Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока

Поле электрического тока потенциально. Все формулы и соотношения, выведенные для электростатического поля справедливы и для поля постоянного тока.

Основные уравнения и законы

Закон Ома в дифференциальной форме

- закон Ома в интегральной форме.

Выделим в проводящей среде небольшой объем (трубку), где .



- по определению плотности тока

Приравняем правые части уравнений:

- дифференциальная форма (случай если точка находится в проводящей среде).

Закон Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой точке. Уравнение справедливо для областей вне источников ЭДС, у которых удельная проводимость постоянна по всему объему.

В областях, занятых источниками ЭДС, кроме электростатического поля существует стороннее поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической сети. Сторонние источники э.д.с. - устройства, преобразующие энергию (механическую или другой тип энергии) в электроэнергию.

Под действием сторонней э.д.с. в источнике происходит постоянное разделение электрических зарядов. Положительные к «+» полюсу, отрицательные - к «-» полюсу, эти заряды внутри и вне источника создают эклектическое поле, напряженность которого направлена от положительных зарядов к отрицательным. Внутри источника поле сосредоточенных зарядов (кулоново поле) направленно навстречу стороннему.

Если точка находится внутри источника, то полное значение напряженности поля:

тогда

Это уравнение называют обобщенным законом Ома в дифференциальной форме или вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме

Сумма тока, входящего в объем. равна сумме токов, из него выходящих.

- в интегральной форме,

тогда из первого закона Кирхгофа

Разделим правую и левую части на объем V:

Устремим объем к нулю:

Первое уравнение Кирхгофа в дифференциальной форме - это уравнение непрерывности линий плотности тока. Оно означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни стока, ни истока линий плотности тока, линии плотности замкнуты сами на себя (окружности, эллипсы).

Дифференциальная форма закона Джоуля- Ленца

В проводнике выделяется энергия

Определим энергию, выделяющуюся в единице объема в единицу времени в проводящем теле:

- мощность тепловых потерь

- дифференциальная форма закона Джоуля - Ленца

Уравнение Лапласа для электрического поля постоянного тока

Это выражение справедливо и для электрического поля постоянного тока

- уравнение Лапласа.

Граничные условия

При рассмотрении поля с различными проводимостями используют два граничных условия:

Рассмотрим первое граничное условие

Выделим плоский замкнутый контур 1234 на границе раздела двух сред и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Составляющими интеграла вдоль сторон 12 и 34 в силу их малости пренебрежем.

Рассмотрим второе граничное условие

Мысленно выделим на границе раздела двух сред бесконечно малый параллелепипед. Из первого закона Кирхгофа

Поток вектора через верхнюю грань

Поток вектора через нижнюю грань

Полные значения вектора напряженности электрического поля постоянного тока и плотности тока в общем случае на границе раздела меняются скачком.

Найдем связь между углом падения и преломления

Рассмотрим частный случай, когда проводимость второй среды стремится к нулю

;

Аналогия между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим полем

По своей природе поля различны. Тем не менее, между ними можно провести формальную аналогию.

Электрическое поле постоянного тока	Электростатическое поле
Поле создаётся зарядами	Поле создаётся зарядами

Так как оба поля удовлетворяют одному и тому же уравнению Лапласа и в них выполняются тождественные граничные условия, то на основании теоремы единственности решения можно сказать, что картины полей будут схожими или одинаковыми.

Метод зеркальных изображений

Методика расчета полностью аналогична задаче расчета электростатического поля, созданного двумя заряженными осями, расположенными вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями. Заменяют линейную плотность зарядов токами I, а диэлектрическую проницаемость на удельную электропроводность среды:

Фиктивный ток найдется по формуле:

Ток утечки коаксиального кабеля

Ток утечки - ток, протекающий через диэлектрик.

Определить ток утечки коаксиального кабеля на один километр длины. Пространство между жилой и оболочкой заполнено неидеальным диэлектриком с удельной проводимостью . Радиус жилы , радиус оболочки . Напряжение между жилой и оболочкой



Емкость между двумя телами, разделенными диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, относится к проводимости между теми же телами , как диэлектрическая проницаемость относиться к электрической проводимости :

Формула емкости была выведена в разделе электростатика

Зная формулу для емкости, найдем проводимость:

Тогда ток утечки равен:

Заземлители и их расчет. Шаговое напряжение

Подвод тока к земле производится с помощью погруженных в землю заземлителей. Ток стекает через заземлитесь, чтобы собраться у другого заземлителя. Если принять за один электрод полусферу, а другой электрод будет находиться далеко, то плотность тока на поверхности полусферы будет:

Напряженность поля:

Напряжение между двумя точками на поверхности земли:

.

Шаговое напряжение - напряжение между ногами человека .

