Теория электромагнитного поля

- вихрь магнитного поля

- удельная электропроводность

- изменение электрического поля во времени

- ток смещения

- ток проводимости

- плотность тока

2) Любое изменение магнитного поля вызывает вихревое электрическое поле

Второе уравнение Максвелла

Уравнения Максвелла показывают, что электрическое и магнитное поля взаимосвязаны и изменение одного вызывает появление другого, энергия переходит из электрического поля в магнитное и наоборот.

3) Электрическое поле начинается и заканчивается на зарядах

div - расхождение какого-либо вектора

- объемная плотность заряда

4) Магнитное поле замкнуто, т.е. линии магнитной индукции представляют замкнутые сами на себя линии.

В интегральной форме можно посмотреть в учебнике ТОЭ Бессонова на 8 странице, вывод интегральных форм можно посмотреть в учебник Нейман, Калантаров.

Электростатическое поле

Электростатическое поле - это электрическое поле, создаваемое неподвижными и неизменными во времени зарядами.

Заряд - количество электричества.

Заряды бывают свободные и связанные.

Свободные заряды - неограниченно перемещающиеся заряды (преобладают в проводниках).

Связанные заряды - это заряды, которые, могут ограниченно перемещаться, не теряя связи с молекулами (преобладают в диэлектриках).

Введем следующие понятия:

Точечный заряд - это заряженное тело, размеры которого малы в сравнении с расстоянием до исследуемой точки. Плотность точечного заряда равна бесконечности.

Пробный заряд - малый положительный заряд, внесение в поле которого, поле не искажает.

Единичный заряд - заряд, значение которого равно единице.

Для удобства расчетов вводятся:

1) Объемная плотность заряда:

=>

2) Поверхностная плотность заряда:

=>

3) Линейная плотность заряда:

=>

Сила взаимодействия двух точечных зарядов (Закон Кулона). Напряженность поля точечного заряда

Основная задача электростатики сводится к нахождению поля по заданному расположению зарядов в пpостpанстве. Эта задача решается на основании двух законов: закона Кулона и принципа суперпозиции полей (метода наложения).

Закон Кулона определяет электростатическое поле уединенного точечного заряда и устанавливает, что электростатическое поле уединенного точечного заряда обладает следующими свойствами:

1) Оно радиально, т.е. вектор направлен вдоль pадиуса-вектоpа, проведенного от заряда;

2) Оно сферически симметрично, т.е. во всех точках произвольной сферы с центром на заpяде одинаково и пpопоpционально заpяду, т.е. E ~ q ;

3) Силовые линии поля начинаются на заpяде и нигде не обрываются.

Если суммировать все перечисленные свойства, то поле положительного точечного заpяда можно изобpазить следующим обpазом:

Если заpяд отpицательный, то силовые линии, наобоpот, сходятся на заpяде.

Силовые линии нигде не обpываются, и их полное число N, пеpесекающее любую сфеpу с центpом на заpяде, будет постоянным, не зависящим от pадиуса сфеpы, т.е. можно записать, что N = const. Так как чеpез единицу площади сфеpы, пpоводится Е линий, то , где - площадь сфеpы. Таким обpазом, получаем, что:

Так как поле пpопоpционально заpяду, то:

- напряженность поля точечного заряда

- вектор напряженности электрического поля [В/м] (это мера электрического поля).

Следовательно, напpяженность электpостатического поля, создаваемого уединенным точечным заpядом, уменьшается обpатно пpопоpционально квадpату pасстояния от заpяда до pассматpиваемой точки.

Кулоном закон был сфоpмулиpован несколько иначе. Кулон pассматpивал силу взаимодействия двух точечных заpядов.

Рассмотpим два точечных заpяда q₁ и q₂, pасположенных на некотоpом pасстоянии дpуг от дpуга r. Заpяд q₁ попадает в поле заpяда q₂, и на него действует сила . Но поле заpяда q₂ опpеделяется по фоpмуле . Следовательно, сила взаимодействия равна:

Закон Кулона

Пpи этом одноименные заpяды отталкиваются, pазноименные - пpитягиваются.

Картина силовых линий электpического диполя

Тогда напряженность - это сила, действующая на единичный пробный заряд.

