Синтез разрывных управлений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Синтез разрывных управлений

Введение

управление ракетный двигатель аэродинамический

Решение задач управления проводилось с помощью непрерывных управлений, действующих на двух или более временных промежутках. При построении законов управления управляющее воздействие в виде силы тяги ракетного двигателя или угла отклонения аэродинамического руля полагалось постоянным на текущем промежутке времени. При переходе на следующий промежуток управляющее воздействие меняет свой знак. Моменты времени, указывающие смену знака управления, называются управляющими параметрами и составляют неизменную структуру закона управления. Они являются искомыми неизвестными при решении различных задач управления полётом МКТС и ВКА в космосе и атмосфере.

Принципиально по-другому формируются разрывные управления, особенностью которых составляют скользящие режимы. Скользящие режимы образуются в управляемой системе, состоящей из нескольких непрерывных подсистем, называемых структурами. Задача синтеза управления в системе с переменной структурой состоит в выборе таких параметров каждой из структур, чтобы не только сохранить полезные свойства задействованных структур, но и получить положительные эффекты, не присущие любой из них. Скольжение образуется за счёт частого переключения структур, когда правые части дифференциальных уравнений, описывающих движение управляемых систем, которыми являются МКТС и ВКА, претерпевают разрывы на некоторых поверхностях в пространстве состояний управляемой системы [19,21-23].

Как известно, управления на скользящих режимах при ограничениях на управление имеют неоспоримые преимущества в качестве переходных процессов. Это связано с понижением размерности исходной системы дифференциальных уравнений в нормальном виде, представляющей динамику и статику проектируемой системы управления. При любом методе формирования управления с ограничением качество переходных процессов выше там, где размерность системы ниже. С повышением размерности системы управления коэффициенты передачи, обеспечивающие, например, заданное быстродействие системы, также увеличиваются по сравнению с системой меньшей размерности. Второй причиной преимуществ скользящих режимов является их инвариантность к возмущениям (ограниченным внешним и параметрическим, номинальным и неопределенным). Однако данное преимущество не всегда сопровождает скользящие режимы в отличие от первого. Условия инвариантности требуют линейную зависимость вектора возмущений или столбцов матрицы его входа со столбцами матрицы входа в систему управления. Для систем управления с объектами, совершающими угловые движения и описываемыми уравнениями, не учитывающими инерционности исполнительных механизмов, эти условия выполняются всегда. Для таких объектов это определено системами уравнений в форме Фробениуса. Для других уравнений условие инвариантности может не выполняться, либо выполняться только по части координат вектора состояния. В монографии впервые представлены методы формирования управлений на скользящих режимах при невыполнении известных условий инвариантности скользящих режимов к номинальным (известным) и неопределенным возмущениям. Ранее методы синтеза управлений на скользящих режимах в указанных случаях сводились к применению эквивалентных преобразований систем нормального вида к одному дифференциальному уравнению с последующим переходом к системе в форме Фробениуса [60]. Другой подход - это применение замкнутых поверхностей скольжения, в частности, многогранников с обеспечением только терминальной инвариантности в результате их обращения в точку начала координат в скользящем режиме. Наконец третий подход состоит в объединении преимуществ скользящих режимов в инвариантности только по части координат и терминальной инвариантности многошагового терминального управления (МТУ) на многошаговом скользящем режиме. Все три подхода приводят к сложностям формирования алгоритмов управления при инвариантности не ко всем координатам, а лишь по одной, которая определяет качество управления, и ее производным. Можно обеспечивать только терминальную инвариантность в результате преодоления, т.е. превышения действия возмущений, либо также обеспечивать только терминальную инвариантность при идентификации неопределенных возмущений, но без их преодоления и без дополнительного решения задачи их компенсации. Другие причины невозможности использования преимуществ скользящих режимов могут скрываться в методах приведения систем в скользящие режимы. Разрывные векторные управления имеют сравнительно сложную реализацию с большим числом логических переключающих устройств (ЛПУ), либо накладывают существенные ограничения на задание поверхностей и многообразий скольжения, приводящие к исключению указанных преимуществ и даже к неустойчивости системы на скользящем режиме.

Недостаток разрывных управлений на скользящих режимах состоит также в излишних энергетических затратах на управление, оцениваемых интегралом от суммы модулей составляющих управления с размерными коэффициентами за время переходного процесса. Это вызвано тем, что составляющие разрывных параметров управления остаются постоянными в течение всего переходного процесса и существенно превышают достаточные значения. А в случае действия больших неопределенных возмущений, выводящих управления на предельные допустимые значения, идентификация неопределенностей с последующей их компенсацией не применяется.

Еще одной, не до конца решенной проблемой является регулирование частоты и амплитуды установившихся колебаний разрывных управлений на скользящем режиме. Большие амплитуды и определенные частоты колебаний могут привести к сокращению ресурса исполнительных механизмов и к неточности систем управления в результате нерасчетных высокочастотных срабатываний, а также к резонансным колебаниям некоторых звеньев системы.

В настоящей главе рассматриваются новые методы формирования скользящих режимов и перспективные методы синтеза разрывного управления и его многообразий скольжения с вспомогательными многообразиями переключений структур, устраняющими вышеперечисленные недостатки существующих в настоящее время разрывных управлений на скользящих режимах при действии ограниченных номинальных и неопределенных возмущений.

