Волновые режимы в стекающих слоях вязкой жидкости и их влияние на процессы переноса

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Актуальность проблемы. Исследование течений жидкости со свободной поверхностью - одно из фундаментальных направлений гидродинамики. Изучение стекающих по твердой поверхности под действием силы тяжести слоев вязкой жидкости - классическая задача этого направления, имеющая не только теоретическую значимость, но и обладающая большим спектром технологических приложений. Трудности исследования связаны с тем, что поверхность слоя покрыта сложной системой волн, существенно зависящей от параметров течения. Основа теоретического исследования этой задачи заложена в работах П.Л. Капицы и В.Я. Шкадова, авторство первых экспериментов можно приписать П.Л. Капице. Cущественный вклад в экспериментальные исследования принадлежит В.Е. Накорякову, С.В. Алексеенко, Б.Г. Покусаеву. Эффективность технологического применения стекающих слоев жидкости существенно зависит от находящихся на свободной поверхности волновых структур, их расположения и взаимодействия, т. е. от волновых режимов в слое и на его поверхности. Рассматриваемый диапазон чисел Рейнольдса (1-105) соответствует существенному влиянию сил вязкости, но не на всем указанном диапазоне капиллярные силы определяют поверхностные волновые режимы.

Одним из существенных отличий настоящей работы является исследование пространственного развития волн на свободной поверхности для различных типов течения - от ламинарного до турбулентного - в слое вниз по потоку. В работах других авторов, в основном, исследовались либо отдельные локализованные периодические структуры, либо временнбя эволюция поверхностных волн, что ограничивало исследование обменных процессов в стекающих слоях жидкости упрощенными постановками и не позволяло исследовать все механизмы массообмена.

Формирование пространственной волновой картины происходит в результате последовательности неустойчивостей вдоль канала. Переходные процессы, сопровождающие течение слоя от подающего жидкость устройства до некоторого пространственного статистически стабильного аттрактора, соответствуют бифуркационным переходам вниз по потоку.

Основное внимание уделяется естественно развивающимся возмущениям, первоначальным этапом в эволюции которых является реализация неустойчивости плоскопараллельного потока независимо от того, является течение в слое ламинарным или турбулентным. Каскад возникающих далее неустойчивостей приводит к последовательности характерных волновых структур (периодических двумерных, уединенных двумерных, уединенных трехмерных), которые исследуются отдельно от волновых переходов.

Выделены значения параметров, которые определяют зоны существования исследуемых волновых режимов. Введены понятия и рассмотрены абсолютная и конвективная неустойчивости уединенных волн. Численно найдены и исследованы в зоне их существования по числу Рейнольдса трехмерные поверхностные структуры.

Положенная в основу исследований модель Капицы - Шкадова ввиду своей относительной простоты позволила получить и проанализировать большинство поверхностных волновых режимов, а также апробировать ряд новых методик и идей исследования возмущенных состояний нелинейных стационарных волн.

Методика получения волновых режимов позволяет провести расчеты массообмена для задачи в полной постановке, т. е. с учетом влияния на массообмен поверхностных волн и течения в слое. Исследование параметров интенсификации массообмена при естественном и вынужденном волнообразовании позволяют найти оптимальные для массообмена параметры поверхностных режимов.

Построение критериальной зависимости показателя интенсификации массообмена позволяет применить результаты расчетов к широкому диапазону параметров жидкостей и учесть влияние поверхностного натяжения на массообмен.

Проведенные исследования позволяют значительно сократить затраты на проведение экспериментальных исследований по массообмену и в ряде случаев даже заменить их теоретическими предсказаниями.

Для практических целей часто осуществляют внешнее воздействие на волновые режимы. Одним из перспективных воздействий такого рода, с точки зрения массообмена, является создание гофрированной поверхности стекания. Построенная теория и подход объясняют возникновение специфических волновых режимов при волнистой поверхности стекания, что также может найти приложение в задачах абсорбции и десорбции газов.

Цель работы - в теоретической части завершить теорию нелинейных волн в слоях вязкой жидкости. Исследовать на основе анализа развития возмущений по пространству все возникающие волновые режимы, их устойчивость и переходы между ними. Получение двумерных и трехмерных солитонных структур как характерных представителей исследуемых режимов. Исследовать абсолютную и конвективную устойчивость найденных структур, а также взаимодействие между структурами, приводящее к формированию окончательной волновой картины. Дополнить теорию капиллярных волн исследованием катящихся волн, как для ламинарного, так и для турбулентного режима течения в слое жидкости. Получить параметры течения, при которых плоскопараллельный поток оказывается неустойчивым к поверхностным возмущениям в случае турбулентного течения в слое. Представить численную модель развития малых естественных возмущений по пространству для указанных типов течений и получить зависимость, определяющую динамику волн по пространству. Проанализировать устойчивость катящихся волн к поперечным возмущениям. В прикладном аспекте исследовать резонансное влияние волновой поверхности стекания на поверхностные волны. Исследовать параметры интенсификации массообмена при естественном и искусственном волнообразовании. Провести численное моделирование массообмена в случае полного уравнения переноса и рассчитать оптимальные режимы массообмена. Построить критериальную зависимость, позволяющую рассчитать параметры интенсификации в широком диапазоне физических параметров жидкости и учитывающую капиллярные эффекты.

Научная новизна основных положений, результатов и выводов, полученных в диссертации, приведена для теоретической и прикладной части работы.

1. Основой теоретического исследования явилось численное моделирование волновых процессов, возникающих из малых естественных возмущений вниз по потоку. Численные эксперименты позволили воспроизвести последовательность всех квазистационарных волновых режимов, возникающих вниз по потоку: 1) нелинейных бегущих близких к синусоидальным волн 1-го семейства; 2) цепочки двумерных солитонов; 3) случайно расположенных на поверхности трехмерных солитонов. Определены неустойчивости, приводящие к переходам от первого к третьему режиму.

