1.2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел

Теория упругости изучает вопросы деформирования и напряжения различных упругих тел, возникающих под действием внешних сил.

Величины внешних, т.е. поверхностных нагрузок, а также внутренних сил характеризуются их интенсивностью, т.е. величиной усилия, приходящегося на единицу площади поверхности, на которую они действуют. При рассмотрении внутренних усилий эту интенсивность обычно называют напряжением. Это название можно сохранить и для внешних нагрузок, если они распределены на рассматриваемой области сплошным образом. Если ?P обозначим усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку ?S, то указанное выше напряжение определяется следующим образом:

Заметим, что такая формулировка понятия напряжения непременно предполагает тело сплошным, непрерывным.

Внешнюю силу, произвольно ориентированную в пространстве в декартовой системе координат можно представить в виде составляющих P_x, P_y, P_z, имеющих ориентацию по осям координат. При обозначении напряжения одного индекса недостаточно, так как кроме направления действия составляющей, необходимо еще определить и площадку, на которую она действует. Напряжения представляют в виде двух составляющих: нормальное ? и касательное ? напряжения. Индекс нормального напряжения указывает ту ось, параллельно которой направлена составляющая. Касательные напряжения имеют два индекса: первый индекс соответствует оси, параллельно которой действует составляющая, а второй индекс указывает на направление нормали к площадке, на которую действует составляющая. На рисунке 1.1 представлены составляющие напряжения в декартовой системе координат.

Рисунок 1.1 - Составляющие напряженияв декартовой системе координат

Для составляющих напряжения принимается следующее правило знаков: нормальное напряжение считается положительным, когда оно вызывает растяжение, и отрицательным, когда оно вызывает сжатие. Для касательных напряжений положительным направлением будет то, которое совпадает с направлением координатной оси.

Под деформацией понимают изменение линейных размеров тела. Деформация любого элементарного объема может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие.

В случае элементарного параллелепипеда имеется шесть составляющих деформации: три ее линейные составляющие (удлинение ребер) и три угловые составляющие (сдвиги).

Относительные удлинения ребер обозначают ??? с индексом, указывающим направление удлинения. Положительными линейными деформациями считаем удлинения, отрицательными - укорочения. Считается, что положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение тех же углов. Углы сдвига, проектирующиеся на плоскость x y, обозначим ?_xy (или ?_yx). Соответственно для остальных плоскостей углы сдвига ?_yz (или ?_zy) и ?_zx (или ?_xz).

При элементарных деформациях первого рода (удлинение ребер) меняется объем параллелепипеда и его форма как показано на рисунке 1.2,а; а при деформациях второго рода (сдвиги) объем остается неизменным, изменяется лишь форма в соответствии с рисунком 1.2б.

а) б)

Рисунок 1.2 - Виды деформаций: а) удлинение ребер, б) сдвиг

Рассмотрим сплошное твердое тело, прикрепленное к опорам таким образом, что оно не может перемещаться. Тогда перемещения любой точки этого тела могут произойти только в результате деформации этого тела. Обозначим U,V,W проекции полного перемещения некоторой точки на оси координат Ox, Oy, Oz и назовем их компонентами смещения. Компоненты смещения различны для различных точек и являются функциями координат точки:

U = f₁(x,y,z), V = f₂(x,y,z), W = f₃(x,y,z).

Полное смещение точки определяется выражением

.

Запишем дифференциальные уравнения равновесия в статическом (динамическом) виде:

(1.1)

Здесь ? - плотность вещества, X, Y, Z - проекции на соответствующие оси объемной силы, отнесенной к единице массы. Выражения в скобках для правой части используется в случае движения.

Перемещения определяются деформациями тела, эта зависимость выражается уравнениями:

(1.2)

Эти уравнения называют геометрическими или уравнениями Коши.

Наличие всех компонентов напряжений, показанных на рисунке 1.1, определяет следующие составляющие деформации:

(1.3)

где - модуль упругости,

? - коэффициент Пуассона,

G - модуль сдвига, .

В этом виде обычно выражается закон упругости для изотропного тела. Его можно сформулировать так: компоненты тензора деформаций в данной точке находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений той же точки. Тензор напряжений имеет вид:

.