.

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды. Поэтому при расчете полей используют вектор диэлектрического смещения, так как он не зависит от свойств среды.

=>

Вектором диэлектрического смещения удобно пользоваться при расчете полей с многослойными диэлектриками.

Обобщенный Закон Кулона

Обобщенный Закон Кулона звучит так: сила, действующая на заряд, равна напряженности поля в этой точке умноженная на заряд.

Принцип суперпозиции (Метод наложения)

Вторым важнейшим законом электpостатики является пpинцип супеpпозиции. Суть этого принципа сводится к тому, что поля pазличных заpядов, находящихся по соседству, не взаимодействуют дpуг с дpугом или не искажают дpуг дpуга. Если поля pазличных заpядов не влияют дpуг на дpуга, то pезультиpующее поле опpеделяется пpостым наложением или суммиpованием полей от отдельных заpядов. Поэтому пpинцип супеpпозиции (метод наложении) можно сфоpмулиpовать так: pезультиpующая напpяженность поля двух или нескольких заpядов находится путем геометpического суммиpования (по пpавилу паpаллелогpамма или многоугольника) напpяженностей полей от отдельных заpядов. В виде фоpмулы пpинцип супеpпозиции можно пpедставить следующим обpазом:

Рекомендуется в условную точку помещать начало координат, а затем проектировать на оси Х и Y.

Напряжение и потенциал электростатического поля

Основные величины, характеризующие электростатическое поле - это напряженность и потенциал. Напряженность электростатического поля - величина векторная и определяется в каждой точке поля значением и направлением. Потенциал - величина скалярная и определяется в каждой точке поля некоторым числом. Поле считается определенным, если известен потенциал во всех точках поля, или известен закон изменения напряженности.

Поместим в электрическое поле некоторый заряд q. На заряд будет действовать сила, и он будет перемещаться из т. 1 в т. 2 по пути 1-3-2.

Так как направление силы , может не совпадать с элементом пути , то работа по перемещению заряда на пути определится скалярным произведением силы на элемент пути:

Заряд может быть любым, поэтому примем его равным 1(единичный заряд).

- скалярное произведение

- векторное произведение

Или в интегральной форме:

Под разностью потенциалов (напряжением) принято понимать работу, затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда из начальной точки 1 в конечную точку 2.

Предположим, что в точке W находится точечный заряд q₁ , создающий поле, а из точки 1 в т.2 через т.3 перемещается единичный положительный заряд q=1.

(см. рисунок)

Таким образом, разность потенциалов между исходной и конечной точкой зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому происходило перемещение.

Если перемещать заряд по замкнутому контуру1-3-2-4-1, то исходная и конечная точки пути совпадут, и разность потенциалов будет равна нулю.

Условие потенциальности электростатического поля в интегральной форме

На основании теоремы Стокса заменим циркуляцию по замкнутому контуру поверхностным интегралом:

Условие потенциальности электростатического поля в дифференциальной форме

Потенциальное поле - некоторая ограниченная область пространства, каждая точка которой имеет свой постоянный и неизменный во времени потенциал.

Если поле потенциально, то оно безвихревое.

Если потенциал конечной точки равен 0, то получим уравнение потенциала электростатического поля:

За точку нулевого потенциала можно принять любую точку поля. Нередко принимают, что точка с нулевым потенциалом лежит в бесконечности, тогда постоянная интегрирования С=0, в итоге получим:

Потенциал произвольной точки поля можно определить как работу, совершаемую силами поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в ту точку поля, потенциал которой равен нулю (в бесконечность) и на оборот.

Силовые и эквипотенциальные линии

Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия - это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.

Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.

Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().

Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.

Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.

Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим эквипотенциальную поверхность:

(так как точки лежат на эквипотенциальной поверхности).

- скалярное произведение

Линии напряженности электростатического поля пронизывают эквипотенциальную поверхность под углом 90⁰, тогда угол между векторами равен 90 градусам, а их скалярное произведение равно 0.

Тогда:

Уравнение эквипотенциальной линии

Рассмотрим силовую линию:

Напряженность электростатического поля направлена по касательной к силовой линии (см. определение силовой линии), также направлен и элемент пути , поэтому угол между этими двумя векторами равен нулю.

