Размещено на http://www.allbest.ru/

Переяслав - Хмельницький державний педагогічний університет

імені Григорія Сковороди

природничо-технологічний факультет

кафедра математики, інформатики та методики навчання

Курсова робота

на тему:

«Механічні криві та їх властивості»

Студента 2 курсу, групи М-2

денної форми навчання

Переяслав-Хмельницький - 2016



Зміст

Вступ

Розділ 1. Механічні криві, їх властивості.

1.1 Означення механічних кривих. Історія виникнення механічних кривих

1.2 Способи утворення механічних кривих

1.3 Характеристика найпоширеніших механічних кривих

1.4 Дослідження Гвинтової лінії

Розділ 2. Застосування механічних кривих

2.1 Криві, які вивчаються в школі

2.2 Побудова кривих за допомогою комп'ютерних програм

2.3 Механічні криві в житті та науці

Висновки

Література

Додатки



Вступ

Історія математики розглядає грецьку математику як феномен виникнення та розвитку аксіоматико-дедуктивної теоретичної науки. У працях грецьких математиків Фалеса (7 ст. до н.е), Піфагора (6 ст. до н.е), Платона (5 ст. до н.е.), Демокріта (5 ст. до н.е.), Гіпократа (5 ст. до н.е), Евкліда (4 ст. до н.е.), Динострата (4 ст. до н.е.) Аристотеля (4 ст. до н.е.), Нікомеда (3 ст. до н.е.) встановлено і систематизовано основні знання з геометрії. Однак саме практичні потреби часто були основою розвитку математичних теорій. Так, наприклад, три знамениті задачі древності були нерозв'язні за допомогою циркуля і лінійки, але багато вчених намагаючись їх розв'язати створювали нові інструменти і методи [19]. використовувалися відмінні від прямої та кола криві, а також механічні пристрої. Це зумовило також і появу нових кривих, які в подальшому отримали назву «механічні».

В XVII ст. продовжили вчення про механічні криві два геніальних французьких математика, П'єр де Ферма (17.08.1601 - 12.01.1665) і Декарт (31.03.1596 - 11.02.1650), майже одночасно висувають ідеї, що призвели до нового і дуже широкому розквіту геометричній думки. Ці ідеї були викладені П.Ферма у праці «Вступ до вчення про геометричні місцях на площині і в просторі» (1637). Погляди Р. Декарта викладено в невеликому його творі «Геометрія», що з'явилося в 1637 р. як додаток до твору «Міркування про метод». Р. Декарт висував докази на користь обмеження геометрії алгебраїчними кривими (які він назвав «геометричними»), тому він виключив деякі класичні криві, які назвав «механічними» через способи їх побудови.

Німецький математик Ґотфрід Вільгельм Лейбніц (1.06.1646 - 14.11.1716) назвав декартові механічні криві «трансцендентними». На противагу алгебраїчним кривим, які можна було вивчати алгебраїчними методами, трансцендентні криві були невіддільні від методів обчислення. Тому нова сукупність геометричних ідей, ідей «нескінченно малих» або диференціальної геометрії, спочатку виникла в дослідженні трансцендентних кривих.[13]

До початку XX ст. відноситься зародження векторного методу в нарисній геометрії, що використовують криві в будівельній механіці, машинобудуванні. Цей метод розроблений Б. Майором і Р. Мізеса, Б.М. Горбуновим.

Механічні криві широко застосовуються в фізиці (синусоїда), архітектурі (ланцюгова лінія, клотоїда), мистецтві (гіперболічна спіралі), машинобудуванні (гвинтова лінія), будуванні залізниць (конхоїда), астрономії (логарифмічна спіраль), біології (різні види спіралей), механіці (трактриса, еліпс) та інших галузях науки та сферах діяльності людини.

Важливо знати механічні криві та продовжувати дослідження їх властивостей, адже це дасть змогу не тільки розширити сферу їх застосувань, а й передбачити перспективи подальших досліджень.

Об'єкт дослідження: механічні криві.

Предмет дослідження: властивості та способи побудови механічних кривих.

Мета роботи: систематизувати знання про механічні криві та з'ясувати сфери їх застосування.

Основні завдання дослідження:

· проаналізувати літературні джерела з даної теми;

· систематизувати знання про механічні криві;

· визначити сфери застосування механічних кривих;

Практичне значення. Дослідження має практичне спрямування для поглиблення знань студентів про механічні криві, вивченні їх у математиці та в людській діяльності.



Розділ 1. Механічні криві, їх властивості

1.1 Означення механічних кривих. Історія виникнення механічних кривих

Поняття лінії визначилося у свідомості людини в доісторичні часи. Траєкторія кинутого каменю, струмінь води, промені світла, контури квітів і листя рослин, лінія берега річки і моря та інші явища природи, що привертали увагу наших предків багаторазово, послужили основою для поступового встановлення поняття лінії.

Однак потрібен був великий історичний період перш ніж люди стали порівнювати між собою форми кривих ліній і відрізняти одну криву від іншої. Перші малюнки на стінах печерного житла, примітивні орнаменти, що прикрашали домашню оселю, свідчать про те, що люди вже навчилися не тільки відрізняти пряму від кривої, але і розрізняти форми окремих кривих і в їх поєднаннях знаходити задоволення естетичних потреб. Але все це було ще далеко від того абстрактного розуміння лінії, яким володіє математика зараз.

Щоправда, історичні пам'ятники глибокої давнини показують, що у всіх народів на певному етапі їх розвитку було поняття кола, не кажучи вже про пряму лінію. Використовувалися примітивні інструменти для побудови цих ліній і були спроби вимірювати їх площі, що обмежувалися прямими і колом. Наприклад, з найдавнішого пам'ятника математичної культури - «папірусу Ринда», єгиптяни за 17 - 20 століть до початку нашої ери займалися квадратурою кола і отримали досить хороше наближення числа , рівне , або 3, 1604. Але лише з виникненням математики як науки стало розвиватися вчення про лінії, яка досягла в працях грецьких математиків досконалості. Грецькі вчені створили теорію конічних перерізів - ліній, що мають особливо велике значення в науці і техніці. Відкриття їх приписується Менехму (4 ст. до н. е..), учневі Евдокса Книдского і, як вважають, вчитель Олександра Македонського. Менехм визначав ці криві як перерізу конуса площиною, перпендикулярною до його утворює.[1]

Що послужило приводом до цього відкриття? Може, пошуки рішення знаменитої делоської задачі про подвоєння куба, чи може питання про те, наскільки повинен бути витягнутий овал, що знаходиться у якості архітектурної споруди на фронтоні будівлі, щоб з відомого місця перед будівлею він здавався колом?