Найдем это напряжение. Через заземлитель стекает ток .

- удельная электропроводность земли.

Магнитное поле постоянного тока

Магнитное поле постоянного тока - это один из компонентов электромагнитного поля постоянного тока. Причиной его возникновения является постоянный ток, протекающий в проводящей среде (макроток).

Магнитное поле характеризуется индукцией и напряженностью магнитного поля .

Эти величины связанны соотношением:

, где

-вектор намагниченности вещества,

-магнитный момент;

-абсолютная магнитная проницаемость;

- магнитная постоянная;

- относительная магнитная проницаемость.

По типу взаимодействию с магнитным полем вещества делятся на ферромагнетики и неферромагнетики:

Неферромагнетики в свою очередь делятся на парамагнетики и диамагнетики.

Парамагнетики- вещества намагничивающиеся в направлении магнитного поля(оксид азота, алюминий, платина, хлорид железа).

Диамагнетики- вещества намагничивающиеся против направления внешнего магнитного поля(азот, водород, германий, кремний, вода).

Магнитное поле действует на:

1) заряженную частицу ;

2) постоянные магниты;

3) проводник с током;

Одним из проявлений магнитного поля является воздействие его на проводник с током, помещенный в это поле.

Опыт показывает, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника длиной с током , определяется следующим образом:

- сила Ампера.

Воздействие на элемент тока максимально, когда индукция магнитного поля В и элемент длины взаимно перпендикулярны, и равна нулю когда индукция В и элемент длины параллельны.

Для определения направления силы используют правило Левой руки:

если мысленно расположить левую руку таким образом, что силовые линии будут входить в ладонь, вытянутые пальцы направить по току, то отогнутый большой палец покажет направление действия силы.

Основные уравнения и законы

Закон полного тока в интегральной форме

Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур (полный ток). Под полным током понимают весь ток, пронизывающий контур интегрирования (ток проводимости и ток смещения).

Этот закон позволяет рассчитать контур в случае прямых длинных проводников.

Пример:

Рассчитать напряженность поля в точке А в поле уединенного прямого провода с током I.



Проведем через точку А окружность радиусом R в плоскости перпендикулярной оси провода. В силу симметрии напряженность поля во всех точках окружности одна и та же, а направление напряженности совпадает с касательной к окружности.

Закон полного тока в дифференциальной форме

Выделим небольшой контур и составим для него циркуляцию вектора напряженности. Циркуляция вектора напряженности вдоль малого контура равна току, пронизывающему этот контур. Так как контур мал, то в пределах этого контура плотность тока одинакова.

где проекция вектора плотности тока на нормаль к площади.

За положительное направление нормали к площади принимают направление движения острия правого винта, головка которого вращается в направлении, принятом за положительное при обходе контура и составлении циркуляции

Тогда:

Разделим обе части равенства на элементарную площадь и устремим элементарную площадку к нулю

Если площадку ориентировать в пространстве так, что направление нормали совпадет с направлением вектора плотности тока , то вместо проекций двух векторов можно записать равенство самих векторов.

- дифференциальная форма закона полного тока.

Ротор - это функция, характеризующее поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Магнитное поле всегда вихревое.

В том случае, когда , , магнитное поле можно считать условно потенциальным, т.е. каждая точка поля обладает каким-то потенциалом, неизменным во времени.

Раскрытие ротора в декартовой системе координат

Равенство векторов и означает, что равны их проекции на оси x,y,z

Проекция ротора на направление оси z

Проекция ротора на направление оси x

Проекция ротора на направление оси y

Таким образом,

Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической системах координат

В цилиндрической системе координат:

В сферической системе координат:

Принцип непрерывности магнитного потока

Магнитный поток есть поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность:

Если поверхность замкнута сама на себя (например поверхность шара), то поток пронизывающий поверхность:

- принцип непрерывности в интегральной форме

Принцип непрерывности магнитного потока:

Вошедший внутрь любого объема магнитный поток равен магнитному потоку вышедшему из того же объема, а алгебраическая сумма этих потоков равна нулю.

Разделим обе части на объем , находящийся внутри замкнутой поверхности и найдем предел отношения, когда объем стремиться к нулю.

- дифференциальная форма принципа непрерывности.

То есть в любой точке магнитного поля нет ни стока, ни истока линий вектора магнитной индукции. Линии вектора магнитной индукции нигде не прерываются и представляют собой замкнутые сами на себя линии (окружности).

Скалярный потенциал магнитного поля

Для совокупности точек, где , , магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т.е. каждая точка этого поля имеет свой магнитный потенциал -

Для таких областей можно записать

Так как

При

Получим

Получили уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала:

Оно справедливо только для областей, не занятых током.

Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2 называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2.

