Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Структура и особенности функционирования реальных технических сложных систем (СС) столь разнообразны, специфичны и сложны, что анализ характеристик их надежности возможен лишь с применением программного обеспечения, реализующего различные математические методы. Однако даже самые мощные программные средства не в состоянии оказать полную поддержку при проведении анализа надежности СС большой размерности. Решение данной проблемы может быть осуществлено путем разработки новых методов и программных средств, реализующих возможности этих методов.

При определении характеристик надежности сложной системы следует учитывать изменения, происходящие с каждым из компонентов СС, их взаимное влияние и влияние на систему. Наличие функциональных связей между компонентами системы позволяет выделить класс функционально-сложных систем, обладающих рядом особенностей, отличающих их от других объектов, а именно: вероятностным характером взаимодействия компонентов систем; наличием ограничений, определяющих допустимые границы изменения параметров компонентов и систем в целом; необходимостью корректирующих управляющих воздействий в процессе функционирования систем.

Различают структурно-простые и структурно-сложные системы (ССС) графовой структуры. Структурно-простые системы при их математическом описании сводятся к последовательным, параллельным или древовидным структурам. Для их исследования разработаны количественные методы.

Структурно-сложные системы описываются сценариями сетевого типа с циклами и неустранимой повторностью аргументов при их формализации в ходе логико-вероятностного моделирования [1]. Кроме этого, структурная сложность систем может быть обусловлена наличием множества несовместных состояний, выделенных для систем, имеющих простую структуру [2].

Полезность логико-вероятностных методов подтверждается многолетней практикой их использования при расчёте надёжности ССС различной природы. При этом все научные результаты, полученные для ССС, являются пригодными и для систем с простой структурой. Однако существенным ограничением использования этих методов является размерность системы, которая определяется числом составляющих её компонентов. Кроме этого, предполагается рассмотрение лишь двух состояний компонентов. Рост числа компонентов или рост числа состояний приводит к экспоненциальной сложности задачи и делает невозможным применение методов не только для исследования ССС, но и для исследования структурно-простых систем.

Метод вероятностно-алгебраического моделирования (ВАЛМ) [3] ориентирован на исследование интегральных вероятностных характеристик (надёжность, производительность, эффективность) структурно-простых систем, увеличение числа компонентов которых и их состояний не приводит к экспоненциальному усложнению расчётов. Кроме этого, к его положительным особенностям можно отнести следующие: он оперирует вероятностными состояниями компонентов, для описания отношений между которыми используются произвольные функции; имеет алгебраическую основу, позволяющую единым образом описать детерминированные и вероятностные связи между компонентами; позволяет учесть в динамике эволюционную зависимость компонентов.

Целью дипломной работы являлась разработка программного обеспечения, автоматизирующего построение и эксплуатацию вероятностно-алгебраических моделей структурно-сложных систем графовой структуры со многими состояниями надёжности. За основу создания программного обеспечения была взята методика расчёта надёжности многокомпонентных структурно-сложных систем со многими состояниями реализующая сведение построенных вероятностных моделей надёжности ССС со многими состояниями к расчётным бинарным моделям [4].

Цель дипломной работы была достигнута путём последовательного решения следующих задач:

- изучения методов оценки вероятностных характеристик надёжности структурно-сложных систем;

- разработки алгоритма расчёта надёжности структурно-сложной системы со многими состояниями;

- реализации алгоритма расчёта надёжности структурно-сложной системы со многими состояниями;

- тестирования разработанных программных средств;

- анализа вариантов структурной организации СС с использованием разработаного программного обесречения.

Дипломная работа включает в себя четыре главы.

В первой главе описываются особенности объекта исследования (многокомпонентных структурно-сложных систем со многими состояниями), рассматриваются существующие подходы, применяемые при оценке надёжности СС, отмечаются их возможности и ограничения.

Во второй главе излагается сущность метода вероятностно-алгебраического моделирования и особенности его использования при анализе вероятностных характеристик надежности многокомпонентных структурно-сложных систем со многими состояниями.

В третьей главе обосновывается выбор средств реализации программного обеспечения, описывается структура и состав разработанного программного обеспечения, решающего задачу оценки надёжности структурно-сложных систем графовой структуры.

В четвёртой части демонстрируются возможности реализованного программного обеспечения для вероятностной оценки структурной организации исследуемых систем.



1 Описание объекта исследования

1.1 Понятие сложной системы как объекта исследования

Сложная система представляет собой составной объект, части которого можно рассматривать как системы, закономерно объединённые в единое целое в соответствии с определенными принципами или связанные между собой заданными отношениями. Эти связи и отличают систему от простого набора частей. Понятием сложная система пользуются в системном анализе, исследовании операций и при системном подходе в различных областях науки, техники и народного хозяйства. При этом для каждой конкретной задачи выбираются существенные те или иные связи и исключаются тривиальные связи.

Сложную систему можно расчленить (не обязательно единственным образом) на конечное число частей, называемое подсистемами; каждую такую подсистему (высшего уровня) можно в свою очередь расчленить на конечное число более мелких подсистем и т. д., вплоть до получения подсистем первого уровня, так называемых элементов. Таким образом, подсистема, с одной стороны, сама является сложной системой из нескольких элементов (подсистем низшего уровня), а с другой стороны она является элементом системы старшего уровня.

