерного закона, а также с графиками исходных линейных функций , .

В параграфе 1.4 в виде графиков приводятся результаты численных одномерных расчетов двухфазной неизотермической фильтрации по моделям и в сравнении с результатами двумерных расчетов на одном из эталонов - на . В нем все пропластки гидродинамически взаимосвязаны и абсолютная проницаемость изменяется сверху вниз постепенно от своего максимального значения до минимального. Пласт, соответствующий этому эталону, был изучен в работе С.М. Зиновьева и Р.Г. Гайфуллина лишь на ранней стадии разработки при равномерном распределении и линейных , при изотермической фильтрации.

Здесь же рассмотрен процесс фильтрации и на поздних стадиях вплоть до момента, когда доля воды в потоке на эксплуатационной галерее достигла значения 98%.

Выполнено сравнение некоторых показателей разработки для одномерных и двумерных расчетов, а так же сравнение полей пластового давления и водонасыщенности, средних по вертикальному сечению, для эталона с соответствующими полями, полученными по моделям и .

Графики основных показателей разработки, особенно коэффициента нефтеотдачи, количества добытой нефти, доли воды в потоке на эксплуатационной галерее практически вписываются между кривыми результатов моделей и .

Таким образом, результаты двух известных осредненных моделей являются ограничениями сверху и снизу для одного из эталонов при изо- и неизотермической фильтрации.

В параграфе 1.5 приводятся в виде таблиц и графиков результаты расчетов показателей разработки для всех эталонов , в сравнении между собой при изо-, а также неизотермической фильтрации, когда закачивается вода, холодная или горячая относительно начальной температуры пласта. Для каждого показателя разработки получено семейство кривых по всем . Эти кривые могут существенно отличаться друг от друга, вплоть до 30% при горячем заводнении.

Проводится анализ двумерных течений с учетом наличия и отсутствия вертикальных перетоков между пропластками. Наиболее существенные перетоки наблюдаются в эталоне , в котором все пропластки гидродинамически связаны и лучший по абсолютной проницаемости пропласток находится рядом с худшим, а лучший из оставшихся - рядом с худшим из них. В эталоне A₈, в котором все пропластки изолированы, естественно, отсутствуют перетоки.

Наличие вертикальных перетоков приводит к лучшему вытеснению нефти и к весьма существенному различию в значениях для каждого из показателей разработки.

Граничными кривыми для каждого семейства кривых эталонов являются всюду на рисунках кривые эталонов A₇ и A₈, которые в свою очередь с погрешностью до нескольких процентов вписываются между кривыми моделей и . Кривые моделей и являются граничными кривыми для каждого из указанных выше в параграфе 1.4 показателей разработки.

На основании анализа результатов расчетов даются соответствующие рекомендации по возможности применения осредненных моделей и в совокупности или отдельно для приближенных расчетов процесса фильтрации, тех или иных показателей разработки при изотермической двухфазной фильтрации, а также при холодном и горячем заводнении. Две модели хорошо дополняют одна другую. Были рассмотрены три закона распределения.



Рис.1 Равномерный закон и закон Максвелла

На рис.1 приведены графики исходных лабораторных линейных , и их модифицированных , проницаемостей для равномерного закона распределения для различных значений коэффициента вариации . При имеем две прямые линии, которые совпадают с исходными линейными функциями , вида (1). При кривые выпуклые вверх относительно исходной прямой , а кривые вогнутые вниз относительно прямой .

Рис.2 Графики зависимости коэффициента , , -линейные

На рис.2 приведены графики коэффициентов нефтеотдачи для изотермической фильтрации для двумерных эталонов A_i, , их граничные положения снизу и сверху - эталоны А₈ и А₇.

Рис.3 Графики зависимости коэффициента ,, -линейные

На рис.3 приведены графики коэффициентов нефтеотдачи для неизотермической фильтрации при закачке в пласт горячей воды. При горячем заводнении существенно расширяются границы эталонов A_i по сравнению с изотермическим случаем. Эталонные кривые на обоих графиках хорошо вписываются между двумя осредненными решениями и - это основной новый результат первой главы.

Аналогичные графики были получены для двух других вероятностных законов распределения и приведены в работе. Буквой В_S обозначена на последних двух рисунках кривая для модели В_S - дискретного аналога модели . Эти решения совпадают с погрешностью до 2%. Они совпадают и теоретически при предельном переходе от дискретного ряда распределения к непрерывному вероятностному распределению. Математический вывод формул модели В_S приведен в главе 2.