Тогда:

или

Уравнение силовой линии

Градиент потенциала

Градиент потенциала - это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.

Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.

Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.

В определении градиента существенны два положения:

Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.

Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.

Для декартовой системы координат:

Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:

;;

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х, взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z.

;;.

В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид:

.

А в сферической системе координат:

.

Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор Набла)

Для сокращения записи операций над скалярными и векторными величинами употребляют дифференциальный оператор Гамильтона или оператор Набла:

Под дифференциальным оператором Гамильтона понимают сумму частных производных по 3-м координатным осям, умноженных на соответствующие единичные векторы (орты).

Применим оператор Гамильтона к потенциалу:

Правые части одинаковы, значит, будут одинаковы и левые части:

Оператор Гамильтона сочетает в себе как векторные, так и скалярные свойства и может быть применен к скалярным и векторным функциям.

Расчет электростатического поля по его картине

Аналитический расчет полей не всегда позволяет рассчитать поле, например, когда поверхности электродов имеют сложную форму. Поэтому аналитические методы расчета поля применимы только в случае тел простой конфигурации. В другом случае расчет электростатического поля проводят по его картине.

При построении картины плоскопараллельного поля следует руководствоваться следующими правилами:

1. Картина поля изображается совокупностью взаимно ортогональных силовых и эквипотенциальных линий.

2. При этом образуются ячейки (криволинейные квадраты), для которых отношения средней длины к средней ширине ячейки а/b должны быть одинаковыми для всех ячеек.

3. Поверхности электродов считаются эквипотенциальными поверхностями.

4. Если картина поля обладает симметрией, то первой силовой линией является линия симметрии.

5. Следующие силовые линии проводятся так, чтобы образующаяся между двумя соседними силовыми линиями трубка потока поля могла быть разделена эквипотенциальными линиями на целое число криволинейных ячеек, для которых удовлетворяется условие а/b = const.

6. Приращение потенциала между соседними эквипотенциальными линиями должно быть постоянным.

7. Может оказаться, что ячейки, построенные последними, имеют иное соотношение сторон а/b, чем предыдущие. Тогда картину поля приходится перестраивать, изменяя число ячеек в трубке.

Построение правильной картины поля, возможно, потребует нескольких попыток.

Чем меньше разбиение на квадраты, тем меньше погрешности.

Правильно построенная картина поля позволяет найти потенциал и напряженность в любой точке поля, а также позволяет рассчитать напряжение, что и является расчетом поля.

Напряженность электрического поля E в любой заданной точке можно определить по формуле:

,

где - разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциалями. Значение постоянно для всей картины поля; - средняя длина квадрата, в котором находится рассматриваемая точка поля.

Очевидно, что в областях поля с наибольшей густотой силовых и эквипотенциальных линий напряженность поля будет наибольшей. Т.е. чем меньше криволинейный квадрат, тем выше напряженность поля. Считается, что напряженность поля во всех точках криволинейного квадрата постоянна и примерно равна, а на границе меняется скачком.

Поток вектора напряженности

Рассмотрим некоторую площадь S которую пронизывает поле напряженностью E. На ней выделим элемент поверхности dS. Выберем положительное направление нормали (перпендикуляра) к элементу поверхности. Значение вектора dS в некотором масштабе равно площади элемента поверхности, а его направление совпадает с положительным направлением нормали. Будем полагать, что площадь элемента достаточно мала, чтобы в пределах этого элемента вектор Е можно было считать одним и тем же во всех точках.

Поток вектора напряженности через элемент поверхности является скаляром алгебраического характера. Он может оказаться положительным или отрицательным. Положительное значение потока означает, что он направлен в сторону ; отрицательное - направлен в обратную сторону.

Условимся, что положительный знак потока означает, что он направлен в сторону нормали, отрицательный - в обратную сторону.

Если перпендикулярно , то не пронизывает элемент поверхности

.

Если направлен по , то через dS проходит максимум потока вектора

.

Если , то отрицательная величина.

Если поверхность большая, то нельзя считать, что напряженность во всех точках одна и та же. В этом случае ее делят на несколько элементарных поверхностей. Тогда поток равен сумме потоков элементарных поверхностей.