В каждый момент времени элемент сложной системы находится в одном из возможных состояний; из одного состояния в другое он переходит под действием внешних и внутренних факторов. Динамика поведения элемента сложной системы проявляется в том, что состояние элемента и его выходные сигналы (воздействия на внешнюю среду и другие элементы сложной системы) в каждый момент времени определяются предыдущими состояниями и входными сигналами (воздействиями со стороны внешней среды и других элементов сложной системы), поступившими, как в данный момент времени, так и ранее. Под внешней средой понимается совокупность объектов, не являющихся элементами данной сложной системы, но взаимодействие с которыми учитывают при её изучении.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, сложностью её структуры, сложностью реализуемых ею функций, которые часто определяются наличием внутренних функциональных связей между её элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой.

Различают структурно-простые и структурно-сложные системы. Латинское слово «structura» означает взаиморасположение и связь составных частей чего-либо. Структурно-простые системы (СПС) при их математическом описании сводятся к последовательным, параллельным или древовидным структурам. Структурная сложность системы определяется двумя видами факторов. Во-первых, она может быть обусловлена наличием множества несовместных состояний, выделенных для систем, имеющих простую структуру [8]. Назовём такие системы структурно-сложными системами первой степени. Во-вторых, структурная сложность системы может быть обусловлена сложностью соединений (пространственных или временных) между её элементами. Такие системы, как правило, описываются сценариями сетевого типа с циклами и неустранимой повторяемостью аргументов при их формализации [9]. Будем относить их к структурно-сложным системам второй степени.

Следует отметить, что только малая часть сложных систем имеет явно выраженную структуру в виде схемы. Довольно часто наличие глубоких внутренних связей между элементами рассматриваемых систем требует применения математического аппарата, позволяющего обнаружить эти связи и структурировать систему. Например, все сценарии перехода любой системы в опасное состояние требуют умозрительного структурирования, что не всегда просто сделать.

Число элементов системы может определять её сложность и ограничивать возможности методов расчёта её характеристик. Например, при оценке надёжности вычислительных сетей, сложность расчётов экспоненциально возрастает с ростом числа структурных элементов, которыми являются компьютеры либо каналы связи.

С другой стороны, часто при анализе СС, включающих несколько элементов, сталкиваются с другой трудностью, необходимостью учета взаимосвязей и взаимозависимостей между ними. Такие системы, сложность которых обусловлена сложностью функциональных связей между их элементами, образуют класс функционально-сложных систем (ФСС) [10]. Они обладают рядом особенностей, отличающих их от других объектов, а именно: вероятностным характером взаимодействия элементов систем; наличием ограничений, определяющих допустимые границы изменения параметров элементов и систем в целом; необходимостью корректирующих управляющих воздействий в процессе функционирования систем.

Примерами ФСС могут служить механические системы, связи между элементами которых, как правило, трудно формализуемы, поскольку они отражают сложные физические процессы, протекающие в системах.

Элементы сложной системы функционируют не изолированно друг от друга, а во взаимодействии. При этом свойства одного элемента в общем случае зависят от условий, определяемых поведением других элементов, а свойства СС в целом определяются не только свойствами элементов, но и характером взаимодействия между ними. Как результат, две сложные системы, состоящие из попарно одинаковых элементов, которые, однако, взаимодействуют между собой различным образом, рассматривают как две различные системы.

В силу этой особенности СС при определении их характеристик, следует учитывать изменения, происходящие с каждым из элементов, их взаимное влияние и их влияние на систему в целом, которое, как правило, носит вероятностный характер.

Изучение отношений между элементами и подсистемами, определение роли и места каждой подсистемы в общем процессе функционирования системы составляют предмет структурного анализа сложной системы [11].

Методы структурного анализа позволяют выделить в сложной системе наборы подсистем, находящихся в заданных отношениях, и представить сложную систему как совокупность объектов с хорошо изученными типичными структурами. Кроме того, эти методы применяют для оценки структурных характеристик, которые в количественном виде отражают те или иные частные свойства схемы сопряжения элементов.

Количественную оценку функциональных и структурных характеристик дополняют качественным исследованием, проводимым при помощи методов качественной теории сложной системы [12]. Сюда в первую очередь входят:

- исследование устойчивости систем, в том числе построение областей устойчивости характеристик в пространстве параметров сложной системы;

- выделение типичных режимов функционирования сложной системы;

- оценка достижимости, управляемости и наблюдаемости сложной системы;

- анализ асимптотического поведения и т.д.

1.2 Граф как основное средство для описания структуры сложных систем и их функционирования

Графы широко применяются в различных областях точных и естественных наук, так как позволяют строить наглядные и удобные для обработки модели сложных структур. При создании таких моделей граф наделяется некоторой семантикой, которая обычно выражается набором атрибутов, приписываемых его вершинам и дугам.

Началом теории графов считается 1736 год, когда вышла в свет статья Эйлера с его знаменитыми рассуждениями о Кенигсбергских мостах. Затем около 100 лет эта статья оставалась единственной, а методы теории графов невостребованными практикой. Интерес к графам появился только в середине 19 века благодаря исследованиям электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул. С тех пор сфера применений теории графов непрерывно расширялась и сегодня она представляет собой мощную формальную систему, имеющую необозримое множество областей практического применения.