Є дані вважати, що Менехм знав властивості параболи й гіперболи, що виражаються в наші дні рівностями y²=2px і xy=c, і використовував ці властивості для делоської задачі про подвоєння куба. На жаль це перший твір з теорії конічних перерізів було втрачено. Також не збереглися до наших часів робота грецького геометра Арістея, який написав п'ять книг про «просторові місця», з яких багато запозичив Евклід для своєї також втраченої роботи про конічних перерізах.

Архімед вирішив завдання про квадратуру сегмента параболи. Порівнюючи фігури, вписані в еліпс та коло, побудовану на великій осі еліпса як на діаметрі, він визначив і площу еліпса.

Проте всі відомості про конічних перерізах були ще розрізнені. Перша методична обробка конічних перерізів належить Аполлонію Пергському (3 - 2 ст. до н. е.). Це був трактат «Про конічні перерізи». У своєму трактаті Аполлоній систематизував все, що було відомо до нього, і відкрив ряд важливих властивостей, встановив їх назви.

Але не тільки конічні перерізи відкриті греками. Ряд математиків у пошуках вирішення великих проблем древності - завдання трисекції кута, про подвоєння куба і про квадратуру кола - використовував для утворення кривих ідею руху. [19]

Всі накопиченні знання про побудову ліній призвели до того, що утворилися «механічні» криві, тобто ті, які можуть бути визначені й накреслені за допомогою простих механічних пристосувань. Серед таких «механічних» кривих виникли спіраль Архімеда, циклоїда, квадратриса Динострата. Птолемей, виявляючи надзвичайну проникливість, зумів використати циклоїди для опису планетних рухів.

В епоху середньовіччя великі досягнення грецьких учених були забуті.

До кривих математична наука звернулася лише в 17 ст., у зв'язку з створенням аналітичної геометрії. Диференціювання виникло з методів побудови дотичних, а інтегрування виросло зі спроб знайти площі і довжини дуг. Обчислення не тільки відкрило секрети класичних кривих та алгебраїчних кривих, визначених Р. Декартом; воно також розширило поняття самої кривої. Як тільки з'явилася можливість з точністю оперувати нахилами, довжинами і площами, також з'явилася можливість використовувати ці величини для визначення нових, неалгебраїчних кривих.

Рене Декарт висував докази на користь обмеження геометрії алгебраїчними кривими (які він назвав «геометричними»), тому він виключив деякі класичні криві на досить невизначених підставах, оскільки він вважав, що вони належать тільки механіці, і не знаходяться серед тих кривих, які, повинні бути включені до геометрії. Тому причиною виключення Р. Декарт бачив у способах побудови цих кривих, а саме в тому, що вони повинні бути описані окремими рухами, відношення яких не допускає точного визначення. [4]

Криві, які Р. Декарт передав механіці, - це криві, які греки визначали з допомогою деяких гіпотетичних механізмів, наприклад, епіциклів (описаними обертанням одного кола на іншому), спіраль Архімеда (описаної точкою, що рухається з постійною швидкістю вздовж рівномірно обертової лінії). Ймовірно, він усвідомлював, що спіраль є трансцендентною в силу того, що вона перетинає пряму лінію в нескінченній множині точок. Це є протилежним до поведінки алгебраїчної кривої Р(х,у), яка перетинає пряму лінію тільки в скінченній множині точок та відповідає скінченній множині рішень. Це доказ існування трансцендентних кривих було дано в явному вигляді англійським вченим Ісааком Ньютоном (4.01.1643 - 31.03.1727), лема XXVIII.[9]

Чи відрізняв Рене Декарт алгебраїчні криві від трансцендентних в той час невідомо; тим не менш, в загальних рисах є вірно те, що його «механічні» криві були трансцендентними. Це залишилося вірним з широким розповсюдженням механіки і обчислення в сімнадцятому ст., і, безсумнівно, велика частина нових трансцендентних кривих бере початок в механіці.

Німецький математик Ґотфрід Вільгельм Лейбніц назвав Декартові механічні криві «трансцендентними». На противагу алгебраїчним кривим, які можна було вивчати в деякій глибині чисто алгебраїчними методами, трансцендентні криві були невіддільні від методів обчислення. Тому не дивно, що нова сукупність геометричних ідей, ідей «нескінченно малих» або диференціальної геометрії, спочатку виникла в дослідженні трансцендентних кривих.[13]

До початку XX ст. відноситься зародження векторного методу в нарисної геометрії, що використовують криві в будівельній механіці, машинобудуванні. Цей метод розроблений Б. Майором і Р. Мізеса, Б.М. Горбуновим.

Механічні криві - це криві, які визначали з допомогою деяких гіпотетичних механізмів.

1.2 Способи утворення механічних кривих

механічний крива гвинтовий лінія

Дослідження особливостей форми кривої і її властивостей засобами диференціальної геометрії можливо, коли крива виражена в аналітичній формі, тобто рівнянням. Однак, перш ніж дослідити рівняння кривої, необхідно скласти на підставі деяких даних. Для цього треба розглянути способи утворення кривих. [1].

1. Крива визначається як лінія перетину цієї поверхні площиною, положення якої визначено.

В історії розвитку вивчення кривих цей спосіб є першим. Греки визначали криві другого порядку як перетину кругового конуса. Таке ж походження кривих Персея, одержуваних у результаті перерізів площиною поверхні тора. Евольвента кола може бути визначена як лінія перетину поверхні дотичних до гвинтової лінії, перпендикулярної до його осі і т. д. [19]

2. Крива визначається як геометричне місце точок, що володіють даними властивістю.

Цей спосіб часто використовується. Він широко практикувався ще грецькими математиками; так Евклід розглядав конічні перетини як геометричні місця точок, що зберігають постійне відношення відстаней від точки до даної прямої. Як геометричне місце точок, була визначена цисоїда Діоклеса. Таким же способом визначено клотоїду. Такі лінії, як овали Декарта, овали Кассіні, равлик Паскаля, строфоїда, локон Ан'єзі і цілий ряд інших кривих, зазвичай визначаються як геометричні місця.