1. Приведение системы в скользящий режим

В данном разделе настоящей главы в связи с описанными недостатками применяемых в настоящее время разрывных управлений для приведения систем в скользящие режимы представлены методы построения векторных разрывных управлений, обладающих сравнительно малым числом ЛПУ, необходимых для формирования скользящих режимов на заданных многообразиях скольжения. Эти методы не приводят к ограничениям в задании многообразий скольжения, включая также подвижные многообразия скольжения, за исключением ограничений в виде условий существования управления, общих для любых методов формирования разрывных управлений на скользящих режимах. Отметим, что предлагаемые методы при соответствующем задании параметров управления и проведении идентификации сравнительно больших неопределенных возмущений с последующей их компенсацией обеспечивают уменьшение энергетических затрат. И это достигается в дополнение возможной их минимизации в результате применения известных методов, например, численного метода решения основной задачи управления [62]. Предлагаемое регулирование параметров установившихся колебаний гибридным разрывным управлением, которое переключается на непрерывное в малой окрестности многообразия скольжения, исключает негативное влияние скользящих режимов на исполнительные устройства. Продлевается ресурс электромагнитных клапанов в системе подачи топлива в ракетных двигателях и других элементов систем управления. Уменьшаются энергетические затраты на управление, так как разрывное управление с большими значениями модулей составляющих управления заменяется на непрерывное управление с малыми значениями его составляющих.

Рассмотрим систему c управляемым нелинейным нестационарным объектом:

 (1)

где - векторное разрывное управление, - функции, непрерывные по , . Для каждой составляющей управления вводятся функции и поверхности переключений ее структур,

Требуется найти составляющие разрывного управления , приводящего систему (1) в скользящий режим на - мерном многообразии пересечения поверхностей и обладающего следующими свойствами при заданном качестве переходных процессов на скользящем режиме: 1) сравнительно малое число переключаемых структур и логических переключающих устройств (ЛПУ) заданных структур; 2) малое число ограничений на задание поверхностей и вспомогательных поверхностей переключений структур; 3) относительно малые энергетические затраты на управление ; 4) возможность регулирования составляющих управления с помощью параметров колебаний (амплитуды и частоты) во избежание негативного влияния высоких частот на исполнительные механизмы и близости к резонансным частотам элементов системы управления.

1.1 Решение задач 1 и 2

В работе [53] получены необходимые условия существования скользящего режима и достаточные условия для попадания изображающей точки системы (1) на многообразие скольжения при составляющих , имеющих только две структуры при одном ЛПУ:

при при (2)

и, следовательно, только ЛПУ для всего векторного управления Отметим, что известные методы приведения в скольжение системы (1), даже только в её линейном варианте, при отсутствии ограничений на задание фиксированного - мерного многообразия скольжения требуют ЛПУ, то есть во столько раз больше, сколько есть размерность системы (1) [2]. Большое число ЛПУ усложняет аналоговую реализацию управления и неоправданно загружает компьютер при цифровой реализации на скользящем режиме из-за большого числа проверок знаков для каждой из функций , , . Оба недостатка снижают эффективность управления по сравнению с предлагаемым (2). Найдем управление (2) в виде, удобном для его формирования. Воспользуемся теоремой работы [53] в более подробной формулировке.

Теорема 1 [53]. Для существования в системе (1), (2) скользящего режима на - мерном многообразии необходимо, чтобы в точках поверхностей из равенств

,, (3)

где в левой части равенства задаваемая функция , а в правой части выражение производной в силу системы (1), следовали равенства а из них ( и ) следовали равенства (3).

Следствие теоремы 1. Условиям теоремы 1 удовлетворяют, например, в точках поверхностей , функции вида:

с функциями , , переключаемыми по алгоритму (2), или в более общем случае:

(4)

где при при , и, в частности, функции вида:

(5)

В частных случаях (4), (5) получаем соответственно системы по 2m нелинейных уравнений для определения структур составляющих , , управления :

(6)

Предполагаем, что решения систем (6) существуют в некоторой области , .

В частном случае системы (1), (2), когда управление входит линейно

(7)

где и - матрицы соответствующих размеров и , из соотношений (6) получаем соответствующие управления:

;

, (8)

где ,

,

, , - символ Кронекера, , ,

и выполняется единственное ограничение на задание многообразия скольжения в виде невырожденной матрицы произведения , Составляющие в (6), (8) имеют в общем случае матрицы по различных наборов функций , , , , .

Найдем условия приведения системы (1), (2) в скользящий режим на многообразие . Под приведением понимается попадание и.т. системы (1), (2) в малую окрестность многообразия с последующим движением в этой окрестности. Малость окрестности определяется требуемым качеством реального скользящего режима, в отличие от идеального с бесконечной частотой переключений структур. В силу необходимого и достаточного условий существования скользящего режима [53]:

, , , (9)

за исключением точек на - мерных многообразий , [53], из соотношений (4) и (5) получаем требования к функциям соответственно:

,

,

, . (10).

Теорема 2 [53]. Для приведения системы (1), (2) в скользящий режим на - мерном многообразии достаточно, чтобы функции удовлетворяли неравенствам (10), а соответственно неравенствам:

,

,

, . (11)

Условия (11) находим в силу достаточных условий попадания и.т. системы на многообразие :

, . (12)

Таким образом, для приведения системы (1), (2) в скользящий режим достаточно определять составляющие разрывного управления из соотношений (6), где функции , удовлетворяют неравенствам (10), (11). На функции переключения никаких дополнительных ограничений, помимо существования решения уравнений (6) и линейной независимости функций , в некоторой области , не накладывается. Отсутствие дополнительных ограничений является ценным свойством как для получения требуемых динамических свойств системы в скольжении на многообразии S, так и для декомпозиции разрывной системы на независимую разрывную и непрерывную подсистемы с целью упрощения исследования динамики [45]. Кроме выполнения условия линейной независимости функций , , поверхности задаются произвольно, ими могут быть координатные плоскости.