Соответственно тензор деформаций можно выразить в виде:

.

Закон упругого изменения объема можно представить в виде:

(1.4)

т.е. среднее напряжение в точке пропорционально объемной деформации в окрестности той же точки. Используя закон изменения объема и понятие о шаровых тензорах, можно записать:

 (1.5)

т.е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформаций. Коэффициент пропорциональности (объемный модуль упругости) выражается в виде:

и определяет сопротивление материала при изменении объема, которое не сопровождается изменением формы. Систему зависимостей:

(1.6)

запишем в следующем виде:

(1.7)

Левую матрицу, составленную из компонентов напряжений, называют девиатором напряжений D_н , а правую матрицу - соответственно девиатором деформации D_деф. В связи с этим обобщенный закон упругости можно представить в виде:

(1.8)

и сформулировать так: девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформаций.

Выражения (1.7) и (1.8) называют законом изменения формы.

1.2.2 Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями. Диаграмма растяжения-сжатия для такого материала в координатах "напряжение-деформация" представляется прямой линией, выходящей из начала координат.

Если для материала не применим закон Гука или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое, т.е. в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжений материала представляется явно выраженным отрезком кривой, приведенной на рисунке 1.3. В таких случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой: ? = f(?).

Рисунок 1.3 - Диаграмма растяжения для нелинейно-упругого материала

Допустим, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО, причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим. Теорию, устанавливающую законы деформации в таком теле, называют нелинейной теорией упругости.

Основную предпосылку нелинейной теории упругости можно сформулировать следующим образом: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела. Зависимость между напряжением и деформацией в точке для нелинейно-упругого тела в напряженном состоянии, используя понятия интенсивностей напряжения и деформации, можно представить в виде:

?_i = E'?_i, (1.9)

где E'- секущий модуль деформации первого рода, зависящий от степени деформации, т.е. E' = f(?).

Если результаты испытания на простое растяжение за пределом упругости для какого-либо материала обработаны в виде ? ? ???? ???, где E - обычный модуль упругости материала, а ? - некоторая аналитическая функция относительного удлинения (отличная от нуля только за пределом упругости), т.е. ? ? ????), то в случае сложного напряженного состояния для этого материала применяется закон деформации в виде: ?_? ? ???? ???_i, где ? ? ???_i?) - функция интенсивности деформации, отличная от нуля только за пределом упругости.

Используя выражение (1.9) и зависимость

G^? =

можно получить уравнения для нелинейно-упругого тела:

(1.10)

где

Уравнения (1.10) для нелинейно-упругого тела и уравнения (1.6) для линейно упругого тела можно обобщить. Тогда, используя понятия о девиаторах напряжений и деформаций, законы упругих и пластических деформаций можно сформулировать следующим образом.

Первый основной закон - закон изменения объема. При упругих и пластических, при пассивных и активных деформациях твердого тела относительное изменение объема элемента этого тела прямо пропорционально среднему напряжению, причем модуль объемной деформации остается постоянной величиной как в пределах, так и за пределами упругости:

где E - модуль упругости и ? - коэффициент Пуассона, принимаемые

постоянными независимо от масштаба деформации.

Второй основной закон - закон изменения формы при активной деформации. При упругих и пластических деформациях, соответствующих случаю простого нагружения для каждой точки тела, девиатор напряжения прямо пропорционален девиатору деформации:

где G' - модуль упругости деформации второго рода, имеющий для каждой точки изотропного тела определенное значение, зависящее от величины обобщенного напряжения для этой точки.

Третий основной закон - закон связи обобщенного напряжения с обобщенной деформацией при активном нагружении. Обобщенное напряжение, возникающее в теле при любой активной деформации, для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации: ?_? ? ???_i??). Вид функции ? зависит только от материала тела. Величина ?_i зависит только от величины ?_i и от физических свойств данного материала.

