Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный университет

Специальности 01.04.05 оптика, 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тема:

Траекторные методы в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике

Смирнов Валерий Владимирович

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре оптики Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант:

доктор физ.-мат. наук, профессор Толмачев Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Демков Юрий Николаевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Дубов Виктор Викторович

доктор физ.-мат. наук, профессор Беляев Андрей Константинович

Ведущая организация:

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.212.232.45 доктор физико-математических наук, профессор Ионих Ю.З.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена развитию и применению траекторных методов в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике. В ней рассматриваются ряд теоретических аспектов методов основанных на траекторных интегралах фейнмановского типа и некоторые способы оценки таких интегралов для решения задач физики рассеяния. Также предлагаются линзовые системы нано- и атомного масштаба для корпускулярной оптики и изучаются их свойства и возможности применения в корпускулярной микроскопии и голографии. Большая часть результатов получена с применением траекторных методов.

Актуальность темы диссертации

Траекторные методы давно и широко используются в физике. Наибольшее развитие получили различные варианты метода молекулярной динамики при рассмотрении задач классической механики и статистической физики. В квантовой физике траекторные методы имеют меньшее развитие в силу, как самой ее природы, так и традиций. Наиболее часто используемым вариантом траекторных методов в квантовой физике является квазиклассическое приближение. Весьма широко используются в физике методы, основанные на траекторных интегралах различного типа. Интегралы винеровского типа (фейнмановские интегралы для мнимого времени с вещественной экспонентой) применяются для решения задач статистической и квантовой физики [L.1]. Методы, базирующиеся на фейнмановском принципе, часто используются в теоретических построениях, однако, применение фейнмановских траекторных интегралов с действительным временем для вычисления физических величин связано с определенной сложностью. Эта сложность во многом обусловлена осциллирующим характером подынтегрального выражения, содержащего комплексную экспоненту. В связи с этим, несмотря на потенциальные возможности, фейнмановские траекторные интегралы практически не используются для вычисления физических величин. К числу их достоинств следует отнести непертурбативность, гибкость и физическую наглядность постановки задачи, перспективность в исследовании нестационарных задач, особенно интенсивно изучаемых в последнее время в атомной физике.

В силу сказанного актуальной является задача построения способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа для решения задач атомной физики и, в частности, физики электронно-атомных столкновений.

Корпускулярную оптику можно трактовать, как широкое обобщение обычной световой оптики в отношении расширения набора основных частиц с фотонов светового диапазона до всевозможных частиц и квазичастиц. В практическом отношении наибольшее распространение до недавнего времени имели системы, основанные на заряженных частицах, прежде всего системы электронной оптики. Вместе с тем, номенклатура реально используемых частиц все время расширяется. Сейчас находят применение системы, основанные на фотонной оптике радио- и рентгеновского диапазона, нейтронной, фононной (инфра- и ультразвуковой), атомной оптике, и т.д. Есть проект по реализации нейтринной оптики [L.2].

Одним из основных методов изyчения стpоения вещества на атомном ypовне является электронная микpоскопия. Переход за суб-ангстремный предел в разрешении электронных микроскопов представляет собой сложную проблему, решение которой имеет большое практическое значение. Несколько продвинуться в разрешении позволяют коррекция аберраций объективной линзы и увеличение ускоряющего напряжения.

Атомная оптика в настоящее время является интенсивно развиваемым направлением исследований, результаты которых применяются в ряде областей, в том числе в микроскопии и нанотехнологиях [L.3]. Для формирования тонких кроссоверов атомных пучков использyется фокyсиpовка атомов на pазличных системах. Hаибольшее pазpешение (десятки нанометров) достигнyто пpи фокyсиpовке на микролинзах, образованных стоячей световой волной. Однако, разрешение существующих систем не позволяет приблизиться к величинам, порядка атомного размера.

В свете сказанного, большое значение имеет разработка методов, ориентированных на пpогpесс в корпускулярной оптике атомного pазpешения. К их числу относятся методы, основанные на предложенной нами концепции атомной линзы в корпускулярной оптике.

Цель работы состояла в

теоретической разработке траекторных методов основанных на траекторных интегралах фейнмановского типа;

разработке способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа для решения задач атомной физики и корпускулярной оптики;

определении параметров различных корпускулярных пучков, формируемых атомными линзами некоторых конфигураций;

рассмотрении возможностей использования атомных линз в корпускулярной микроскопии и голографии.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

рассмотрение ряда вопросов связанных с проблемой сходимости конечномерных аппроксимаций траекторного интеграла;

построение общего выражения для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана;

построение траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов;

разработка способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа;

тестирование этих способов на простых задачах;

изучение свойств корпускулярных пучков, формируемых атомными линзами различных конфигураций;

рассмотрение совместной самофокусировки светового и атомного пучков;

моделирование схемы электронной микроскопии со сканированием решеткой фокусов электронного пучка, образованных атомными линзами;

моделирование схем корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе.

Научная новизна работы состоит в том, что:

применяющаяся в доказательстве сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов теория Чернова, касающаяся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, обобщается на класс стабильных семейств операторов;

указано простое достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции;

впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана;

предложен ряд способов оценки траекторных интегралов фейнмановсого типа;

эти способы апробированы на простых модельных задачах, допускающих решение с произвольной точностью и на задачах электронно-атомного рассеяния;

предложены и теоретически обоснованы

использование одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики;

использование решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики;

осевая схема корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе;

впервые изучены параметры электронного пучка, распространяющегося за одиночным атомом и за колонками атомов в тонком кристалле;

впервые изучены параметры атомного пучка распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке в отсутствие и в присутствие внешнего электростатического поля.

