Дислокационные модели релаксации напряжений и разрушения в наноструктурных и пористых твердых телах

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Специальности: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ДИСЛОКАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ И РАЗРУШЕНИЯ В НАНОСТРУКТУРНЫХ И ПОРИСТЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

ШЕЙНЕРМАН А.Г.

Санкт-Петербург - 2008

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Овидько Илья Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Аэро Эрон Люттович

доктор физико-математических наук, профессор Романов Алексей Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор Мелькер Александр Иосифович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Защита состоится 26 марта 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр., В.О., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан “___” _____________ 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук В.В. Дубаренко

1. Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время под терминами «наноструктурные твердые тела» и «пористые твердые тела» понимают очень широкий класс структур, перечень которых постоянно растет. Общим для всех наноструктурных твердых тел является то, что они содержат структурные элементы (пленки, включения, кристаллиты и т. д.), которые имеют по меньшей мере один характеристический размер от 1 до 100 нанометров. Примерами наноструктурных твердых тел являются нанокристаллические материалы, однослойные и многослойные нанопленки, квантовые точки и проволоки, углеродные нанотрубки, а также нанокомпозиты. Наноструктурные и пористые твердые тела обладают уникальными механическими, физическими и химическими свойствами, имеющими первостепенную значимость для новых технологий в электронной промышленности, энергетике, авиационной промышленности, машиностроении, химии, биологии и медицине. При этом механические напряжения и дефекты в наноструктурных и пористых твердых телах оказывают определяющее влияние на их уникальные служебные свойства и вместе с тем чрезвычайно чувствительны к структуре таких твердых тел. Как следствие, создание высококачественных электронных и конструкционных наноструктурных и пористых материалов требует выявления механизмов релаксации напряжений и разрушения таких материалов, а также анализа влияния структуры этих материалов и условий деформации на их механические и служебные свойства.

При исследовании механизмов релаксации напряжений и разрушения в наноструктурных твердых телах важно учитывать, что поведение дефектов в таких твердых телах имеет ряд существенных особенностей, не характерных для материалов, состоящих из структурных единиц большего размера. Во-первых, в отличие от материалов с мезо- или макроструктурой, свойства наноструктурных твердых тел во многом зависят от наличия и поведения не дислокационных ансамблей, а отдельных дефектов. Во-вторых, дефекты в наноструктурных материалах, как правило, располагаются и аккумулируются на границах структурных элементов - зерен или фаз. Кроме того, действующие в наноструктурных твердых телах механизмы пластической деформации и разрушения часто отличаются от механизмов пластической деформации и разрушения, характерных для твердых тел с мезо- и макроструктурой. Указанные особенности наноструктурных твердых тел существенно ограничивают применимость традиционных моделей при описании их механического поведения и требуют выработки новых подходов. Поэтому в настоящей работе для изучения механического поведения наноструктурных и пористых твердых тел наряду с традиционными методами теории дефектов в твердых телах используются методы, основанные на решении самосогласованных упруго-диффузионных задач и математической теории протекания. В сочетании с решениями граничных задач теории упругости для дефектов в наноструктурных и пористых твердых телах эти методы позволяют проанализировать процессы релаксации напряжений и разрушения таких твердых тел.

Цель работы состоит в построении дислокационных моделей, достоверно описывающих релаксацию напряжений и процессы разрушения в наноструктурных и пористых твердых телах.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:

· Получены решения граничных и самосогласованных диффузионно-упругих задач для дислокаций в твердых телах. В частности, рассчитаны упругие поля круговой призматической дислокационной петли в цилиндре, дислокационной петли скольжения в полубесконечном теле, винтовой дислокации в теле с двумя цилиндрическими порами, винтовой дислокации внутри цилиндрической полости полубесконечного тела, а также винтовой дислокации внутри цилиндрической полости с поверхностными ступеньками в бесконечном и полубесконечном теле. Кроме того, рассчитано поле напряжений краевой дислокации в границе зерен бикристалла при наличии зернограничной диффузии.

· Рассчитаны критические условия формирования дефектов несоответствия в квантовых точках и нанопроволоках. Показано, в частности, что зарождение дислокаций несоответствия в двухслойной нанопроволоке возможно при достаточно больших и близких по величине толщинах обоих ее слоев. Показано, что дислокации в подложке могут приводить к переходу от послойного к островковому режиму роста пленки.

· Разработаны критерии расщепления дислокационных микротрубок. Дано объяснение экспериментальным наблюдениям разветвления микротрубок под малыми углами. Проведен анализ взаимодействия микротрубок с включениями политипов в карбиде кремния. Разработан простой компьютерный код для компьютерного моделирования случайного ансамбля микротрубок в процессе роста кристалла. С помощью компьютерного моделирования дано объяснение наличия как плоских, так и закрученных конфигураций микротрубок в карбиде кремния.

· Рассчитана равновесная форма пор на зернограничных дислокациях в нанокристаллических материалах. Определены критические условия диффузионного подавления зарождения трещин в процессе зернограничного проскальзывания. Разработан критерий катастрофического слияния трещин в деформируемых нанокристаллических материалах.

Научная и практическая значимость работы. Развитые в работе модели релаксации напряжений и разрушения в наноструктурных и пористых твердых телах могут быть использованы в качестве физической основы при изучении механизмов пластической деформации и разрушения перспективных конструкционных материалов и твердотельных структур микро- и оптоэлектроники. Построенные модели объясняют ряд эффектов, наблюдаемых в экспериментах (переход от послойного к островковому режиму роста нанопленок в результате внедрения дислокаций в подложку, разветвление и закручивание полых дислокационных трубок, рост пор на границах включений в карбиде кремния) и предсказывают новые эффекты (например, диффузионное подавление образования трещин в деформируемых нанокристаллических твердых телах). Они способствуют пониманию сути физических процессов, протекающих в реальных наноструктурных и пористых материалах, и могут рассматриваться как теоретическая основа для совершенствования технологии их производства.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается использованием корректных математических методов решения поставленных задач, проведением проверок и предельных переходов к уже известным решениям, сравнением, где это возможно, с результатами экспериментов. Физическая обоснованность построенных моделей подтверждается их соответствием экспериментальным наблюдениям поведения дефектов в наноструктурных и пористых твердых телах.

