Моделирование ансамблей и решеток частиц и пор
Моделирование статистических ансамблей и решеток частиц и пор, основанное на фрактальной геометрии, модели хаотично расположенных сфер, теории перколяции. Моделирование статистических ансамблей и решеток частиц и пор, основанных на геометрии фракталов.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.10.2018 |
| Размер файла | 79,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
3. При объемной доле фазы В, соответствующей соотношению (В) > 0.30 0.35 практически вся эта фаза входит в связанный кластер, что гарантирует проводимость по фазе В.
4. При объемной доле фазы В, равной (В) >0.840.86 все остальные фазы существуют только в виде изолированных кластеров, проводимость (связность) возможна только по фазе В.
Эти результаты подтверждаются, например, анализом данных по исследованиям текстуры систем, полученных через введение выгорающих добавок.
Среднее координационное число nV решетки, образованной cвязанными узлами фазы В (соответствующей приведенному выше определению ) может быть оценено по уравнению (10.16), которое в данном случае может быть переписано в форме
nV = - 8 ln [ ( 1 - (В)] (10.28)
где 1 - (В) = 1 - VB (1 - V)/(VB +VА) - доля пространства, не занятого фазой В.
Обобщенные свойства решеток узлов и связей, лабиринтов пор и частиц.
Сначала рассмотрим некоторые общие свойства решеток узлов и связей, моделирующих лабиринты частиц и/или пор. Лабиринт пор и лабиринт частиц имеют общую поверхность раздела Аm (удельная поверхность единицы массы) и АV (удельная поверхность единицы объема). Доля суммарного объема, занимаемая лабиринтом пор, равна пористости V, доля объема, занимаемая лабиринтом частиц, равна, соответственно, (1-V). Средние характерные размеры пор ( dср ) и частиц (Dср) взаимосвязаны уравнением (9.24), которое может быть переписано в форме
dср/Dср = [VS,d /VS,D ] [/(1 - )] (10.29)
где VS,d и VS,D - приведенные объемно-поверхностные коэффициенты формы пор и частиц, соответственно ( см. раздел. 9.6). Фенелонов, используя подходы теории графов и топологии [7], получил соотношение, связывающее среднее координационное число 3-D решетки частиц nV со средним координационным числом 3-D решетки пор ZV в виде
[ZV - 2] / [nV - 2] ( S0 /С0 ) (10.30)
где S0 - число частиц в типовом элементе, содержащем С0 полостей (подразумевается типовой элемент, из которого может быть построена как решетка частиц, так и решетка пор). Для достаточно больших решеток приближенное равенство (10.30) становится строгим, а для решеток конечных размеров, образованных из S частиц и С полостей, трансформируется в
ZV = (S/C)( [nV - 2] + 2 ( C + 1)/С (10.30.1)
При ( C + 1)/С 1.0 ур. (10.30.1) переходит в (10.30).
Из ур.(10.30) следует, что при S0 = С0 параметр ZV =nV, при S0/С0 >1.0 имеем ZV > nV и т.д., кроме того, образование связных 3-D решеток возможно только при условии ZV >2.0 и nV > 2 Этот результат не противоречит значению ZВ = ZНПП = 1.5 для 3D решетки, т.к. расчетная величина ZВ включает все ПП-связи ( см. определение ZВ в разделе 10.4.1)..
Рассмотрим теперь некоторые дополнительные результаты теории перколяции. Начнем с того, что основное внимание в большинстве известных публикаций уделяется критическим явлениям в области НПП Это естественно объясняется тем, что НПП - более универсальная характеристика, чем ВПП. Например, приведенные в данной лекции значения ВПП для решетки узлов определяют вероятность принадлежности всех узлов к “бесконечному” кластеру. Но это не значит, что все эти узлы участвуют, например, в электро- или теплопроводности, т.к. часть из них входит в состав различных тупиковых ответвлений, а проводимость определяют только узлы, входящие в состав класмтера-остова (backbone).В области НПП число боковых ответвлений относительно мало, поэтому НПП определяет вероятность проводимости разного рода.. Многие полученные для этой области результаты обобщаются универсальными аппроксимационными уравнениями типа
F ~ ( q - qcr ) mi (10.31)
В уравнении (10.31) F есть некоторое специфическое свойство решетки, а mi - соответствующий ему критический степенной показатель (топологическая экспонента), значения которого зависят только от рассматриваемого свойства и размерности решетки, но не зависят от микроскопических деталей системы и имеют одинаковую величину как для решетки узлов, так и решетки связей. Сводка функций F и соответствующих значений экспонент mi дана в табл. 10.1.