1.1. Реализованы различные подходы анализа динамики возмущений уединенной волны - от решения спектральной задачи до грубой модели, основанной на балансе расхода. Определена роль непрерывного спектра в динамике возмущений. Для описания динамики возмущений применена используемая в квантовой механике методика выделения интегрируемых особенностей представления непрерывного спектра, называемых резонансными полюсами. Исследование собственных функций непрерывного спектра объяснило наличие практически плоского, не разрушаемого первичной неустойчивостью, участка между солитонами.

1.2. Обобщены понятия конвективной и абсолютной неустойчивости и применены к исследованию устойчивости солитонов. Определены значения параметров задачи, при которых двумерные и трехмерные солитоны неустойчивы, найдены границы их существования. Исследована неустойчивость двумерных солитонов к поперечным возмущениям, определена физическая природа этой неустойчивости - неустойчивость Рэлея. Найдены наиболее опасные длины поперечных возмущений, определяющие характерный размер возникающих в результате неустойчивости структур.

1.3. Впервые построены решения в виде трехмерных солитонов (Л-волн) для конечных чисел Рейнольдса. Анализ абсолютной и конвективной устойчивости на основе решения спектральной задачи для возмущений позволил получить нижнюю границу двумерно-трехмерного перехода. В результате численного моделирования получена верхняя граница существования Л-волн, соответствующая границе влияния капиллярных сил.

1.4. Численные модели создания Л-солитонов реализованы в натурных экспериментах с помощью идеи «дождевой капли», падающей на твердую поверхность. Ключевой момент - соответствие массы капли массе полученного теоретически стационарного Л-солитона.

1.5. При больших числах Рейнольдса на основе уравнений Рейнольдса исследована устойчивость турбулентных потоков в открытых каналах относительно поверхностных возмущений. Получены критические параметры, при которых течение впервые теряет устойчивость. Найдены частота и волновое число возмущения с максимальным коэффициентом роста, что позволило оценить характерное расстояние между катящимися волнами в начале канала.

1.6. Для двумерных катящихся уединенных волн найдена новая ветвь нелинейных решений в виде отрицательных (впадина) солитонов. Исследована устойчивость двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям.

1.7. На основе гидравлической модели Дресслера проведено численное моделирование развития малых естественных возмущений вниз по потоку. Получены преобразования подобия, позволяющие пересчитать среднестатистические структуры, наблюдаемые по пространству, на единое семейство стационарных решений уравнений Дресслера. Получена универсальная зависимость, определяющая динамику волн вниз по потоку.

2. Изученная волновая динамика позволила решить ряд важных в приложениях задач.

2.1. Обнаружен новый - третий - физический механизм интенсификации массообмена солитонами.

2.2. Получено, что при вынужденном волнообразовании зависимость коэффициента массообмена от частоты наложенных колебаний может иметь вплоть до трех максимумов, соответствующих одному из трех механизмов массопереноса. Найдена оптимальная с точки зрения массообмена частота наложенных колебаний.

2.3. Построена упрощенная универсальная двухпараметрическая модель массообмена в волновом слое, результаты которой обобщены в виде аналитической критериальной зависимости, учитывающей капиллярные эффекты.

2.4. Определены условия существования стоячих волн большой амплитуды при гофрированной поверхности стекания и объяснен физический механизм их образования, заключающийся в возникновении резонанса между волновыми параметрами свободной поверхности и поверхности стекания.

Научная и практическая значимость результатов заключается в построении полной картины волновых режимов на поверхности слоя жидкости, возникающих вниз по потоку. Определение границ существования каждого режима, анализ соответствующих волновых структур на устойчивость и моделирование переходов между режимами позволило полностью понять и описать процесс волновой эволюции по пространству. Построенная теория позволяет создать не менее значимое продвижение в прикладных задачах, в частности, в проблемах, связанных с экологией (контроль выбросов в атмосферу загрязняющих веществ), в криогенных технологиях разделения сжиженного воздуха на фракции, в приложениях абсорбции и десорбции, где необходим подбор оптимальных параметров массообмена, при постановке новых физических экспериментов, связанных с волнообразованием в слоя жидкости и задачами массообмена в них.

Автор защищает следующие положения и результаты диссертации.

1. Результаты законченной теории пространственной эволюции и волновых переходов в стекающих слоях вязкой жидкости:

· построение реалистичной численной модели пространственной эволюции нелинейных волн и исследование волновых режимов вниз по потоку;

· анализ динамики возмущений уединенной волны различными методами, определение роли непрерывного спектра в динамике возмущений;

· нахождение границ двумерно-трехмерного перехода и его анализ;

· построение для конечных чисел Рейнольдса решений в виде трехмерного солитона;

· экспериментальную методику искусственного создания трехмерных структур, связанную с подбором массы капли, располагаемой на плоском слое, равной массе стационарного солитона, полученного теоретически;

· нахождение критических параметров потери устойчивости поверхности при турбулентном течении в слое;

· результаты теоретического исследования режима двумерных катящихся гидравлических волн, в отличие от предыдущих работ основанного на нахождении стационарных решений в виде положительных и отрицательных уединенных бегущих волн, и анализ их устойчивости к двумерным и трехмерным возмущениям;

· моделирование развития малых естественных возмущений в случае турбулентного течения в слое, построение универсальной зависимости, определяющей динамику катящихся волн вниз по потоку.

2. Приложения созданной теории:

· обнаружение нового - третьего - механизма интенсификации массообмена, нахождение оптимальной для массообмена частоты колебаний, формирующих вынужденные волны;

· построение упрощенной универсальной двухпараметрической модели и соответствующей ей критериальной зависимости, учитывающей влияние капиллярных сил на массообмен.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается сравнением с экспериментальными данными, аналитическими и численными решениями в предельных случаях, а также сопоставлением теоретических расчётов с результатами специально поставленных экспериментов, сравнением выводов с известными теориями и с экспериментальными данными других авторов, применением стандартных аналитических, асимптотических и численных методов.

