Рис.2. Блок-схема системы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в сигнал системы с запаздыванием.

, (9)

Возможность выделения в приемнике информационного сигнала, присутствие которого незаметно в передаваемом сигнале s (t), проиллюстрирована для случая, когда хаотический сигнал x (t) передатчика генерируется системой Маккея-Гласса с неизвестными параметрами, а сигнал m (t) представляет собой частотно-модулированный гармонический сигнал. На рис.3 приведены временные реализации информационного, передаваемого и выделенного сигналов и их спектры мощности. Исследована эффективность метода при наличии шума в канале связи.

Показано, что скрытое сообщение может быть успешно выделено в системах связи, имеющих более сложную конфигурацию, при которой информационный сигнал вводится в кольцо обратной связи передающей системы с запаздыванием в одной точке, а в канал связи передается сигнал из другой точки. В этом случае требуется дополнительная обработка сигнала на выходе вычитающего элемента приемника.

Рис.3. (а) Частотно-модулированный гармонический сигнал m (t). (б) Передаваемый сигнал s (t). (в) Выделенный информационный сигнал . (г) Спектры мощности сигналов m (t), s (t) и , обозначенные цифрами 1, 2 и 3, соответственно.

Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на различных численных примерах при передаче частотно-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью с неизвестными параметрами.

Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. В основе метода лежит хаотическая синхронизация двух однонаправленно связанных лазеров. Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера, основанный на статистическом анализе специальным образом выбираемых точек временного ряда колебаний интенсивности излучения. Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши.

В пятой главе разрабатываются новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и рассматривается их применение к исследованию внешней синхронизации в модельных радиофизических системах и реальных пространственно-развитых автоколебательных системах, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи.

Предложен метод, позволяющий диагностировать по временным рядам автогенератора и внешнего воздействия наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой. Метод основан на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяет отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал. Под просачиванием будем понимать линейное перемешивание сигналов автоколебательной системы и внешнего воздействия без изменения частоты автоколебаний, которое часто приводит к ошибочному выводу о наличии синхронизации сигналов. Показано, что случаи синхронизации генератора внешним сигналом и просачивания можно различить, анализируя в вейвлетном спектре мощности динамику временных масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае синхронизации генератора внешним сигналом с линейно изменяющейся частотой в вейвлетном спектре мощности наблюдаются изломы в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике, отражающие эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом. Наряду с изломом на основном временном масштабе s₀ наблюдается и излом на масштабе s₀/2, соответствующем второй гармонике. В случае эффекта просачивания какие-либо изменения динамики основного временного масштаба в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автоколебаний, не приводят к изменению динамики других характерных временных масштабов. Показано, что случаи синхронизации и просачивания можно также различить, исследуя динамику разностей фаз неавтономного автогенератора и внешнего воздействия, вводимых с помощью непрерывного вейвлетного преобразования и вычисляемых вдоль переменного временного масштаба, соответствующего линейно изменяющейся частоте внешнего сигнала. В области внешней синхронизации автоколебаний исследуемая разность фаз меняется монотонно на величину , а в случае линейного перемешивания сигналов разность фаз меняется по параболическому закону вблизи моментов времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике. Показано, что метод не требует очень точной настройки масштаба наблюдения на временной масштаб, соответствующий изменяющейся частоте внешнего воздействия. Метод протестирован на временных рядах модельной автоколебательной системы (асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием) и применен для исследования по экспериментальным многомерным временным рядам синхронизации автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающей обратной связи в системе регуляции кровяного давления.