Отметим, что изложенным путем могут быть получены все предложенные в литературе скалярные управления с двумя гиперплоскостями переключений и одним ЛПУ, включая метод управления В.И. Уткина при одном ЛПУ [21]. Однако эти управления не гарантируют устойчивость и качество переходных процессов из-за ограничений на задание этих двух гиперплоскостей переключений.

Приведение в скользящий режим при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях сводится к представлению правой части системы (1) в виде суммы номинального (известного или измеряемого) слагаемого и неопределенного слагаемого , имеющего ограниченные по модулю предельные значения составляющих :

. (13)

При задании левой части (3) в виде выражения (4) получаем систему 2m нелинейных уравнений для определения структур составляющих , :

. (14)

Для каждой конкретной вектор-функции слагаемое идентифицируем одним из известных методов, например, по полному вектору состояния [27]. Структура управления задаём по известному вектору в равенстве (14) таким образом, чтобы упростить окончательное нахождение его составляющих , , как это показано на примере системы (7). Отметим, что идентификация неопределенностей оправдана в случаях, когда их значения на 5 - 10% превышают номинальные значения. Это особенно важно, когда неопределенности принимают предельные значения только кратковременно или даже способствуют приведению систем в скольжение. В случае отсутствия идентификации, когда действия неопределенностей преодолеваются путем введения разрывных коэффициентов, превышающих по модулю , управление разбиваем на слагаемые , где находим из условия (12). На примере системы (7) в случае:

, ,

, (15)

приходим к системе с приведенным вектором неопределенностей :

(16)

где

Управление совпадает с управлением (8), формируемым для системы (7), (15) без неопределенностей:

(17)

Управление при известных оценках предельных значений , составляющих вектора может находиться из условий попадания (12), относительно производных . Действительно, представим в неравенствах , , производную в виде суммы Для производной:

, ,

в составе вектора производных:

неравенство выполняется в силу управления (17). Поэтому для выполнения неравенств (12) достаточно выполнения еще и неравенств

, , (18)

где , ,

Зададимся в выражениях , структурой управления в виде:

, (19)

где , .

В производной получаем выражения в виде:

, . (20)

Из выражения (20) следует, что для выполнения неравенств (18) и с ними неравенств (12) достаточно находить параметры из условий:

при ,

, при , , , (21)

где предполагается, что диапазоны возможного изменения неопределенностей можно оценить по известным предельным значениям неопределенных и номинальных элементов матриц и столбцов в сумме (16), а также составляющих векторов и и уточнить по данным численного моделирования системы управления с дополнительной настройкой параметров (21), как и диагональных параметров матриц и в управлении (17). Настройку можно осуществить с минимизацией энергетических затрат на управление по методу решения основной задачи управления [62] и с выполнением определенных ограничений на показатели качества переходных процессов и на параметры колебаний составляющих управления. Показатели качества переходных процессов управления с применением скользящих режимов в основном определяются предварительным синтезом многообразий скольжения, но они могут также настраиваться в ограниченных пределах и вместе с указанными параметрами управления с применением указанного метода [62], развитого на случай действия ограниченных неопределенностей в работе [117].

Метод более детального нахождения управления, выполняющего функции управления для каждой неопределенности , , , , в отдельности, представлен в работе [57]. В этом случае упрощается оценка предельных значений неопределенностей, но увеличивается необходимое число ЛПУ. Применение того или иного метода определяется конкретным объектом, его неопределенностями и принятыми приоритетами по различным признакам эффективности управления. Отметим, что формирование управления как представленным методом идентификации неопределенностей, так и путем их преодоления (превышения) с учётом неопределенности в известных публикациях не отражены. Сравнительно компактное управление (19) более удобно для изложения перехода от разрывного управления к непрерывному в результате приведения и.т. системы в малую окрестность многообразия с целью синтеза гибридного управления как с идентификацией и компенсацией возмущений, так и с их преодолением.

1.2 Решение задач 3 и 4

Энергетические затраты на управление будем оценивать интегралом от суммы модулей составляющих управления с размерными коэффициентами за время переходного процесса :

. (22)

По сравнению с линейными управлениями интеграл (22) на скользящих режимах существенно меньше при повышенных требованиях к высокому быстродействию, например, к малости времени переходного процесса . Это связано с тем, что параметр в характеристическом уравнении замкнутой системы определяет быстродействие: чем больше , тем меньше время  [55, с. 6]. Он входит в коэффициенты линейного управления со старшей степенью, равной размерности системы , тогда как в коэффициенты многообразия скольжения, входящие линейно в выражения коэффициентов управления, в частности, для систем в форме Фробениуса с постоянными коэффициентами, старшая степень параметра меньше на размерность вектора управления, то есть равна .

По сравнению с известными разрывными управлениями [21], имеющими постоянные составляющие разрывных коэффициентов, составляющие , при постоянном знаке могут настраиваться на малые и минимальные значения интеграла (22) без потерь в качестве переходных процессов. Как показывают результаты численного моделирования систем управления, при экспоненциальном нарастании модулей коэффициентов , от нулевых значений до максимальных за четверть или половину требуемого времени значительно уменьшаются перерегулирование, модули составляющих и интеграл (22).

