Надежность источников и систем теплоэнергоснабжения промышленных предприятий

Случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и вероятности их появления. В зависимости от характера возможных значений различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

3.2 Особенности распределения дискретных случайных величин

При анализе надежности работы оборудования существенным является тот факт, что отказ представляет случайное событие. Момент возникновения отказа, т.е. перехода из работоспособного состояния в неработоспособное заранее неизвестен. Именно поэтому возникла и существует проблема надежности. В этом главная специфика и трудность фактического обеспечения надежности. Если бы отказы носили детерминированный характер, проблемы надежности не существовало бы вовсе. Случайный характер появления отказов определяет и подход к анализу надежности. Для этой цели используется математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

В общем случае, как уже отмечалось, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины могут быть дискретными, то есть принимать строго фиксированные значения, или непрерывными, принимать любые значения внутри ограниченного или неограниченного интервала.

Рассмотрим количество отказов в работе установки в течение года. Здесь случайная величина X - количество отказов, возможные значения х₁=0, х₂=1, х₃=2, …, Х_n=n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно. Величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий

P(x = x₁) = p₁, P(x = x₂) = p₂, …, P(x = x_n) = p_n,

Так как несовместные события образуют полную группу, то

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если зададим ее распределение, то есть укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями и соответствующими вероятностями их появления. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины (ДСВ) является таблица 3.1, в которой перечисляются возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Таблица 3.1. Табличное задание закона распределения

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, используют графическое представление. По оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, по оси ординат - вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (см. рис. 3.1).

Пример 7. В техническом объекте 2 неисправные и 4 исправные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления исправной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ - числа извлеченных деталей Х.

Решение. Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина Х:

х₁= 1 - первой вынули исправную деталь;

х₂ = 2 - первая вынутая деталь неисправная, вторая исправная;

х₃ = 3 - первая деталь неисправная, вторая деталь неисправная, третья деталь исправная.

Соответствующие им вероятности р₁, р₂, р₃ найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметим при этом, что события зависимы):

р₁ = Р(Х = х₁ = 1) = 4/6 = 2/3;

р₂ = Р(Х = х₂ = 2) = (2/6) (4/5) = 4/15;

р₃ = Р(Х = х₃ = 3) = (2/6) (1/5) (4/4) = 1/15.

Таким образом, закон распределения случайной величины Х примет вид таблицы 3.2:

Таблица 3.2. Ряд распределения случайной величины

X	1	2	3
P	2/3	4/15	1/15

По полученным данным строим многоугольник распределения, откладывая на оси абсцисс значения хi, а на оси ординат соответствующие значения вероятностей р_i:



Рис.3.1. Многоугольник распределения ДСВ

Представление закона распределения в виде таблицы или многоугольника распределения возможно только для дискретной случайной величине.

3.3 Характеристики распределения непрерывных случайных величин

Для непрерывной величины такой характеристики построить нельзя, поскольку она имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток. Для количественной характеристики этого распределения используют не вероятность некоторого события Х = х₀, а вероятность события Х < x₀., где x₀. - некоторая текущая переменная.

Вероятность этого события зависит от x₀. и является функцией от x₀. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x).

F(x) = P(X ? x).

Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для дискретных и непрерывных величин. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения.

Функция распределения (интегральная) непрерывной случайной величины, основные свойства:

1. Функция распределения - неубывающая величина.

При х₂>x₁ F(x₂) ? F(x₁).

2. На «минус бесконечности» функция распределения равна нулю.
F(-) = 0.

3. На «плюс бесконечности» функция распределения равна единице.

F(+) = 1.

График интегральной функции распределения F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки, то есть разрывы.

Общий вид функции распределения показан на рисунке 3.2. Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой всегда происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки - меньше; ступенчатая кривая становится более плавной. Случайная дискретная величина приближается к непрерывной, а ее функция распределения - к непрерывной функции.



Рис. 3.2. Общий вид функции распределения непрерывной, а) и дискретной, б) случайной величины

При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто необходимо вычислить вероятность того, что случайная величина будет находиться в интервале . Условимся левый конец неравенства включать в интервал, а правый не включать. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок (б, в), предполагая, что вб. В пределе вместо вероятности опадания на участок получим вероятность того, что случайная величина Х примет отдельно взятое значение a

P()==

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке х=a или же терпит разрыв. Если существует разрыв, то предел равен значению скачка. Если функция непрерывна, то этот предел равен нулю.