3. Крива визначається як траєкторія точки, характер руху якої зумовлена якимсь чинником.

Кінематичний спосіб утворення ліній був також відомий грецьким ученим. Як траєкторію точки, яка бере участь одночасно в двох рівномірних рухах, один з яких відбувається по прямій, а інше - по колу, так Архімед визначив свою спіраль. Всі циклоїдальні криві є траєкторіями точки, сильно пов'язаної з колом, яке котиться без ковзання по колу іншого кола. Кінематичним шляхом визначається квадратриса Динострата, а саме як траєкторія точки перетину обертового радіусу кола з хордою, яка рухається паралельно сама собі [17]. Лемініската Бернулі може бути визначена як траєкторія середини великої ланки антипаралелограма, протилежна ланка якого закріплена. Кінематично визначаються троянди, криві ковзання і багато інших ліній. Кінематичний спосіб завдання кривої був покладений Декартом в основу визначення кривих методом координат.

4. Побудова ліній за способом спряження відповідних елементів.

Цей спосіб недавнього походження і у всій повноті розглядається в курсах проективної геометрії. В його основі лежить ідея відповідності двох проективних рядів точок або двох проективних пучків.

Проективно-відповідними називаються два прямолінійні ряди точок, якщо будь-яким чотирьом гармонійним точках одного ряду відповідають чотири гармонійні точки другого ряду. Аналогічно визначається проективна відповідність пучків прямих. На основі цих понять і виникає проективний спосіб утворення ліній. Так, якщо ми маємо два проективних пучка прямих, то геометричне місце точок перетину відповідних прямих цих пучків являє собою криву другого порядку (рис. 1, а).

Якщо задані два проективно пов'язані прямолінійні ряди точок, то обвідна прямих, що проходять через відповідні точки цих рядів, буде представляти собою криву другого класу і одночасно другого порядку (рис. 1, б).

а б

Рис. 1.

На кривій другого порядку можуть бути в свою чергу визначені гармонійні четвірки точок, тобто точки перетину цієї кривої з чотирма гармонійно спряженими променями пучка прямих, центр якого знаходиться в будь-якій точці цієї кривої. Так виникає поняття криволінійного проективного ряду, який на відміну від прямолінійного ряду називається проективним рядом другого порядку. Аналогічно встановлюється поняття пучка другого порядку, під яким розуміють згадану вище сукупність прямих, що проходять через відповідні точки двох прямолінійних проективних рядів та обвідну криву другого порядку.

Поняття ряду другого порядку і пучка другого порядку можна визначити проективним способом криві вищих порядків і класів.

Окремим випадком проективної відповідності є перспективна відповідність, яка здійснюється шляхом проектування двох плоских систем загального центру. Відповідні точки при цьому лежать на одному проективному промені, а відповідні прямі лежать в одній проективній площині.

Способом проектування можуть бути отримані багато кривих. Сюди відноситься циклоїди, яка є паралельною проекцією гвинтової лінії на площину, паралельну її осі. Спіраль Архімеда може бути визначена як проекція конічної гвинтової лінії на площину, перпендикулярну до її осі. Овали Декарта можуть бути визначені як проекції лінії перетину двох конічних поверхонь з паралельними осями на площину, перпендикулярну до цих осях, і т. д.

5. Крива визначається заданням її диференціальних властивостей.

Безпосередньо задається за умовою задачі чи випливають з неї, умови співвідношення між нескінченно малими елементами кривої виражається спочатку у вигляді диференціального рівняння. Подальше інтегрування цього рівняння приводить до звичайного рівняння шуканої кривої. Такий спосіб визначення рівняння кривої характерний для задач геометрії, механіки, фізики, техніки. Так показникова крива може бути визначена як лінія, у якої дотична у всіх точках має одне і те ж значення. Трактриса характеризується сталістю довжини дотичної. Радіоїдальна спіраль визначається як лінія, для якої радіус кривизни обернено пропорційний довжині дуги. На підставі геометричних міркувань і законів механіки виводяться диференціальні рівняння ланцюгової лінії, зігнутої навколо осі балки і т. д.[3]

6. Крива визначається як лінія, яка отримана в результаті геометричних перетворень вже відомої кривої.

Цей спосіб утворення кривих є найбільш ефективним. Він не тільки дає невичерпні засоби для визначення нових кривих, але і дозволяє визначати властивості нової кривої як відображення властивостей перетворюваної кривої.

До числа основних геометричних перетворень відносяться афінне, проективне, інверсія, квадратичне, двоїсте, дотичне.

7. Розглянемо ще один спосіб визначення кривих, порівняно з попередніми, за цим методом складати рівняння кривої не доводиться, так як крива задається відразу ж в аналітичній формі і являє собою графік якоїсь функції. Вище було відмічено, що метод Декарта, яким визначається відповідність між лінією і рівнянням, дає необмежені можливості для визначення кривих найрізноманітніших форм. Серед чудових кривих, що використовуються в науці і техніці, є чимало ліній, які історично виникли аналітичним шляхом, тобто визначалися спочатку як криві, відповідні певним рівнянням. До них відносяться декартів лист - графік функції, якої визначається рівнянням . Сюди ж відносяться параболи і гіперболи вищих порядків - графіки функцій яких визначаються рівнянням , криві Лами - графіки функцій, що визначаються рівнянням . До аналітичного визначення кривих відносяться також криві, які є графіками тригонометричних функцій, показникової функції і багато інших. [4]

1.3 Характеристика найпоширеніших механічних кривих

1) Відкриття та перше дослідження трактриси (1670 рік) належить французькому інженеру, лікаря і любителю математики Клода Перро, брата знаменитого казкаря. Нова крива зацікавила математиків, тож її властивості з'ясовували Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) і Лейбніц (1693). [14]

Трактриса (лінія потягу) - (від лат. trahere - тягнути) - плоска трансцендентна крива, для якої довжина відрізка дотичної від точки торкання до точки перетину з фіксованою прямої є постійною величиною. (рис.1.3.1.)

Рис. 1.3.1. Трактриса, при а=4

Гюйгенс вказав, що криву можна інтерпретувати як траєкторію каменю, пущеного тятивою довжини а (звідси назва «трактриса»).