Рисунок 1.1 - Схема объекта

Рисунок 1.2 - Граф объекта

Задача Эйлера состояла в том, чтобы определить, можно ли выйдя из пункта С (или любого другого пункта) пройти каждый мост только по одному разу и вернуться в исходный пункт. Рассуждения и действия Эйлера в ходе решения этой задачи можно представить последовательностью следующих шагов: он нарисовал схему; нарисовал неориентированный граф, ассоциированный с берегами, островами и мостами; абстрагировал ассоциированный с данными граф от его содержания (рисунок 1.2), заметим, что это решающий шаг рассуждений Эйлера, поскольку абстрактный граф можно ассоциировать с чем угодно; сформулировал и доказал теорему.

Теорема: Для того, чтобы можно было обойти все рёбра графа по одному разу и вернуться в исходную вершину, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

- из любой вершины графа должен существовать путь по его рёбрам в любую другую вершину, то есть граф должен быть связным;

-из каждой вершины должно выходить чётное количество рёбер.

Замкнутый путь, проходящий по одному разу по всем рёбрам графа, называют с тех порэйлеровым циклом. Связный граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

В случае с кенигсбергскими мостами при каждой из четырёх вершин нечётное число рёбер, так что нет не только эйлерова цикла, но и пути из одной вершины в другую, проходящего по всем рёбрам графа.

Замкнутый путь по рёбрам графа, проходящий по одному разу через все вершины, называют гамильтоновым циклом. В отличие от эйлерова цикла условия существования на произвольном графе гамильтонова цикла до сих пор не установлены.

Понятие графа благодаря его наглядности и высокой общности служит основным средством, во-первых, для описания структуры сложных систем и, во-вторых, для представления функционирования систем. При описании структур вершинами являются компоненты объекта, а ребрами - связи между ними (примеры - вычислительные сети, логические схемы, иерархические структуры). Известен второй подход [Рябинин], при описании функционирования вершинам соответствуют состояния системы, а ребрам - переходы между состояниями (примеры - граф переходов автоматов; граф игры, в котором вершины изображают позиции, а дуги - ходы, переводящие одну позицию в другую). Иногда описание в виде графа содержит оба эти аспекта.

В различных математических моделях, связанных с информатикой, часто используются такие виды графов, как деревья. Они необходимы в теории формальных систем (дерево вывода); при описании и проектировании иерархических структур, в частности, при организации больших массивов данных в информационных системах; в задачах планирования (дерево целей, дерево перебора вариантов); в теории игр (вершины - позиции игры, дуги - ходы, переводящие одну позицию в другую, корень - начальная позиция, листья - заключительные позиции).

Специальный тип графа, используемый в искусственном интеллекте и программировании, а также в задачах теории принятия решений, исследование операций и системном анализе, получил название И/ИЛИ граф. И/ИЛИ граф описывает развитие некоторого процесса от начальной вершины графа к множеству конечных вершин. Все остальные (не начальные и не конечные) вершины делятся на два типа: вершины И и вершины ИЛИ. Вершина первого типа возбуждается только при наличии сигналов активизации на всех ее входах, а вершина ИЛИ - при появлении хотя бы одного сигнала активизации на любом из ее входов. Активизированная вершина передает сигналы активизации на все сопряженные с ней вершины. Внешние сигналы активизации порождаются внешними источниками, которыми, в частности, могут быть выходные вершины других И/ИЛИ графов.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.3 -Пример И/ИЛИ графа

На примере классических задач из теории игр проиллюстрируем некоторые аспекты применения теории графов для описания структуры сложных объектов и функционирования систем.

Граф игры - это граф, вершины которого - ситуации, возникающие в процессе игры, а ребра связывают вершину с теми вершинами - ситуациями, которые могут сложиться после очередного хода.

Чтобы ближе познакомиться с графом игры, рассмотрим игру с небольшим количеством возможных ситуаций. Пусть на столе лежит 5 спичек. Двое игроков по очереди берут 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто забирает последнюю. Нарисуем граф всевозможных продолжений игры (рисунок 1.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.4 -Граф возможных продолжений игры «в спички»



Видно, что после первого хода на столе остается 3 или 4 спички. Если тот, кто начинает, оставит на столе 3 спички, то он выиграет: ведь его партнер вынужден будет оставить 1 или 2 спички, которые начинавший и заберет на следующем ходу. Если же начинающий игру оставит 4 спички, то он проиграет, так как партнер, взяв 1 спичку, оставит ему 3, что, как мы уже видели, ведет к проигрышу игрока, делающего очередной ход. Конечно же, второй игрок может оставить 2 спички и тут же проиграть, но надеяться на это не приходится. Можно сделать вывод: начинающий проигрывает, если исходное число спичек делится на 3, и выигрывает в остальных случаях, оставляя партнеру всякий раз количество спичек, которое делится на 3.

Вот другая задача, которая в некотором смысле противоположная задаче коммивояжера. Предполагается проложить железную дорогу, которая соединит несколько крупных городов. Для любой пары городов известна стоимость прокладки пути между ними. Требуется найти наиболее дешевый вариант строительства.

Известно, что алгоритм нахождения оптимального варианта строительства довольно прост (чего нельзя сказать о других задачах теории графов). Продемонстрируем его на примере дороги, соединяющей пять городов: A, B, C, D, E.стоимость прокладки пути между каждой парой городов указана в таблице.

