Плоские многослойные кулоновские структуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ КРИОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

Плоские многослойные кулоновские структуры

И.И. Смульский

Тюмень 2015

Реферат

В работе сформулирована задача о вращающейся плоской многослойной структуре с кулоновским взаимодействием. Доказано отсутствие ее решений. На основе этой задачи разработан метод создания плоских структур с дифференциальным вращением слоев. Получен ряд структур, и численными методами, с помощью системы Galactica, исследована их динамика и устойчивость. Плоские структуры являются неустойчивыми. Намечены пути повышения устойчивости многослойных структур и создание таких, которые могли бы являться моделями атомов. Работа представляет интерес для специалистов в области механики микромира и может использоваться студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

Ключевые слова: кулоновские взаимодействия n-частиц, точные решения, многослойные структуры, численное интегрирование, динамика, устойчивость, модели атомов

Abstract

The author formulates the problem of a rotating planar multilayer structure with Coulomb interaction. The absence of its solutions is proven. Based on this problem the method of constructing planar structures with differential rotation of the layers is developed. A number of structures are received and their dynamics and stability are studied by numerical methods with assistance of the system Galactica. The planar structures are unstable. Identified ways to improve the stability of multilayer structures and constructing such, which could be models of atoms. The paper is of interest for specialists in the field of mechanics of microcosm and can be used by students when doing term papers and dissertations.

Key Words: Coulomb interaction of n-particles, the exact solution, multilayer structures, numerical integration, dynamics, stability, models of atoms

Аннотация

Для познания электронной оболочки атома необходимо выяснить движение электронов в ней. В работе рассмотрены движения в плоской модели атома. Решены задачи, которые позволяют задать координаты и скорости плоских многослойных кулоновских структур. Создана программа, с помощью которой получен ряд структур и подготовлены файлы начальных условий для системы Galactica. С ее помощью исследована динамика и устойчивость плоских многослойных структур. Они являются неустойчивыми. Намечены пути по созданию устойчивых моделей атома.

Введение

В современной физике кулоновское взаимодействие рассматривается на основе задачи двух тел. А поведение ансамблей частиц и их свойств в квантовой механике изучают в результате статистической обработки двухчастичных взаимодействий. Наряду с таким квантомеханическим рассмотрением микромира для объяснения ряда его явлений исследователи продолжают применять классическую механику. А.Д. Власов [1] в своих исследованиях пришел к выводу о справедливости законов классической электродинамики внутри атома и о несостоятельности вероятностной интерпретации внутриатомных явлений. Ф.М. Канарев [2]-[3] на основе классической физики объясняет спектры излучения атомов. М. Грызинский на протяжении нескольких десятилетий последовательно рассматривает явления микромира, основываясь на кулоновском механизме взаимодействия. Например, явления дифракции он объясняет прецессией спина электрона [4]. На основе бинарных кулоновских взаимодействий М. Грызинский рассматривает одинарную и двойную ионизацию, излучение одной или триплетной линий, дифракцию частиц при их рассеянии на атомах и молекулах [5]. Он показал, что учет воздействия электронной оболочки атома объясняет эффект К. Рамзауэра о слабом рассеянии электронов при малых их энергиях [6]-[7]. На основании классической механики М. Грызинский получил уравнения для определения абсолютной энергии торможения частиц произвольной средой во всем нерелятивистском спектре энергий [8].

Перечисленные результаты получены вышеупомянутыми исследователями аналитическими методами. Однако, все эти задачи сложны, и даже при высоком математическом уровне исследователя только отдельные задачи взаимодействия многих частиц могут быть решены. Поэтому использование высокоточных численных методов решения задач кулоновского взаимодействия открывает перспективу детерминированного познания микромира.

Для решения задач гравитационного а также кулоновского взаимодействий N частиц была создана система Galactica [9] - [11]. Она имеется в свободном доступе [12]- [13]. С помощью системы Galactica была рассмотрена [10]-[11] динамика и эволюция осесимметричной структуры [14], в центре которой находится положительно заряженная частица, вокруг которой по окружности равномерно расположены отрицательно заряженные частицы.

Известно, что в атомах электроны расположены на разных оболочках или слоях. Поэтому представляет интерес создание многослойных структур. Оказалось [15], что в случае гравитационного взаимодействия существует точное решение структуры из N2 слоев и N3 частиц в каждом слое, которая вращается как единое целое. Здесь N2 и N3 - любые целые числа. Представляет интерес решения аналогичной задачи для кулоновского взаимодействия.

Задачи, имеющие точное решение, позволяют определить положения и скорости частиц в начальный момент времени, т.е. рассчитать начальные условия (НУ). НУ необходимы для численного решения задачи N-частиц. В дальнейшем, в результате модификации таких НУ, можно получать НУ для любой конфигурации взаимодействующих частиц, а затем с помощью численного решения изучать их динамику и эволюцию.

1. Формулировка проблемы

Рис. 1. Геометрические характеристики осесимметричной многослойной кулоновской структуры с параметрами: N2 = 5; N3 = 8; углы j,1 первых тел на соседних кольцах чередуются

В продолжение подхода, использованного в работах [14] - [16], в плоскости xoyo рассматривается осесимметричная многослойная кулоновская структура (см. рис. 1). Она состоит из N2 слоев, на каждой из которых расположено N3 частиц. Совокупность частиц, центры которых расположены на одной окружности, будем называть слоем частиц. Номера слоев j = 1, 2 … N2 отсчитываются от центра, а номера частиц на каждом слое l = 1, 2 … N3 отсчитываются от оси xo (рис. 1). В плоскости xoyo обозначим rj,l и j,l - полярные радиус и угол частица с электрическим зарядом qj,l. С целью упрощения в дальнейшем символом qj,l будем также обозначать и саму частицу. Все частицы одного слоя имеют одинаковый радиус rj,l = rj. Масса и заряд всех частиц, за исключением центральной, равен массе и заряду электрона: mj,l = me и qj,l = -e, соответственно, где e - модуль заряда электрона. Угол первой частицы на каждом кольце j,1 определяет вид структуры. В дальнейшем он будет задаваться. А углы остальных частиц кольца определяются по формуле

j,l = j,1 + (l - 1)0 (1)

многослойный кулоновский структура частица

где 0 = 2/N3 - угол между частицами на кольце.