Глава 2. Анализ процесса вытеснения в слоистых пластах при нелинейных относительных фазовых проницаемостях

Посвящена изучению процесса двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при нелинейных лабораторных проницаемостях , вида

, (3)

(при ) на основе численных решений по двумерной и одномерным моделям и построению новых модифицированных фазовых проницаемостей.

В параграфе 2.1. приводится подробное описание струйного вытеснения и алгоритм построения модифицированных проницаемостей при таком вытеснении.

Впервые теоретически и с помощью ВЭ показано, что формулы (2) применимы только для случая линейных лабораторных функций ,.

Дается теоретическое обоснование нецелесообразности применения этих проницаемостей при нелинейных функциях ,. И при расчетах в этом случае получается большое отклонение в значениях показаталей разработки по сравнению с эталонами .

Этот вывод получен на основе сравнения численных расчетов в двумерном и одномерном случаях при нелинейных проницаемостях вида (3).

Поэтому ставится задача о построении новых , , которые бы и в нелинейном случае давали для значений основных показателей разработки ограничения снизу, аналогичные линейному случаю, полученному в первой главе.

Иными словами, необходимо получить для нелинейного случая результаты, аналогичные результатам, приведённым на рис.3 (линейный случай).

В параграфе 2.2 строятся эти новые модифицированные проницаемости. По аналогии с линейным случаем они получены коррекцией исходных лабораторных проницаемостей, подправленных с помощью определенных поправочных коэффициентов и имеют вид:

, , (4)

где поправочные коэффициенты такие:

, (5)

При изменении в пределах имеем:

, (6)

, (7)

, (8)

где - функция плотности распределения.

При этом величину находим в результате численного решения уравнения:

(9)

Построенные кривые , имеют на рисунках графический вид относительно исходных лабораторных , , полностью аналогичный виду линейного случая на рис.1.

Кроме того, они совпадают с уже известными модифицированными проницаемостями (2) при переходе к линейным лабораторным функциям , для всех трех рассмотренных законов распределения.

В этом же параграфе приведены расчетные формулы новых , для случая дискретного задания абсолютной проницаемости и толщины по пропласткам изучаемого слоистого пласта - для модели В_S

Формулы модифицированных проницаемостей для дискретного случая зависят от конкретного распределения , по пропласткам слоистого пласта.

Формулы для непрерывного случая основаны на функции , которая связана с тем или иным вероятностным законом распределения. Поэтому приведенные в работе формулы модифицированных проницаемостей для дискретного случая можно рекомендовать для любого вероятностного закона распределения . Они универсальны.

В параграфе 2.3. приведены в виде графиков результаты численных расчетов двумерных эталонов ,, при двухфазной неизотермической фильтрации, а также осредненных одномерных моделей и при нелинейных проницаемостях вида (3) .

В последней используются новые , . Проводится сравнительный анализ результатов численных расчетов. Для основных показателей разработки результаты модели являются ограничением снизу для эталонов. Результаты модели - ограничение сверху.

На рис. 5 приведены проницаемости для равномерного закона при для случая кубических зависимостей ,. По своему взаимному положению графики этого рисунка аналогичны графикам рис.1. А именно, лежат ниже , a - выше .

На рис. 4 приведены графики коэффициента нефтеотдачи. Аналогично линейному случаю рис.2 и при данном нелинейном случае эталоны лежат между кривыми осредненных решений и. Здесь буквой обозначены кривая модели , которая получена по известным ранее формулам (2). Эти формулы нельзя использовать при нелинейных функциях , , что хорошо видно на рис.5.

Этот рисунок иллюстрирует основной результат второй главы. Результаты модели , полученные по формулам (4) , являются ограничением снизу для эталонов.

Результаты модели являются для них ограничением сверху. Итак, решена задача, поставленная в параграфе 2.1.

Здесь же даются рекомендации о возможности использования этих моделей отдельно и в совокупности для приближенных гидродинамических расчетов. Опять, как и в линейном случае, обе осредненные модели и хорошо дополняют одна другую. Аналогичные результаты были получены и приведены для всех трех вероятностных законов распределения , описанных во введении - равномерном, Максвелла и экспоненциальном.

Рис.4 Изотермический случай



Рис.5 Относительные и модифицированные проницаемости

Глава 3. Модифицированные фазовые проницаемости для пласта с различными лабораторными фазовыми проницаемостями по пропласткам

Глава посвящена изучению двухфазной изотермической фильтрации в таком слоистом пласте, где функции , различны для разных пропластков. Математически построить общие для всего пласта модифицированные проницаемости - достаточно сложная задача. Она решена в этой главе.