В табл. 10.1 корреляционная длина (q) - типичный радиус связанных кластеров при q < qcr, характеризующий линейный масштаб макроскопической гомогенности решетки ( т.е. размер, при котором свойства решетки не зависят от ее линейного размера L); средний размер кластеров Sp(q) определяется как Sp(q) = ss2ns / ssns, где s - размер кластера, выраженный через число узлов, ns - число таких кластеров, для больших кластеров вблизи порога перколяции значения ns определяются уравнением
ns = s -p f[ q - qcr ) s -p] ( 10.32)
где p и p - также универсальные экспоненты, приведенные в табл. 10.1.
Эффективная электропроводность определяется как проводимость случай-ной решетки сопротивлений с долей проводящих связей q ( остальные (1 - q ) - не проводящие) и т.д. Значения универсальных критических экспонент взаимосвязаны соотношениями
p d = P + 1/p = 2P + pp (10.33.1)
где d - размерность решетки, и
p =2 + P p (10.33.2)
Taблица 10.1
Значения универсальных критических экспонент теории перколяции ( по [8] )
|
Перколяционное свойство, F |
mi |
2-D решетка |
3-D решетка |
Решетка Бете |
|
|
Перколяционная вероятность |
P |
5/26 |
0.41 |
1.0 |
|
|
Доля связей, входящих в бесконечный кластер |
P |
5/26 |
0.41 |
1.0 |
|
|
Доля ПП-связей, входящих в состав проводящего кластера-остова (без тупиковых ветвей) |
BB |
0.48 |
1.05 |
2.0 |
|
|
Корреляционная длина кластера, (q) |
p |
-4 /3 |
-0.88 |
-1/2 |
|
|
Среднее размер кластера (отне-сенный к числу узлов), Sp(q) |
p |
-43/18 |
-1.82 |
-1.0 |
|
|
Эффективная электропровод-ность, ge (q) |
1.3 |
2.0 |
3.0 |
||
|
Фрактальная размерность кластера |
Dc |
91/48 |
2.52 |
4 |
|
|
Фрактальная размерность кластера- остова (backbone) при L<< (q) |
DBB |
1.64 |
1.8 |
2.0 |
|
|
Минимальное расстояние между двумя узлами при L<< (q) |
Dmin |
1.13 |
1.34 |
2.0 |
|
|
параметр ур.(10.32) |
p |
36/91 |
0.45 |
1/2 |
|
|
параметр ур.(10.32) |
p |
187/91 |
2.18 |
5/2 |
Поэтому для расчета всех геометрических характеристик решетки в области НПП достаточно знать, например, величину экспоненты p и какой -либо другой экспоненты, остальные рассчитываются по уравнениям (10.33). Аналогично, фрактальные характеристики кластеров рассчитываются по соотношениям
DC = d - P /p (10.33.3)
а при L >> (q) ( т.е. в условиях макроскопической гомогенности системы) имеем DC = d. Аналогично, при L << (q) ( условие негомогенности системы, когда ее свойства зависят от размера решетки L) кластер-остов является фрактальным объектом и его фрактальная размерность DBB определяется как
DC = d - B /p (10.33.4)
В этом случае “масса” кластера M ( т.е. общее число узлов или связей в объеме кластера) определяется как
М (q) Dc (10.34)
хотя при L > (q) выполняется М L Dc. имеем[jnz
Уравнения (10.30(10.34) существенно расширяют возможности использования теории перколяции. Но рассмотренные выше результаты получены преимущественно для решеток неограниченного размера, а на практике чаще приходится иметь дело с конечными решетками. Фишер в 1971 г развил теорию перколяции для систем ограниченного размера, согласно которой вариации любого свойства F(L) решетки линейного размера L могут быть представлены как
F (L) = L-b f() (10.35)
где = L1/p (q - qcr) (L/(q)) 1/p и f(0) несенгулярна. Если вблизи qcr и в пределе при L вероятность P (q - qcr), то х = /p. Конечный размер решетки также приводит к сдвигу значений перколяционных порогов, который по Livenstein и др. определяется уравнением
qcr () = qcr (L) - L -1/p (10.35.1)
где qcr() - порог перколяции для бесконечной системы, а qcr (L) - его эффективное значение для конечной системы размера L.