,,

где - поток вектора электрического смещения.

Теорема Гаусса в интегральной форме

Эта теорема является важнейшей теоремой электростатики.

Формулировки:

Поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен заряду, находящемуся внутри этой поверхности, разделенному на диэлектрическую проницаемость среды.

Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Вспомним стереометрию:

Телесный угол - это часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью.

Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы .

Докажем эту теорему Гаусса для случая, когда имеется один точечный заряд.

Для вывода теоремы рассмотрим замкнутую поверхность, внутри которой находится положительный точечный заряд.

Напряженность поля точечного заряда равна:

.

Поток вектора напряженности равен:

,

где - элементарный телесный угол под которым виден элемент поверхности dS, если вершина телесного угла совмещена с точкой, в которой находиться заряд q.

Телесный угол, под которым видна вся поверхность S, равен 4 стерадиан.

Заменим интеграл по поверхности определенным интегралом:

Теорема Гаусса в интегральной форме

На основе теоремы Гаусса в интегральной форме выводят формулы для расчета напряженности электростатического поля и потенциала в любой точке, для тел правильной формы: плоскость, шар, сфера, параллельные провода.

Применение теоремы Гаусса

Поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость бесконечно большая. Поле равномерно, следовательно, вектор имеет такое же направление, что и вектор нормали заряженной плоскости. Построим вокруг плоскости цилиндрическую поверхность, состоящую из боковой и двух торцевых поверхностей. Поток вектора электрического смещения перпендикулярен нормали боковой поверхности цилиндра. Поэтому скалярное произведение и поток вектора электрического смещения через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поток будет пронизывать только две торцевые поверхности. Причем вектор нормали торцевой поверхности направлен также как и вектор электрического смещения . Тогда по теореме Гаусса:

,

где - поверхностная плотность заряда.

Электрическое смещение постоянно, вынесем его за знак интеграла:

.

Так как торцевых поверхностей две, то:

.

А так как

,

то напряженность равна:

Электрическое смещение, как и напряженность, во всех точках пространства одинаково, так как поле равномерно.

Поле двух параллельно расположенных плоскостей имеющих разные заряды +Q и -Q

Поле будет существовать только между пластинами, вне их поля нет.

Напряженность поля между пластинами:

Рассмотрим плоский конденсатор. Если обкладки плоского конденсатора не бесконечно большие, то на краях обкладок имеются места выпучивания силовых линий. Это явление называют краевым эффектом. Электростатическое поле на краях обкладок не равномерно и вычислить его сложно. Поэтому, если поверхность электродов гораздо больше, чем расстояние между ними, то краевым эффектом пренебрегают и считают поле равномерным.

Поле равномерно заряженного шара

Заряд q равномерно распределен в шаровой области радиуса А. Проведем сферическую поверхность S радиусом R, начало системы координат которой находится в центре шаровой области. Диэлектрическая проницаемость шаровой области равна , а внешней среды .

1. Рассмотрим случай, когда R>A - исследуемая точка находиться вне шаровой области. Задача обладает шаровой симметрией, то есть для всех точек, равноудаленных от начала координат, модуль вектора напряженности электростатического поля будет иметь одно и тоже значение.

По теореме Гаусса:

Вектор напряженности электростатического поля и вектор нормали направлены в одну сторону. Поэтому . Так как напряженность постоянна, ее можно вынести из за знака интеграла.

Площадь сферы равна , тогда:

,

где .

Полученная формула совпадает с формулой напряженности точечного заряда помещенного в центр шара, тогда формула потенциала будет иметь следующий вид (вывод смотри в теме потенциал электростатического поля):

2. Рассмотрим случай, когда R<A - исследуемая точка находиться внутри шаровой области.

Левая часть теоремы Гаусса преобразуется точно также:

.

Правая часть уравнения изменится, так как внутри выделенного объема находится не весь заряд q, а только его часть.

- объемная плотность заряда;

,

где объем шара:

.

Полный заряд внутри шаровой области радиуса А:

.

Заряд внутри выделенного объема радиуса R:

.

Частичный заряд внутри выделенного объема:

.

Напряженность поля, когда исследуемая точка находиться внутри шаровой области:

.

;

;

.