Падение магнитного напряжения между точками 1 и 2 по пути 1-3-2 равно падению магнитного напряжения между точками 1 и 2 по пути 1-4-2 в том случае, когда эти пути (1-3-2 и 1-4-2) образуют замкнутый контур, ток внутри которого равен нулю. Если же эти пути образуют замкнутый контур, ток внутри которого не равен нулю (например контур 1-3-2-5-1), то падения магнитного напряжения по пути 1-5-2 и по пути 1-3-2 не будут равны и будут отличаться на значение тока, охваченного контуром. Т.е. по закону полного тока можно записать:

Для того, чтобы разность магнитных потенциалов между двумя точками не зависела от пути, наложим запрет на прохождение пути через контур с током. При прохождении контура с током магнитный потенциал будет меняться скачком на значение тока в контуре.

Пример 1:Определить разность магнитных потенциалов между точками А и В.

Пример 2: Определить разность магнитных потенциалов в случае действия нескольких токов.

Граничные условия

Первое граничное условие

На границе раздела двух сред, различных в магнитном отношении ( различна), равны тангенциальные составляющие векторов напряжённости магнитного поля.

Доказательство:

Составим циркуляцию вектора напряженности по плоскому контуру mnpq . Пренебрежём циркуляцией вектора напряжённости магнитного поля на участках mq и np, так как контур плоский. Обозначим сторону mn и равную ей сторону qp за

Так как

Это условие не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает поверхностный ток.

Поверхностный ток-ток, протекающий по бесконечно тонкому листу проводника, помещенному на границу раздела двух сред.

где - линейная плотность тока

Поверхностный ток направлен перпендикулярно плоскости, его знак берется по правилу правого винта.

Тогда циркуляция вектора напряженности магнитного поля по плоскому контуру равна поверхностному току, который оказался внутри

Второе граничное условие

На границе раздела двух сред, различных в магнитном отношении ( различна), равны нормальные составляющие векторов магнитной индукции.

Доказательство:

На границе раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем потоки вектора магнитной индукции через верхнею и нижнюю грани. Принцип непрерывности магнитного потока:

Следовательно:

Из граничных условий вытекает соотношение:

Оно даёт связь между углом падения и углом преломления.

Векторный потенциал магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля - это плавно меняющаяся от точки к точке векторная величина, ротор которой равен магнитной индукции.

Векторный потенциал можно применять для любых областей пространства, в том числе и для областей занятых токами.

Уравнение возможно с учетом того, что (принцип непрерывности) тогда , а дивергенция от любого ротора равна нулю (из математики).

Векторный потенциал магнитного поля вводится для расчета вихревых полей (). Но применим и для расчета потенциальных полей .

Направление векторного магнитного потенциала такое же, как и у тока в проводнике.

С помощью векторного потенциала магнитного поля решают следующие типы задач:

1) Определение магнитной индукции

2) Определение магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур.

Пример: Определить поток , пронизывающий рамку, который создаётся проводником с током.



По теореме Стокса: заменим поверхностный интеграл на линейный (поток через поверхность ограниченную контуром заменим на циркуляцию по контуру):

Уравнение Пуассона

Для областей занятых токами

Умножим обе части уравнения на магнитную проницаемость =const:

Линии векторного магнитного потенциала замкнуты на себя, то есть:

Тогда -уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала.

Поскольку в обе части уравнения входят векторные величины, то это уравнение можно переписать для декартовой системы координат:

Решая это уравнение, получим проекции на оси координат:

умножим на единичные орты, получим:

 - общее решение уравнения Пуассона.

С помощью этой формулы можно найти векторный потенциал в любой точке поля, для этого интеграл в правой части уравнения должен быть взят по всем областям, занятым током.

Однако, пользоваться этой формулой каждый раз нецелесообразно, так как взятие интеграла правой части формулы сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.

Пример: В точке А необходимо определить направление

Составляющая векторного магнитного потенциала имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Метод зеркальных изображений

В магнитном поле постоянного тока, вблизи границы раздела двух сред, для расчета поля используют метод зеркальных изображений.

Методика расчета полностью аналогична задаче расчета электростатического поля, созданного двумя заряженными осями, расположенными вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями.. Линейная плотность заряда заменяется током (), а относительная диэлектрическая постоянная среды - относительной магнитной постоянной()

и - фиктивные токи

Найдем фиктивные токи, исходя из граничных условий. Для этого рассмотрим точку, лежащую на границе раздела сред; ее можно считать принадлежащей как к первой, так и ко второй среде.

Из первого граничного условия

Левая часть уравнения определяет принадлежность точки первой среде.

Правая часть уравнения определяет принадлежность точки второй среде.

Сокращая одинаковые элементы в правой и левой частях уравнения, получим

Из второго граничного условия

Левая часть уравнения определяет принадлежность точки к первой среде.

