Подход к решению задачи гидродинамической турбулентности вязкой жидкости методами динамики эволюции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подход к решению задачи гидродинамической турбулентности вязкой жидкости методами динамики эволюции

А.В. Косарев, член АН Векторной энергетики, г. Оренбург.

Проблема турбулентности признана одной из самых сложных проблем сегодняшней макрофизики, особенно проблема турбулентности вязкой несжимаемой жидкости. Несмотря на то, что явление турбулентности впервые исследовано Рейнольдсом уже более ста лет назад, о механизмах возникновения турбулентности до сих пор нет даже качественных общепринятых представлений. Турбулентное течение, развивающееся в сильно неравновесных системах, характерно чрезвычайной неустойчивостью, непредсказуемостью поведения, беспорядочным изменением скорости, пульсирующей около среднего значения. Траектории движения отличаются сложностью, хаотичностью и нерегулярностью, вихревой разно масштабностью. Автор [11] приводит такие слова английского физика Г. Моффата: “… исследователи столкнулись с исключительными трудностями методов … и возникло понимание того, что проблема турбулентности, всегда считавшаяся трудной, в действительности чрезвычайно трудна”.

Первые теории, описывающие движение идеальной несжимаемой жидкости, послужили скорее развитию математики, чем описанию физической реальности. Так Р. Фейнман в [12] пишет: …”примерно до 1900г., основные усилия были направлены на решение красивых математических задач, которые ничего не имеют общего с реальными жидкостями”. Однако они стали отправной точкой для дальнейших исследований. Следующим шагом был учёт сил вязкости с использованием экспериментально установленного ещё Ньютоном закона вязкого трения. Это позволило достаточно хорошо описать ламинарное течение жидкостей в каналах, объяснить многие экспериментальные факты, например параболический закон скоростей по сечению потока и закон Пуазейля-Гагена. Однако в дальнейшем классическая гидродинамика столкнулась с непреодолимыми препятствиями, вызванными открытием Рейнольдсом турбулентности. Из существующих представлений турбулентность никак не возникала. Под напором потребностей практики стала развиваться теория подобия, в основу которой был положен эксперимент и критерии подобия. Теория подобия сняла остроту проблемы для практики, но для теории породила дополнительное множество трудных проблем. Развитие статистических методов и теории устойчивости Ляпунова привели к учению о детерминированном хаосе. Основными понятиями этого учения стали понятия устойчивых и неустойчивых состояний динамических процессов, бифуркации, аттрактора, в том числе странный аттрактор. Параллельно развивалась теория диссипативных структур Пригожина, изучающая процессы рождения порядка их хаоса в открытых сильно неравновесных термодинамических системах. Эти теории, особенно теория детерминированного хаоса, повторили начальный этап развития гидродинамики. Это скорее математические теории, которые пытались отобразить физические особенности таких сложных явлений как, например, турбулентность. Эти теории привели к скачку в развитии математического моделирования сложных явлений и развитию численных методов их решения. Но физическая суть этих явлений при этом проявлялась слабо. Примером этому служат теории Ландау - Хопфа, Колмогорова - Обухова, Фейгенбаума. Так авторы [7], описывая теорию Ландау - Хопфа о несовместимости частот турбулентных вихрей заключают: “Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением”. Описывая теорию Фейгенбаума, авторы [7], пишут: “Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. … и в пространстве возникает сложный апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности”. Не стала общепризнанной и теория Колмогорова - Обухова в качестве адекватной модели турбулентности. Но эти теории, совместно с теорией Пригожина стали базовыми для подходов к изучению сложных явлений, относящихся к эволюционным, в которых одновременно проявляются и детерминизм и статистика.

Изложим исходные положения, которые позволят нам по новому взглянуть на структуру ламинарного потока и на механизм возникновения турбулентности. Занимаясь проблемами обоснования закона роста энтропии и вопросами диссипации кооперативных потоков энергии, автором статьи был вскрыт механизм вырождения результирующего импульса через нецентральное соударение. [4, 5]. Это позволило понять развитие эволюционных процессов в неравновесных системах как в направлении к равновесию (по Клаузиусу), так и в направлении эволюции диссипативных структур (по Дарвину).

Импульс и кинетическая энергия являются неразрывными характеристиками движущейся массы. В оби величины входит скорость. Причём кинетическая энергия переносима импульсом в том смысле, что она перемещается в направлении импульса. При рассмотрении этих характеристик движущейся массы в многочастичной (диссипативной) среде их неразрывная связь становится ещё очевидней. Когда в многочастичной среде соударение приводит к лавинообразному вовлечению массы в результирующий импульс, то, оставаясь постоянным как вектор, согласно закону сохранения результирующего импульса, он меняет свою энергетическую характеристику. Качественное изменение импульса приводит к качественному изменению связанной с ним кинетической энергии. С ростом массы импульс вырождается как носитель кинетической энергии. Это хорошо видно на Рис.1. При увеличении массы импульса вдвое, скорость импульса уменьшается вдвое. При этом переносимая им кинетическая энергия также снижается вдвое, т.к. скорость в кинетическую энергию входит в квадратичной зависимости. В тоже время при каждом нецентральном соударении возникают взаимно уравновешенные импульсы, несущие на себе часть энергии первоначального импульса. Эта часть кинетической энергии принимает новое, статистическое качество, теряет направленность и способность совершать макроскопическую работу. На рисунке виден ярко выраженный фрактальный характер процесса рассеяния. Таким образом эффект результирующего импульса является связующим звеном между детерминизмом динамики Ньютона и вероятностным характером статистической механики.