В параграфе 3.1. дается физическое описание такой гидродинамической задачи и приведены известные рекомендации российских и иностранных специалистов по практическому заданию значений степеней для функций , по пропласткам для реальных слоистых нефтяных пластов. Эти функции заданы в виде (10).

В параграфе 3.2. рассмотрена и решена эта задача для случая, когда относительные фазовые проницаемости заданы в виде:

=, =, (10)

где - константы, зависящие от номера пропластка .

При этом модифицированные фазовые проницаемости, математически полученные в этом параграфе с помощью определенных физических допущений и введения нового физического понятия «фиктивный слоистый пласт» и его «фиктивных проницаемостей», имеют вид

,

(11)

Здесь , , определяются на основании допущения о струйности течения отдельно в первом и втором фиктивных слоистых пластах соответственно и являются едиными для исходного слоистого пласта.

Дается физическое и математическое обоснование возможности такого вычислительного алгоритма.

В параграфе 3.3. проведены численные гидродинамические двумерные и одномерные расчеты для нескольких характерных слоистых пластов с различными по пропласткам функциями , . Для модели модифицированные проницаемости были заданы в виде (11).

Приведем один из примеров, в котором изучается слоистый пласт, состоящий из пяти пропластков одинаковой толщины, но с разными значениями исходных лабораторных проницаемостей. Далее данный пласт будем обозначать «пласт 1».

В пласте 1 были заданы

= при ,

= при

= при ,

= при

Рассматривался равномерный закон распределения абсолютной проницаемости по толщине при коэффициенте вариации .

Расчеты проводились для следующих значений абсолютной проницаемости пропластков:, , , , .

По аналогии с предыдущими одномерными решениями первых двух глав в модели использовались средние по толщине пласта значения проницаемостей в виде:

,

(12)

В данной работе предлагается еще один подход к построению модифицированных проницаемостей (обозначим их, ), когда:

,

(13)

Функции , получаются коррекцией средних по толщине пласта проницаемостей с помощью коэффициентов , .

Расчетные формулы этих коэффициентов получены математически и приведены во второй главе для исходного слоистого пласта при допущении о струйном характере вытеснения в нем для частного случая линейных функций , .

Одномерную модель, использующую проницаемости (13) и среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость, назовем моделью . Полученное численное решение назовем решением .

На рис.6 даны графики лабораторных проницаемостей , пласта 1, полученных по кернам, и модифицированных проницаемостей , (13).

Рис.6 Пласт 1

На рис.7 приведены графики средних проницаемостей , (12) и модифицированных проницаемостей , , вычисленных по (13).

Рис. 7. Пласт 1

На рис. 8 приведены также кривые модифицированных проницаемостей , , построенных по формулам (11).

Рис.8 Пласт 1

На рис. 9 представлены зависимости коэфициента нефтеотдачи от времени разработки пласта в случае одномерного вытеснения (по формулам (10), (12), (13)), а также в случае двумерного профильного течения (эталон ).

Рис.9 Пласт 1

Полученные результаты аналогичны результатам, приведенным в 1 и 2 главах. Из рисунка видно, что эталонное решение лежит в диапазоне одномерных решений (или ) и . Это характерно и для других показателей разработки.

Например, всюду для коэффициента нефтеотдачи кривая, соответствующая решению находится выше, чем кривая, соответствующая эталонному решению , а кривые и - ниже. Для доли воды в потоке взаимное расположение кривых другое. Результат решения занижает решение модели , а решения (или ) завышает. При этом решение (или ) точнее приближается к эталонному решению по сравнению с решением для всех показателей разработки.

Этот рис. 9 иллюстрирует основной результат третьей главы. Решена поставленная в начале этой главы задача построения единых для всего пласта , . Графики проницаемостей (11) и (13) близки до 3% и поэтому численные расчеты по формулам (11) и (13) тоже достаточно близки, что хорошо видно на рис. 8 и рис. 9.

Глава 4. Модифицированные фазовые проницаемости при закачке в пласт водных растворов ПАВ

При разработке нефтяных месторождений широко используется закачка водных растворов поверхностно-активных веществ (ПАВ), Попробуем распространить описанный выше метод построения модифицированных проницаемостеи для осредненной модели , полученной во второй главе, на случай двухфазной трехкомпонентной фильтрации в слоистых по абсолютной проницаемости пластах при изотермической фильтрации с учетом закачки ПАВ.