Рассмотрим отношение вероятности попадания случайной величины Х на участок от х до (х + Дх) к длине этого участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке. При стремлении Дх к нулю в пределе получим производную от функции распределения

f(x) =

Функция f(x) характеризует плотность, с которой распределены значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения случайной величины Х. Ее также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Кривая, изображающая на рисунке 3.3. плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Рис. 3.3. Общий вид плотности распределения случайной величины

Вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок шириной x, x+dx равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx. Вероятность попадания величины X на отрезок от a до b равна сумме элементов вероятности на этом участке, то есть интегралу

P() = .

Геометрически вероятность попадания величины Х на участок (б, в) равна площади под кривой распределения на этом участке.

Функция распределения связана с плотностью распределения зависимостью

F(x) = .

Геометрически значение функции распределения равно площади под кривой распределения, лежащей левее точки х.

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция, f(x) > 0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице

= 1.

Геометрически основные свойства плотности означают, что вся кривая плотности распределения лежит не ниже оси абсцисс и полная площадь под кривой равна единице.

Функция распределения, как и вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения обратна размерности случайной величины.

Как отмечалось в разделах 3.1.4 и 3.1.5, в теории вероятностей для расчета статистических процессов используются две основные теоремы:

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, как это иллюстрируется Примером 2 и формулой (3.4).

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, как это отображено формулой (3.7) и проиллюстрировано Примером 5.

Если события независимые, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий (Пример 6).

Плотность вероятности f(x) характеризует распределение вероятности значений случайной величины x до получения дополнительной информации о поведении этой величины и поэтому называется иногда безусловной плотностью вероятности f(x).

Допустим, что в качестве случайной величины рассматриваем появление отказа оборудования после продолжительности работы t. Распределение этой вероятности имеет безусловную плотность f(t). Далее наблюдаем за оборудованием в течение времени от t=0 до t=t₁ и видим, что за этот период отказы не наблюдались.

Вероятность появления отказа в момент времени t₁ при условии, что в течение периода от t=0 до t=t₁ отказы не появятся, будет иной, чем вероятность появления отказа в момент времени t=0, когда информация о поведении оборудования в течение периода от t=0 до t=t₁ отсутствует.

Безотказная работа оборудования в течение времени t₁ и появление отказа в момент t₁ есть два зависимых события. В теории надежности для расчета подобных явлений используется еще одна характеристика непрерывной случайной величины л(t), представляющая собой условную плотность вероятности того, что отказ произойдет в малом интервале времени [t, t+dt], если известно, что ранее отказа не наблюдалось (интенсивность отказов).

Предположим, что закон распределения случайной величины - время появления отказа оборудования - описывается функцией распределения F(t) и плотностью вероятности f(t). По определению, значение F(t) равно вероятности того, что отказ оборудования появится в промежутке времени [0, t], а вероятность появления отказа в течение малого промежутка времени [t, t+dt] равна f(t)dt. Тогда вероятность безотказной работы на интервале [0, t] будет равна 1-F(t), а вероятность появления отказа на интервале [t, t+dt] при условии, что до этого момента отказов не было, равна л(t)dt. Рассматривая появление отказа на интервале времени [t, t+dt] как два последовательных события: отсутствие отказов до момента t и наступление отказа на интервале [t, t+dt], по теореме умножения вероятностей получим f(t)dt = [1 - F(t)] л(t)dt, откуда найдем выражение для вычисления условной плотности вероятности л(t) через безусловные характеристики f(t) и F(t):

л(t) = .

Так как f(t) = , поэтому:

F(t) =, (3.13)

тогда:

л(t) = ,

л(t) = .

В свою очередь функция распределения F(t) и безусловная плотность распределения f(t) могут быть представлены через условную плотность:

л(t) = = - = -

или

л(t)dt =

Интегрируя это выражение от 0 до t и учитывая, что F(0) = 0, получим

= - ln,

1 - F(t) = , (3.14)

F(t) =1 - .

Из л(t) = получим

f(t) = л(t) [1 - F(t)] = л(t)

Во многих практических вопросах нет необходимости использовать полную характеристику случайной величины в виде закона распределения. Обычно удобнее пользоваться отдельными числовыми параметрами, отражающими основные свойства случайной величины.