Правая часть уравнения определяет принадлежность точки ко второй среде.

Сокращая одинаковые элементы в правой и левой частях уравнения, получим:

Решая систему из двух уравнений, получим значения фиктивных токов:

Построение картины магнитного поля

При построении картины магнитного поля используются те же правила что и при построении картины электрического поля в электростатике.

Линии индукции магнитного поля (или напряжённости) есть силовые линии магнитного поля. Линия же, где магнитный потенциал постоянен, называется эквипотенциальной.

Если в магнитное поле внести ферромагнитное тело, то силовые линии будут входить в него под углом 90 (т.е. поле искажается). Если же вносится не ферромагнитное тело, то искажения поля не происходит.

Аналогия электростатического (электрического) и магнитного полей

Существует два типа соответствий.

1) Одинаковое распределение линейных зарядов в электростатическом поле и линейных токов в магнитном поле.

В этом случае картины полей подобны, но силовые линии в электростатическом поле - это эквипотенциальные в магнитном поле и наоборот, то есть картина поля повёрнута на угол , меняется смысл линий.

2) Одинаковая форма граничных эквипотенциальных поверхностей в обоих полях. В этом случае картины полей полностью подобны.

Физическая природа полей различна, электростатическое поле создаётся зарядами, магнитное поле создаётся током, то есть в магнитном поле нет понятия магнитного заряда ( , величина, условно введенная).

Индуктивность

Для контуров (катушек), у которых магнитная проницаемостьи не зависит от напряженности магнитного поля, потокосцепление пропорционально току

, где

- коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью;

- электрический ток.

Потокосцепление равно:

, где

Ф - магнитный поток ;

w - число витков.

Из выше приведённых формул следует:

Индуктивность зависит от геометрических размеров контура, числа витков, свойств среды, но не зависит от величины тока, протекающего по катушке.

Методика определения индуктивности:

1) Условно считаем известным ток в катушке.

2) Через известный ток выражаем магнитный поток.

3) Магнитный поток подставляем в формулу индуктивности, где неизвестные токи сокращаются.

Методика расчета индуктивности аналогична методике расчета емкости

Пример: Определить индуктивность катушки, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которого R₁, наружный R₂, высота h, число витков

По закону полного тока определяется Н:

Поток через полоску

Полный поток:

Потокосцепление равно:

ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции

ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока в этой катушке

- ЭДС самоиндукции.

Явление наведения ЭДС в каком-либо контуре при изменении тока в другом контуре называется взаимоиндукцией, а наведённая ЭДС - ЭДС взаимоиндукции.

- ЭДС взаимоиндукции,

где, М- взаимная индуктивность.

Знак «+» ставят при встречном направлении потоков самоиндукции и взаимоиндукции, а «-» - берётся при согласном направлении потоков.

Рассмотрим два контура:

Поток, создаваемый током первой катушки, частично замыкается, минуя второй контур, а частично проходит через него.

Аналогично от второй катушки

- взаимное потокосцепление.

Взаимная индуктивность зависит от взаимного расположения катушек, числа витков и геометрических размеров катушек, но не зависит от тока и от потокосцепления.

Энергия и силы в магнитном поле

Подключим к источнику ЭДС катушку с сопротивлением R и индуктивностью L.

.

Умножим обе части равенства на :

, где

- энергия, отдаваемая источником ЭДС;

- энергия, выделяющаяся в виде тепла;

- энергия запасаемая в магнитном поле катушки.

Полная энергия, запасаемая катушкой с неферромагнитным сердечником, для которого справедливо или :

.

Если есть две катушки, расположенные соосно и включенные последовательно, то энергия равна:

.

и- собственные индуктивности;

М - взаимная индуктивность, зависит от взаимного расположения катушек;

(+)- при встречном включении;

(-)- при согласном включении.

Выведем обобщенную формулу для расчёта энергии магнитного поля.

- полная энергия.

Или в случае одного витка:

Возьмём некоторую площадь S и разобьем ее на элементарные площадки dS

Циркуляция вектора напряжённости поля вдоль оси трубки будет всегда равна току контура:

Энергия, заключённая в объёме каждой трубки, равна:

Тогда энергия во всех трубках равна энергии магнитного поля:

- энергия магнитного поля.

- объёмная плотность энергии магнитного поля.

Если необходимо найти силу или вращающий момент, то:

Сила взаимодействия двух катушек:

Пример:

Вывести формулу для расчёта силы притяжения якоря к электромагниту.



Считаем, что магнитная проницаемость стали много больше 1. Условно считаем, что потоков рассеяния нет, т.е. вся энергия сосредоточенна в воздушных зазорах. Сечение зазора равно сечению магнитопровода.

.