Покажем дополнительные возможности для такой настройки, возникающие при более полном применении сравнительно общих условий (4) формирования управлений, следующих из теоремы 1:

, (23)

Согласно теореме 2 [48] для приведения системы (1), (2) в скользящий режим на многообразии при выполнении равенств (4), (23) достаточно, чтобы выполнялись условия (10), (11):

,

,

, , . (24)

Рассмотрим некоторые сравнительно простые выражения функций и ограничений на параметры , и , , вытекающих из условий (24). Пусть, например, функции в первых двух неравенствах, в условиях существования скольжения, имеют сомножители с четной степенью :

, , (25)

тогда с учетом управления (2) из первого и второго неравенств (24) следует:

при , , , (26)

и окончательно получаем:

при ., . (27)

При нечетных значениях из неравенств (26) получаем:

, , при , (28)

где ,. Определение параметров , по условиям (28) в реализации несколько сложнее по сравнению с условием при четных значениях степени (26), так как каждый из них может иметь два различных знака.

Другой вариант определения параметров , , следует из неравенств (27) [11] для случая . Он основан на равенстве их знаков , или знаков и модулей:

, , (29)

Отметим, что вариант определения параметров , по алгоритму (29) при равенстве и параметров , обеспечивает непрерывность номинального управления в сумме при любом значении .

Рассмотрим в выражениях (24) вторые два неравенства, представляющие условия попадания и.т. на гиперплоскости и, тем самым, условия приведения системы (1), (2) в скользящий режим. Пусть, например, , где . Тогда указанные неравенства принимают вид:

, , , (30)

откуда, в силу четности степеней , приходим к условиям попадания и.т. на гиперплоскости :

, , . (31)

При четных степенях, когда , где , приходим к условиям попадания в виде (30), откуда в силу нечетности степеней , приходим к условиям попадания и.т. на гиперплоскости :

, , , (32)

которые, как и в случае (28), приводят не к одному, как в случае (30), а к двум знакам значений каждого из параметров и .

Таким образом, алгоритм номинального управления без учета неопределенностей (17), с равенствами параметров (29), (31) приводит к непрерывному управлению с асимптотическим приближением и.т.к. многообразию скольжения . Это свойство в работе [63] предложено применять для формирования гибридного управления , переключаемого с номинального (17) на непрерывное (17), (29), (31) при равенстве:

, , (33)

в малой окрестности многообразия :

, , (34)

малость которой определяется требуемой близостью показателей качества скользящего режима к показателям идеального скользящего режима при .

С увеличением значений показателей в степенях функций и в выражениях (23) скорости приближения и.т.к. поверхностям скольжения при и будут соответственно значительно увеличиваться и уменьшаться. Такое обстоятельство используется как для повышения качества переходных процессов, так и уменьшения и минимизации энергетических затрат (22) на управление путем настройки значений показателей и размеров окрестностей поверхностей скольжения как аналитическим путем, так и по результатам численного моделирования систем управления. Асимптотическое приведение и.т. на многообразие скольжения в малой окрестности позволяет обеспечить при малых скоростях малые значения управления и параметры колебаний (частоты и амплитуды) составляющих номинального управления, что важно для устранения негативного влияния высоких частот на исполнительные механизмы и возможных резонансных частот. В работе [63] с целью регулирования параметров колебаний предлагается также настройка параметров ЛПУ (запаздывания, зоны нечувствительности и гистерезиса), а также значений переключаемых параметров управления , , , при нулевой окрестности: .

При воздействии неопределенных возмущений в работе [63] проведена их идентификация и компенсация при выполнении условий инвариантности скользящего режима к вектору неопределенностей , а также метод регулирования параметров колебаний, который этого не требует. С этой целью рассмотрим синтез при возмущениях управления не разрывного, а непрерывного типа. При номинальном управлении (17) управление в системе (16) в производной представим в окрестности , , в отличие от разрывного управления (19) - (21), как непрерывное:

, (35)

где , , . Тогда производные и , , в (18) запишем в виде:

, (36)

Если окрестности , , выбраны настолько малыми, что установившиеся колебания управления при них имеют достаточно малые амплитуды и допускают скользящие режимы на ограничивающих малые окрестности гиперплоскостях , , то параметры при , достаточно задать непрерывными, удовлетворяющими в производных (36) двум условиям:

; , (37)

где , .

2. Уравнения скользящего режима и синтез векторных управлений

В данном разделе рассматривается система с линейным стационарным в номинальной части объектом в условиях действия номинальных и неопределенных внешних возмущений и неопределенных параметрических возмущений. Рассматривается метод вывода уравнений скользящего режима, близкий к методу эквивалентного управления В.И. Уткина [21], на фиксированном многообразии при выполнении условий инвариантности скользящего режима к возмущениям. Находится векторное разрывное управление, приводящее систему в скользящий режим. В синтезе управления для номинального объекта, не подверженного воздействию неопределенных возмущений, применяются необходимые условия существования скользящего режима, представленного в раздела 1. Число ЛПУ равно размерности управления, что меньше во столько раз, чему равна размерность системы уравнений для других известных управлений с переменной структурой. Каких либо других ограничений, помимо условия существования управления, на задание многообразий не накладывается. Вспомогательные многообразия переключений структур также задаются свободно и могут не совпадать с координатными гиперплоскостями (с многообразиями скольжения они, очевидно, совпадать не должны). Для слагаемого векторного управления, предназначенного для преодоления (превышения) возможного неблагоприятного воздействия неопределенных возмущений на процесс приведения системы, точнее, и.т. на многообразие скольжения, предлагаются различные по числу ЛПУ варианты в зависимости от сложности реализации данной составляющей и возможных энергетических затрат на его действие. В доступной литературе других вариантов преодоления действия возмущений для сравнения не обнаружено.