Предложен новый метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам. Метод основан на анализе разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину. Мгновенные фазы колебаний вводятся с помощью непрерывного вейвлетного преобразования с материнским вейвлетом Морле для временного масштаба, соответствующего основной частоте автономных автоколебаний. Показано, что исследуемая разность фаз остается постоянной в областях отсутствия синхронизации и демонстрирует монотонное, часто близкое к линейному, изменение в областях синхронизации. Метод обладает высокой чувствительностью благодаря тому, что динамика разности фаз рассматривается на временных масштабах, амплитуда которых в вейвлетном спектре велика. Он позволяет диагностировать наличие синхронизации даже в том случае, если закон изменения частоты внешнего воздействия неизвестен. Показано, что метод остается эффективным при высокой зашумленности исследуемого временного ряда и неточной настройке на основной временной масштаб. Метод применен к экспериментальным временным рядам колебаний напряжения на выходе радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью вида (7), возбуждаемого внешним сигналом с частотой, монотонно изменяющейся по нелинейному закону. Динамика генератора описывается дифференциальным уравнением с запаздыванием

, (10)

где U₀ и f_d (t) - амплитуда и частота внешнего сигнала, соответственно. Рассмотрены случаи внешнего воздействия с малой и большой амплитудой. Для различных значений U₀ показано, что метод позволяет по одномерным временным рядам отчетливо диагностировать режимы синхронизации автоколебаний генератора внешним сигналом и определить их границы.

С помощью предложенного метода диагностики внешней синхронизации автоколебаний по одномерным временным рядам на основе анализа только экспериментальных временных рядов сердцебиения человека исследована синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием с линейно увеличивающейся частотой. Метод позволяет выявить режим синхронизации 1: 1 между медленными колебаниями кровяного давления и дыханием, частота которого меняется вблизи частоты 0.1 Гц.

Шестая глава посвящена построению и исследованию нелинейных моделей с запаздывающей обратной связью для описания системы медленной регуляции кровяного давления и исследованию на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.

Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные автоколебания кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц, по экспериментальным временным рядам артериального давления. Восстановленные значения параметров модели хорошо согласуются с известными теоретическими оценками.

Предложена новая модель системы медленной регуляции кровяного давления, учитывающая влияние дыхания. Модель имеет вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве внешнего воздействия выступает сигнал дыхания. Параметры модели имеют физиологическую интерпретацию и могут быть оценены из эксперимента. Исследована синхронизация автоколебаний модельной системы внешним сигналом. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в натурном эксперименте. Результаты модельных и экспериментальных исследований свидетельствуют в пользу того, что система, задающая ритм, отвечающий за низкочастотные колебания кровяного давления, может быть рассмотрена как автогенератор под внешним воздействием при наличии шума.

Проведено исследование синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных экспериментальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Исследования проведены при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с линейно изменяющейся частотой. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и колебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Синхронизация между указанными ритмами наблюдалась у всех испытуемых при различных режимах дыхания. Показано, что фазы и частоты исследуемых ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями n: m, причем в ходе одного эксперимента может наблюдаться несколько различных порядков синхронизации. В экспериментах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиением и между дыханием и медленными колебаниями кровяного давления в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Исследована зависимость качества синхронизации от положения тела человека и величины вариабельности сердечного ритма.

С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлетного преобразования) продемонстрирована возможность определения из временных рядов сердцебиения (последовательности R-R интервалов) мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы - основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления. Показано, что фазы и частоты ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенные из ряда R-R интервалов и из ряда кровяного давления здорового человека, достаточно близки, однако демонстрируют между собой большее отличие, чем временные ряды дыхания и респираторного ритма, выделенного из ряда R-R интервалов. Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным.

Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой 0.1 Гц, выделенных из рядов R-R интервалов и пульсограмм, у 32 пациентов с ишемической болезнью сердца, находившихся на стационарном лечении в клинике Саратовского НИИ кардиологии по поводу острого инфаркта миокарда. Одновременная регистрация ЭКГ и пульсограмм пациентов проводились дважды: в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта и на третьей неделе течения заболевания. Контрольная группа состояла из здоровых людей без признаков сердечной патологии (23 записи). Обнаружено, что у здоровых людей длительность участков синхронизации исследуемых ритмов в среднем в 3 раза больше, чем у больных, перенесших инфаркт миокарда, а длительность участков синхронизации ритмов у пациентов через 3 недели после инфаркта в среднем в 1.5 раза больше, чем у тех же пациентов на первой неделе после инфаркта. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения. Создан и зарегистрирован программный продукт, предназначенный для определения степени фазовой синхронизации между колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе расчета суммарного процента фазовой синхронизации колебаний. Программа используется в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии, где с ее помощью формируется и апробируется новая методика медицинской диагностики.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Основные результаты и выводы