1.3 Методы исследования систем деформируемых твердых тел

Одним из методов (микроскопический) изучения сложных систем является детальное изучение поведения каждой из ее подсистем. Другой метод (макроскопический) заключается в игнорировании детальной структуры и наблюдении только макроскопического поведения системы как целого. Первый метод изучения систем ведется в направлении анализа процесса, второй - в направлении анализа конечного результата. При анализе процесса система исследуется как некоторое количество связанных между собой подсистем, определяются промежуточные выходы системы. Затем изучается средства, с помощью которых можно перевести подсистемы в последовательно связанную совокупность процессов для последующей обработки. Причем, существует множество альтернатив, квалифицируемых в виде промежуточных решений. Анализ процесса часто ассоциируется с проблемами реального мира, физическими системами. При анализе конечного результата специалист больше внимания уделяет завершающим, а не промежуточным данным, которых он может и не знать.

Наиболее простым, но и наиболее дорогим методом исследования поведения системы является физическое моделирование. Для этого строят натурную или лабораторную модель системы и посредством физического эксперимента определяют поведение системы при различных входных воздействиях.

Модель может быть строго математической, если специалист выделяет в проблеме количественные свойства. Если проблема по своей природе также и качественна, то модель может быть менее строгой и не более сложной, чем схема обработки данных. Цель исследователя состоит в создании модели изучаемой системы вместе с её объектами, свойствами и связями. Создатель модели старается воспроизвести в миниатюрной, контролируемой форме действие изучаемой системы в реальном мире.

Часто выполнение одних задач исследования системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. А для физических нелинейных систем принцип прямой суперпозиции и вовсе неприемлем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы (системы более высокого ранга). Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности. Например, для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека по исследованию сложных систем. Основные принципы следующие:

1) Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.

2) Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

3) Принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями c окружением.

4) Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.

5) Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей (элементов) и (или) их ранжирование.

6) Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.

7) Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

8) Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.

9) Принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию исследования указанных систем и процессов независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.

Этап 1. Определение системы.

Определение системы и области её существования.

Определение исследуемой функции системы.

Определение краевых условий.

Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.

Определение свойств элементов системы и модулей.

Нахождение связей между элементами и модулями системы.

Этап 2. Построение математической модели.

1) Формальное описание исследуемой функции.

2) Разработка дискретной модели системы.

3) Разработка алгоритмической модели.

4) Разработка программного обеспечения (машинной модели).

5) Проверка адекватности математической модели системы.

Этап 3. Исследование системы при различных входных воздействиях и совершенствование модели системы.

При исследовании систем механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов идеи системного подхода на определённом уровне находят применение. Проблемы возникают в связи с количеством объектов исследуемых систем, разнородностью их свойств и изменением этих свойств в процессе функционирования системы. К причинам создающим указанную проблему относятся задачи исследования систем нелинейно-деформируемых твёрдых тел и неприменимость к ним принципа суперпозиции.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Математические модели систем деформируемых твердых тел

2. 1.1 Общее определение математической модели

Математическое моделирование основывается на известном факте: различные изучаемые процессы могут иметь одинаковое математическое описание. Следовательно, если система определена и ее функция может быть описана с помощью математических и логических предложений, то исследование системы возможно математическими средствами и средствами вычислительной техники.

Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет k выходных параметров, тогда погрешность модели е_мод можно представить как норму вектора

е = { е₁, е₂, …, е_k }; е_мод = max | е_j |, j =; или е_мод = ,

где - относительная погрешность по j - у выходному параметру,

y_j^e, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра.

Должно выполнятся условие е_мод < е_пред, где е_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели. Погрешности математического моделирования определяются двумя факторами: степенью точности формального описания исходной системы и неточностью определения исходных данных.

Экономичность. Эта характеристика стоимости исследования модели системы по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель системы, исследователь выделяет систему как объект окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

2.1.2 Структура математической модели

Из приведенного общего определения системы следует, что природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Наполнение системы определяет её предметную направленность и этим предопределяют методологию и технологию её исследования. Задачи исследования могут быть разными. В настоящей работе ставится задача исследования напряжённо-деформированного состояния системы деформируемых твёрдых тел в целом и на уровне её отдельных элементов. Для этого в каждом конкретном случае необходимо определить содержание системы, т.е. её границы и наполнение. Всё это обусловит облик исследуемой системы. В настоящей работе рассматриваются сложные системы деформируемых твёрдых тел: системы механики грунтов и строительной механики. Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов.