гидродинамический турбулентность вихрь

Всесилие механизма диссипации, приводящего систему к равновесию, заключается в том, что материя имеет корпускулярное строение, т.е. частицы имеют конечные размеры, а значит соударение нецентральное. Частиц же великое множество (достаточно вспомнить число Лошмидта) и затухание происходит очень быстро. Способность диссипативных сред качественно вырождать результирующий импульс и как следствие качественно изменять динамику, когда детерминизм динамики уступает место вероятности статистической механики является их стержневым свойством. Закон роста энтропии есть следствие эффекта вырождения результирующего импульса в многочастичной (диссипативной) среде.

Теперь наряду с процессом рассеяния направленной энергии в диссипативной среде рассмотрим противоположный ему процесс самоорганизации хаоса, возникновения диссипативных структур, возникновения кооперативного движения.

Всякая неравновесность состояния термодинамической системы вызвана какой-либо разностью потенциалов (разность давлений, температур, разность химических потенциалов, разность энергетических уровней). Уже в разности потенциалов, в наличии потенциальной энергии и заложена самоорганизация, заложены условия возникновения кооперативного движения. Если в термодинамической системе есть неравновесность, т.е. разность потенциалов, то в этой системе имеется градиент потенциальной энергии. Если в системе есть градиент потенциальной энергии, то в этой системе действует сила, имеющая выделенное направление, против градиента потенциальной энергии:

где - потенциальная энергия, запасенная в системе, ; F - сила, действующая в системе; r - расстояние на котором имеется разность потенциалов .

Так как разность потенциалов действует на всю многочастичную систему, то и сила действует на систему в целом, вызывая коллективное, совместное движение частиц диссипативной системы. В форме массового (гидродинамического) потока, когда частицы свободны (газ, жидкость) или в форме фононного потока, потока бегущих волн, когда частицы связаны (кристалл) и могут совершать только колебательные движения. Возникают термодинамические потоки массы и энергии, потоки энергии Умова. Осуществляется переход потенциальной энергии, запасенной в неравновесной системе, в кинетическую энергию общего переноса, имеющей результирующий импульс по направлению силы (-grad). Это и есть механизм самоорганизации (синергетики) диссипативных структур, основополагающего понятия сильно неравновесной термодинамики. Подчеркнём, что самоорганизация в неравновесной термодинамической системе возникает в результате преобразования только потенциальной энергии неравновесности в кооперативную кинетическую энергию. Хаос не самоорганизуется. Понятие хаоса относится только к подсистеме кинетической энергии с . И здесь возможны только флуктуации.

Механизм возникновения кооперативного движения в неравновесной диссипативной среде не несёт в себе ничего нового по сравнению со вторым, основным законом динамики Ньютона. Сложность заключается в том, что не всегда в неравновесной термодинамической системе (системе из не счётного числа частиц) под действием силы в соответствии с основным законом динамики происходит зримое ускорение массы, возникает кооперативное движение, совместный поток частиц. Для понимания причин этого необходимо уяснить очень важное для диссипативных сред понятие. Назовем его - диссипативный порог многочастичной системы.

Рассмотрим события в неравновесных диссипативных средах под влиянием совместного действия механизмов самоорганизации и диссипации. Выясним условия, при которых в многочастичной среде начинают формироваться диссипативные структуры, условия их стабильного существования, условия эволюции и разрушения.

Как только в многочастичной системе возник кооперативный поток, обладающий результирующим импульсом, то тут же начинает действовать механизм вырождения результирующего импульса, диссипирующий кооперативное движение. И теперь всё определяется мощностями этих двух прямо противоположных процессов, зависящих от состояния и свойств системы. Если мощность возникновения (производства) кооперативных потоков больше мощности процесса диссипации кооперативной энергии, то в системе наблюдаются кооперативные потоки, формируются диссипативные структуры. Если свойства системы по вырождению результирующего импульса, диссипации потоков энергии таковы, что превосходят по мощности, возникающие кооперативные потоки, то в такой системе кооперативные потоки не возникают. В термодинамической системе в данной ситуации кооперативного движения не наблюдается, а идёт квазиравновесный процесс установления равновесия. Для возникновения кооперативного движения в диссипативной среде необходимо преодоление главного порогового соотношения. Мы назвали его диссипативным порогом.

(1)

где: - энергия направленного кооперативного движения, переносимая результирующим импульсом и получаемая из потенциальной энергии неравновесности в единицу времени; - максимальная энергия направленного кооперативного движения, переносимая результирующим импульсом, которую данная многочастичная система способна в единицу времени переводить в хаотическую форму под действием причин диссипации.

Величина диссипативного порога (1) определяется максимальной мощностью процесса диссипации кооперативной кинетической энергии и является свойством, параметром данной много частичной системы.

Именно соотношение (1), определяющее соотношение между мощностью процесса самоорганизации и мощностью процесса диссипации определяет направление событий, направление эволюции в неравновесной диссипативной среде.

Рассмотрим поведение диссипативной системы при ее нахождении по ту или иную сторону от диссипативного порога.

а) при

(2)

область линейной неравновесной термодинамики, когда мы говорим о локальном равновесии и не возникает потоков энергии с . В данной ситуации система под действием причин релаксации стремится к равновесию, к состоянию с максимальной энтропией ( и ). Потоки энергии образуются в микрообластях и тут же рассеиваются. Вся потенциальная энергия неравновесности сразу переходит в хаотическую форму и не способна производить макроскопическую работу.

Условие (2) - определяет направление эволюции неравновесной системы к равновесию.

б) при

(3)

область нелинейной, сильно неравновесной термодинамики. При этом условии возникают потоки энергии Умова с , происходит формирование диссипативных структур и появляется возможность совершать макроскопическую работу.

Для того чтобы снизить рассеяние кооперативной энергии необходимо исключить лавинообразное вовлечение массы в кооперативный поток. Это достигается двумя способами: канализацией потока (попросту заключением потока в трубчатую структуру) и, во-вторых, централизацией соударения частиц, созданием условий для когерентного взаимодействия. Чем меньше диссипативный порог многочастичной системы, тем более устойчивы в данной среде кооперативные потоки, больше их мощность, при имеющейся неравновесности, и больше способность совершать работу против сил.