Основные положения, выносимые на защиту

Обобщение теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, на класс стабильных семейств операторов.

Достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

Общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

Способы оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанные на

методе Монте-Карло,

обрезании в окрестности оптимальной траектории,

аппроксимации гауссовыми интегралами.

Применение этих способов для задач электронно-атомного рассеяния.

Разработка концепции атомной линзы для корпускулярной оптики, а именно:

· результаты изучения параметров

электронного пучка, формируемого при прохождении одиночных атомов и колонок атомов в кристалле;

атомного пучка распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке в отсутствие и в присутствие внешнего электростатического поля;

системы с самофокусировкой светового и атомного пучков наномасштаба;

· предложение и теоретическое обоснование

использования одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики;

использования решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики;

осевой схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе.

Апробация работы

Результаты вошедших в диссертацию исследований представлены на

XVIII, XX, XXIII, XXIV Международных конференциях по физике фотонных, электронных и атомных столкновений (ICPEAC: Aarhus, 1993; Vienna, 1995; Stockholm, 2003; Rosario, 2005);

V, VIII Европейских конференциях по атомной и молекулярной физике (ECAMP: Edinburgh, 1995; Rennes, 2004);

Объединенной европейской и национальной астрономической встрече, сопутствующий коллоквиум “Атомные и молекулярные данные для астрофизики” (JENAM-2000: Moсква, 2000);

V, VI конференциях и II, III, IV семинаpах “Атомные данные для астрофизических исследований” (С.-Петербург, 1993, 1995, 1998, 1999, 2000);

Междyнаpодной конфеpенции HI-TECH 98, St. Petersburg, 1998;

18th International Conference on X-ray and Inner-Shell Processes, Chicago, 1999;

Междyнаpодной конфеpенции молодых yченых и специалистов 'Оптика-99' Санкт-Петеpбypг, 1999;

IV Международной научно-технической конференции «Электроника и информатика-2002», Зеленоград, 2002;

31, 34 EGAS Conference (Marseille, 1999; Sofia, 2002);

International seminar on physics of electronic and atomic collisions, Klyazma, Moscow region, 2001;

International Conference on Physics of Low Temperature Plasma. Kyiv, 2003.

Обобщение результатов работы приведено в публикациях в журналах

Ultramicroscopy, 1997, J. Phys. D, 2001, Phys. Rev. B, 2002, Phys. Rev. A, 2007, J. Phys. A, 2008.

Работа поддерживалась грантами РФФИ (проект №00-03-32920-а, 2000 г.); НАТО (project: PST.EV.976808, 2000 г.); Министерства образования (Межвузовская программа: «Научные исследования высшей школы по экологии и рациональному природопользованию». 2000 г.; Программа: «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма: "Электроника", раздел: "Микро- и наносистемная техника", код проекта 208.06.01.070, 2002 г.).

Исследования по теме диссертации получили следующие премии:

первую премию на конкурсе 2004 года лучших научных работ России и стран СНГ в области оптической голографии и интерферометрии им. профессора Ю.И. Островского, учрежденном Физико-техническим институтом РАН им. А.Ф. Иоффе: работа «Изучение фокуса атомной линзы как источника излучения в корпускулярной голографии»;

третью премию в конкурсе 2003 года научных работ Физического Учебно-Научного Центра Санкт-Петербургского государственного университета: работа «Теоретические исследования атомарных линз в корпускулярной оптике».

Публикации и личный вклад

Теме диссертации посвящены 52 публикации; основное её содержание изложено в работах, ссылки на которые приведены в конце автореферата. Постановка задач, способы решения и полученные при этом основные результаты принадлежат автору. В диссертацию включены данные самостоятельных исследований автора, из совместных работ - результаты, полученные под его научным руководством, и при непосредственном участии.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Она изложена на 308 страницах, включая 276 страниц текста, 79 рисунков, 19 таблиц и список литературы из 249 наименований.

Содержание работы

Во введении дается обзор содержания диссертации

В главе 1 излагаются общие вопросы, касающиеся метода интегрирования по траекториям в квантовой теории и говорится о подходах к определению континуального интеграла фейнмановского типа. В диссертации принята схема определения фейнмановского траекторного интеграла, основанная на предельных процедурах для конечномерных аппроксимаций. Эта схема удобна своей конструктивностью.

В первом параграфе главы 1 приводятся конечномерные аппроксимации траекторного интеграла для представления оператора эволюции. Рассмотрение проводится на основе концепции символов операторов. Используются системы символов, возникающие в методе обобщенных когерентных состояний (ковариантные символы) и так называемые qp-символы. Рассматривается вопрос о сходимости конечномерных аппроксимаций к символу оператора эволюции. Приводится доказательство сходимости, базирующееся на теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, которая обобщается на класс стабильных систем операторов [22]. Также приводится достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

В случае грассмановых символов, соответствующих фермионным когерентным состояниям, впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана [1]. Показано, что существующее представление, согласно которому такой интеграл по форме не отличается от обычного траекторного интеграла в комплексном фазовом пространстве, как, например, в случае бозонов, неверно. Ранее явно или неявно предполагалось, что гамильтониан является четным по фермионам и соответствующий символ гамильтониана - четной грассмановой функцией. В общем случае произвольной четности в действии, являющемся фазой подынтегральной экспоненты, появляется дополнительное слагаемое - нелинейное по гамильтониану и интегральное по времени, обусловленное некоммутативностью в общем случае грассмановых символов операторов. Выражение для грассманова символа оператора эволюции имеет следующий вид

,

где действие на замкнутой грассмановой траектории , проходящей через точку , в общем случае имеет вид

,

и - нечетная составляющая грассманова символа гамильтониана. Для четных символов действие не содержит члена и имеет обычный вид, формально совпадающий с видом действия для бозонов.