Дополнительно в практических приложениях может возникать проблема взаимосвязи результатов задачи узлов и задачи связей. Определим эту взаимосвязь следующим образом. Как показано в разделе 10.4.1, параметр ZB равен координационному числу решетки, построенной исключительно из ПП-связей (потенциально проницаемых связей). Эта решетка включает все узлы, но доля объема системы, находящегося вне взаимосвязанных узлов образовавшейся решетки, определяется уравнением (10.16) модели ХРС. Это позволяет отождествить ZB с nV в уравнении (10.16), а “пористость” ( объем вне фазы В) выразить как (1 - (В)). В результате уравнение (10.16) (или (10.28)) может быть переписано как
(В) = 1 - exp [- ZB /8 ] (10.36)
Аналогично, степень заполнения поверхности 2D решетки (S) cвязана с соответствующими значениями ZB эмпирическим уравнением
(S) = 1- exp [ -ZB /3.5 ] (10.36.1)
Результаты расчета по уравнениям (10.36) и (10.36.1) сопоставлены в табл. 10.2 с опубликованными критическими значений нижнего и верхнего порогов перколяции (расчет проведен по схеме: известная величина, например, ZB использована для расчета (В), и т.д.).
Tabl. 10.2
Характерные значения инвариантов порога перколяции для 2D и 3D решеток узлов и связей*
|
размерность |
problem percolation |
нижний (начальный) порог перколяции, эксперим. расчет |
верхний (завершающий) порог перколяции, эксперим. расчет |
|||
|
2D |
связи, ZB |
2.0 |
2.09 |
4.3 |
4.2 |
|
|
решетка |
узлы, CR |
0.45 |
0.43 |
0.70 |
0.71 |
|
|
3D |
связи, ZB |
1.50 |
1.39 |
2.70 |
2.85 |
|
|
решетка |
узлы,(В)CR |
0.16 |
0.17 |
0.30 |
0.286 |
* Значения ZB рассчитывались путем подстановки в уравнения “экспери-ментальных” значений (В)CR или CR, которые, в свою очередь, рассчиты-вались по той же схеме.
Удовлетворительное согласие результатов расчета и эксперимента показывает, что эти уравнения действительно связывают значения порогов перколяции в задачах узлов и связей. Отметим, что такая связь публикуется впервые. Коллекция известных наиболее достоверных значений НПП для решеток узлов и связей, заимствованная в [8], приведена в Приложении Ш. Некоторые дополнительные прикладные возможности аппарата теории перколяции рассмотрены в лекции 17.
В заключение данной лекции кратко рассмотрим идеологию построения и использования так называемых разбиений (мозаик) Вороного -Делоне.
5. Мозаика (решетка) Вороного -Делоне
В последнее время для моделирования текстуры пористых материалов на уровнях отдельных узлов и связей, их кластеров и ансамблей и пористого материала в целом все чаще используется подход, основанный на многогранниках (полигонах) Вороного и симплексах Делоне. Названия многогранник Вороного и симплекс Делоне сложилось в среде английской геометрической школы, где их начал использовал Л.Роджерс, отдавая должное фундаментальному вкладу в эту область российских математиков С-Петербургской школы Г.Ф.Вороного (1868-1908) и его ученика Б.Н.Делоне (1890-1980). Это существенно, т.к. по сути те же текстурные элементы называют в гидрологии полигонами Фиссена, в физике твердого тела - ячейками Вигнера-Зейтца и т.д..
Этот подход применим к любой системе точек, произвольно расположенных в пространстве, где точки обособлены друг от друга и являются, например, центрами частиц, атомов, молекул (или пор и т.д.). Многогранник Вороного в общем случае определяется как область системы, точки которой ближе к данному центру, чем к любому другому центру данной системы. Проиллюстрируем разбиение системы на такие многогранники на простейшем примере произвольной упаковки монодисперсных сферических частиц. Здесь поступают следующим образом. Сначала соединяют отрезками попарно центры сфер так, чтобы эти отрезки не пересекали дополнительные сферы. Далее через середины отрезков проводят плоскости, перпендикулярные этим отрезкам. В результате пересечения этих плоскостей образуются выпуклые многогранники Вороного, заполняющие все пространство полностью без каких либо щелей или наложений. Совокупность этих многогранников образует мозаику (решетку) Вороного, в которой индивидуальные многогранники определяют свойства первичных текстурных элементов ( их размеры, пористость, число ближайших и несколько удаленных соседних частиц и т.д.). В такой мозаике грани каждого многогранника определяют размещение геометрических соседей, которые, в свою очередь, определяют своих соседей и т.д., это позволяет анализировать структуру и связность кластеров, ансамблей и пористого материала в целом.
