Моделирование ансамблей и решеток частиц и пор

где - пористость агрегата, при случайной агрегации величина = 2.5. Фрактальный подход используется также для описания различных кластеров, выделяемых в рамках теории перколяции ( см. раздел 10.4) и, повидимому, перспективен для исследованиях процессов массообмена в пористом теле, если в качестве отдельных фрактальных кластеров рассматривать группы частиц или пор, ограниченных, например, радиусом первой координационной сферы кривой распределения плотности. В этом случае кластеры с разной пористостью могут иметь разную фрактальную размерность, которая увеличивается с ростом плотности упаковки (т.к. предельно пористые объекты из изолированных гладких частиц могут быть не фрактальны).

Один из наиболее распространенных методов определения фрактальной размерности базируется на измерениях интенсивности рассеяния S(q) света, рентгеновских лучей, нейтронов и других волновых источников в зависимости от угла рассеяния

S(q) q ^-D₃ (10.12)

где q = (4 / )Sin( /2) - длина вектора рассеяния, - длина волны излучения, - угол рассеяния. Другие примеры применения фрактального подхода рассмотрим позже.

2. Модель хаотично расположенных сфер (ХРС)

Эта модель и соответствующий расчетный аппарат первоначально был предложен Колмогоровым в 1937 г. для описания процесса кристаллизации, но позже стал использоваться и для описания текстуры и некоторых процессов ее изменения ( см. в [3]). Основные параметры модели ХРС - число сфер в единице объема N и радиус сфер R. Ограничимся случаем монодисперсных сфер, хотя имеются решения и для полидисперсных систем [4]. Сферы расположены в пространстве совершенно случайно и могут пересекаться, образуя связную систему. Предполагается, что число N достаточно для проведения статистического анализа, позволяющего определять пористость системы как вероятность нахождения произвольно выбранной точки вне пространства частиц. В этом случае, как показал Колмогоров,

= ехр ( -V )= ехр [( -4/3) R³ N] (10.13)

где V- суммарный объем всех сфер.

Произведение этой вероятности на поверхность всех сфер в единице объема дает удельную поверхность единицы объема А_v, которая равна

А_v = 4 R² N (10.14)

Умножив и разделив правую часть этого уравнения на ln при подстановке N из (10.13), получим

А_v = 3 ( /R ) ln (10.15)

Далее можно рассчитать распределение числа и размеров пересечений сфер, ограничимся средним числом пересечений, приходящихся на одну сферу, которое равно

n = -8 ln (10.16)

и соответствует среднему координационному числу упаковки сфер.

В ряде работ модель ХРС исследована на ЭВМ методом Монте Карло для определения максимальной пористости _max, соответствующей моменту образования связного кластера как из сфер, так и из частиц другой формы [5]. Оказалось, что для систем из выпуклых частиц ( сферы, тетраэдры, кубы) _max=0.70 0.01 и n_min= 2.7 3.0, для частиц вогнутой формы (мальтийский крест) _max=0.69 0.71 и n_min= 2.5 2.7. Для двумерных фигур - окруж-ностей и квадратов - получены значения предельной двумерной пористости _S,max=0.32 0.33 и значения n_S,min 4.4 4.5 (хотя для окружностей разного размера n_S,min 4.0 при том же значении _S,max). Все эти значения определяют верхний ( по пористости) предел применимости модели ХРС, соответствующий минимальной плотности образующейся связной системы. Нижний предел, равный _min = 0.25 0.30 определяется тем обстоятельством, что эта модель не учитывает тройные и более сложные пересечения, вклад которых при большом числе пересекающихся сфер N (т.е. при малой пористости), становится значительным.

Полученные уравнения соответствуют модели ХРС-частиц, т.е., по сути, корпускулярной модели. Аналогичные уравнения для модели ХРС-полостей, т.е. губчатой модели, "зеркальной" по отношению к корпускулярной, легко получаются простой заменой на (1 - ), т.е. доли свободного пространства между сферическими частицами на долю пространства твердой фазы между пересекающимися сферическими полостями. В этом случае

А_v^губ = 3 [(1 - )/R ] ln (1 - ) (10.17)

Z = -8 ln (1 - ) (10.18)

где Z - среднее число пересечений (горл или окон), приходящихся на одну сферическую полость. Эти уравнения также применимы в диапазоне значений (0.25 0.30) < < (0.70 0.75).