При выполнении условия (3), при преодолении диссипативного порога происходит первая бифуркация, в диссипативной среде формируется диссипативная структура. Диссипативная структура в зависимости от конкретных условий имеет определенные пространственные и временные рамки. Для открытой диссипативной структуры возможны три варианта развития:

Вариант 1): при равенстве подводимого из вне потока энергии для поддержания неравновесности и отводимой во внешнюю среду диссипированной энергии и энтропии, полученной в результате диссипации кооперативного движения при функционировании структуры, структура может существовать сколь угодно долго.

(4)

Назовем (4) соотношением стабильности. Для отдельного процесса это условие его стационарности. По причине того, что в стационарных процессах действие причин релаксации ограничено (энергия передается на ограниченную массу, когерентность делает соударение близким к центральному удару, что также снижает рассеяние) по сравнению с условиями когда в процессе релаксации масса вовлекается лавинообразно, то становятся понятными принцип Онсагера о минимальном рассеянии энергии и принцип Пригожина о минимальном производстве энтропии в стационарных процессах.

Вариант 2):

(5)

Здесь также возможны два случая: во-первых, весь избыток направленной энергии, получаемый диссипативной структурой сверх необходимого для функционирования самой структуры, структура расходует на совершение внешней работы и может как и в варианте 1) существовать сколь угодно долго. Во-вторых, если внешняя работа не совершается, идет накопление кооперативной энергии или неравновесности в системе и диссипативная структура идет к новой бифуркации, в результате которой формируется новое состояние, новая диссипативная структура. Принципиальный механизм бифуркации одной диссипативной структуры в другую заключается в следующем. При нарастании кооперативной энергии или неравновесности в диссипативной структуре возникает излишнее, для данной диссипативной структуры, направленное кооперативное движение, способное совершать работу по преодолению оказывающихся на его пути потенциальных барьеров, свойственных структуре. Момент времени и совершаемая при этом работа, и представляют собой бифуркацию: переход одной диссипативной структуры в другую. Бифуркации возникают не спонтанно, а в момент преодоления потенциального барьера, возникающего на пути кооперативного движения. Это момент неустойчивого состояния. Потоки энергии Умова обеспечивают работу по преодолению потенциальных барьеров, переход структуры в новое состояние. Если после бифуркации в новой диссипативной структуре устанавливается равновесие по варианту 1), то новая структура будет устойчивой. Если в новой диссипативной структуре вновь при определенных условиях с некоторого момента начинает накапливаться кооперативная энергия или неравновесность, то система вновь готова к очередной бифуркации, к формированию последующей структуры. Описанное выше, представляет собой механизм динамики эволюции структур, эволюцию по Дарвину.

Вариант 3):

(6)

Как только выполняется условие варианта 3), то диссипативная структура начинает затухать и разрушаться.

Диссипативная структура формируется при устойчивом нарастания производства потоков Умова, а не в результате нарастания флуктуаций под воздействием усиливающейся неравновесности, как принято большинством авторов по данной тематике. Случайность, при благоприятном наложении на нарастающую неравновесность, может служить спусковым крючком для начала бифуркации, но не её причиной. Здесь главенствует детерминизм.

Детерминизм и статистическая механика - это крайние проявления динамики, которые являются скорее идеализацией. Реальный мир подчиняется эволюционной динамике, сочетающей обе крайности, проявляющиеся в различных явлениях в разной степени.

Состояния термодинамической системы делятся на равновесные и неравновесные. Неравновесные состояния в замкнутых системах, предоставленных самим себе, согласно второму закону термодинамики, самопроизвольно стремятся (эволюционируют) к равновесному состоянию. Причиной этого является эффект вырождения результирующего импульса. Неравновесные термодинамические состояния системы характеризуются, протекающими в них под воздействием термодинамических сил, процессами. Если состояние неравновесной системы и возникающие в ней процессы подпадают под условие (2), то процесс развивается в сторону равновесия системы и в этом состоянии системы процесс затухнет.

Если же параметры неравновесной термодинамической системы таковы, что процессы в ней развиваются по условию (3) и при этом неравновесность системы поддерживается неизменной, то процесс не затухнет, а возникнет диссипативная структура. При этом возникший процесс может быть неустойчивым и устойчивым. Устойчивый процесс, в свою очередь, может быть переходным или стационарным. Устойчивость термодинамического процесса характеризуется тем, что кинетическая энергия кооперативного потока, меньше энергии потенциального барьера удерживающего кооперативный поток.

 (7)

Если наряду с (7) выполняется условие (5), то процесс будет переходным. Если наряду с условием (7), выполняется условие (4), то процесс будет стационарным и ему, по теории детерминированного хаоса, будет соответствовать аттрактор, устойчивая совокупность точек фазового пространства. Каждому стационарному состоянию соответствует свой аттрактор.

Условие

(8)

соответствует неустойчивым состояниям процесса. Это условие бифуркации, когда процесс преодолевает сдерживающий барьер и в системе формируется новая диссипативная структура.

Состояние процесса, когда

(9)

соответствует неустойчивому равновесию. В этой ситуации малейшее усилие может привести к неустойчивости процесса (8) и изменить его течение. Причём новое течение слабо предсказуемо в силу возможного случайного воздействия. Флуктуаций в том числе. Наиболее полно представление автора по данной тематике изложены в [5].

Отталкиваясь от выше изложенного, рассмотрим эволюцию гидродинамического потока по мере возрастания неравновесности, по мере увеличения числа Рейнольдса.