Рівняння:

Параметричні координати:

Декартові координати:

2) Ланцюгова лінія, катенарія - плоска трансцендентна крива, форму якої приймає під дією сили тяжіння гнучка однорідна і нерозтяжна нитка, кінці якої закріплені. Рівняння лінії практично одночасно отримано Лейбніцем, Гюйгенсом і Йоганн Бернуллі. (рис. 1.3.2.)



Рис. 1.3.2. Ланцюгова лінія

Рівняння в прямокутних координатах:

де сh - гіперболічний косинус.

3) Перша згадку про квадратрису зробили Папп Александрійський і Ямвлих в кінці III ст.. Папп дав докладний опис способів її побудови. Крива відкрита, за повідомленням Прокла Діадохів (V ст.), софистом Гиппієм (V ст. до н. е..) і використовувалася ним для вирішення завдання трисекції кута. Інший античний геометр, Динострат, дав дослідження цієї кривої і показав, що вона забезпечує також рішення завдання квадратури кола. У джерелах дану криву називають «квадратриса Дінострата» або «квадратриса Гіппія». У Новий час криву досліджували Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) та інші відомі математики. Декарт присвятив дослідженню квадратриси чимало сторінок у своїй «Геометрії» (1637). Ньютон в 1676 році визначив довжину дуги квадратриси, її кривизну і площа її сегмента у вигляді ряду. [17]

Квадратриса - плоска трансцендентна крива, яка визначається кінематично. Була запропонована в античні часи для вирішення завдань квадратури кола і трисекції кута. (рис. 1.3.3.)



Рис. 1.3.3. Квадратриса

Кінематичне визначення квадратриси наступне: розглянемо квадрат ABCD, в який вписано сектор чверті кола. Нехай точка E рівномірно рухається по дузі від точки D до точки B; одночасно відрізок А'B' рівномірно рухається з положення DC в положення AB. Обидва рухи почалися і закінчилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса AE і відрізка А'B' опише квадратрису.

Рівняння:

· в полярних координатах:

· в прямокутних координатах:

4) Лемніската від грец. - стрічка, пов'язка. У Стародавній Греції «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріплювали вінок на голові переможця на спортивних іграх. Даний вид лемніскати названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивчення. Рівняння лемніскати вперше опубліковано у статті Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернуллі в журналі Acta eruditorum в 1694 році. Бернуллі назвав цю криву лемініската; він не знав, що чотирнадцятьма роками раніше Джованні Кассіні вже досліджував більш загальний випадок [1]. Квадратуру лемніскати вперше виконав Джюліо - Карло Фаньяно (англ.), опублікувавши в 1718 році статтю Metodo per misurare la lemniscata і поклавши тим самим початок вивчення еліптичних інтегралів, продовжене згодом Леонардом Ейлером [2]. Деякі властивості кривої були також досліджені Якобом Штейнером у 1835 році. [10]

Лемніската Бернуллі - геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами. (рис. 1.3.4.)

Рис.1.3.4. Лемініската

Розглянемо простий випадок: якщо відстань між фокусами 2c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскату:

· в прямокутних координатах:

· в полярних координатах:

5) Вінченцо Вівіані (5.4.1622 - 22. 9. 1703) - італійський математик, фізик, член Флорентійської Академії Наук. Народився у Флоренції. Учень Р. Галілея. Відновив 5 - ю кн. «Конічних перерізів» Аполлонія, в якій розглядалися питання про максимумах і мінімумах. Іменем Вівіані названа одна з просторових кривих, що представляє окремий випадок циклоциліндричних кривих (тобто кривих перетину кругового циліндра з кулею, центр якого лежить на поверхні циліндра), коли діаметр кругового циліндра дорівнює радіусу кулі. Вівіані поставив одну задачу квадратури, що приводить до цієї кривої.

Крива Вівіані. Це просторова крива. Перетин кругового циліндра зі сферою з центром на поверхні циліндра і радусом рівним діаметру циліндра. (рис. 1.3.5)

Рис. 1.3.5. Крива Вівіані

Рівняння:

· лінія перетину сфери xІ + yІ + zІ = 4aІ з поверхнею циліндра вдвічі меншого радіуса (x - a)І + yІ = aІ, яка проходить через центр сфери.

· параметричне рівняння:

6) П'єр Ферма в 1630 році знайшов площу між кривою і її асимптотою. В 1703 році Гвідо Гранді, незалежно від Ферма, описав побудову цієї кривої, а в роботі 1718 року назвав її верзьерою (італ. Versiera, від лат. Versoria), так як в його конструкції використовувалася функція синус - верзус.

У 1748 році Марія Ан'єзі опублікувала відомий узагальнюючий працю Instituzioni analitiche ad uso della gioventщ, в якому крива, як і в роботі Гранді, іменувалася верзьерой. За збігом, італійське слово Versiera/Aversiera, похідне від латинського Adversarius, мало також значення «відьма» (англ. witch). Можливо, з цієї причини кембриджський професор Джон Колсон, переводив працю Ан'єзі на англійську, неправильно переклав це слово, в результаті чого в літературі англійською мовою крива часто іменується the witch of Agnesi. [25]

Верзьєра (верзиєра) Аньєзі (іноді локон Аньєзі) - плоска крива, геометричне місце точок М, для яких виконується співвідношення , де OA - діаметр кола, BC - половина хорди цього кола, перпендикулярна OA (рис. 1.3.6.). Свою назву верзьера Аньєзі отримала на честь італійського математика Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рис. 1.3.6. Локон Аньєзі

Рівняння:

O=(0,0), A=(0,a)

· у декартовій системі координат

· параметричне рівняння , де - кут між OA і OC.

7) Спіраль - крива, що обертається навколо деякої точки, поступово наближаючись або віддаляючись від неї, в залежності від того, в якому напрямі рухатись вздовж кривої. До найвідоміших спіралей належить клотоїда, спіраль Ферма, гіперболічна спіраль, спіраль Архімеда, логарифмічна спіраль, евольвента кола та літуус. Подібно до просторового аналогу, гвинтової лінії, спіралі є асиметричні і кожна з них має дві форми, що є відображенням одна одної.[24]

Спіраль Архімеда - геометричне місце точок, відповідних місцях, з плином часу точки відходить від нерухомої точки з постійною швидкістю вздовж лінії, яка обертається з постійною кутовою швидкістю. В полярних координат (R, и) може бути описана рівнянням: , де а і b - дійсні числа. (рис. 1.3.7. а)

Архімедова спіраль володіє властивістю, що будь-який промінь з початку координат, перетинає послідовних поворотів спіралі в точках з постійним відстанню (рівним якщо и вимірюється в радіанах), звідси і назва «арифметична спіраль».