Параметрами, определяющими положение случайной величины на числовой оси, служат характеристики положения. Главной из них является математическое ожидание случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. Это средневзвешенное значение случайной величины или теоретическое среднее арифметическое всех возможных значений. Напомним, что для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле

m_x =

для непрерывной - по формуле

m_x =

Наиболее важной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии используются формулы:

для дискретной случайной величины

D_x =

для непрерывной

D_x =

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

.

Математическое ожидание m_x и дисперсия D_x или среднее квадратичное отклонение характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Довольно часто ограничиваются только этими двумя показателями.

Теория вероятностей имеет дело с теоретическими величинами, такими, как вероятности событий, математическое ожидание, законы распределения случайных величин, дисперсии. На практике приходится иметь дело с реальными величинами, полученными в результате опыта. Это средние арифметические, частота событий и т.д. Вопросами обработки экспериментальных данных, анализа явлений по полученным результатам при массовых явлениях занимается математическая статистика.

Теория вероятностей предполагает, что при изучении случайных величин мы можем в результате опыта получить какое-либо значение случайной величины из совокупности возможных значений. Эта совокупность называется генеральной совокупностью. Для непрерывной случайной величины генеральная совокупность ее возможных значений бесчисленна, для дискретной величины она может быть также не ограничена или иметь чрезвычайно большое количество возможных значений.

В результате проведения опытов мы получаем только несколько значений случайной величины, может быть достаточно большое количество, но всегда ограниченное. Эти значения, выбранные случайным образом из генеральной совокупности, образуют выборочную совокупность значений. Совершенно очевидно, что характеристики выборочной совокупности могут отличаться от характеристик генеральной совокупности. Однако при увеличении количества опытов (объема выборки) параметры выборочной совокупности будут приближаться к характеристикам генеральной совокупности: среднее арифметическое к математическому ожиданию, частота к вероятности и т.д.

По аналогии с теорией вероятности статистической функцией распределения F*(x_i) случайной величины X называется частота события появления значений величины Х<x_i.

F*(x_i) = P*(Xx_i)

Для того, чтобы найти значение статистической функции распределения при данном x_i, необходимо подсчитать число опытов, в которых случайная величина Х приняла значение, меньшее, чем x_i, и разделить это количество на общее число произведенных опытов.

Статистическая функция распределения любой случайной величины (прерывной, дискретной или непрерывной) представляет собой прерывную ступенчатую функцию (Рис. 3.1), скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины наблюдалось только один раз, то скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении будет равен 1/n, где n - число наблюдений.

Согласно теореме Бернулли (3.3), при увеличении числа опытов n частота события Х < x_i для любого x_i сходится по вероятности к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая функция распределения будет приближаться к подлинной функции распределения F(x) случайной величины Х. Если Х - непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) будет увеличиваться, а сами скачки уменьшаться. График функции F*(x) приблизится к плавной кривой F(x).

В принципе построение статистической функции распределения полностью решает задачу экспериментального описания материала. Однако при большом числе опытов построение F*(x) трудоемко. Кроме того, во многих случаях оказывается более удобным представить результаты в виде, аналогичном плотности распределения случайной величины.

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность становится слишком громоздкой. Для большей компактности на основании простой статистической совокупности строится так называемый «статистический ряд». Для этого весь диапазон наблюденных значений Х разбивается на интервалы, затем подсчитывается количество значений m_i случайной величины Х, попавших в каждый i-й интервал. Это число делится на общее количество наблюдений n, в результате чего определяется частота событий попадания случайной величины в каждый интервал:

= .

Сумма частот всех разрядов будет равна единице:

= 1.

Таблица 3.3, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси Х и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом.

Таблица 3.3. Статистический ряд распределения случайной величины

№ интервала	1	2	…	i		k
Ширина интервала	х1-х2	х2-х3	…	xi-xi+1		xk-xk+1
Частота попадания Х в интервал	P*1	P*2	…	P*i		P*k

При группировке по разрядам значения величины Х, попавшие точно на границы интервала, относят с половиной частоты попадания в каждый сопряженный интервал.Число разрядов, на которых группируется статистический материал, не должно ни быть слишком большим (тогда частоты будут случайным образом колебаться), ни слишком малым, чтобы не было слишком грубой оценки. Обычно ограничиваются количеством интервалов k =10…20. Длины интервалов могут быть одинаковыми или различными. Если плотность распределения очень неравномерна, то удобно выбирать в области высокой плотности более узкие интервалы, а в области низкой плотности - более широкие.Далее предполагается, что внутри каждого интервала случайная величина принимала только одно значение, равное среднему арифметическому границ интервала:

.