Рассмотрим процесс возникновения гидродинамического потока и процесс перехода от ламинарного движения к турбулентному. Поведение гидродинамического потока определяется числом Рейнольдса

Re (10)

Входящие в него величины являются, прямо или косвенно, управляющими параметрами потока. Это перепад давления на концах, от которого зависит скорость потока (), условное проходное сечение (), вязкость жидкости (), определяющая силы сцепления между молекулами жидкости и между молекулами жидкости и стенкой. Для данного конкретного потока прямым управляющим параметром является перепад давления. Примем для изучения наиболее простую гидродинамическую структуру - поток жидкости через горизонтальную трубу постоянного сечения при переменном, все возрастающем перепаде давления на концах трубы. Упрощения принимаем для большей наглядности физических процессов.

В начале при нулевом перепаде давления на концах жидкость в трубе будет находиться в равновесном состоянии. При незначительном перепаде система будет находиться в зоне локального равновесия. Возникающая в результате неравновесности, а значит, градиента потенциальной энергии, сила мала по величине и не способна преодолеть силы сцепления в жидкости и со стенкой трубы и вызвать кооперативное перемещение массы жидкости.

Энергия неравновесности диссипирует в форму хаотического движения в зоне локального равновесия (2). Отдельные агрегаты молекул в результате самоорганизации будут получать микрокооперативное движение, но под действием нецентрального соударения, являющегося причиной процесса релаксации, оно будет рассеиваться. При дальнейшем увеличении неравновесности в системе возрастают силы давления и с некоторого момента они начинают превышать силы сцепления между пристенным слоем, связанным со стенкой и имеющим толщину порядка шероховатостей стенки, и основной массой жидкости. Происходит первая бифуркация в диссипативной среде и формируется диссипативная структура. Возникает поток энергии Умова, вызывающий поток массовый, ламинарный поток. Между покоящимся пристенным слоем и потоком жидкости возникает межслой, в котором происходит скольжение слоев друг относительно друга. Размеры межслоя по толщине того же порядка, что и размеры частиц жидкости.

Рис. 2

С появлением потока появляется число Рейнольдса, начинает работать закон сохранения результирующего импульса. Сегодня принято считать, что жидкость при ламинарном движении перемещается отдельными слоями не перемешивающимися между собой. При этом скорость ламинарного потока в поперечном сечении изменяется от нуля у стенки до максимальной по оси трубы и имеет форму параболы (пунктирная линия на Рис.2). Причем по мере увеличения перепада давления и числа Рейнольдса парабола все более вытягивается. Но жидкость не может двигаться со скоростью меняющейся в поперечном сечении монотонно строго по закону параболы. Так как в этом случае все частицы жидкости, двигаясь с различными скоростями, должны будут с течением времени разлететься на большие расстояния друг от друга, разрывая все связи между ними как в парообразном состоянии, когда частицы практически свободны. На это требуется большое количество энергии равное скрытой теплоте парообразования, чего нет в низко температурном и относительно медленном ламинарном потоке. Да и о слоистости в макроскопическом плане при строго параболическом законе скорости говорить не приходится, так как толщина слоя в этом случае будет порядка размеров молекул жидкости. А это уже противоречит наблюдаемым фактам о макроскопических размерах слоёв.

Причём не только эпюра скоростей ламинарного потока, принятая в гидродинамике, противоречит макроскопическим размерам слоёв, но и слои не воспринимаются как чёткая, стабильная во времени и пространстве структура. Так авторы [6], говоря о ламинарном потоке, пишут: “…каждая частица жидкости движется по определённой прямолинейной траектории и вся картина течения представляет собой как бы движение различных слоёв жидкости с различными скоростями друг относительно друга”. Примерно об этом же пишет и автор [9]. Развивая эту мысль логично предположить, что ламинарный поток имеет также и слоистую структуру скорости (как на Рис.2). Центральный слой имеет максимальную скорость, затем по мере удаления слоя от центра к стенке скорость слоёв снижается скачками и скорость слоя непосредственно контактирующего со стенкой равна нулю. В самом слое частицы жидкости движутся с равными скоростями. Структура ламинарного потока напоминает телескопическую конструкцию, в которой элементы движутся с различными скоростями, от покоящегося внешнего элемента (пристенный слой), до, наиболее быстро движущегося, внутреннего. Это центральный момент работы, который позволит понять и физику турбулентности. В сегодняшней гидродинамике нет чёткого представления о слоистости, структура течения как бы слоиста, состоит из совокупности элементарных струек тока, заполняющих сечение потока. Причём струйки как бы не зависимы друг от друга. Мы же принимаем, что при стационарном ламинарном течении самостоятельными величинами являются строго структурированные слои, между которыми, при их взаимном скольжении, происходит диссипация кооперативной энергии за счёт сил трения. Внутри слоя частицы движутся как единое целое, элементарные струйки отсутствуют и диссипации энергии в толще слоя не происходит.

Причины расслоения. Выясним причины и механизмы, порождающие слоистый характер скорости ламинарного потока и как следствие слоистую структуру самого потока. Выясним также влияние на формирование слоёв различных параметров потока: вязкости жидкости, диаметра трубы, длины трубы, перепада давления на концах трубы, температуры жидкости. Напомним, что для простоты картины мы рассматриваем горизонтальный гидродинамический поток в трубе постоянного круглого сечения.

Выше был предложен механизм бифуркации (видоизменения) состояния диссипативной системы как преодоление кооперативным потоком потенциального барьера встающего на его пути. Таким потенциальным барьером, препятствующим перемещению жидкости в трубе, является энергия связи между частицами жидкости и частиц жидкости с частицами стенки трубы.