Основные положения, представленные к защите

· Решения граничных задач для дислокаций в неоднородных цилиндрических наноструктурах; критерии формирования дислокаций и дисклинаций в цилиндрических нанослойных пленках.

· Критерии зарождения дислокаций в композиционных материалах с квантовыми точками и нанопроволоками; результаты расчетов влияния дислокаций на формирование квантовых точек и нанопроволок.

· Решения граничных задач теории упругости для дислокаций в средах с цилиндрическими порами; критерии расщепления дислокационных трубок; результаты компьютерного моделирования динамики дислокационных трубок в растущих кристаллах; результаты расчетов упругих полей и анализа взаимодействия ступенек на поверхности дислокационных цилиндрических пор; результаты моделирования взаимодействия дислокационных трубок с включениями.

· Анализ равновесной формы пор на зернограничных дислокациях в нанокристаллических материалах; результаты расчетов полей напряжений зернограничных дислокаций при наличии зернограничной диффузии; критические условия диффузионного подавления зарождения трещин; критерий катастрофического слияния трещин в деформируемых нанокристаллических материалах.

Апробация работы. Полученные в работе результаты докладывались на международном семинаре «Прикладные аспекты физики межфазных границ» (Санкт-Петербург, 1999), международном семинаре «Гетерогенные материалы: исследования и дизайн» (Санкт-Петербург, 2000), международных семинарах по неразрушающему контролю и компьютерному моделированию в науке и технике (NDTCS, Санкт-Петербург (2000, 2001, 2004) и Ольстин, Польша, 2006), международных конференциях по высокоразрешающей рентгеновской диффракции (XTOP-2002 (Гренобль и Осо, Франция, 2002), XTOP-2006 (Карлсруе и Баден-Баден, Германия, 2006) и XTOP-2008 (Линц, Австрия, 2008)), IV национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования материалов (Москва, 2003), ежегодных Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2003, 2005, 2007, 2008), ежегодных международных летних школах-конференциях «Актуальные проблемы механики» (APM, Санкт-Петербург, Репино, 2003, 2004, 2005, 2006, 2008), V международном научном семинаре «Карбид кремния и родственные материалы» (ICSCRM-2004, Новгород Великий, 2004), Европейском коллоквиуме по механике 468 «Многомасштабное моделирование в механике твердых тел» (Санкт-Петербург, Репино, 2005), II международной конференции «Наноматериалы и нанотехнологии» (NN-2005, Крит, Греция, 2005), III международном научном семинаре «Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрактометрия, электронная микроскопия)» (Великий Новгород, 2006), международном семинаре «Механика современных материалов» (MAM-2006, Санкт-Петербург, 2006), международных конференциях по делокализованным дефектам в полупроводниках (EDS-2006 (Галле, Германия, 2006) и EDS-2008 (Пуатье, Франция, 2008)), международном семинаре «Новые подходы к высоким технологиям: нанодизайн, технология, компьютерное моделирование» (NDTCS-2007, Байройт, Германия, 2007) и 2-ом международном симпозиуме «Физика и механика больших пластических деформаций» (Санкт-Петербург, 2007).

Публикации. По теме работы опубликованы монография и 59 научных статей в отечественных и зарубежных журналах, отдельный список которых приведен в конце автореферата, а также тезисы докладов, сделанных на перечисленных выше семинарах и конференциях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 276 страниц, из них 1 таблица и 103 рисунка. Список цитируемой литературы состоит из 400 наименований.

2. Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована основная цель работы, кратко представлены содержание диссертации, сведения о ее апробации и основных публикациях по ее теме, приведены положения, выносимые на защиту.

В главе 1 дан обзор литературы, касающейся механизмов релаксации напряжений в наноструктурных и пористых твердых телах. Приведены общие сведения об образовании островков и нанопроволок при росте пленок. Дано определение несоответствия и изложены основные механизмы формирования дефектов несоответствия в пленочных гетеросистемах. Дан краткий обзор экспериментальных данных и моделей образования цилиндрических пор, содержащих дислокации. Изложены основные особенности пластической деформации и разрушения нанокристаллических материалов. На основе анализа литературных данных определены основные задачи настоящей работы.



Рис. 1. Дислокация несоответствия (a), клиновая дисклинация несоответствия (b) и диполь клиновых дисклинаций (c) на межфазной границе двухслойной цилиндрической нанопроволоки.

В главе 2 рассчитаны критические условия релаксации напряжений в двухслойных цилиндрических нанопроволоках и пленках, растущих на поверхности цилиндрических пор, за счет образования дефектов несоответствия (дислокаций, дисклинаций, дисклинационных диполей и дислокационных петель). В параграфах 2.1-2.3 рассматривается двухслойная цилиндрическая нанопроволока (рис. 1). Предполагается, что нанопроволока имеет внешний радиус R и состоит из ядра радиуса и оболочки толщины H ().

Предполагается также, что ядро и оболочка нанопроволоки упругоизотропны и имеют одинаковые модулями сдвига G и коэффициенты Пуассона , однако характеризуются различными параметрами кристаллической решетки. Различие (несоответствие) параметров и кристаллической решетки ядра и оболочки нанопроволоки описывается параметром . При сопряжении кристаллической решетки оболочки с кристаллической решеткой ядра в нанопроволоке возникают собственные (неупругие) деформации, которые в свою очередь приводят к возникновению упругих деформаций и напряжений.