Согласно этому предположению значения случайной величины меньше в опытах не наблюдались, то есть, для x имеем F*(x) = 0. Далее, при x = , происходит скачкообразное увеличение значения функции распределения на величину Р^*₁, которое сохраняется до x = . При этом значении х функция распределения увеличивается до F*(x₂) =.

Аналогичным образом график функции распределения строится для остальных интервалов. Последний скачок функции на величину Р^*_k происходит в точке x = Здесь функция распределения достигает своего максимального значения F(x) = 1. Это соответствует тому, что в опытах не наблюдались величины x

В тех случаях, когда не требуется полной информации о законе распределения случайной величины, бывает достаточно ограничиться некоторыми численными характеристиками.

По аналогии с теорией вероятности, в математической статистике для представления о поведении случайной величины наиболее часто применяются характеристика положения (среднее арифметическое - аналог математическому ожиданию) и характеристики разброса значений случайной величины относительного среднего положения (выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение - аналоги дисперсии и среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности).

Среднее арифметическое наблюдаемой величины рассчитывается по формуле

= =

Эту характеристику иногда называют статистическим средним случайной величины. При достаточно большом n величина сходится по вероятности к математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление.

Для того, чтобы различать дисперсию и среднее квадратичное генеральной совокупности и подобные характеристики выборочной совокупности, обычно первые величины обозначают буквами D и у, а выборочные характеристики - буквами S² и S.

Выборочная дисперсия рассчитывается по формуле

S² =

выборочное среднеквадратичное отклонение

S = =

Теоретически показано, что средним значением S² является не дисперсия генеральной совокупности D_х, а несколько меньшая величина . Таким образом, величина S² будет сходиться по вероятности не к теоретическому значению D_х, а к несколько меньшему значению .

При этом оценка величин D и у по величинам S² и S дает некоторое смещение результатов, которое можно устранить, введя соответствующие поправки:

= ,

.

Величина называется несмещенной оценкой дисперсии или несмещенной выборочной дисперсией. Величина называется несмещенным средним квадратичным отклонением.

Отметим, что расчет значения выборочной дисперсии удобно производить по формуле:

.

ТЕМА 4. Основные законы распределения отказов как случайных событий

4.1 Виды математического описания случайных величин

Для любой случайной величины Х, непрерывной или дискретной, существует закон ее распределения. Формы записи этого закона могут быть различными. Для дискретных случайных величин это ряд распределения или интегральный закон, функция распределения F(x). Для непрерывной случайной величины используются интегральный закон, функция распределения F(x) и дифференциальная форма - плотность распределения f(x). На практике эти законы проявляются в виде реализации определенных событий, причем данные о распределении случайной величины существуют только в виде набора пар чисел: значение случайной величины - частота появления этого значения.

Для того, чтобы проводить прогностические расчеты, необходимо иметь аналитическую запись этих законов в виде определенных математических формул. Вид математического описания выбирается исходя из теоретических представлений о распределении случайной величины или на основании экспериментальных данных. Соответствие аналитических зависимостей и экспериментальных данных достигается путем подбора численных значений коэффициентов, входящих в аппроксимирующие формулы. Эти коэффициенты называются параметрами распределения случайной величины.

Для их подбора обычно применяется принцип максимального правдоподобия, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

4.2 Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Поскольку существует различие в описании распределения непрерывных и дискретных случайных величин, то в изображении и для их аппроксимации применяются различные формулы.

Для непрерывных случайных величин наиболее простым является равномерное (прямоугольное) распределение с двумя параметрами {a, b}, соответствующим границам интервала, внутри которого может находиться случайная величина. Это распределение встречается в основном в двух типовых ситуациях: во-первых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны и, во-вторых, при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых интервалах.

Равномерное распределение на интервале [a, b] задается плотностью

f(x) =

Функция распределения на этом интервале

F(x) = dx==

Условная плотность распределения

л(t) = = .

Математическое ожидание соответствует середине интервала:

m_x = dx = = .

Дисперсия распределения

D_x = dx =

Графики функции и плотности распределения показаны на рисунке 4.1.



Рис. 4.1. Графики функции a) и плотности б) распределения случайной величины по прямоугольному (равномерному) закону

Некоторые случайные величины имеют ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ распределение с одним параметром л₀>0 (однопараметрическое).

