Синтез разрывных управлений

(99)

Представим векторы и в виде:

и ,

,

(100)

Раскрывая матрицу , условие компенсации (99) упростим до вида:

. (101)

Из системы (101) непосредственно следует, что при выборе линейно-независимых столбцов в матрице и задании остальных столбцов и умножаемых на них элементов вектора после переноса указанных произведений в правую часть получаем искомое решение . Например, при линейной независимости первых столбцов в - субматрице в составе - матрицы решение , представим в виде:

(102)

Составляющие субвектора , а по ним и строки коэффициентов ,…, , , в - матрице , задаём в силу последних равенств - ограничений в равенствах (100) в виде:

и других определённых условий, в частности, показателей качества и оптимальности процессов управления.

Таким образом, в разделах 3.4 и 3.5 представлены методы обеспечения заданного качества скользящего режима при невыполнении условий инвариантности скользящего режима в исходной системе к неопределенным и номинальным возмущениям при размерности системы равной или меньшей удвоенной размерности управления. Система скользящего режима в этих случаях имеет размерность :

, (103)

и качество ее переходных процессов полностью определяется заданием - субматрицы , например, методом модального управления [56].

3.6 Многообразия скольжения и управления для приведения в скользящий режим системы с размерностью, превышающей двойную размерность вектора управления

1. Рассмотрим возможности синтеза многообразия и управления для приведения системы в обычные скользящие режимы, когда размерность системы превышает удвоенную размерность вектора управления, т.е. или . В этом случае равенство (100) принимает вид:

,

а условие компенсации (99) принимает вид системы:

. (104)

Решения данной системы в общем случае - субматрицы и столбца не существует. Следовательно, в обычном скользящем режиме при или компенсация в системе скользящего режима (но не в исходной системе (71)) действия вектора суммы номинальных и неопределенных возмущений невозможна. Соответственно, не требуется строить управление, приводящее систему (71) в скользящий режим при отсутствии подходящего по качеству процессов многообразия скольжения.

2. Рассмотрим возможности синтеза многообразий и управлений для скользящих режимов второго и выше порядков.

Дальнейшее повышение качества переходных процессов для значений размерностей и , рассмотренных в предыдущем подразделе, удаётся получить, так как при или возможно формировать скользящие режимы не обычного первого порядка, а второго порядка. При этом размерность системы скользящего режима понижается не до обычного размера , а до размерности , при условии , которое не противоречит неравенству [42]. Для реализации такой возможности сначала найдём разрывное управление, приводящее исходную систему (71) в обычный скользящий режим с размерностью системы равной . Такой метод формирования многообразия скольжения, позволяет обеспечить требуемое качество переходных процессов и при наличии возмущений, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности скользящего режима к возмущениям:

, , , ,

для системы (66) и к данным условиям в виде:

, , , , (105)

для системы в регулярной форме (71), которые на случай выделения приведенного вектора неопределенных возмущений сводятся к двум условиям:

, , (106)

где размерности матриц неопределенных коэффициентов в перечисленных условиях (105) - (106) инвариантности следуют из размерностей матриц сомножителей и произведений.

Если условия инвариантности к возмущениям в системе скольжения первого порядка (97):

(107)

где , выполняются, т.е. , или , то можно применить метод приведения в скользящий режим второго порядка с размерностью его системы, равной [42]. Если же данные условия инвариантности не выполняются, то скользящий режим второго порядка будет осуществляться на многообразии, формируемом по методу подраздела 3.5, аналогично тому, как получена система скользящего режима (97). Но, в отличие от работы [42], поверхности вспомогательных скольжений, приводящих и.т. на многообразие скольжения второго порядка с противоположных сторон, в силу уравнений скольжения вида (107) и поверхность скольжения второго порядка не будут являться непрерывными. Решение такой задачи является развитием метода многоуровневого разрывного управления [42] для синтеза скользящих режимов заданного порядка в условиях неопределенных возмущений, не удовлетворяющих условиям инвариантности.