Использованные математические и вычислительные модели в области гидродинамики тонких слое вязкой жидкости разработаны в рамках научной школы кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ, которая исследует эти проблемы более 40 лет.

Автору диссертации принадлежит разработка численных моделей рассматриваемых явлений, выбор и настройка численных алгоритмов решения задач. Экспериментальные методы исследования, сформулированы автором на основании результатов численного моделирования. Лично автором или при его непосредственном участии выполнены постановки отдельных задач, разработка методов решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также их интерпретация. Из работ, созданных в соавторстве, на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Публикации и апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в 40 статьях, из них 22 опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК.

Результаты по теме диссертации получены в ходе выполнения работ в качестве руководителя по проектам: РФФИ 06-01-96647-р_юг_а «Нелинейная динамика трехмерных солитонов и поверхностная турбулентность в стекающей пленке вязкой жидкости», INTAS-OPEN 99-1107 «Wavy flow of liquid films under complicated conditions» и исполнителя по проектам: РФФИ 05-08-33585-а «Создание теории и математических моделей тепломассопереноса в течениях с поверхностью раздела фаз», NASA, NSF и DOE (USA).

Материалы по теме диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: XXVII Сибирский теплофизический семинар, Новосибирск, Институт Теплофизики СО РАН, 2004; Проблемы гидроаэромеханики, Агой, 2005 г.; Международная конференция: «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», Звенигород, 2008 г.; Международная конференция «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 2001 г.; Конференция грантодержателей РФФИ «Юг России»; 59th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, 2006; IUTAM Symposium on Nonlinear Waves in Multiphase Flow, 1999; Environmental Problems and Ecological Safety.Wiesbaden, Germany, 2004; IUTAM 1995; SIAM 1998. Кроме того, результаты работы докладывались на семинаре лаборатории механики природных процессов и сред ЮНЦ РАН, под руководством академика РАН, проф. В.А. Бабешко и проф. Е.А. Демехина; семинар в ИТ СО РАН под руководством член-корреспондента, проф. С.В. Алексеенко. Результаты, полученные в работе, частично приведены в монографии Chang H.C., Demekhin E.A. Complex Wave Dynamics on Thin Films / Studies in Interface Science. Elsevier. Amsterdam, 2002.

1. Волновая гидромеханика и массообмен в слоях вязкой жидкости

физический конвективный гофрированный спектральный

Приведен обзор экспериментальных работ с описанием и анализом основных волновых режимов в вертикально стекающем по твердой поверхности слое вязкой жидкости. С увеличением числа Рейнольдса последовательно возникают пять режимов: 1) безволновое течение; 2) режим двумерных капиллярных волн, периодических или уединенных; 3) режим взаимодействующих трехмерных капиллярных солитонов; 4) режим квазидвумерных катящихся волн при ламинарном течении в слое; 5) режим квазидвумерных катящихся волн при турбулентном течении в слое жидкости.

Рассмотрен аналитический обзор экспериментальных работ, связанных с массообменом на свободно стекающих слоях жидкости. Особое внимание уделено работам, в которых представлено влияние на массообмен волнового режима на поверхности слоя. Представлены критериальные зависимости коэффициента интенсификации массообмена, полученные различными авторами, и указаны их недостатки. Обзор завершают эксперименты по влиянию гофрированного дна на поверхностные волны.

Приведена общая постановка задачи течения тонкого слоя вязкой жидкости по наклонной поверхности под действием силы тяжести. Рассмотрена иерархия моделей, пригодных для исследования задачи. Приведена слабонелинейная модель А.А. Непомнящего. Для дальнейшего исследования выбрана модель Капицы - Шкадова, которая получена при следующих предположениях: волны - длинные, профиль скорости в слое - полупараболический:

 (1)

где - толщина жидкого слоя, а и - расход в направлении и поперек потока. Модель имеет один параметр - модифицированное число Рейнольдса , представляемое через число Рейнольдса и число Капицы , учитывающее капиллярные свойства жидкости.

Правомерность используемых предположений для тонких слоев жидкости подтверждается результатами натурных экспериментов.

Представлена постановка задачи массообмена в волновых слоях жидкости, выбраны основные параметры, определяющие интенсификацию массообмена. Рассмотрена универсальная модель при больших числах Пекле и тонких диффузионных слоях.

Приведен аналитический обзор теоретических результатов наиболее значимых работ, связанных с гидродинамикой тонких слоев жидкости и исследованием массообмена в них. Хронологически первой появились работа П.Л. Капицы, в которой наряду с идеей усреднения исходных уравнений по известному профилю скоростей, предложено исследование периодических поверхностных волн. Следующей необходимо отметить работу Бенджамина, посвященную решению уравнения Орра - Зоммерфельда, полученному для анализа устойчивости плоскопараллельного течения тонкого слоя жидкости. Позднее Бинни предложил модель для длинных волн, которая уже при числах Рейнольдса больше трех обладала особенностью и приводила к неправильным результатам. К наиболее значимым результатам следует отнести работы В.Я. Шкадова (исправившего ошибки и обобщившего уравнения, полученные П. Л. Капицей) и его учеников, основанные на модели Капицы - Шкадова. Исследование первичной неустойчивости привело к результатам, аналогичным результатам Бенджамина. Построено и исследовано на устойчивость семейство медленных периодических волн ; В. Я. Шкадовым и Е. А. Демехиным получена новая ветвь быстрых периодических волн , найден диапазон ее устойчивости. Определены режимы вынужденных волн, реализующихся в натурных экспериментах. Позже А. А. Непомнящим исследованы периодические решения модельного слабонелинейного уравнения, иногда называемого уравнением Курамото - Сивашинского, хорошо согласующиеся с результатами В. Я. Шкадова при малых числах Рейнольдса. О. Ю. Цвелодубом и В. И. Петвиашвили были найдены решения в виде двумерных и трехмерных солитонов на основе уравнений, полученных А. А. Непомнящим.