Таблица 1.1 -Стоимость прокладки пути между каждой парой городов

	A	B	C	D	E
A		1.5	1	2	2.5
B	1.5		1.2	3	0.8
C	1	1.2		1.1	0.9
D	2	3	1.1		2.7
E	2.5	0.8	0.9	2.7

Сначала строим ту дорогу, которая имеет наименьшую стоимость. В нашем случае это маршрут В-Е. Теперь найдем самую дешевую линию, соединяющую город В или Е с каким-то из остальных городов. Это путь между Е и С. Включаем его в схему. Далее поступаем аналогично: ищем самый дешевый из путей, соединяющий один из городов В, С, Е с одним из оставшихся - А или D. Это дорога между С и А. осталось подключить к железнодорожной сети горoд D. Дешевле всего его соединить с С. Получим сеть, изображенную на рисунке 1.5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.5 - Граф железнодорожной сети

Описанный алгоритм относится к категории «жадных»: на каждом шаге мы выбираем самое дешевое продолжение пути. Для данной задачи он подходит как нельзя лучше. Но в других случаях «жадные» алгоритмы могут не давать оптимальное решения, например, в задаче коммивояжера.

В различное время автором выполнялись многочисленные проекты по тематике исследования вероятностных характеристик инженерных сетей, включая разработку имитационных моделей и средств их реализации. Среди них расчеты характеристик вычислительных систем (ВС), транспортных систем (ТС), производственных систем (ПВ). На основании анализа решаемых задач можно выделить несколько самых общих групп задач. Рассмотрим наиболее встречающиеся.

Задача проверки связности. Эта задача в терминах инженерных сетей звучит так: выяснить, какие объекты (или элементы сети) соединяются с данным, образуя непрерывную сеть передачи целевого продукта. Она должна решаться с учетом состояний элементов, разрешающих либо запрещающих передачу (коммутаторов), а также ограничений на направление движения и возможность соединения тех или иных элементов сети. Например, в электрических сетях это будет учет классов напряжений сопрягаемых линий передач, в водопроводных сетях - диаметр труб.

Задача выделения компонентов связности. Эта задача является более общей по отношению к задаче проверки связности. Для сетей эта задача формулируется так: найти все элементы сети, связанные с данным элементом непрерывной цепочки передачи целевого продукта. Особенностью этой задачи является наличие дополнительных условий на включение элементов в рассмотрение. Так, например, в электрических сетях может требоваться анализировать сети только одного класса напряжений или количества фаз, в трубопроводах - сети, питающие один регион, в транспорте - дороги, по которым проложены определенные маршруты.

Задача выделения специфических компонент сети. В данной задаче, помимо анализа типов элементов сетей и их атрибутов, производится глубокий анализ топологии участков сети. Типичные задачи для электрических сетей - выделение набора элементов (компонент) сети, связанных друг с другом и имеющих один элемент определенного вида, через который подводится питание (фидер), для трубопроводных сетей - выделение частей сети, в которой возможно резервирование подачи жидкости, в транспортной сети - выделение части сети, из которой невозможно «вернуться».

Классические комбинаторные задачи на графах, такие как поиск кратчайшего (с точки зрения некоторого условия) маршрута, проходящего через n точек, поиск n ближайших пунктов обслуживания.

Задача расчета установившегося потока распределения. Эта задача существенным образом использует рассмотрение сети как графа. Как подзадачи при решении такого типа задач могут использоваться все вышеперечисленные задачи.

Задача упрощения графа сети. Это задача, при решении которой некоторые сопряженные элементы графа сети заменяются на один элемент, интегрирующий характеристики вошедших в него элементов.

Задача нахождения оптимального воздействия на сеть для достижения требуемых параметров сети. Эти задачи всегда базируются на расчете установившихся потока распределения. Кроме того, существенным является набор оптимизируемых параметров - если оптимизируется небольшая часть параметров сети, многие другие части сети можно упростить (интерпретация в области ЖДС).

Из вышесказанного следует вывод, что использование графовых моделей инженерных сетей позволяет легко решать целый ряд задач анализа. Строя ту или иную графовую модель одной и той же сети, можно, используя классические алгоритмы обработки графов, решать разнообразные аналитические задачи. Характерным является то, что графовые модели позволяют существенно облегчить решение таких задач, как расчет установившегося потока распределения, оптимизация работы сети. Графовые модели позволяют избавиться от применения тяжеловесных прямых алгебраических методов решения таких задач и применять иные методы, базирующиеся на графах. Кроме того, графовые модели позволяют в ряде случаев существенно снижать размерности расчетных задач. Применение графовых моделей позволяет выдвигать новые практические задачи анализа сетей, которые без их использования трудно описать формально. Это, например, поиск возможного резервирования. Такие проблемы приводят к новым алгоритмическим задачам теории графов.

1.3 Методы и программные средства оценки надёжности и безопасности сложных систем графовой структуры

многокомпонентный вероятностный моделирование граф

Таблица 1.2-Сравнение программных средств

Название инструментального средства	Страна создания	Возможности и области применений
АРБИТР (ПК АСМ СЗМА)	Россия	Надёжность и безопасность сложных систем
RiskWave	Россия	Безопасность объектов атомной энергетики
BUNKER	Россия	Надежность и производительность технических систем с накопителями
АСОНИКА-К	Россия	Надежность радиоэлектронной аппаратуры и электрорадиоизделий различных классов
RelexReliabilityStudio	США	Авиастроительная промышленность
RiskSpectrum	Швеция	Безопасность объектов атомной энергетики
SAPHIRE	США	Надежность, безопасность и риск атомных электростанций

В области анализа надежности и безопасности СС разработаны и совершенствуются программные средства, интерпретирующие исследуемый объект в виде графовой структуры и позволяющие рассчитать их вероятностные характеристики с использованием реализованных в их составе оригинальных методов.