Итак, геометрия осесимметричной многослойной структуры определяется количеством колец N2, количеством частиц на каждом кольце N3, радиусами колец rj и углами положения первых частиц j,1. Суммарный электрический заряд частиц на всех слоях Z = -Zn•e, где зарядовый номер Zn всей структуры равен

Zn = N2 N3 (2)

Заряд центральной частицы q0 = Zn•e, поэтому рассматриваемая структура является электрически нейтральной. Вся структура вращается с угловой скоростью . Тогда период вращающейся структуры Prd = 2?/?. При задании параметров многослойной структуры: N2, N3, j,1, Prd неизвестными являются радиусы слоев rj.

2. Силы взаимодействия частиц

Рассмотрим силы воздействия всех частиц на первую частицу qj,1 на слое j (см. рис. 1). С частицей qj,1 связываем траекторную систему координат (n,), где n - нормаль к траектории, а - касательная к ней. Сила Fj,1,i,l электростатического воздействия частицы qi,l, находящейся на кольце i, на частицу qj,1 определяется законом Кулона и в векторном виде запишется так:

(3)

где ?d - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся частицы; rj,1,i,l = ri,l - rj,1 - расстояние частицы qi,l от частица qj,1. С учетом величин зарядов qj,1 и qi,l проекции силы Fj,1,i,l на оси и запишутся так:

(4)

(5)

где nj,1,i,l и j,1,i,l - проекции расстояния rj,1,i,l на оси координат n и , соответственно.

В треугольнике Oqi,lqj,1 (рис. 1) угол между радиусами частиц ri,l и rj,1 будет

j,1,i,l = i,l - j,1 (6)

а расстояние между ними согласно теореме косинусов запишется так:

rj,1,i,l2 = rj 2 + ri 2 - 2rirjcos j,1,i,l (7)

Тогда проекции этого расстояния на оси n и будут

nj,1,i,l = -(ri cos j,1,i,l - rj); j,1,i,l = ri sin j,1,i,l (8)

Кроме периферийных частиц на частицу qj действует еще центральная частица с зарядом q0, которая находится в т. О (см. рис. 1). Проекция этой силы на ось равна нулю, а ее проекция на ось n запишется аналогично выражению (4):

,

где согласно (8) при ri =0 для центральной частицы nj = rj.

После подстановки (7) и (8) в выражения (4) и (5) и после суммирования сил по всем частицам структуры получаем выражения для проекций сил воздействия на частицу qj,1 всех остальных частиц:

(9)

(10)

где ri,,j = ri/rj - отношение радиусов слоев i и j.

Чтобы исключить из рассмотрения силу воздействия частицы qj,1 на себя, в выражениях (9) и (10) воздействие остальных частиц j-того слоя извлечено из общего выражения и записано последним слагаемым. Оно легко получается при замене i на j в предыдущем слагаемом. В пределах суммирования исключение j-того слоя обозначено как i j.

Будем рассматривать такие конфигурации вращающихся структур, для которых выражения для силы (9) и (10) будут давать одну и ту же величину для каждой частицы j-го слоя. Это возможно только в том случае, если при прохождении оси n через любую частицу слоя j геометрические положения воздействующих частиц относительно нее не изменится. Последнее условие будет выполняться, если начальный угол частиц на кольцах будет принимать значение j,1 = 0 либо j,1 = 0.50. На рис. 1 представлен вид структуры, где значения начального угла j,1 последовательно чередуются на соседних кольцах. Вышеуказанному условию удовлетворяют также структуры с произвольным порядком чередования начального угла j,1.

Следует отметить, что вышеприведенные условия определяют использованный в работе термин «осесимметричный». Структура является осесимметричной, если ее геометрические и динамические характеристики не изменяются при повороте на угол равный 0.

Для рассмотренных конфигураций нормаль n является осью симметрии (см. рис. 1). Поэтому углы отклонения j,1,i,l воздействующих частиц от оси n имеют, согласно (6), попарно одинаковые по величине и обратные по знаку значения. Следовательно, в выражениях (10) синусы в числителях также попарно одинаковы по величине и обратные по знаку. Так как косинусы этих углов в знаменателях одинаковы, то касательные силы равны нулю. При четном количестве частиц N3 еще одно частица будет находиться на оси n симметрично относительно центра O. Так как угол j,1,i,l этой частицы равен ?, то сила ее воздействия в (10) также равна нулю. Итак, проекции всех сил на касательную ось равны нулю, т.е. . Поэтому сила воздействия всех частиц осесимметричной многослойной структуры на любую частицу на слое с номером j направлена по нормали n к траектории, т.е. к центру O, и определяется выражением (9).

Для кольца j разность углов, согласно (1) будет

j,1,j,l = j,l - j,1 = 2(l - 1)/N3 (11)

Тогда выражение в знаменателе последнего слагаемого формулы (9) запишется

2[1 - cos(2(l - 1)/N3)] = 4sin2((l - 1)/N3).

После подстановки этого выражения в (9) направленная к центру O (см. рис. 1) сила воздействия всех частиц на любую частицу на кольце j будет

(12)

где

(13)

3. Уравнения движения вращающейся структуры

При воздействии с силой (12) на частицу qj,1 с массой me (рис. 1) она будет совершать ускоренное движение. В траекторной системе координат (n, ) сила воздействия (12) имеется только вдоль одной оси n, по которой направлено нормальное ускорение wn = v2/, где v - тангенциальная скорость движения частица qj,1, а - радиус кривизны ее траектории. Поэтому дифференциальное уравнение ее движения запишется так

. (14)

Мы рассматриваем вращающуюся структуру с угловой скоростью и с неизменными радиусами траектории. Поэтому для частицы qj,1 радиус кривизны траектории = rj, а скорость v = rj. После подстановки этих величин и силы (12) в дифференциальное уравнение движения (14) частицы qj,1 получаем следующее выражение для угловой скорости:

(15)

где j = 1, 2, N2.

Итак, движение частиц вращающейся структуры описывается N2 уравнениями (15). Это алгебраическая система уравнений. Как отмечалось ранее, неизвестными являются радиусы слоев rj. В отношении них система уравнений (15) является нелинейной. Перепишем ее в следующем виде:

, j = 1, 2, N2 (16)

Где

(17)

Prd - период вращающейся структуры.

4. Решение уравнений для однослойной структуры

Система N2 нелинейных уравнений (16) для радиусов слоев rj является неявной, так как в правые части входят радиусы rj. Если структура состоит из одного слоя N2 = 1, то согласно (2) Zn = N3, и из (16) получаем выражение для радиуса слоя

(18)

Итак, для однослойной структуры, вращающейся с периодом Prd, уравнения (16) дают решения (18) для радиуса слоя в явном виде. Радиус слоя r10 зависит от функции

f2 = N3 - fn3 (19)

Согласно (12) для однослойной структуры (N2 = 1) сила воздействия всех частиц на периферийную частицу будет:

.