Этому вопросу посвящена четвертая глава,

В параграфе 4.1. дается физическое описание задачи и её математическая постановка в одномерном и квазидвумерном случаях. Рассмотрено двухфазное течение несмешивающихся жидкостей без учета капиллярных и гравитационных сил при закачке в неоднородные по абсолютной проницаемости пласты водного раствора ПАВ заданной концентрации.

Допускаем, что примесь заданной концентрации растворима только в воде, сорбция с пористым скелетом отсутствует и от концентрации примеси зависит только относительная проницаемость нефти. Течение происходит в полосообразном слоистом пласте, состоящем из пяти изолированных пропластков (квазидвумерная задача) одинаковой толщины, между двумя галереями при заданном перепаде давления.

Нагнетательную галерею примем за контур питания (КП). Приводятся математическая постановка задачи при известных начальных и граничных условиях и известный численный алгоритм ее решения по конечно-разностным схемам А.А..Самарского, данные в работах А.Н.Чекалина, Ю.А.Волкова и др. Функции лабораторных проницаемостей воды и нефти и взяты из работ Б.И.Леви.

Модифицированные проницаемости модели получены по аналогии с формулой (4) главы 2, при дополнительном допущении о независимости концентрации от . Поправочные коэффициенты , в случае равномерного и экспоненциального законов имеют аналитический вид, поэтому модифицированные проницаемости для равномерного закона получены в виде:

=, = . (14)

Модифицированные проницаемости фаз в случае экспоненциального закона имеют вид (15). Подробный вывод этих формул даётся в Приложении:

=, = . (15)

В параграфе 4.2. приведены результаты численных расчетов по трем моделям.

На рисунках 10 и 11 приведены графики функций и , их модифицированных проницаемостей для этих двух законов при максимальном значении . По взаимному расположению кривых лабораторных относительных проницаемостей и модифицированных проницаемостей эти графики аналогичны графикам рис. 1 и рис. 4.

Рис. 10. Закачка ПАВ при c=0,05, равномерный закон

Рис. 11. Закачка ПАВ при с=0,05, экспоненциальный закон

На рис. 12 приведены графики коэффициента нефтеотдачи эталона и осредненных моделей и при закачке в пласт ПАВ. Эталонное решение ограничено снизу и сверху осредненными решениями. Это основной результат первых двух параграфов четвертой главы.

Рис. 12. , подчиняется экспоненциальному закону при ,

Аналогичные графики получены в работе и для других показателей разработки.

Здесь же был решен случай, когда нефтяные пласты неоднородны как по толщине, так и по простиранию. Абсолютная проницаемость пропластков слоистого пласта была задана в виде

, , (16)

где - функция зональной неоднородности, которая представима в аналитическом непрерывном или кусочно-непрерывном виде. Параметр неоднородности по толщине пропластков подчиняется некоторому вероятностному закону распределения (экспоненциальному или равномерному).

На рис. 13 приведены графики для одного из таких случаев задания зональной и слоистой неоднородностей одновременно. Этот рисунок аналогичен рис. 12.

Рис. 13. , подчиняется экспоненциальному закону с ,

Итак, здесь показана принципиальная возможность применения "струйного" подхода при моделировании течения и для случая закачки в пласт водных растворов ПАВ путем введения модифицированных проницаемостей. Эта модификация осуществлена с помощью поправочных коэффициентов, полученных на основе допущений струйного течения. Показана возможность применения "струйного" подхода при рассмотрении слоистых пластов, неоднородных как по толщине, так и по простиранию, что позволило существенно расширить рамки применения данного подхода при гидродинамических расчетах.

В этой же главе рассмотрена возможность, применимости модифицированных проницаемостей глав 1 - 3 в задачах площадного заводнения слоистых пластов при двухфазной фильтрации, построенных на основе допущения о струйности течения в слоистом пласте.

В параграфе 4.3. исследуется погрешность двух известных осредненных по толщине слоистого пласта моделей двухфазной фильтрации. Рассматривается двухфазное изотермическое вытесение нефти водой в рамках модели Баклея-Леверетта при площадном заводнении в слоистом пласте при пятиточечной и девятиточечной системах заводнения.

На приведённом ниже рисунке 14 схематично показан симметричный элемент пятиточечной системы заводнения: одна нагнетательная скважина в центре квадрата, а вокруг четыре добывающих скважины.

Рис. 14. Пятиточечная система заводнения

На рисунке 15 - то же для девятиточечной системы: есть одна, нагнетающая воду скважина в центре, а вокруг восемь добывающих скважин. Математическая постановка двумерной -задачи двухфазной фильтрации с известными краевыми условиями дана в работах А.Н. Чекалина. Там же приводится численный алгоритм решения, который был реализован в данной работе.