В параграфе 2.1 рассчитывается поле напряжений, возникающих в нанопроволоке из-за несоответствия кристаллических решеток ядра и оболочки и называемых напряжениями несоответствия. В цилиндрической системе координат ось z которой совпадает с осью нанопроволоки, выражения для ненулевых компонент поля напряжений несоответствия имеют вид

где , , а - функция Хэвисайда ( при и при ).

В параграфе 2.2 с помощью полученных выражений рассчитываются критические условия формирования дислокаций в двухслойной нанопроволоке (рис. 1a). Образование таких дислокаций связано с необходимостью частично снять высокие напряжения несоответствия, а сами дислокации называются дислокациями несоответствия (ДН). Для расчета критических условий формирования ДН в двухслойной нанопроволоке используется энергетический критерий. В результате получается следующее условие образования ДН: , где

, а . В частном случае тонкой оболочки () последнее условие сводится к условию зарождения ДН в плоской пленке на толстой подложке. В этом случае образование ДН возможно при превышении толщиной оболочки критической толщины. В случае тонкого ядра и относительно толстой оболочки () из условия получаем, что образование ДН энергетически выгодно, если радиус ядра больше некоторого критического значения. Наконец, если толщины ядра и оболочки одного порядка (), то в зависимости от параметров нанопроволоки могут реализовываться следующие варианты (рис. 2): либо формирование ДН энергетически невыгодно при любых значениях толщины оболочки (рис. 2a) либо формирование ДН энергетически выгодно, если толщина H оболочки находится в некотором интервале (рис. 2b). Таким образом, образование ДН в двухслойной нанопроволоке энергетически выгодно, если несоответствие параметров кристаллических решеток ядра и оболочки достаточно велико, а толщины ядра и оболочки достаточно близки. При этом критическая толщина оболочки, при превышении которой в двухслойной нанопроволоке выгодно образование ДН, увеличивается с уменьшением толщины ядра нанопроволоки.

Рис. 2. Зависимость , показанная для случая . Горизонтальные линии соответствуют различным значениям несоответствия: (a) , дислокации несоответствия не зарождаются, (b) , зарождение одиночной дислокации несоответствия энергетически выгодно при .

Наряду с образованием ДН в главе 2 рассчитаны критические условия образования в нанопроволоке одиночных дисклинаций (рис. 1b) и дисклинационных диполей (рис. 1c) - дефектов ротационного типа, экспериментально наблюдавшихся, в частности, в двухслойных наноструктурах -Fe2O3/Fe. Расчеты, проведенные для таких дефектов, дали следующие результаты. Формирование изолированных дисклинаций несоответствия и их устойчивых ансамблей на межфазной границе двухслойной нанопроволоки возможно, если абсолютная величина мощности дисклинаций меньше критического значения. В отличие от одиночных дисклинаций, для равновесных дисклинационных диполей не существует верхней границы для мощности составляющих их дисклинаций. Увеличение мощности дисклинаций просто сопровождается уменьшением равновесного плеча диполя. Напротив, при уменьшении мощности дисклинаций плечо диполя увеличивается до тех пор, пока одна из дисклинаций не выходит на свободную поверхность и диполь не превращается в одиночную дисклинацию. Этому соответствует минимально возможная мощность равновесного диполя .

В параграфе 2.4 рассчитаны критические условия формирования в двухслойной нанопроволоке призматических дислокационных петель. Такие дефекты наблюдались, в частности, на границах ядра и оболочки в двухслойных нанопроволоках GaP-GaN и GaN-GaP. Формирование таких дефектов может осуществляться различными способами. Образование призматической дислокационной петли возможно, например, посредством зарождения на свободной поверхности нанопроволоки дислокационной полупетли, ее движения к межфазной границе, последующего расширения в плоскости поперечного сечения цилиндра и «схлопывания» двух дислокационных сегментов противоположного знака, соединяющих межфазную границу со свободной поверхностью. Кроме того, формирование дислокационных полупетель может осуществляться в результате их зарождения на верхней и нижней свободных поверхностях нанопроволоки конечной длины и последующего скольжения к ее центральной области.

Для расчета критических условий формирования дислокационной петли на границе ядра и оболочки нанопроволоки была решена граничная задача о поле напряжений призматической дислокационной петли в цилиндре. Решение искалось в виде суперпозиции известного поля напряжений такой петли в бесконечной среде и дополнительного поля напряжений, необходимого для удовлетворения граничных условий на свободной поверхности цилиндра. Дополнительное поле напряжений рассчитывалось с помощью функции напряжений для цилиндра, в котором отсутствует кручение. На основе полученного решения рассчитывались критические условия формирования дислокационной петли в нанопроволоке. Условие формирования дислокационной петли было получено в виде , где - критическое несоответствие для образования петли.

Рис. 3. Зависимости критических несоответствий (непрерывные линии) и (штриховые линии) от толщины оболочки для , 20, 30 (кривые 1 и 1', 2 и 2', 3 и 3' соответственно).

Зависимости критического несоответствия от безразмерной толщины оболочки нанопроволоки (где b - величина вектора Бюргерса дислокационной петли) и различных значений радиуса ее ядра приведены на рис. 3. Для сравнения на рис. 3 также показаны кривые , описывающие случай зарождения прямолинейных ДН. Как видно на рис. 3, критическое несоответствие уменьшается с ростом толщины оболочки H. При (случай толстой оболочки) зависимости выходят на постоянный уровень. Сравнение кривых и показывает, что при фиксированных значениях радиуса ядра оболочки и несоответствия f с ростом толщины оболочки H сначала становится выгодным образование прямолинейных ДН, а лишь затем формирование дислокационных петель. Вместе с тем в случае нанопроволоки с тонким ядром и относительно толстой оболочкой (толщина H которой хотя бы в 3-4 раза больше радиуса ядра ) образование дислокационных петель может быть выгодно даже при тех значениях f и , при которых формирование прямолинейных ДН энергетически невыгодно. На рис. 3 также видно, что критическое несоответствие уменьшается с ростом как толщины оболочки, так и радиуса ядра нанопроволоки. Таким образом, при заданном несоответствии f зарождение призматической дислокационной петли на границе слоев двухслойной нанопроволоки становится выгодно, если толщины ее слоев (ядра и оболочки) превышают критические значения.