Дана спіраль була відкрита Архімедом. Це сталося в III ст. до н. е., коли він експериментував з компасом. Він тягнув стрілку компаса з постійною швидкістю, обертаючи сам компас за годинниковою стрілкою. Отримана крива була спіраллю, яка зсувалися на ту ж величину, на яку повертався компас, і між витками спіралі зберігалося одне і те ж відстань.

Рис. 1.3.7. а) Спіраль Архімеда

Спіраль Архімеда має дві сторони, одну для и > 0 і один для и < 0. Обидві плавно з'єднаний за походженням. Тільки одна показана на прикладеному графіку. Беручи дзеркальне відображення цієї рукоятки по осі Y дасть іншу сторону.

Для великих и точка рухається з добре апроксимується рівномірним прискоренням до архімедового вздовж спіралі, а спіралі відповідає місцях під час точки відходить від нерухомої точки з постійною швидкістю вздовж прямої, яка обертається з постійною кутовою швидкістю. [24]

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль - особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis - «дивовижна спіраль». Декарт шукав криву, що володіє властивістю, подібним властивості колу, так, щоб дотична в кожній точці утворювала з радіус-вектором в кожній точці один і той же кут. Він показав, що ця умова рівносильно тому, що полярні кути для точок кривої пропорційні логарифмам радіус-векторів.(рис. 1.3.7. б))

Рис. 1.3.7. б) Логарифмічна спіраль

Рівняння:

· в полярних координатах рівняння кривої може бути записано як або .

· в параметричній формі його може бути записано як

де a, b - дійсні числа.

Гіперболічна спіраль - плоска трансцендентна крива. Рівняння гіперболічної в полярній системі координат є зворотнім для рівняння спіралі Архімеда і записується як: (рис.1.3.7. в)

Рис. 1.3.7. в) Гіперболічна спіраль

Рівняння гіперболічної спіралі в декартових координатах:

Параметричний запис рівняння:

Спіраль Фібоначчі - це деяка крива, яка огинає точку свого центру, наближаючись або віддаляючись від неї, все залежить від напряму, обраного вами. Ці фігури можуть бути як двомірними, так і тривимірними, проте, якщо ми говоримо про Фібоначчі, як про ринкової моделі, то можна розглядати лише один варіант - двовимірний. (рис. 1.3.7. г)

Рис. 1.3.7. г) Спіраль Фібоначчі

Спіраль Фібоначчі, відрізняється від Золотої пропорції і має точку початку. Беручи початок в деякій точці, така фігура зазвичай розгортається нескінченно довго. Також він постійно збільшує точність. В деякій точці (коли майже досягнута =1,618) вже неможливо знайти різницю, яка простежувалася між двома спіралями. Розуміння цієї властивості Спіралі Фібоначчі і визначає її дивовижність. [24]

«Жезл» (Літуус) в математиці - плоска спіраль, у якої кут обернено - пропорційний до квадрату радіуса: . (рис. 1.3.7. д)

Рис. 1.3.7. д) Літуус

Рівняння в полярних координатах:

Спіраль Ферма (також відома як параболічна спіраль) - плоска трансцендентна крива, що визначається рівнянням: в полярних координатах. (рис. 1.3.7. е)



Рис. 1.3.7. е) Спіраль Ферма

Клотоїда або Спіраль Корню - крива, в якої кривизна змінюється лінійно як функція від довжини дуги: (рис. 1.3.7. є)

Рис. 1.3.7. є) Клотоїда

Вона використовується як перехідна дуга при будівництві доріг. Коли ділянка дороги має форму клотоїди, кермо повертається рівномірно. Така форма дороги дозволяє здійснювати поворот без суттєвого зниження швидкості. Клотоїда використовувалася Корню для полегшення обрахунку дифракції в прикладних задачах.

Евольвентою кола є спіралевидна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд: , , де t - кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a r - радіус кола (рис. 1.3.7. ж).

Рис. 1.3.7. ж) Евольвента кола

Задане коло з діаметром d, з центром в точці О. Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4. Проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка B², повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка B³, повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі. Точне розташування точок евольвенти отримаємо, відкладаючи по дотичних довжини відповідних дуг. Довжину дуги між точками 1 і 2 визначається за формулою: де d - діаметр кола; m - число частин, на яке розділено коло. Отримавши низку точок евольвенти сполучаємо їх плавною лінією. В даному випадку коло з діаметром d є еволютою до цієї евольвенти. [6]

8) Циклоїда (від грец. кхклпейдЮт - круглий) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки кола радіуса r, що котиться без ковзання по прямій. (рис. 1.3.7. з)

Першими з науковців звернули увагу на циклоїди Микола Кузанский в XV ст. і Шарль де Бовель (1479 - 1566) у праці 1501 року. Але серйозне дослідження цієї кривої почалося тільки в XVII ст.. Назва циклоїда придумав Галілей (у Франції цю криву спочатку називали рулеткою). Змістовне дослідження циклоїди провів сучасник Галілея Мерсенн. Нова крива швидко завоювала популярність і зазнала глибокого аналізу, в якому брали участь Декарта, Ферма, Ньютон, Лейбніц, брати Бернуллі та інші корифеї науки XVII - XVIII століть. На циклоїді активно опрацьовувалися методи з'явився в ті роки математичного аналізу. Той факт, що аналітичне дослідження циклоїди виявилося настільки ж успішним, як і аналіз алгебраїчних кривих, справив велике враження і став важливим аргументом на користь «рівняння в правах» алгебраїчних і трансцендентних кривих. [14]

Рис.1.3.7. з) Циклоїда

Рівняння:

· параметричне x = rt - r sin t, y = r - r cos t.

· в декартових координатах

· циклоїда може бути отримана як розв'язок диференціального рівняння

Циклоїдальні криві. Циклоїдальними називаються незамкнені плоскі криві, які описують точки кола, що котиться без ковзання по нерухомому колу або прямій.