Наиболее известными программными средствами, разработанными в России и реализующими расчёты в указанной предметной области, являются: АРБИТР (ПК АСМ СЗМА) - программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования и расчета надежности и безопасности систем; автоматизированная система расчета надежности (АСРН-2000, 2002), реализующая стандартизованные модели безотказности радиоэлектронной элементной базы; RiskWave - комплекс, реализующий метод аналитико-статистического моделирования деревьев событий и деревьев отказов; BUNKER - комплекс моделирования и расчетов надежности и производительности технических систем с накопителями; RAY программный комплекс логико-вероятностного моделирования и расчетов надежности и безопасности систем; АСОНИКА-К - программное обеспечение расчета надежности на основе методов статистического моделирования и аналитических формул для последовательно-параллельных систем; УНИВЕРСАЛ - программное обеспечение анализа надежности и безопасности, использующее полумарковское моделирование.

Программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования АРБИТР использует схемы функциональной целостности как формы представления исходной структуры системы. Он позволяет автоматически формировать расчетные аналитические модели надежности систем и вычислять вероятность безотказной работы, среднюю наработку до отказа, коэффициент готовности, среднюю наработку на отказ, среднее время восстановления, вероятность отказа восстанавливаемой системы, вероятность готовности смешанной системы, а также значимости и вклады элементов в различные показатели надежности системы в целом. Автоматически определяет кратчайшие пути успешного функционирования, минимальные сечения отказов и любые немонотонные логические модели функционирования систем [13].

Программа RiskWave реализует метод аналитико-статистического моделирования деревьев событий и деревьев отказов. Она позволяет учитывать детерминированные и случайные процессы совместно, в рамках единой модели, оценивать значимость, чувствительность и неопределенность одновременно как случайных, так и детерминированных параметров. Система предназначена для вероятностного анализа безопасности объектов атомной энергетики [14].

Программный комплекс BUNKER моделирования и расчетов надежности и производительности технических систем с накопителями (авторы Викторова В.С. и Степанянц А.С., Институт проблем управления РАН, г. Москва) в качестве формы исходной структурной схемы использует дерево отказов. Комплекс позволяет вычислять коэффициент готовности, математическое ожидание производительности, среднюю наработку на отказ, вероятность безотказной работы системы [15].

Программный комплекс RAY логико-вероятностного моделирования и расчетов надежности и безопасности систем (авторы Викторова В.С. и Степанянц А.С., Институт проблем управления РАН, г. Москва), использующий граф связности в качестве формы исходной структурной схемы, позволяет вычислять коэффициент готовности, вероятность безотказной работы, среднюю наработку до отказа с учетом полноты контроля и периодической профилактики [58].

Система АСОНИКА-К предназначена для расчета показателей надежности радиоэлектронной аппаратуры и электрорадиоизделий различных классов. Система позволяет получить численные значения показателей надежности аппаратуры в целом, ее элементов и коэффициентов интенсивности отказов электрорадиоизделий. Однако система является узкоспециализированной и её возможности ограничены рассмотрением систем с четырьмя уровнями вложенности элементов, что не позволяет рассмотреть системы большой размерности [16].

Лидерами программных продуктов дальнего зарубежья являются RelexReliabilityStudio (США), RiskSpectrum (Швеция), SAPHIRE (США) Isograph (Англия, США), ITEM iQRAS (Англия, США), RAM Commander (Израиль). Это интегрированные программные средства, включающие различные методы анализа, реализующие разнообразные формы задания моделей (графы, деревья отказов, блок-схемы надежности), содержащие обширные базы исходных данных, имеющие развитый графический интерфейс пользователя, имеющие как локальную, так и сетевую конфигурации, сопрягаемые по импорту-экспорту с базами данных, текстовыми редакторами, электронными таблицами.

Компания Relex основана в США в 1986 году с целью создания современных, удобных в использовании, многофункциональных программных решений высокой степени готовности для управления надёжностью инженерных продуктов любой степени сложности. Семейство программных решений RelexReliabilityStudio [17] является одним из самых передовых инструментов комплексного управления надежностью, доступных на современном мировом рынке готовых программных приложений. Продукт RelexReliabilityStudioпозволяет автоматизировать процессы управления надежностью производства и его эксплуатации. RelexReliabilityStudio содержит в себе развитый математический аппарат и целый ряд готовых инструментов, включая средства визуального описания объектов для оценки их надежности, оптимизации и моделирования, марковского анализа. Областью использования программных систем является авиастроительная промышленность.

Программный комплекс RiskSpectrum вероятностного анализа надежности и безопасности систем разработан Шведской фирмой Relcon AB в 1985 г. Форма исходной структурной схемы системы дерево отказов. Размерность системы может достигать нескольких тысяч элементов. Позволяет вычислять статические вероятности отказа (безотказной работы), коэффициент неготовности и частоту отказов исследуемой системы. Выполняет автоматическое построение и анализ минимальных сечений отказов. Основное применение RiskSpectrum получил в вероятностном анализе безопасности объектов атомной энергетики и используется в организациях Атомэнергопроекта РФ [18].

Комплекс программ SAPHIRE, разработан в Национальной технической лаборатории (INEL) штата Айдахо США и предназначен для вероятностного анализа надежности, безопасности и риска атомных электростанций. Программы позволяют пользователю создавать деревья отказов и деревья событий, генерировать минимальные сечения и логические последовательности, выполнять анализ значимости, сохранять и документировать результаты [19].