Рис.3 Рис.4

На Рис.3 изображена известная из курса молекулярной физики диаграмма потенциальной энергии связи (взаимодействия) между частицами в зависимости от расстояния между ними. На расстоянии между частицами они находятся в положении силового равновесия. При уменьшении расстояния (при сжатии среды) возникают силы отталкивания, при увеличении расстояния между частицами (при растяжении среды) возникают силы притяжения. Когда энергетическое состояние частиц ниже нулевого уровня потенциальной энергии, они находятся в связанном состоянии и совершают финитное движение (жидкости и кристаллы). Когда энергетическое состояние частиц выше нулевого уровня потенциальной энергии, они находятся в свободном состоянии и совершают инфинитное движение (газы). Для того чтобы жидкость в трубе начала двигаться, необходимо приложить усилие способное разорвать силы сцепления между молекулами жидкости и стенкой, необходимо совершить работу против сил сцепления и преодолеть суммарный потенциальный барьер. Такое усилие порождается неравновесностью системы, перепадом давления на концах трубы. Градиент потенциальной энергии неравновесности и вызывает силу способную преодолеть по- тенциальный барьер сил сцепления. По мере роста перепада давления на концах трубы возрастают усилия растяжения в жидкости от сечения большего давления к сечению меньшего давления. Наконец наступает момент, когда силы растяжения начинают превосходить силы сцепления и связи последних начинают рваться, формируется межслой. В результате напряжение сил растяжения внутри слоя снимается, и частицы слоя начинают двигаться как единое целое с одинаковой скоростью слоя, как целостный элемент. Происходит скольжение слоя относительно пристеночного слоя. Первый межслой в момент возникновения ламинарного потока формируется между покоящимся пристенным слоем и всей остальной массой жидкости движущейся в этот момент с постоянной скоростью. В силу симметрии задачи межслой имеет форму поверхности цилиндра. На этой поверхности и формируется потенциальный барьер сил сцепления, который необходимо преодолеть силам, возникающим как следствие перепада давлений. Зная плотность молекул на цилиндрическом межслое и энергию связи межде молекулами, (то есть, зная величину потенциального барьера связей в межслое), можно рассчитать величину неравновесности при которой возникает межслой. Возникновение слоев начинается от стенки трубы к центру потока. С одной стороны, чем ближе межслой к стенке тем больше его поверхность и соответственно больше потенциальный барьер сил сцепления, который необходимо преодолеть. С другой стороны площадь поверхности межслоя зависит от диаметра межслоя линейно, а поверхность поперечного сечения, на которую действует перепад давлений - квадратично. Отсюда чем больше диаметр межслоя тем при меньшей неравновесности (меньшем перепаде давления) можно преодолеть его силы сцепления. Покажем это аналитически.

Пусть труба, по которой течёт ламинарный поток, имеет длину . Диаметр первого межслоя обозначим через . Перепад давления на концах трубы обозначим через . Найдём зависимость перепада давления, необходимого для формирования межслоя, от диаметра межслоя. Сила связи между молекулами жидкости, принадлежащим разным сторонам межслоя, будет:

(11)

где: [] - объёмная концентрация молекул в среде жидкости; - сила связи между молекулами жидкости, зависящая от вязкости жидкости и расстояния между частицами (см. Рис.3); [] - концентрация связей на единицу площади межслоя или число пар молекул разных слоёв на единицу площади, которые необходимо разорвать в межслое. Это выражение правомерно по причине плотной упаковки частиц в несжимаемой жидкости.

Мы здесь не пользуемся коэффициентом вязкости, т.к. последний используется при течении вязкой жидкости, а в нашем случае жидкость находится ещё в состоянии покоя.

Запишем силу, которая за счёт перепада давления на концах трубы обеспечивает разрыв силы (11) и формирует межслой.

(12)

Приравнивая (11) и (12) найдём из полученного равенства перепад давления на концах трубы, необходимый для разрыва сил сцепления и формирования межслоя в зависимости от длины и диаметра межслоя.

(13)

Из (13) видно, как и предполагалось, что при постоянной длине трубы, чем больше диаметр межслоя тем меньший перепад давления необходим для его формирования. Следовательно, первый межслой формируется у пристеночного слоя.

При движении жидкости всегда наблюдается покоящийся пристенный слой. То есть первый межслой всегда образуется вблизи стенки, но в среде жидкости, хотя самый большой диаметр межслоя находится между стенкой и жидкостью. Это можно объяснить двумя причинами. Во-первых, возможно, что силы сцепления между частицами стенки и жидкостью больше чем силы сцепления между частицами жидкости, так называемые смачиваемые поверхности. Во-вторых, даже если силы сцепления между частицами жидкости больше чем между стенкой и жидкостью, так называемые не смачиваемые поверхности, то с учётом шероховатости стенки общая площадь взаимодействия между стенкой и жидкостью много больше площади идеального цилиндра межслоя. Поэтому потенциальный барьер первого межслоя реально всегда меньше потенцииального барьера связи стенка-жидкость.

Заметим, что сила связи между молекулами или вязкость жидкости зависят не только от рода жидкости, но и от температуры жидкости. Привлекаю внимание к понятию температуры с тем, чтобы у читателя не сложилось впечатление, что, оперируя геометрическими и динамическими понятиями, я забываю о статистических закономерностях, всегда мощно присутствующих в многочастичных диссипативных системах. Подробнее о проявлении статистических закономерностей мы поговорим при рассмотрении турбулентного движения.

Теперь выясним: почему после разрыва сил сцепления в межслое, масса жидкости охватываемая межслоем (находящаяся внутри оболочки межслоя) не движется с ускорением под действием силы создаваемой перепадом давления, как того требует основной закон динамики? Ведь после разрыва сил связи перепад давления, т.е. сила, воздействующая на массу жидкости и создаваемая извне, не меняется. А опыт показывает, что скорость течения ламинарного потока через трубу постоянного сечения при неизменном перепаде давления на концах трубы не меняется. Объяснить это можно следующим образом. Да, в начальный момент после разрыва сил сцепления между молекулами и образования межслоя, жидкость охватываемая межслоем (внутри межслоя) начинает двигаться с ускорением. Возникает переходный режим течения. Но далее вступает в действие другой механизм. Между скользящими слоями жидкости возникают силы вязкого трения, которые тормозят движение. Величина силы вязкого трения определяется экспериментально установленным Ньютоном законом:

 (14),

где: - коэффициент вязкого трения; S - площадь соприкосновения слоёв; - расстояние между скользящими слоями, равная толщине межслоя; - скорость скольжения слоёв, равная разности скоростей слоёв.

