Рeзонанс в физике, химии и биологии

Возникновение резонансов практически приводит к невозможности предсказания эволюции солнечной системы [52]. Не все еще ясно и с выбором исходной физической модели для ее решения. По мнению некоторых авторов, существенную роль в стабилизации резонансной структуры солнечной системы играют моменты количества движения взаимодействующих тел [52]. А.К. Гулаку частично удалось упростить решение данной задачи на основе уравнения полидинамического равновесия [50, 56-58]. Само уравнение [58] фактически получено им из специфического интеграла движения для центрально-симметричного поля ([18], с.53).

Немаловажную роль сыграло предположение Овендена об экстремальности резонансных состояний движения в природе для объяснения резонансов в небесной механике [59].

В последнее время появились новые "резонансные" точки в физике. Они возникли на стыках оптики и физики магнитных явлений с механикой. Появление одной (фокусировка и самофокусировка атомных и световых пучков, резонансное световое давление [60-63]) обусловлено созданием и применением лазеров. Возникновение другой (ряда разрозненных работ по пондеромоторному действию электромагнитного поля в условиях магнитного резонанса [64-79] и удержанию частиц с магнитным моментом [36, 37, 80-84]) обусловлено развитием методов регистрации магнитного резонанса и рядом технических приложений.

Молекулярные "резонаторы". Впервые единый подход к проблеме пондеромоторного действия волн на рeзонаторы был предложен П.Н. Лебедевым в его докторской диссертации в конце прошлого века ([53], с. 84-150). "Несмотря на все различие, - писал Лебедев, - которое представляют собой, по своей физической природе, колебания электромагнитные, гидродинамические, акустические, законы пондеромоторного действия их на соответствующие резонаторы тождественны, это указывает нам на вероятность, что законы, нами найденные, общи для всех возможных (и еще не исследованных нами) колебаний, и их обоснование надо искать в причинах, не зависящих от особенностей действующего колебания и возбуждаемого им резонатора" ([53], с.89-90).

С тех пор прошло много времени. 4 января 2001 года исполнится 110 лет со дня написания П.Н. Лебедевым программы работ по сущности молекулярных сил ([53], с. 19). В центре программы стоял вопрос о механическом действии волн на резонаторы. "Мы должны утверждать, - писал он, - что между двумя лучеиспускающими молекулами, как между двумя вибраторами, в которых возбуждены электромагнитные колебания, существуют пондеромоторные силы" ([53], с.85). "Дальнейшему ходу исследования представлялось два пути: или, оставаясь на почве электромагнитной теории света, пользуясь для опытов электромагнитными волнами, исследовать законы совместных колебаний двух, а затем и нескольких сопряженных систем, имеющих собственные периоды колебаний, - вопрос, в настоящее время обстоятельно разработанный в статьях князя Б. Голицина, Обербекка и Вина, ... или другой путь, по которому все исследование, так, как оно было сделано для электромагнитных колебаний, распространяется на разного рода колебания, ... мы тем самым расширяем приложимость найденных законов и на те случаи, в которых как механизм самого колебания, так и механизм воспринимающего его резонатора может остаться неизвестным" ([53], с.88).

Лебедев пошел по второму пути. В данной работе прослеживается развитие обоих направлений, и намечаются нерешенные проблемы на настоящий момент.

Исторически сложилось так, что первыми были рассмотрены задачи с неподвижными резонаторами и с резонаторами с неизменной частотой [4, 53]. Позднее был рассмотрен ряд задач с подвижными резонаторами, частота которых изменялась при их перемещениях и поворотах [74-84].

В основном в рассмотренных работах анализировались случаи, когда размеры резонаторы много меньше длины волны и лишь в некоторых [53, 85, 86] с размерами сравнимыми.

Работы П.Н. Лебедева по пондеромоторному действию волн на резонаторы. Законы пондеромоторных сил описаны П.Н. Лебедевым в его докторской диссертации "Экспериментальное исследование пондеромоторного действия волн на резонаторы" ([53], с. 84-150). В качестве электромагнитных резонаторов Лебедев использовал контуры, подвешенные на торсионных весах.

Источником электромагнитных волн служил излучатель Герца. Перенося исследования на колебания, отличные по своей физической природе (электродинамические, гидродинамические, акустические), Лебедев нашел полную тождественность их действия на соответствующие резонаторы. "Главный интерес исследования, - отмечал он, - лежит в принципиальной возможности распространить найденные законы ... на межмолекулярные силы" ([53], с.150).

Исследования, проведенные им, привели к выводу, что в общем случае на резонатор действует два типа сил, независимых друг от друга. С одной стороны - это вращательные силы, а с другой - силы давления, стремящие переместить резонатор в направлении распространения волны.