Тогда сила равна:

.

Экранирование

В равномерном магнитном поле напряжённостью Н_о надо заэкранировать некоторую область пространства таким образом, чтобы напряжённость внешнего поля была во много раз больше напряжённости внутреннего поля.

Так как во всех областях нет тока, то магнитное поле описывается уравнением Лапласа. Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат проводят методом разделения переменных(Бессонов,стр.120-122).

.

< 1 - коэффициент экранирования

На практике эту формулу используют в упрощенном виде. Для это введем:

- средний радиус цилиндра

- толщина стенки цилиндра

Принимаем R>>d, тогда:

.

Пример:

Необходимо ослабить поле в 100 раз, коэффициент к=0,01, тогда R=50мм,

м

Внутри цилиндра поле будет однородным.

Переменное электромагнитное поле

Под переменным электромагнитным полем понимают совокупность электрического и магнитного полей, изменяющихся во времени и обуславливающих друг друга, т.е. изменение одного поля ведёт к изменению другого.

Переменное электромагнитное поле определяется векторами напряженности электрического поля и магнитного поля .

Переменное электромагнитное поле является одним из видов материи, которая обладает массой, энергией, количеством движения и может самостоятельно существовать в виде электромагнитных волн и превращаться в другие виды материи.

Полный ток

Электрический ток в проводящей среде называют током проводимости.

Закон Ома в дифференциальной форме:

- электрический ток в проводящей среде, ток проводимости

Электрический ток в диэлектрике, обусловленный поляризацией, называют током поляризации.

, где

- вектор поляризации, равный:

.

Перечисленные виды токов сопровождаются магнитным полем, поэтому Максвелл предложил назвать током смещения в вакууме изменение во времени электрического поля в вакууме, т.к. при этом образуется магнитное поле.

- ток смещения в вакууме.

Отличие данного тока от остальных в том, что он не вызывает тепловых потерь.

Ток проводимости может существовать как в постоянных во времени, так и в переменных электрических полях, а ток поляризации и ток смещения в вакууме существует только в переменных во времени полях.

Полным током называют совокупность всех явлений, при которых образуется магнитное поле

.

где - относительная диэлектрическая проницаемость.

Тогда полный ток равен:

.

- полный ток.

Основные уравнения переменного электромагнитного поля

Первое уравнение Максвелла

Представляет собой дифференциальную форму закона полного тока.

Заменяем циркуляцию по замкнутому контуру на поверхностный интеграл от ротора на основании теоремы Стокса.

Интегралы равны, когда равны подынтегральные выражения.

- 1-ое уравнение Максвелла

Физический смысл: вихревое магнитное поле возбуждается как токами проводимости, так и изменяющимся во времени электрическим полем.

Первое уравнение Максвелла показывает, что электромагнитное поле всегда находится в движении: любое изменение во времени электрического поля ведёт к изменению магнитного поля.

Второе уравнение Максвелла

Представляет собой дифференциальную форму записи закона электромагнитной индукции.

Изменяющееся во времени магнитное поле, пронизывая виток, наводит в нём ЭДС самоиндукции. Обобщим этот закон: ЭДС наводится в пространстве и при отсутствии витка, т.е. изменение во времени магнитного поля вызывает изменение электрического поля.

На основании теоремы Стокса :

.

Интегралы равны, когда равны подынтегральные выражения.

- 2-ое уравнение Максвелла

Физический смысл: изменяющееся во времени магнитное поле вызывает вихревое электрическое поле, направленное так, что оно препятствует изменению магнитного поля.

Непрерывность линий полного тока

Физически это означает, что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения.

Доказательство:

Дивергенция любого ротора равна нулю (из математики).

- закон сохранения заряда.

Дивергенция тока проводимости равна изменению свободных зарядов во времени

Закон сохранения заряда:

Изменение во времени свободного заряда, находящегося в некотором малом объёме, может происходить только за счёт перемещения заряда через поверхность, окружающую этот заряд. Следовательно, полный ток непрерывен и представляет собой замкнутый вектор, не имеющий стоков и истоков. Если же ток проводимости имеет разрыв, то продолжением будут являться линии тока смещения.

Полная система уравнения электромагнитного поля

Электромагнитное поле определяется четырьмя векторами:

Вектора напряженностей электрического и магнитного поля находят из первого и второго уравнения Максвелла:

Для однозначного определения вектора по заданному ротору, задаемся дивергенцией:

Тогда полная система уравнений:

При решении задач должны быть учтены граничные условия:

Эту систему уравнений дополняют уравнением непрерывности линий плотности полного тока и уравнением Умова-Пойтинга.