Отметим, что нечетный по фермионам гамильтониан характерен для незамкнутых систем.

Во втором параграфе главы 1 приводятся разные формы определения сечений процессов рассеяния, в основном в рамках нестационарной теории, на основе волновых пакетов, и рассматриваются представления амплитуд и сечений рассеяния в виде траекторных интегралов.

Достоинством нестационарного подхода является то, что, как отмечалось в литературе, он в большой степени не связан с проблемами, возникающими в стационарной теории рассеяния, например, такими, как выбор способов разбиения полного гамильтониана, расходимостями, вопросами разрешимости и однозначности решений стационарных уравнений рассеяния. Он обладает большой гибкостью постановки задачи рассеяния и приводит к простому выражению сечения в виде траекторного интеграла. Кроме того, он легко переносится на исследование нестационарных процессов.

Рассматриваются вопросы, связанные с симметризацией при определении сечений процессов рассеяния с участием тождественных частиц, т.е. с учетом принципа Паули.

В главе 2 рассматриваются некоторые способы оценки траекторных интегралов. Все вычисления проводятся в дискретной форме.

В первом параграфе главы 2 рассматривается возможность оценки фейнмановского интеграла методом Монте-Карло, который часто используется для оценки интегралов высокой размерности и, в частности, для траекторных интегралов винеровского типа в так называемом квантовом методе Монте-Карло [L.1]. Для эффективной оценки методом Монте-Карло задается предпочтительная выборка траекторий путем построения области в пространстве траекторий на которой сосредоточен интеграл. По аналогии с квазиклассическим приближением в качестве такой области выбирается трубка траекторий в окрестности некоторой «оптимальной» траектории [2, 9]. В качестве оптимальной траектории выбирается траектория, минимизирующая норму первой производной эффективного действия S (действие + фаза начальной волны) по траекториям : . Оптимальная траектория существует всегда, и в том случае, когда минимум равен нулю, совпадает с траекторией классического движения. Отсутствие нулевых минимумов соответствует отсутствию траекторий классического движения. Трубка траекторий задается матрицей вторых производных эффективного действия . В случае существования нескольких оптимальных траекторий основная область интегрирования представляет собой объединение соответствующих трубок.

Во втором параграфе главы 2 предлагается еще один способ оценки фейнмановского интеграла [9]. Он основан на обрезании траекторного интеграла в окрестности оптимальной траектории, минимизирующей норму первой производной эффективного действия, такой же, как и при оценке методом Монте-Карло. Эффективное действие аппроксимируется разложением до второго порядка в окрестности оптимальной траектории. Выбирается гауссова функция обрезания с матрицей квадратичной формы в показателе экспоненты, определяемой произведением третьей и первой производных эффективного действия. В итоге траекторный интеграл сводится к гауссову, который берется аналитически

,,

S_k - производная эффективного действия порядка k.

Отметим, что оценка дает известные асимптотики для исходного интеграла. При невырожденной матрице S₂ получается асимптотика метода стационарной фазы, который приводит к квазиклассическому приближению в квантовомеханических приложениях. В этом случае S₁ = 0, что соответствует условию существования классической траектории. При вырожденной S₂ величина S₁ не обязана равняться нулю, что соответствует возможному отсутствию классической траектории. В частности, при S₂ = 0 и диагональной кубической матрице S₃ результат сводится к асимптотикам функций Эйри.

В третьем параграфе главы 2 предлагается процедура оценки фейнмановского траекторного интеграла при гауссовой аппроксимации [17, 20, 21]. В отличие от рассмотренных в диссертации методов стационарной фазы, перевала и обрезания с разложением действия, в которых, по сути, тоже применяется гауссова аппроксимация, процедура, рассматриваемая в этом параграфе, не использует построение стационарных или оптимальных траекторий. Применяется непосредственное разложение подынтегральных выражений на гауссовы компоненты. При разложении используется важное свойство гауссовых функций, состоящее в том, что их произведение есть гауссова функция. Рассматриваются два варианта разложения. В первом варианте разложение строится в виде произведения разложений однокоординатных сомножителей, входящих в траекторный интеграл. При этом достигается высокая точность, но число компонент разложения экспоненциально растет с ростом числа точек дискретной траектории. Во втором варианте для построения разложения применяется соответствующее разбиение области интегрирования, учитывающее поведение потенциала. Хотя такое разложение менее точно, чем в первом варианте, оно передает основные черты подынтегрального выражения и содержит существенно меньшее число компонент не зависящее от числа точек дискретной траектории - порядка числа комбинаций используемых областей.

В главе 3 рассмотрены применения траекторных методов, основанных на фейнмановском интеграле, к некоторым задачам атомной физики. Рассмотренные в предыдущей главе способы оценки траекторных интегралов тестируются на некоторых простых модельных и реальных столкновительных задачах.

В первом параграфе главы 3 дается формулировка траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов.

Многие физические системы могут быть описаны в терминах матрично-значных гамильтонианов. Типичными примерами являются задача о движения атома в световом поле, описание атомных и молекулярных столкновений в модели пересечения уровней, описание спин-орбитального взаимодействия и т.д.