Рис. 4. Дислокационный диполь в пленке, образовавшейся на поверхности цилиндрической полости в бесконечном теле.

Наряду с дефектами в двухслойных нанопроволоках в главе 2 рассчитаны критические условия образования диполя ДН в пленке на поверхности цилиндрической поры (рис. 4). Показано, что условия зарождения диполей ДН в пленке на поверхности внутренней полости в бесконечном теле зависят от того, прорастает пленка в подложку или нарастает на нее. В первом случае ДН могут образоваться, если толщина этой пленки превысит некоторую критическую величину, которая увеличивается при уменьшении радиуса исходной (или остающейся) полости. Во втором случае диполи ДН зарождаются в некотором интервале толщин пленки (при достаточном больших значениях несоответствия) или не зарождаются ни при какой толщине пленки (при малых значениях несоответствия).

Глава 3 посвящена теоретическому исследованию образования дислокаций в неоднородных структурах, содержащих квантовые точки или нанопроволоки. В параграфе 3.1 рассмотрена задача о формировании дислокации несоответствия в квантовой точке (наноостровке) или нанопроволоке на подложке. В рамках предлагаемой модели подложка и островок рассматриваются как цилиндрические сегменты, вместе составляющие цилиндр радиуса R (рис. 5). Предполагается, что несоответствие параметров кристаллических решеток островка и подложки является одномерным. Иными словами, параметры кристаллических решеток островка и подложки в направлении, параллельном оси цилиндра, считаются равными, а различие параметров и кристаллических решеток островка и подложки в направлении оси x (см. рис. 5) определяется соотношением .

Рис. 5. Дислокация несоответствия в двухфазном цилиндре с плоской границей раздела фаз (островка и подложки). Несоответствие параметров кристаллических решеток соприкасающихся фаз моделируется непрерывным распределением виртуальных дислокаций вдоль межфазной границы.

Граница раздела островка и подложки представляет собой полосу ширины l, которая пересекает цилиндр параллельно его оси под углом к его поверхности. Несоответствие f кристаллических решеток островка и подложки моделируется виртуальными дислокациями, равномерно распределенными по границе островка и подложки. Исследуются условия образования на этой границе полной (решеточной) ДН, расщепленной ДН (состоящей из пары частичных ДН, связанных дефектом упаковки) или одной частичной ДН, соединенной дефектом упаковки с границей островка. Для этого рассчитываются энергии , и , связанные с образованием на границе островка и подложки полной, расщепленной и частичной ДН соответственно.

Зависимости этих энергий от безразмерной координаты ДН (см. рис. 5) приведены на рис. 6. Параметр характеризует здесь середину дефекта упаковки, соединяющего две частичные ДН (при наличии в островке двух частичных ДН) или координату ДН (при наличии в нем одной полной или частичной ДН). Как следует из рис. 6, вблизи краев островка из трех дислокационных структур (полная ДН, одна частичная ДН и две частичные ДН) наименьшей энергией обладает структура с одной частичной ДН, соединенной с краем островка дефектом упаковки. При удалении этой частичной ДН от края островка становится выгодным формирование в островке второй частичной ДН. Как видно на рис. 6, при любых координатах ДН энергия , связанная с образованием полной ДН, больше, чем наименьшая из энергий и , связанных с образованием одной или двух частичных ДН.

Рис. 6. Зависимости энергий , и (в единицах ), связанных с образованием на границе островка и подложки полной, расщепленной и частичной ДН соответственно, от безразмерной координаты ДН для , .

Таким образом, наиболее энергетически выгодной дислокационной структурой вблизи края островка является одиночная частичная дислокация. В процессе движения одиночной частичной дислокации вглубь островка становится выгодно зарождение второй частичной дислокации и ее движение вдоль границы островка и подложки. Движение частичных дислокаций может происходить до достижения ими положений равновесия, симметрично расположенных по разные стороны от центра основания островка.

Кроме образования полных, частичных и расщепленных дислокаций, в главе 3 рассматривается возможность образования в островках еще одного типа дислокаций, а именно дислокаций с делокализованным ядром. В отличие от полных и частичных дислокаций, ядра которых представляют собой дислокационные трубки вокруг линий эти дефектов, ядра делокализованных дислокаций имеют форму полос конечной ширины. Расчеты показали, что энергия делокализованной дислокации в островке всегда меньше энергии полной дислокации. Таким образом, аккомодация напряжений несоответствия путем зарождения в островке ДН с делокализованным ядром является альтернативой формированию в нем локализованной дислокации и может происходить даже в островках небольшого размера, где формирование обычных дислокаций энергетически невыгодно.