Функция распределения

F(x) = 1 -

Плотность распределения

f(x) =

Условная плотность распределения

л(x) = .

Закон определен для случайной величины x? 0.

Математическое ожидание случайной величины

m_x = dx=.

дисперсия

D_x = dx =.

По экспоненциальному закону, как правило, распределяется случайная величина - продолжительность работы оборудования до отказа, если его отказы не связаны со старением, т.е. износом оборудования, ухудшением определяющих его работоспособность характеристик. Это распределение наблюдается, когда отказы вызываются случайными внешними факторами, например, колебаниями тепловой, электрической или механической нагрузок, изменением качества топлива, особенностями работы различных операторов или другими случайными воздействиями.

Графики функции и плотности экспоненциального распределения показаны на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Графики функции a) и плотности б) распределения случайной величины по экспоненциальному закону

Наиболее общим является распределение ГАУССА или НОРМАЛЬНОЕ распределение. Этот закон занимает особое положение. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. По этой причине нормальный закон распределения наиболее часто встречается в природе. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, как, например, ошибки измерений, могут быть представлены как суммы большого числа малых элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законом распределения ни подчинялись отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме нивелируются и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

f(x) = exp[- ,

при с = 1 имеем:

f(x) = .

Кривая плотности распределения по нормальному закону, приведенная на рисунке 4.3, имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке x=m. По мере удаления от точки x=m плотность распределения падает и кривая асимптотически прижимается к оси х.

Рис. 4.3. График плотности распределения случайной величины по экспоненциальному закону (Распределение Гаусса)

Параметрами распределения являются коэффициенты m и у. Величина m здесь соответствует математическому ожиданию случайной величины; у - среднее квадратичное отклонение величины х. Если изменить величину m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс. Параметр у характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеяния. Необходимо сразу заметить, что в область (-3у; +3у) попадает 99, 73% значений случайной величины х.

Наибольшая ордината кривой обратно пропорциональна величине у, чем больше у, тем ниже максимальное значение f(x). Влияние этих параметров показано на рисунке 4.4.



Рис. 4.4. Влияние параметров распределения на координацию и форму плотности распределения Гаусса

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [б, в]:

P(б? X ?в) = F(в) - F(б).

Здесь F(x) - функция распределения величины Х:

F(x) = dx = dx.

Вычисление значения функции распределения требует в каждом случае численного интегрирования. Чтобы избежать этого, используется нормированное нормальное распределение с m = 0 и у = 1. Для этого вводится новая переменная u:

u = ; u; dx = у du.

Функция распределения принимает вид

F(x) = у du = du.

Обычно используется обозначение

Ф(u) = dt.

Интеграл dt не выражается через элементарные функции. Это так называемый интеграл вероятности. Для него составлены таблицы. Поскольку функция Ф(u) симметрична, то Ф(-u) = 1 - Ф(u). Вероятность нахождения случайной величины X в диапазоне [б, в] определится выражением

P(б? X ?в) = Ф( ) - Ф().

В ряде таблиц приводится значение интеграла для dt . При u=0 Ф(u) = 0,5.

В том случае, когда случайная величина представляет произведение большого числа независимых случайных величин, среди которых нет преобладающих, то распределение ее вероятности соответствует ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОМУ распределению.

Плотность распределения определяется выражением

f(x) =

параметр нормированного распределения

u = .

Закон определен для случайной величины x>0. График плотности распределения показан на рисунке 4.5.

Рис. 4.5. График плотности логарифмически нормального распределения

Это распределение позволяет описать распределение случайной величины, имеющую положительную асимметрию. Нормальное распределение хорошо согласуется с опытными данными, когда количество измерений достаточно велико. При малом количестве измерений более адекватным является распределение СТЬЮДЕНТА. В качестве параметра распределения используется величина

t =

Плотность вероятности распределения параметра t зависит от величины t и также от числа степеней свободы n_с, n_с=n-1. Кривые напоминают кривые нормального распределения, но при малых n (или n_с) они значительно медленнее сближаются с осью абсцисс. Общий вид этих кривых показан на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. График плотности распределения случайных величин, имеющих нормальное распределение (1) и распределение Стьюдента (2)

При увеличении количества измерений распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению. Значения плотности и функции распределения Стьюдента выражаются через гамма-функции, для вычисления которых необходимо численное интегрирование. Поэтому обычно пользуются статистическими таблицами, в которых в зависимости от числа степеней свободы n для нескольких значений уровня значимости a приводятся значения параметра t_кр(1), для которого вероятность появления значений t < t_кр(1) равна доверительной вероятности b=1-a (односторонний критерий) или t_кр(2), для которого вероятность выполнения условия t_кр(2) < t < t_кр(2) равна b (двухсторонний критерий).