Рассмотрены работы Дресслера, Уизема и др., связанные с исследованием гидравлических волн для турбулентного слоя жидкости. В указанных работах авторы предполагают турбулентный профиль плоским, т. е. не зависящим от поперечной координаты.

Теоретические результаты исследования массообмена в слоях жидкости представлены работами двух исследовательских групп. Работы В. Я. Шкадова, Л. П Холпанова и др. учитывают влияние волновых процессов через модельную синусоидальную форму поверхностной волны. Получены соотношения для коэффициентов интенсификации массообмена для случая полного перемешивания в слое на длине волны и в случае непрерывного роста диффузионного слоя в жидкости. В работах П. И. Гешева, А. М. Лапина, О. Ю. Цвелодуба выделены три качественно различных механизма массообмена, связанных с соотношением поверхностной скоростью жидкости и скорости волны. Результаты получены только для докритического случая (скорость волны больше скорости жидкости на поверхности слоя), так как полученная авторами модель для больших чисел Пекле в критическом и сверхкритическом случае имеет особенность. В качестве поверхностных использовались модельные стационарные периодические волны.

2. Пространственная эволюция возмущений и динамика нелинейных волн при малых и умеренных числах Рейнольдса

Представлено численное решение задачи развития малых возмущений по пространству в двумерной постановке [11]. Исследован спектр двумерных солитонов, дающий ответ на вопрос об их устойчивости и позволяющий рассчитать показатели динамики возбужденных солитонов [6]. Представлены результаты моделирования взаимодействия солитонов в области развитого волнового поведения [22].

В п. 2.1 уделяется внимание результатам предыдущих работ, которые требуются для замкнутости исследования волновых режимов. С точки зрения теории устойчивости объяснено существование в реальных экспериментах тех или иных типов периодических волн.

На входе в рабочий участок предполагается наличие спектра внешних случайных возмущений в виде белого шума. Неустойчивость определяет первичную динамику этих возмущений плоскопараллельного потока вниз по потоку и приводит к выделению из всего спектра случайных возмущений полосы частот в окрестности частоты максимального роста (что для воды соответствует длине волны 1 см) [12].

В результате развития первичной неустойчивости происходит нелинейное насыщение волны и она переходит в стационарную бегущую волну конечной амплитуды, которая принадлежит к так называемому первому семейству нелинейных медленных (скорость волны меньше нейтральной) периодических волн, такого рода бифуркация впервые была получена В. Я. Шкадовым. При стремлении волнового числа к нулю волна этого семейства переходит в отрицательный солитон. Полностью исследованы (В. Я. Шкадов, Е. А. Демехин, А. В. Бунов) семейства быстрых волн (скорость волны больше нейтральной), которые ответвляются от семейства медленных волн через бифуркацию удвоения периода. Эти решения важны с той точки зрения, что они реализуются в экспериментах после потери устойчивости первым семейством, т. е. вторичной неустойчивости. При стремлении волнового числа к нулю волны второго семейства переходят в солитоны с характерным профилем - капиллярная рябь перед передним фронтом волны и монотонно затухающий задний фронт. В указанных работах получены результаты исследования на устойчивость периодических волн первого и второго семейства, а также анализ типов неустойчивостей, полученных из теоремы Флоке (неустойчивость к возмущениям собственного периода, субгармоническая неустойчивость, неустойчивость к возмущениям в виде боковых полос).

В п. 2.2 поставлена и решена задача исследования спектра возмущений двумерного солитонного решения системы Капицы - Шкадова. Поскольку область определения решения является неограниченной, решение задачи на собственные значения представляется в виде линейной комбинации функций дискретного (принадлежащие L2) и непрерывного (представляемого в виде «обобщенного интеграла Фурье») спектра [6, 14, 15]:

, (2)

где - собственные функции дискретного спектра с дискретными собственными значениями , интеграл соответствует непрерывному спектру , полученному из дисперсионного соотношения для плоскопараллельного потока, - обобщенные собственные функции непрерывного спектра, . Дискретный спектр был найден из исследования функции Эванса, при этом неустойчивых мод в спектре возмущений двумерного солитона не найдено. Отношение абсолютного значения функции на плюс и минус бесконечности показывает, насколько амплитуда линейного волнового пакета с волновым числом подавляется при его взаимодействии с солитоном. Получено подавление амплитуды в сотни раз, что объясняет наличие плоских участков между солитонами в области развитого течения. Представлено исследование непрерывного спектра, который определяет динамику амплитуды возмущенного солитона, а также позволяет ответить на вопрос о конвективной устойчивости солитона. Е. А. Демехиным при исследовании модели Капицы - Шкадова получено, что при (соответствует Re<2,9 для воды) двумерный солитон конвективно неустойчив, т. е. он разрушается взаимодействующим с ним линейным волновым пакетом, что подтверждается результатами экспериментов.

В п. 2.3 рассмотрена постановка краевых условий системы Капицы - Шкадова в случае естественного и вынужденного волнообразования. Приведено описание численного алгоритма решения системы Капицы - Шкадова. Указаны особенности его построения и настройки. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов с решениями полученными алгоритмами, использующими дискретное преобразование Фурье. Получено хорошее совпадение при сравнении периодических решений. Представленный алгоритм создан для расчетов развития возмущений по пространству для достаточно больших рабочих участков. Проведена серия расчетов с различными параметрами начального шума. Полученные результаты представлены в сравнении с экспериментальными данными, показано удовлетворительное совпадение. Представлен анализ всех этапов развития волн по пространству в случае естественного и вынужденного волнообразования.