Рис. 15. Девятиточечная система заводнения

Задача была решена с линейными, а также с квадратичными и кубическими исходными проницаемостями , и средней в двумерной постановке (- модель), а также в двумерной постановке с модифицированными , (17) и средней (В - модель) для равномерного и экспоненциального законов распределения задания абсолютной проницаемости изучаемого слоистого пласта. В случае равномерного закона модифицированные проницаемости таковы:

=, = . (17)

В качестве эталонного численного решения (- модель) взято квазитрёхмерное решение задачи для пятислойного пласта с изолированными пропластками, абсолютная проницаемость которых подчиняется заданному распределению.

Рис. 16. Линейные , , пятиточечная система

Рис.17. Кубические , ,девятиточечная система

На рис. 16, 17 приведены графики коэффициента нефтеотдачи в зависимости от количества прокачанных поровых объёмов, полученного для линейных и кубических , , единых для всех пяти пропластков. По-прежнему, осредненные решения и ограничивают снизу и сверху эталонное решение , как и в главах 1 - 3.

Функции , , - коэффициенты системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая определяет известную математическую модель. Эти результаты аналогичны результатам, приведённым на графиках многочисленных примеров глав 1 - 3 для коэффициента нефтеотдачи и других показателей разработки. Там было проведено сравнение -задачи с -задачей.

Таким образом, в данном параграфе получены аналогичные результаты в более сложном случае: при площадном заводнении. Показана возможность применимости модифицированных проницаемостей (17).

Здесь же был рассмотрен ещё более сложный случай задания слоистой неоднородности. Пусть абсолютная проницаемость по пропласткам подчиняется равномерному закону распределения при , а исходные лабораторные относительные фазовые проницаемости имеют в различных пропластах различный вид:

, (18)

где ,- даны в таблице 1, в которой приведены исходные параметры для одного из рассмотренных в этом параграфе примеров.

Ниже приведены формулы для расчета относительных проницаемостей для простейшей осредненной модели (см. главу 3):

, (19)

Формулы модифицированных проницаемостей фаз (модель) для равномерного закона распределения имеют вид:

=,

, = (20)

На рис. 18 даны графики результатов расчетов для этого случая.

Рис. 18. Девятиточечная система заводнения

Был рассмотрен неоднородный по толщине слоистый пласт с изолированными пропластками одинаковой толщины прямоугольной конфигурации , вскрытый девятиточечной (или пятиточечной) системой заводнения для м, м, , = 3 МПас, =1МПас,

Н₁=Н₂ =Н₃ =Н₄ =Н₅ =1м.

Давление на нагнетательной скважине и контуре питания 22 МПа, давление на добывающих скважинах 12.5 МПа. Расстояние от КП до ближайшего ряда скважин 200 м, между рядами скважин тоже 200 м.

Проведено тестирование двумерного алгоритма; получено, что сетка 33х33 узла удовлетворяет балансовым соотношениям с заданной погрешностью расчетов до 1%. В центре пласта - нагнетательная скважина, по периметру - эксплутационные скважины.

Дается ссылка на используемый численный алгоритм.

На рис. 18 хорошо видно, что осредненные решения и ограничивают снизу и сверху эталонное решение для коэффициента нефтеотдачи в зависимости от количества прокачанных поровых объёмов.

Это говорит об обоснованности применения этих двух осреднённых моделей в совокупности при площадном заводнении в слоистых пластах при двухфазной фильтрации. Это основной результат параграфа и всей главы.

В первых трех главах с помощью ВЭ было проведено исследование возможности применимости схемы струйного течения для моделирования двухфазного течения в слоистых пластах между двумя галереями. В этом параграфе получены аналогичные результы для площадного заводнения слоистых пластов с учетом работы нагнетательных и эксплуатационных скважин.

Таблица 1

Равномерный закон распределения К(z)

I	1	2	3	4	5
	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9
	2	2	1,5	1	1
	2	2	1,5	1	1

В параграфе 4.4. решается задача о минимуме срока разработки залежи в зависимости от размещения галерей. Дается постановка задачи оптимизации и метод её решения.

Рассматриваем полосообразные пласты: либо неоднородные по простиранию, т.е. с заданием зональной неоднородности, либо неоднородные по толщине, т.е. с заданием слоистой неоднородности. Зональная неоднородность задана аналитически, слоистая - или по Р. закону, или по усеченному М. закону.

...