Таким образом, от функции f2 зависит сила воздействия на периферийную частицу и радиус слоя (18). На рис. 2 видно, что функция f2 имеет положительные значения до N3max = 472. А максимальное значение f2max = 27.651464 при N3opt = 174. Таким образом, однослойная осесимметричная структура из положительно заряженного ядра и равномерно расположенных по окружности электронов может существовать при их числе N3 ? 472. При большем числе электронов силы отталкивания между электронами превышают силу их притяжения к ядру. Наиболее оптимальное соотношение между силами притяжения и отталкивания при количестве электронов N3 = 174. В этом случае, например, сила воздействия ядра на периферийную частицу в 15.8 раз больше, чем в случае слоя из двух частиц при одинаковых радиусах слоев.

Рис. 2. Зависимость функции f2 от количества частиц N3 в слое.

Рассмотренные свойства однослойной структуры справедливы в статике. В процессе ее вращательного движения небольшие возмущения приводят к смещению частиц от их осесимметричного расположения [10]-[11], которые нарастают, и структура разрушается после нескольких оборотов. Поэтому такие плоские структуры даже с двумя периферийными электронами являются неустойчивыми [10]-[11].

Представленные на рис. 2 свойства функции f2 показывают, что в кулоновских нейтральных структурах с центральным положительным ядром при определенном количестве электронов сила отталкивания между ними начинает превышать силу притяжения к ядру. По-видимому, это является причиной того, что существует предел в количестве электронов в таких структурах, как атомы. Например, в одном из последних элементов, менделевии, с зарядовым числом Z = 101 количество электронов равно 101. В плоской осесимметричной структуре с одним слоем, как отмечено выше, предельное число электронов - 474, т.е. в 4.7 раза больше. Однако, такие структуры неустойчивы и существовать не могут. По-видимому, устойчивая конфигурация должна быть многослойной.

5. Метод решения уравнений для многослойных вращающихся структур

Перепишем систему уравнений (16) в следующем виде:

(20)

где

(21)

(22)

aj,j = fn3 (23)

Как уже отмечалось, точные значения радиусов слоев структуры определяются нелинейной системой уравнений (20), в которых коэффициенты aj,i описаны выражением (21) при j ? i, а для случая j = i - выражением (23). Далее рассмотрим способ решения этой системы.

В случае двухслойной структуры из уравнения (20) для радиуса второго слоя r2 следует, что он будет зависеть от радиуса r1 первого слоя. Поэтому, если радиус r1 определить по радиусу r10 однослойной структуры, то можно приближенно рассчитать и радиус r2 второго слоя. Из анализа сил взаимодействия между частицами установлено [15]-[17], что воздействие частиц внешних слоев на частицы внутренних слоев почти взаимно уравновешивается. Поэтому определение радиусов r1 и r2 рассмотренным выше образом даст результаты с небольшими отличиями от точных решений уравнений (20). Эти рассуждения применимы для трехслойной, четырехслойной и т.д. структур. Таким образом, в первом приближении можно определить радиусы rj1 структуры с любым количеством слоев. Затем rj1 могут быть уточнены в результате итерационного процесса.

Запишем алгоритм рассмотренного способа решения. В первом приближении радиусы слоев последовательно определяются по формулам для структур с увеличивающимся количеством слоев

(24)

Затем с помощью уравнений (20) определяются последующие приближения: rj2, rj3, … rjk. После каждой итерации рассчитываются невязки по уравнениям

Vjk = (rjk - rjk-1)/R0 (25)

и суммарная невязка

(26)

После достижения условия

VSK ? EPS (27)

где EPS - заданная погрешность, итерационный процесс заканчивается.

Этот алгоритм реализован в программе RtStClb.for на языке FORTRAN. В файле RtStClb.dat задаются входные параметры структуры, в том числе N2, N3, ?j,1, Prd, EPS. Следует отметить, что в программе не используются индексы в наименовании переменных, т.е. вместо Prd используется Prd. После работы исполняемого модуля программы RtStClb.exe создается несколько файлов с результатами, в том числе файл со всеми кинетическими параметрами структуры. Этот файл содержит исходные данные и начальные условия для модуля кулоновского взаимодействия системы Galactica [12]- [13]. Система Galactica позволяет рассчитать динамику структуры и исследовать ее эволюцию.

6. Исследования по созданию многослойных вращающихся кулоновских структур

С помощью программы RtStClb.exe были выполнены исследования по созданию вращающихся структур при вариации параметров N2, N3, ?j,1 и Prd при погрешности EPS = 10-12. С целью проверки алгоритма была рассчитана однослойная структура с параметрами атома кислорода [10]-[11] при N2 = 1 и N3 = 8. Кинематические параметры ее совпали с аналогичной структурой, но рассчитанной другим способом [10]-[11].

В процессе исследований были получены решения уравнений (20) для двухслойных структур N2 = 2 с числом тел N3 = 2, 3, 4, 5, 6. При этом для структуры с N3 = 2 решения получены с тремя разными периодами Prd вращения: 0.1; 0.5; 5 в единицах времени UnT = 10-15 сек. Углы первых частиц на слоях чередовались ?j,1 = 0 и ?j,1 = 0.5•??0. Решений для структур с большим числом слоев не было получено.

Во всех решениях для двухслойных структур радиусы первого и второго слоя оказались равными. Таким образом, по существу эти решения дали однослойные структуры с количеством частиц в слое 2·N3.

Для гравитационного взаимодействия многослойные вращающиеся структуры существуют при любых значениях N2 и N3 [16]. А для кулоновского - вращающаяся структура может быть только однослойной. Этот вывод следует из вышеприведенных численных исследований. Однако численные исследования не могут охватывать все возможные ситуации. Поэтому рассмотрим эту задачу приближенно, но аналитически. Как уже упоминалось, воздействие частиц, расположенных на внешних слоях, на частицу на внутреннем слое почти уравновешивается [15]-[17]. Поэтому пренебрегаем их воздействием, а воздействие частиц на внутренних слоях рассматриваем также приближенно. Будем считать, что на частицу q1,j, находящуюся на j-том слое, воздействует частицы j-того слоя и новое ядро, заряд которого уменьшен на суммарный заряд электронов внутренних слоев

Zj = [Zn - (j-1) N3]e. (28)

Тогда после замены в (15) Zn·e на Zj и в пренебрежении слагаемым воздействия других слоев угловую скорость вращения j-того слоя получаем в следующем виде:

(29)

где использовано выражение для зарядового номера структуры Zn = N2 N3.