Проведена статистическая обработка результатов численного моделирования развития малых естественных возмущений по пространству для достаточно большой длины канала (для воды - 2,5 м) [13]. Функции плотности распределения по скоростям и длинам волн представлены в различных точках по пространству. Дисперсия скоростей волн уменьшается вниз по потоку, и ее можно считать нормально распределенной случайной величиной. Распределение волн по длинам имеет тенденцию стремления к равномерному, что соответствует слабому взаимодействию между структурами в области развитого течения. Из этого предположения сделан вывод, что в области развитого волнового поведения волны будут близки к стационарным бегущим волнам, но со случайным расстоянием между ними [18].

Модель позволяет произвести пересчет стационарного решения (), находящегося на некотором подслое , на стационарное решение, находящееся на единичном подслое () [17]:

,

,(3)

,

где .

Проведя пересчет структур в области развитого течения на единичный подслой, можно увидеть, что развитие по пространству является движением в пространстве состояний солитонов, находящихся на единичном подслое, определяемом скоростью волны D и модифицированным числом Рейнольдса Д. Таким образом, можно выделить среднюю по времени структуру в любой точке пространства. Точка в пространстве состояний, к которой будет притягиваться решение, будет инвариантной в пределах заданного типа возмущений на входе.

П. 2.4 посвящен исследованию двумерных солитонов в области развитых волн, что позволяет замкнуть картину развития естественных возмущений на поверхности слоя [11]. На достаточном удалении от подающего жидкость устройства (например, 150 см для воды и числе Рейнольдса 30) наблюдается следующие классы волн [21]:

1) нелинейные поверхностные волны (солитоны) с характерным профилем - пологим задним фронтом и капиллярной рябью на переднем фронте; среди них существуют как квазистационарные структуры, так и нестационарные - возбужденные в результате взаимодействия с себе подобными;

2) линейные волны малой амплитуды, собранные в волновые пакеты и возникающие при взаимодействии нелинейных высокоамплитудных волн солитонного типа.

Можно выделить два вида взаимодействия нелинейных структур: слабое взаимодействие - не приводит к изменению участвующих в нем количества волн; второй вид взаимодействия приводит к слиянию нелинейных волн с образованием одного возбужденного солитона, стремящегося к стационарному состоянию.

Приведены результаты численного моделирования парного взаимодействия солитонов. В зависимости от первоначального расстояния между уединенными структурами при фиксированной степени возбуждения реализовывался один из видов взаимодействия. В качестве пограничного состояния получена неустойчивая волновая структура - двугорбый солитон. Исследование взаимодействия сведено к анализу динамики только одного возбужденного солитона. В результате численного моделирования получены экспоненциальные зависимости параметров волны от времени. Зависимости между амплитудой волны и ее скоростью, а также между амплитудой волны и ее координатой - линейные. Подтверждено предположение, состоящее в том, что возбужденный солитон является квазиравновесной структурой. Таким образом, процесс эволюции к стационарному состоянию возбужденной волны представляет собой движение в пространстве состояний. Это подтверждено сравнением во времени параметров возбужденной волны, пересчитанной на единичный подслой с использованием зависимостей (3) и зависимостью для стационарных структур.

Предложена модель динамики возбужденного солитона [11], основанная на балансе расхода на переднем и заднем фронте волны:

, (4)

где зависимость определена через параметры стационарных солитонов, находящихся на единичном подслое.

В результате сравнения декрементов затухания возмущений солитона, рассчитанных различными подходами:

а) из расходной модели, при линеаризации (4) около значения ;

б) прямое численное моделирование;

в) исследование спектра возмущений солитона (представленное в п. 2.2.),

получено хорошее совпадение.

Проведены численные эксперименты взаимодействия солитона с малыми возмущениями плоского участка. Подтверждены результаты исследования непрерывного спектра, проведенного в п. 2.2. Амплитуды гармоник возмущения подавляются от десятков до сотен раз в диапазоне волновых чисел , в результате в области развитого волнового поведения между солитонами наблюдаются практически плоские участки. Полученный результат также оправдывает применение мягких граничных условий в конце рабочего участка. Таким образом, возникновение нового солитона из-за неустойчивости плоскопараллельного участка между солитонами, при расстоянии между ними меньше критического, невозможно, и, как результат, в области развитого течения наблюдается решетка квазистационарных слабо взаимодействующих структур.

3. Режим поверхностной турбулентности»

В п. 3.1 приведено исследование линейной устойчивости двумерных солитонов к трехмерным возмущениям. Анализ дискретного спектра показал абсолютную неустойчивость двумерных солитонов к длинноволновым возмущениям (рис. 1) [19]. Физическим механизмом неустойчивости является неустойчивость Рэлея, которая формируется за счет капиллярных сил. Найдено волновое число поперечных возмущений , соответствующее максимальному коэффициенту роста , в зависимости от числа Рейнольдса. При увеличении числа Рейнольдса частота максимального роста и соответствующий ей коэффициент увеличиваются, выходя на постоянные значения уже при числе Рейнольдса около 6 [7].

Рис. 1. Расположение дискретного (Х) и непрерывного (сплошная линия) спектра при изменении волнового числа трехмерных возмущений

Получены оценки размерных длин волн максимального роста, которые с увеличением числа Рейнольдса также выходят на постоянные значения. Рассчитаны характерные размерные длины трехмерного перехода. Показана их слабая зависимость от числа Рейнольдса. Уже при (соответствует для воды ) она составляет 10 - 15 см для воды и далее уже практически не изменяется.