При построении сложных систем лучше всего вводить декомпозицию и деление на модули. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Как видим, здесь принцип тот же, что и при построении математических моделей простых систем, только понятие «элемент» заменяется понятием «модуль» и, соответственно, понятие «математическая модель элемента» заменяется понятием «математическая модель модуля». Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы или объекта.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

1) Математическая модель среды существования системы,

2) Математическая модель состояния среды системы или объекта,

3) Условия связи системы с внешней средой,

4) Математическая модель основной функции системы,

5) Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики грунтов приведенная структурная схема имеет вид:

1) Геометрическая модель деформируемой среды,

2) Уравнения состояния элементов деформируемой среды,

3) Система краевых условий,

4) Условия равновесия (устойчивости) системы,

5) Математическая модель результата решения.

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе. Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов.

Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

1) с системой (реальной, проектируемой, воображаемой),

2) с математической моделью системы,

3) с алгоритмической (машинной) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

1) определение и формирование системы,

2) построение математической модели системы,

3) разработка алгоритмической (машинной) модели,

4) разработка программного комплекса.

В современной науке и технике возникающие проблемы, как правило, сводятся к построению математических моделей систем и разработке методов их исследования. Процесс моделирования содержит определённые этапы. На рисунке 2.1 представлена структурная схема процесса математического моделирования, состоящая из восьми этапов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2.1 - Технологическая схема процесса математического моделирования

Подобное деление на этапы является несколько условным, но приведенное содержание этапов является в любом случае обязательным. При выполнении этапа 1 необходимо формировать систему так, чтобы она с максимальной полнотой соответствовала поставленному классу задач и здесь нельзя ограничиваться каким-либо частным случаем.

Главным критерием достоверности исследования системы является оценка полученных результатов на основании имеющихся экспериментальных данных и (или) решений, полученных иным путем, например, аналитически.

2.2 Исследование математической модели методом конечных элементов

Метод конечных элементов позволяет оперировать с элементами различной формы. Однако для практических задач наиболее удобными оказались симплекс-элементы, позволяющие легко сгущать сетку в местах ожидаемых высоких градиентов и при оконтуривании границ области.

Рассмотрим метод построения конечно-элементных соотношений для плоской задачи теории упругости. Пусть имеется двумерный симплекс-элемент с вершинами i, j, k в соответствии с рисунком 2.2.

Рисунок 2.2 - Схема деформации треугольного элемента

Перемещение, как величина векторная, в каждом узле будет представлено двумя компонентами:

{}^T={U ,V},

где = i, j, k.

Следовательно, для всего конечного элемента получим: {}^T={_{i ,J},_k}.

Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью компонентами. Для симплекс-элемента функция перемещений представляется линейным полиномом =₁+₂x+₃y. Поэтому для аппроксимации перемещений в области элемента будем иметь:

u =₁+₂ x+₃ y,

v =₄+₅ x+₆ y,

где _1,2,....,6 - параметры линеаризации, постоянные для элемента. Для компоненты U в узлах i, j, k получим:

u_i = ₁+₂ x_i+₃ y_i ,

u_j = ₁+₂ x_j+₃ y_j ,

u_k = ₁+₂ x_k+₃ y_k .

Изменив направление обхода узлов, будем иметь:

u_i = ₁+₂ x_i+₃ y_i ,

u_k = ₁+₂ x_k+₃ y_k , (2.1)

u_j = ₁+₂ x_j+₃ y_{j .}

Эти системы отличаются только порядком следования второй и третьей строк. Это значит, что все определители этих систем будут отличаться только знаком. Решения этих систем относительно _{1, 2, 3} будут одинаковы. Поэтому при разработке аналитического алгоритма построения матрицы жёсткости всей дискретизованной области необходимо полностью определить все выражения для вычисления значений коэффициентов _{1, 2, 3}. Проще это выполнить по методу Крамера. В этом случае получим:

, где abs( S ) - площадь конечного элемента,

( x_j y_k - x_k y_j ) u_i + ( x_k y_i - x_i y_k ) u_j + ( x_i y_j - x_j y_i ) u_k ,

( y_j - y_k ) u_i + ( y_k - y_i ) u_j + (y_i - y_j ) u_k ,

( x_k - x_j ) u_i + (x_i - x_k) u_j + ( x_j - x_i) u_k .