Применительно к описанию усталости металлов Вейбуллом предложено распределение, называемое распределением ВЕЙБУЛЛА, функция распределения вероятности которого имеет вид:

.

Плотность распределения

f(x) = .

Закон определен при x > m, x₀ > 0. Распределение имеет три параметра: m, x₀ и n. Параметр m соответствует характеристике положения случайной величины, параметр x₀ нормирует значение случайной величины и определяет степень рассеяния. Параметр n определяет вид (форму) кривой плотности распределения и также оказывает влияние на рассеяние случайной величины. При 0<n1 график плотности представляет собой L- образную кривую, при n>0 кривая принимает колоколообразный вид. При m=0 и n=1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распределение. Характерный вид кривых показан на рис. 4.7.

Рис. 4.6. Графики плотности распределения для закона Вейбулла

В отличие от нормального, распределение Вейбулла не имеет математического обоснования и является только достаточно хорошей аппроксимацией опытных данных. Вейбулл отмечал, что единственным достоинством этого распределения является простота математического выражения при выполнении необходимых общих условий. Опыт показывает, что во многих случаях это распределение лучше описывает некоторые наблюдения, чем другие известные функции.

Для представления непрерывных случайных величин используются также другие виды распределений, в частности ч²-распределение Пирсона, F-распределение Фишера и т.д. Расчетные формулы или значения функций распределения приводятся в табличном виде в справочной литературе.

4.3 Основные законы распределения дискретных случайных величин

Для дискретных величин существует только функция распределения, так как производная от функции распределения не определена.

Наиболее общим случаем дискретного распределения является БИНОМИНАЛЬНОЕ распределение. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться, либо нет. Вероятность появления события А во всех опытах постоянна и равна p. В качестве дискретной случайной величины X будем рассматривать количество появления события А в этих опытах. Вероятность появления события ровно m раз равна

(m) = .

Здесь C_n^m - число сочетаний m элементов из n,

.

Случайная величина с таким распределением называется биномиальной случайной величиной, а ее распределение - биномиальным. Параметрами распределения являются вероятность появления событий в одном опыте р и количество опытов n.

Математическое ожидание этого распределения

M(m) = np.

дисперсия

D(m) = np(1-p).

Такое распределение имеет, например, число отказавших однотипных невосстанавливаемых изделий в течение фиксированного интервала работы.

При n биномиальный закон сходится к нормальному с параметрами

m_н = np, у =.

При малых вероятностях p < 0,1 и большом количестве опытов, n > 10 биномиальное распределение сводится к распределению ПУАССОНА, которое также называется законом редких событий.

Вероятность того, что случайная положительная целая величина X примет значение m, равна

p(m) .

Параметром распределения является величина л > 0. Математическое ожидание и дисперсия равны:

m_x = ,

При больших значениях n > 50 распределение Пуассона приближается к нормальному распределению. Закон Пуассона представляет устойчивое распределение, т. е. сумма случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, также распределена по этому закону.

В статистике используются и другие распределения дискретных случайных величин. При необходимости сведения о них можно найти в справочной литературе.

ТЕМА 5. Количественные показатели надежности теплоэнергетического оборудования

5.1 Базовые показатели надежности

Основными, базовыми показателями надежности энергетической установки являются единичные показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности, а также комплексные показатели, приведенные в таблице 1.1, характеризующие совместно свойства безотказности и ремонтопригодности. Рассмотрению комплексных показателей надежности посвящен раздел 6.3 (Тема 6).

Специфической особенностью показателей надежности является то, что они представляют собой числовые характеристики случайных величин, таких, как наработка объекта на отказ, наработка до предельного состояния, время восстановления работоспособного состояния, число отказов оборудования за фиксированный период времени и т.д.