Модель ХРС позволяет определять все основные текстурные характеристики. Например, более привычная удельная поверхность А единицы массы связана с А_v через кажущуюся и истинную плотность

А= А_v / = А_v / (1- ) (10.19)

На рис. 10.5 показана зависимость удельной поверхности А_v от пористости для "корпускулярного" и "губчатого" вариантов ХРС. Здесь поверхность выражена в виде безразмерной параметра А_vR/3. Получено два графика, которые зеркально-симметричны относительно оси, проведенной при = 0.5. Для корпускулярной системы величина , согласно основным положениям модели, равна вероятности нахождения произвольной точки на поверхности сфер вне зоны их перекрывания. Поэтому при малых величина приведен-ной поверхности пропорциональна . Но при больших значениях начинает проявляться другой фактор - снижение числа частиц в единице объема. В результате при больших поверхность снижается. Величина приведенной поверхности максимальна при = 0.38. Ситуация для губчатой модели зеркально противоположна, здесь приведенная поверхность максимальна при = 0.62.

Значения удельной поверхности единицы массы А_m в случае корпускулярной модели также выражаются уравнением:

А_mk= А_v / (1- )= -[ 3/ R ] ln/( 1 - ) (10.20)

которое в пределе при 1.0, когда эффекты перекрывания становятся исчезающе малыми, трансформируется в уравнение

А_mk = 3/ R (10.21)

соответствующее модели непересекающихся сферических частиц. Для губчатой модели ХРС, соответственно,

А_{m губ} = - [ 3/ R ] ln / (1 - ) (10.22)

Здесь в пределе при = 0 получим А_{m губ} = 0, что также естественно, т.к. одиночные сферические полости в массивном твердом теле не образуют связной системы и поэтому недоступны. Проверка противоположных пределов бессмысленна из-за некорректности уравнений в области больших наложений пересекающихся полостей или частиц.

На рис. 10.6 показана зависимость приведенного параметра А[R/3] от . В этом случае величина такой приведенной поверхности с ростом пористости всегда возрастает, что объясняется снижением объемной доли твердой фазы и, соответственно, ее массы. При < 0.5 удельная объемная и весовая поверхность больше для корпускулярной модели, при > 0.5 ситуация противоположна. Рассмотрим причины различий значений поверхности при > 0.5.

В лекции 9 было показано, что величина удельной поверхности единицы массы определяется поверхностно-объемным соотношением, которое минимально для сферических частиц. В корпускулярной модели при больших форма частиц из-за уменьшения числа пересечений приближается к сферической, а в губчатой модели, наоборот, “уходит” от сферической. Для оценки формы образующихся частиц представим тетраэдрический элемент, в вершинах которого находятся центры соприкасающихся сферических сегментов. Пространство между такими сегментами - одна из возможных форм “частиц”, образующихся между сферическими полостями. Из геометрии такой частицы следует, что ее поверхность больше поверхности сферы эквивалентного объема в 1.54 раза. Между случайно пересекающимися сферическими полостями образуются и более сложные тела с еще большим поверхностно-объемным соотношением. Рост этого соотношения и объясняет характер изменений значений удельной поверхности при больших . При малых ситуация противоположна: в губчатой модели форма пор стремится к сферической, в корпускулярной модели форма частиц аналогична получаемой между сферическими полостями при больших .

Далее можно оценить изменения средних размеров пор r, выражая этот размер как отношение удвоенного объема к поверхности. Для корпускулярной модели:

r 2 /А_v = (2/3) R/ln (10.23)

для губчатой

r 2 /А_v = (2/3) R[ /(1 - )]/ln(1 - ). (10.24)

Возможна оценка и других геометрических параметров. На рис. 10.7 показан пример использования модели ХРС для расчета изменений поверхности при равномерном увеличении радиусов пересекающихся сфер (случай равномерного покрытия поверхности нанесенным компонентом) [6]. Выразим количество вводимого компонента через степень заполнения объема пор U. При этом пористость модифицированного продукта связана с исходной пористостью ₀ уравнением

= ₀ (1 - U ) (10.25)

На рис. 10.7 представлены результаты расчета изменений поверхности в виде зависимости А_v/А_v,0 от U, где А_v,0 и А_v - удельная поверхность исходного и модифицированного пористого тела, соответственно. Расчеты показывают близкий вид зависимостей А_v/А_v,0 от U при одинаковых значениях ₀ для губчатой и корпускулярной моделей (т.е. моделей ХРС-полостей и ХРС-частиц, соответственно). На приведенных графиках верхняя кривая при каждом значении ₀ - результаты расчета для губчатой модели, нижняя - для корпускулярной модели.