Введём обозначения:

a_i = x_j y_k - x_k y_j ; a_j = x_k y_i - x_i y_k ; a_k = x_i y_j - x_j y_i ;

b_i = y_j - y_k ; b_j = y_k - y_i ; b_k = y_i - y_j ;

c_i = - ( x_j - x_k ); c_j = - ( x_k -x_i ); c_k = - ( x_i - x_j ).

Тогда

₁ = = (a_i u_i + a_j u_j + a_k u_k ) /;

₂ = = (b_i u_i + b_j u_j + b_k u_k ) /; (2.2)

₃ = = (c_i u_i + c_j u_j + c_k u_k ) /.

Полученные таким образом значения коэффициентов _{1, 2, 3} не будут зависеть от направления обхода узлов конечного элемента.

Подставив полученные для _{1, 2, 3} выражения (2.2) в (2.1), получим:

U = [(a_i+b_i x+c_iy)u_i + (a_j+b_j x+c_jy)u_j+ (a_k+b_k x+c_ky)u_k] /(2S). (2.3)

Для компоненты V аналогично:

V = [(a_i+b_i x+c_iy)V_i + (a_j+b_j x+c_jy)V_j+ (a_k+b_k x+c_ky)V_k] /(2S). 2.4)

Деформации определяются из уравнений Коши

{} = = . (2.5)

Подставляя в уравнение(2.5) равенства (2.3) и (2.4) и производя

дифференцирование, получим:

Напряжения {} = [D]*{} = [D]*[B]*{ }^e. 2.7)

Матрица [D] для случая плоского напряжённого состояния имеет вид:

[D] = .

Для вывода основного уравнения МКЭ воспользуемся принципом стационарности полной энергии системы:

(2.8)

где

П = 0,5 ·{}^T {} dS - {}^T {P}, (2.9)

{P} - вектор внешних сил.

Подставим в (2.9) соотношения (2.8) и (2.7):

П = 0,5 ·{}^T[B]^T[D] [B] {}^e dS - {}^T{P}, (2.10)

т.к. в (2.10) векторы и матрицы от координат не зависят, то

П = 0,5*{}^T[B]^T[D] [B] {}^e S - {}^T{P}. (2.11)

Подставляя (2.11) в (2.8), получим:

S*[B]^T[D] [B] {}^e - {P} = 0. (2.12)

Введём обозначение: [K] = S*[B]^T[D] [B], (2.13)

тогда (2.12) примет вид:

[K] { } ^e = { P }. (2.14)

Полученное уравнение называется основным уравнением метода

конечных элементов. Если в (2.13) выполнить матричные операции, то получим:

где [k_ij] = [k_ji]^T,

где m, n = i, j, k ; = E / (1- ²).

Матрица жесткости системы, определяющая жесткость конструкции в целом, строится в следующем порядке

K=, (2.17)

где N - количество конечных элементов дискретизованной области.

Суммирование в (2.17) производится, учитывая номера конечных элементов и узлов. Покажем сказанное на примере. Пусть дискретизованная область имеет вид согласно рисунку 2.3.

Рисунок 2.3- Схема дискретизации

Матрица жесткости для этого ансамбля может быть получена следующим образом:

1) формируем соответствующее матричное поле, пока не заполненное (двумерный массив);

2) рассматриваем i-й конечный элемент и для него вычисляем матричные коэффициенты по (2.16), которые прибавляем к глобальной матрице на позиции, определяемые глобальными номерами рассматриваемых узлов и конечных элементов (верхниеиндексы). Следовательно, соблюдая глобальную нумерацию узлов дискретизации, получим:

.

Ввиду того, что матрица жесткости системы имеет ленточную структуру и симметрична относительно главной диагонали, в памяти ЭВМ достаточно сформировать и хранить элементы верхней или нижней полуленты. После построения матрицы жесткости [K] всей конструкции, составляется система линейных уравнений

[K]{}= {P} (2.18)

где - вектор узловых сил,

- вектор узловых перемещений.