Из результатов наблюдений и расчетов по вращению следовало, что " ... 1) Плоская волна вращает резонатор таким образом, чтобы отверстие его совпало с плоскостью волны и, следовательно, возбуждение его увеличилось, если резонатор настроен выше, и вращает его в обратную сторону, если он настроен ниже. 2) Максимумы этих противоположных действий лежат вблизи резонанса". Далее на основании расчетов Лебедев получил формулу для момента сил, действующего на резонатор с собственной частотой ₀ и с затуханием _r:

N= - (/_r)W_r(-₀)/[_r²+(-₀)²], N_max= - (/2_r)W, (21)

где - частота волны, W - энергия запасенная резонатором ([53], с. 110, 131).

Наблюдения же по отталкиванию привели к выводу, что " ... 1) Плоская волна, падающая на резонатор, стремится увести его в направлении движения, т.е. источник звука производит отталкивание резонатора. 2) Это давление плоской волны на резонатор достигает максимума при полном резонансе и при переходе через него не меняет знака". Вычисленная Лебедевым сила давления, действующая на резонатор, равняется:

F_д=N'= - (/_r)W'²_r²/[(₀²+_r²-²)²+4_r²²], F_дmax=(/4_r)W', (22)

где W' пропорциональна падающей в единицу времени на резонатор энергии (рис.27).

В заключение Лебедев отмечал, что " ... силы давления могут быть выведены из рассмотрения пространственного распределения сил вокруг резонатора и соответствующего возбуждения резонатора для каждого данного момента, а силы вращения подчиняются одним законам как в непосредственной близости с источником колебаний, так и на большом расстоянии" ([53], с.147).

Дальнейшие опыты Лебедева по световому давлению на твердые тела и газы, магнитометрические исследования причин образования магнитных полей вокруг вращающихся тел все ближе подводили к разгадке природы межмолекулярных сил [53].

Резонансное световое давление. Работы П.Н. Лебедева вновь привлекли к себе внимание в связи с появлением лазеров и изучением резонансного светового давления [61]. Резонансное световое давление обусловлено действием монохроматического излучения лазера на разряженный газ резонансных атомов. В поле стоячей волны, сила, действующая на резонансный атом, порядка 10³ эВ/см, в поле бегущей волны 10^-3 эВ/см.

Обычно при расчете сил светового давления пренебрегают изменением индуцированного дипольного момента атома P, при его перемещениях в поле, и поэтому величина силы определяется по формуле [61]:

F_i P_kE_ix_k, (23)

В поле бегущей волны [61]:

F2(/_r) (_r²/c)₁²/[(₀--/c)²+_r²+2₁²], (24)

где ₁=PE/h - частота вынужденных переходов, _r - естественная ширина линии, - скорость атома. В поле стоячей волны сила является градиентной:

F_i - U/x_i, (25)

зависит от фазы волны и осциллирует с периодом /2 [61].

Впервые возможность фокусировки (обжатия) атомного пучка с помощью поперечно-неоднородного резонансного светового поля, соосного с пучком лазерного луча, теоретически обосновал Аскарьян [60]. Экспериментально ее наблюдали авторы [87]. Соответствующие формулы для силы, действующей на атомы, после установления равновесного состояния системы поле - атомы за время релаксации ~1/_r, имеют вид [60, 62]:

F=F₁+F₂, (26)

где

F₁- (/_r) (D₀Р²Е²/ hc){_r²n/[(₀-+k)²+_r²+E²_r²]},

F₂- (/_r) [D₀Р₂grad_RЕ²/(2h)]{/[(₀-+k)/[(₀-+k)²+_r²+E²_r²]},

и n=1, n k, k - волновой вектор, D₀ - разность населенностей в нулевом поле, - параметр насыщения (сравним с формулами [53]). Позднее Климонтович и Лузгин [62] показали возможность совместной самофокусировки атомного и светового пучков.

Резонансное световое давление нашло широкое практическое применение для охлаждения и ускорения атомов, разделения изотопов, удержания отдельных частиц и т.д. [61, 7].

Пондеромоторное действие волн на образцы в условиях магнитного резонанса. В свое время появился целый ряд разрозненных работ по нетрадиционным методам магнитного резонанса - прямым [64-69]. В обычных методах регистрация спектров ведется по изменению параметров электромагнитного поля, действующего на образец при резонансе. В прямых - сам образец используется в качестве детектора, и поэтому они не испытывают тех ограничений в чувствительности, которые присущи обычным. Как правило, прямые методы основаны на регистрации энергии, импульса и момента импульса, передаваемых образцу от электромагнитного поля. Изменение энергии образца в результате диссипации спиновой энергии приводит к увеличению его температуры [88-90]. Передача же импульса и момента импульса веществу со стороны поля при резонансе, а также зависимость энергии образца от пространственных координат в неоднородных полях, либо ее зависимость от ориентации образца, приводят к возникновению пондеромоторных сил [64, 70-72] и моментов сил [65-69, 76-78].

