Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Простейшая теория ударной ионизации Таунсенда
• 1.2 Учет влияния объемного заряда по Роговскому
• 2. Практическая часть
• 2.1 Распределение электрического поля в диэлектрическом шаре (капле)
• Заключение
• Список использованных источников


Введение

ионизация электрический поле ударный

Решена задача теоретического описания поля пробоя в зависимости от параметров среды, в частности от концентрации водяных капель, давления, температуры.

Первые исследования теоретического описания поля пробоя принадлежат Таунсенду и Роговскому «ссылки». В более поздних работах Г.И. Сканави [1] разработана теория и поставлен эксперимент по измерению поля пробоя в различных газовых смесях при высоких и низких температурах, а также при различных давлениях. В еще одной значительно более поздней работе С.О. Гладкова была разработана теория электрического пробоя в сложных твердофазных вещеcтвах [5]. В этой работе в частности было вычислено значение поля пробоя в виде функции от концентрации неоднородности, которые представляли собой пористую среду и твердофазные включения. Этот подход может быть применен и для водо-воздушной смеси, что является содержанием настоящей квалификационной работы. Мы будем придерживаться результатов работы [5] и с ее помощью опишем поле пробоя водо-воздушной смеси. Расчет будем проводить аналитически и численно на ЭВМ с помощью разработанного программного обеспечения.



1. Теоретическая часть

1.1 Простейшая теория ударной ионизации Таунсенда

Если газ находится при малом давлении и если поле, создаваемое электродами, близко к однородному, а расстояние между электродами мало, то для полукачественного описания явления ударной ионизации и процесса пробоя газа можно воспользоваться таким схематическим представлением: каждая заряженная частица в газе, где бы она ни находилась, испытывает воздействие одного и того же поля, напряженность которого равна отношению разности потенциалов к расстоянию между электродами. Можно, далее, ввести коэффициент ударной ионизации (коэффициент ), равный числу ионизаций, произведенных движущейся в поле заряженной частицей на 1 см пути в направлении поля, и, считая этот коэффициент не зависящим от координат, найти выражение для величины тока.

На этом и строится простейшая теория ударной ионизации, развитая Таунсендом.

Рассмотрим сначала ударную ионизацию газа электронами, воспользовавшись сделанными допущениями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Величина тока при ударной ионизации электронами легко может быть определена, если задать коэффициент ударной ионизации электронами (первый коэффициент Таунсенда).

Искомое выражение для плотности тока будет иметь разный вид в зависимости от характера предварительной ионизации, обусловливающей начальную концентрацию электронов в газе. При этом существенен не механизм этой предварительной ионизации, а лишь то, происходит ли она во всем объеме газа (объемная ионизация) или электроны попадают по тем или иным причинам в газ с поверхности твердого тела (поверхностная ионизация).

Пусть в случае поверхностной ионизации с 1 поверхности катода вырывается в единицу времени электронов, которые двигаются под действием электрического поля к аноду. Если напряженность поля достаточна для ударной ионизации, то число электронов по мере продвижения к аноду будет возрастать. Пусть далее к сечению (рис. 1.1) в единицу времени подходит электронов. Тогда в слое газа толщиной эти электронов создадут вследствие ударной ионизации дополнительное число электронов, равное , что следует из определения коэффициента .

Следовательно, .

При . Следовательно, . На анод будет в каждую секунду попадать число электронов, равное , где - расстояние между электродами.

Плотность тока насыщения, устанавливающегося при поверхностной ионизации до возникновения ударной ионизации, равна

где - заряд электрона. Плотность электрического тока при ударной ионизации равна

Таким образом, ток увеличивается экспоненциально с ростом коэффициента ударной ионизации . Нетрудно видеть, что при увеличении напряженности поля будет расти коэффициент (число ударных ионизаций, вызванных одним электроном на 1 см пути в направлении поля), так как увеличится шанс ионизации молекул. Поэтому, как следует из (1.2), с ростом напряженности поля ток при ударной ионизации резко возрастает. При увеличении расстояния между электродами ток также резко возрастает. Этот результат, на первый взгляд, может показаться несколько странным, однако он соответствует сделанным выше предпосылкам. Если увеличивать расстояние в условиях идеально однородного поля, то напряженность поля не должна изменяться, следовательно, не будет меняться и коэффициент * Подразумевается, что разность потенциалов электродов с увеличением следует увеличивать пропорционально ; тогда . Вместе с тем, число ударных ионизаций на пути электрона от катода к аноду будет возрастать, поэтому будет увеличиваться и ток.

В практическом случае с раздвижением электродов степень однородности поля падает и напряженность поля в большей части объема начинает все более резко уменьшаться, даже если разность потенциалов электродов увеличивается пропорционально . Поэтому вследствие уменьшения плотность тока не будет возрастать экспоненциально с увеличением , а при больших расстояниях будет даже падать. Если же раздвигать электроды, увеличивая разность потенциалов так, чтобы напряженность поля не уменьшалась (это возможно в определенных пределах изменения расстояния между электродами, даже несмотря на некоторое уменьшение степени однородности поля), то ток достаточно строго должен следовать экспоненциальному за-кону (1.2).