Численные и натурные эксперименты показывают, что, несмотря на линейную неустойчивость двумерных солитонов к трехмерным возмущениям, формирование трехмерных структур происходит не всегда. Волны фактически остаются двумерными вплоть до (что соответствует для воды числу Рейнольдса, равному 5,5), имея небольшую устойчивую модуляцию по поперечной координате (рис. 2).

Т. е. нелинейность стабилизирует процесс насыщения и эволюция возмущения не приводит к разрушению двумерной волны [10]. Скорость, амплитуда и профили сечений волны количественно и качественно схожи с аналогичными параметрами для двумерных солитонов [12].

При наблюдается другая картина (рис. 3) как результат развития возмущений. Двумерная волна разрушается, и формируются трехмерные подковообразные структуры.

Рис. 2. Реализация линейной неустойчивости двумерных солитонов к трехмерным возмущениям без формирования трехмерных структур при (для воды Re=4)



Рис. 3. Неустойчивость двумерной волны, приводящая к формированию трехмерных локализованных подковообразных структур при (для воды Re=5,5)

Рис. 4. Двумерно-трехмерный переход, вызванный комбинацией субгармонической двумерной неустойчивости и модуляции по поперечной координате

Проведены численные эксперименты по моделированию неустойчивости, вызванной взаимодействием фронтов близкоотстоящих двумерных периодических волн второго семейства.

В этом случае неустойчивость имеет отличную от неустойчивости Рэлея двумерную природу (неустойчивость огибающей) и теоретически описана А. А. Непомнящим с использованием теории Флоке. Физически она является комбинацией субгармонической неустойчивости, развивающейся в направлении стекания слоя, с компонентами фазовой модуляции поперек потока (рис. 4).

В экспериментах Д. Голлуба с малыми углами поверхности стекания к горизонту двумерные солитоны устойчивы к трехмерным возмущениям. На основе модельного уравнения, выведенного А. А. Непомнящим, проведена оценка влияния угла наклона поверхности стекания на развитие трехмерной неустойчивости. В результате показана дестабилизирующая роль капиллярной составляющей поверхностных сил, в то время как сила тяжести стабилизирует двумерные волны. Таким образом, при фиксированном числе Рейнольдса уменьшение угла наклона поверхности стекания приводит к ослаблению неустойчивости и, в конечном итоге, при достаточно малом его значении двумерные волны становятся устойчивыми.

П. 3.2 посвящен трехмерным солитонам, методам их построения и анализу устойчивости [8]. В интервале чисел Рейнольдса для воды 5 - 40 эволюция естественных возмущений приводит к стадии, когда поверхность слоя покрыта локализованными трехмерными когерентными структурами. Эти структуры являются независимыми устойчивыми и взаимодействуют друг с другом как квазичастицы, причем расположение их по отношению друг к другу не является детерминированным. Такое поверхностное поведение в дальнейшем будет называться поверхностной турбулентностью. Вид сверху отдельно выделенной локализованной структуры при увеличении числа Рейнольдса изменяется от подковообразного до напоминающего греческую букву Л, поэтому в дальнейшем трехмерные солитоны будут называться Л-структурами или Л-солитонами. В качестве модели динамики волн рассматривается модель Капицы - Шкадова (1).

На достаточно большом расстоянии от горба солитона система уравнений, записанная в движущейся с постоянной скоростью c системе координат, линеаризована на тривиальном решении . Нелинейная часть солитона представлена в виде произведения д-функций Дирака по каждой координате, и, таким образом, возмущение тривиального решения будет определено соотношением:

(5)

где Решения представлены в полярной системе координат , . Асимптотическая оценка решения при больших получена методом скорейшего спуска. На переднем фронте и поведение решения определяется дисперсионным соотношением плоского решения. На заднем фронте, при , решение (5) имеет вид , где - некоторая константа. Т. е. в отличие от двумерного солитона затухание - не экспоненциальное. Задний фронт имеет характерное поведение, которое отражает асимптотика: плато (минимум ) и два симметричных максимума («усы»), ограничивающие его. Получено, что поведение «усов» солитона пропорционально при . С увеличением числа Рейнольдса плато между усами на заднем фронте становится шире, но, начиная с некоторого числа Рейнольдса после сужения, больше не меняется.

Полученная асимптотика позволила поставить краевые условия при достаточно большом для численного нахождения горба солитона. Решение (1) искалось в виде ряда Фурье по углу , коэффициенты которого зависели от . Профиль одного из решений и его сечение приведены на рис. 5 [20].



Рис. 5. Профиль Л - волны и ее сечения для модифицированного числа Рейнольдса (для воды Re=14)

Приведены контуры главного хребта солитонов и осевые сечения для различных чисел Рейнольдса. Наблюдается стремление профиля подковообразной волны к профилю Л-солитона при увеличении числа Рейнольдса. При этом фронт волны заостряется и при (это соответствует для воды ) становится бесконечно острым. При решение в виде Л-структур не существует, что определяет верхнюю по числу Рейнольдса границу существования Л-солитонов. Получены зависимости параметров стационарных трехмерных солитонов от числа Рейнольдса: амплитуда и скорость стационарных трехмерных структур гораздо меньше амплитуды и скорости двумерных солитонов, но аналогично последним, стремятся к постоянным величинам с увеличением числа Рейнольдса; объем жидкости под волной растет линейно как для двумерных, так и для трехмерных структур, что говорит об их удлинении и расширении. Проведено сравнение результатов с аналогичными, полученными в предельных моделях, в частности, с результатами О. Ю. Цвелодуба и В. И. Петвиашвили, получившими подковообразный солитон для модели Непомнящего в трехмерной постановке. Сравнение с данными натурных экспериментов [1], проведенных в ИТФ СО РАН, показали количественное и качественное соответствие не только параметров трехмерных стационарных структур, но и формы волн (рис. 6).