Расстояние между слоями, толщина межслоя имеет порядок размера молекулы жидкости. Мы принимаем её величиной постоянной. С учётом этого и условий задачи, где заданы размеры потока и род жидкости, сила вязкого трения в (14) будет зависеть только от разности скоростей. В самый начальный момент разрыва и образования межслоя, скорость скольжения и следовательно сила вязкого трения равны нулю. Поэтому под воздействием перепада давления слой жидкости внутри межслоя начинает двигаться ускоренно. Это в свою очередь приводит к росту силы вязкости. Ускорение продолжается до того момента, когда сила вязкого трения сравняется по величине с силой внешнего воздействия (12). Приравнивая (12) и (14) найдём скорость скольжения слоёв относительно друг друга или скачёк скорости от слоя к слою. В данном случае это будет скорость первого движущегося слоя, т.к. скорость пристеночного слоя равна нулю.

(15)

Когда скачёк скорости в межслое достигает значения (15), то в сформировавшейся диссипативной структуре ламинарного потока устанавливается соотношение стабильности (4) и переходный режим течения для данного перепада давлений заканчивается. Произведённая кооперативная энергия за счёт перепада давлений диссипирует под воздействием сил вязкости в межслое и структура остаётся в стабильном состоянии. Скорость слоя не меняется, если не меняется перепад давлений. Данному состоянию, т.е. состоянию, когда сформировался первый межслой, соответствует определённое число Рейнольдса. Этому числу соответствует минимальная скорость ламинарного потока и минимальный перепад давлений, для данных геометрических характеристик и вязкости жидкости.

Причины скачка скорости в межслое. Теперь выясним, почему скорость ламинарного потока меняется от слоя к слою скачком, а не по непрерывной параболе как принято считать. Для этого предварительно рассмотрим два момента.

1) Почему сила вязкости пропорциональна скорости скольжения слоёв? Силы сцепления между слоями преодолеваются не полностью. В то время как часть связей между частицами преодолевается, одновременно другая часть восстанавливается. Существует динамическое равновесие в межслое между силами сцепления и силами разрыва, вызываемыми внешним перепадом давления при данной скорости. Когда скорость скольжения слоёв возрастает, то соответственно возрастает и количество разрываемых и количество восстанавливаемых связей в единицу времени. Это приводит к росту мощности диссипации, равной произведению силы трения на пройденное расстояние в единицу времени. Так как расстояние постоянно (длина трубы), то возрастает сила трения. Что вызвано увеличением разрываемых связей в единицу времени. Поэтому коэффициент вязкого трения в размерности имеет время.

2) Покажем, что сила связи на одну пару частиц в слое больше силы связи в межслое

(16)

Для пояснения сказанного рассмотрим рисунки 3 и 4. На Рис.4 изображена линия связи между частицами, принадлежащими разным слоям по сторонам межслоя. В момент возникновения связи расстояние между частицами минимально, порядка размеров частиц, что соответствует расстоянию между частицами в слое. Далее в процессе скольжения слоёв относительно друг друга связь растягивается вплоть до разрыва. И так происходит со всеми связями в области межслоя. Среда в межслое находится постоянно в более растянутом состоянии, чем среда слоя. Теперь обратимся к Рис.3. Ламинарный поток в целом, по причине сил вязкости, находится в растянутом состоянии, т.е. правее линии . Выше мы выяснили, что среда в межслое более растянута, чем в слое и находится правее слоя как изображено на Рис.3. Из формы графика на Рис.3 и следует утверждение (16).

Теперь о причине скачкообразного изменения скорости ламинарного потока по сторонам межслоя. Когда по концам трубы создаётся перепад давлений, то в первый момент жидкость в трубе начинает растягиваться из-за наличия сил сцепления, находясь в неподвижном состоянии. При достижении перепада давления по концам трубы соответствующего (13), возникает разрыв с пристеночным слоем. При этом в момент разрыва и начала скольжения, силы вязкости Ньютона ещё равны нулю, а силы сцепления в межслое резко ослабляются в соответствии с (16). В этот момент нарушается равновесие между силами сцепления в межслое и силой созданной перепадом давления. Избыточная сила вызывает ускоренное движение возникшего слоя, пока не установится равновесие с возрастающими силами вязкого трения Ньютона. Когда перепад скоростей достигнет (15), то возникнет стационарный режим, соответствующий данному перепаду давлений по концам трубы. Таким образом, причина скачка скорости между слоями ламинарного потока вызвана соотношением (16).

Вообще механизм превращения энергии при возникновении межслоя следующий. После преодоления потенциального барьера сил сцепления в межслое часть потенциальной энергии неравновесности, создаваемой извне, расходуется на преодоление восстанавливающихся связей, другая часть преобразуется в кооперативную энергию потоков Умова, в полном соответствии с законом сохранения и превращения энергии. Потенциальная энергия неравновесности, затрачиваемая на разрыв восстанавливающихся связей, в момент разрыва между молекулами сразу преобразуется в хаотическую кинетическую энергию. Другая часть потенциальной энергии неравновесности, преобразовавшаяся в поток кооперативной энергии с , начинает диссипировать в хаотическую форму вследствие действия эффекта вырождения результирующего импульса в многочастичной среде. Устанавливается равновесие между мощностью процесса производства кооперативной энергии и мощностью процесса диссипации кооперативной энергии. В результате этого равновесия мы и наблюдаем равномерное движение ламинарного потока в трубе постоянного геометрического сечения. Вся диссипация кооперативной энергии в ламинарном потоке происходит только в зоне межслоя, т.к. сам слой движется как единое целое.