Если начальная ионизация газа является объемной, например происходит под действием коротковолнового излучения, то выражение тока при ударной ионизации электронами несколько отличается от (1.2). Действительно, число электронов, создаваемых внешним ионизатором на расстоянии от катода в слое толщиною и площадью сечения 1 см² в единицу времени (Рисунок 1.1), равно , где -- число электронов, образующихся в единицу времени в 1 см³ под действием внешнего ионизатора. Эти электроны, двигаясь к аноду, проходят путь . Каждый из них на своем пути создает новые электроны вследствие ударной ионизации. Поэтому на основании (1.2) легко найти число электронов, которое при ударной ионизации дойдет до анода в единицу времени от слоя :

Интегрируя (1.3) в пределах от нуля до , получим общее число электронов, попадающих в единицу времени на анод:

Следовательно, плотность тока равна

Где - плотность тока насыщения при объемной ионизации газа в отсутствие ударной ионизации.

Простейшие формулы (1.2) и (1.5) дали возможность Таунсенду оценить коэффициент ударной ионизации из экспериментальных данных. Можно, например, измерить ток при предварительной поверхностной ионизации в зависимости от расстояния между электродами при одной и той же напряженности поля, выполняя опыт так, чтобы изменение расстояния по возможности не вызывало уменьшения степени однородности поля, и в тех условиях, когда искажением поля, вызванным объемным зарядом, можно пренебречь (малые токи). Тогда, если справедлива формула (1.2), то график зависимости должен изображаться прямой линией . Тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс должен быть равен коэффициенту ударной ионизации электронами . В таблице 1.1 и на рисунке 1.2 приведены результаты соответствующих измерений для воздуха при давлении мм Hg и напряженности поля в/см.

Таблица 1.1 Ионизационные токи в воздухе в зависимости от расстояния между электродами в условиях однородного поля

(см)	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
(произвольные единицы)	2.86	8.3	24.2	81.0	373

Из рисунка 1.2 видно, что экспериментальные точки, приведенные в таблице 1.1, ложатся на прямую лишь при малых расстояниях между электродами. При сравнительно больших расстояниях ток превышает значения, которые дает формула (1.2) при постоянном коэффициенте .

Рисунок 1.2

Расхождение между экспериментальными данными и результатами вычисления тока по формуле (1.2) (а также и по формуле (1.5) для предварительной объемной ионизации), даже в случае пониженного давления и при такой форме электродов, которая обеспечивает достаточную однородность поля при отсутствии объемного заряда, показывает, что ударная ионизация электронами сопровождается дополнительными процессами, увеличивающими ток. Таунсенд считал, что основную роль среди этих дополнительных процессов играют ударная ионизация газа положительными ионами (учитываемая коэффициентом ударной ионизации , так называемым вторым коэффициентом Таунсенда), а также выбивание электронов из катода под действием положительных ионов. Однако, как показали дальнейшие исследования, роль положительных ионов в процессе самостоятельного разряда в газе не так велика, главным образом вследствие малой их подвижности. Большую роль играет фотоионизация газа и фотоэффект на катоде, которые возникают вследствие испускания жестких фотонов атомами и молекулами газа, возбужденными соударением с электронами. Следует отметить все же, что при ударной ионизации зависимость величины тока от расстояния между электродами и от напряженности поля получается одного и того же вида как при ионизации газа положительными ионами, так и при вырывании дополнительных электронов из катода положительными ионами либо фотонами. Процессы на катоде, увеличивающие ток в газе, называют г-процессами. Третьим коэффициентом Таунсенд характеризовал выбивание электронов из катода под действием ударов положительных ионов.

Фотоионизация газа, как будет видно ниже, играет существенную роль при больших расстояниях между электродами в связи с накоплением объемного заряда.

Если учитывать дополнительные процессы (ударную ионизацию положительными ионами, г-процессы на катоде), то получается зависимость тока от расстояния и напряженности поля, по своему виду принципиально отличная от зависимости, выражаемой формулами (1.2) и (1.5) и позволяющая в элементарном виде формулировать условия пробоя газа.

Не предрешая вопроса о том, какие из дополнительных процессов играют наиболее существенную роль, рассмотрим выражение для тока при ударной ионизации, учитывая г-процессы на катоде и предполагая наличие ударной ионизации положительными ионами (которая в действительности происходит крайне редко); по-прежнему считаем поле однородным. Пусть, как и раньше, предварительная ионизация является поверхностной, обусловленной фотоэффектом на катоде под действием внешнего ионизатора -- коротковолнового излучения.

Плотность полного тока равна

,

где -- заряд, концентрация в данном сечении и ско-рость направленного движения электронов, a -- тоже для положительных ионов. Для одновалентных ионов и, следовательно,

В любом слое газа толщиной и площадью 1 см² изменение числа электронов и положительных ионов, со временем обусловлено двумя причинами: а) различной скоростью направленного движения положительных ионов и электронов и б) ударной ионизацией, вызываемой электронами и положительными ионами (предполагаем, что они могут ионизовать).

В соответствии с этим скорость изменения числа положительных ионов со временем в слое, толщиной и площадью сечения 1 см² равна

*

где есть, очевидно, изменение числа положительных ионов в слое в единицу времени за счет их перемещения, поскольку и могут быть функциями х; -- число положительных ионов, образуемых в слое в единицу времени под действием ударной ионизации электронами; -- число положительных ионов, образуемых в слое в единицу времени под действием ударной ионизации положительными ионами.

Деля обе части на , имеем:



Для электронов имеем аналогично:

Знак минус перед первым членом правой части обусловлен противоположным направлением движения электронов и положительных ионов.

Для стационарного разряда , Следовательно,

Теперь из этих уравнений можно исключить или и воспользоваться равенством (1.6). Легко видеть, что

Уравнение (1.9) для случая однородного постоянного поля, когда и не зависят от и , легко проинтегрировать.