3.7 Синтез управлений, приводящих систему в скользящий режим при невыполнения условий инвариантности для

В данном случае . Представим производную функции переключений (70) в системе (71) в виде суммы:

(108)

в которой первое слагаемое соответствует номинальным составляющим системы (71), а второе неопределенным, включая также соответствующие слагаемые управления :

(109)

Рассмотрим случай многообразия (84), как наиболее общий из представленных для . Функция переключений в раскрытом виде при , запишем в виде:

(110)

В производной от функции (110)

,

определяемой в силу системы (71):

, (111)

слагаемые , в сумме (108) принимают вид:

(112)

. (113)

Структура управления составляем с одним ЛПУ для каждой составляющей , , применяя необходимые условия существования скользящего режима [53,54]:

, (114)

где,

,

- вспомогательные функции переключений структур управлений , - строки матрицы , . Отметим, что условие (114) не требует обязательного включения начала координат в - мерные многообразия и переключения структур [53].

В силу необходимых и достаточных условий существования скользящего режима

, , , (115)

на поверхностях многообразия (84)

в условии (114) должны выполняться неравенства

, , (116)

а в силу достаточных условий попадания и.т. системы в малую окрестность многообразия

, (117)

должны выполняться неравенства:

, , (118)

где функции , , , (116), (118) полагаем постоянными.

Подставляя в левую часть равенства (114) выражение для (112) и решая получаемое уравнение относительно с учётом невырожденной субматрицы , получаем управление:

(119)

где импульсные функции Дирака , , при переходе от нулевых значений к положительным в момент можно аппроксимировать непрерывными функциями [79, c. 794], например:

. (120)

В реальной системе управления за можно принимать ограниченные положительные постоянные , определяемые допустимыми значениями модулей управлений . Так как и.т. может «прошивать» гиперплоскости в моменты с двух разных сторон, то значение импульсной функции в управлении (119) находим по алгоритму:

(121)

где равно принятому шагу интегрирования системы (71) с управлением (109). Значение малой постоянной тем меньше, чем меньше . Её значение оценивается как аналитически, так и в результате экспериментального моделирования системы управления. Моменты прошивания определяются для каждой гиперплоскости выполнением неравенств . Невыполнение обоих неравенств означает отсутствие прошивания гиперплоскостей на текущий момент времени и равенство нулю импульсной функции.

Отметим, что требуемую скорость приближения и.т.к. многообразию (84) можно формировать без учета импульсных функций (121), а лишь с помощью переключений параметров матриц на увеличенные по модулю значения в малой окрестности координатных гиперплоскостей при выполнении неравенств в первом и третьем условиях (121).

Без учета логики формирования импульсных функций (121) или их компенсации путем переключений параметров (116), (118) матриц управление (119) имеет в общем случае в раз меньшее, число ЛПУ по сравнению с управлениями, полученными в работах С.В. Емельянова [19] и В.И. Уткина [21]. При этом управление не накладывает ограничений на задание многообразия скольжения (84), кроме общего требования для систем с переменной структурой.

Найдем управление , преодолевающее действие неопределенных возмущений на процесс приведения системы в скользящий режим на многообразии (84). Условия существования скользящего режима и попадания и.т. на него, в применении для производной , выполняются при соблюдении неравенств (115), (117) и ограничений:

 (122)

так как . Представим вектор управления и векторную производную (113) в виде:

, ,

,

, (123)

Представим строки матрицы как , и зададим управление в виде:

, (124)

где , .

Тогда производные и запишем в виде:

, , . (125)

Из выражения для с учетом выполнения неравенств (122) следует алгоритм задания составляющих разрывных параметров :

(126)

где , . Управление задаём в виде:

, (127)

в котором , , и неравенства (122) выполняются при:

Второй метод синтеза слагаемого в полном управлении (109) основан на отдельном нахождении управлений для каждой неопределенности в сумме (71):

,

как это сделано в работе [54] для слагаемого в сумме . В этом управлении в упрощается оценка предельных значений каждого элемента каждой матрицы и столбца параметрических и внешних неопределенных возмущений , , и , но увеличивается число ЛПУ и создаваемых структур из-за учета обычно не принимаемой во внимание неопределенности в матрице входа управления.

3.8 Синтез многообразия скольжения и разрывного управления с размерностью системы, меньшей удвоенной размерности вектора управления, без идентификации возмущений

Этот случай характеризуется следующими сочетаниями размерностей системы и вектора управления, или .

1. Синтез многообразия скольжения. Рассмотрим синтез многообразия скольжения и управления без идентификации неопределенных возмущений, а путем их преодоления. Уравнение скользящего режима на () - мерном многообразии:

, (128)

где , для системы (71) записываем:

, (129)

где

Найдём такую матрицу:

(130)

чтобы выполнялись равенства:

(131)

(132)

где , .