Впервые возникновение силы в условиях ядерного магнитного резонанса (я.м.р.) было учтено Я.Г. Дорфманом в 1947 году [64]. Он предложил новый оригинальный метод регистрации магнитного резонанса. Суть метода заключалась в следующем. Изучаемое вещество помещалось на чашки крутильных весов, находящихся в одинаково неоднородном магнитном поле H₀ (H_oz>>H_ox,oy). В силу симметрии поля весы будут находиться в равновесии. Если же на одном конце весов создать резонансные условия, то ядерные моменты начнут прецессировать вокруг H_о и выпадут из суммарной намагниченности M. В результате на весы будет действовать сила:

F_i^Д(M_оя-M_яz)VdH_o/dx_i, (27)

где V - объем вещества, находящегося в условиях резонанса, M_оя - намагниченность насыщения. Ее максимальное значение F_i^Д_maxM_ояVdH_o/dx_i. Метод Дорфмана позволяет измерять не только гиромагнитное отношение , ширину линии 2H, но и абсолютное значение магнитного момента . Экспериментально метод Дорфмана не был проверен ввиду малости величины M_оя при я.м.р.

В условиях ферромагнитного резонанса (ф.м.р.) действие пондеромоторной силы на образец ~ (27) впервые, по-видимому, было учтено В.Е. Шапиро [71, 72]. Ее величина в условиях ф.м.р. на несколько порядков превышает F_i^Д за счет большей величины M для ферромагнетиков.

Позднее Ф.Р. Моргенталлер, на основе тензора энергии-импульса [73], предсказал существование новых компонент пондеромоторной силы, действующей на ферромагнетик при резонансе:

F_i^MK₁(ПH₀H)dH₀/dx_i, (28)

где K₁=K₁(H₀,H,V,dH₀/dx_i)~1 - некоторый коэффициент, (П - мощность, поглощаемая спин - системой. Довольно просто показать, что П~(M_o-M_z)VH₀H и, следовательно, F_i^MF_i^Д.

Обмен угловым моментом в процессах взаимодействия резонансного электромагнитного поля и вещества приводит к возникновению момента сил, действующего на образец. Впервые пондеромоторный момент сил в условиях электронного парамагнитного резонанса наблюдали Альзетта и Гозини [65, 66].

Метод регистрации по угловому моменту по своей чувствительности при н.у. (нормальные условия) не уступает обычным, а в области низких частот (<210⁶ Гц) существенно превосходит.

Возможность регистрации магнитного резонанса по моменту сил в принципе следует из эксперимента Эйнштейна - де Гааза (гиромагнитный эффект) и является его аналогом [68]. Суть эффекта заключается в следующем: ферромагнетик [91] или парамагнетик [92-94] подвешивается на кварцевой нити и помещается в постоянное магнитное поле, параллельное нити. После быстрого выключения поля наблюдается вращение образца. Спиновая система в постоянном магнитном поле приобретает макроскопический магнитный момент. Посредством процессов спиновой релаксации за время релаксации T₁ противоположный механический момент приобретает решетка:

L=(M₀V/), (29)

где V - объем образца. Момент сил, действующий за это время

N=(M₀V/T₁), (30)

производит угловое отклонение

=2₀ (T₁/T₀), (31)

где T₀ - период торсионного маятника, ₀ - угловое отклонение при непрерывном действии N.

Величина момента сил в непрерывном режиме накачки определяется по формуле [69]:

N=П/=(M₀V/T₁)(²T₁T₂H₂²)/(1+²T₁T₂H₁²+(T₂)²)², (32)

где T_1,2 - время поперечной и продольной релаксации, H₁ - амплитуда поля накачки. Поле накачки действует на образец постоянно, поэтому вращение, производимое парамагнитным поглощением, в T₀/(2T₁) раз больше (10⁶ [68]), чем в случае гиромагнитного эффекта. Были предложены различные модификации метода регистрации по моменту сил с использованием крутильных весов на кварцевой нити. Как оказалось, регистрация магнитного резонанса по моменту сил для поликристаллов ДФПГ при комнатных температурах [58] по своей чувствительности не уступает широко распространенным спектрометрам э.п.р. (электронного парамагнитного резонанса) в диапазоне с.в.ч. частот. Однако отношение сигнал/шум в методе регистрации по моменту сил линейно зависит от , тогда как в э.п.р. спектрометрах ². Поэтому механический метод более удобен для низких частот. Уже при 10 МГц его чувствительность выше, чем у обычных спектрометров.