Интегрирование дает, что

где С -- постоянная интегрирования, или, учитывая, что плотность электронного тока , получим:

Для определения постоянной интегрирования следует сформулировать граничные условия.

Если бы г-процессы на катоде не имели места, то граничные условия определялись бы следующими равенствами. При (на катоде) электронный ток равен фототоку, создаваемому действием постороннего ионизатора, плотность этого тока , т. е. . Следовательно, при из (1.10) имеем:

Вставляя значение в (3.10), получим:

Но при полный ток равен, очевидно, электронному: . Это условие дает возможность, вставляя равенства и в (1.11), найти выражение для плотности полного тока при ударной ионизации электронами и положительными ионами, но без учета г-процессов на катоде:

Если учесть, следуя Таунсенду, выбивание электронов из катода под действием ударов положительных ионов (один из простейших г-процессов), то граничные условия примут иной вид. При электронный ток тогда слагается из двух частей: фототока под действием постороннего ионизатора и тока, обусловленного электронами, выбиваемыми из катода положительными ионами; плотность этого тока можно считать пропорциональной плотности тока положительных ионов: . Следовательно, при имеем или, так как ,

Полагая и учитывая (3.13), из (3.10) получим:

Вставляя (1.14) в (1.10) и учитывая, что при величина , будем иметь окончательно:

Выражения (1.12) и (1.15) различаются лишь коэффициентами. При выражение (3.15) переходит в (3.12). Более существенное значение имеет, однако, тот случай, когда , а , так как ударная ионизация положительными ионами, как указывалось выше, имеет весьма малую вероятность. При из (1.15) имеем:

Процесс выбивания положительными ионами электронов из катода в большинстве случаев тоже маловероятен. Однако существенно, что и другие возможные г-процессы приводят к формулам, аналогичным (1.16). Например, если электроны выбиваются из катода фотонами, которые излучаются атомами газа, возбужденными при соударениях с достаточно быстрыми электронами, то простые рассуждения дают возможность получить выражение для плотности тока.

Пусть один электрон на пути в 1 см в направлении поля производит по-прежнему ударных ионизаций. Наряду с ударной ионизацией этот же электрон на том же пути в 1 см возбуждает при столкновениях атомов, так как не каждое столкновение вызывает ударную ионизацию. Это число возбужденных атомов излучает фотонов. Однако лишь некоторая часть из них попадает на катод. Кроме того, следует учесть, что газ поглощает фотоны: пусть коэффициент поглощения фотонов в газе равен . Нетрудно теперь подсчитать число фотонов, попадающих на катод в единицу времени.

Если с квадратного сантиметра поверхности катода в единицу времени вырывается электронов, то вследствие ударной ионизации их число на пути х возрастает до . В слое газа толщиной dx на расстоянии х от катода эти электроны создают . Общее число фотонов , попадающих на катод в единицу времени, можно найти, проинтегрировав последнее выражение в пределах от нуля до :

Однако нельзя считать, что каждый фотон выбьет электрон из катода, так как не все они будут обладать достаточной для этого энергией. Если обозначить квантовый выход рассматриваемого фотоэффекта через , то число электронов, вырывающихся из катода в единицу времени, будет равно

Общее число электронов, вылетающих с 1 см² поверхности катода в 1 сек, обозначенное выше через будет равно



где -- по-прежнему число электронов, создаваемых вследствие фотоэффекта под действием постороннего источника. Следовательно,

При полный ток равен электронному току. Поэтому, выражая из (1.17) и умножая его на заряд электрона, получим:

Или, так как - плотность фототока, создаваемого посторонним ионизатором, получим окончательно:

Обозначив , имеем выражение, аналогичное формуле (3.16):

Таким образом, учет дополнительных процессов: ударной ионизации положительными ионами и процессов на катоде, приводящих к увеличению числа электронов в газовом промежутке (-процессы), дает несколько различные формулы для плотности тока (1.12), (1.15), (1.16), (1.16а), однако все они коренным образом отличаются от формул (1.2) и (1.5), полученных при учете только ударной ионизации электронами. Различие это заключается в том, что в случае учета только ударной ионизации электронами плотность тока достигает бесконечности при росте коэффициента ударной ионизации , только, если . Формулы же (1.12), (1.15), (1.16) и (1.16а) показывают, что плотность тока может быть равна бесконечности и при конечном .

Это обстоятельство было использовано Таунсендом для формулировки условия пробоя газа. Знаменатель выражения для плотности тока приравнивается нулю, что соответствует равенству плотности тока бесконечности. Тогда из (1.12), (1.15), (1.16) и (1.16а) получим это условие пробоя газа:

Это условие, как указывает Капцов [2], означает, что при отсутствии предварительной ионизации (при ) ток в газе не равен нулю, т. е. разряд из несамостоятельного переходит в самостоятельный. Действительно, для всех вариантов учета дополнительных процессов ток при ударной ионизации пропорционален току, обусловленному предварительной ионизацией под действием постороннего ионизатора . Если знаменатель выражений для тока j (1.12), (1.15), (1.16) и (1.16а) равен нулю, то при плотность тока j оказывается неопределенной и, следовательно, может иметь конечное значение, в то время как если условие (1.19) не выполнено, плотность тока j при всегда обращается в нуль.