В параграфе 3.2 рассчитываются условия образования дислокаций, дислокационных диполей и дислокационных петель в квантовых точках и нанопроволоках, расположенных в матрице. В частности, рассмотрена задача о формировании дислокационной петли вокруг цилиндрической квантовой точки в пленке на толстой подложке. Однородные ансамбли таких квантовых точек получают с помощью процесса селективного роста квантовых точек внутри созданных в пленке цилиндрических пор. Предполагается, что цилиндрическая квантовая точка расположена в пленке толщины t, имеет радиус a и высоту . Также считается, что ось квантовой точки перпендикулярна плоской свободной поверхности пленки, а сама квантовая точка выходит на эту поверхность (рис. 7). Различие параметров и кристаллических решеток пленки и квантовой точки описывается несоответствием . Предполагается, что вокруг квантовой точки образуется круговая призматическая дислокационная петля с вектором Бюргерса b (рис. 7). Образование такой петли возможно, например, путем ее зарождения у свободной поверхности пленки и последующего скольжения к нижнему торцу цилиндра, где петля обеспечивает наиболее эффективную релаксацию напряжений несоответствия. Для расчета условий образования дислокационной петли используется энергетический критерий. В результате рассчитывается критическое несоответствие , при превышении которого (при ) образование дислокационной петли энергетически выгодно.

Карта критического несоответствия в пространстве координат приведена на рис. 8. Из рис. 8 следует, что критическое несоответствие уменьшается, когда высота H квантовой точки растет и/или диаметр квантовой точки 2a приближается к ее длине. Напротив, когда высота H уменьшается и/или диаметр 2a квантовой точки изменяется так, чтобы увеличить разность , растет и, следовательно, образование дислокационной петли затрудняется.

Рис. 7. Дислокационная петля несоответствия вокруг цилиндрической квантовой точки, расположенной в пленке на подложке. Петля показана как непрерывная окружность.

Таким образом, образование круговой дислокационной петли вокруг цилиндрической квантовой точки заданной высоты наиболее легко, если диаметр этой квантовой точки примерно равен ее высоте, и затрудняется с увеличением различия значений диаметра квантовой точки и ее высоты.

Наряду с образованием круговых дислокационных петель вокруг цилиндрических квантовых точек в пленке на подложке в параграфе 3.2 рассчитаны условия образования дислокационных петель и полупетель вокруг нанопроволоки с прямоугольным поперечным сечением, параллельной плоской свободной поверхности, а также условия образования дислокационных диполей на границе нанопроволоки и матрицы, в которую она помещена. Проведенный анализ показал, что увеличение одного из размеров прямоугольной нанопроволоки у свободной поверхности не всегда облегчает зарождение вокруг нее дислокационных петель, хотя и уменьшает критическое несоответствие для образования на ее границе дислокационных диполей. При этом наличие свободной поверхности матрицы может как увеличивать, так и уменьшать критические несоответствия для зарождения на границе прямоугольной нанопроволоки дислокационных петель и дислокационных диполей.

Рис. 8. Карта критического несоответствия в пространстве координат . Штриховая линия показывает прямую .

В параграфе 3.3 проведен анализ влияния дислокаций несоответствия в подложке на рост квантовых точек и нанопроволок на подложке. Предполагалось, что подложка состоит из толстой подложки и тонкого буферного слоя. Из-за различия параметров кристаллической решетки толстой подложки и буферного слоя в буферном слое возникают напряжения несоответствия, которые аккомодируются путем образования ДН. Поля напряжений дислокаций изменяют химический потенциал на поверхности пленки и способствуют поверхностной диффузии атомов, приводящей к зарождению на поверхности пленки островков или нанопроволок. Для анализа влияния дислокаций на режим роста пленки на подложке (послойный или островковый) в параграфе 3.3 рассчитывается энергия подложки с пленкой, растущей в виде островков или нанопроволок на смачивающем слое, с учетом наличия ДН в подложке. Эта энергия сравнивается с энергией подложки с аналогичной плоской пленкой. В результате рассчитывается разность энергии системы «пленка-подложка», в которой пленка растет в виде островков или нанопроволок, и энергии аналогичной системы, в которой пленка является плоской. Предполагается, что уменьшение энергии системы при увеличении размеров островков или нанопроволок служит движущей силой для роста таких структур. Проведенный анализ показывает, что рост островков или нанопроволок становится энергетически выгодным при превышении их размерами некоторых критических величин. При этом наличие ДН в подложке может уменьшать эти критические размеры и тем самым способствовать переходу от двумерного к трехмерному режиму роста пленки. Таким образом, образование ансамблей ДН в подложке может способствовать зарождению нанопроволок или квантовых точек и вызвать переход от двумерного к трехмерному режиму роста пленки.

В главе 4 рассматривается упругое взаимодействие и трансформации цилиндрических пор (трубок), содержащих винтовые дислокации. Такие полые дислокационные трубки формируются при эпитаксиальном росте ряда кристаллов, в том числе таких практически важных полупроводниковых материалов, как карбид кремния и нитрид галлия. Радиусы трубок варьируются от десятков нанометров (в нитриде галлия) до нескольких микрометров (в карбиде кремния). Образование трубок с радиусами порядка микрон (микротрубок) приводит к полной деградации служебных свойств полупроводниковых материалов. Вместе с тем экспериментальные наблюдения показывают, что микротрубки могут расщепиться, образуя дислокации, не окруженные порами, и/или микротрубки с меньшими векторами Бюргерса, полости которых могут зарасти. С другой стороны, микротрубки могут группироваться, а также притягиваться к границам включений, где они сливаются, образуя большие поры. Таким образом, существует множество процессов, где взаимодействие (микро)трубок между собой и с другими дефектами может играть важную роль.

В качестве основы для моделирования поведения трубок в главе 4 решен ряд задач классической теории упругости. В параграфе 4.1 решена граничная задачи теории упругости о паре дислокационных трубок в бесконечном упругоизотропном теле. Решение такой задачи получено с помощью введения бесконечных рядов дислокаций изображения. На основе полученного решения рассчитаны условия притяжения и отталкивания двух микротрубок, содержащих винтовые дислокации. Оказалось, что на достаточно коротких расстояниях (порядка среднего радиуса двух микротрубок) две микротрубки, содержащие дислокации одного знака, могут притягиваться. При этом область притяжения для двух микротрубок, содержащих винтовые дислокации одного знака, существует лишь при не слишком близких (отличающихся больше, чем на 15-25%) значениях отношений величин векторов Бюргерса и радиусов микротрубок.