Обычно при рассмотрении этих задач, например, для построения квазиклассического приближения для матрично-значных гамильтонианов используются соответствующие матричные символы матрично-значных операторов. В настоящей работе рассматривается траекторный интеграл для матрично-значных гамильтонианов, основанный на скалярных символах. Переход от матрично-значного гамильтониана к его скалярному символу осуществляется при разложении по подходящей системе состояний, объединяющей матричные и трансляционные степени свободы. Общая идея подхода была сформулирована нами в [5], где квантовый пропагатор для системы со спином был записан в терминах траекторного интеграла, как по трансляционным, так и по спиновым переменным. Это представление было использовано в [L.4] для построения квазиклассического приближения для спин-орбитального взаимодействия. В диссертации этот подход распространяется на любые матрично-значные гамильтонианы.

Интегрально-траекторное представление для скалярного символа функции имеет вид

для соответствующего S

Во втором параграфе главы 3 рассматривается слоевой метод динамической теории дифракции с точки зрения интегрирования по траекториям. Слоевой метод Cowley-Moodie, является одним из наиболее ценных методов моделирования для электронной микроскопии. Регулярно появляются новые приложения, модификации и анализ этого алгоритма.

В диссертации формула слоевого метода выводится из интегрально-траекторного представления для волновой функции. Траекторный интеграл интегрируется по проекции траекторий на главное направление распространения волны методом стационарной фазы. Отсюда следует, что слоевой метод эквивалентен квазиклассической трактовке распространения волны в главном направлении. Показано, что интегрально-траекторный подход дает ясную и компактную формулировку трактовки теория возмущений в рамках слоевого метода.

В работе [L.5] также рассматривалась связь между слоевым методом и фейнмановским траекторным интегралом. Однако, траекторный интеграл с лагранжевым действием, рассмотренный в [L.5], справедлив только для квадратичной по скорости кинетической энергии. Возможные релятивистские поправки, упомянутые в [L.5], основаны на релятивистской функции Гамильтона с не квадратной кинетической энергией и верны приближенно, только для малого параметра . В нашей работе делается обобщение формулы слоевого метода для общей формы функции Гамильтона на основе траекторного интеграла в фазовом пространстве.

В третьем параграфе главы 3 приводятся результаты расчета сечения электронного возбуждения гелия на основе оценки интеграла по траекториям методом Монте-Карло по схеме, изложенной в первом параграфе главы 2 [2].

Рассматривался переход 1¹S__2³S в гелии при возбуждении электронами с энергией 40 eV. Абсолютные значения зависимости дифференциальных сечений от угла рассеяния подтверждаются вычислениями другими известными методами и согласуются с результатами наиболее надежных из них (рис. 1). Вычисленное нами значение интегрального сечения возбуждения перехода составило 11.110^-19 cm², что согласуется с данными эксперимента, наиболее надежными расчетами - табл. 1 (названия методов соответствуют рис. 1) и результатом, дающим совокупное представление данных по имеющимся информационным источникам полученным по методике, которая была предложена и апробирована нами на ряде атомных переходов в гелии, аргоне и водороде [12-16, 19].

Рис. 1

Таблица 1

	метод		метод
CCC CC, o	настоящая работа [2] сильной связи со сходимостью [L.6] сильной связи [L.6, L.7] FOMBT (first order many body theory)	DW OR BO ,	искаженных волн Очкура Борна эксперимент
Q 10-19 cm2	метод	источник	Q 10-19 cm2	метод
11.1	this	настоящая работа [2]	4.4	DW
10.8	CCC	[L.6]	27.88	OR
15.6		[L.7]	496.2	BO
20.4	FOMBT		10.33.1 1412 12.22.4	эксперимент
188	совокупный результат	[12, 25]

В четвертом параграфе главы 3 на модельных задачах проводится проверка схемы оценки фейнмановского траекторного интеграла методом обрезания [9], рассмотренной во втором параграфе главы 2.

В первой секции параграфа рассмотрен одномерный интеграл от осциллирующей функции. Из результатов моделирования следует, что предложенная аппроксимация дает хорошее согласие с точным решением.

Во второй секции параграфа рассмотрена задача рассеяния на трехмерном гауссовом потенциале. Вычислялись дифференциальные и интегральные сечения. Проводилось сравнение полученных результатов с расчетом методом фазовых функций, который является наиболее точным в применении к рассматриваемой модельной задаче, а также, с расчетами в первом борновском, квазиклассическом и эйкональном приближениях.

Расчет рассматриваемым методом показывает хорошие результаты в области средних и больших энергий при сравнении с точным решением.

В области малых энергий, для случая потенциального барьера, когда энергия свободной частицы меньше высоты барьера, классические траектории отсутствуют. Рассматриваемое приближение дает хорошие результаты в этой области энергий, что позволяет говорить об успешной работе схемы. При энергиях, когда существуют классические траектории, результаты квазиклассического приближения и нашего совпадают.

Необходимо отметить область малых энергий в случае потенциала притяжения, где наблюдается расхождение сечений нашего и точного методов. Возможное объяснение этому состоит в том, что при малых энергиях в случае потенциальной ямы необходим учет многих сложных закрученных траекторий, соответствующих в квантовой интерпретации квазистационарному состоянию системы. Был проведен тестовый численный эксперимент, в котором производился учет 4-х различных оптимальных траекторий. Сечение, рассчитанное в этом случае, оказалось ближе к точному.

В пятом параграфе главы 3 приводятся результаты проверки на простых задачах схемы оценки фейнмановского траекторного интеграла при гауссовой аппроксимации, изложенной в третьем параграфе главы 2.