Легко видеть, что при любом варианте равенство (1.19) действительно является условием стационарности самостоятельного разряда. Например, если при выводе формулы (1.15) изменить, граничные условий, положив , то значение произвольной постоянной изменится. Тогда при вместо (1.13) и (1.14) имеем:

Если вставить это значение Cq в (1.10), то при получается уравнение, каждый член которого пропорционален j:

которое имеет два решения:

Первое решение соответствует несамостоятельному (таунсендовскому) разряду, который имеет место только при наличии предварительной ионизации от постороннего источника и для которого , если .

Второе решение при дает условие (1.19б) и является, очевидно, условием стационарности самостоятельного разряда, при котором , если .

Таким образом, условием пробоя газа в однородном поле в первом приближении является условие возникновения стационарного самостоятельного разряда. Следует иметь в виду, однако, что так как в любых реальных условиях предварительная ионизация газа от постороннего источника всегда имеет место и , то плотность тока j при пробое резко возрастает.

Условие пробоя газа (1.19) может быть выполнено при достаточно большой напряженности поля Е, которая явно в формулы (1.19) не входит, но резко влияет на значения коэффициентов ударной ионизации. С увеличением Е коэффициент растет вплоть до значений, при которых выполняется условие (1.19). При этом ток резко увеличивается, практически не достигая, однако, бесконечности, но доходя до предельного значения, определяемого мощностью источника тока и сопротивлением цепи.

1.2 Учет влияния объемного заряда по Роговскому

Простейшая теория ударной ионизации, развитая Таунсендом, качественно (а отчасти и количественно) объясняет закономерности пробоя газа при малых давлениях и расстояниях между электродами, создающими однородное поле.

Основным недостатком этой теории является то обстоятельство, что она не охватывает процесса самого пробоя газа и не идет дальше рассмотрения перехода несамостоятельного разряда в. самостоятельный. Формирование самостоятельного разряда, время его развития и тем более образование искры совершенно не затрагиваются теорией Таунсенда. Между тем именно при больших токах в газе возникает объемный заряд, резко искажающий не только форму поля, которое в теории Таунсенда считается однородным, но и весь процесс ударной ионизации. Правда, при низких давлениях и малых расстояниях образование объемного заряда, по всей вероятности, имеет место лишь при напряженностях поля всего на несколько процентов меньших, чем пробивная напряженность. Этим и объясняется довольно хорошее качественное согласие теории Таунсенда с экспериментальными данными при малых рд. Количественное расхождение имеет место, однако, даже и в этом случае.

Что же касается времени развития пробоя в газе, то относительно него теория Таунсенда в простейшем ее виде, изложенная выше, вообще не дает никаких данных. Можно попытаться вычислить скорость нарастания тока на основании решения дифференциальных уравнений в частных производных по координате и времени без учета объемного заряда и искажения поля. Это уравнения типа (3.7) и (3.8), однако строгое решение их невозможно даже в этом упрощенном случае, так как уравнения интегрируются лишь с помощью приближенных методов. Кроме того, роль ударной ионизации положительными ионами, учитываемой уравнениями (3.7) и (3.8), фактически сводится на нет их недостаточной подвижностью, а учет г-процессов на катоде не может быть проведен достаточно строго, так как природа их не полностью выяснена. Наконец, эти вычисления лишаются достаточного основания вследствие пренебрежения объемным зарядом.

Грубо приближенная оценка времени развития пробоя (формирования разряда) в рамках теории Таунсенда может быть проведена следующим образом. Развитие разряда, сопровождаемое увеличением разрядного тока, согласно этой теории должно, очевидно, происходить тогда, когда число электронов последующей лавины превышает число электронов предыдущей лавины. Действительно, для образования первой лавины необходимо наличие вблизи катода одного или нескольких электронов. Интенсивность первой лавины не может быть очень большой. Однако вследствие г-процессов первая лавина порождает на катоде вторичные электроны, которые создают вторую лавину путем ударной ионизации газа. Вслед за второй лавиной образуется третья и т. д. На самом деле, образование последующей лавины происходит, естественно, не после прохождения предыдущей, а значительно раньше. Однако для грубо приближенной оценки можно допустить, что они чередуются, тем более, что точный расчет времени формирования разряда в рамках теории Таунсенда вообще невозможен.

В случае однородного поля между электродами закон нарастания электронной лавины, как было показано, определяется формулой

где n₀ - число начальных электронов для первой лавины. Если предположить, что на каждый из положительных ионов, образованных этой первой лавиной, приходится один вторичный электрон, выходящий из катода вследствие того или иного процесса, то n₁ есть число начальных электронов для второй лавины. Нарастание второй лавины, следовательно, описывается формулой, аналогичной формуле (1.2.1):

Отношение называется ионизационным нарастанием или шагом ударной ионизации * Аналогичные соображения при учете ударной ионизации положительными ионами вместо г-процессов на катоде приводят к выражению .

Очевидно, что при k < 1 имеет место несамостоятельный разряд, исчезающий при прекращении действия внешнего ионизатора. При k = 1 имеет место стационарный самостоятельный разряд. Наконец, условие k > 1 легко связать с процессом самого пробоя, при котором ток быстро возрастает при данном напряжении, если мощность источника напряжения достаточно велика. Напомним, что условием возникновения пробоя, по Таунсенду, является равенство k = 1.