Физический смысл основных уравнений переменного электромагнитного поля заключается в том, что магнитное поле всегда вихревое, возбуждается оно как движущимися зарядами, так и изменяющимся во времени электрическим полем. Электрическое поле может быть вихревым, в этом случае оно возбуждается изменяющимся во времени магнитным полем, и безвихревым, если оно возбуждается постоянными во времени электрическими зарядами.

Электрическое и магнитное поля взаимосвязаны и представляют собой проявления единого электромагнитного поля, которое находится в движении и несёт с собой запас энергии.

Теорема Умова-Пойтинга

Теорема Умова-Пойтинга выражает закон сохранения энергии. Она связывает изменение энергии в некотором объёме с потоком энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.

1) - первое уравнение Максвелла

2) - второе уравнение Максвелла

Для того, чтобы получить выражение, в которое бы вошла полная энергия в каком-то объёме dV, необходимо умножить первое уравнение Максвелла на , а второе уравнение Максвелла на .



Вычтем из уравнения (1) уравнение (2).

видно, что левая часть есть дивергенция со знаком «-»

Для сокращения векторное произведение на обозначим через

- вектор Пойтинга

Таким образом, вектор Пойтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности и направление его совпадает с направлением движения острия правоходного винта, если головку последнего вращать по кратчайшему расстоянию от к .



Рассмотрим некоторый конечный объем

Заменим объемный интеграл на поверхностный на основании теоремы Остроградского - Гаусса

- запас электромагнитной энергии.

- теорема Умова-Пойтинга

- мощность тепловых потерь - энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в единице объема.

- скорость изменения запаса электромагнитной энергии.

- поток вектора Пойтинга, входящий в поверхность S или мощность, передаваемая внутрь поверхности. Размерность ВА.

Так как вектор направлен внутрь объема, а нормаль направлена перпендикулярно наружу, то угол между нормалью и вектором будет больше 90⁰, поэтому скалярное произведение вектора Пойтинга на нормаль всегда будет иметь отрицательное значение, следовательно, знак «-» в левой части уравнения делает эту часть положительной.

Вывод:

Теорему Умова-Пойнтинга трактуют, как уравнение энергетического баланса: левая часть - это мощность, доставляемая в виде вектора Пойтинга внутрь некоторого объема; правая часть - это энергия, расходуемая и запасаемая в единице времени в единице объема.

Пример.

Энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю. Между жилой и оболочкой пространство заполнено идеальным диэлектриком. R₁ - радиус жилы, R₂ - радиус оболочки. Проводимость материала жилы равна бесконечности , т.е. потерь нет .

R₁ < R < R₂

Вектор Пойтинга направлен от нас (от источника у нагрузке). Так как , то:

Из закона полного тока

Вектор напряжённости в диэлектрике при постоянном токе определяется также, как и в условиях электростатики

- напряжение между жилой и оболочкой

- полный заряд жилы на длине l

Вектор Пойнтинга в некоторой точке диэлектрика

Поток вектора Пойнтинга

Так как вектор Пойнтинга и нормаль расположены под углом 180 градусов, то избавляемся от скалярного произведения и знака «-»

Вывод:

Получили, что вся мощность передается по диэлектрику, следовательно, энергия по жиле и оболочке не передается. Проводник (жила - оболочка), это каналы, по которым проходит ток, а так же организаторы структуры поля. Если диэлектрик не идеален, то энергия на покрытие тепловых потерь частично поступает в проводник из диэлектрика (проводимость конечна), следовательно, напряженность будет направлена по току, тогда поток вектора Пойтинга будет направлен через боковую поверхность внутрь провода.

Уравнение электромагнитного поля в комплексной форме

Если напряженность электрического и магнитного поля изменяется по синусоидальному закону, то мы можем записать.

- комплексная амплитуда

- комплексная амплитуда

Im - мнимая часть

Индекс м опускаем, так как мы имеем дело с действительными значениями.

Первое уравнение Максвелла в комплексной форме

- первое уравнение Максвелла в комплексной форме.

Второе уравнение Максвелла в комплексной форме

 - второе уравнение Максвелла в комплексной форме.

Теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме

PQ

- теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме.

Электромагнитные волны

Напряженность электрического поля и магнитного изменяются по гармоническому закону, то есть представляют собой волны. Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла.

Даже при очень больших частотах удельная проводимость будет , поэтому .

Решим первое и второе уравнение совместно, для этого возьмём от первого уравнения.

/

- уравнение электромагнитной волны для .

Для того чтобы найти , необходимо решить данное уравнение относительно , а результат подставить в первое уравнение Максвелла.

Плоская электромагнитная волна

Под плоской электромагнитной волной понимают волну вектора напряженности электрического поля и магнитного поля, которые расположены в плоскости перпендикулярно направлению распространения волны и изменяются только в функции координаты z и времени t.