2.1 Вывод уравнений скользящего режима

Одной из распространённых математических моделей для динамических объектов является система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в нормальном виде. Для многих объектов математическая модель содержит векторное управление и учитывает ограниченные неопределенные возмущения в виде параметрических, содержащихся в матрицах системы, и в виде внешних воздействий. Вместе с тем большинство методов построения разрывных управлений, учитывающих известное свойство инвариантности скользящих режимов в обеспечении требуемых прямых показателей качества переходных процессов, не учитывают параметрические возмущения в матрице входа управления. А само управление либо имеет сравнительно большое число ЛПУ, либо накладывает ограничения на задание гиперплоскостей и многообразий скольжения, а также на вспомогательные гиперплоскости переключений, которые полагаются только координатными [21,48,61]. В этой связи были разработаны сравнительно общие методы синтеза векторных разрывных управлений для нелинейных объектов, устраняющие перечисленные недостатки [57]. Дальнейшее развитие указанных преимуществ требует разработки новых методов приведения в скольжение с заданными порядком и качеством в условиях неполной информации о векторе состояния, погрешностей измерений и наличия ограниченных неопределенных и номинальных возмущений и задающих воздействий. Разработка методов начинается с линейных объектов с постоянными в своих номинальных частях матрицами, не содержащими неопределенностей.

1. Управляемая система. Рассмотрим линейную нестационарную систему, полученную линеаризацией нелинейной управляемой системы:

, (38)

где , - ограниченная область, содержащая начало координат; ; ; , , ; на систему (38) действуют неопределённые параметрические , , и внешние неопределенные и номинальные возмущения:

, , ,

. (39)

Номинальные матрицы, , и столбец имеют измеряемые или вычисляемые элементы. Матрицы , , и столбец имеют ограниченные неопределенные элементы с известными предельными значениями. Полагаем, что матрицы , и удовлетворяют известным условиям инвариантности скользящих режимов к возмущениям и [21]:

, , (40)

где и , - некоторые - и - матрицы.

В реальных системах управления часто присутствует и параметрическое возмущение матрицы входа управления , которое к настоящему времени в известных работах по теории систем с переменной структурой не учитывается. Пусть в дальнейшем удовлетворяет условию:

, (41)

где - неопределённая - матрица.

Для системы (38) - (41) с разрывным управлением введём - мерное многообразие пересечения гиперплоскостей переключений структур составляющих , , управления:

, (42)

где - матрица размером с линейно независимыми строками .

Определение 1. Приведением системы (28) - (42) в скользящий режим назовём процесс попадания и.т. системы на многообразие (42) за конечное и меньшее время с последующим скользящим движением на всем оставшемся промежутке времени.

Поставим задачу: получить уравнения скользящего режима, инвариантного к неопределённым возмущениям , , , , и найти векторное разрывное управление , приводящее систему (38) - (41) в скользящий режим на многообразии (42).

2. Уравнения скользящего режима и условия инвариантности. Пусть в системе (38) - (42) выполняется обычное для систем с переменной структурой условие [21,48,57,61]. Тогда с учётом соотношений (39), (41) фактическим условием существования разрывных управлений, приводящих систему в скользящий режим, является выполнение неравенств:

, , (43)

Определение 2. Скользящим режимом в системе (38) с разрывным управлением на многообразии (42) будем называть такое движение , для которого справедливо:

, , (44)

где - момент попадания изображающей точки на многообразие (42).

Теорема 3. Скользящий режим на многообразии (42) в системе (38) - (41) с разрывным управлением описывается инвариантной к возмущениям системой:

(45)

для которой в силу (42) выполняется соотношение:

. (46)

Доказательство для линейного вхождения управления в систему (37) основано на любом из трех известных методов вывода уравнений скользящего режима [3, 5, 6]. В частности, согласно условию (44) получаем, что выполняется равенство . С учетом системы (38) - (42) и согласно методу эквивалентного управления В.И. Уткина [21] после определения управления из данного равенства и подстановки его в систему (38) приходим к системе (42). Теорема доказана.

Следствие 1. Условие (41) определяет условие инвариантности скользящего режима к неопределённым параметрическим возмущениям и совместно с условием (40) является достаточным для инвариантности ко всем неопределенным и номинальным возмущениям: , , и .

3. Построение разрывного управления. Векторное разрывное управление в системе (38) - (42) будем искать в силу известных необходимых и достаточных условий существования скользящего режима [21,48,61], но на каждой отдельно взятой гиперплоскости :

, , , (47)

и достаточных условий попадания и.т. за конечное время из любой точки пространства в сколь угодно малую окрестность этой гиперплоскости [21,48,61]:

, , (48)

где производные находятся в силу системы (38) - (42) независимо от возникновения скользящих режимов на других гиперплоскостях , .