Эти элементарные, грубо приближенные соображения дают возможность оценить время, необходимое для увеличения тока в заданное число раз. Если считать, например, что плотность тока в пробитом газе в 10^a раз больше плотности тока до пробоя, то время «развития пробоя» можно найти следующим образом. Плотность тока, создаваемого m-ой электронной лавиной, связана с плотностью начального тока соотношением



Следовательно, число лавин m равно

При сделанном предположении

Величина k может быть найдена, если известны коэффициенты г и б, а также расстояние между электродами д. Для пробоя воздуха при д = 0,87 см и p = 4 мм Hg пробивная напряженность E_пр = 700 в/см что соответствует б = 9.6 и г ? 0,022; ионизационное нарастание равно примерно 100. Поэтому число лавин, приводящее к увеличению тока в 10^a раз, равно . Если положить a ==10, то m = 5. Время прохождения этих лавин тогда будет равно пятикратному времени движения положительных ионов от анода до катода, если считать, что вторичные электроны выбрасываются из катода под действием ударов положительных ионов (второй механизм Таунсенда). Подвижность положительных ионов в воздухе составляет около 3 см²/в * сек, следовательно, их скорость при E = 700 в/см равна v = 2,1 * 10³ см/сек. Поэтому «время развития» пробоя составляет ф = mд/v ? 2 * 10^-3 сек.

В сильных полях v больше и ф соответственно меньше.

Так, аналогичная грубая оценка «времени развития» пробоя для д = 0,01 см при р = 760 мм Hg (при E_пр = 96 кв/см) дает, что ф ? 3*10^-6 сек, а при д=1 см и р -- 760 мм Hg величина ф > 10^-4 сек. Эти результаты далеки от экспериментальных (см. ниже).

Увеличение тока, соответствующее возникновению пробоя, в приведенной оценке было выбрано в достаточной мере произвольно. В рамках простейшей теории Таунсенда ток при пробое принимает бесконечное значение, поэтому и «время развития» пробоя должно быть равно бесконечности. Можно было бы думать, что пробой возникает при таком значении тока, когда объемный заряд делается столь значительным, что вызываемое им искажение поля приводит к нестационарному режиму (ток начинает расти без увеличения приложенного напряжения, см. ниже). Однако и в этом случае величина тока хотя и конечна, но остается неопределенной, что весьма затрудняет оценку «времени развития» разряда.

Следует отметить, что возможна все же более корректная оценка этого времени, чем приведенная выше. В [6] приводится вычисление времени нарастания тока до определенного значения j_e в зависимости от величины отношения j_e/j₀, где j₀-- плотность начального тока. Плотность электронного тока у катода в момент времени t равна

где j_k+(t) -- плотность тока положительных ионов у катода в момент t, a г -- по-прежнему третий коэффициент Таунсенда.

Плотность ионного тока у катода j_k+ в момент t, т. е. j_k+(t), равна, очевидно, плотности ионного тока у анода j_a+ в момент t -- t_i, т. е. j_a+(t--t_i), где t_i -- время прохождения положительных ионов от анода к катоду:

Далее, очевидно, что в каждый данный момент времени t электронный ток у анода j_a-(t) равен сумме электронного тока у катода j_k-(t) и ионного тока у анода j_a+(t). Поэтому



Кроме того, вследствие ударной ионизации плотность электронного тока у анода j_a-(t) больше, чем плотность электронного тока у катода, причем, если поле однородно, то

где д -- расстояние между электродами, а б -- первый коэффициент Таунсенда. Комбинируя приведенные равенства, получим:

Далее, приближенно можно написать, что

и, следовательно,

Вводя обозначения г(e^бд -- 1) = k (ионизационное нарастание, см. выше) и k-1 = ш имеем:

Интегрируя (1.2.3a) и учитывая, что при t = 0, j(0) = j₀, получим, если k не зависит от времени:



а при достаточно малом ш = k - 1

или

Здесь j_e -- значение j_k-(t), при котором возникает пробой. Величина j_e должна при этом выбираться на основании дополнительных соображений.

Существенно, что «время развития» пробоя зависит от ш, т. е. от того, насколько ионизационное нарастание k отличается от единицы. Критерий пробоя по Таунсенду, как мы видели, выражается в виде условия k = 1 или ш = 0. В этом случае из (1.2.3a) следует, что ток j(t) линейно нарастает со временем, и при j_e = ? (критерий Таунсенда) время t равно бесконечности. Существенно, однако, что при ш ? 0 время t ? ? и определяется, если задано отношение j_e/j₀, из (1.2.5). Величина j_e при этом может соответствовать, например, возникновению искажения поля объемным зарядом.

При ранее приведенной грубой оценке «время развития» пробоя связывалось с временем прохождения газоразрядного промежутка положительными ионами. Как видно, формула (1.2.5) также содержит это время t_i поскольку г-процессы на катоде учитывались как увеличение электронного тока у катода, пропорциональное току положительных ионов у катода

При ш < О ток j_k-(t) растет со временем сравнительно медленно, приближаясь к некоторому предельному значению при t>?. Следовательно, в этом случае, если j₀ ? 0, получается устойчивый разряд, соответствующий рассмотренному в теории Таунсенда в области полей, меньших пробивных.

Если, наоборот, ш > 0, то ток j_k-(t), как видно из (1.2.3а), по истечении некоторого промежутка времени начинает резко возрастать. При этом вариация величины тока j_e, который должен соответствовать пробою, сравнительно незначительно сказывается на «времени развития» пробоя. Так, например, при ш = 0,1 из (1.2.5) следует, что

Если положить, как и раньше, (например, a/см², a/см²), то ; если же , то . Для Ne время сек, поэтому сек и сильно превышает экспериментальные значения.

С ростом напряженности поля возрастает, так как увеличивается б, и время t уменьшается.