Угловая скорость вращения первого слоя j = 1, согласно (29), запишется

(30)

Разделив (29) на (30), угловую скорость для j-того слоя (29) запишем в относительных единицах:

(31)

где ; - угловая скорость и радиус j-того слоя, отнесенные к соответствующим величинам первого слоя;

(32)



Рис. 3. Изменение функции f3(j) для разных слоев j в зависимости от количества частиц N3 в слое для четырехслойной структуры (a) и восьмислойной (b)

Чем больше номер j слоя, тем больше его радиус rj. Тогда при постоянной функции f3(j) = 1 из выражения (31) следует, что угловые скорости слоев с удалением их от центра будут уменьшаться. Например, при = 1, 2, 3 квадраты угловых скоростей будут = 1, 1/8, 1/27. На рис. 3 представлено изменение функции f3(j) при разных N2 и N3. Во-первых, функция f3(j)<1, а во-вторых, она уменьшается с увеличением номера слоя j. Таким образом, функция f3(j) будет приводить к еще более сильному падению угловых скоростей наружных слоев.

Итак, в многослойной структуре угловая скорость слоев уменьшается с удалением слоя от центра. Поэтому она не может быть одинаковой для всех слоев, в связи с чем, невозможно создать структуру с одинаковой скоростью вращения слоев.

7. Многослойные структуры с дифференциальным вращением слоев

В связи с невозможностью создания многослойной кулоновской структуры, вращающейся как единое целое, рассмотрим структуры с разными угловыми скоростями слоев. Пусть они в начальный момент времени имеют осесимметричную конфигурацию. Поэтому для них справедлива геометрия, представленная на рис. 1, и полученные уравнения (15) и (20) для угловой скорости и радиуса слоя. Однако вращение слоев происходит с разными угловыми скоростями ?j, поэтому в дальнейшем осесимметричная форма структуры нарушается. Таким образом, полученные выражения позволяют определить координаты и скорости многослойной структуры в начальный момент времени. Эти параметры будут являться начальными условиями для исследования динамики и эволюции многослойной структуры в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения составляющих ее частиц. Как уже упоминалось, для этих целей создан модуль кулоновского взаимодействия системы Galactica [13].

Запишем основные выражения для расчета многослойных структур с дифференциальным вращением слоев. В этом случае периоды Prdj и угловные скорости ?j слоев будут разными. Параметр R0, согласно выражению (17), также зависит от Prdj. С учетом этого, выразим из (20) период вращения

(33)

Выражение (33) позволяет определить периоды обращения слоев многослойной структуры, если известны их радиусы. Для решения конкретных задач нахождение радиусов rj представляет определенную сложность. С целью ее преодоления задается начальный период вращения первого кольца Prdi и по нему согласно (17) определяется параметр R0

(34)

Если выразить Prdi из (34) и выражение (33) отнести к Prdi, то получим уравнение для периодов слоев в безразмерных величинах

(35)

где ; - безразмерные период вращения слоя j и его радиус, соответственно.

Выражениями (35) определяются периоды вращения слоев, безразмерные радиусы которых могут быть заданы в единицах R0. В рассмотренном далее алгоритме радиус первого кольца рассчитывается по (20) в пренебрежении воздействием наружных колец:

(36)

А радиусы остальных колец rj могут быть заданы по любому алгоритму на основании r1.

Координаты частиц структуры в начальный момент времени определяются радиусами rj и углами положения частиц ?j,l, а их скорости - периодами Prdj вращения слоев [10]-[11]. Из выражения (35) для периодов видно, что при определенных коэффициентах aji знаменатель может быть отрицательным, поэтому величина периода Prdj будет мнимой, т.е. структура с такими параметрами не может быть создана. Как отмечалось ранее, эта ситуация обусловлена тем, что на каком-то слое сила отталкивания электронов превышает силу их притяжения к ядру. Из выражений (21) - (22) для параметра aji видно, что он зависит от соотношения радиусов rij = ri/rj, разности углов ??j,1,i,l, числа колец N2 и числа частиц N3 на них. Поэтому поиск структур, которые в знаменателе (35) не давали бы отрицательных значений, представляет не простую проблему.

Для выполнения расчетов и создания файлов начальных условий разработана программа RtStClb2.for на языке FORTRAN. В файле RtStClb2.dat задаются параметры структуры, в том числе: N2, N3, ?j,1, Prdi и необходимые константы, например, массы электрона, протона и нейтрона. После работы исполняемого модуля RtStClb2.exe создается несколько файлов с результатами, в том числе файл с начальными условиями для системы Galactica. В Приложении представлено описание программы RtStClb2.for и ее работы, содержание файла исходных данных RtStClb2.dat и текст программы.

С помощью программы RtStClb2.exe были выполнены исследования по созданию структур, в которых ядро состояло из одинакового количества нейтронов и протонов. По мере освоения программы было проведено несколько серий исследований. Первоначально безразмерные радиусы задавались по линейному закону:

(37)

где kr = 1. А исходный период был Prdi = 3.29471·10-17 сек.

В этих структурах период вращения слоев определялся без учета воздействия наружных слоев, т.е. он рассчитывался по формуле:

(38)

в которой суммирование идет от 1 до номера слоя j, а не до номера последнего слоям N2, как в формуле (33).

Были получены структуры с тремя конфигурациями: одна структура с N2 = 2 и N3 = 8 при ?j,1 = 0; две структуры с чередованием ?j,1: трехслойная с N3 = 8 и четырехслойная с N3 = 6. Кроме того, последняя структура (N2 = 4 и N3 = 6) была создана при других радиусах слоев: kr = 1.5 и 2, а также при других исходных периодах Prdi = 1·10-15 сек и 1·10-17 сек. Таким образом, у рассмотренных трех конфигураций структур радиусы и периоды могут изменяться в широких пределах.

В последующих сериях периоды вращения слоев рассчитывались по формуле (33). Кроме вышеупомянутых структур были получены двухслойные структуры с числом частиц до N3 = 100 при j,l = 0 и с чередованием j,l = 0 и ?j,1 = 0.5•??0. В последующем эти структуры были получены и для первого случая.

