Циклоїда має величезне практичне застосування не тільки в математиці (випробовували силу нових потужних математичних методів та прийомів дослідження кривих ліній (диференціальне та інтегральне числення), але і в технологічних розрахунках, у фізиці задача про брахістохрону призвела до винаходу варіаційного числення) [2]. Циклоїда так само знаходить собі застосування в техніці (в зубчастому зачепленні, при якому профілі зубів мають обриси циклоїдальних кривих) і теорії механізмів. (рис.2.3.2.)

Рис. 2.3.2. Застосування циклоїди

Висновки

В даній роботі ми з'ясували, що поштовхом у розвитку механічних кривих були три задачі древності, а саме задача про подвоєння куба, задача про трисекцію кута та задача про квадратуру кола. Кожна з цих задач не допускала розв'язання за допомогою циркуля і лінійки, і тому вчені створювали для цих задач нові інструменти і методи побудови [19]. Для цього використовувалися відмінні від прямої та кола криві, а також механічні пристрої. Таким чином, утворилися криві, які відрізнялись від «алгебраїчних», і мали назву «механічні».

Механічні криві - це криві, які визначали з допомогою деяких гіпотетичних механізмів.

У дослідженні розглянуто найбільш поширені механічні криві, зокрема циклоїда та циклоїдальні криві (епіциклоїда, гіпоциклоїда, трохоїда, астроїда), трактриса, квадратриса, лемініскати, різні види спіралей (гіперболічна спіраль, спіраль Архімеда, логарифмічна спіраль, клотоїда та інші), цисоїда Діоклеса, крива Вівіані, локон Аньєзі та багато інших [24]. Визначено їх властивості та наведено схему дослідження кривих на прикладі гвинтової лінії.

Встановлено 7 методів побудови механічних кривих:

1) Крива визначається як лінія перетину цієї поверхні площиною, положення якої визначено.

2) Крива визначається як геометричне місце точок, що володіють даними властивістю.

3) Крива визначається як траєкторія точки, характер руху якої зумовлена якимсь чинником (кінематичний спосіб).

4) Побудова ліній за способом спряження відповідних елементів.

5) Крива визначається заданням її диференціальних властивостей.

6) Крива визначається як лінія, яка отримана в результаті геометричних перетворень вже відомої кривої.

7) Крива задається відразу ж в аналітичній формі і являє собою графік якоїсь функції.

У даній роботі ми виділили найпоширеніші комп'ютерні програми за допомогою яких можна побудувати криві:

· Для способів побудови графіків використовують Microsoft Excel. В цій програмі немає готових об'єктів для побудови кривих вищих порядків, але дана програма може будувати графіки функцій.

· Спеціалізована програма для математичних рішень Mathcad - застосовується для виконання, документування та спільного використання обчислень та інженерних розрахунків. У цій програмі є можливість відображення кривих вищих порядків у різних системах координат.

· Програмний продукт під назвою «Жива математика» - віртуальна математична лабораторія для навчальних досліджень при вивченні шкільного курсу алгебри, тригонометрії та математичного аналізу.

· GeoGebra - програма, яка дає можливість робити креслення в планіметрії, зокрема, для різних побудов за допомогою циркуля і лінійки. Крім того, у програми багаті можливості роботи з функціями - побудова графіків, обчислення коренів, екстремумів, інтегралів і т. д., за рахунок команд, які дозволяє управляти і геометричними побудовами.

З'ясовано, що механічні криві широко застосовуються в фізиці (синусоїда), архітектурі (ланцюгова лінія, клотоїда), мистецтві (гіперболічна спіралі), машинобудуванні (гвинтова лінія), будуванні залізниць (конхоїда), їх також можна знайти в астрономії (логарифмічна спіраль), біології (різні види спіралей), механіці( трактриса, еліпс) та інших галузях суспільства.

Перспективу подальших досліджень механічних кривих вбачаємо у визначенні нових властивостей та сфер застосування, за допомогою ком'ютерного моделювання реальних процесів, які описуються досліджуваними кривими .

Література

1. Берже М. Геометрия / М. Берже. - М.: Мир, 1984. - 320 c.

2. Богданов В. Н. Справочное руководство по черчению / В. Н. Богданов, И. Ф. Малежик, А. П. Верхола. - М.: Машиностроение, 1989. - 864 с.

3. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ / О. А. Борисенко. - Харків: Основа, 1995. - 304 с.

4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 468 с.

5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский - М.: Астрель, 2006. - 640 c.

6. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1974. - 204 c.

7. Вирченко Н.А. Графики функций. Справочник. / Н.А. Вирченко, И.И. Ляшко, К.И. Швецов. - М.: Наука, 1979 г. - 298 c.

8. Казнер Едвард Математика і Уява / Едвард Казнер, Джеймс Ньюмен. - Лондон: Знання, 1980. - 520 с.

9. Исаак Ньютон. Математические работы / Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского - Л.: ОНТИ, 1937. - 452 с.

10. Линия: в 30 томах / Большая советская энциклопедия. Главн. ред. А. М. Прохоров. - М.: «Советская энциклопедия», 1969 - 1978. - Т.1: Линия. - 1978. - 568 с.

11. Люстерник Л. А. Найкоротші лінії. Варіаційні задачі / Л. А. Люстерник. - М.: Гостехиздат, 1955. - 126 c.

12. Маркушевич А. И. Замечательные кривые / А.И. Маркушевич. - М.: Гостехиздат, 1952. - 216 c.

13. Математическая энциклопедия: в 5 Т. / Большая советская энциклопедия. - М.: Советская Энциклопедия, 1982. - Т. 2.: Кривые. - 1982. - 624 c.

14. Математическая энциклопедия: в 3 томах / Главный редактор И.М. Виноградов - М.: «Советская энциклопедия», 1982. - Т. 3.: Геометрия - 1982. - 846 с.

15. Меркин Д. Р. Введення в механіку гнучкої нитки / Д. Р. Меркин. - М.: Наука, 1980. - 240 с.

16. Погорєлов О.В. Диференціальна геометрія / О.В. Погорєлов. - М.: Наука, 1974. - 184 с.

17. Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. - 1994. Вып. 35. c. 220 - 229.

18. Савелов А.А. Плоскі криві: Систематика, властивості, застосування / А.А. Савелов. - М.: Физматгиз, 2002. - 293 с.

19. Чистяков Ст. Д. Три знамениті завдання древності. / Ст. Д. Чистяков. - М.: Держ. навч.-пед. вид-во Міністерства освіти РРФСР, - 1963. - 203 c.

20. Щетников А. І. Як були знайдені деякі рішення трьох класичних завдань древності? / Математична освіта. - 2008. - № 4 (48). - с. 3-15.

21. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352 с.

22. Farin, G., 2006. Class A Bйzier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573-581 .

23. Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 , 601-606.

24. Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 - 206.

25. Lockwood E. H. A book of curves. - Cambridge: Cambridge university press, 1961. - P. 110-117.

26. Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 , 896-905 .

Додатки

Додаток 1. Властивості основних механічних кривих

Размещено на Allbest.ru