Построим графики зависимости напряженности, электрического смещения и потенциала от радиуса.

.

Электрическое смещение не зависит от свойств среды, поэтому, на границе раздела двух сред, скачков модуля электрического смещения не бывает. Напряженность электростатического поля, наоборот, зависит от свойств среды, поэтому на границе раздела двух сред меняется скачком. График зависимости потенциала от расстояния зависит от того, где потенциал был принят равным нулю. Пусть в нашем случае точка с нулевым потенциалом лежит в бесконечности. График потенциала - это плавно изменяющаяся функция, так как потенциал - это работа по перемещению заряда.

Поле равномерно заряженной сферы

Заряд равномерно распределен по поверхности сферы.

- поверхностная плотность заряда

;

.

При рассмотрении поля вне сферы рассуждения такие же, что и для шара

при R > А (R_с):

;

.

При R < R_с заряда нет, так как он равномерно распределен по поверхности сферы

Поле отсутствует, Е=0.

Потенциал равен постоянной интегрирования, .

Построим графики зависимости напряженности, электрического смещения и потенциала от радиуса.

Поле равномерно заряженной оси (бесконечно тонкого провода)

На заряженной оси заряд Q равномерно распределен по длине.

Вокруг оси построим цилиндрическую поверхность произвольного радиуса r.

Применим теорему Гаусса:

;

На торцевой поверхности вектора и перпендикулярны, следовательно, поток через них равен 0 (весь поток идет через боковую поверхность). Напряженность поля постоянна, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла.

,;

;

,;

;

.

Найдем потенциал:

;

.

Для нахождения постоянной интегрирования примем, что точка нулевого потенциала лежит на расстоянии R=R₀.

;

;

,

гдеR - расстояние от провода до исследуемой точки,

R₀ - расстояние от провода до точки с нулевым потенциалом.

Если радиус бесконечно тонкого провода не стремится к 0, то внутри провода Е=0 и потенциал постоянен (поле отсутствует). Вне провода поле рассчитывают по тем же формулам.

Если точка с нулевым потенциалом лежит в бесконечности, то С = 0.

Поле двух параллельно заряженных осей

Две параллельно заряженные оси несут одинаковый и противоположный по знаку заряд Q.

Пользуясь методом наложения:

;

;

,;

,

где .

Если менять расстояния а и b, так чтобы их отношение оставалось постоянным, получим совокупность точек с одинаковым потенциалом - эквипотенциальную линию.

Потенциал точки 1 выше, так как положение этой точки ближе всех к положительному полюсу, напряженность электростатического поля выше в точке 3, так как это самый маленький квадрат.

Если размеры поперечного сечения сопоставимы с проводом, то в проводах происходит смещение зарядов. Для учета этого смещения вводят понятие электрической оси.

Электрические оси - это такие оси, на которых надо сосредоточить заряды проводов, чтобы поверхности проводов являлись эквипотенциалями. Если на этой оси сосредоточить заряд, картина поля не измениться.

,

где Х - расстояние от геометрической оси до электрической.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Гаусса в интегральной форме

С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий вектора электрического смещения в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке. Чтобы узнать это, рассмотрим дифференциальную форму теоремы Гаусса. Для этого разделим обе части уравнения интегральной формы записи теоремы Гаусса на одну и туже скалярную величину V (объем), находящийся внутри замкнутой поверхности:

.

Это выражение справедливо для V любой величины, устремим V к 0.

Предел отношения потока вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему называют дивергенцией вектора электрического смещения.

Или вместо слова «дивергенция» употребляют термины «расхождение».

,

где - объемная плотность заряда:

.

Если объемная плотность зарядов >0 в данной точке поля положительна, то из бесконечно малого объема окружающего данную точку поля, линии вектора электрического смещения исходят (исток).

Если объемная плотность зарядов <0 в данной точке поля отрицательна, то в бесконечно малый объем окружающий данную точку поля, линии вектора электрического смещения входят (сток).

Если объемная плотность зарядов =0 в данной точке поля равна нулю, то в данной точке поля нет ни стока, ни истока. Линии вектора электрического смещения проходят через данную точку пространства.

Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Если среда однородна и изотропна, то ее и тогда:

.

Разложим дивергенцию в декартовой системе координат:

;

;

.