Метод регистрации по моменту сил оказался более удобным и при исследовании нелинейных эффектов в области малых полей H₀, больших уровней мощности накачки и в случае значительных диэлектрических потерь [68, 69]. Модификация этого метода с учетом нелинейных эффектов, типа появления поперечных компонент статической намагниченности при резонансе, расширяет его возможности на случай больших времен релаксации, так как N~M₀H₀(T₁/T₂) [69].

Существуют различные модификации данного метода на основе торсионных весов [69, 70]. В одном случае (статическом) измеряется угол поворота образца как целого при адиабатическом прохождении линии магнитного резонанса по полю,

=N/A, (33)

здесь A - константа кручения нити подвеса.

Во втором случае добавляется модуляция H₁ прямоугольными импульсами с частотой, равной частоте крутильного маятника для создания режима вынужденных колебаний, при котором:

= - (4Q_cN/A)cos(₀t), Q_c=(AI/_rc)^1/2, (34)

где I - момент инерции, Q_c - механическая добротность системы, _rc - затухание маятника.

В третьем случае к линейной развертке по полю H₀ добавляется малая амплитудная модуляция H₀ с частотой ₀, H₀<<(T₁T₂) -^1/2_. Соответственно:

= - (Q_c/A)[dN(H₀)/dH₀]cos(₀t). (35)

Отношение сигнал/шум при использовании фазового детектора с шириной ₀ на частоте крутильного маятника ₀ для второго и третьего случаев составляет [69]:

R=4N(Q_c0/KTA2₀)^1/2. (36)

Отношение сигнал/шум для первого случая можно улучшить до величины:

R=4N(Q_c0/2KTA)^1/2, (37)

где - полоса пропускания низкочастотного фильтра преобразователя постоянного напряжения в переменное и далее вновь в постоянное.

3. Параметрический резонанс в нелинейных системах

3.1 Простой метод расчета для нелинейных динамических систем

Работы по созданию ловушек для макро- и микрочастиц различного типа (включая клетки, электроны, ионы, атомы и молекулы) даже в первом приближении наталкиваются на серьезные математические и физические трудности. Исходное модельное уравнение (1) для подобного класса задач решено лишь для отдельных частных случаев.

При малых углах отклонения x и _-1=0 уравнение (1) приводится к хорошо известному уравнению Матье, которое допускает устойчивое состояние перевернутого маятника и создание ловушек (₀<0, _-10) вне зоны параметрического резонанса [21-27].

В 1982 году авторы [5] на основе численного моделирования обнаружили устойчивые параметрически возбужденные колебания перевернутого маятника в зоне резонанса. Позднее [5, 11] были получены соответствующие зависимости амплитуд колебаний от ₀, ₁. Помимо перечисленных было рассмотрено множество других нетривиальных решений: колебательных, колебательно-вращательных [5, 6, 11, 16, 17]; возникновение хаоса [5, 12, 15] и т. д. Поиск решений (1), как правило, для различных случаев велся с использованием различных методов (Чезари [8, 9], Крылова-Боголюбова [5, 16], через переменные действие-угол [12] и т. д. [3, 109, 110]) с разложением sin x, cos х в ряд по степеням малости х. Такое разнообразие методов затрудняло сшивку частных решений, интерпретацию полученных результатов и понимание причин возникновения хаоса, бифуркаций в системах, описываемых уравнениями типа (1).

Поэтому, учитывая два положения Пуанкаре [111, с. 75] о том, что:

(I)"периодические решения являются единственной брешью, через которую мы могли бы попытаться проникнуть в область, считавшуюся недоступной";

(II)"периодическое решение может исчезнуть, лишь слившись с другим периодическим решением (периодические решения исчезают парами подобно действительным корням алгебраических уравнений)";

воспользуемся обобщением [112-114] соответствующих методов для нахождения и исследования на устойчивость периодических решений (1) по критическим точкам функции действия [59, 111, 115-117, 120].

Для этого перепишем уравнение (1) в лагранжевой форме:

d(?L/?x')/dt - L/?x= - F/?x', (38)

где

L=T-U, T=x'²/2, F=_rx'²/2, (39)

U= - (₀ +₁cos ) cos x - ₁ cos( + ) sin x. (40)

В общем случае x может быть вектором и U=U(х,). Будем искать решение (38) вблизи периодического решения на частоте в виде ряда:

x=x₀+ [x_ncos(n)+(y_n/n) sin(n)], (41)

где x₀, x_n, y_n в общем случае f().