Однако приведенная оценка, так же как и другие вычисления [6], дает, как правило, завышенное значение «времени развития» пробоя. Лишь для очень малых давлений (1--10 мм Hg) вычисленные значения более или менее близки к экспериментальным (t ? 10^-5 сек). Опыт дает, что для больших давлений сек.

Первой причиной расхождения теории Таунсенда с опытными данными является неучет влияния объемных зарядов, искажающих перед пробоем, даже первоначально однородное поле и резко изменяющих весь процесс формирования разряда. В ряде исследовательских работ предприняты попытки теоретически учесть влияние объемного заряда на процесс ударной ионизации в газе. Мы рассмотрим здесь основные черты теории Роговского, который развил теорию Таунсенда, учитывая искажения поля объемным зарядом в газе перед пробоем.

Полная плотность тока в газе равна

где p и n -- числа положительных ионов и электронов в 1 см³ газа, u и v -- скорости их направленного движения. Условие непрерывности полного тока для одномерного случая выражается равенством

где х--координата.

Из определения коэффициента ударной ионизации электронами следует, что

и, следовательно,

Легко видеть, что из (1.2.6), (1.2.7) и (1.2.8) следует равенство



Или

Если теперь учесть, как и прежде, вырывание вторичных электронов из катода и считать, что число их пропорционально плотности тока положительных ионов, то для сечения, бесконечно близкого к катоду, будем иметь:

где г -- третий коэффициент Таунсенда.

Учитывая (1.2.6), получим:

Плотность объемного заряда в газе, обусловленного различием подвижности положительных ионов и электронов, равна

Из уравнения Пуассона следует, что



В сильных полях, которые предшествуют пробою газа, подвижности ионов и электронов зависят от напряженности поля. Легко показать в первом приближении, что скорости u и v прямо пропорциональны квадратному корню из напряженности поля.

Используя это обстоятельство, можно вставить в уравнение (1.2.13) вместо u и v выражения

Где

(л_i и л_e -- средняя длина свободного пробега, m_i и m_e -- масса соответственно иона и электрона).

Отношение

значительно меньше единицы, так как m_i >> m_e. Так, для водорода оно приблизительно равно , для ртутных паров .

Уравнение (1.2.13) легко преобразовать, принимая во внимание выражение для плотности полного тока (1.2.6). После преобразований оно примет следующий вид:



Нетрудно видеть, что даже приближенное решение уравнения (1.2.14) встречает большие трудности, так как плотность тока зависит от коэффициентов ионизации б и г, являющихся в свою очередь сложными функциями напряженности поля. Однако, как показал Роговский, уравнение (1.2.14) можно использовать для выяснения весьма существенного вопроса о том, как влияет объемный заряд на процесс пробоя газа.

Для этого прежде всего нужно учесть, что величина ионизационного нарастания k будет отличаться от выражения (1.2.2), справедливого для однородного поля, потому что б будет зависеть от координаты х, функцией которой является напряженность поля Е. Очевидно, что

Условие стационарности самостоятельного разряда, как и прежде, соответствует равенству k = 1, т. е.

В отличие от теории Таунсенда, согласно которой это равенство является и условием пробоя, в теории Роговского проводится разграничение стационарного самостоятельного разряда и пробоя. Условием возникновения и того и другого по-прежнему является равенство (1.2.15а). Однако для стационарного самостоятельного разряда («равновесного» разряда) это условие выражает устойчивое равновесие, а для пробоя -- неустойчивое равновесие. Смысл этого разделения выяснится из дальнейшего.

Нетрудно, далее, видеть, что при наличии г-процессов на катоде, обусловливающих образование вторичных электронов, число которых пропорционально числу положительных ионов, распределение объемного заряда в газе таково, что напряженность поля в некотором сечении между катодом и анодом должна иметь минимальное значение. Действительно, отношение у катода равно г, а у анода весьма велико, так как . a имеет малое значение. Следовательно, всегда имеется некоторое промежуточное сечение, для которого отношение равно v/u, поскольку от катода к аноду меняется монотонно и г<v/u. Для этого сечения, как следует из (1.2.13), и напряженность поля минимальна (можно показать, что при этом ). Коэффициенты ионизации б и г, как было показано выше, сильно зависят от напряженности поля. При не очень больших полях можно принять, что

где коэффициенты c₁ и с₂ могут, вообще говоря, отличаться от тех значений, которые им были приданы в простейшей теории Таунсенда в уравнениях (1.2.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Не предрешая вопроса о величине этих коэффициентов и факторах их определяющих, Роговский называет коэффициент с₂ «экспоненциальной напряженностью поля». При

E=c₂

Для широкого интервала полей Роговский пользуется экспериментальной кривой , представленной на рис. 1.2.3.

Существенным обстоятельством, без которого невозможна интерпретация процесса пробоя, данная в теории Роговского, является изменение знака кривизны кривой . Из рис. 1.2.3, который суммирует многие экспериментальные данные, видно, что при малых полях эта кривизна положительна, а при больших полях отрицательна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зависимость коэффициента г от напряженности поля Е, которая используется в теории Роговского, представлена на рис. 4 по данным его же измерений. Существенно, что в сильных полях г стремится к постоянной величине, равной 4.