Ёмкость

Если два проводящих тела разделены диэлектриком и несут на себе равные по значению и противоположные по знаку заряды, то в пространстве между ними создается электрическое поле.

Под емкостью С между двумя телами, на которых имеются равные и противоположные по знаку заряды, понимают абсолютную величину отношения заряда на одном из тел к разности потенциалов между телами.

.

Емкость измеряется в Фарадах .

Емкостью обладают любые два тела, разделенные диэлектриком.

Техническое устройство определенной емкости - это конденсатор.

Емкость линейного конденсатора не зависит от заряда и разности потенциалов, а зависит от геометрических размеров конденсатора и свойств диэлектрика находящегося между пластинами.

Методика расчёта ёмкости тела правильной формы:

Условно считают заряд известным, через него выражают напряжение и подставляют в формулу для емкости, где заряд сокращают.

Емкость плоского конденсатора

Применим теорему Гаусса в интегральной форме:

.

Поле плоского конденсатора равномерно, поэтому можно убрать знак интеграла:

.

Заряд равномерно распределен по поверхности пластин, поэтому в расчетах удобно пользоваться понятием поверхностной плотности заряда.

;

;

.

Зная напряженность электростатического поля найдем напряжение:

.

Тогда

.

Ёмкость цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)

Напряженность поля цилиндрического конденсатора (см. применение теоремы Гаусса):

.

Зная напряженность электростатического поля найдем напряжение:

.

Заряд распределен по длине.

,

где l - длина кабеля.

Тогда емкость цилиндрического конденсатора:

.

Ёмкость двух проводной линии

Если d >> R_{n ,} то .

Если d ? R_{n ,} то .

Ёмкость сферического конденсатора

.

Если R₂ устремить к бесконечности, то получим формулу для шара:

.

Ёмкость двухслойного цилиндрического конденсатора

Поверхность каждого слоя эквипотенциальна, поэтому её можно заменить металлической поверхностью, сообщив некоторый потенциал (второе следствие теоремы единственности решения). Получим два конденсатора один внутри другого.

+

Конденсаторы соединим последовательно:

;

;;

;.

Поляризация диэлектриков

Заряды бывают свободными и связанными.

Свободные заряды - заряды, которые под воздействием сил поля свободно перемещаются в веществе.

Связанные заряды - заряды, которые входят в состав вещества и неотделимы от него, перемещение их ограничено внутримолекулярными силами.

Под поляризацией понимают упорядоченное изменение расположения связанных зарядов в теле, вызванное электрическим полем. Отрицательные заряды в теле переместятся в сторону более высокого потенциала, а положительные в сторону более низкого потенциала.

Молекулы в электрическом отношении представляют собой диполи, которые под действием поля ориентируются таким образом, чтобы их электрический момент был направлен параллельно вектору напряженности электрического поля.

- электрический момент, направленный от “-” к “+”.

Электрический момент суммы диполей, находящихся в объеме вещества V, отнесенный к объему V, называют вектором поляризации.

;.

В однородных изотропных (свойства одинаковы по всем направлениям) диэлектриках вектор поляризации Р пропорционален напряженности электростатического поля.

,

где k - коэффициент электрической восприимчивости (определяется экспериментально).

Запишем формулу для расчета вектора электрического смещения . Вектор электрического смещения равен сумме двух векторов характеризующих поле в вакууме и поляризованности.

,

где;

- относительная диэлектрическая проницаемость среды.

;

.

Нарисуем картину поля вокруг плоского конденсатора, внутри которого находиться диэлектрик.

Поле зарядов сориентировано навстречу внешнему полю, поэтому внутри диэлектрика поле слабее, чем внешнее поле.

Проводящее тело

В проводящем теле, по определению электростатики (заряды неподвижны) во всех точках поля потенциал одинаковый, следовательно напряженность поля равна нулю, т.е. внутри поля нет.

Поверхность тела эквипотенциальна, - суммарный заряд равен нулю, но так как заряды разделены, то проводящее тело влияет на внешнее поле внутри его. Если внутри проводящего тела, будет пространство, поля внутри него не будет, т.е. внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела. Это явление используют при электростатическом экранировании.