Исследования дискретного спектра трехмерных структур показали абсолютную устойчивость последних к возмущениям дискретного спектра для всех чисел Рейнольдса вплоть до границы существования Л-структур.

Рис. 6. Теоретические результаты, полученные соискателем, (а) и данные натурного эксперимента (б), проведенного в ИТФ СО РАН для воды, Re=4

Анализ устойчивости относительно возмущений непрерывного спектра [20] позволил найти нижнюю границу существования трехмерных Л-структур (для воды это соответствует ). Получено, что при солитон конвективно неустойчив, т. е. будет разрушен расширяющимся волновым пакетом. При волновой пакет будет расти, подверженный первичной неустойчивости, отставая от солитона. В п. 3.1 получена верхняя граница существования двумерных солитонов (для воды). Таким образом, найдена область двумерно-трехмерного перехода по числу Рейнольдса (для воды ). Этот результат объясняет причину, почему в натурных экспериментах при числах Рейнольдса меньше 6 для воды не наблюдались трехмерные структуры, а также невозможность получить их методом установления при решении нестационарных уравнений Курамото - Сивашинского. Отмечено, что переход к среднерасходному числу Рейнольдса , которое используется в реальных экспериментах, приводит к следующим границам существования трехмерных Л-структур: (), что находится в хорошем соответствии с натурными экспериментами для естественно развивающихся возмущений.

В п. 3.3 описана созданная автором экспериментальная установка и особенности ее настройки для воссоздания конкретных волновых режимов. В качестве рабочей жидкости была выбрана вода при нормальных условиях.

Рис. 7. Результаты экспериментов по моделированию двумерно-трехмерного перехода. - расстояние между возмущающими двумерную волну иглами; - длина образования трехмерной структуры

Несмотря на проводимый, в основном, визуальный контроль результатов экспериментов, получены результаты, подтверждающие числа Рейнольдса, при которых возникает двумерно-трехмерный переход (). Ряд экспериментов посвящен проверке параметров искусственного распада двумерных и формирования трехмерных волн. В потоке располагались иглы, расстояние между которыми изменялось, а в результате контролировался двумерно-трехмерный переход. Результаты по длине распада двумерных волн для числа Рейнольдса 10 находятся в хорошем соответствии с построенной ранее теорией и представлены на рис. 7.

Взаимодействие теории, численного моделирования и экспериментальных исследований позволило создать устройство для генерации локализованных трехмерных структур, не требующее большой длины канала для их получения (как этапа разрушения двумерных солитонов). Разработанная методика позволяет полностью контролировать число Рейнольдса, определяемое по подслою, в отличие от методик естественного волнообразования.

Параметры течения и возмущений подбирались таким образом, чтобы в рабочей части канала не наблюдались волны. При числах Рейнольдса от 5 до 20 волны либо не наблюдались, либо были малы и не разрушали процесс образования трехмерной структуры, а также сам Л-солитон. Для создания локализованной трехмерной структуры была применена идея «дождевой капли».



Рис. 8. Теоретические (а) и экспериментальные (б) волновые структуры для указанных чисел Рейнольдса. Длина засечек соответствует 1 см.

В качестве устройства для расположения капли на поверхности потока использовалась специальная пипетта с дозатором объема формируемой капли. Таблица соответствия числа Рейнольдса и теоретического объема капли приведена в тексте диссертации. Изменение положения пипетты позволило расположить каплю на поверхности слоя таким образом, чтобы последняя вовлекалась в движение при касании поверхности движущегося слоя, не формируя сухих пятен, волнового пакета или не одного, а нескольких локализованных образований. Масса располагаемой капли выбиралась в 1,2 - 1,5 раза больше, чем рассчитанная теоретически, что позволяло стационарной трехмерной структуре установиться на длине порядка 10 см, такое значение коэффициента для массы капли было подобрано экспериментально. В экспериментах контролировались только образы волн, полученные фотосъемкой, и скорости движения полученных квазистационарных структур. На рис. 8 даны фотографии Л-структур и их экспериментальные образы для двух чисел Рейнольдса. На рис 9 дана размерная скорость, полученная при построении решения с помощью модели Капицы - Шкадова и в результате описанных экспериментов. Сравнительный анализ результатов натурных экспериментов и выводов теории дает право говорить о применимости модели Капицы - Шкадова для исследования трехмерных волновых режимов на поверхности слоя, как нестационарных, так и в виде локализованных стационарных бегущих с постоянной скоростью Л-структур. Заканчивают данный пункт результаты расчетов, моделирующие образование трехмерного солитона из капли соответствующей массы, а также взаимодействие Л­структур с возмущениями плоскопараллельного потока. Показано, что, как и в случае двумерных солитонов, трехмерные локализованные структуры «выглаживают» возмущения, формируя безволновой подслой.

Рис. 9. Размерная скорость Л-солитона: сплошная линия - результаты модели Капицы - Шкадова; маркеры - экспериментальные данные, полученные в диссертации

4. Режим гидравлических волн

Рассмотрен волновой режим, имеющий физически иную природу волнообразования, чем рассмотренный в предыдущих разделах. Соответствующий интервал чисел Рейнольдса, , захватывает не только ламинарный, но и турбулентный режимы течения внутри слоя. В этой области параметров массовые силы намного превосходят капиллярные, и в результате последними можно пренебречь. Физическим механизмом разрушения двумерных солитонов является неустойчивость Рэлея, возникающая только при наличии капиллярных сил. Как следствие, при режиме гидравлических волн двумерные солитоны устойчивы, т. е. отсутствует двумерно - трехмерный переход, что подтверждается натурными экспериментами. В результате в области развитого волнового поведения наблюдаются двумерные квазистационарные катящиеся волны. Они имеют передний волновой фронт в виде водовоздушной смеси и длинный задний фронт.