Фактически надежность любого объекта можно достоверно определить только по завершении эксплуатации объекта, т.е. при достижении им предельного состояния. Для такого объекта известны все характеристики случайных величин, определяющие его надежность. По этим характеристикам можно определить среднюю наработку на отказ, его ресурс и срок службы, среднее время восстановления и т.д. Но это будут фактические показатели конкретного индивидуального объекта. Очевидно, если бы имелась информация об эксплуатации до предельного состояния другого образца, полностью аналогичного по конструкции, технологии изготовления, условиям эксплуатации, то получили несколько иные характеристики. Поэтому, когда речь идет о показателях надежности, это означает, что рассматриваются показатели некоторого среднего объекта. Фактические индивидуальные показатели отдельного объекта в этой партии будут отличаться от средних для партии.

В этом смысле показатели надежности объекта следует понимать статистически. Если, например, вероятность безотказной работы объекта в течение времени t оценивается значением 0,9, то это означает, что из 10 таких объектов в среднем девять отработают время t безотказно и один откажет до момента t, причем заранее неизвестно, какой именно.

Рассмотрим далее подробно единичные показатели надежности.

5.2 Показатели безотказности

Как следует из номенклатуры показателей надежности, приведенной в таблице 1.1. первого раздела, основными показателями безотказности являются вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка на отказ, средняя наработка до отказа, средняя наработка между отказами. Названные характеристики восстановления отказов изделия определяются законом восстановления

Вероятность безотказной работы. Основной закон надежности. Принцип Н.М. Седякина

Исторически сложилось так, что законом надежности объекта назвали закон безотказности. Этот закон P(t) определяет вероятность безотказной работы в течение заданной наработки t. Если известен закон распределения продолжительности работы невосстанавливаемого элемента в виде функции распределения F(t), то вероятность работы без отказа в течение времени t

(5.1)

P() = 0; P(0) = 1.

Общий вид этого закона показан на рис.5.1.



Рис.5.1. Общий вид закона надежности

Вероятность того, что отказ наступит на интервале [a, b], равна

F(a t b) = F(b) - F(a) = P(a) -P(b).

Закон надежности можно выразить через безусловную плотность вероятности отказа f(t) в момент времени t в соответствии с соотношением (3.13):

P(t) = 1 - F(t) = 1 - = - = , (5.2)

Или, с учетом (3.14), через условную плотность вероятности (интенсивность отказов) л(t):

P(t) = 1 - F(t) = . (5.3)

Соотношение (5.3) называют уравнением связи показателей надежности.

Значение показателя степени функции (5.3) Н.М. СЕДЯКИН [13] предложил называть выработанным за время t ресурсом надежности r(t)

. (5.4)

Ресурс надежности представляет собой безразмерную величину, значение которой может изменяться от нуля до бесконечности и равна степени уменьшения вероятности безотказной работы (ВБР) с ростом наработки. Численно r(t_н) равен площади под кривой (Рис.5.2) интенсивности отказов (параметра потока отказов для восстанавливаемой системы) в пределах наработки (0, t_н).

При длительной работе технического объекта в одних и тех же условиях в неизменном режиме условная ВБР в будущем зависит от выработанного ресурса за время t:

P(t, t+Дt_n) = = . (5.5)

Если же режим эксплуатации переменный, то с вычислением вероятности возникают трудности, и эта задача решается специальными методами.

Интенсивность отказов

Такое название в теории надежности получила условная плотность л(t) распределения вероятности наработки невосстанавливаемого объекта до отказа. В соответствии с определением, л(t) представляет условную вероятность отказа невосстанавливаемого объекта в момент времени t при условии, что до этого времени отказа не было. Исходя из соотношений (3.14) и (5.1) можем записать:

л(t) = = = - = - = - . (5.6)

Формула (5.6) соответствует мгновенной интенсивности отказов. Средняя интенсивность отказов на интервале времени [t₁, t₂] рассчитывается по формуле

.

Понятие интенсивности отказов в соответствии с определением вводится только для невосстанавливаемых объектов, таких как электрическая лампочка, подшипник качения и т.д.

Восстанавливаемые элементы, которыми являются многие элементы электростанций, могут иметь много отказов, после которых происходит восстановление их работоспособности. В непосредственном виде понятие интенсивности отказов для них неприменимо, т.к. условие, что до момента t отказов не было, не выполняется. Отказы были, но после восстановления работоспособности оборудование продолжало работать.

Понятие интенсивности отказов для восстанавливаемых объектов имеет смысл в том случае, если объект в перерывах между отказами рассматривается как восстанавливаемый, а время эксплуатации t каждый раз начинает отсчитываться с момента последнего включения в работу.

Характер изменения интенсивности отказов во времени показан на рис.5.2.