Изменения поверхности корпускулярной системы при такой модификации определяются двумя антибатными эффектами: снижением поверхности из-за роста перекрывания сфер в местах их контактов и увеличением поверхности из-за роста радиуса сфер вне зон перекрывания. При высокой начальной пористости ₀ число контактов мало и сначала определяющим является рост поверхности вне зон контактов, который далее подавляется эффектом перекрывания. При малых ₀ число контактов велико и эффект перекрывания доминирует уже при минимальных значениях U. В губчатых системах ситуация обратна - здесь эффект перекрывания в зонах контактов увеличивает поверхность, а уменьшение размера сфер ее снижает.

Эти модели успешно объясняют и описывают экспериментальные данные по изменению поверхности при получении углеродного адсорбента-сибунита (корпускулярная структура) и пористых стекол (губчатая структура), технология которых включает подобные операции модифицирования.

3. Решеточные модели

В настоящее время наиболее универсальные модели структуры лабиринта пор или частиц и соответствующих процессов в таких лабиринтах базируются на трехмерных (3D) и двумерных (2D) решетках, представляющих пористое тело в виде нерегулярных систем из узлов и связей, где под узлами подразумеваются частицы или полости, а под связями - контакты между частицами или окна между полостями.

До перехода к анализу процессов в лабиринтах пор в виде расширений- полостей и сужений-окон между полостями кратко остановимся на аналогии между процессами, происходящими при измерении десорбционных ветвей капиллярно-конденсационного гистерезиса после полного насыщения всего объема пор, (т.е. при удалении из пористого тела смачивающей жидкости, далее для краткости - ДС) и процессами ртутной порометрии (т.е. при введении в пористое тело несмачивающей жидкости, далее для краткости - РП). Оба процесса начинаются у внешней поверхности пористого тела. Перемещение менисков в обоих случаях определяется уравнением Лапласа и осуществляется в одной и той же последовательности: начинается с окон наибольшего размера, связанных непосредственно с внешней поверхностью и постепенно распространяется в полости с окнами меньшего размера в объеме тела. При этом ртуть вдавливается, а конденсат удаляется, т.е. в хорошем приближении эти процессы соотносятся как негатив/позитив. Мениски жидкости в обоих случаях вогнуты к центру твердой фазы Более полная идентичность обеспечивается, если для смачивающей жидкости (ДС) принять величину контактного угла _см = 180 - _ртути 40⁰, что для некоторых ситуаций вполне реально. Другое различие обусловлено отсутствием в РП аналога адсорбционной пленки, остающейся на поверхности пор, освобожденных в ходе ДС. В то же время сохраняется аналогия в распределении гидростатических давлений или механических напряжений, направленных на сжатие каркаса твердой фазы. Эти нагрузки определяются действием лапласовских капиллярных сил, пропорциональны кривизне менисков, и возрастают как в ходе ДС, так и РП. Предельное давление при РП (2500 4000 атм) соответствующее заполнению пор с радиусами кривизны 32 нм, по порядку близко капил-лярному давлению при десорбции паров воды из капилляров с радиусом 1.5 нм ( 900 атм)..

Перейдем к решеточным моделям. Первая модель пористого пространства в виде двумерной решетки взаимосвязанных пор предложена в 1958 г. Фаттом ( здесь и далее - цит. по [ 3,7 ]). В 1963 г. Ксенджек исследовал трехмерный вариант такой модели в виде простой кубической решетки из пересекающихся цилиндрических капилляров разных радиусов с координационным числом решетки Z = 6. Эта модель использована для анализа перемещения фронта ртути в РП при заданном случайном распределении размеров пор. Получены правдоподобные результаты и качественно новые эффекты, обусловленные взаимосвязью пор. Так, возможность введения ртути или удаления конденсата в каждую произвольно выбранную полость определяется связью этой полости с внешней поверхностью пористого тела.