В третьей серии исследований радиус структур задавался в дополнительном файле RtNcJR01.dat, который подключался к файлу исходных данных RtStClb2.dat. В этом случае структуры были получены следующим образом. Если при каких-либо параметрах структура не создавалась, то после исполнения программы RtStClb2.exe появлялось сообщение об отрицательном знаменателе в выражении (33) для какого-либо слоя j. Для этого слоя радиус rj изменялся, как правило, увеличивался. Затем номера слоев j и радиусы rj задавались в файле RtNcJR01.dat. Таким образом, были получены двухслойные структуры с числом частиц N2 > 100, например, N2 = 150, и четырехслойная структура с N2 = 4 и N3 = 8.

При исследовании вращающихся структур с гравитационным взаимодействием [16] были получены структуры, в которых соседние слои имели одинаковые радиусы. В случае кулоновского взаимодействия рассмотренным выше образом была создана такая структура с N2 = 5 и N3 = 8. В ней попарно одинаковые радиусы были у 2-го и 3-го , 4-го и 5-го колец. Углы j,1 у колец с одинаковыми радиусами были разные. Поэтому эти сдвоенные кольца образовывали слои с удвоенным числом частиц. Таким образом, рассматриваемая структура имела три слоя, из которых первый имел 8 частиц, а остальные по 16. Следует отметить, что изображения ряда из этих структур будут ниже представлены.

8. Динамика четырехслойной структуры

Была исследована динамика четырехслойной структуры с N3 = 6; kr = 1, Prdi = 3.29471·10-17 сек (см. рис. 4). На каждом слое осесимметрично расположено 6 электронов. Общий заряд всех электронов qSe = -24·e, где e - модуль заряда электрона. Центральная частица 0 состоит из 24 нейтронов и 24 протонов, т.е. вся структура электрически нейтральна. Относительные радиусы слоев и периоды приведены в табл. 1. Как уже отмечалось, здесь исследуется структура, периоды вращения слоев в которой рассчитывались по формуле (38). Для сравнения в табл. 1 даны периоды , рассчитанные по формуле (33). Как видно, учет воздействия наружных слоев приводит к уменьшению периода вращения у внутренних слоев, и тем больше, чем ближе слой находится к центру.

Таблица 1. Рассчитанные радиусы слоев и периоды их обращения четырехслойной структуры при R0 = 1.90959·10-11 м и Prdi = 3.29471·10-17 сек, а также относительные радиусы слоев rj/Am при исследовании динамики структуры программой Galactica

№ слоя, j		, (38)	, (33)	rj/Am, Galactica
				T = 0	T = 0.2245
1	2.809	1	0.988	3.77	3.8
2	5.619	3.434	3.310	7.55	8.16
3	8.428	8.513	8.433	11.32	11.60
4	11.237	35.037	35.037	15.1	30.17

Динамика структуры исследовалась в результате решения дифференциальных уравнений движения ее частиц с помощью системы Galactica. На рис. 4 показана несколько модифицированная выдача программы Galactica на экране монитора результатов этой задачи после первого шага с ?T = 1·10-10. Линиями у периферийных частиц представлены их вектора скорости, а числами даны: время T = 1·10-10; наибольшая масса m0max = 0.99972…; модуль наибольшей скорости vmax = 719.8…; исполненный шаг счета ?Tp = 1·10-10; проекции количества движения структуры: Px, Py, Pz; проекции момента количества движения структуры: Mx, My, Mz. Описание остальных параметров представлено в [9] и [13]. Последними двумя числами даны величина заданного шага счета ?T = 1·10-7 и относительное изменение z-составляющей суммарного момента количества движения ?Mz = 0, где ?Mz = (Mz-Mz1)/Mz1; Mz1 - момент количества движения на первом шаге счета. Задача решается в безразмерных параметрах: масса частиц отнесена к массе всей структуры mSS, время к единице времени UnT = 1·10-15 сек, длина к Am = 1.421·10-11 м, а заряд частиц - к e.

Рис. 4. Вид четырехслойной структуры на экране дисплея при решении задачи о ее движении с помощью системы Galactica: 0 - центральная частица; 1- 2 -частицы первого слоя; 7 - 8 -частицы второго слоя; 13 - 14 - частицы третьего слоя; 19, 20 и 24 -частицы четвертого слоя. Числами дана характеристика динамики и вычислительного процесса структуры [13] в момент T = 1·10-10

В процессе решения задачи по экрану дисплея можно наблюдать за развитием структуры. Как и следует из табл. 1, слои вращаются с разными скоростями: внутренний слой быстрее, а наружные - медленнее. До 7 оборотов внутреннего слоя (T ? 0.215) видимых изменений структуры, за исключением увеличения размера наружного слоя, не наблюдается. На восьмом обороте начинаются заметные изменения в структуре (рис. 5). Внутреннее кольцо распадается на три пары частиц, которые имеют разные расстояния от центральной частицы. Кроме того, радиус орбиты четвертого, наружного, слоя, увеличился вдвое (табл. 1), а радиусы остальных слоев практически не изменились. При T = 0.306 одна из частиц приближается к центру, достигает скорости 4.268·106 и выбрасывается из структуры. Этот момент можно считать концом ее жизни.

Рис. 5. Начало разрушения четырехслойной структуры при T = 0.2245. Обозначение см. на рис. 4



Рис. 6. Траектории в экваториальной плоскости до момента T = 0.306; 0 центральная частица; 1 - первая частица первого слоя; 11 - предпоследняя частица 2-ого слоя; точками отмечены положения частиц при T = 0; 11u - уточненный расчет с момента T = 0.3048999 до T = 0.3096261

На рис. 6 показаны проекции траекторий на плоскость xy, которая повернута относительно оси x0 на угол ? = 0.4010. С целью контроля точности вычислений плоское движение частиц многослойной структуры в программе Galactica рассматривается в трехмерной системе координат xyz. Величина угла ? взята равной наклону плоскости экватора Земли к плоскости ее орбиты. Поэтому она названа экваториальной. На рис. 6 показаны траектории центральной частицы 0, частицы 1 первого слоя и частицы 11 второго слоя. Движение центральной частицы 0 за время T = 0.306 происходит в области размером порядка 3·10-4, т.е. достаточно малой по сравнению с диаметром структуры, равного порядка 90 безразмерных единиц. Частица 1 первого слоя из начального состояния, отмеченного точкой на рис. 6, совершает 7 обращений по траектории, которая слегка изменяется. Затем размер ее орбиты уменьшается в два раза. Совершив по ней одно обращение, она снова переходит на орбиту с меньшим радиусом. После двух обращений по ней виден излом в траектории, после которого частица переходит на эллиптическую траекторию с большим эксцентриситетом. Излом в траектории частицы 1 обусловлен ее взаимодействием с другой частицей при их сближении.