Как показано на Рис.2 скорость ламинарного потока, имея усредненную скорость, изменяющуюся по закону параболы, изменяется ступенчато. В слое скорость постоянна, а в межслое она резко меняется от скорости одного слоя до скорости другого на малой толщине межслоя, порядка размеров частиц жидкости.

Так как силы сцепления в межслое разрываются не полностью, то не полностью снимается и растяжение в слое. До момента разрыва связи данная связь служит для передачи кинетической энергии через межслой от быстрого слоя к медленному. Тем самым в ламинарном потоке идёт процесс передачи кооперативной энергии от центра к периферии. Если неравновесность, т.е. перепад давления продолжает нарастать, то вновь нарастает растяжение в массе жидкости до критической величины, при которой начинается формирование нового межслоя и так далее вплоть до начала турбулизации потока, до формирования качественно новой динамической структуры.

Образование второго межслоя. Рассмотрим образование второго межслоя, который формируется с ростом перепада давления вслед за пристеночным межслоем. Этот момент изображён на Рис.5, где ламинарный поток показан с торца. На рисунке затемнённым кольцом изображена стенка трубы, а пунктирными окружностями обозначены межслои.

Межслой большого диаметра - это первый межслой, образующийся в момент возникновения ламинарного потока между покоящимся пристенным слоем и потоком остальной жидкости. Примем его диаметр равным внутреннему диаметру трубы. Положение и диаметр этого межслоя постоянны и не меняются с ростом перепада давления и увеличения скорости потока. Обозначим диаметр этого первого, пристеночного межслоя , а диаметр второго межслоя .

С ростом перепада давления на концах трубы возрастает скорость ламинарного потока. При этом с возрастанием скорости скольжения в пристеночном межслое, возрастают силы вязкости Ньютона, препятствующие движению. Это приводит к растяжению в движущемся слое, так как он тормозится в межслое. С ростом перепада давления, этот процесс растяжения длится до тех пор, пока не достигнет критического значения и не сформируется в толще движущегося слоя новый межслой, который частично снимет напряжение растяжения.

В начале рассмотрим процесс образования второго межслоя качественно. Для этого обратимся к рисунку 6. Здесь по оси абсцисс отложен радиус потока (от оси трубы до стенки). По оси ординат отложена сила. Цифрой - 1 обозначен график зависимости силы от данного перепада давлений приходящейся на площадку поперечного сечения потока в зависимости от радиуса. Эта квадратичная зависимость определяется формулой, аналогичной (12).

Цифрой - 3 обозначен график зависимости сил вязкого трения (14) в межслое, если бы он находился на заданном радиусе и при перепаде скоростей соответствующем заданному перепаду давлений на концах трубы. Зависимость эта линейная, т.к. в (14) площадь межслоя при постоянной длине трубы от радиуса зависит линейно. Цифрой - 2 обозначена точка пересечения этих двух графиков. Этой точке соответствует радиус, на котором силы вязкого трения будут равны силе, вызванной перепадом давлений на площадку данного радиуса.

Рис.5 Рис.6

По мере увеличения перепада давлений на концах трубы, будет увеличиваться растяжение среды в слое. При этом растяжение в массе слоя везде будет одинаковым, т.к. жидкости и газы передают усилия во все стороны одинаково. В процессе растяжения графики 1 и 3 будут видоизменяться, но точка пересечения - 2 будет присутствовать, изменяя свой радиус. - сила связи между частицами слоя по мере растяжения будет снижаться (см. Рис.3), пока при определённом не выполнится условие

(17)

Условию (17) будет соответствовать точка -2 со своим радиусом. Здесь сила вязкого трения, при наличии межслоя, будет равна силе давления, приходящуюся на площадь потока, охватываемого межслоем. На этом радиусе и образуется второй межслой. Почему именно на этом радиусе? На радиусе меньшем точки -2 разрыв произойти не может, т.к. здесь сила вязкого трения в межслое превышает силу поперечного давления, вызывающую растяжение. (Рис.6). На радиусах больших точки -2, образование слоя возможно, но состояние это будет не устойчивым. В возникшем в результате бифуркации центральном слое сила поперечного давления будет превышать силу вязкого трения, и вызывать новый разрыв, пока не установится устойчивое состояние, соответствующее точке - 2. При наступлении условия (17), возникает переходный процесс, при котором от пристеночного межслоя до радиуса точки - 2 пробегает возмущение. При этом частично снимается растяжение слоёв ламинарного потока и часть потенциальной энергии растяжения переходит в кинетическую энергию слоёв ламинарного потока. В точке -2 сброс потенциальной энергии максимален, а значит это состояние отвечает наибольшей устойчивости. Устанавливается стационарное состояние (4) для данного перепада давлений по концам трубы. В момент формирования второго межслоя вновь проявляется эффект, связанный с (16). Что вновь приводит к скачку скорости по сторонам второго межслоя.

Определим диаметр второго межслоя количественно.

1). Предположим, что и известны. Получены экспериментально или исходя из квантово-механических представлений.

2). После того как сформировался первый межслой, нам известны перепад давлений на концах трубы из (13) и скачёк скорости в первом межслое из (15).

3). Продолжим наращивать перепад давлений на концах трубы. При этом, из-за увеличения скорости, увеличивается сила вязкости в межслое и с другой стороны увеличиваются силы растяжения в слое. В конце концов силы растяжения достигают предела и в ламинарном потоке формируется второй межслой с диаметром .

4). Для расчёта характеристик второго межслоя примем предварительно некоторое значение , меньшее . Рассмотрение будем проводить в системе отсчёта, движущейся со скоростью равной скорости первого слоя после формирования первого межслоя. Этим мы сведём на первом этапе задачу нахождения к задаче с .

5). Для принятого значения найдём из (13) перепад давлений, необходимый для разрыва связей второго межслоя. А из (15) найдём скачёк скорости во втором межслое.