1) Проведено исследование явления мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух диссипативно связанных квадратичных отображений с использованием способа различения мультистабильных состояний по фазовому признаку. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. Установлено, что области несинфазных колебаний при слабой и сильной связи симметричны друг другу в пространстве параметров системы, но сами несинфазные режимы качественно различны. Показано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Исследована структура бассейнов притяжения мультистабильных состояний системы связанных квадратичных отображений и их эволюция при изменении параметров.

2) Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний системы связанных квадратичных отображений с изменяющимися во времени параметрами. Показано, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний. В области мультистабильности с уменьшением скорости изменения управляющего параметра наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций. В результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения бифуркационного параметра.

3) Для пространственно-развитой системы, представляющей собой замкнутую цепочку синфазно возбуждаемых бистабильных осцилляторов, предложена и исследована дискретная модель в виде кольца связанных мультимодальных отображений. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Рассмотренная модель хорошо качественно описывает характер перехода к хаосу пространственно-временных структур, наблюдаемых в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом.

4) Осуществлено управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов. Показано, что воздействие на систему малого шума на начальном этапе управления может существенно уменьшить величину управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима развитого пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим.

5) Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными точечными отображениями.

6) Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. Эта особенность сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. Во временных реализациях систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки число экстремумов, разделенных интервалами времени, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.

7) Предложены оригинальные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов пространственно-развитых систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка и с несколькими временами задержки. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Разработанные методы протестированы на эталонных системах с запаздыванием и применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью с различным числом линий задержки и последовательно соединенных низкочастотных RC-фильтров.

8) Предложены методики восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы.

9) Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия.

10) Предложен метод реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных систем с запаздыванием по их временным рядам. Метод позволяет восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе с добавленным шумом, а также на примере экспериментальных временных рядов связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием.

11) Разработана методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передающей системы, параметры которой априорно неизвестны. Работоспособность метода продемонстрирована на численных примерах и в эксперименте.

12) Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши.

13) Предложены методы диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным сильно зашумленным временным рядам. Методы применены для исследования по экспериментальным временным рядам внешней синхронизации неавтономного радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью и системы медленной регуляции кровяного давления, характеризуемой наличием запаздывания.

14) Для описания медленных колебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц предложена модель в виде неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, учитывающая влияние дыхания. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Исследована возможность восстановления параметров модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам артериального давления.

15) Проведено исследование синхронизации между основными колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных, так и одноканальных данных. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Исследована зависимость качества синхронизации от режима дыхания и величины вариабельности сердечного ритма. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

Список основных работ по теме диссертации

1. Статьи в научных журналах:

2. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons and Fractals, 1995, V.5, N.11, P. 2095-2107.

3. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.6, С.61-66.

4. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т.4, N.4,5, С.99-107.

5. Безручко Б.П., Прохоров М.Д. Управление пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, В.12, С.51-57.

6. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E, 2001, V.64, 056216.

7. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2001, Т.27, В.10, С.43-51.

8. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E, 2002, V.66, 026215.

9. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.4, С.47-68.

10. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2002, Т.28, В.16, С.37-44.

11. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V., Karavaev A.S. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.3, С.137-158.

12. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений системы с задержкой по экспериментальному временному ряду // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т.10, N.1-2, С.52-64.

13. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system // Phys. Rev. E, 2003, V.68, 041913.

14. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, V.15, N.4, P.695-711.

15. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т.11, N.3, С.56-66.

16. Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2003, V.6, N.4, P.885-893.

17. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 2004, Т.49, N.9, С.1098-1104.

18. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.30, В.22, С.23-30.

19. Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Беспятов А.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2004, N.8-9, С.40-51.

20. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.30, В.2, С.81-88.

21. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Recovery of time-delay systems with two delays from time series // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2004, V.7, N.4, P.400-404.

22. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ, 2005, Т.127, В.3, С.515-527.

23. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series // Phys. Rev. E, 2005, V.72, 016210.

24. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.21, С.79-86.

25. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D, 2005, V. 203, N.3-4, P. 209-223.

26. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Беспятов А.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека по последовательности R-R интервалов // Биофизика, 2005, Т.50, В.5, С.914-919.

27. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.6, С.73-78.

28. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.2, С.41-48.

29. Ponomarenko V.I., Prokhorov M. D., Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I. Deriving main rhythms of the human cardiovascular system from the heartbeat time series and detecting their synchronization // Chaos, Solitons and Fractals, 2005, V.23, N.4, P.1429-1438.

30. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phys. Rev. E, 2006, V.73, 026208.

31. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2006, Т.32, В.17, С.73-80.

32. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Письма в ЖТФ, 2006, Т.32, В.11, С.81-88.

33. Киселев А.Р., Беспятов А.Б., Посненкова О.М., Гриднев В.И., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Довгалевский П.Я. Внутренняя синхронизация основных 0.1 Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой // Физиология человека, 2007, Т.33, N.2, С.69-75.

34. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E, 2007, V.75, 056207.

35. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Радиотехника и электроника, 2007, Т.52, N.5, С.581-592.

36. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа // ЖТФ, 2007, Т.77, В.9, С.6-17.

Статьи в сборниках и трудах научных конференций:

37. Prokhorov M.D. Multistable states at strong symmetric coupling of identical period doubling systems // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V.3, P.1055-1058.

38. Bezruchko B.P., Ivanov R.N., Prokhorov M.D. Discrete modeling of 1-D and 2-D lattices of driven bistable oscillators // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V.3, P.1113-1116.

39. Bezruchko B.P., Prokhorov M. D. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of bistable oscillators // Proceedings of 7th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'99), Rцnne, Denmark, 1999, P.81-84.

40. Bezruchko B., Ivanov R., Kravtsov Y., Prokhorov M. Basins of attraction of final states for a system of coupled elements with varying parameters // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 2000), Dresden, Germany, 2000, V.2, P.543-546.

41. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием // Материалы международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, 2001, С.84-86.

42. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001, P.101-104.

43. Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I. Reconstruction of driven and coupled time-delay systems from time series // Proceedings of 12th Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2004), Йvora, Portugal, 2004, P.280-283.

44. Безручко Б.П., Бодров М.Б., Диканев Т.В., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., Сысоев И.В., Смирнов Д.А. Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам // в сб. "Нелинейные волны'2004" под ред. Гапонова-Грехова А.В., Некоркина В.И., Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005, С.381-397.

45. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Бодров М.Б., Беспятов А.Б., Безручко Б.П. Синхронизация дыхания и процесса с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека // Материалы IV Всероссийского симпозиума "Медленные колебательные процессы в организме человека: теория и практическое применение" и II Междисциплинарной школы-семинара "Нелинейная динамика в физиологии и медицине", Новокузнецк, 2005, С.51-56.

46. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С. Реконструкция модели системы барорефлекторной регуляции кровяного давления человека по экспериментальным данным // Доклады VII международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006", Владимир, 2006, С.115-117.

47. Безручко Б.П., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Киселев А.Р., Посненкова О.М. Синхронизация низкочастотных ритмов сердечно-сосудистой системы // Материалы V Всероссийского симпозиума и III школы-семинара "Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине", Новокузнецк, 2007, С.50-54.

48. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series: Application to chaotic communication // In: Nonlinear Phenomena Research Perspectives, Ed. Wang C.W., New York: Nova Science Publishers, 2007, P.7-53.

Размещено на Allbest.ru