В работе [20] описывается универсальный программный инструментарий, реализующий один из подходов для исследования вероятностных характеристик надёжности больших сложных сетей (структурно-сложных систем), основанный на методе перекрытия (инновационной «технике наложения»). Работа метода демонстрируется на примерах графов, описывающих структурно-сложные системы с двумя или тремя состояниями. При этом рассматриваются графы, связность ребер которых ограничена (из одной вершины выходит не более 23 ветвей), и имеется много параллельно-последовательных соединений. В статье отмечается актуальность рассмотрения надёжности систем с временной зависимостью. Однако при добавлении времени, для аппроксимации данных выбрано распределение Вейбулла, что значительно сокращает возможности применения подхода при исследовании надёжности реальных систем.

2 Метод вероятностной оценки надёжности сложно-структурной системы со многими состояниями

2.1 Формальное описание сложных систем графовой структуры

Определение вероятностных характеристик исследуемого свойства СС с заданным уровнем выполнения предписанных ей функций включает решение задач определения структурного состава образующих ее элементов, установления рабочих параметров элементов, учёта процессов взаимного влияния и взаимодействия этих элементов в ходе реализации моделирования.

В основу формализации СС, относящихся к классу ОГС, с целью их вероятностно-алгебраического моделирования положен способ представления систем в виде графовых структур, отражающих связи между элементами системы. При этом возникает проблема декомпозиции СС. Зачастую непосредственное изучение объекта в целом как системы невозможно из-за его сложности. Поэтому и «…приходится расчленять объект на конечное число частей, учитывая связи между ними, характеризующие их взаимодействие. Здесь и начинается интерпретация исследуемого объекта как сложной системы, а его частей - как подсистем.

Если некоторые подсистемы оказываются все еще чрезмерно сложными, каждая из них разделяется (с сохранением связей) на конечное число более мелких подсистем. Процедура разделения подсистем продолжается до получения таких подсистем, которые в условиях данной задачи будут признаны достаточно простыми и удобными для непосредственного изучения. Эти подсистемы, не подлежащие дальнейшему расчленению, назовем элементами сложной системы. Таким образом, в общем случае сложная система представляется как многоуровневая конструкция из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Разделение системы на элементы в общем случае может быть выполнено неоднозначным образом и является в высшей степени условным» [21].

В случае если система имеет явно выраженную графовую структуру (ТСС, электротехнические системы, телекоммуникационные системы), выбор состава элементов системы не составляет труда. Им соответствуют реальные физические объекты. При этом функциональные связи между элементами рассматриваемых систем устанавливаются с учётом физического взаимного расположения элементов, а сами функции, определяющие характер взаимодействия, описываются в соответствии с решаемой исследовательской задачей.

Для ОГС2, который составляют функционально-сложные системы (механические системы, производственные системы, сценарии опасного состояния), необходимы методы умозрительного структурирования, позволяющие определить состав элементов системы и описать их функциональные связи. В процессе формализации этих систем выбираются существенные и исключаются тривиальные связи, на основе чего определяется состав элементов и функциональные зависимости между ними. Описание структурных связей между элементами механической системы, составление возможного сценария опасного состояния является творческим процессом, который представляет собой нечто большее, чем совокупность, слагающих его правил.

В обоих случаях предполагается, что система представляется совокупностью элементов . Число элементов выделяется в соответствии с уровнем детализации изучаемого объекта. Это могут быть как неделимые элементы, представляющие самый высокий уровень детализации СС, так и подсистемы, включающие совокупность неделимых элементов, которые рассматриваются как самостоятельные неделимые элементы системы выбранного уровня абстрагирования.

Элементы характеризуются численными значениями совокупности параметров, которые изменяются в процессе функционирования системы и определяют несовместные состояния [22] исследуемого свойства элементов. То есть состояние элемента характеризуется перечнем (обычно статическим) характеристик данного объекта и текущими (обычно динамическими) значениями каждого из этих свойств. В произвольный момент времени элемент с некоторой вероятностью может находиться в одном из этих состояний.

Как уже отмечалось, при анализе вероятностных характеристик реальных систем не всегда достаточно рассмотрения двух состояний (1 и 0). Следует иметь в виду, что состояния могут характеризовать различные уровни износа элементов, соответствовать различным видам отказов [23] или определять возможные значения исследуемого свойства, имеющего вероятностную природу. В общем случае число состояний исследуемого свойства элементов задаётся множеством:

, (2.1)

которое формируется с учётом особенностей объекта исследования и степени его детализации.

Описание сложных систем графовой структуры допускает рассмотрение различного числа состояний для выделенных элементов и системы в целом. Такая ситуация может соответствовать приобретению системой некоторых новых свойств, которые не характерны для ее отдельных элементов или описывать случай, когда исследуемое свойство системы характеризуется большим числом значений параметра, определяющим её состояния, чем её отдельно взятые элементы.

Предполагается, что вероятности состояний известны и задаются векторами:

.(2.2)

Вектор вероятностей состояний является более информативным в смысле описания показателя исследуемого свойства системы, чем одно его значение. Он даёт целую линейку значений и их вероятности для выбранного показателя, характеризующего исследуемое свойство системы.

Предполагается, что система функционирует циклически и за определённый интервал времени выполняет некоторую функцию, которая обеспечивается согласованной работой всех элементов системы.