Для выполнения равенства (131) зададим - матрицу , в виде:

. (133)

Тогда произведение примет вид:

. (134)

Обозначим вектор как вектор неизвестных . Тогда равенство (131) представим в виде:

(135)

Система (135) имеет решение , если - матрица имеет линейно-независимых столбцов. Для окончательного нахождения коэффициентов , , достаточно задать, например, подряд первые коэффициентов в каждой строке и найти по ним и коэффициентам оставшиеся , . Очевидно, что при система (135) решения не имеет.

Рассмотрим возможность выполнения условия (132) с нахождением коэффициентов , , , задаваемой структурно - матрицы :

. (136)

Произведение запишем в виде:

. (137)

Записывая условие (132) в виде:

получаем при линейно независимых столбцах матрицы и, при заданных в данном условии значении вектора , решение , по которому находятся все коэффициенты , в матрице (136). В результате приходим к уравнениям скользящего режима:

(138)

где , , с обеспечением заданного качества скользящего режима при постоянном действии неопределенных ограниченных возмущений несмотря на невыполнение условий инвариантности скользящих режимов к этим возмущениям [21].

Библиографический список

1. Сиразетдинов Т.К. Богомолов А.И. Аналитическое проектирование сложных систем I // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1978. - №2. - С. 83-91.

2. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Синтез гибридных управлений в регулировании колебаний на скользящем режиме при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ. - 2013. - №4. - С. 272-281.

3. Шкадов Л.М., Буханова Р.С, Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального проектирования движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972. - 244 c.

4. Халфман Р.Л. Динамика. М: Наука, 1972. - 568 с.

5. Афанасьев В.А., Дегтярёв Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Идентификация эффективности управления ракетными двигателями в полете космического аппарата // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2012. - №1. - С. 136-145.

6. Афанасьев В.А. и др. Патент на изобретение №2298898 «Корпус». Патентообладатель: Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный ракетный центр «КБ имени академика В.П. Макеева», (RU). Заявка №2005410035. Приоритет изобретения 23 декабря 2005 г. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 13 апреля 2007 г. Срок действия патента истекает 23 декабря 2025 г.

7. Афанасьев В.А. и др. Патент на изобретение №2366137 «Атмосфера». Патентообладатель: Открытое акционерное общество «Государственный ракетный центр имени академика В.П. Макеева», (RU). Заявка №2008410001. Приоритет изобретения 11 января 2008 г. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 05 августа 2009 г. Срок действия патента истекает 11 января 2028 г.

8. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз., 1957. - 336 с.

9. Величко И.И. Мечи на орала // Авиация и космонавтика. - 1993. - №5. - С. 42-44.

10. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Методы терминального управления планированием космического летательного аппарата на скользящих режимах // Изв.вузов. Авиационная техника. - 1998 - №4. - С. 9-17.

11. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. К воспроизведению модельного планирования космическим летательным аппаратом на скользящих режимах в условиях неопределенных возмущений // Изв.вузов. Авиационная техника. - 1999. - №2. - С. 11-15.

12. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Воспроизведение модельного планирования космического летательного аппарата с заданной точностью на многошаговых скользящих режимах // Изв.вузов. Авиационная техника. - 2000. - №1. - С. 3-6.

13. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределённых интегралов // Справочник. М.: Наука, 1986. - 192 с.

14. Афанасьев В.А., Хайруллин В.Р. Синтез управления космическими аппаратами в атмосфере по аналитическим решениям уравнений движения // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2009. - №3. - С. 98-102.

15. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Аналитический синтез управлений возвращаемыми космическими аппаратами методом сопряжения типовых траекторий // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2009. - №4. - С. 96-102.

16. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Аналитическое конструирование траекторий полета возвращаемых космических аппаратов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - №4. - С. 161-170.

17. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Модельная задача перехвата летательного аппарата в однородной атмосфере // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - №2. - С. 118-121.

18. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1978. - 832 с.

19. Афанасьев В.А, Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Метод аналитических решений в моделировании и проектировании систем управления возвращаемых космических аппаратов // Авиакосмическое приборостроение. - 2006. - №5. - С. 49-54.

20. Афанасьев В.А., Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Настраиваемая математическая модель полета снаряда в атмосфере // Авиакосмическое приборостроение. - 2008. - №7. - С. 14-18.

21. Афанасьев В.А., Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Аналитическое программирование угловых разворотов космического аппарата с помощью ракетных двигателей // Авиакосмическое приборостроение. - 2012. - №5. - С. 3-9.

Размещено на Allbest.ru

...