В первой секции параграфа рассмотрена задача рассеяния на трехмерном гауссовом потенциале [17, 21]. Проводилось сравнение полученных результатов с расчетом методом фазовых функций, который при учете большого числа парциальных волн дает практически точный результат, а также, с расчетами в первом борновском приближении. Последнее сравнение использовалось для внутреннего тестирования схемы расчета. Как следует из проведенных вычислений, результаты, полученные в рассматриваемом приближении, хорошо согласуются с вычислениями методом фазовых функций. Интегральные сечения находились двумя способами: интегрированием дифференциальных сечений, полученных из амплитуд рассеяния в формализме волновых функций и непосредственно - на основе формализма матрицы плотности. При этом интегральное сечение, полученное на основе формализма матрицы плотности состояний, лучше согласуется с точным результатом, чем полученное интегрированием дифференциальных сечений.

Во второй секции параграфа рассмотрена задача рассеяния электрона на атоме водорода [17, 20]. Вычислялись интегральные сечения возбуждения электронным ударом переходов 1s__2s, 2p, 3s, 3p, 3d в атоме водорода, а для перехода 1s__2s также и дифференциальные сечения возбуждения.

Результаты для интегральных сечений переходов 1s 2s, 2p, 3s, 3p, 3d приведены на рис. 2.

На рис. 3 на примере переходов 1s 2s, 2p приводится сравнение с результатами, полученными на основе регрессионного анализа по совокупности имеющихся литературных источников. Соответствующие вопросы рассмотрены в следующем параграфе главы 2.

атомный корпускулярный пучок электронный микроскопия



Рис. 2

1s 2s 1s 2p

Рис. 3

На рис. 3 линия 1 - настоящие результаты, тонкая линия 2 - регрессионная зависимость.

Из полученных результатов следует, что дифференциальные сечения качественно передают зависимость от угла рассеяния, хотя, при малых энергиях и больших углах рассеяния несколько отличаются в деталях структуры от расчетов методом CCC (convergent close coupling) [L.8]. Полученные по ним интегральные сечения согласуются с расчетом методом CCC лучше. Как и в задаче рассеяния на потенциале, интегральные сечения рассеяния на атоме водорода в формализме матрицы плотности согласуются с имеющимися данными лучше, чем полученные интегрированием дифференциальных сечений. Наши результаты хорошо передают ход зависимости интегральных сечений от энергии электронов и по абсолютной величине близки к совокупным литературным данным.

Таким образом, проверка подхода на основе гауссовых аппроксимаций на рассмотренных задачах рассеяния на потенциале и на атоме водорода показала его работоспособность. Метод дает приемлемую для многих случаев точность. Из всех рассмотренных нами ранее подходов по применению траекторного интегрирования к электронно-атомному рассеянию данный подход явился самым быстрым с вычислительной точки зрения.

В шестом параграфе главы 3 приводятся данные по электронному возбуждению в атоме водорода, полученные на основе предложенного и использованного в наших работах [12-16, 19] подхода, основанного на регрессионном анализе данных, содержащихся в имеющихся источниках информации по рассматриваемому вопросу и дающего совокупное представление данных. Эти результаты используются для сравнения с нашими расчетами, изложенными в предыдущем параграфе.

Были получены параметры регрессии для интегральных сечений электронного возбуждения переходов 1s 2s, 2p, 3s, 3p, 3d и для перехода n = 1 n = 2 по имеющимся теоретическим и экспериментальным работам.

На рис. 4 представлены полученные регрессионные кривые, проведенные по имеющимся данным для переходов 1s 2s, 2p в водороде.

Разброс величин сечений по разным работам достигает нескольких раз. При этом, величина относительной дисперсии составляет примерно 25% для переходов 1s 2s, 2p и 30-40% для переходов 1s 3s, 3p, 3d. Такова реальная точность, с которой рассматриваемые сечения известны на настоящий момент.

1s 2s 1s 2p

Рис. 4

В главе 4 рассматривается предложенная в [4] и теоретически развиваемая нами концепция атомной линзы в корпускулярной оптике, которая состоит в применении объектов нано- и атомного масштаба в качестве линз для пучков частиц. Рассмотрение этого вопроса имеет большой самостоятельный интерес. Многие результаты в этой области получены нами с применением траекторных методов.

В первом параграфе главы 4, который носит вводный характер, рассматриваются некоторые общие моменты, касающиеся корпускулярной оптики, в том числе и относящиеся к атомным линзам.

Во втором параграфе главы 4 представлены результаты изучения атомной линзы для пучка электронов с энергией, характерной для электронной микроскопии (десятки - сотни килоэлектронвольт).

В качестве простейшей линзы может выступать отдельный атом. Кроме того, в диссертации рассматривается многолинзовая система, образованная цепочкой атомов в кристалле.

Изучение свойств атома как линзовой системы проводилось на основе реалистичных модельных атомных потенциалов, таких как кулоновский, экранированный кулоновский, Томаса-Ферми. Для построения решения задачи о распространении электронной волны через линзу использовались эйкональное, квазиклассическое приближения (их можно отнести к классу траекторных методов), а также широко используемый в динамической теории электронной дифракции слоевой метод Cowley-Moodie, рассмотренный во втором параграфе главы 3. В последнем случае для описания взаимодействия использовались известные данные по атомным формфакторам.

При рассмотрении задачи в квазиклассическом приближении необходимо учитывать, что при аксиальной симметрии положительный луч оси распространения волны является фокальной линией и квазиклассическое приближение в координатном представлении расходится на оси. Поэтому задача рассматривалась в смешанном координатно-импульсном представлении (импульсном по переменным в плоскости ортогональной направлению распространения), в котором расходимости нет.

В результате прохождения волны за линзой образуется тонкий расходящийся пучок электронов с наименьшим сечением порядка десятков пикометров, расположенным на расстоянии десятых нанометра от края линзы. В качестве примера на рис. 5 представлены результаты моделирования слоевым методом прохождения электронной волны через тонкий (6 nm) кристалл золота.