Частица 11 из начального состояния, отмеченного точкой на рис. 6, совершает два обращения по непрерывно изменяющейся орбите. Затем ее орбита уменьшается в два раза. После одного обращения по ней она переходит снова на уменьшенную в два раза орбиту. После двух обращений по ней орбита частицы 11 уменьшается еще в несколько раз, и после 5 обращений по ней, как видно из рис. 7, она приближается к центральной частице, достигает скорости 4.268·106, а затем выбрасывается из структуры.

Рис. 7. Изменение координаты x во времени центральной частицы 0 и двух периферийных частиц 1 и 11, а также радиуса орбиты r частицы 1: a - на интервале T = 0 ? 0.306; b - в увеличенном масштабе

На рис. 7 эти движения показаны на законах движения x(T) этих частиц за время T = 0.306. Здесь также линией r показано изменение расстояния частицы 1 от начала координат. Волнистый характер изменения r на первых семи ее обращениях свидетельствует, что орбита этой частицы является эллипсом с небольшим эксцентриситетом. Это небольшое отличие окружности от эллипса свидетельствует, с какой точностью рассмотренный ранее алгоритм (33)-(35) определения периода вращения слоя, а по нему задания начальных скоростей частиц реализуется для первого слоя. По малому изменению радиусов орбит второго и третьего слоя (табл. 1) за время T = 0.2245 видно, начальные скорости этих слоев также заданы хорошо. В тоже время увеличение в два раза радиуса четвертого слоя свидетельствует, что алгоритм (33)-(35) дает для него завышенные скорости.

Изменение координаты x частицы 1 на рис. 7b демонстрируют отмеченные ранее изменения. А по изменениям координат x частицы 11 в увеличенном масштабе видны все последовательные изменения ее орбиты, а также траектория ее выброса из структуры.

Выброс частицы из структуры происходит при достижении частицей большой скорости. В случае гравитационного взаимодействия многих частиц также наблюдается выброс одной [15] или нескольких частиц. Большую скорость частица приобретает при сближении с другой частицей на малое расстояние. При кулоновском взаимодействии сближение электронов не приводит к увеличению скорости, так как они взаимно отталкиваются. Поэтому периферийная частица в рассматриваемых структурах может приобрести большую скорость при ее близком прохождении у центральной частицы. Чтобы выяснить механизм выброса частицы из структуры, были выполнены детальные исследования. В системе Galactica имеются разные режимы, которые позволяют визуально на экране дисплея в разных масштабах и ракурсах наблюдать за взаимодействием частиц, получить параметры сближений заданной частицы с другими частицами, исследовать траектории частиц относительно начала координат или относительно одной из них и т.д. Эти средства были использованы для исследования механизма выброса частицы из структуры.

В момент T = 0.25 частица 11 после сближения с частицей 16 на расстояние r = 2.89 (см. рис. 7) перешла на орбиту с меньшим радиусом. Процесс уменьшения ее орбиты происходил под воздействием частицы 2. Дальнейшее уменьшение орбиты в момент T = 0.275 произошло от сближения с частицей 12 на расстоянии r = 1.43. В момент T = 0.29084 частица 11 сближается с частицей 1 на расстояние r = 0.151. После этого она переходит на орбиту с наименьшим радиусом (см. рис. 7b), а частица 1, как видно из рис. 6, испытывает излом в траектории и уходит на траекторию с большим эксцентриситетом.

После пяти обращений частицы 11 (рис. 7b) по своей наименьшей орбите она сближается с частицей 5 в момент T = 0.304264 на расстояние 0.2804, после чего частица 11 уходит со своей траектории и устремляется к центру.

Отмеченные характеристики движения частицы 11 установлены по данным сближения частицы, которые могут быть получены в системе Galactica. На рис. 8 эти данные представлены графически в виде минимального расстояния Rmin между частицей 11 и другими частицами. Каждая точка линии Rmin представляет собой минимальное расстояние за время интервала ?Tin = Kl3·?Ti = 3·10-4, а величинами Np отмечены номера частиц, с которыми произошло сближение. Например, в указанных на графике значениях в момент T = 0.04 частица 11 за время ?Tin = 3·10-4 сблизилась на минимальное расстояние Rmin = 2.5 с частицей Np = 6. Из рис. 8 по Np = 6 видно, какие еще были сближения частицы 11 с частицей 6. Аналогичными горизонтальными черточками или точками, расположенными по горизонтали, отображены номера частиц, с которыми сближалась частица 11. Номер центральной частицы 0 отображен на оси времени T на интервале 0.278 - 0.306.



Рис. 8. Сближение частицы 11 за количество шагов интегрирования Kl3 = 3000 с шагом ?T = 1·10-7 на минимальное расстояние Rmin с другими частицами, номера которых Np приведены числами на вертикальной оси

Рис. 9. Последовательные положения частиц с указанными номерами на плоскости xy на интервале времени T от 0.3035 до 0.3053. Начальные положения частиц отмечены ромбами, и движение происходит против часовой стрелки

Перед выбросом частицы 11 из структуры решающим было ее сближение с частицей 5 (рис. 8). На рис. 9 показано движение частицы 11 в момент сближения с частицей 5. Здесь начальные положения частиц в момент T = 0.3035 отмечены ромбиками. Частица 11, как видно из рис. 6 и рис. 7b, движется по сильно вытянутой орбите. Она находится в апоцентрии, т.е. ее скорость движения небольшая. Орбита частицы 5 (рис. 9) не такая вытянутая, и к тому же она находится вблизи перицентрия. Поэтому скорость движения ее большая, и она догоняет частицу 11, проходя между ней и центральной частицей 0. Вследствие взаимного отталкивания происходит значительное уменьшение скорости частицы 11 (см. табл. 2).

Табл. 2. Изменение скорости v и расстояния r частицы 11 на интервале времени T от 0.3035 до 0.3053 при ее сближении с частицей 5.

N точек	T	v	r
1	0.3035	599.95	1.327
2	0.3037	419.85	1.416
3	0.3041	279.08	1.493
4	0.3045	141.00	1.521
5	0.3047	157.29	1.511
6	0.3049	315.08	1.467
7	0.3053	742.78	1.262

Как видно из табл. 2 безразмерная скорость частицы 11 в апоцентрии в результате ее взаимодействия с частицей 5 уменьшилась с 600 до 141, т.е. в 4.25 раза. Поэтому после ухода с ее пути частицы 5 начинается стремительное падение частицы 11 к центру.