В своём первоначальном виде система (2.18) решения не имеет, т.к. матрица жёсткости [K] сингулярная - её главный определитель равен нулю. Отметим, что построение основного уравнения метода конечных элементов (2.28) производилось без учёта граничных условий. Учёт граничных условий приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов {P} и {}. Матрица [K] уже не будет сингулярной и система (2.28) будет иметь решение и далее по уравнениям (2.6) и (2.7) определяются деформации и напряжения в элементах.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

3.1 Компьютерного объектно-ориентированного моделирования систем деформируемых твёрдых тел

Технология визуального объектно-ориентированного моделирования сложной нелинейной системы деформируемых твёрдых тел основывается на методологии процесса моделирования, содержании и назначении моделируемых задач и может быть представлена следующими основными этапами.

1. Внешние процедуры;

2. Внутренние процедуры;

3. Численное моделирование;

4. Анализ результатов и принятие решений

На этапе внешних процедур анализируются инженерно-геологические показатели грунтового основания, устанавливается область существования и структура системы, определяются параметры дискретизации и физико-механические характеристики элементов основания и конструктивных элементов структур фундаментов.

При визуальном объектно-ориентированном моделировании системы необходимы следующие исходные данные:

1) 0бласть определения системы: определяется форма и начальные размеры расчётной области. Как правило, для пространственных задач расчётная область принимается в форме параллелепипеда, размеры которого определяются на основании экспериментальных данных или посредством расчёта в соответствии с принципом Сен-Венана и теоретического решения задачи о действии сосредоточенной силы на поверхности или внутри полупространства.

2) Структуры грунтовых напластований: на основании инженерно-геологических изысканий строится геометрическая модель грунтового основания строительной площадки, при этом определяется мощность и глубина залегания слоёв, линз и включений грунтов с указанием их физико-механических характеристик.

3) Тип и структура фундамента: фундаменты могут быть любого типа и произвольной структуры. Начальные размеры и расположение фундаментов в плане всего здания задаются соответствующей геометрической моделью. В плане всего здания фундаменты могут быть различных типов и различной структуры. Расчёт фундаментов производится сразу для всего здания.

4) Физико-механические характеристики элементов структуры основания и фундамента; эти данные определяются для условия линейного и нелинейного деформирования. Закон нелинейного деформирования элемента грунта может быть любой, рекомендуется в виде степенной функции или в виде двучлена степени m > 1.

5) Величина и характер распределения внешней нагрузки: нагрузка на фундамент может быть непрерывной и (или) дискретной, распределённой равномерно или любым другим образом.

6) Параметры дискретизации: определяются исходя из размеров расчётной области, структуры и свойств грунтового основания, типа и структуры фундамента. Всякий элемент дискретизации, т.е. всякий конечный элемент по своей структуре и свойствам должен быть строго однородным. Дискретизацию расчетной области пользователь может задать сам или воспользоваться автоматической разбивкой, задав шаги дискретизации.

На этапе внутренних процедур производится работа непосредственно с программным обеспечением визуального объектно-ориентированного моделирования заданной структуры фундаментов и грунтовых оснований. При этом выполняются следующие действия:

Формируются вектора для автоматического построения дискретизованной области нерегулярной структуры;

Создается конкретное наполнение базы данных физико-механических характеристик грунтового основания;

Формируются вектора граничных условий для заданной системы;

На экране монитора послойно строится пространственная виртуальная физическая модель системы, производится адресная привязка конструктивных элементов фундамента, при этом каждому конечному элементу системы назначаются его начальные свойства, считываемые из соответствующей базы данных.

На третьем этапе происходит численное решение сформированной задачи. Результаты решения представлены значениями компонент векторов перемещений, деформаций и напряжений для каждого узла дискретизованной области при условиях линейного и нелинейного деформирования. Производится экранная визуализация результатов в векторной и табличной формах. Считывание информации возможно по вертикальным и горизонтальным плоскостям пространственной дискретизованной области. Любая часть информации может быть выведена на печать, вывод всех вычисленных данных на печать возможен, но не целесообразен ввиду его очень большого объёма.