С помощью полученного решения проанализированы также условия расщепления микротрубок. Рассматривались случаи расщепления микротрубки, содержащей винтовую дислокацию, на две меньших микротрубки, а также на микротрубку и винтовую дислокацию. В первом приближении кинетика процесса расщепления не рассматривалась, и предполагалось, что расщепление микротрубки возможно, если оно приводит к уменьшению энергии системы и образовавшиеся микротрубки (или микротрубка и винтовая дислокация) отталкиваются. Оказалось, в частности, что расщепление микротрубки на две меньшие микротрубки возможно, если радиус исходной микротрубки превышает равновесный радиус, суммарная площадь поверхности микротрубок уменьшается при расщеплении, а отношение радиусов расщепившихся микротрубок близко к отношению величин векторов Бюргерса этих микротрубок. Таким образом, расщепление микротрубок позволяет уменьшить энергию больших неравновесных микротрубок и является альтернативой их частичному зарастанию, ведущему к уменьшению их радиуса.

В параграфе 4.2 рассмотрено упругое поведение микротрубок, образующихся в растущих кристаллах. Предполагается, что боковое движение таких трубок осуществляется посредством движения их приповерхностных сегментов, а расщепление трубок - путем разветвления содержащихся в них дислокаций. Как следствие, свободная поверхность растущего кристалла оказывает в этом случае определяющее влияние на динамику трубок, а также на процессы их расщепления. Для анализа расщепления трубок вблизи свободной поверхности растущего кристалла решена граничная задача о дислокационной трубке, перпендикулярной плоской свободной поверхности полубесконечного тела (рис. 9). Предполагалось, что радиус трубки равен , а величина вектора Бюргерса ее дислокации равна . Поля напряжений и перемещений такой трубки искались в виде суммы соответствующих известных полей для винтовой дислокации, перпендикулярной плоской свободной поверхности, и дополнительных полей напряжений и перемещений, необходимых для удовлетворения граничных условий на свободной поверхности трубки. Дополнительные поля напряжений и перемещений искались в виде суперпозиции полей, создаваемых дисклинационными петлями кручения, непрерывно распределенными по поверхности трубки. В результате получены следующие простые выражения для поля напряжений, создаваемых дислокационной трубкой:

где , , - модуль сдвига, а и - модифицированные функции Бесселя второго рода и первого и второго порядка соответственно.

С помощью полученных выражений проанализировано расщепление микротрубки у поверхности растущего кристалла. Предполагалось, что расщепление микротрубки начинается с разветвления ее дислокации у поверхности кристалла. При этом одна из разветвляющихся дислокационных линий остается внутри трубки, а вторая выходит из нее. В процессе роста кристалла разветвившиеся дислокационные линии увеличивают свою длину. В том случае, если дислокационный сегмент, отщепившийся от микротрубки, имеет достаточно большой вектор Бюргерса, он может трансформироваться в отрезок новой микротрубки. Таким образом может осуществляться ветвление микротрубок. дислокационный петля цилиндрический микротрубка

Рис. 9. Трубка, содержащая винтовую дислокацию, перпендикулярная плоской свободной поверхности кристалла.

С точки зрения теории дислокаций разветвление дислокационной линии у поверхности кристалла может рассматриваться как образование дислокационной полупетли. На основе решения (3) для поля напряжений дислокационной трубки, перпендикулярной плоской свободной поверхности, а также полученных решений граничных задач для дислокационных петель скольжения в полупространстве были рассчитаны силы, действующие на горизонтальный и вертикальный отрезки полупетли.

Диаграмма состояния дислокационной полупетли приведена на рис. 10. На этом рисунке показаны кривые в координатном пространстве (, ), где 2a и 2c - ширина и высота полупетли, равные соответственно расстоянию от поверхности трубки до отщепившегося дислокационного сегмента и высоте этого сегмента. Эти кривые разделяют область , , и , в которых силы, действующие на отрезки дислокационной полупетли, имеют различные направления, показанные на рис. 10.

Как следует из рис. 10, расширение полупетли в обоих направлениях энергетически выгодно только в области. Чтобы попасть в эту область, полупетля должна преодолеть энергетический барьер. Если предположить, что полупетля расширяется таким образом, чтобы величина этого барьера была минимальной, то центральная точка петли должна попасть в область непосредственно из области , через седловую точку.

Эта седловая точка расположена на пересечении кривых на рис. 10. Условие минимума энергии позволяет рассчитать наиболее вероятную траекторию центральной точки полупетли в области . Направление этой траектории совпадает с направлением действия суммарной упругой силы, действующей на центральную точку полупетли. Эта траектория проходит близко к микротрубке, таким образом, что полупетля оказывается сильно вытянута вдоль трубки.

Поэтому новая микротрубка, которая может образоваться вдоль линии полупетли, должна находиться близко к исходной микротрубке. Это заключение находится в хорошем соответствии с экспериментальными наблюдениями разветвляющихся микротрубок в карбиде кремния.



Рис. 10. Диаграмма состояния системы в координатах (, ). Кривые в координатном пространстве (, ) отделяют области , , и . Эти кривые пересекаются в седловой точке. Стрелки указывают направления сил, действующих на отрезки полупетли.

Кроме энергетических соображений расширение полупетли в растущем кристалле можно качественно описывать с точки зрения кинетики. Действительно, движение фронта роста кристалла может вызвать достаточно быстрый рост полупетли вдоль микротрубки. В этом случае расстояние, которое должна пройти центральная точка петли прежде, чем она выйдет из области , уменьшается. Как следствие, можно думать, что высокая скорость роста кристалла способствует расщеплению трубок.