В дальнейшем под плоской электромагнитной волной будем понимать плоскую линейно - поляризованную волну, вектор напряженности электрического поля которой направлен по оси Х, а вектор напряженности магнитного поля по Y.



Совместим мнимую ось с осью Y, получим, что:

Решим уравнение для плоской электромагнитной волны.

- дифференциальное уравнение второго рода.

Решение дифференциального уравнения второго рода в общем виде

, - постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

- постоянная распространения электромагнитной волны.

Найдем постоянную распространения из характеристического уравнения

, где

- коэффициент затухания

- коэффициент фазы

Найдем напряженность электрического поля из первого уравнения Максвелла

Единичный орт i говорит о том, что вектор напряжённости электрического поля направлен вдоль оси Х.

- волновое сопротивление.

[Ом] зависит от свойств среды и угловой частоты

Проекция вектора напряженности электрического поля на ось «х» равна:

Проекция вектора напряженности магнитного поля на ось «у» равна:

Найдем направление вектора Пойнтинга

Из рисунка видно, что движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси Z, а отражённой - вдоль отрицательного направления направления оси Z.

Тогда соотношение

имеет аргумент , поэтому для одной и той же точки пространства сдвиг во времени между и будет равен.

Плоская электромагнитная волна в однородном проводящем полупространстве

Рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны в однородной проводящей среде, простирающейся теоретически в бесконечность.

Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в проводящую среду и распространяется в последней. Так как среда простирается теоретически в бесконечность и падающая волна в толще проводящей среды не встречает границы, которая «возмутила» бы ее распространение, то отраженной волны в данном случае не возникает.

При наличии только одной падающей волны

и

Постоянную интегрирования С₂, найдем из граничных условий. Если обозначить

напряженность магнитного поля на поверхности проводящей среды через , то при z = 0

Поэтому с учетом того, что p=k(1+j) получаем

В свою очередь

.

Чтобы записать выражения для мгновенных значений Н и Е, необходимо правые части данных уравнений умножить на и взять мнимые части от получившихся произведений.

Получим:

и

Проанализируем полученные выражения. Амплитуда Н равна . Амплитуда Е равна . По мере увеличения Z множитель уменьшается по показательному закону. Следовательно, по мере проникновения электромагнитной волны в проводящую среду амплитуды Е и Н уменьшаются по показательному закону.

Если принять , то на графике мгновенных значений Н в функции от z будет получена кривая 1 при и кривая 2 при .

Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводящую среду, вводят понятие глубины проникновения.

Под глубиной проникновения понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или Н) уменьшается раз. Глубину проникновения определяют с помощью выражения

Отсюда следует, что или

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (и ) и частоты . Так, если электромагнитная волна имеет частоту и проникает в проводящую среду, у которой и , то

Глубина проникновения , т.е. на расстоянии в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,7183 раза.

Под длиной волны в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z) на котором фаза колебания изменяется на . Длину волны определяют из уравнения , отсюда

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание имело одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением . Производная от постоянной величины есть нуль, поэтому

или ; ;

Эффект быстрого затухания широко используются на практике:

Электромагнитные экраны, нагрев металлических деталей перед ковкой, сушка древесины, наплавка и реставрация инструмента, поверхностная закалка стальных инструментов и деталей, нагрев несовершенных диэлектриков.

Экранирование в переменном электромагнитном поле.

Основано на том, что электромагнитная волна протекая в стенки экрана, быстро затухает, расходуя энергию на покрытие потерь обусловленными вихревыми токами в стенках экрана. Если экран выполнен из ферромагнитного материала, то экранирование достигается за счёт стремления силовых линий пойти по участкам с меньшим магнитным сопротивлением.

Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков

Нагрев металлических деталей перед ковкой и штамповкой, сушку древесины производят путём помещения этих предметов в электромагнитное поле не высокой частоты (1-20кГц).

Стальные изделия подвергают поверхностной закалке, помещая в поле более высоких частот (10-500кГц).

Поля более высоких частот 1-30МГц используют для нагрева несовершенных диэлектриков:

· Пластмассы перед штамповкой

· Вулканизация резины

· Термическая обработка пищи

Поверхностный эффект

Поверхностный эффект связан с вытеснением переменного тока на поверхность проводника, а так же с вытеснением переменного магнитного потока на поверхность ферромагнитной пластины, по которой этот магнитный поток распространяется. Это явление приводит к уменьшению эффективности проводников и ферромагнитных сердечников. Замечено в массивных проводниках, растет с ростом частоты. Если вдоль листа направлен поток, то это магнитный поверхностный эффект. Если вдоль листа направлен ток - то это электрический поверхностный эффект. Благодаря поверхностному эффекту изменяется активное и индуктивное сопротивление. С увеличением частоты сопротивление растет, а индуктивность уменьшается.