В общем случае в лабиринте пор каждая полость связана с внешней поверхностью огромным числом цепочек пор, состоящих из полостей и окон разного размера и формы. В каждой из таких цепочек имеется окно минимального размера, обозначим его b_i. Наибольшее из таких окон назовем критическим для данной полости и обозначим b_{кр i} (при этом b_{кр I}=max(b_i )<а_i, где а_i - характерный размер этой произвольно выбранной полости, кото-рый по определению больше размера окна). Именно это окно b_крi и определяет момент освобождения данной полости при десорбции конденсата или заполнение при вдавливании ртути. При этом окна типа b_крi могут размещаться на любом участке цепи пор, который связывает каждую полость а_i с внешней поверхностью, и лишь в некоторых частных случаях "критическое окно" может непосредственно примыкать к определяемой им полости, т.е. быть "собственным" окном данной полости. В результате распределения объема пор по размерам, рассчитываемые по РП или ДС, характеризуют в действительности распределение объема пор по размерам соответствующих им окон критического размера.

Ранее в разделе 7.9 мы рассмотрели процесс вдавливания ртути в модели отдельных капилляров с разными размерами d, когда при каждом равновесном значении гидростатического давления Р в ртути в соответствии с уравнением Лапласа заполнялись капилляры с размерами d_i Cos / Р. В решетке из взаимосвязанных капилляров разного размера ситуация существенно другая: здесь отвечающие лапласовскому условию капилляры являются лишь потенциально проницаемыми и не заполняются, если связаны с ртутью через капилляры меньшего размера. Из численных экспериментов Ксенджека следует, что решетка пор становится проницаемой лишь после того, как численная доля потенциально проницаемых пор q = N/N₀ превысит некоторое пороговое значение q_кр = N_кр/N₀, где N₀ - общее число капилляров в решетке, N - число потенциально проницаемых капилляров, т.е. капилляров с размерами d d_i. Однако, Ксенджеку не удалось подобрать функции распределения пор, которые удовлетворительно описывают экспериментальные результаты РП.

4. Теория перколяции

Важнейшим этапом развития “решеточных” моделей было использование результатов теории перколяции ( от англ. percolation - просачивание). Термин перколяция введен в 1967 г. Бродбентом и Хаммерсли в связи с предложенным ими новым классом математических задач, возникающих при анализе просачивания жидкости или протекания электрического тока через лабиринт из проницаемых и не проницаемых элементов. Современное состояние этой теории позволяет решать три основных группы задач, которые могут быть определены как задача связей; задача узлов и смешанная задача [3,7-9]).

Все рассматриваемые далее результаты, кроме специально оговоренных, получены на больших решетках, где практически исключено влияние элементов, непосредственно примыкающих к внешней поверхности. Резуль-таты, как правило, получены численным методом Монте-Карло, т.е. напри-мер, задача связей решалась путем маркировки случайно выбранных связей с последующим анализом проницаемости решетки по маркированным или немаркированным связям, аналогичный подход использовался и в задаче узлов. При этом исследовались как регулярные, так и нерегулярные решетки. Последние получали путем рандомизации, т.е. случайного удаления части узлов и связей. Аналитические решения получены лишь для некоторых типов решеток, наиболее полно для решеток Бете; дающих правдоподобные результаты при значениях координационного числа Z = 3-4 [3].

Задача связей.

Здесь принимается, что проницаемость решетки полностью определяется свойствами связей, т.е. например, в решетке пор проницаемость определяется исключительно размерами окон, а все узлы (полости) доступны по размерам и не влияют на проницаемость. Проиллюстрируем этот подход на том же примере вдавливания ртути в РП. Для упрощения допустим, что весь объем пористого пространства сосредоточен в полостях (узлах), а окна (связи) являются лишь двумерными сужениями между соседними узлами.

Пусть, как и в численных экспериментах Ксенджека, при некотором давлении ртути Р потенциально проницаемые связи (ПП-связи) составляют численную долю q = N/N₀ от общего числа связей N₀ ( значения q здесь и далее рассчитываются суммированием от окон-связей максимального размера). Для рассматриваемых теорией больших ( бесконечных) решеток величина q равна вероятности того, что произвольно выбранная связь является ПП- связью и с вероятностью (1 - q) - потенциально не проницаемой. Другой важный параметр этой модели - перколяционная вероятность Q(q) = M/M₀, где М₀ - общее число узлов, а М - число узлов, связанных с внешней поверхностью решетки через систему проницаемых окон. В рассматриваемых бесконечных решетках величина М равна числу узлов, входящих в бесконечный кластер, связывающий противоположные стороны решетки, а перколяционная вероятность Q(q) численно равна вероятности принадлежности произвольно выбранного узла такому бесконечному кластеру.