1.4 Дослідження Гвинтової лінії

Гвинтова лінія - тип тривимірної спіралі. Типовими прикладами є форма різьби на гвинті, гвинтових сходів, пружини. Така ж форма зустрічається у природі, дуже відомі подвійна спіраль ДНК та спіралі (наприклад, альфа-спіраль) вторинної структури білків. Зазвичай гвинтова лінія поділяється на два типи, циліндрічну та конічну, хоча циліндрична гвинтова лінія може бути уявлена як окремий випадок конічної гвинтової лінії із нескінченно віддаленою вершиною.

В декартових координатах циліндрична гвинтова лінія визначається параметричною формулою:

Задача. Дано гвинтову лінію, задану рівнянням , . Дослідити дану криву на властивості.

Розв'язання.

1) Знайдемо довжину дуги кривої:

Знайдемо похідну першого порядку: , тепер знайдемо довжину вектора,

Отже,

2) Знайдемо кривину та скрут кривої:

Кривизна знаходиться за формулою , а скрут .

Шукаємо невідомі елементи:

,

,

,

Знайдемо довжину вектора

.

.

Отже, кривизна (2) та скрут .

З (2) і (3) бачимо, що кривизна і скрут гвинтової лінії не залежать від параметра t, тобто вони мають сталі значення в будь-якій точці кривої.

3) З попереднього випливає, що натуральне рівняння, яке визначає форму кривої, показує, що тільки у гвинтової лінії, кривизна (2) та скрут (3) постійні величини. До того ж іншої такої кривої не існує.

4) Розглянемо дотичні до гвинтової лінії. Рівняння дотичної має вигляд:

Нехай і , тоді рівняння гвинтової лінії матиме вигляд (4), а рівняння дотичної буде: . Візьмемо точку , тоді Рівняння (5) є дотичною до гвинтової лінії (4).

Знайдемо - кут нахилу дотичної до гвинтової лінії. , тобто дотичні до гвинтової лінії мають постійний кут нахилу.

5) Знайдемо еволюту до гвинтової лінії. Рівняння еволюти знайдемо таким чином: .

Шукаємо потрібні нам елементи:

Нехай , тоді (6). Рівняння (6) показує, що еволютою гвинтової лінії є гвинтова лінія.



Розділ 2. Застосування механічних кривих

2.1 Криві, які вивчаються в школі

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок F₁ і F₂. цієї площини є величина стала, більша за відстань між F₁ і F₂.(рис.2.1.1.)

Рис. 2.1.1. Еліпс

Елементи еліпса:

Фокуси - Точки F₁ і F₂ називають фокусами еліпса, а відстань між ними - фокусною відстанню, її позначають через 2c, отже, . Суму відстаней від будь-якої точки M еліпса до фокусів F₁ і F₂ позначимо 2a. Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок M, які задовольняють умові: [1]

Осі еліпса - Відрізок , що проходить через обидва фокуси F₁ і F₂., називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок, що перетинається з великою віссю в центрі еліпса O - відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

Директриса та ексцентриситет - Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса e < 1. Прямі, рівняння яких та називаються директрисами еліпса; відношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі a і b, відстань c фокуса від центру, ексцентриситет e. Залежність між ними виражається формулами: , . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі a і b, або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки F₁ і F₂ збігаються, то еліпс стає колом радіуса a. При цьому a=b, e=0. Отже, коло є окремим випадком еліпса. [16]

Рівняння еліпса:

· канонічне рівняння

· параметричне рівняння

· нормальне рівняння .

Гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює 2a (фокальна властивість гіперболи).(рис. 2.1.2.)

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням: , де - параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

Рис. 2.1.2. Гіпербола



Елементи гіперболи:

· число a, що зветься дійсною напіввіссю;

· число b, що зветься уявною напіввіссю;

· гіпербола симетрична щодо осей і початку координат. Так само як і у випадку еліпса, точка О є центром симетрії гіперболи, а прямі Ох і Оу - осями симетрії. Центр симетрії називається центром гіперболи.

·

· прямі є директриси

· директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює e.

Параболою називається геометричне місце точок, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки площини, званої фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, яка не проходить через фокус, що називається директрисою (рис. 2.1.3.). [7, 8]

Рис. 2.1.3. Парабола

Відстань від фокуса параболи до її директриси називається параметром параболи. Ексцентриситет параболи дорівнює одиниці.

Рівняння у = 2 рх є канонічним рівнянням параболи.

Квадратне рівняння y=ax²+bx+c при також являє собою параболу і графічно зображаєтся тією ж параболою, що і y=ax², але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці A, координати якої обчислюються за формулами:

Рівняння y=ax²+bx+c може бути представлено у вигляді , а у випадку переносу початку координат в точку A канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.

Властивості:

· Парабола - крива другого порядку.

· Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.

· Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.

· Для параболи фокус розміщений у точці (0,25; 0).

· Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.

· Парабола є антиподерою прямій.

· Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.

· При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.

· Еволютою параболи є напівкубічна парабола.

2.2 Побудова кривих за допомогою комп'ютерних програм

Один з найпростіших способів побудови графіків можливий в Microsoft Excel. У Microsoft Excel немає готових об'єктів для побудови кривих вищих порядків, але дана програма може будувати графіки функцій. Складання їх для кінцевого користувача складно і не завжди зрозуміло, а також для відображення замкнутих графіків (Равлик Паскаля та ін.) необхідно знати їх формули, задану у полярних координатах. Іноді побудовані графіки відображаються некоректно [22]. Також до недоліків відноситься можливість «зіпсувати» файл з побудованими графіками. (рис. 2.2.1)

Рис. 2.2.1 Вікно файла для побудови кривих 4-го порядку в Microsoft Excel

Алгоритм побудови графіка в Microsoft Excel:

· Відкрийте чистий аркуш в Excel або створіть новий проект.

· Створіть два стовпці. У першому необхідно записати аргумент. У другому буде функція.

· Впишіть в перший стовпець, тобто в стовпець X, такі значення X, які б вас влаштовували для розрахунку та побудови графіка функції. Потрібно вказати відрізок, на якому буде збудована функція.

· Наступного стовпець необхідно вписати формулу функції. Відповідно до цієї формули і буде побудований графік.

· Знак «=». З нього починаються всі формули в Excel. Не потрібно вписувати необхідну формулу в кожен рядок, так як це незручно. Розробники Excel передбачили все необхідне. Для появи формули в кожній комірці, необхідно розтягнути її. Для цього потрібно клацнути по комірці з формулою. Ви помітите маленький квадрат в правому нижньому кутку комірки. Наведіть курсор миші на квадрат так, щоб курсор змінився. Тепер затисніть праву кнопку миші і розтягніть формулу на стільки клітинок, на скільки вам потрібно. Це необхідно, щоб в Excel побудувати графік функції.