Вороной разработал основы математического описания геометрических и топологических свойств таких мозаик, их представления на языке графов. Делоне доказал справедливость основных теорем Вороного для произвольной системы точек, введя полезный и наглядный образ “пустого шара”. Он писал “....рассмотрим шар, увеличивающийся и уменьшающийся и как угодно передвигающийся между точками системы, подчиненный лишь одному условию: не содержать внутри себя точек этой системы”. Положение такого шара в 3D пространстве фиксируется 4-мя точками касания, которые останавливают движение “пустого шара”. Эти четыре точки определяют вершины тетраэдра, который называют симплексом Делоне. Особенность этого тетраэдра в том, что описанная вокруг него сфера не содержит других точек системы ( в 2D пространстве симлексы образованы треугольниками). Симлексы, построенные на центрах частиц, подобно многогранникам Вороного, разбивают пространство на мозаику из тетраэдров, заполняющих это пространство без наложений и щелей. Такое разбиение часто называют разбиением (решеткой, мозаикой, графом) Делоне. Это разбиение взаимосвязано с мозаикой Вороного, но разбиение Делоне на примитивные многогранники (в каждой вершине сходится ровно три ребра) удобнее для анализа, т.к. в таких многогранниках число вершин v, ребер е и граней f cвязаны простыми соотношениями
( f - 2 ) = v/2 = e/3 (10.343)
т.e. из трех этих характеристик лишь одна независима.
Мозаики Вороного и Делоне удобно анализировать на языке графов, т.е. решеток из узлов и связей. В качестве узлов можно использовать центры частиц, грани, ребра или вершины соответствующих полиэдров. Мозаики Вороного-Делоне с применением современной компьютерной техники позволяют эффективно анализировать произвольные системы из перекрывающихся или неперекрывающихся шаров одинакового или разного размера, а также других частиц преимущественно выпуклой формы, исследовать проницаемость и многие текстурные свойства таких систем, строить “навигационные карты” и маршруты перемещения зондов разного размера [10]. В настоящее время этот подход начали применять для анализа данных ртутной порометрии, процессов сушки и т.д. [11].
6. Литература
1. B.B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, S.-Francisco, Frimar, 1982.
2. Е. Федер, Фракталы, М., Мир, 1991.
3. Л.И.Хейфец, А.В.Неймарк, Многофазные процессы в пористом теле, М., Химия, 1982.
4. H.A.M. van Eckelen, J.Catal.,29,75 (1973).
5. Б.И. Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства лигированных полу-проводников, М., Наука, 1979.
6. V.B.Fenelonov, J.Porous Materials, 2, 263 (1996).
7. V.B.Fenelonov, Introduction to Porous Materials Design, Elsevier, Amsterdam (готовится к печати).
8. U.Sahimi, Application of Percolation Theory, Taylor & Francis Ltd., London, 1994.
9. V.P. Zhdanov, Advances in Catalysis, 39,1 (1993); V.P. Zhdanov, B.Fene-lonov, D.K.Efremov, J.Colloid. Interf.Sci., 120, 218 (1987); Поверхность, 4,8 (1989); V.P. Zhdanov, B.Fenelonov, React. Kinet. Catal.Lett., 33,377 (1987).
10. Н.Н. Медведев, Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических упаковок, Новосибирск, 1994; ДАН, 337, 767 (1994).
11. В.П.Волошин, Н.Н.Медведев, В.Б.Фенелонов, В.Н.Пармон, ДАН, в печати (1999).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Математическая модель и решение задачи очистки технических жидкостей от твердых частиц в роторной круговой центрифуге. Система дифференциальных уравнений, описывающих моделирование процесса движения твердой частицы. Физические характеристики жидкости.
презентация [139,6 K], добавлен 18.10.2015Создание физической модели деформации материала. Система кластеров структурированных частиц. Описание механики процесса пластической деформации металла при обработке давлением и разрушения материала при гидрорезке на основе кавитации, резонансных явлений.
статья [794,6 K], добавлен 07.02.2014Энергетическое разрешение полупроводникового детектора. Механизмы взаимодействия альфа-частиц с веществом. Моделирование прохождения элементарных частиц через вещество с использованием методов Монте–Карло. Потери энергии на фотоядерные взаимодействия.