Показано распределение интенсивности в поперечном направлении пучка: (a) падающего на кристалл в кристаллографическом направлении [100], (b f) на выходе из кристалла в области максимальной интенсивности при соответствующих значениях смещения d = 0, 0.25, 0.5, 1.0, 2.0 () оси первичного пучка относительно оси линейной цепочки атомов кристалла в кристаллографическом направлении [001]. Диаметр первичного пучка был выбран таким, что при наведении на атомную цепочку в кристалле он не захватывал соседние цепочки.

Видно, что диаметр пучка в фокусе атомной линзы порядка ~ 30 pm. Выходное распределение привязано к оси атомной цепочки и не смещается при смещении первичного пучка. При захвате первичным пучком соседней атомной цепочки появляется соответствующий сателлитный пик интенсивности. Пики при смещении не уширяются.

Рис. 5. По горизонтальной оси приводится поперечная координата в . По вертикальной оси относительная интенсивность в произвольных единицах.

В третьем параграфе главы 4 рассмотрена фокусировка ионов при каналировании внутри кристалла. Вопросам, связанным с каналированием ионов в кристаллах, посвящено много исследований. В частности, отмечалось существование фокусировки. Параметры фокуса исследовались в меньшей степени, например в работе [L.9].

В диссертации рассмотрена начальная стадия каналирования протонов в кристалле палладия в направлении [100], когда еще не успевает наступить режим каналирования со стационарным распределением по поперечным координатам. Рассматривается первый фокус, образующийся при входе пучка в кристалл. Для описания движения протонов использовался экранированный кулоновский потенциал для атомов палладия. Использовался классический траекторный расчет с поправкой на дифракционное уширение. Тепловые колебания атомов учитывались случайным смещением центров потенциалов из равновесного положения при каждой траектории движения протона со средней амплитудой смещений соответствующей заданной температуре кристалла ().

На рисунке 6 приведено поперечное распределение интенсивности в области фокуса для пучка протонов с энергией 10_keV.

Рис. 6

Фокусное расстояние в этом случае равно F = 1.38 nm. Высота пика интенсивности в фокусе в 250 раз превосходит интенсивность пучка падающего на кристалл. Ширина пика порядка 3 пикометров. Дифракционное уширение составляет = 1.7 pm при длине волны = 0.29 pm.

В диапазоне энергий пучка 10 - 1000 keV

фокусное расстояние растет линейно по скорости;

- вид поперечного распределения интенсивности пучка в фокусе меняется мало.

В четвертом параграфе главы 4 представлены результаты изучения нанолинз различных конфигураций для пучка атомов и молекул.

В начале параграфа рассматриваются вопросы описания взаимодействия атомов с линзой.

Во второй секции четвертого параграфа рассматривается атомная линза в виде конца линейной цепочки атомов углерода. Классическим траекторным расчетом находилось распределение интенсивности в различных сечениях пучка атомов аргона, направленного поперек углеродной цепочки. В качестве потенциала взаимодействия атомов С и Ar брался потенциал типа 6-9 Леннарда-Джонса с параметрами по данным работы [L.10].

В таблице 2 приведены фокусное расстояние F, относительная интенсивность в фокусе I для главного пика, полуширины сечений главного пика различными плоскостями, параллельными оси пучка и оценка дифракционного уширения _d в зависимости от энергии налетающих частиц E.

Tаблица 2

E, meV	F,	I	x ,	y ,	45,	d,
10 30 100	4.5 8.5 25	59 32 24	0.4 0.4 0.3	1.3 0.8 0.7	0.6 0.6 0.5	0.18 0.23 0.40

Было также исследовано распространение пучка атомов аргона с максвелловским распределением по энергиям с kТ = 30 meV. Оказалось, что интенсивность в пике в большой области не зависит от расстояния до фокусирующего атома, т. е. система обладает большой глубиной резкости. Однако, относительная интенсивность уменьшается в несколько раз по сравнению с монокинетичным пучком.

В третьей секции четвертого параграфа рассмотрена атомная линза в форме наноотверстия. В силу характера взаимодействия атомов пучка и наноотверстия такая линза является дефокусирующей в отсутствие внешних электрических полей. Внешнее поле может изменять фокусное расстояние наноотверстия и, в частности, делать линзу фокусирующей.

В диссертации моделировались две линзовые системы без внешнего поля.

Одна представляла собой пучок атомов ксенона с энергией 30 meV, проходящий через наноотверстие в одной или в двух оболочках графита диаметром 2 nm, 3 nm и 5.2 nm. В качестве потенциала взаимодействия атомов С и Xe взят потенциал типа 6-9 Леннарда-Джонса с параметрами по данным работы [L.10]. Расчет проводился в классическом траекторном приближении.

Другая линзовая система представляла собой пучок атомов ртути, проходящий через наноотверстие в пленке оксида алюминия толщиной 2.5 nm. Расчет проводился в квантовом приближении.

В таблице 3 для второй линзовой системы приведено фокусное расстояние линзы F (вверху) и диаметр пучка в мнимом кроссовере (внизу) в зависимости от радиуса линзы R и энергии атомного пучка E.

Таблица 3

E, meV	R, nm
	1.4	1.6	1.8	2.0
30	0.8 0.02	1.5 0.03	2.0 0.03	3.1 0.04
60	1.6 0.025	2.8 0.03	3.8 0.03	5.9 0.04
100	2.7 0.03	4.6 0.04	6.2 0.04	9.4 0.05

Атомная линза в виде наноотверстия в тонкой пленке для атомного пучка имеет самое высокое качество из исследованных нами атомных линз для атомных пучков. Для пучков тяжелых атомов диаметр пучка в мнимом фокусе линзы определяется в основном геометрическими аберрациями и составляет величину порядка десятков пикометров. Усиление интенсивности в мнимом фокусе составляет порядка нескольких сотен раз.