Учитывая зависимость х, х' =f(x_k, y_k, x_k', y_k^'), можно получить в приближении медленно меняющихся амплитуд за период 2/ следующие укороченные уравнения:

x_k' - S/?y_k - R/?x_k, y_k' S/?x_k - R/?y_k, (42)

где y_k = x₀', k=1, 2, …, и

S = s - y₀², s = <L>=(/2)Ld, (43)

R=(_r/2) [ y₀²+ (1/2)[x_n²+y_n²]. (44)

При выводе (42) были учтены формулы:

<L/?x_n> <[(L/?x)cos(n) + (L/?x')(d (cos(n))/d)]>, (45)

<L/?y_n> <[(1/n)(L/?x)sin(n) + (L/?x')(d(sin(n))/d)]>, (46)

<L/?x₀> <L/?x>, <L/?y₀> <L/?x'>, (47)

x'' x₀'' + [(2y_n' - n²²x_n) cos(n) - n(2x_n' + y_n) sin(n)], (48)

и условия экстремальности функции действия (38). В переменных амплитуда-фаза уравнения (42) примут вид:

_n' (1/nr_n) S/?r_n, r_n'- (1/nr_n) S/?_n - (_r/2)r_n, (49)

где

x_n r_n cos _n, y_n / n r_n sin _n, (50)

x= x₀+[ r_n cos (n - _n). (51)

В переменных действие-угол:

_n' S/?_n, _n'- S/?_n - _{r n}, (52)

где

x=x₀+[ (2_n/n)^1/2 cos (n - _n). (53)

Нетрудно показать, что в первом приближении метод Крылова-Боголюбова ([16], §14) и метод S-функции при n=1 приводят к одинаковым укороченным уравнениям для r₁ и ₁. Для этого достаточно подставить (42) в (51) и учесть равенства <U/?r_n> < (U/?x₁)cos ( - ₁)>, <U/?₁> < (U/?x₁)sin ( - ₁)>. Соответствующим параметром малости в обоих случаях будет являться относительная расстройка по частоте ([16], с. 170).

Улучшенное первое приближение, аналогичное [16], можно получить из условия равновесия S/?x_n = S/?y_n = 0 при _r0:

S/?x_n, ?y_n = <T>/?x_n,?y_n - <U>/?x_n,?y_n = 0. (54)

Подставляя (39), (41) в (54), получим:

x_n = 1/(n²)U/?x cos(n) d,

y_n = 1/(n²)U/?x sin(n) d, (55)

где в первом приближении x x₀+x₁cos ()+(y₁/) sin ().

3.2 О маятнике П.Л. Капицы вне и в зоне параметрического резонанса

Вернемся к уравнению (1), будем искать решение в виде (49), используя представление cos x =Re [ехр (ix)] и формулы (39) и [121]:

exp[ir_n cos (n - _n)] =Jk_n(r_n) exp [ik_n(n + /2 - _n)], (56)

получим:

S=n²²r_n²/4 - y₀²/2 + (1/2)

Jk_n(r_n)(1+)cos[x₀+k_n(/2-_n) --(/2 )], (57)

где Jk_n(r_n) - функции Бесселя, ⁿ - символ Кронекера.

Зачастую, как показывает опыт, достаточно ограничиться вкладом в S (57) от нескольких слагаемых, в частности от n=1. Этого бывает вполне достаточно для практических расчетов без существенной потери точности [83], так как ряд (57) быстро сходится из-за известного свойства функций Бесселя быстро убывать с ростом индекса при фиксированном значении аргумента r_n. В общем случае U=U (х, ) и сходимость ряда (41) будет определяться ограниченностью функций, стоящих под интегралами (55).

Поиск периодических решений уравнений типа (1), как следует из (42, 49, 52), при _r=0 сводится к отысканию и исследованию на устойчивость критических точек (57) по r_n, _n, либо _n, _n , x_n, y_n, и x₀, y₀.

Рассмотрим различные случаи решений (1). В наиболее простом случае математического маятника без учета трения и вибраций результаты вычислений (49) по S (57) с n=1

S [²r₁²/4 - y₀²/2 + ₀J₀(r₁) cos x₀], (58)

свидетельствует о вполне удовлетворительной точности. Относительная погрешность приближения по r₁ даже при углах отклонения маятника x ~ 160⁰ не превышает 5,5 % (с. 55, [16]).