Магнитный поверхностный эффект

Рассмотрим стальной лист, толщина которого много меньше высоты. Вдоль листа идет переменный магнитный поток.

Так как , то искажающим влиянием краев листа пренебрегаем и считаем, что в лист с 2-х сторон проникает плоская электромагнитная волна. Примем, как и прежде, Общее решение для комплекса действующего значения таково:

Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При z = - а, т. е. для точек, находящихся на левой стороне листа,

при z=+a .

Совместное решение системы относительно C₁ и С₂ дает .

Следовательно, в произвольной точке

.

Напряженность электрического поля

, где

.

При z=+a напряженность направлена вдоль оси - х; при z = -а - вдоль оси +х. Вектор Пойтинга направлен внутрь листа.

Ток, возникающий при прохождении по листу переменного магнитного потока, принято называть вихревым.

Вектор плотности вихревого тока в любой точке листа коллинеарен с вектором в этой же точке. Поэтому график распределения плотности вихревого тока по плоскости листа будет такой же, как и у напряженности электрического поля.

Магнитная индукция в произвольной точке

.

Среднее значение магнитной индукции в листе

.

Зная, что ,получаем

Можно найти напряженность поля на поверхности листа:

Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа к напряженности поля на поверхности листа называют комплексной магнитной проницаемостью.

Она зависит от величины , частоты и толщины листа. При получаем, что и комплексная магнитная проницаемость.

При наличии поверхностного магнитного эффекта магнитная проницаемость материала уменьшается и тем больше, чем выше частота. При очень высоких частотах магнитный поток и вихревые токи вытесняются на поверхностный слой.

Найдем

Таким образом, из последней формулы видно, что напряженность поля в средней плоскости листа может быть во много раз меньше, чем на краях.

Электрический поверхностный эффект

Вдоль шины направлен синусоидальный ток I частотой . Напряженность магнитного поля H и электрического поля E изменяется по синусоидальному закону.

Поле внутри пластины определяется по формулам:

Напряженность магнитного поля на поверхности шины при z=a

(из закона полного тока) ()

Полярные диаграммы:

Комплексное сопротивление в единице длины шины:

Эффект близости

По двум параллельно расположенным плоским шинам протекают одинаковые токи. Токи изменяются во времени синусоидально.



Вне шин напряженность магнитного поля можно считать равной нулю, т.к. магнитные потоки, созданные обеими шинами, компенсируются. Между шинами поле считается плоско - параллельным. В области между шинами напряженность магнитного поля равна:

Близко расположенные шины влияют друг на друга. Происходит перераспределение напряженности электрического и магнитного поля по сечению шины. Это явление называется эффектом близости.

Если токи текут в разных направлениях, то плотность тока будет наибольшей в частях сечений, наиболее близких друг к другу. Если токи текут в одном направлении, то диаграмму необходимо зеркально отобразить. Максимум будет не на внутренней поверхности, а не наружной.

Комплексное сопротивление будет состоять из внутреннего сопротивления двух шин и сопротивления потоков рассеяния между ними

Если контур высокой частоты приблизить к поверхности, возникает индукционный ток. Поверхность повторяет форму индуктора. Ток индуктора и индукционный ток находятся в противофазе. На поверхности тела возникает нагрев. Данная методика используется при поверхностной закалке стальных изделий сложной формы.

Поле в пазу электрической машины

Электромагнитная волна проникает в шину через наружную поверхность mnsq и по мере проникновения затухает по амплитуде.

Поле внутри паза определится по формулам:

Из полярных диаграмм видно, что нижнюю часть паза использовать не целесообразно. Следовательно, делать глубоким паз нельзя. Данное явление в пазу электрической машины увеличивается с ростом частоты и поперечного сечения.

Электромагнитная совместимость

Под электромагнитной совместимостью понимают способности технических средств функционировать совместно и одновременно с другими техническими средствами в условиях электромагнитных помех, при этом не создавая помех другим средствам.

Электромагнитные помехи и их источники делят на индустриальные и естественные (газовые разряды, излучение солнца и т.д.)

Помехи индустриальные - это всевозможные электродвигатели, городской электрический транспорт, сварочные аппараты, линии электропередач и т.д.

Основные источники индустриальных помех распространяются по проводам, т.е. это - помехи, индуцированные за счет индуктивных и емкостных связей. Такие помехи называются кондукционными.

Из электромагнитных помех выделяем перенапряжение и провалы напряжения, которые возникают из-за перегрузки мощными потребителями.

Для защиты применяют экранирование, фильтрацию и заземление. В аппаратуре обычно делают три контура защиты:

1. Экранируют сигнальные цепи

2. Производят фильтрацию для силовых цепей

3. Заземляют корпусные детали

Размещено на Allbest.ru

...