курсовая работа [502,5 K], добавлен 07.12.2015Коэффициенты диффузии, ступенчатые поверхности. Алгоритм Метраполиса, метод Монте-Карло, парциальное и среднее покрытие, термодинамический фактор. Диффузия системы взаимодействующих частиц. Зависимость среднего покрытия от химического потенциала.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 10.12.2013Интерференция двух наклонных плоских монохроматических волн. Построение 3D-изображения дифракционных решеток в плоскости y-z. Определение значения параметров решеток в средах с показателями преломления n2 и n1 для каждого угла падения сигнальных волн.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.05.2022Структуры и свойства материй первого типа. Структуры и свойства материй второго типа (элементарные частицы). Механизмы распада, взаимодействия и рождения элементарных частиц. Аннигиляция и выполнение зарядового запрета.
реферат [38,4 K], добавлен 20.10.2006Фундаментальные физические взаимодействия. Гравитация. Электромагнетизм. Слабое взаимодействие. Проблема единства физики. Классификация элементарных частиц. Характеристики субатомных частиц. Лептоны. Адроны. Частицы - переносчики взаимодействий.
дипломная работа [29,1 K], добавлен 05.02.2003Взаимодействие заряженных частиц и со средой. Детектирование. Определение граничной энергии бета-спектра методом поглощения. Взаимодействие заряженных частиц со средой. Пробег заряженных частиц в веществе. Ядерное взаимодействие. Тормозное излучение.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 06.02.2008Рассмотрение способов определения коэффициентов амбиполярной диффузии. Общая характеристика уравнения непрерывности. Анализ пространственного распределения частиц. Знакомство с особенностями транспортировки нейтральных частиц из объема к поверхности.
презентация [706,1 K], добавлен 02.10.2013Использование событийного моделирование в описании поведения большого количества модельных частиц. Классификация потенциалов взаимодействия, быстродействие алгоритмов. Решение задач фильтрации, конденсации, фазовых переходов, поведения мультиагентов.
учебное пособие [883,9 K], добавлен 13.02.2011Ускорители заряженных частиц как устройства, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц. Общая характеристика высоковольтного генератора Ван-де-Граафа, знакомство с функциями.
презентация [4,2 M], добавлен 14.03.2016Сцинтилляционный, черенковский детектор частиц. Ионизационная камера, пропорциональный счетчик. Требования к детекторам. Каскадный ускоритель, электростатистический генератор. Ускорение протонов при облучении коротким лазерным импульсом тонкой фольги.
курсовая работа [4,6 M], добавлен 16.11.2014Ускорители заряженных частиц — устройства для получения заряженных частиц больших энергий, один из основных инструментов современной физики. Проектирование и испытание предшественников адронного коллайдера, поиск возможности увеличения мощности систем.
реферат [685,8 K], добавлен 01.12.2010Свойства всех элементарных частиц. Связь протонов и нейтронов в атомных ядрах. Классификация элементарных частиц. Величина разности масс нейтрона и протона. Гравитационные взаимодействия нейтронов. Экспериментальное значение времени жизни мюона.
реферат [24,3 K], добавлен 20.12.2011Динамика частиц, захваченных геомагнитным полем, ее роль в механизме динамики космического изучения в околоземном пространстве. Геометрия радиационных поясов Земли. Ускорение частиц космического излучения. Происхождение галактических космических лучей.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 24.06.2015Явление рассеяния света. Воздействие частиц вещества на световые волны. Понятие рэлеевского рассеяния и частицы пигмента. Относительный показатель преломления частиц и среды. Увеличение количества отраженного белого света. Исчезновение насыщения цвета.
презентация [361,6 K], добавлен 26.10.2013Движение несвободной частицы. Силы реакции и динамика частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы. Закон сохранения кинетического момента системы. Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц. Теорема Кёнига.
доклад [32,7 K], добавлен 30.04.2009Понятие броуновского движения как теплового движения мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе. Траектория движения частиц. Разработка Эйнштейном и Смолуховским первой количественной теории броуновского движения. Опыт исследователя Броуна.
презентация [83,5 K], добавлен 27.10.2014Возникновение гипотезы о том, что вещества состоят из большого числа атомов. Развитие конкретных представлений о строении атома по мере накопления физикой фактов о свойствах вещества. Выводы из опыта по рассеиванию альфа-частиц частиц Резерфорда.
презентация [797,7 K], добавлен 15.02.2015Дуализм в оптических явлениях. Недостатки теории Бора. Дифракция частиц, рассеяние микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов) кристаллами или молекулами жидкостей и газов. Опыты по дифракции частиц. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц вещества.
презентация [4,8 M], добавлен 07.03.2016