Введение продольной вибрации, как следует из

S [²r₁²/4 - y₀²/2 + ₀J₀(r₁) cos x₀+₁J_1/(r₁) cos(x₀+/2) cos (₁/)], (59)

и (49), приводит к появлению двух типов критических точек. Первым соответствуют положения равновесия x₀=±n, ₁=0, ±/2, 1/ (четные), вторым - x₀±n, ₁=0, ±/2 (1/ нечетные), n=0,1,2 … (в частности, x₀=±(2n+1)/2 при ₀ = 0). Поэтому, учитывая сценарий "слияния" двух периодических решений по Пуанкаре (II) вследствие наличия второго типа критических точек x₀±n (бифуркация периода 1/=2-1/=1), будем искать решение задачи о маятнике Капицы вне и в зоне параметрического резонанса в виде:

x=x₀+r₁cos(/2 - ₁)+r₂cos(/2 - ₂). (60)

Такое представление (52) дает выражение S (57) с точностью до n=2

S [r₁²/16 +r₂²/4-y₀²/2+₀[J₀(r₁)J₀(r₂)cos x₀ +2J_2n(r₁) J_n(r₂)cos (x₀-n/2)cosn(2₁ - 2₂)] - - ₁[J₂(r₁)J₀(r₂)cos(2₁) +J_2n±2(r₁)J_n(r₂)cos(x₀-n/2)cosn(2₁-₂)±2₁]}. (61)

Ограничиваясь членами порядка r_k⁴ при разложении J_n(r_k)в S (61) и используя переменные x_k, y_k (50), получим:

S[x₁²/16+y₁²/4+x₂²/4+y₂²/4-y₀²/2+(₀f₀ - ₁f₁)cos x₀ +(₀F₀ - ₁F₁)sin x₀], (62)

где

f₀={1-(x₁²+4y₁²+x₂² +y₂²)/4+[(x₁²+4y₁²)² +(x₂² +y₂²)²]/64+(x₁²+4y₁²)(x₂² +y₂²)/16}, (63)

f₁={(x₁²-4y₁²)[8(x₁²+4y₁²)/3- (x₂² +3y₂²)]/64-x₁y₁x₂y₂/8}, (64)

F₀=[4x₁y₁y₂+x₂(x₁²-4y₁²)]/8, F₁= x₂[1/2 - (x₁²+4y₁²)/8- (x₁²+y₁²)/16], (65)

Подставляя S (62) в (42), при _r 0, sin x₀=x₂=y₂=x₁=y₁=y₀=0 получим соответствующие уравнения для нахождения точек равновесия и характеристических корней ₀:

S/?x₂ S/?y₂ S/?x₀ S/?y₀ 0, (66)

S/?x₁= x₁[1-4₀^±(1-x₁²/8-y₁²/2)-2₁^±(1-x₁²/6)] 0, (67)

S/?y₁= y₁[1-4₀^±(1-x₁²/8-y₁²/2)+2₁^±(1-2y₁²/3)] 0, (68)

(²+S''x₁x₁)[(²+S''x₂x₂S''y₂y₂)(²+S''x₀x₀S''y₀y₀) - S''y₂y₂ S''y₀y₀ S''x₀x₂], (69)

где

=₀+_r, _0,1^±=_0,1 cos x₀ и S''_i,j =f(x₁, y₁, _0,1^±). (70)

В случае x₁=y₁=0 выражения (67, 68) тождественно равны нулю и

{²+[(1-4₀^±)²-4(₁^±)²]}{⁴+²(1+₀^±)²/4+(1-4₀^±)[(₁^±)²+2₀^±(1-₀^±)]}. (71)

Из первой скобки (71) получаем оценку верхней границы устойчивого решения 4(₁^±)²<(1-4₀^±)², из второй - нижней (₁^±)²>2₀^±(1-₀^±), что находится в согласии с результатами, полученными ранее другими методами для маятника Капицы (₁^±<0) вне зоны параметрического резонанса [6, 110].

В случае x₁0, y₁=0 (x₁=0, y₁0) из условий S/?x₁=0 (S/?y₁=0) (66-70) можно получить:

x₁²=6[(4₀^±+2₁^±-1)/(2₁^±+3₀^±)], ( y₁²=(3/2)(4₀^±-2₁^±-1)/(3₀^±-2₁^±)] ), (72)

[²+(x₁²/24)[2₀^±+₁^±+1)]f_x()=0, ([²-₁^± y₁²(2₀^±-2₁^±-1)/6]f_y()=0 ), (73)

где f_y()- выражения в квадратной скобке (69).

Из (73) следует существование двух устойчивых состояний движения маятника Капицы (₀^± <0) в зоне параметрического резонанса 2₁^± >4|₀^±| +1, (2|₁^±|>4|₀^±|+1). Данные состояния отличаются друг от друга только сменой знака ₁^±. Результат с y₁0, (72) и ₀=0 ранее был получен методом Крылова-Боголюбова ([16], с.281) без учета x₀, x₂, y₂, y₀ и соответствующего анализа на устойчивость. Такой подход не является корректным, так как отбрасывание членов с x₂, y₂, в (62) на частоте возмущающей силы приводит, как это следует из (69, 70) к неверному заключению о неустойчивости возбужденных колебаний маятника Капицы в зоне резонанса по x₀, y₀, что противоречит проведенному опыту и результатам численного моделирования [17].