Связи между элементами системы зависят от решаемой задачи и отличают её от простого набора частей. Они формализуются с учётом отношений между элементами системы, установленными при решении задачи декомпозиции системы и задаются функциями , которые могут быть как детерминированными, так и вероятностными. В случае детерминированных функций состояния системы однозначно определяются состояниями её исходных элементов. При случайном характере взаимодействия элементов используются вероятностные функции, позволяющие по установившимся состояниям исходных элементов определить вектор возможных состояний системы и их вероятности. Функциональные связи определяют условия функционирования системы, при которых различные сочетания уровней исследуемого свойства элементов обеспечивают определённый уровень исследуемого свойства всей системы.

Выделенные элементы и функциональные связи между ними задают структуру графа исследуемой системы. В дипломной работе для ССС рассматривается схема формализации «элементы-рёбра». Выделенным элементам сопоставляются рёбра графа, а вершины определяют места связи выделенных элементов. Будем считать, что структура системы задаётся графом , где - конечное множество вершин, множество ребер, для которых указаны пары вершин, которые это ребро соединяют. На рисунке 2.1 представлена схема формализации ССС, которая в области электротехники называется структурой двух «звезд», включенных на «треугольник» [24]. Из множества вершин графа выделяется две вершины, определяющие вход в систему () и выход из неё ().

Рисунок 2.1 Схема формализации ССС «элементы-рёбра»

Графическая схема является аналитически точным и строго формализованным отображением знаний о том, какие элементы выделены в процессе формализации, и какие отношения между ними возникают в процессе её функционирования.

Ставится задача определения вектора вероятностей состояний исследуемого свойства СС по вероятностным значениям исследуемого свойства её элементов:

(2.3)

Таким образом, обоснованное и целенаправленное разделение исследуемой системы на взаимосвязанные элементы и установление функциональных связей между ними обеспечивает формальное описание системы для последующего моделирования исследуемого свойства системы.

Выделенные элементы и функциональные связи между ними задают структуру графа исследуемой СС. Вероятностные характеристики элементов (2.2), принимающие числовые значения, являются параметрами расчётных вероятностно-алгебраических моделей исследуемой системы. Вероятностные характеристики всей системы (2.3) являются откликами моделирования.

2.2 Теоретическое обоснование методики расчета показателей надежности структурно-сложных систем со многими состояниями

Для формального описания ССС используем понятия теории графов. Будем считать, что структура системы задается графом G = (NK), где N - конечное множество вершин; K - множество ребер. Из множества вершин графа выделим две вершины, определяющие вход в систему () и выход из нее ().

Компонентам системы , образующим в совокупности ССС, поставим в соответствие ребра графа. Будем полагать, что компоненты системы характеризуются множеством несовместных состояний . Число состояний может определяться по различным критериям. В общем случае, учитывая случайный характер происходящих с объектом изменений, число состояний может варьироваться в зависимости от выбранного числа значений исследуемого показателя надежности. В случае оценки времени безотказной работы компонентов число состояний может задаваться количеством различных значений такой величины, как наработка компонента на отказ, которая может быть как непрерывной величиной (продолжительностью работы в часах, километражом пробега и т. п.), так и целочисленной (числом рабочих циклов, запусков и т. п.). Предполагается, что вероятности состояний известны и задаются векторами



. (2.4)

Ставится задача определения вектора вероятностей состояний показателя надежности ССС по вероятностям значений показателя надежности ее компонентов:

(2.5)

Расчет будем производить с учетом показателей надежности компонентов и схемы их соединения. Обозначим xiвеса ребер графа. Их значения задаются номерами состояний компонентов, принимающих вероятностные значения. В результате граф G(N, K) является взвешенным, поскольку ребра имеют веса xi, и случайным, поскольку веса определяются вероятностной мерой (2.4). Таким образом,G(N, K) - это случайная величина, значениями которой являются графы.

Для каждой реализации случайного графа определим свойство j-связности, которое означает наличие пути, соединяющего вершины , в графе, в котором веса ребер удовлетворяют следующему условию:

. (2.6)

Будем считать, что ССС находится в j-м состоянии надежности, если ее графическим образом является j-связный граф. Вероятностные значения показателя надежности ССС определяются связностью случайного графа G(N, K), которая является случайной величиной. Вероятностные значения связности случайного G(N, K) формируются путем расчета значений и вероятностей связности возможных реализаций графа.

Рассмотрим ССС с двумя состояниями надежности: S0 (отказ) и S1 (работа). При этом возможными значениями весов ребер графа G(N, K) являются . Реализации случайного графа могут быть отнесены к одному из множеств: множеству графов G0 = {G0(N, K)}, которые являются 0-связными, и множеству графов G1 = {G1(N, K)}, которые являются 1-связными. Графы из множества G0 описывают варианты реализации отказа ССС. Для графов из множества G1 всегда существует путь, соединяющий начальную и конечную вершины, все ребра которого имеют веса и отражают варианты реализации работы ССС.

Результирующее состояние ССС с двумя состояниями (работа, отказ), графическим образом которой является случайный граф, однозначно определяется логической функцией

, (2.7)

где - множество номеров ребер, составляющих путь . При этом значения вектора вероятностей, характеризующего j-связность случайного графаG(N, K) и, как следствие, описывающего показатель надежности ССС, вычисляются по формуле

(2.8)

где - вероятность j-го состояния i-го компонента; - вероятность j-го состояния системы.