В диссертации рассмотрена также фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций [6, 7].

Рассматривалась осесимметричная конфигурация поля, качественно соответствующая полю в наноотверстии во внешнем поле.

Были рассмотрены два вида взаимодействия частиц пучка с полем. Для атомов и неполярных молекул - квадратичное по полю взаимодействие, которое определяет квадратичный эффект Штарка в атоме, , где - поляризуемость атома или молекулы, а также линейное по полю, усредненное по ориентациям взаимодействие вида для полярных молекул, где - дипольный момент молекулы.

Проводились, как классический траекторный, так и квантовый расчеты.

В результате анализа структуры теоретического выражения для фокусного расстояния была получена параметрическая аппроксимация для фокусного расстояния линзы F

,

где R - радиус линзы, E - внешнее поле, V₀ - параметр взаимодействия, a, b - параметры аппроксимации, которые могут быть найдены из регрессии по полученным данным. Сравнение с модельным расчетом, показало хорошую выполнимость этой аппроксимации.

Интересно отметить, что диаметр кроссовера в фокусе атомной линзы для атомных пучков для ряда исследованных линзовых конфигураций получается меньше диаметра атома. Под диаметром кроссовера следует понимать точность, с которой центры масс атомов выстроены друг за другом в фокусе атомной линзы.

В пятом параграфе главы 4 рассмотрена совместная самофокусировка светового и атомного пучков.

В последние годы интенсивно изучается и применяется манипулирование атомами в световом поле [L.3]. При этом, в основном, рассматриваются линейные по атомной плотности эффекты. В диссертации рассмотрена задача самофокусировки атомного пучка в поле световой волны. Это явление относится к эффектам нелинейной корпускулярной оптики и происходит, вообще говоря, одновременно с самофокусировкой световой волны. При самосогласованной эволюции атомного и светового пучков, динамически формируется пучковая атомно-линзовая система. Рассмотрение проводится в рамках двухуровневой модели атома на основе уравнений Максвелла и Шредингера.

Явление самофокусировки по сути близко к явлению самолокализации атомов в световом поле, которое рассматривалось, например, в [L.11]. В отличие от [L.11] наше рассмотрение учитывает квантовые свойства движения атомов, например, дифракционное уширение самофокусирующегося пучка атомов.

Вначале рассмотрена линейная фокусировка атомного пучка в световом поле. Показано, что двухкомпонентная атомная волна является суперпозицией двух волн , одна из которых сфокусирована (имеет действительный фокус), а другая дефокусирована (имеет мнимый фокус). Эти волны обусловлены наличием двух поверхностей адиабатического потенциала взаимодействия атомов с полем. Получена формула для фокусных расстояний парциальных атомных волн

, (1)

где E - кинетическая энергия атомного пучка. В знаменателе формулы 1 стоит значение второй производной проективного адиабатического потенциала по радиальной переменной на оси линзы. Соответствие между реальным знаком фокусного расстояния и знаком в формуле 1 определяется знаком второй производной проективного адиабатического потенциала, зависящего в свою очередь от знака частоты отстройки от резонанса. При фокусировке пучка атомов на максимумах интенсивности света, например, на фокусе светового пучка, при положительной отстройке (> 0) происходит фокусировка парциальной волны и дефокусировка парциальной волны . При отрицательной (< 0) - наоборот. При фокусировке на минимумах интенсивности света, например, на узлах стоячей световой волны, картина обратная.

Фокусное расстояние, вычисляемое на основе формулы /1/ хорошо согласуется с полученным из модельного расчета на основе уравнения эволюции атомного пучка в заданном световом поле.

Для рассмотрения нелинейных эффектов численно решались совместные уравнения эволюции светового и атомного пучков. Вводится критерий, определяющий параметры системы, при которых начинает проявляться эффект самофокусировки -

Здесь - длина световой волны, R - радиус светового пучка в первичном фокусе, частота отстройки от резонанса, _R - частота Раби, определяемая взаимодействием атома с полем , - атомная поляризуемость на частоте отстройки, N - атомная плотность. Проведенное численное моделирование подтверждает этот критерий.

В главе 5 рассмотрены некоторые варианты возможного применения атомных линз.

В первом параграфе главы 5 рассмотрены возможности применения атомных линз в корпускулярной микроскопии.

В первой секции параграфа речь идет об электронной микроскопии.

Как показывают наши исследования (см. §1 гл. 4), одиночные тяжелые атомы или колонки атомов в тонком кристалле, могут выступать в качестве линзы, способной сфокусировать пучок электронов в область с поперечным сечением меньше чем 0.05 nm в диаметре. Если такой атомный фокусер использовать в качестве конечной линзы в электронном микроскопе, то возможно уменьшение предела разрешения до 0.05 nm или менее по сравнению с пределом разрешения 0.2 nm для лучших из доступных в настоящее время электронных микроскопов, работающих в той же области энергий 100-400 keV.

Идеализированная схема использования атомной линзы в качестве объективной линзы сканирующего электронного микроскопа впервые рассматривалась в нашей работе [4]. В последующей работе [3] было предложено и изучено еще несколько схем электронной микроскопии с атомной линзой.