3.3 Динамическая устойчивость седловых точек в автономных системах

Нахождение периодических решений динамических систем и исследование их на устойчивость в ряде задач (таких как "левитрон", "атомарные" ловушки и т.д.) может быть проведено с помощью нахождения критических точек и установления знакоопределенности матрицы вторых производных S-функции ([114], 4.1). Рассмотрим возможность создания атомарной ловушки на седловой точке в неоднородном статическом поле без наложения дополнительных переменных и постоянных полей:

T = [(dx₁/dt)² + (dx₂/dt)²]/2, (74)

U = c₂₀x₁² + c₀₂x₂² + c₄₀x₁⁴ + c₂₂x₁²x₂² + c₀₄x₂⁴, (75)

где T, U - кинетическая, потенциальная энергия.

S-функция рассматриваемой задачи в приближении

x₁ x₁₀+x₁₁cos()+y₁₁sin()+x₁₂cos(2)+(y₁₂/2)sin(2), (76)

x₂ x₂₀+x₂₁cos()+y₂₁sin()+x₂₂cos(2)+(y₂₂/2)sin(2), (77)

имеет вид [114, 122]:

S=[-3c₀₄y₂₁⁴+(-6c₀₄x₂₁²-24c₀₄x₂₀²-3c₂₂y₁₁²-c₂₂x₁₁²-4c₂₂x₁₀²-4c₀₂+2)y₂₁²+

+(-4c₂₂x₁₁y₁₁x₂₁-16c₂₂x₁₀y₁₁x₂₀)y₂₁-3c₀₄x₂₁⁴ +(-24c₀₄x₂₀ ²-c₂₂y₁₁ ²-3c₂₂x₁₁²-4c₂₂x₁₀²-4c₀₂+2)x₂₁²-

-16c₂₂x₁₀x₁₁x₂₀x₂₁-4y₂₀²-8c₀₄x₂₀⁴+(-4c₂₂y₁₁²-4c₂₂x₁₁²-8c₂₂x₁₀²-8c₀₂)x₂₀²-3c₄₀y₁₁⁴+(-6c₄₀x₁₁²-

-24c₄₀x₁₀²-4c₂₀+2)y₁₁²-3c₄₀x₁₁⁴+(-24c₄₀x₁₀²-4c₂₀+2)x₁₁²-4y₁₀²-8c₄₀x₁₀⁴-8c₂₀x₁₀²]/(8). (78)

Рассмотрим частный случай: x_n,m, y_n,m=0, (n, m1). Из условий экстремума S_i' =0 имеем два случая 1) x₁₁²=(-2c₂₀+1)/(3c₄₀), 2) x₁₁=0. Соответственно из матрицы вторых производных S-функции {S_ij''} получим характеристические корни L_i:

L₁=-2(-c₂₀ + 1);

L₂=-1;

L₃=2c₂₀ - 1;

L₄=0;

L₅=(2c₂₀c₂₂ - 6c₄₀c₀₂ - c₂₂)/(3c₄₀); (79)

L₆=-1;

L₇=(2c₂₀c₂₂-4c₄₀c₀₂+2c₄₀-c₂₂)/(4c₄₀);

L₈=(2c₂₀c₂₂ - 12c₄₀c₀₂ + 6c₄₀ - c₂₂)/(12c₄₀) ;

Система (74-75) имеет устойчивые решения (L_i< 0) при: c₂₀<1/2 и а) c₀₂<1/2;

c₂₂>6abs(c₄₀)( -2c₀₂+1)/( -2c₂₀+1); б) c₀₂>1/2; c₂₂>2abs(c₄₀)( -2c₀₂+1)/( -2c₂₀+1) (рис.28).

Следовательно, устойчивые решения существуют не только для U с c₂₀, c₀₂>0 (точка минимума потенциальной энергии), но и с c₂₀>0, c₀₂<0 (седло).

Результаты расчетов были проверены путем численного и аналогового моделирования на гибридном комплексе.

В тривиальном случае, когда все x_n,m, y_n,m=0, из вида {S_ij''} следует, что для устойчивости полученных решений необходимо условие c₂₀, c₀₂>0, т.е. наличие точки минимума U при x₁=x₂=0.