Число реализаций NS случайного графа G(N, K) зависит от числа его ребер и числа возможных значений весов ребер. Для двух состояний показателя надежности ССС NS = 2m, где m - число ребер.

Перейдем к рассмотрению общего случая - оценке надежности многокомпонентной ССС со многими состояниями . Будем полагать, что компоненты ССС характеризуются множеством изменяющихся состояний . Первое состояние S0 характеризует минимальное значение выбранного показателя надежности компонента, Sn определяет максимальное значение показателя надежности компонента, а остальные состояния , описывают некоторые промежуточные значения. Решить поставленную задачу можно двумя способами.

Первый способ. Как и в случае двух состояний ССС, вектор вероятностей состояний показателя надежности системы формируется на основе полного перебора всех реализаций описывающего систему случайного графа G(N, K), которые образуются в результате рассмотрения комбинаций возможных детерминированных значений весов ребер. При этом для каждой q-й реализации () случайного графа G(N, K) определяется уровень связности, позволяющий отнести граф к одному из множеств: G0 = {G0(N, K)}, …, Gn = {Gn(N, K)}.

Результирующее состояние , ССС, графическим образом которой является случайный граф, однозначно определяется функцией

, (2.9)

где - множество номеров ребер, составляющих путь , который определяет j-связность графа.

Вероятность j-связности случайного графа, описывающего j-е состояние показателя надежности ССС, определяется соотношением

,(2.10)

где - вероятность j-го состояния i-го компонента; - вероятность j-го состояния системы.

Таким образом, все реализации случайного графа будут отнесены к некоторому множеству . Вероятность j-связности случайного графа G(N, K), характеризующая j-е состояние показателя надежности исследуемой системы, будет определяться суммой вероятностей всех возможных реализаций случайного графа, имеющих свойство j-связности.

Отметим, что для получения вероятностной оценки надежности ССС в данном случае необходимо рассмотреть NS = (n + 1)m реализаций случайного графа G(N, K), где (n + 1) - число состояний; m - число ребер графа.

Второй способ. Пусть k - номер состояния (), которому соответствует пороговое значение показателя надежности, разделяющее множество всех состояний надежности компонентов ССС на два множества:

. (2.11)

В этом случае выделенные состояния компонентов будут отнесены к одному из множеств, таким образом они отобразятся в одно из обобщенных состояний S1 или S2. Очевидно, что вероятности обобщенных состояний i-го компонента при таком разбиении формируются следующим образом:

(2.12)

Образом модифицированной ССС является случайный граф G(N, K), веса ребер которого принимают два значения (). Связность результирующего графа определяется логической функцией (2.7), а результирующие вероятностные значения связности вычисляются по формуле (2.8).

В силу того что функции min и max являются естественным обобщением логических операций конъюнкции () и дизъюнкции () при переходе от ССС с двумя несовместными состояниями к рассмотрению ССС со многими несовместными состояниями и сохраняют структуру введенных подмножеств S1 и S2, значения результирующего вектора вероятностей ССС будут удовлетворять соотношениям

(2.13)

Если обозначить алгебру, порожденную функциями min и max, A(max,min, n + 1), а булеву алгебру B(, , 2), то очевиден переход от алгебры, определенной на множестве (n + 1)-мерных векторов, к булевой алгебре. Заметим, что изменение позволит сформировать значения результирующего вектора вероятностей (2.5).

Теорема. Пусть в ССС, графическим образом которой является случайный граф G(N, K), где N - множество вершин, а K - множество ребер, которым соответствуют элементарные компоненты, составляющие систему, вероятности состояний i-го компонента при проведении k-го расчета задаются соотношениями (2.12).

Тогда результирующий вектор вероятностей состояний показателя надежности системы принимает следующие значения:

, (2.14)

где определяется путем проведения n - 1 расчета для системы этой же структуры, но с двумя обобщенными состояниями.

Очевидно, значения вектора вероятностей 2, полученные первым и вторым способом, будут совпадать. Однако второй способ позволит значительно уменьшить время расчета за счет сокращения числа вариантов перебора реализаций случайного графа, описывающего вероятностное изменение показателя надежности ССС со многими состояниями.

2.3 Методика расчета показателей надежности структурно-сложной системы

Оценка вероятностных значений показателя надежности ССС реализуется с использованием вероятностно-алгебраического моделирования следующей последовательностью шагов:

Шаг 1. Формулируется постановка задачи анализа показателя надежности ССС путем вербально-графического описания условий ее функционирования и отказа. С этой целью определяется множество элементарных компонентов , модели исследуемой ССС, задается число возможных состояний показателя надежности, и задаются связи между компонентами. Компоненты описывают надежность ij-го участка графа. Состояния компонентов фиксируют значения исследуемого показателя надежности. Связи определяют характер взаимодействия компонентов.

Графическая схема ССС G(N, K) формируется в диалоговом режиме с использованием стандартных графических примитивов: вершин N = {Nm} и ребер K = {Ki}.

Шаг 2. Определяются пути получения исходных данных вероятностных параметров компонентов разрабатываемой структурной модели ССС. Как правило, исходные данные формируются на основе натурных экспериментов с прототипом исследуемой системы или путем анализа экспертных оценок. В результате для каждого компонента соответственно выделенным состояниям , задаются значения векторов вероятностей (2.2).

Шаг 3. Определяется состав выходных данных, представляющих собой вероятностные значения показателя надежности ССС(2.3), и обосновываются способы их получения. Формулируется смысловое содержание выходных данных для системы и групп компонентов.

...