1) В системе связанных элементов с изменяющимися во времени параметрами с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности уменьшается вероятность установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.

2) Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями. Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом.

3) Предложенные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанные на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда системы с запаздыванием и проецировании ее бесконечномерного фазового пространства в подпространства малой размерности, обеспечивают высокое качество реконструкции различных классов систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием.

4) Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на реконструкции передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

5) Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам.

6) Медленные колебания кровяного давления человека с собственной частотой около 0.1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием. Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

Во введении обоснована актуальность проводимых в работе исследований, их научная новизна и практическая значимость, сформулированы цель и задачи диссертации, основные положения и результаты, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов и кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию дискретной модели пространственно-развитой системы, состоящей в простейшем случае из двух связанных между собой элементов. Изучение мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух симметрично связанных нелинейных элементов, демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, проведено на примере двух связанных квадратичных отображений

(1)

где - параметр нелинейности, а k - коэффициент связи. В отличие от известных ранее работ, система (1) исследована в более широкой области изменения параметра k.

Сначала рассмотрен случай, когда значения параметров обеих подсистем постоянны. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. В частности, установлено, что в системе (1) существуют два несинфазных, симметричных относительно замены x на y и y на x цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров. Показано, что области несинфазных колебаний в пространстве параметров связанной системы симметричны относительно линии k=0.5, но сами несинфазные режимы в области слабой и сильной связи качественно различны. Продемонстрировано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Например, устойчивые несинфазные режимы периода 1 и 2 существуют в системе (1) при значении параметра , более чем в 3 раза превышающем критическое (_c=2), при котором все синфазные решения уходят на бесконечность. Показано хорошее качественное совпадение результатов исследования мультистабильности колебательных состояний, в том числе хаотических, и их бассейнов притяжения, полученных при численном исследовании системы (1) с дискретным временем, с результатами экспериментального исследования системы двух периодически возбуждаемых RL-диод цепей, связанных через резистор и функционирующих в непрерывном времени.

Затем рассмотрен случай, когда параметр системы (1) зависит от времени по кусочно-линейному закону, причем изменение происходит в интервале, содержащем бифуркационные значения, то есть, рассмотрена система с динамическими бифуркациями. После достижения параметром нелинейности конечного значения _F выполнялось еще достаточное количество итераций с этим значением для выхода системы на аттрактор. Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний связанной системы с изменяющимися во времени параметрами. Проведено исследование вероятности установления и бассейнов притяжения конечных состояний связанной системы (1) в зависимости от скорости изменения управляющего параметра.

Установлено, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний, то есть, часть конечных состояний, возможных при _F в стационарном случае, не реализуются при динамических бифуркациях, пока скорость изменения параметра не превысит некоторого критического значения. Это объясняется тем, что в системе (1) с постоянными параметрами на плоскости параметров имеются области, в которых в связанной системе существуют только синфазные или только несинфазные режимы колебаний. В динамическом случае при очень малой скорости изменения управляющего параметра в таких областях система успевает выйти на синфазный или несинфазный аттрактор, соответственно. В результате, даже с переходом в область мультистабильности вся область конечных решений системы остается при любых начальных условиях бассейном притяжения ранее возникшего аттрактора и соответствующих ему конечных состояний, отличающихся друг от друга фазой колебаний. Показано, что с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.

Исследовано влияние шума на выбор конечного состояния связанной системы с динамическими бифуркациями. Показано, что в результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения управляющего параметра.

Во второй главе изучается динамика пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов. В качестве моделей таких систем исследуются решетки связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодальных отображений

, (2)

описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных нелинейных осцилляторов, возбуждаемых периодической внешней силой. Отображения (2), используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстрирует мультистабильность, а их параметры характеризуют: A - амплитуду внешнего периодического воздействия, N - частоту внешнего воздействия, нормированную на частоту собственных колебаний осциллятора, d - диссипацию, - нелинейность, то есть, представляют собой типичные характеристики неавтономных осцилляторов. Базовые отображения построены с использованием эмпирического подхода по временным реализациям тока в неавтономном колебательном контуре с диодом, являющемся одним из эталонных объектов при экспериментальном исследовании динамического хаоса и широко используемом во многих радиофизических устройствах, таких как параметрические генераторы, перестраиваемые фильтры, умножители и делители частоты. Таким образом, исследуемые в главе модели многоэлементных пространственно-развитых систем более приближены к реальным системам, чем, например, решетки связанных квадратичных или кубических отображений.