Уравнение (1.2.14) можно преобразовать, учитывая (1.2.9). Легко видеть, что



так как

Обозначив, далее . получим , и вставляя это выражение в (1.2.17), имеем:

Это уравнение можно преобразовать и далее, введя новую переменную

Тогда

и вместо (5.18) получим:



или

Легко видеть, что о у катода определяется только коэффициентом если пренебречь 1/l₂ по сравнению с 1/l₁ что можно сделать, так как масса положительного иона много больше массы электрона. Действительно, у катода

Следовательно, из (1.2.14) при имеем:

Отсюда

У анода . Тогда из (1.2.14) получим:



При величина о также равна нулю. Таким образом, при перемещении от катода к аноду о изменяется от (в сильных полях, при г = 4, о_k = -1/5) через нуль (в том сечении, где поле минимально) к небольшому положительному значению (так как l₁/l₂ мало).

Теперь, для того чтобы выразить падение потенциала U на некотором расстоянии х через новую переменную о (пределы изменения которой нам известны) и через напряженность поля у катода Е_k, введем относительную напряженность поля у = Е/Е_k, обозначив с₂/E_k через a (1.2.16). Тогда для не очень сильных полей вместо (1.2.16) будем иметь:

У катода б = б_k, E=E_k и у = 1. Следовательно,

и

Вставляя (1.2.20) в (1.2.19) и учитывая, что

а также то, что при изменении о до о_k (у катода) у меняется до 1 (у катода), получим:



Обозначим:

Эта величина, как нетрудно видеть, имеет размерность длины (размерность б_k равна см^-1).

Уравнение (1.2.21) есть уравнение с разделенными переменными. Интеграл левой его части равен

Интеграл есть некоторая функция F(а, у) параметров а и у. Следовательно,

Равенство (1.2.23) показывает, что переменная о есть некоторая определенная функция относительной напряженности поля. Если эта функция известна, например, найдена из (1.2.21) графическим путем, то падение потенциала на участке от 0 до х можно выразить через о следующим образом.

Из предыдущего видно, что



поэтому

Координата х данного сечения, для которого относительная напряженность поля равна у, определяется, очевидно, так:

Нетрудно видеть, что величина ?, входящая в (1.2.24) и (1.2.25), заданная выражением (1.2.21а), имеет определенный физический смысл. Действительно, в том гипотетическом случае, когда ток обусловлен движением лишь положительных ионов (коэффициенты б и г равны нулю и j_n = 0), уравнение (1.2.14) обращается в следующее:

Решение этого уравнения имеет вид

где E_k -- по-прежнему напряженность поля у катода, а х -- расстояние от сечения, где напряженность поля равна E, до катода.

Из (1.2.27) видно, что если



то напряженность поля Е равна нулю.

Таким образом, ? есть расстояние от катода до сечения, в котором поле было бы равно нулю в случае, если носителями тока являлись бы только положительные ионы.

Решение задачи теперь сводится к нахождению функции о = f(у), ибо знание этой функции дает возможность связать разность потенциалов электродов U с напряженностью поля у катода E_k, с плотностью полного тока j, входящей в величину ?, и с относительной напряженностью поля у = E/E_k.

Эта функция, однако, в явном виде не выражается, а может быть получена лишь графически из уравнения (1.2.21). Функция , стоящая в правой части этого уравнения и обращающаяся в нуль при у = 1 (у катода), для малых значений а (для a << 1) может быть представлена в виде сходящегося ряда

где

Если разложить функцию e^a/у в ряд и затем взять интеграл то получится ряд:



Этот ряд пригоден для практических вычислений, если отношение а/у не очень велико .

Если положить, что у = a/2, то получится:

В граничном случае, при a = 0, у = 0

Можно написать, далее,

Обозначив а/у = ф, будем иметь:



Интегрирование по частям дает

Или

или

Сравним теперь определенный интеграл с интегралом

.

Подынтегральные выражения отличаются множителем . Можно показать, что для больших значений ф имеет место приблизительное равенство

Следовательно, учитывая (1.2.28е), имеем:



Возвращаясь теперь к выражению (1.2.28г), получим:

Для больших значений а из (1.2.29) имеем:

Тогда, учитывая (1.2.28г), получим:

Из (1.2.29) видно, что

Видно, что

Используя соотношения (5.28б) и (5.30), для малых значений а получим:



При a<1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, имеется возможность вычислить функцию F (a, у) для разных значений а и у. Найденные приближенные выражения для этой функции будут использованы ниже.

Результаты вычислений F(а, у) приведены на рис. 5, где дана зависимость функции F(а, у) от у при различных значениях а.

Функция , стоящая в левой части уравнения (1.2.21), также может быть определена (см. (1.2.22)).

Выше было показано, что величина о меняется от очень малых значений у анода (о_a=l₁/l₂) до у катода.

При ; при г = г_макс ? 4 значение .

Для значений о, близких к т -1, можно положить о = -1+е (при е << 1), и тогда (см. (1.2.22))



Для значений о, близких к нулю,

Величина В может быть оценена для малых и больших г. Если г очень мало, то

Если г > 1, то

Существенно отметить, что величину В легко связать с длиной газового промежутка д₀, которая соответствует условию стационарности самостоятельного разряда в однородном поле. Действительно, это условие для однородного поля, как было показано выше, имеет вид:

При малых г (при ) и (см. (1.2.32б)).

Следовательно,



Для больших значений г условие (1.2.33) может быть выполнено только при малых б_kд₀. При этом

Следовательно, условие (1.2.33) дает, что

Но из (1.2.32в) следует, что , поэтому

На рис. 1.2.6, а и б даны зависимости Р(о) от о и В от г.