Теорема 4. Для приведения системы (38) в скользящий режим на многообразии (42), достаточно существования такого векторного разрывного управления , которое определяется по исходной системе (38) из условий (47), (48) для каждой отдельно взятой гиперплоскости , .

Доказательство. В силу условий (47), (48) и.т. приводится за конечное время в скользящий режим либо непосредственно на многообразие (42), либо на одну или несколько гиперплоскостей скольжения , , , . В первом случае получаем доказательство теоремы. Во втором функции принимают согласно определению 2 нулевые значения , где - момент попадания на гиперплоскости скольжения . Согласно определению 2 производные в скольжении принимают нулевые значения и найденное по системе (38) разрывное управление должно удовлетворять системе из уравнений , , накладывающих связь на его составляющих:

,

где индекс в общем случае не совпадает с , . Однако оставшиеся составляющих находятся по условию теоремы, устанавливающей определение управления из условий (47), (48) для каждой отдельно взятой гиперплоскости, независимо от выражений этих составляющих и конечных значений координат состояния. Следовательно, и.т. из любой точки фазового пространства приводится в скользящий режим также на оставшиеся гиперплоскостей скольжения , . Теорема доказана.

Разложим векторное разрывное управление и производную на слагаемые:

(49)

(50)

Слагаемое в полном управлении (49) предназначено для приведения в скользящий режим номинальной системы (38), (39) без неопределённых возмущений , , , и при . А предназначено для преодоления (превышения) влияния неопределенных возмущений в процессе приведения в скольжение полной исходной системы (38), (39). Слагаемые и соответствуют номинальной системе и неопределенным возмущениям с преодолевающим их управлением и в силу системы (38), (39), (39) равны:

, (51)

(52)

Будем искать и , например, из условий (47), (48), выполняемых для каждого слагаемого и производной (50) в отдельности. Условия (47), (48) для будут выполняться, если, например, положить [53]:

, (53)

где , , - символ Кронекера,

- вспомогательные функции переключения с векторами , линейно-независимыми с , . Подставляя в левую часть равенства (52) выражение для (51) и решая получаемое уравнение относительно с учётом условия (52), получаем управление:

 (54)

где функции , , , (52) могут полагаться постоянными. Полученное управление (54) имеет в общем случае в раз меньшее число ЛПУ по сравнению с управлениями, полученными в [21,48,61]. При этом на задание многообразия скольжения (46) не накладывается никаких ограничений, помимо общего для применяемых в настоящее время систем с переменной структурой требования (43).

Пусть далее элементы матрицы неопределённых возмущений удовлетворяют вместе с элементами матриц и ограничениям:

, , , , (55)

где ; , и - элементы матриц и обратной матрицы , , . Общую структуру слагаемого зададим в виде:

, , (56)

где составляющие , , формируем в виде сумм:

. (57)

Подставим управление (56), (57) в выражение вектора - производной (52). Группируя слагаемые по неопределенным возмущениям и соответствующим управлениям в сумме (57), получаем для каждой - й производной, , выражения:

. (58)

Условия (47), (48) для производных будут выполняться, если произведение каждой скобки в (58) на функцию будет отрицательным. Для нахождения управления (57) раскроем в (58) первые слагаемые в каждой скобке:

,

,

,

,

,

. (59)

С учётом выражений (59) слагаемые управления (57) зададим в (58) равными:

; ;

(60)

где коэффициенты полагаются разрывными. Произведения скобок в выражении (58) на функцию будут отрицательными, если разрывные коэффициенты удовлетворяют в слагаемых (60) управления (57) неравенствам:

(61

(62)

(63)

Полученный алгоритм разрывного управления (54) реализуем в аналоговом или цифровом исполнении. В последнем случае для нахождения составляющих , , необходимо решать систему из алгебраических уравнений (62) с разрывными коэффициентами , удовлетворяющими неравенствам (63).

Замечание 1. Возможен другой вариант построения составляющих , учитывающий то обстоятельство, что строки являются известными функциями времени. Представим выражения в (58) в виде:

, (64)

где полагаем равными:

, . (65)

Условия (48) согласно соотношениям (63) и выражениям (64) выполняются, если справедливы условия:

В этом варианте формирования управления увеличивается число коммутаций коэффициентов, однако упрощается их нахождение в силу исключения известных строк из неопределенных произведений в неравенствах (62). Это даёт возможность уменьшить значения , в управлениях , (56). Окончательный выбор типа разрывного управления определяется видом системы (38), аппаратурной реализацией закона управления (аналоговая или цифровая), ограничениями на управление и его коэффициенты, требованиями к скорости выработки сигнала управления, к габаритным и весовым характеристикам управляющего устройства.

2.2 Выводы по разделу 2

1. Представлены методы вывода уравнений скользящего режима и приведения системы управления в такой режим для случая вхождения неопределенных возмущений в систему с линейным стационарным объектом.

2. Управление для номинальной системы обладает сравнительно малым числом ЛПУ и не накладывает каких-либо дополнительных ограничений на задание фиксированных многообразий скольжения.

3. Управление, преодолевающее (превышающее) воздействие неопределенных возмущений на процесс приведения системы в скользящий режим, учитывает их вхождение в матрицу входа управления, и также, как номинальное, не накладывает ограничений на задание фиксированных многообразий скольжения.