3.4 Об устойчивости неустойчивых состояний, бифуркации, хаосе нелинейных динамических состояний

В наиболее простом случае для маятника с ₀=_-1=0, ₁0 точка бифуркации 1/=21/=1 находится из совместного рассмотрения двух периодических решений по сценарию (II). Проводя вычисления, аналогичные (66-73), вблизи точки равновесия x₀=(2n+1)/2, x₁=y₁=y₀=0 получим:

(²+S''x_kx_kS''y_ky_k-_k²S''x_ky_kS''x_ky_k)=0, (80)

S''x₀x₀S''y₀y₀= - (₁^*x₂)(1- x₁²/8)/2, S''x₁x₁S''y₁y₁ =(1+2₁^*x₂)², (81)

S''x₂x₂S''y₂y₂ - S''x₂y₂S''x₂y₂ =(1+3₁^*x₂/4), (82)

x₂[4/(3₁^*)][1-(1+3₁^*/2)^1/2], ₁^*=₁ sin x₀, y₂=0. (83)

Периодические решения с ^-1 =1 при |x₂|</2 неустойчивы по x₀, y₀ (exp||), так как S''x₀x₀S''y₀y₀<0. Решая совместно (72), (83), можно определить соответствующую точку бифуркации из условия (рис.29):

|x₁^*(₁')|+|x₂^*(₁')|=/2, (84)

где x₁^*59^о, x₂^*31^о, ₁'0.61.

В данном случае (с ₀=0) появление бифуркации может одновременно привести к возникновению хаоса в системе (1) (рис.29). Причиной могут послужить флюктуации, погрешности от макросистемы, используемой при физическом, аналоговом или численном моделировании детерминированной системы, описываемой уравнением (1). В результате будут наблюдаться каскады переходов между различными типами периодических движений при ₁= ₁' (колебательными 1:2, 1:1; вращательными 1:1 и др.), воспринимаемые как хаос.

Машинное моделирование уравнения (1) на АЦВК ГВС «Русалка» и натурное моделирование на магнитной стрелке от компаса, помещенной в магнитное поле, подтвердили правильность полученных результатов в пределах погрешностей моделирования.

3.5 Дискретность, хаос и эволюция в нелинейных динамических системах

Если свести в таблицу орбитальные периоды и периоды вращения всех тел Солнечной системы, то обнаружится соизмеримость многих периодов [52]. Это указывает на существование ряда резонансных явлений между взаимосвязанными резонаторами. Имеются резонансы между орбитальными периодами членов одной и той же системы, а также резонансы между орбитальными и осевыми периодами вращающихся тел.

По-видимому, резонансы являются крайне важными особенностями Солнечной системы. Тела, однажды попавшие в резонанс, могут при определенных условиях оставаться захваченными резонансом неограниченно долго; следовательно, резонансная структура стабилизирует Солнечную систему на очень большие периоды времени и эволюция Солнечной системы в большей мере определяется резонансной динамикой [52].

Проблема резонансов и малых знаменателей в небесной механике относят к традиционным пондеромоторным резонансным задачам [50-52]. Немаловажную роль сыграло предположение Овендена об экстремальности резонансных состояний движения в природе для объяснения резонансов в небесной механике [59].

Возникновение резонансов практически приводит к невозможности предсказания эволюции Солнечной системы из-за сложности резонансных задач [52]. Не все еще ясно и с выбором исходной физической модели для ее решения. По мнению некоторых авторов, существенную роль в стабилизации резонансной структуры Солнечной системы играют моменты количества движения взаимодействующих тел [52]. А.К. Гулаку [50, 56-58] частично удалось упростить решение данной задачи на основе полученного им уравнения полидинамического равновесия:

?F+(8m/K²)(E-P)F=0, (85)

где F - динамическая силовая функция, экстремальные значения которой определяют состояния динамического равновесия системы; m, E и K - соответственно масса, полная энергия и момент импульса частицы; P - потенциальная энергия, заданная в каждой точке поля статической силовой функцией. Само уравнение (85) [58] фактически получено им из специфического интеграла движения для центрально-симметричного поля ([18], с.53).

"Всякий раз, когда мы подходим к объяснению тех или иных явлений природы приемами классической механики, мы не должны забывать, что в действительности никакое явление не представлено в чистом виде. Сколько бы точно ни были определены действующие на материальную систему силы, всегда останутся неучтенными некоторые незначительные возмущения. Эти последние, сколь бы малы они ни были, влияют на движение материальной системы, в особенности, если движение неустойчиво. Общий характер сохраняют, таким образом, только устойчивые движения, и поэтому только они более или менее правильно описывают действительные движения" ([123], с. 243, 1929 год). Этот ясный принцип устойчивости действительных движений, блестяще зарекомендовавший себя во многих основных проблемах небесной механики, неожиданно позволил получить Н.Г. Четаеву [123] картину почти квантовых явлений для механических динамических систем.

После несложных выкладок, на основе двух положений о том, что:

некоторые движения в природе являются наиболее выделенными с точки зрения устойчивости;

существуют в реальности незначительные возмущения;

Четаев получил [123] основное уравнение "дозволенных орбит" в виде:

...