Рис. 10. Движение частицы 11 вокруг центральной частицы 0 на конечном участке траектории в обычном (a) и увеличенном (b) масштабах: 1 при шаге счета ?T = 1·10-7; 2 - после уточненных решений в момент сближения частицы 11 с частицей 0 с шагом счета ?T = 1·10-8; 3 - движение частицы 11 в задаче двух тел с началом в точке 4 в момент T = 0.3048999. Точки на графиках соединены прямыми отрезками.

Этот участок движения частицы 11 в ее апоцентрии с характерным изломом траектории представлен на рис. 10а.

Частица почти прямолинейно движется к центру с нарастающей скоростью. Она проходит на расстоянии r = 1.348·10-3 от частицы 0 и приобретает скорость v = 4.268·106. Затем частица 11 движется по прямолинейному участку траектории 1. Этот прямолинейный конечный участок траектории частицы 11 также представлен на рис. 6 - рис. 8. Рассмотрим его детальней.

В момент сближения частицы 11 с центральной тяжелой частицей 0 все остальные частицы находятся далеко и их влиянием на кинематический момент Mz,11 частицы 11 можно пренебречь. Поэтому можно считать, что общее изменение кинематического момента ?Mz всей структуры обусловлено погрешностью движения частицы 11. При сближении относительное изменение кинематического момента ?Mz всей структуры начинает увеличиваться. Когда абсолютные изменения момента ?Mz = ?Mz·Mz, где Mz = 0.6238, становятся сопоставимы с величиной кинетического момента частицы 11, то погрешности расчета ее движения возрастают пропорционально величине ?Mz.

До сближения частиц 11 и 0 величина ?Mz в программе Galactica имела порядок 10-14. Затем она начинает увеличиваться. Например, в момент T = 0.3060078 величины ?Mz = 2.35·10-9, ?Mz = 1.47·10-9, а величина момента частицы 11 Mz,11 = 7.47·10-4. Поэтому погрешность ее кинематического момента ?Mz,11 = ?Mz/Mz,11 = 1.96·10-6. Такую же величину относительной погрешности будут иметь координаты и скорости частицы 11. В этот момент частица 11 находится на расстоянии r = 0.019 от центральной частицы 0 и ее скорость v = 14939.

С дальнейшим приближением частицы 11 к центральной частице 0 величина ?Mz еще увеличивается и погрешность расчета движения частицы 11 становиться большой. Например, когда скорость частицы достигла величины v = 4.268·106 относительное изменение момента ?Mz = 0.36. Поэтому участок траектории с момента времени T = 0.29 был пересчитан с шагом ?T = 0.5·10-7 в режиме автоматической коррекции шага. Отметим, что в программе Galactica коррекция шага производится по величине изменения ?Mz на нескольких шагах. В этом расчете частица 11 приблизилась к центральной частице 0 в момент T = 0.306008711 на расстояние r = 1.319·10-3 и скорость ее была v = 6.268·106. В этот момент относительная погрешность кинематического момента достигла ?Mz = 0.8. То есть с такой погрешностью получены эти результаты в точке сближения. Поэтому с момента T = 0.30600105 задача была пересчитана с шагом ?T = 1·10-8. В этом случае в момент T = 0.30600871 частица 11 прошла у частицы 0 на расстоянии 1.30·10-3 и скорость ее по оценке была v = 6.1·104. Погрешность момента в этом случае ?Mz = 7.48·10-7. Эта величина дает для частицы 11 относительную погрешность момента ?Mz,11 = 6.03·10-4. Итак, с этой относительной погрешностью получены последние результаты. На рис. 11 уточненная траектория частицы 11 показана линией 2. По этой траектории частица выбрасывается из структуры.

Чтобы уточнить движение частицы 11 после сближения, участок траектории с момента T = 0.3048999 (см. точка 4 на рис. 10a) был еще пересчитан с шагом dT = 1·10-8 в режиме автоматической коррекции шага. Погрешность момента в этом случае была ?Mz = 7.78·10-7. Частица 11 сблизилась с частицей 0 на такое же расстояние 1.3·10-3 и скорость по оценке была ? = 8.77·104. Траектория частицы 11 совпала с полученной в предыдущем расчете. Она показана на рис. 10a линией 2. На рис. 6 эта траектория за больший интервал времени приведена линией 11u. Скорость частицы уменьшается с ее удалением от центральной. К концу показанного участка траектории она достигает значение ? = 1490. С этой скоростью частица выбрасывается из структуры.

Для сравнения были выполнены расчеты движения частицы 11 только под влиянием центральной частицы 0 , т.е. решалась задача двух тел. Как и в предыдущем расчете, начальной точкой была т. 4 на рис. 10 в момент T = 0.3048999. В этом случае частица 11 движется по эллиптической орбите 3 и не удаляется от центральной частицы 0 далее апоцентрия орбиты Ra = 1.539. В перицентрии с радиусом Rp = 2.081·10-3 частица достигает скорости ? = 1.15·105. Эти результаты получены с погрешностью момента ?Mz = 1.03·10-5 и ?Mz = 1.0·10-8. В этом случае относительная погрешность момента частицы 11 ?Mz,11 = 1.34·10-5. С этой относительной погрешностью рассчитаны координаты и скорость частицы 11.

Итак, выполненные исследования показали, что в результате взаимодействий в структуре со многими частицами может происходить сближение одной из частиц с центральной частицей, а затем выброс этой частицы из структуры. В случае аналогичного взаимодействия двух частиц выброс частицы и разрушения двухчастичной структуры не происходит.

9. Второй вариант разрушения структуры

Решение вышерассмотренной задачи в этом режиме коррекции шага также приводит к разрушению структуры, но в этом случае из структуры выбрасывается частица 2. Рассмотрим этот вариант в той же последовательности, что и первый.

На рис. 11 показаны траектории центральной частицы 0 и двух первых частиц 1 и 2 первого слоя. Движение центральной частицы 0 за время T = 0.22, как показано линией II, происходит в области размером порядка 4·10-7. Область эта мала по сравнению с размером структуры. Частица 1 первого слоя из начального состояния, отмеченного точкой, совершает 7 обращений по траектории, которая слегка изменяется. Частица 2, как и частица 1 совершает 7 обращений практически без изменения (см. рис. 12). Затем она совершает два обращения по уменьшенной орбите (рис. 11 и рис. 12b) и переходит на вытянутую эллиптическую орбиту также меньшего размера. После совершения по ней 3-4 обращений частица 2 приближается к центральной частице 0, приобретает скорость vmax = 4.49·106 и затем выбрасывается из структуры.