6). Полученный перепад давления, необходимый для образования второго межслоя () в сумме с перепадом давлений на момент образования первого межслоя (), дадут перепад давлений по концам трубы на момент образования второго межслоя. В этот момент первоначальный слой ещё движется как единое целое.

7). Вернёмся к исходной системе координат, связанной с неподвижной трубой. Зная перепад давлений на момент образования второго межслоя как сумму и , найдём скорость первого слоя перед моментом образования второго слоя. Для этого силу давления из (12) приравняем силам вязкого трения из (14). То есть из формулы (15) найдём скорость скольжения в первом межслое на момент образования второго межслоя. Это будет абсолютная скорость движения первого слоя на момент образования второго межслоя и второго слоя.

8). Энергия потока в момент возникновения второго межслоя, в момент бифуркации, остаётся постоянной. Это связано с тем, что перепад давлений по концам трубы при бифуркации (видоизменении) потока остаётся постоянным.

(18)

Происходит лишь перераспределение энергии между слоями потока. Этот факт используем при составлении баланса энергии.

9). Физическая система всегда стремится к устойчивому состоянию, которому соответствует минимум сил и энергии. Бифуркация, связанная с формированием второго межслоя возникает в момент, когда силы трения в первом межслое с ростом перепада давления начинают превышать суммарные силы трения в первом и втором возникшем межслое. А это потребует, без возникновения второго межслоя больших энергий на проталкивание. В связи с этим диметр второго межслоя должен соответствовать двум условиям:

а). Мощность процесса диссипации кооперативной кинетической энергии потока (энергии общего переноса) перед моментом бифуркации равна мощности после завершения бифуркации.

, (19)

где: слева равенства стоит произведение силы вязкого трения в первом межслое на скачёк скорости в первом межслое в момент перед бифуркацией; справа равенства стоит сумма произведения силы вязкого трения в первом межслое на скачёк скорости в первом межслое в момент после бифуркации и произведения силы вязкого трения во втором межслое на скачёк скорости во втором межслое в момент после бифуркации;

б). Кинетическая энергия потока через сечение трубы перед моментом бифуркации равна кинетической энергии после завершения бифуркации.

(20)

где: - плотность жидкости; выражения в круглых скобках представляют массовый расход через сечение потока.

В (20) ; В период бифуркации выполняется (18).

10). В выражении (19) для принятого в пункте 4) значения известны все величины кроме величин входящих в произведение среднего члена. Из (19) находим произведение . Теперь произвольно задаём значение . Из физических соображений понятно, что величина скачка скорости в первом межслое после момента бифуркации будет меньше скачка в первом межслое перед моментом бифуркации. Исходя из этого принимаем некоторое значение и по формуле Ньютона (14) находим . Берём произведение полученных величин и подставляем в равенство (19). Если равенство при этих значениях не выполняется, то задаём другое значение . И так до тех пор пока не получим выполнение равенства (19). В этом случае нам будет известен скачёк скорости в первом межслое после момента бифуркации. Это будет скорость первого слоя после момента возникновения второго межслоя.

Далее, зная геометрические и скоростные характеристики потока перед моментом бифуркации и после момента бифуркации, проверяем выражение (20). Если после подстановки геометрических и скоростных характеристик в выражение (20), равенство не выполняется, то принимаем новое значение . Весь цикл расчётов повторяем до тех пор, пока не добьёмся выполнения равенства (20). То значение , при котором выполняется выражение (20) и будет искомым. Ему будут соответствовать и скоростные характеристики.

Расчёт характеристик ламинарного потока для возникновения третьего и последующих межслоёв производится аналогичным образом.

Необходимо отметить тот факт, что по мере увеличения перепада давления происходит в моменты бифуркаций постоянное изменение диаметров межслоёв. За исключением диаметра первого пристеночного межслоя все остальные диаметры межслоёв увеличиваются с ростом перепада давления. Происходит, с ростом давления, уменьшение толщины слоёв, при увеличении их числа.

В момент формирования межслоя в ламинарном потоке происходит бифуркация, т.е. переход к новому состоянию движения. Причём в ламинарном потоке от момента возникновения ламинарного потока до его перехода в турбулентное состояние происходит целый каскад последовательных бифуркаций, сопровождающихся появлением всё новых межслоёв. Им соответствует последовательность чисел Рейнольдса. На бифуркации ламинарного течения не обращали внимание потому, что они при спокойном движении однородной жидкости не заметны не вооружённым глазом.

Послойная запись уравнений гидродинамики. В гидродинамике установилось представление о неразрывности среды, состоящей в тоже время из элементарных трубок. Так автор [8] пишет: “Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твёрдым телом”. Эти представления приводят к тому, что в уравнениях гидродинамики условие диссипации записывается по всей непрерывной среде. Например, уравнение Навье-Стокса записывается в виде:

(21).

Выражение взято из [7]. Из (21) вытекает, что оно записано для единицы объёма и при решении требуется интегрирование по всей массе (объёму потока) как непрерывной среде. Если принять представление о телескопической структуре слоистости и диссипации энергии только в межслое, то необходимо видоизменение уравнений гидродинамики, в том числе и Навье-Стокса. Уравнение движения необходимо записывать послойно, с учётом влияния межслоёв по границам слоя, для каждого стационарного состояния.

Рис.7

На Рис.8 изображены схемы действия сил на слои телескопической структуры ламинарного потока. Рис.7а - схема действия сил на центральный слой потока. Рис. 7б - схема действия сил на периферийные слои, охватывающие центральный слой.

Далее - необходимо различать стационарные и переходные процессы при записи уравнений баланса энергии. При бифуркациях, протекающих в критических значениях , общая величина энергии не меняется. Происходит лишь переход части потенциальной энергии растяжения в кинетическую энергию потока. Увеличение общей энергии потока происходит на участках роста перепада давлений между критическими числами Рейнольдса ламинарного потока, которые соответствуют бифуркациям, соответствуют моментам образования новых межслоёв.