При малых q вероятность образования достаточно протяженного кластера из полостей, связаных ПП-связями, исчезающе мала, Q(q) = 0. Поэтому объем вдавленной ртути пренебрежимо мал, решетка в целом не имеет проводимости. Эффектом заполнения отдельных полостей, непосредственно примыкающих к внешней поверхности, мы пренебрегаем. Но увеличение давления ртути приводит к росту доли ПП-связей, т.е. значений q. При некотором критическом значении q = q_кр возникает отличимая от нуля вероятность образования кластера, проникающего через всю решетку, при этом Q(q) > 0.

Важнейший результат задачи связей теории перколяции - в установлении инвариантной ( т.е. не зависящей от типа решеток одной и той же мерности), зависимости Q(q) от параметра Zq = Z_В. Для трехмерных (3D) решеток эта зависимость выражается показанным на рис.10.8 графиком, который описывается эмпирическим уравнением ( Жданов, 1993):

= 0 при Х =Z_В = Zq < 1.5 (10.26)

Q(Z_В) = 1.54(X - 1.5)^0.4 /[1 + 0.606 (X - 1.5) ^0.4], где 1.5 < Z_В < 2.7

= 1 при Х = Z_В = Zq > 2.7

В области Z_В < 1.5 все узлы изолированы ( в РП-эксперименте весь объем пор недоступен), при Z_В > 2.7 - cвязаны (весь объем пор заполнен). В диапазоне 1.5 <Z_В< 2.7 в объеме пористого тела возникают ветвящиеся кластеры из узлов и cвязей. В этой области значения Z_В с ростом q стремятся к Z (хотя в общем случае Z_В Z ), а в РП-эксперименте происходит заполнение объема пор (узлов).

Назовем величину Z_В = Z_НПП =1.5 нижним порогом перколяции (НПП) для 3D решеток Значения Z_В = Z_НПП для ряда решеток приведены в Приложении Ш.. Для двумерных (2D) решеток значению НПП соответствует Z_НПП,2 2.0, а в общем случае для решеток с мерностью D значения НПП определяются как Z_НПП = D/(D - 1). В свою очередь, величина Z_ВПП = Z_В 2.7 может быть названа верхним порогом перколяции (ВПП) для 3D решеток, для 2D решеток значение Z_ВПП 4.3. Теперь определим смысл параметра Z_В. В общем случае величина Z = 2N₀/M₀, где N₀ и M₀ - суммарное число связей (окон) и узлов (полостей), соответственно, а коэффициент 2 вводится потому, что каждая связь принадлежит одновременно двум узлам. Учитывая, что q = N/N₀, где N - число ПП-связей, величина Z_В = 2N/M₀, т.е. равна среднему координационному числу решетки, построенной исключительно из ПП-связей данной решетки. Такая решетка может быть построена путем маркировки всех ПП-связей и всех узлов (отметим, что среднее координационное число для кластера ( Z_kl ), включающего все ПП-связи и только примыкающие к ним узлы, должно быть больше Z_В, но для корректных расчетов Z_kl из N и M₀ необходимо вычесть изолированные ПП-связи и узлы).

Таким образом, вся область роста Q(Z_B) от нуля и практически до единицы сосредоточена в узком диапазоне значений Z_B. Но каждый узел имеет в среднем Z связей. Следовательно, ( Z - Z_B,ВПП) связей не оказывают влияния на проницаемость решетки. Это полностью объясняет приведенные на рис.8.6в результаты десорбционных и РП экспериментов. Связи наибольших размеров, численная доля которых ниже НПП, методами РП и ДС не измеряются, т.к. они не образуют связанный кластер Но численная доля таких связей входит в состав суммарного числа связей, определяющих значения НПП. Такие связи являются пассивными участниками перколяции, в отличие от активных связей, численная доля которых ограничена значениями ВПП и НПП. В теории перколяции дополнительно вводят остовной (backbone) кластер, не включающий различные тупиковые ветви. Проницаемость решетки определяется характеристиками именно этого кластера-остова. Однако, в процессах РП и ДС участвуют и его тупиковые ветви.. Связи наименьшего размера, численная доля которых равна (Z - Z_B,ВПП)/Z, принципиально не могут быть измерены и не участвуют в перколяционных процессах, т.к. связанные с ними полости заполняются через более широкие окна. Следует ожидать, что “неперколяционные” связи мало влияют и на процессы диффузионного массообмена, распространяющегося от внешней границы решетки в ее объем.