3. Скользящие режимы при невыполнении условий инвариантности к возмущениям

В данном разделе для систем управления с линейным стационарным объектом при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности к ним исходных систем на скользящих режимах, на основе предварительного приведения исходной системы к регулярной форме представлены:

- метод синтеза подвижного разрывного многообразия скольжения по заданному качеству переходных процессов на скользящих режимах при размерности системы равной двум размерностям вектора управления или меньшей размерности при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях; многообразие скольжения синтезируется таким образом, что в системе скользящего режима практически полностью нейтрализуется действие обоих возмущений, в результате чего при идентификации и компенсации неопределенных ограниченных возмущений скользящий режим наделяется требуемым качеством переходных процессов;

- доказательство того, что в обычном скользящем режиме первого порядка при размерности системы, большей удвоенной размерности управления, компенсация действия номинальных и неопределенных возмущений в системе скользящего режима не выполняется;

- доказательство того, что в случае превышения размерности системы удвоенной размерности вектора управления, имеется возможность получения еще более высокого качества переходных процессов в силу возникающей возможности приведения исходной системы не в обычный скользящий режим первого порядка, а в режим скольжения второго порядка. В этом режиме размерность системы скользящего режима меньше размерности исходной системы уже не на одну, а на две размерности вектора управления. Кратко обозначены пути развития данного подхода к синтезу управления и его многообразий скольжения при номинальных и неопределенных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности в исходной системе уравнений;

- метод синтеза векторного управления, приводящего исходную систему при номинальных и неопределенных возмущениях в скользящий режим на разрывное многообразие при размерности системы, равной или меньшей удвоенной размерности управления;

- метод синтеза многообразия скольжения при размерности системы, меньшей удвоенной размерности управления, основанный на преодолении возмущений в системе скользящего режима.

Рассмотрим управляемую систему:

(66)

где , , , , , , - векторное управление; , , и - номинальные, или известные постоянные , , - матрицы и номинальный - вектор переменных ограниченных внешних возмущений; , , , и - матрицы параметрических и вектор внешних переменных ограниченных возмущений.

Предполагается, что известные условия инвариантности [21,51] системы (66) к перечисленным номинальным и неопределенным возмущениям в скользящем режиме на подвижном () - мерном многообразии:

(67)

где - матрица переменных коэффициентов размером , - функции переключений, - -е строки матрицы , , не выполняются.

Задача. Синтезировать подвижное многообразие и разрывное векторное управление , приводящее систему (66) в скользящий режим на заданном многообразии (67) с обеспечением требуемого качества переходных процессов при невыполнении условий инвариантности скользящих режимов к номинальным и неопределенным ограниченным возмущениям в данной системе при различных значениях размерностей векторов состояния и управления системы.

3.1 Преобразование системы уравнений к регулярной форме

Для решения задачи перейдём к системе (66) в регулярной форме [25] в номинальной её части без неопределенных возмущений, не содержащей управления в первых уравнениях. В системе (66) проведём невырожденное преобразование координат [42]:

, (68)

где , - единичная матрица размером , - нулевая матрица размером , - произведение матриц, в котором и являются и - субматрицами - матрицы , Как всякое преобразование с невырожденной матрицей преобразование (68) не приводит к потере свойства инвариантности системы (66) [42]. Преобразованные система (66) и многообразие (67) записываются в виде:

(69)

(70)

где, ,

и - субматрицы и являются соответственно нулевой и невырожденной, Матрица имеет размеры , задаётся в общем случае с переменными коэффициентами и соответствует подвижному многообразию (70).

3.2 Уравнения скользящего режима в системе регулярной формы

Запишем систему (69) с приведением всех неопределенных возмущений к одному суммарному вектору с ограниченными составляющими:

, (71)

где .

Применим один из трех известных методов вывода уравнений скользящего режима для линейного вхождения управления, в частности, метод эквивалентного управления [21]. Разложим в многообразии (70) и в системе (71) cтолбцы и и матрицы , , , на субвекторы и субматрицы:

, , , , ,

- , ,

, , =0,

, .

Полагая и учитывая =0, получаем систему скользящего режима на подвижном многообразии (70)

. (72)

Исключим в системе (72) субвектор , принимающий на скользящем режиме в силу условия (70) выражение:

, (73)

после отбрасывания обращающихся в тождество последних уравнений приходим к системе:

(74)

в которой и в субвекторе учтено выражение (73).

3.3 Синтез многообразий скольжения при отсутствии возмущений

Предположим, что для управляемой системы (66) система (74) также является управляемой с - матрицей , которую примем за матрицу входа управления:

. (75)

Отметим, что в отличие от исходного управления , есть управление скользящим режимом, или управление скольжением. В случае отсутствия возмущений в системе (74) матрица многообразия скольжения (70) принимается постоянной и находится по заданному качеству переходных процессов (по заданным собственным значениям матрицы ) методом модального управления [56].

3.4 Синтез многообразия скольжения с размерностью системы, равной удвоенной размерности вектора управления

В этом случае, то есть при , или , и при действии только номинальных внешних возмущений , когда вектор не равен тождественно нулю и , матрицу в управлении скольжением (75) формируем в виде суммы:

, (76)

где матрицу задаём в виде:

, (77)

где - строки матрицы , .

Многообразие скольжения (70), управление скольжением (75) - (77) и система скользящего режима (74) с учетом принимают вид:

; (78)

(79)

. (80)

Субвектор системы (72) в таком скользящем режиме находим согласно выражению (73).