Рис. 11. Второй вариант траекторий трех частиц: центральной частицы 0 до момента T = 0.22; частиц 1 и 2 первого слоя до момента T = 0.294. I, II и III траектории частицы 0 в трех вариантах разрушения структуры



Рис. 12. Изменение во втором варианте координаты x во времени центральной частицы 0 и частиц 1 и 2 первого слоя, а также радиуса орбиты r частицы 1; 21 - закон движения частицы 2 в первом варианте: a - в обычном масштабе; b - в увеличенном масштабе

Рассмотрим более детально движение частицы 2 после семи ее обращений по устойчивой орбите. В момент T = 0.22279 частица 2 сблизилась с частицей 3 на расстояние r = 1.99284 (см. рис. 13). После этого сближения она сошла с устойчивой орбиты (см. рис. 12), и в момент T = 0.2300902 сблизилась с центральной частицей 0 (см. рис. 13) на расстояние r = 1.8734. После совершения двух обращений по уменьшенной орбите (рис. 12) в момент T = 0.25003375 произошло сближение частицы 2 с частицей 5 (рис. 13) на расстояние r = 1.011, в результате которого частица перешла на уменьшенную орбиту (рис. 12). После совершения трех обращений частица 2 в момент T = 0.2769445 сближается с частицей 12 (рис. 13) на расстояние r = 0.369, в результате которого она теряет скорость и падает к центру, приближаясь на расстояние r = 8.76·10-4 и приобретая скорость vmax = 4.49·106.



Рис. 13. Сближение частицы во втором варианте 2 за количество шагов интегрирования Kl3 = 5000 (при переменном шаге) на минимальное расстояние Rmin с другими частицами, номера которых Np приведены числами на вертикальной оси

Во всех случаях сближения частицы 2 с одноименно заряженными частицами 3, 5, 12 происходит ее торможение, поэтому скорость частицы 2 уменьшается, и орбита ее приближается к центральной частице. Более детально процесс взаимодействия частиц 2 и 12 виден на рис. 14. Как и частица 11 в первом варианте, частица 2 находится в апоцентрии своей орбиты. Поэтому ее скорость мала. Частица 12 в этот момент находится вблизи своего перицентрия, и скорость ее значительно больше. Поэтому она догоняет частицу 2, и, проходя между ней и центром 0, отталкивает ее от центра. Таким образом, частица 2 теряет свою скорость. Как видно из табл. 3 скорость ее падает почти в 7 раз. После чего начинается ее стремительное движение к центральной частице 0 (рис. 15). Она проходит, как уже отмечалось, на расстоянии r = 8.76·10-4, достигает скорости v = 4.49·106 и выбрасывается из структуры. В рассматриваемом случае частица 2 ближе по сравнению с первым случаем подходит к ядру 0, поэтому ее скорость больше. Следует отметить, что при уточнении расчета участка сближения величины r и v будут несколько отличаться.



Рис. 14. Последовательные положения частиц с указанными номерами на плоскости xy на интервале времени T от 0.27542685 до 0.2799259. Начальные положения частиц отмечены ромбами

Вариант 2

Рис. 15. Движение частицы 2 по ее орбите с наименьшим радиусом и вокруг центральной частицы 0 в момент выброса из структуры

Табл. 3. Изменение скорости v и расстояния r частицы 2 на интервале времени T от 0.27542685 до 0.2799259. В таблице числа для T дополняют величину 0.27.

N точек	T, 0.27…	v	r
1	54268501	605.1	2.128
2	592675	518.7	2.260
3	642660	487.7	2.336
4	692655	442.1	2.408
5	742640	256.9	2.521
6	792625	159.4	2.602
7	842610	86.47	2.622
8	892610	182.96	2.572
9	942605	336.07	2.447
10	992590	520.91	2.236

Как в первом, так и во втором случае, сход частицы 11 и частицы 2 со своих устойчивых орбит обусловлен последовательными сближениями с одноименно заряженными частицами. В каждом таком сближении рассматриваемая частица теряет скорость и переходит на орбиту с меньшим радиусом. В обоих случаях частицы совершают по три перехода. В рассмотренных двух случаях на последнем этапе сильное торможение частиц со снижением скорости в несколько раз происходит одинаково. Частица, находясь в апоцентрии сильно вытянутой орбиты, имеет малую скорость. В этот момент между ней и притягивающим центром проходит частица, которая своим кулоновским отталкиванием осуществляет это торможение. После этого частица почти радиально движется к центру и в перицентрии своей траектории приобретает такую скорость, которая приводит к выбросу ее из структуры.

10. Анализ различий в двух вариантах динамики частицы 2

Получены два варианта разрушения четырехслойной структуры. В первом варианте частица 11 после сближения с частицей 5 в момент T = 0.3045 тормозится, после чего сближается с центральной частицей 0, приобретает большую скорость и выбрасывается из структуры. Во втором варианте аналогичный процесс происходит с частицей 2 после ее сближения в момент T = 0.27694545 с частицей 12. Так как последнее событие происходит раньше предыдущего, возникает вопрос: почему оно не произошло в первом варианте?

Рис. 16. Сближение частицы 2 в первом варианте за количество шагов интегрирования Kl3 = 5000 (при шаге ?T = 10-7) на минимальное расстояние Rmin с другими частицами, номера Np которых приведены числами на вертикальной оси

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим на рис. 16 историю сближения частицы 2 с другими частицами в первом варианте. Из сопоставления с данными рис. 13 следует, что до момента T = 0.2439344 она практически совпадает с историей сближения частицы 2 во втором варианте. В этот момент во втором варианте (рис. 13) частица 2 сближается с частицей 5. Затем следуют еще 10 сближений с ней, после которых истории сближений частицы 2 начинают существенно отличаться.

В более крупном масштабе истории сближений частицы 2 в двух вариантах сопоставлены на рис. 17 на интервале времени T от 0.2 до 0.25. В этом масштабе видно, что количественные отличия зависимостей Rmin(T) для двух случаев начинают наблюдаться с T = 0.2. К моменту T = 0.2439344 они увеличиваются настолько, что взаимодействие частицы 2 с частицей 5 приводит к качественным изменениям движения частицы 2. Итак, причина качественных изменений движения частицы 2 заключается в увеличении со временем небольших количественных изменений ее движения.

...