Наряду с анализом расщепления трубок в параграфе 4.2 изложена методика и результаты двумерного компьютерного моделирования динамики ансамблей трубок в растущих кристаллах. Компьютерное моделирование проведено для объяснения экспериментально наблюдаемых явлений группирования и закручивания трубок. Для моделирования был разработан простой компьютерный код, описывающий боковое движение приповерхностных сегментов трубок с помощью уравнений Ньютона. Итоговые уравнения бокового движения приповерхностных сегментов трубок имеют вид



где , k - номер трубки, - величина ее вектора Бюргерса, - ее ускорение, - расстояние между i-ой и k-ой трубками, - единичный вектор, направленный от i-ой к k-ой трубке, - единичный вектор, определяющий направление движения приповерхностного сегмента k-ой трубки, h - высота движущихся приповерхностных сегментов, - поверхностная энергия, - некоторая постоянная.

Компьютерное моделирование позволило выявить следующие тенденции взаимодействия микротрубок в плотном ансамбле. Движение микротрубок навстречу друг другу, приводящее к их слиянию, может происходить различными способами. Иногда торцы двух взаимодействующих микротрубок с векторами Бюргерса противоположного знака движутся друг к другу по кратчайшему пути между ними. В некоторых других случаях торцы микротрубок с векторами Бюргерса противоположного знака начинают двигаться друг вокруг друга.

Используя зависимости координат торцов микротрубок от времени, были построены трехмерные поверхности некоторых взаимодействующих микротрубок (рис. 11). Рис. 11 демонстрирует две возможные реакции приповерхностных сегментов микротрубок: зарождение нового сегмента микротрубки (рис. 11a,b) и аннигиляцию приповерхностных сегментов микротрубок (рис. 11c,d). На рис. 11 штриховые линии показывают линии дислокаций, рассчитанные с помощью компьютерного моделирования, а непрерывные линии показывают свободные поверхности микротрубок.

Интересно, что при одинаковых абсолютных значениях величин векторов Бюргерса взаимодействующих микротрубок (рис. 11c,d) диполь дислокаций, находящихся в микротрубках, превращается в полупетлю. Такие реакции можно наблюдать на поверхности роста как реакции аннигиляции диполей микротрубок.

Таким образом, двумерное компьютерное моделирование динамики микротрубок демонстрирует экспериментально наблюдаемые реакции слияния микротрубок, которое может приводить к зарождению новых микротрубок и/или аннигиляции исходных микротрубок на фронте роста кристалла. В результате можно ожидать уменьшения плотности микротрубок в процессе роста кристалла. Закручивание микротрубок возникает в результате коллективных эффектов в случайном ансамбле микротрубок, когда реакции между двумя микротрубками происходят вблизи групп других микротрубок (или винтовых дислокаций), и эти две микротрубки испытывают сильное воздействие со стороны внешних полей напряжений.

Рис. 11. Слияние микротрубок с различными (a,b) и равными абсолютными величинами векторов Бюргерса приводит к (a,b) зарождению нового сегмента микротрубки или (c,d) аннигиляции приповерхностных сегментов микротрубок.

В параграфе 4.3 теоретически исследовано упругое поведение микротрубок с аксиально симметричными ступеньками. Образование таких ступенек служит механизмом изменения радиуса трубок. Для анализа упругого поведения микротрубок со ступеньками и расчета сил взаимодействия между ступеньками в параграфе 4.3 решены граничные задачи о дислокационной трубке (с аксиально симметричными ступеньками), находящейся в бесконечном теле или в полупространстве.

Сливающиеся микротрубки движутся навстречу друг другу по кратчайшему пути (a,c) или закручиваются (b,d). Вектора Бюргерса микротрубок приведены в единицах c (параметра решетки в направлении роста кристалла). Координаты x и y приведены в единицах . Длины микротрубок (вдоль оси z) приведены в произвольных единицах, которые зависят от скорости роста.

Решения получены для случая, когда высота ступенек мала по сравнению с исходным радиусом трубки. Проведенный расчет и анализ сил взаимодействия между ступеньками показал, что малые аксиально симметричные ступеньки одного знака стремятся объединиться, образуя ступеньки большего размера. Кроме того, для ступенек на поверхности дислокационных трубок, перпендикулярных плоской свободной поверхности, существуют положения равновесия вблизи этой поверхности. Как следствие, равновесный радиус микротрубок возле свободной поверхности кристалла меньше, чем в глубине материала, и поэтому микротрубки неустойчивы по отношению к изменению их формы в приповерхностной области.

Анализ, проведенный в параграфах 4.1-4.3, позволяет выявить особенности упругого поведения микротрубок и их взаимодействия между собой и с винтовыми дислокациями. Между тем эксперименты показывают, что в карбиде кремния микротрубки притягиваются к границам включений политипов (областей кристалла с различными типами кристаллической решетки) и сливаются на этих границах, образуя макропоры. Для объяснения притяжения микротрубок к границам политипам в параграфе 4.4 рассмотрены модели взаимодействия микротрубок с границами включений, рассчитаны силы, действующие на микротрубки со стороны включений (рис. 12) и равновесные положения микротрубок. Показано, что эти равновесные положения находятся на границах включений политипов.

Рис. 12. Силы, действующие на микротрубку со стороны включения. Стрелки показывают направления сил, а их длины пропорциональны величинам сил. Квадрат показывает поперечные сечения границ включения. Окружности показывают равновесные положения микротрубки.