Исследование различных моделей ансамбля связанных систем начинается в главе с рассмотрения одномерной решетки (цепочки) неавтономных мультистабильных осцилляторов

(3)

где n - дискретное время, m - номер элемента цепочки, k - коэффициент связи, а функция f (x), определяющая локальную динамику, имеет вид (2). Граничные условия выбраны периодическими: , где M - число элементов в цепочке. Проведено исследование пространственно-временных структур в цепочках с различным числом элементов и их эволюции при изменении параметров. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами. Эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Показано, что для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода - удвоение пространственного периода структуры. Рассмотренная модель с дискретным временем хорошо качественно описывает пространственно-временные структуры, наблюдаемые в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом, и отражает характер их перехода к хаосу при изменении параметров в зависимости от числа элементов в цепочке.

В области параметров, в которой элементы цепочки обладают бистабильностью, исследована зависимость пространственных режимов от величины коэффициента связи и способа задания начальных условий. С целью учета влияния шума и неидентичности элементов на динамику системы проведены исследования одномерных решеток при добавлении внешнего шума и модуляции одного из управляющих параметров.

С помощью метода последовательной стабилизации движений элементов впервые проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных мультистабильных осцилляторов (3). Стабилизация неустойчивых однородных состояний цепочки проведена в режиме развитого пространственно-временного хаоса для двух типичных случаев: при значениях параметров, соответствующих отсутствию гистерезиса и связанной с ним бистабильности в элементах цепочки и при наличии бистабильности одиночных элементов, при которой в них сосуществуют два хаотических аттрактора. Показано, что величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом. Благодаря наличию шума, становятся возможными переключения между бистабильными состояниями элементов. Подавая на систему шум и одновременно воздействуя на нее управляющим сигналом, можно добиться того, что колебания всех элементов цепочки переводятся в окрестность лишь одного выбранного хаотического аттрактора. После чего шум может быть отключен и легко достигнута стабилизация неустойчивого пространственно однородного режима периода 1, входящего в этот аттрактор.

Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных мультистабильных элементов проводится в главе путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. В качестве модели двумерной решетки исследовалось уравнение

(4)

а в качестве модели трехмерной решетки уравнение

(5)

где i и j определяют положение элемента в двумерной решетке, l - номер слоя, k - коэффициент связи между элементами внутри отдельного слоя, представляющего собой двумерную решетку, h - коэффициент связи между слоями двумерных решеток, а функция f (x) является многопараметрической мультимодальной вида (2). Рассматривался случай связанных квадратных решеток: i=1,,M, j=1,,M, l=1,,L с различным способом задания граничных условий. Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках (4) и (5) при таких значениях параметров, при которых элементы решеток обладают бистабильностью. Исследовано явление динамического копирования в трехмерных решетках (5) при случайных и различных регулярных начальных пространственных распределениях динамической переменной.

В третьей главе рассматриваются пространственно-развитые системы, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

, (6)

где x (t) - состояние системы в момент времени t, производная по времени порядка n, - времена запаздывания, - параметры, характеризующие инерционные свойства системы, F - некоторая функция. Исследованы особенности временных реализаций автоколебательных систем с запаздыванием. Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. В результате, при наличии инерционности в системе (₁>0) зависимость числа N пар экстремумов хаотической временной реализации, удаленных друг от друга на время , от величины , имеет четкий минимум при времени ₁, соответствующем времени запаздывания системы, рис.1.

Рис. 1. Качественный вид зависимости числа N пар экстремумов хаотического временного ряда системы с запаздыванием, удаленных друг от друга на время , от величины . N () нормировано на общее число экстремумов во временном ряду.

Положение абсолютного максимума на графике N () определяется величиной параметра ₁: с увеличением ₁ расстояние _s между минимумом и максимумом увеличивается. Показано, что качественные особенности зависимости N (), обусловленные динамикой системы с запаздыванием, сохраняются при умеренном шуме. Они сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры _i, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. А для хаотических временных реализаций систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки показано, что число экстремумов, разделенных временными интервалами, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.

Основное внимание уделяется в главе разработке новых методов восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений автоколебательных систем с запаздыванием. Предложены оригинальные методы реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в специальным образом выбираемые подпространства малой размерности. Выбор пространства вложения определяется при этом общим видом модельного уравнения. Разработанные методы позволяют восстановить время запаздывания, параметры инерционных элементов и вид нелинейной функции. Оригинальный метод определения времени запаздывания требует существенно меньше вычислительных затрат, чем любые другие известные методы. Предложенные способы восстановления нелинейной функции и всех параметров инерционности системы с запаздыванием используют все точки временного ряда, что позволяет успешно применять их к коротким временным рядам и полно восстанавливать нелинейную функцию даже в случаях слаборазвитого хаоса. Для оценки качества восстановления модельного уравнения использованы различные количественные критерии.

Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам. Получено хорошее качество реконструкции модельного уравнения Маккея-Гласса и уравнения Икеды, описывающего динамику пассивного оптического резонатора и имеющего мультимодальную нелинейную функцию. Методы также применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений различных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью. В простейшем случае такой генератор может быть представлен кольцом из трех идеализированных элементов: нелинейного, инерционного и задержки. Запаздывание сигнала на время ₁ обеспечивается линией задержки, роль нелинейного элемента исполняет усилитель с передаточной характеристикой f, а инерционность определяется фильтром, параметры которого задают величину ₁. В случае, когда инерционным элементом является низкочастотный RC-фильтр первого порядка, такой генератор описывается уравнением

, (7)

где U (t) и U (t-₁) - напряжения, соответственно, на входе и выходе линии задержки, R и C - сопротивление и емкость элементов фильтра, RC=₁. Показано, что метод позволяет с хорошей точностью определить параметры генератора и передаточную характеристику усилителя по экспериментальному хаотическому временному ряду.

Метод успешно применен для восстановления по временным рядам модельных и экспериментальных автоколебательных систем второго и третьего порядка с запаздыванием, включая реальные радиотехнические генераторы с запаздывающей обратной связью с различным числом инерционных элементов. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Показано, что критерием правильного выбора порядка модельного дифференциального уравнения может служить однозначность восстановленной нелинейной функции. Исследовано влияние ограниченной полосы пропускания измерительного канала, характерной при экспериментальных исследованиях, на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам.

Исследована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы. Показано, что для реконструкции модельного уравнения такой системы по временному ряду переменной, измеренной между нелинейным и инерционным элементами системы, необходимо провести фильтрацию наблюдаемой переменой низкочастотным фильтром. Предложена процедура, позволяющая подобрать априорно неизвестную частоту среза этого фильтра.

Разработан метод восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием, характеризуемых наличием двух различных времен задержки. Метод позволяет определить по временному ряду оба времена запаздывания, восстановить вид нелинейных функций с запаздывающим аргументом и определить параметр, характеризующий инерционные свойства системы. Предложена процедура последовательного уточнения параметров, позволяющая существенно повысить быстродействие метода. Работоспособность метода продемонстрирована на примере модельных хаотических временных рядов дифференциального уравнения с двумя временами запаздывания, а также на примере экспериментальных временных рядов радиотехнического генератора с двумя временами запаздывания.

Предложен метод оценки времени задержки и порядка модельного уравнения для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний. Метод основан на анализе отклика этих систем на слабое периодическое импульсное воздействие.

В четвертой главе исследуются пространственно-развитые системы, моделируемые связанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Построение нелинейных динамических моделей связанных бесконечномерных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем. Впервые решается задача реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных автоколебательных систем с запаздыванием по их хаотическим временным рядам. Предложен метод, позволяющий восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Показано, что методика работоспособна в широком диапазоне изменения коэффициентов связи между системами при различных способах связи систем между собой. Метод применен для восстановления цепочек связанных систем с запаздыванием, описываемых уравнением

, (8)

где i - номер элемента цепочки, а k - коэффициент связи.

Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе для случая, когда системы неидентичны, отличаются способом воздействия друг на друга и находятся под действием шума. Метод успешно применен также для восстановления связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным временным рядам напряжения на входе их линий задержки.

Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Показано, что вид модельного уравнения для каждого из этих случаев определяет при реконструкции неавтономной системы с запаздыванием выбор пространства вложения малой размерности, в которое траектория движения системы проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства. Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен. В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия. Метод протестирован при наличии шума. Его эффективность продемонстрирована на примерах коротких временных рядов при различных видах внешнего воздействия.

Рассмотрены различные способы кодирования и извлечения информации в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Разработана новая методика выделения скрытого сигнала сообщения в таких системах связи. Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

На рис.2 представлена блок-схема системы передачи информации, в которой информационный сигнал m (t) добавляется с помощью сумматора к хаотическому сигналу x (t) передающей системы, колебания которой описываются уравнением и сигнал передается в канал связи.