В случае и при действии номинальных и неопределенных внешних возмущений и , когда векторы и не равны тождественно нулю, матрицу для системы (74) в управлении (75) формируем в виде суммы:

, (81)

где - матрицы и имеют выражения (77) и

, (82)

, . (83)

Многообразие скольжения (178), управление скольжением (79) и система скользящего режима (80) принимают вид:

; (84)

; (85)

, (86)

где ,

Отметим, что при задании матрицы из условия асимптотической устойчивости системы (80) выполнение условия (83) означает, что каждая координата системы (86) убывает до нулевых значений уже не асимптотически, а за конечное время. На каждой гиперплоскости в отдельных ее областях возможно возникновение попутных скользящих режимов при выполнении на них необходимых и достаточных условий их существования:

, , . (87)

Условия (87) выполняются в зависимости от значений слагаемого и задаваемых в силу неравенств (83) параметров . С увеличением значений возникновение такого скользящего режима на - мерном многообразии в переходном процессе ускоряется.

Управление скольжением (85) компенсирует действие номинального возмущения и преодолевает действие неопределенного возмущения . Последнее может привести к неоправданно большим по модулю значениям составляющих произведения

,

так как предельные значения составляющих вектора в неравенствах (83), если оцениваются приближенно, могут привести к большим значениям , и, в конечном итоге, к выводу составляющих управления в исходной системе (69) на ограничения. В этой связи оправданными оказываются идентификация и компенсация субвектора в самом скользящем режиме. Идентификацию можно проводить как по исходной системе (69), так и по системе скользящего режима (74):

(88)

в которой и управление скольжением заданы в виде:

 (89)

где ,

,

а заданы в виде, отличающемся от (82):

, (90)

где , , составляющие вектора , полученного в результате идентификации вектора . Слагаемое управления скольжением (89) запишем в виде:

. (91)

Система (88) с учетом выражений (89) - (91) принимает вид:

(92)

Рассмотрим два метода идентификации приведенного вектора неопределенных ограниченных возмущений. Первый метод идентификации вектора по заданному начальному значению , равному нулю или известному приближенному значению по результатам моделирования системы управления, состоит в том, что на малых временных интервалах все координаты полагаются постоянными, а производная принимается равной нулю. Находим постоянное значение вектора на первом малом шаге , оно в перечисленных условиях принимается за значение и так далее. В результате с уменьшением длины интервалов - шагов , в перечисленных условиях постоянства координат и векторов приходим к предельному соотношению:

. (93)

В применении для полного вектора в системе (71) данный метод идентификации более подробно изложен в работе [28].

Второй метод идентификации полного вектора , а с ним и - субвектора , основан на применении вместе с системой (71) при полной информации о состоянии и модельной системы - идентификатора состояния Люенбергера [56], дополненного номинальным вектором и при начальных условиях , в общем случае отличающихся от :

, ,

. (94)

В модельной системе матрицы и размером задаём так, чтобы система в отклонениях :

, (95)

образующаяся в результате вычитания в системе (94) второй подсистемы из первой, была управляемой, т.е.имела бы управляемую пару с заданными собственными значениями матрицы , или, что одно и то же, матрицы . Управление , одинаковое для обеих подсистем (94), находим как преодолевающее возмущение по первой подсиcтеме, или как компенсирующее это возмущение по второй подсистеме [31].

Запишем решение системы (95) на малых полуинтервалах , , на каждом из которых возмущение принимается постоянным:

,

где , - фундаментальная матрица. Получаем выражение полного вектора возмущений на каждом малом полуинтервале:

, (96)

где отклонения , в вначале и конце каждого полуинтервала определяем по показаниям датчиков , исходной системы (первой подсистемы (30)) и по вычисляемым координатам , модельной системы (второй подсистемы (30)). На первом шаге возмущение полагаем, как и в первом методе, равным нулю или известному приближенному значению по результатам моделирования системы управления.

Замечание 2. В случае недостаточно высокой точности идентификации субвектор представляем как сумму вычисленного слагаемого и слагаемого погрешности идентификации:

.

В управлении скольжением (85) слагаемое учитываем аналогично формированию матрицы (77) для номинального возмущения , в результате чего приходим к сумме матриц:

,

где

Для учёта и преодоления слагаемого приходим к матрице , определяемой аналогично матрице (82), (83):

,

где , . Тогда в управлении скольжением (89) вместо суммы матриц и используем менее энергоемкую для управления сумму матриц и .

Замечание 3. Отметим, что при численном моделировании системы управления с субматрицами (76), (77), (82), (89), (90), допускающими деление на координаты субвектора , принимающие значения, близкие к нулевым, к концу переходного процесса, вычисляются только составляющие векторного управления, но не выражения указанных субматриц. В результате в управление входят сомножители , , которые вместе с другими принимают в управлении только конечные значения.

3.5 Многообразие скольжения в системе с размерностью, меньшей удвоенной размерности вектора управления, с компенсацией возмущений

Рассмотрим синтез многообразия скольжения в случае, или , при компенсации возмущений. Синтез многообразия скольжения усложняется уже при номинальных возмущениях. Рассмотрим это на примере системы скользящего режима (88):

(97,)

в которой вектор является вектором номинальных возмущений при векторе , удовлетворяющем условиям достаточно точной его идентификации на малых интервалах времени, и управление скольжением задаём в виде суммы:

(98)

Чтобы управление (98) скомпенсировало неблагоприятное воздействие субвектора на качество переходного процесса в системе (97), необходимо и достаточно обеспечить выполнение равенства:

...