Рис.5.1. Зависимость интенсивности отказов от продолжительности работы (в «жизненном» цикле)

В «жизненном» цикле изделия можно выделить три характерных периода:

1. Период приработки.

2. Период нормальной эксплуатации.

3. Период старения изделия.

В первый период отказы связаны с качеством проектирования, изготовления, монтажа, входного и выходного контроля. Приработочные отказы объекта устраняются во время пуско-наладочных испытаний, его опытной эксплуатации и в принципе должны быть выявлены и устранены перед сдачей объекта в эксплуатацию. Обычно начинают рассчитывать надежность объекта, начиная с момента t1.

На втором этапе отказы связаны с качеством эксплуатации, при этом процессы старения пока не влияют на поведение объекта. Интенсивность отказов остается приблизительно постоянной, л(t)=л2.

В момент времени t2 начинают проявляться процессы старения, интенсивность отказов возрастает. В некоторый момент времени t3 эксплуатация объекта становится экономически неоправданной из-за увеличения затрат на восстановительные ремонты, оборудование достигает предельного состояния и выводится из работы.

Если известен момент времени t2 и имеется возможность назначить t3=t2, то для такого объекта можно принять л(t)=л2. Для периода t > t2 такое допущение будет ошибочным. Если расчетчиков устраивает результат с запасом, т.е. с заведомо лучшими фактическими показателями надежности, чем дает расчет, то для этого временного интервала можно также принять л(t)=const, но при этом должно быть л(t) > л2.

При л=const получается наиболее простой, экспоненциальный закон надежности объекта:

. (5.7)

Здесь л выступает в виде параметра распределения (плотность распределения отказов).

Средняя наработка до отказа

Это математическое ожидание случайной величины t - продолжительности работы до первого отказа. Зная закон надежности, можно найти значение средней наработки:

T₁ = T_ср = dt = - d[1 - F(t)].

Интегрируя полученное соотношение по частям, получим окончательно:

T₁ = T_ср = . (5.8)

На рис.5.3. приведена геометрическая интерпретация средней наработки до отказа.

Рис.5.3. Схема определения средней наработки до отказа

Величина T₁ есть такое значение t, при котором площадь прямоугольника с высотой 1 и основанием T₁ равна площади под кривой закона надежности. Для этого заштрихованные площади должны совпадать.

В том случае, если используется экспоненциальный закон надежности при л=const, значение Т₁ определяется из выражения

T₁ (5.9)

Здесь интенсивность отказов л выступает в качестве параметра закона надежности. Аппроксимация экспоненциальным распределением закона надежности очень удобна. Среднюю наработку до отказа можно оценить эмпирически по формуле

T₁ = , (5.10)

где Ti - продолжительность работы до отказа i-го объекта, n - количество однотипных элементов, за которыми проводится наблюдение.

Величину Т₁ можно также определить по экспертным оценкам, ориентируясь на опыт и справочные данные. Если объект является невосстанавливаемым, то средняя наработка до отказа является также характеристикой долговечности. Вопрос об аппроксимации закона экспоненциальным распределением решается с учетом допустимых погрешностей при таком расчете.

Гамма-процентная наработка до отказа

Это наработка, в течение которой отказ не возникает с вероятностью г. Эта характеристика поясняется на рис.5.4.

Рис.5.4. Схема определения гамма-процентной наработки до отказа

Согласно определению, величина T_г определяется из условия P(T_г) = г. Если известна плотность распределения наработки объекта до отказа f(t), то значения г и T_г связаны зависимостью:

= F(T_г) = 1- P(T_г) = 1- г,

откуда

г =1 - = . (5.11)

Медианная наработка до отказа Т_0,5 определяется по этой формуле при условии г =0,5

Параметр потока отказов

По аналогии с интенсивностью отказов невосстанавливаемых объектов показателем безотказности восстанавливаемых объектов является параметр потока отказов щ(t). Предполагается, что эксплуатация восстанавливаемого объекта происходит по следующей схеме. В момент времени t=0 объект начинает использоваться по назначению и работает до отказа. После отказа происходит восстановление его работоспособности, и он продолжает работать до следующего отказа. При этом время восстановления объекта не учитывается, восстановление считается мгновенным. Моменты отказов восстанавливаемого объекта на оси суммарной наработки образуют поток отказов.

Мгновенным параметром потока отказов щ(t) называется предел, если он существует, отношения среднего числа отказов в малом интервале около момента t к величине этого интервала.

...