· Тепер можна переходити до безпосереднього побудови графіка. В Меню потрібно вибрати вкладку Вставлення. А у вставці вибираємо Діаграма.

· Виберіть будь-яку із запропонованих точкових діаграм. Натисніть Далі.

· Після виконаних дій з'явиться діалогове вікно, де необхідно натиснути кнопку Ряд. Додайте ряд за допомогою кнопки Додати.

· З'явиться наступне вікно, де необхідно задати шлях пошуку значень для побудови графіка.

· Для вибору потрібних осередків клацніть на зменшений малюнок таблиці Excel (після рядків значення). Тепер просто виберіть потрібні клітинки з таблиці.

· Тепер, після того, як всі значення задані, необхідно натиснути кнопку «Готово». Це потрібно, щоб у Excel побудувати графік функції.

Іншою не менш важливою є спеціалізована програма для математичних рішень - Mathcad. Mathcad - застосовується для виконання, документування та спільного використання обчислень та інженерних розрахунків. У цій програмі є можливість відображення кривих вищих порядків у різних системах координат. Зручний інтерфейс допомагає в побудові кривих. До недоліків можна віднести відсутність чіткої структури, багато можливостей при наборі формул. (рис. 2.2.2)



Рис. 2.2.2 Вікно програми Mathcad

Інструкція побудови кривої в Mathcad:

· Запустіть програму MathCad, щоб виконати побудову. Цей додаток підтримує різноманітні види функцій. Спочатку виконайте введення вирази, для якого необхідно зробити графічне відображення. В панелі математичних знаків клацніть по кнопці, на якій зображено графік. На екрані буде відображена палітра з прикладами графічних елементів.

· Клацніть в палітрі по кнопці з зображенням двовимірного графіка, в результаті з'явиться його шаблон. Введіть в поле введення шаблону ім'я незалежної змінної, яка розташована на осі Х, аналогічно введіть ім'я для розташування по осі Y. Клацніть лівою кнопкою миші поза межами малюнка. Необхідна побудова в MathCad завершено.

· Змініть масштаб на побудові. Якщо виділити його, то в куточках відобразяться цифри, що відображають його масштаб по осях Y і Х. Типово побудова графіка в Mathcad виробляється на відрізку зміни х від -10 до +10, а по осі Y масштаб встановлюється автоматично. Після завдання функції вкажіть діапазон зміни аргументу x. Для цього на рядку з формулою пропишіть x: = -30 ... 30.

· Змініть зовнішній вигляд графіка, для цього клацніть правою кнопкою миші по малюнку, виберіть опцію «Формат». У закладці «Осі» включите сітку, задайте кількість осередків. У закладці «Сліди» ви можете встановити форматування ліній, наприклад, задати її вид: пунктирна, суцільна, точки. Перейдіть в закладку «Мітки».

· Введіть у відповідних полях підписи осей і назва самого графіка. Після вибору всіх потрібних налаштувань ви можете зберегти їх для використання в подальшому. Для цього перейдіть в закладку «умовчання», встановіть прапорець у полі «Використовувати як умовчання». Щоб розмістити на одних осях два графіка, запишіть нижче першої функції другу, для цього клацніть по кнопці з буквою «Б», впишіть формулу і задайте діапазон, графік буде побудований на тих же осях. [23]

Одним з кращих є програмний продукт під назвою «Жива математика».

«Жива математика» - віртуальна математична лабораторія для навчальних досліджень при вивченні шкільного курсу алгебри, тригонометрії та математичного аналізу. «Жива математика» має прозорий і зрозумілий інтерфейс, що дозволяє створювати барвисті креслення, візуалізувати алгебраїчні операції. У цій програмі є набір готових графіків для розгляду їх поведінки від заданих параметрів, але всі досліди проводяться в середовищі програми і в ній не було знайдено способів виведення графіків в інші програми. (рис. 2.2.3).

Рис. 2.2.3 Конхоїхда Нікомеда в «Живій математиці»

Розглянемо побудову кривої в програмі «Жива математика» на прикладі. Побудуємо параболу задану квадратичним рівнянням y = ax² + bx + c.(рис. 2.2.4.)

Розмістимо на координатній площині параметри - коефіцієнти квадратного рівняння.

· Графіки ? Новий параметр ? Ввести Ім'я і Значення ? Готово.

· Побудуємо графік функції y = ax² + bx + c. Графіки ? Побудувати графік функції... ? відповідні параметри при введенні функції виділити ЛКМ.

· Змінимо значення коефіцієнтів подвійним клацанням ЛКМ або ПКМ виділити відповідний параметр ? Анімація параметра.

Варто також відзначити програму GeoGebra. * GeoGebra - програма, яка дає можливість робити креслення в планіметрії, зокрема, для різних побудов за допомогою циркуля і лінійки. Крім того, у програми багаті можливості роботи з функціями - побудова графіків, обчислення коренів, екстремумів, інтегралів і т. д., за рахунок команд, які дозволяє управляти і геометричними побудовами.

Можливості:

1) побудова кривих: побудова графіків функцій y = f (x). (рис. 2.2.4.) Побудова кривих, заданих параметрично в декартовій системі координат: x = f(t); y = g(t). Побудова конічних перерізів. Побудова геометричного місця точок, що залежать від положення деякої іншої точки, яка належить до якої-небудь кривої або фігури (інструмент Локус).

2) обчислення: дії з матрицями, обчислення з комплексними числами, знаходження точок перетину кривих, статистичні функції, апроксимація безлічі точок кривої заданого виду.

Рис. 2.2.4. Локон Аньєзі в програмі GeoGebra.

Розглянемо приклад побудови спіралі Фібоначі в GeoGebra (рис. 2.2.5.). Спіраль Фібоначчі можуть бути створені шляхом залучення дуг, що з'єднують протилежні кути квадратів розбиття Фібоначчі, який використовує квадрати розміром 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... :

Перший етап:

· Відкрийте нове вікно GeoGebra.

· Перейдіть на Перспективи - Геометрія.

· Імпортуйте свій інструмент Квадрат на Панель інструментів (меню Файл - Відкрити).

· Змініть настроювання позначень Нових об'єктів (меню Налаштування - Позначення).