В главе 5 рассмотрены модели зарождения и роста пор и трещин в деформируемых нанокристаллических твердых телах. В параграфе 5.1 рассчитан равновесный размер и форма эллиптической поры, образующейся вокруг краевой дислокации с большим вектором Бюргерса, предварительно сформированной на зернограничной ступеньке в результате зернограничного проскальзывания (рис. 13). Для этого c помощью метода комплексных потенциалов и конформного отображения решена граничная задача о поле напряжений и энергии краевой дислокации в эллиптической поре.

В итоге получено следующее выражение для упругой энергии дислокации внутри эллиптической поры, расположенной в упругоизотропном бесконечном теле (рис. 13):



Рис. 13. Геометрия эллиптической поры вокруг дислокации с большим вектором Бюргерса, образованной на ступеньке в границе зерен.

,

где B - величина вектора Бюргерса дислокации, и - проекции ее вектора Бюргерса на оси x и y, G - модуль сдвига, - коэффициент Пуассона, R - внешний радиус экранирования полей напряжений дислокации, , , a и d - большая и малая полуоси эллиптической поры соответственно (рис. 13).

На основе решения задачи о поле напряжений и энергии краевой дислокации в эллиптической поре рассчитаны ее равновесный размер и форма. В частности, получено следующее выражение, связывающее равновесные значения размера дислокационной поры и параметра , определяющего ее форму:

,

где - полный эллиптический интеграл второго рода, а - удельная энергия границы зерен. В результате проведенного анализа оказалось, что равновесная форма поры вокруг дислокации определяется отношением удельной энергий границы зерен к удельной поверхностной энергии. При этом равновесные значения могут варьироваться в широких пределах, то есть супердислокация может создавать вокруг себя нанопоры различной формы.

В параграфе 5.2 теоретически проанализировано влияние зернограничной диффузии на образование трещин на дислокациях с большими векторами Бюргерса, образующихся в процессе деформации нанокристаллических материалов. Для этого была решена самосогласованная упруго-диффузионная задача о поле напряжений краевой дислокации в бесконечной прямолинейной границе зерен бикристалла при наличии зернограничной диффузии (рис. 14). Для расчета поля напряжений, создаваемых в границе зерен краевой дислокацией с вектором Бюргерса, перпендикулярным границе, решалось линеаризованное уравнение диффузии

,

где - коэффициент зернограничной диффузии, - исходная толщина границы зерен, - объем атома, - шаровая часть тензора напряжений, действующих в границе, - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура, t - время, а - изменение толщины границы, связанное с наличием дислокации и диффузией.

Рис. 14. Краевая дислокация в бесконечной прямолинейной границе зерен бикристалла. Напряжения, создаваемые дислокацией, вызывают зернограничную диффузию и создают упругие деформации в примыкающих к границе зернах.

Величину можно рассматривать как скачок перемещений в направлении, перпендикулярном границе зерен, создаваемый дислокацией и диффузией. Этот скачок перемещений создает в границе неупругую (собственную) деформацию, которая в свою очередь приводит к возникновению упругих напряжений и деформаций внутри зерен. Уравнения теории упругости дают следующие соотношения, связывающие Фурье-образы скачка перемещений с Фурье-образами , и ненулевых компонент напряжений, действующих в границе зерен: , , где и - модуль сдвига и коэффициент Пуассона, как и выше.

В первой из формул (8) , , а .

Рис. 15. Кривая , характеризующая пространственную зависимость напряжений и , создаваемых дислокацией в плоской границе зерен бикристалла.

Подстановка этих соотношений в диффузионное уравнение (7) и решение получившегося уравнения при начальных условиях (соответствующих моменту начала диффузии) , дает следующие выражения для ненулевых компонент тензора напряжений дислокации в границе зерен:

Зависимость приведена на рис. 15. Функция характеризует зависимость напряжений от координаты x. Как следует из рис. 15, , и следовательно, при имеем: . Таким образом, в случае, когда вектор Бюргерса дислокации ориентирован перпендикулярно границе зерен, диффузия исключает сингулярности в выражениях для поля напряжений краевой дислокации. Устранение сингулярности поля напряжений дислокации связано с вызванной зернограничной диффузией делокализацией ядра дислокации и постепенным распределением дислокационного заряда вдоль всей бесконечной границы зерен.

С помощью полученного решения проанализировано влияние зернограничной диффузии на подавление зарождения трещин на дислокациях с большими векторами Бюргерса, образующихся в нанокристаллических материалах в процессе зернограничного проскальзывания. Анализ, в частности, показал, что в деформируемом нанокристаллическом никеле диффузия может подавлять зарождение нанотрещин даже при температурах, близких к комнатным.

В параграфе 5.3 на основе теории протекания проведен анализ слияния зернограничных нанотрещин в деформируемом нанокристаллическом твердом теле в макроскопическую раскалывающую трещину. Предполагалось, что нанотрещины независимо формируются в различных границах зерен под действием растягивающего внешнего напряжения. Считалось, что нанотрещина в границе зерен формируется, если длина границы превышает критическую длину, при превышении которой трещине выгодно расти. Вводились распределения границ зерен по размерам и углам ориентации относительно направления растяжения. В результате рассчитывалась доля n границ, содержащих нанотрещины, как функция безразмерного внешнего напряжения (рис. 16).

На рис. 16 показаны зависимости доли n границ зерен, содержащих нанотрещины, от безразмерного внешнего напряжения для различных значений среднеквадратичного отклонения s распределения границ зерен по размерам. Здесь представляет собой внешнее напряжение, а - критическое напряжение для образования трещины в границе зерен среднего размера , ориентированной перпендикулярно направлению действия растягивающей нагрузки. Для расчета условий объединения независимо образующихся нанотрещин в макроскопическую раскалывающую трещину, проходящую через весь материал, использовалась теория протекания. Согласно этой теории, нанотрещины объединяются в макротрещину, когда их доля n достигает критического значения .

...