Граничные условия

В электростатическом поле рассматривают два типа границ:

Диэлектрик - Проводник.

Диэлектрик - Диэлектрик.

Для каждого типа границы есть два граничных условия:

1. Для первого типа границы Диэлектрик - Проводник:

а) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая вектора напряженности электрического поля

.

б) вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности тела, численно равен плотности заряда на поверхности проводящего тела в этой точке

Докажем это:

а) Так как тело проводящее , то .

Так как , то .

б) Мысленно выделим бесконечно малый параллелепипед. Верхняя грань расположена на поверхности проводящего тела, нижняя в диэлектрике. Параллелепипед малой толщины (сплющенный). Применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме

.

Пренебрегаем потоком через боковые грани, так как параллелепипед плоский. Поток через «дно» отсутствует, так внутри проводящего тела и. Есть поток только через верхнею грань .

Тогда теорема Гаусса запишется:

.

Так как угол между вектором и вектором нормали равен нулю, то:

;

.

2. Для второго типа границы Диэлектрик - Диэлектрик:

а) тангенциальные составляющие поля равны

.

б) равны нормальные составляющие электрического смещения

.

Докажем это:

а) Выделим плоский замкнутый контур mnpqm и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Составляющими интеграла вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем.

;

.

б) Мысленно выделим на границе раздела двух сред бесконечно малый параллелепипед. Внутри выделенного объема нет свободных зарядов, поэтому

.

Поток вектора через верхнею грань:

.

Поток вектора через нижнюю грань:

;

;

;

.

Если вектор электрического смещения подходит под 90 градусов к границе раздела, то

;

.

Граничные условия необходимо учитывать для любой задачи расчета поля вблизи 2-х сред. На их базе разработан ряд методов для расчета полей в пограничной зоне.

Уравнение Пуассона - Лапласа

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона - Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

.

Заменим div и grad на :

.

- уравнение Пуассона;

- уравнение Лапласа;

- Лапласан.

В декартовой системе координат:

- уравнение Лапласа;

- уравнение Пуассона.

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона - Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона - Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

(Диэлектрик - Проводник)

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x. Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов и в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие ). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа (вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Пример:

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

;

;

;.

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

.

;

для точки :.

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

.

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

(Диэлектрик - Диэлектрик)

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд. Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

.

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

.

;

.

Решая совместно, получаем:

;

;.

Знак будет совпадать с если .

Знак будет всегда как .

Пример:

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть .

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

;

;

;.

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

.

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд.

;

.

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы. Диэлектрик - Проводник и Диэлектрик - Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.

Пример.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик - проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

Применим метод зеркальных изображений.

Напряженность и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

;

;

;.

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

.

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

.

Пример.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик - диэлектрик. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть .

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения.

;

;

;

;.

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с зарядом. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд .

;

;

.

Группы формул Максвелла

Рассмотрим систему из трех проводов вблизи проводящей поверхности.

Возьмем в диэлектрике некоторую произвольную точку М.

;

.

Потенциал точки М будет равен сумме потенциалов создаваемых каждым проводом и его зеркальным изображением:

;

.

Поместим точку М на поверхность первого провода:

.

Обозначим

;;,

где , , - потенциальные коэффициенты .

Перемещая точку М с первого на второй и третий провод, получим систему уравнений

- первая группа формул Максвелла.

- собственные коэффициенты

- взаимные коэффициенты

Так как .

Все , т.к. .

Кроме первой группы формул Максвелла есть 2 и 3 группы формул Максвелла.

Во второй группе формул Максвелла по известным потенциалам тел находят заряды тел (потенциалы), т.е. решают обратную задачу.

- вторая группа формул Максвелла.

- ёмкостной коэффициент. .

- собственные коэффициенты

- взаимные коэффициенты

Для перехода из первой группы формул Максвелла во вторую составляем матрицу, а затем берем обратную матрицу:

.

Алгебраическое дополнение получают из определителя системы путем вычеркивания К-й строки и N-го столбца и умножая на минор.

Так как определитель системы симметричен относительно главной диагонали, то

и.

При экспериментах удобней использовать напряжение, поэтому пользуются третьей группой формул Максвелла.