Теперь, задав напряженность поля у катода Е_к, плотность тока j и коэффициенты г и i₁ для каждого данного значения у можно найти величину о, поскольку функции Р(о)-В и F(а, у) известны из графиков рис. 1.2.5 и 1.2.6.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 1.2.7 представлено соответствующее построение. Кривая 1 дает значения Р(о)-В при разных о. Кривая 2 дает значения F(а, у) для разных у при заданном а = с₂/E_k (причем с₂ берется из экспериментальных данных по зависимости б от Е). Кривая 3 дает значения правой части уравнения (1.2.21), а именно: . Величина ? при этом определяется по заданным Е_k и j из (1.2.21а). Коэффициент ударной ионизации б_k определяется из (1.2.16) по заданному значению Е_k. (Здесь c₁ и с₂ известны из экспериментальных данных.)

Сравнение кривых 1 и 3 дает возможность определить функцию о =f(у) по точкам. Равным отрезкам ординат этих кривых соответствуют взаимно связанные значения у и о. Мы можем, таким образом, получить функцию о = f(у) для данных значений j и Е_k, задавая значения коэффициентов г и l₁ (кривая 4).

Набору значений плотности тока при постоянной напряженности поля у катода Е_k будет соответствовать набор функций о=f(у). Аналогично, задавая различные значения Е_k, мы получим при данном значении j другой набор функций о=f(у). Для каждой из этих функций можно найти с помощью (1.2.24) и (1.2.25) расстояние х, на котором поле изменяется от Е_k до определенного значения Е = уЕ_k, и соответствующую этому расстоянию разность потенциалов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Все эти значения будут соответствовать стационарному самостоятельному разряду согласно исходным предпосылкам, на основании которых было получено уравнение (1.2.21). Таким образом, полное число возможных стационарных самостоятельных разрядов, каждый из которых соответствует определенным Е_k и j, а следовательно и определенным U и х, является двухпорядковой бесконечностью. Следовательно, координатная плоскость двух прямоугольных осей, на одной из которых отложены значения Е_k, а на другой -- значения j, может быть названа плоскостью равновесного разряда. Каждая точка этой плоскости должна отвечать одному из возможных равновесных (стационарных самостоятельных) разрядов.

Существенно, однако, что построение, представленное на рис. 7, дает возможность определить минимальное значение относительной напряженности поля у₀, при котором выполняются условия стационарного самостоятельного разряда. Действительно, из кривых 1 и 3 рис. 1.2.7 видно, что с ростом у значение о уменьшается, так как ординаты левого графика убывают при уменьшении о, а ординаты правого графика растут с увеличением у.

Мы видели, что значение о у анода близко к нулю а у катода отрицательно. Если положить о = 0, что соответствует промежуточному сечению, то

Из уравнения (1.2.21) при этом получается, что

Так как о у анода может иметь лишь очень малое положительное значение и нигде не может быть заметно больше нуля, то равенство (1.2.34) должно приблизительно соответствовать минимальному значению относительной напряженности поля у₀. Вставляя в (5.34) выражение для ? (1.2.21а), получим:

Это равенство связывает плотность тока j и напряженность поля у катода Е_k, соответствующие условию стационарности самостоятельного разряда, при котором относительная напряженность поля у₀ = E/E_k имеет минимальное значение.

Из рассмотрения графиков рис. 7 следует далее, что при больших значениях плотности тока j, кривая, определяемая уравнением

должна лежать выше и иметь меньший наклон, так как ? обратно пропорциональна j. Легко видеть, что при заданном Е_k и достаточно больших значениях j эта кривая может лежать настолько высоко (кривая 4), что все ее ординаты, в том числе и ордината, соответствующая у = 0, будут меньше ординаты ОР кривой 1 и, следовательно, значение о = 0 не будет соответствовать ни одному из значений у.

Такие высокие значения плотности тока физически нереальны, так как стационарный самостоятельный разряд должен при этом соответствовать лишь отрицательным значениям о во всем пространстве между электродами, что противоречит уравнению Пуассона (1.2.14).

Следовательно, плотность тока при стационарном самостоятельном разряде должна иметь некоторое граничное значение j_rp для заданного значения напряженности поля у катода. Это значение должно, очевидно, соответствовать равенству максимальных ординат кривой 1 и кривой 3. Для кривой 1 максимальная ордината соответствует о = 0, а для кривой 3 - равенству у = 0. Поэтому выражение (1.2.35) будет отвечать граничной плотности тока, если положить в нем у₀ = 0:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, видно, что фактически не все точки «плоскости равновесного разряда», о которой шла речь выше, отвечают действительно возможному стационарному самостоятельному разряду, так как не при всех значениях плотности тока решение уравнения (1.2.21) имеет физический смысл. На рис. 1.2.8 представлена такая кривая на плоскости «равновесного разряда», каждая точка которой отвечает граничной плотности тока j_гр для данного значения Е. Все точки плоскости, лежащие ниже этой кривой, отвечают фактически возможным стационарным самостоятельным разрядам. Наоборот, для точек, лежащих выше кривой, стационарный самостоятельный разряд невозможен. Используя теперь частные значения функции F(а, у) и В, вычисленные выше, получим приближенные значения j_rp для очень большой и очень малой напряженности поля у катода Е_k. Действительно, при очень большой Е_k значение а = c₂/Е_k близко к нулю и F(а, 0) ? 2/3 (см, (5.31)), кроме того, e^a ? 1. Величина г при этом имеет большое значение, поэтому

Вставляя эти значения в (1.2.36), получим:

При очень малом Е_k величина г мала, следовательно (см. (1.2.33а)). Кроме того, значение а велико. Поэтому из (1.2.29а) имеем:

...