В п. 4.1 рассмотрена полуэмпирическая модель, учитывающая влияние молекулярной и турбулентной вязкости и использующая длину перемешивания Прандтля. В качестве параметров, описывающих указанный волновой режим, выбраны число Фруда и число Рейнольдса , где - угол наклона плоскости стекания, - коэффициент трения, - ускорение свободного падения, - кинематическая вязкость. Проведено исследование на устойчивость безволнового плоского слоя в случае турбулентного течения. Возмущаемый профиль скоростей получен численно из решения соответствующей краевой задачи. В результате также найдена зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса, которая дает несколько большие значения, чем формула Блазиуса .

В результате исследования на устойчивость плоскопараллельного течения найден спектр возмущений [4], в котором присутствуют две поверхностные моды, описывающие, соответственно, возмущения, распространяющиеся вверх и вниз по потоку. Получено, что внутренние моды всегда устойчивы, поскольку их неустойчивость уже учтена в турбулентном профиле скоростей, а также устойчивы поверхностные возмущения, распространяющиеся вверх по потоку. Неустойчивость поверхностных возмущений вызвана модой, распространяющейся вниз по потоку, и является длинноволновой, как и в случае ламинарного течения в слое.

Так же, как и при развитии капиллярных волн, из всего спектра в первую очередь выживают частоты, близкие к частоте максимального роста, которые и определяют первоначальное расстояние между нелинейными волнами, что подтверждается сравнением с результатами натурных экспериментов. Показана слабая зависимость результатов анализа устойчивости от числа Вебера, что говорит о том, что влиянием капиллярных сил в дальнейшем можно пренебречь.

Приведен расчет критических параметров [2, 3], при которых поверхность слоя впервые теряет устойчивость. Существующие до настоящего момента теории (одномерный гидравлический подход Дресслера и Брока) предсказывали критическое значение числа Фруда, равное и не зависящее от числа Рейнольдса, несмотря на расхождение с экспериментальными данными. С использованием разложения по малому волновому числу получено соотношение [2], определяющее границу устойчивости в зависимости от числа Рейнольдса. Зависимость между критическими значениями параметров приведена на рис. 10.



Рис. 10. Зависимость между критическими значениями параметров: справа - критический угол наклона поверхности стекания как функция числа Рейнольдса, слева - зависимость критического числа Фруда от угла

П. 4.2 посвящен одному из прикладных вопросов - влиянию топографии поверхности стекания на волновые режимы. В реальных условиях поверхность, по которой стекает слой, жидкости не является плоским. При этом поверхность слоя покрыта стоячими волнами, являющимися реакцией на волновую структуру поверхности стекания. Из результатов натурных экспериментов В. Бонтозугло и численных расчетов Ю. А. Трифонова следует, что для ламинарных течений в слое топография дна сильно влияет на волновые режимы. На поверхности слоя наблюдаются волны, амплитуда которых в несколько раз больше амплитуды волнистости поверхности стекания.

В [23] впервые найден физический механизм явления и показано, что такого рода поведение связано с частотным резонансом. Результаты теоретических исследований приведены в сравнении с экспериментальными данными. В случае нулевого (в среднем) наклона поверхности стекания существует две поверхностные моды, распространяющиеся в разные стороны со скоростями близкими к , где - средняя толщина слоя. Если же поверхность слегка наклонена к горизонту, возникает сдвиговое течение, сносящее обе моды вниз по потоку. В этом случае одна из мод может сменить знак. В момент равенства результирующей скорости нулю возникает частотный резонанс между поверхностной волной и волнистостью дна, который приводит к возникновению стоячей волны большой амплитуды. Сравнение результатов расчета, полученных из частотного резонанса, и экспериментов Фоли и Ванони, дают хорошее соответствие, что подтверждает правильность предположения о резонансном механизме взаимодействия топографии поверхности стекания и поверхностных волн.

В п. 4.3 исследуются нелинейные катящиеся волны в двумерной и трехмерной постановке для ламинарного и турбулентного течения в слое, а также задача об устойчивости этих волн к двумерным и трехмерным возмущениям. Использовано длинноволновое приближение, кроме зоны вихря на фронте волны, которая заменяется скачком параметров течения. Для турбулентного течения в слое соответствующая система уравнений в трехмерной постановке примет вид:

(6)

где . Кроме того, выписываются условия на поверхности разрыва, движущегося со скоростью D. Найдены уединенные стационарные двумерные катящиеся волны двух видов в случае как ламинарного, так и турбулентного режима течения в слое: положительные и отрицательные солитоны. Исследование на устойчивость полученных стационарных решений показало абсолютную устойчивость положительных солитонов и неустойчивость отрицательных, т. е. результат аналогичен исследованиям капиллярных солитонов (гл. 2). Спектр поперечных возмущений двумерных стационарных положительных катящихся волн содержит только устойчивые собственные значения. Это означает отсутствие трехмерных структур при числах Рейнольдса более 400 и наличие только двумерных нелинейных волн в области развитого волнового поведения - факт, хорошо известный экспериментально. Физически это можно объяснить отсутствием причины поперечной неустойчивости - капиллярных сил, которыми можно пренебречь при указанных числах Рейнольдса.

П. 4.4 посвящен численному моделированию пространственного развития катящихся волн из малых естественных возмущений. Система (6) не допускает непрерывных нелинейных решений, поэтому для расчетов был добавлен член уравнения, моделирующий вязкость. Параметр искусственной вязкости подобран из сравнения с экспериментальными данными Брока. Показана слабая зависимость средних характеристик течения (в особенности развитого волнового поведения) от этого параметра, а также от характеристик белого шума, подаваемого на входе рабочего участка.

В п. 4.5 рассмотрены преобразования подобия для отдельных катящихся волн, приводящие к самоподобному поведению в их динамике. Получены преобразования подобия, аналогичные (3) для системы (6) в двумерном случае:

...