Pаботы по исследованию атомных линз в электpонной микpоскопии проводились также в yнивеpситете штата Аpизона США пpофессоpом J. M. Cowley [L.12-L.17]. На основе слоевого метода Cowley-Moodie было теоретически исследовано каналирование электронного пучка при прохождении через колонку атомов в кристалле, образующую атомную линзу. Результаты этих исследований подтвердили выводы нашей работы [4] о параметрах сфокусированного пучка. Рассматривались различные схемы применения атомных линз в электронной микроскопии. Было также экспеpиментально пpодемонстpиpовано yвеличение pазpешения пpи фокyсиpовке на атомах [L.16, L.17]. В экспеpиментах по визyализации кластеpов вольфpама, помещенных на yглеpоднyю нанооболочкy, проводившихся по одной из схем, пpедложенных в нашей совместной pаботе [3] на стандаpтном электpонном микpоскопе с pазpешением не выше 0.34 nm было получено разрешение - 0.06 nm, что соответствует шестикpатному yвеличению pазpешения.

Во второй секции первого параграфа рассмотрены возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов электронного пучка, формируемых атомными линзами.

Как было отмечено, на выходе из кристалла образуется тонкий кроссовер с максимальной интенсивностью на очень малых расстояниях (десятые доли nm) от последнего атома в кристалле. Исследуемый образец практически сложно перемещать для сканирования на таком расстоянии от кристалла ввиду неровности (в общем случае) поверхностей образца и фокусирующего кристалла. В зависимости от степени гладкости для каждого образца требуется определённая степень удалённости от кристалла, поэтому необходимо создать условия, при которых кроссовер образовывался бы как можно дальше от кристалла. В работе [3] предложен метод, который позволяет обойти выше изложенные трудности. Он основан на известном в волновой оптике принципе Фурье плоскостей, согласно которому бесконечная решётка периодически расположенных в плоскости точечных когерентных источников (распределение интенсивности которых в пространстве представляет собой дельта-функцию) периодически повторяется в пространстве (то есть расходящиеся лучи снова фокусируются с некоторым периодом в пространстве).

Расстояния до Фурье плоскостей для точечных источников рассчитываются с помощью известного [3] соотношения

,

где - расстояние до плоскости, - расстояние между источниками, - порядок плоскости, - длина волны. При энергии электронов 300 keV для кристалла золота () получаем расстояние до первой плоскости Фурье . Современные технологии позволяют поместить и перемещать образец на таком расстоянии от кристалла.

Таким образом, при использовании рядов атомов в слое кристалла в качестве фокусирующих элементов для фокусировки пучка от электронного микроскопа, на выходе из кристалла получается распределение интенсивности, представляющее собой решётку тонких пиков диаметром порядка 0.03 nm и порядка 0.04 nm на расстоянии первой Фурье-плоскости.

В работе приведены результаты моделирования схемы микроскопии со сканированием образца такой решёткой, при котором из детектируемого сигнала восстанавливается передаточная функция образца. Качество визуализации зависит от вида и величины шума. Существует ещё один фактор, препятствующий качественной визуализации. Ввиду того, что ширина распределения интенсивности в пучке электронного микроскопа точно неизвестна, ширину огибающей решётки пиков можно узнать лишь с некоторой погрешностью. Поэтому при восстановлении в качестве распределения интенсивности падающего на образец сигнала используется решётка, ширина огибающей которой отличается от истинной. В работе выявлены диапазоны шумов и неточностей знаний о падающей на образец волне, позволяющих с допустимым качеством визуализировать образец.

Во втором параграфе главы 5 приводятся результаты теоретического изучения корпускулярной голография с фокусировкой источника на атомной линзе.

Как показали проведенные нами исследования [8, 10, 11], определенные перспективы применения атомных линз для получения ультравысокого разрешения в корпускулярной микроскопии могут быть связаны с использованием малых кроссоверов пучков, формируемых атомными линзами, как источников для корпускулярной голографии. При этом, в голографической микроскопии можно применять, как фокусирующие, так и дефокусирующие линзы с мнимым кроссовером. Для атомных пучков последние в форме наноотверстий проще в реализации, так как не требуют приложения внешних полей.

Были предложены схемы осевой корпускулярной голографии с освещением объекта от фокуса атомной линзы.

При моделировании процессов записи электронной голограммы и реконструкции образа изучалось влияние дрейфа, когерентного и некогерентного уширений первичного электронного пучка.

Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с использованием атомной линзы для освещения объекта показало, что разрешение в реконструированном образе имеют величину порядка диаметра кроссовера линзы. При этом сопряженные образы не создают существенных помех наблюдению реконструированных образов. Это обусловлено тем, что при реконструкции образ находится в фокусе, а сопряженный образ дефокусирован. В этом, а также в использовании единичного фокуса, что существенно упрощает анализ голограммы, и в большей интенсивности пучка от внешнего источника с атомной фокусировкой состоят преимущества схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе по сравнению с известной схемой с внутренним источником.

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

По траекторным методам

1. Для доказательства сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов дано обобщение теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции на класс стабильных семейств операторов.

2. Указано простое достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

3. Впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

4. Дана формулировка траекторного интеграла для матрично-значных гамильтонианов.

5. Проведены построение и апробация некоторых способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанных на

методе Монте-Карло,

обрезании в окрестности оптимальной траектории,

аппроксимации гауссовыми интегралами.

На их основе предложены способы расчета сечений электронно-атомного рассеяния.

Результаты расчетов сечений рассеяния на основе предложенных способов сравниваются с результатами других методов, которые либо являются точными, либо получены в приближениях, которые принято считать достаточно хорошими. Это, прежде всего, метод close coupling convergent (CCC). Для сравнения также применяются результаты, полученные на основе предложенного в наших работах подхода, основанного на регрессионном анализе данных по совокупности источников информации по рассматриваемому вопросу.

...