В третьей группе формул Максвелла по известным потенциалам тел находят напряжение между телами:

- третья группа Максвелла,

где С - частичные емкости.

С одинаковым индексом - собственные, с разноименным - взаимные.

;

;

;

.

Поскольку .

Вывод третьей группы формул Максвелла:

;

;

;

Обозначим:

;

.

Тогда

.

Если придать k значения 1, 2, 3, …, то получим третью группу формул Максвелла:

Три группы формул Максвелла справедливы для заряженных тел любой формы. Однако приведенные формулы справедливы только для параллельных, достаточно длинных проводов. Следовательно, для тел другой формы определение емкостных коэффициентов производят экспериментально (методика приведена в ТОЭ ч.3 стр 47 новое издание).

Шар и цилиндр в однородном поле

Если в равномерное поле, напряженность которого равна Е₀ , внести металлический или диэлектрический шар или цилиндр, то электрическое поле, особенно вблизи шара или цилиндра, исказится и перестанет быть равномерным.

Если шар или цилиндр из диэлектрика, то под действием внешнего поля он поляризуется. В металлическом шаре или цилиндре вследствие явления электростатической индукции происходит разделение зарядов, а также металлическое тело может нести заряд, распределенный по поверхности.

Задачи по расчету этих полей решаются с помощью уравнения Лапласа:

.

В простом случае (с телами: шар, цилиндр) для решения уравнения Лапласа наиболее удобно выбрать сферическую или цилиндрическую систему координат, так как граничная поверхность - это сфера или цилиндр. Решение производится методом разделения переменных.

Рассмотрим случай, когда в поле внесен проводящий шар или цилиндр. Внутри проводящего тела потенциал одинаков , а напряженность поля равна 0. На поверхности напряженность изменится от 0 в точках С и D до MAX в точках А и В. Причем для цилиндра, для шара.

Высокая напряженность в точках А и В может привести к пробою изоляции. Например, капелька воды, которая попала в бак трансформатора с масленым охлаждением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля и пробой масла.

Энергия и силы в электростатическом поле

Рассмотрим плоский конденсатор.

При увеличении напряжения на заряд одной пластины увеличивается на , а другой пластины на . Т.к. , то .

Для переноса заряда источник энергии должен совершить работу

,

которая затрачивается на создание электрического поля в конденсаторе.

Энергия, доставляемая источником при зарядке конденсатора от напряжения до напряжения и перешедшая в энергию электростатического поля конденсатора равна:

;

- объемная плотность энергии;

;;;;

- удельная плотность энергии в электрическом поле.

Если поле неоднородно, то его разбивают на ячейки, в каждой из которых напряжённость одинакова.

;

;;

- момент вращения.

Система заряженных тел

В первой группе Максвелла находим работу от первого заряда , полагая, что все остальные равны 0. Затем находим работу при переносе заряда считая, что , а остальные равны нулю, и так далее. После чего суммируем полученные работы.

Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде

Электрическое поле постоянного тока, создает магнитное поле постоянного тока, которое неизменно во времени. Из-за того, что магнитное поле неизменно во времени, отсутствует явление электромагнитной индукции. То есть отсутствует влияния магнитного поля на электрическое поле. Поэтому электрическое и магнитное поле постоянного тока можно рассматривать раздельно.

Если поместить во внешнее поле проводящее тело, то в нем начнется упорядоченное перемещение свободных зарядов, то есть появиться ток проводимости. При упорядоченном движении носители зарядов испытывают многочисленные столкновения с другими частицами вещества, которые находятся в тепловом движении. Эти столкновения являются причиной сопротивления, оказываемого проводящей средой прохождению тока. Проводящая среда - такая среда, в каждой точке которой есть свободные заряды.

Электропроводящие свойства среды определяются удельной электропроводностью:

Удельная электропроводность зависит от физических свойств проводящего материала и температуры.

Электрический ток - величина интегральная

Для характеристики поля в разных точках проводящей среды вводят понятие плотности тока:

.

Плотность тока - величина векторная, направленная по напряженности электрического поля. Она численно равна отношению тока, протекающего через элемент поверхности (перпендикулярно направленный напряженности поля в данной точке), к размеру этой поверхности.

Если поверхность имеет конечные размеры, то