Можно показать, что среднее число потенциально проницаемых связей, приходящихся на один узел в положениях НПП и ВПП, не изменяется при переходе от регулярных к случайным (рандомизированным) решеткам. Для этого из регулярной 3D решетки уберем случайным образом часть узлов и связей без разрыва связности. Пусть исходная решетка имела координационное число Z₀, число узлов М₀ и связей N₀. При рандомизации из этой решетки удалено М₁ узлов и Z₀М₁ связей ( для упрощения принималось, что среди удаленных узлов нет узлов, непосредственно связанных с ближайшими соседями в исходной решетке). В результате образовалась рандомизированная решетка, имеющая среднее координационное число Z = 2(N₀ -Z₀М₁)/(М₀- М₁). Доля ПП-связей для такой решетки определяется как q_р= N_p/(N₀ -Z₀М₁), а среднее число связей, приходящихся на один узел в момент порога перколяции Zq_р = ZN_p/(N₀ - Z₀М₁) = 2 N_p/(М₀ - М₁) = Z_В, т.е идентично результату, полученному для исходной решетки.

Эти результаты имеют принципиальное значение для корректной интер претации стандартных порометрических измерений, основанных как на РП, так и десорбционной ветви изотермы в условиях, когда а) решетка достаточно велика; б) диапазоны распределения узлов и связей по размерам не пересекаются (т.е.размеры любого узла больше размера любой связи); в) связи всех размеров распределены в решетке равномерно.

На базе этих результатов разработаны методы расчета распределения объема полостей по размерам "критических" или "перколяционных" горл. В [9] даны решения для ситуаций, когда диапазоны распределения полостей и окон как не перекрываются, так и перекрываются. В последнем случае размер окон, принадлежащим крупным полостям, больше размера малых полостей. Эффект перекрывания дополнительно снижает число связей, участвующих в перколяции, хотя мало влияет на расчетные распределения окон по размерам. Перейдем к не менее интересным результатам задачи узлов.

Задача узлов.

В этом случае исследуется проницаемость регулярных или нерегулярных решеток, узлы которых обладают некоторым отличительным свойством. Это может быть, например, решетка из узлов, образованных из разных фаз А и В, а задача сводится к установлению связности системы по фазе А или В. В другом примере в объем катализатора вводится добавка, которая затем выжигается или растворяется для создания системы транспортных пор, и необходимо оценить, при какой объемной доле такой добавки действительно возможно образование cвязанной системы таких пор. В двумерной задаче узлов фаза В может быть компонентом, нанесенным на поверхность носителя. В этом случае связность и размер кластеров из частиц фазы В может предопределять интенсивность спекания нанесенного компонента. Аналогичны задачи с введением дополнительных фаз для обеспечения электро- или теплопроводности и других свойств катализатора. Все эти задачи могут быть сведены к задаче узлов, где свойства системы определяются именно узлами, а не связями.

При решении задачи перколяции по узлам используется тот же подход, что и в задаче связей. Пусть пористая двухфазная система состоит из узлов фазы А и фазы В и имеет пористость _V ( для 2D решеток вместо пористости вводится доля непокрытой поверхности _А). Пусть суммарный объем узлов фазы A равен V_A, а узлов фазы В равен V_B, в совокупности обе эти фазы занимают суммарную долю объема тела (1 - _V), где доля объема _V принадлежит порам. Доля объема решетки, занятая фазой В, равна

(В) = V_B (1 - _V)/(V_B + V_А) (10.27)

и может рассматриваться как вероятность принадлежности произвольно выбранной точки объема именно фазе В. Перколяционная вероятность задачи узлов P_S(S) выражается как отношение объема связанной фазы В к общему объему фазы В Такой подход к задаче узлов несколько отличается от общепринятого [3.8], базирующегося на расчетах числа монодисперсных шаров в укладке, обладающих заданными свойствами. Дальнейший переход от числа шаров к объему (или поверхности в 2D задаче) требует введения дополнительных спорных допущений. Использованный здесь подход идентичен идеологии Колмогорова, использованной в модели ХРС, а в более общем случае - так называемому континуальному подходу [ 5 ].. Инвариантом задачи узлов является зависимость P_S(S)от (В), показанная на рис.10.9 [7]. Этот график получен для 3D-решеток, нижнее значение порога перколяции (НПП) изменяется в диапазоне значений (В) = 0.16 0.02, величина ВПП может быть принята равной ~0.30 0.35 ( для 2D решеток величина НПП, обозначаемая далее как (S) ~ 2.0), величина ВПП 0.70 ).