Покрокова побудова:

1) Використовуйте інструмент Квадрат, щоб створити квадрат з довжиною сторони 1. (Підказка: помістіть дві точки у вузли решітки, які поруч один з одним.)

2) Створіть другий квадрат з довжиною сторони 1 нижче першого квадрата. (Підказка: використовувати існуючі точки, щоб з'єднати обидва квадрата)

3) Створіть третій квадрат з довжиною сторони 2 з правого боку двох менших квадратів.

4) Продовжуйте створювати квадрати з довжинами сторін 3, 5, 8 і 13 в напрямку проти годинникової стрілки.

5) Створіть кругову дугу в першому квадраті. (Підказка: визначте нижню праву вершину квадрата як центр дуги. Виберіть дві протилежні вершини квадрата в орієнтації проти годинникової стрілки)

6) Повторіть крок 5 для кожного з квадратів, щоб створити спіраль Фібоначчі.

7) Поліпшите свою конструкцію, використовуючи Налаштування стилю.



Рис. 2.2.5. Спіраль Фібоначі в в програмі GeoGebra.

2.3 Механічні криві в житті та науці

Механічна інтерпретація трактриси саме як «лінії потягу», тобто лінії, по якій змушена рухатися по горизонтальній поверхні якесь масивне тіло під дією сили натягу нитки постійної довжини, інший кінець якої рухається рівномірно уздовж деякої осі, в загальному випадку невірна. Така траєкторія може бути лише близькою до трактрисі при сухому терті і нескінченно малій швидкості точки. [10]

Перевернута ланцюгова лінія - ідеальна форма для арок. Однорідна арка у формі перевернутої ланцюгової лінії відчуває тільки деформації стиснення, але не вигину. На арці в Сент-Луїсі написана формула її ланцюгової лінії в метрах: . Горбатий міст має форму, близьку до ланцюгової лінії. Варто зауважити, що форма тросів підвісного мосту ближче до параболі, ніж до ланцюгової лінії. Це пов'язано з тим, що основне навантаження розподілена в прольоті моста, а не в тросах.

Квадратриса застосовується в геометрії: трисекція кута та задача про квадратури кола. Трисекция кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, з допомогою квадратриси проводиться елементарно.

Нехай EAB (рис. 2.3.1. а), б)) - деякий кут, третина якого треба побудувати. Алгоритм ділення наступний:

· Знаходимо точку F на квадратрисі і її ординату A'.

· Відкладаємо на відрізку AA' його третю частину; отримаємо деяку точку H.

· Знаходимо на квадратрисі точку K з ординатою H.

· Проводимо промінь AK. Кут KAB - шуканий.

Завдання квадратури кола ставиться так: побудувати квадрат з такою ж площею, як у заданого кола радіуса R?

Розв'язання: Алгебраїчно це означає рішення рівняння . Використовуючи перший чудову границю, отримуємо, що абсциса AG її нижньої точки дорівнює .

Виразимо це у вигляді пропорції: C:2R=2R:AG, де C - довжина кола.

а) б)

Рис. 2.3.1.

Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини C. Прямокутник зі сторонами R і C/2 буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат.

Лемініската використовується для проектування поворотів залізниць для того, щоб забезпечити плавність повороту. Також на подобі лемініскати створюються різні прикраси, мистецькі вироби.[2]

Трамплін-рампа авіаносця «Адмірал» флоту Радянського Союзу Кузнєцов утворений верзьерой Ан'єзі. Коли літак сходить з рампи, він знаходиться в ідеальному вугіллі атаки при швидкості 180-200 км/год (для Су-27). Теоретично, з рампи-трампліну може злетіти літак будь злітної маси.

Ідея спіралі відома людству понад 3 тис. років. Спіралі (від грец. speira - виток) - це криві, що закручуються навколо точки на площині (плоскі спіралі), наприклад, архімедового спіраль, гіперболічна спіраль, логарифмічна спіраль, або навколо осі (просторова спіраль), наприклад, гвинтова лінія. Але технічно втілити ідею в життя людство змогло лише до кінця XX ст. [24]. В даний час широкомасштабні дослідження в області спіральних компресорів ведуть всі фірми-виробники компресорів для холодильної промисловості. Спіральні компресори знайшли застосування у всіх основних системах повітряного кондиціонування, включаючи спліт- і мультиспліт моделі, підлогові версії і у чиллерах, руф-топах (кондиціонерах, що розташовуються під дахом) і теплових насосах. Типовим застосуванням є кондиціонування повітря в квартирах, на кораблях, фабриках і великих будинках, також на АТС, в процесах охолодження і на транспорті. Спіральні компресори холодильні широко використовуються в компресорно-конденсаторних агрегатах, в системах «виносного холоду» супермаркетів, у промисловому холоді і в транспортних установках, включаючи контейнери.

У природі форму спіралі Архімеда мають більшість раковин. Насіння соняшнику розташовані по спіралі. Спіраль можна побачити в кактусах, ананасах. Ураган закручується спіраллю. По спіралі розбігається стадо оленів. Подвійною спіраллю закручена молекула ДНК. (Уявімо собі циферблат годинника з довгою стрілкою. Стрілка рухається по колу циферблата. А по стрілці в цей час переміщується з постійною швидкістю маленький жучок. Траєкторія руху жучка являє собою спіраль Архімеда.)

По логарифмічній спіралі окреслені не тільки раковини. Один з найбільш поширених павуків, епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центру за логарифмічним спіралях. За логарифмічним спіралях закручені багато галактики, зокрема Галактика, якій належить сонячна система. Логарифмічні лінії в природі помічають не лише математики, але й художники. Геометричні мотиви нерідко присутні в картинах великих живописців. Геометричні схеми з більшою чи меншою очевидністю в самій композиції багатьох полотен. Їх можна назвати пірамідальними, круговими, діагональними, спіральними і т. п. залежно від тієї геометричної фігури, яка покладена в основу композиції. Художник при цьому часто діє інтуїтивно, а мистецтвознавець, досліджуючи композицію, виявляє її основу, приводячи картину до спрощеної геометричній схемою. [24] Прикладом використання спіралі Фібоначчі є, наприклад, форми раковини наутілуса. Властивості клотоїди знаходять застосування в будівництві автомагістралей і залізниць. Евольвента кола використовується в зубчастих механізмах.

...