Математические основы теории систем
Нахождение экстремума унимодальной функции методами дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи. Нахождение оптимального по быстродействию управления, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.03.2014 |
| Размер файла | 25,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пермский Государственный Технический Университет
Контрольная работа
Математические основы теории систем
г. Пермь 20012 г
Введение
экстремум дихотомия фибоначчи плоскость
Под оптимизацией в общем смысле слова понимается процесс нахождения наилучших решений с учетом имеющихся ограничений, т.е. выбора наилучшего варианта из множества имеющихся. Математические методы оптимизации начали развиваться еще до изобретения ЭВМ, однако в ту пору они применялись на практике только в самых простых случаях. Широкий переход к машинным методам выработки управленческих и проектно-конструкторских решений вызвал бурное развитие теории оптимизации и обеспечил ее широкое практическое использование.
Методы оптимизации нашли широкое применение в проектировании радиоэлектронной аппаратуры. Оптимизация в этой области состоит в определении такой совокупности внутренних параметров схемы (емкостей, сопротивлений, параметров активных элементов), при которой заранее выбранные выходные параметры схемы (например, быстродействие, потребляемая мощность) принимают наилучшие возможные значения. Помимо этого оптимизация позволяет решить ряд попутных задач: определить внутренние параметры, обладающие наибольшими коэффициентами влияния на выходные характеристики, оценить влияние дестабилизирующих факторов, обнаружить невозможность функционирования схемы или получения заданных значений выходных параметров на основе используемой структуры схемы и элементной базы. С помощью оптимизации решаются также задачи статистического характера по увеличению вероятности безотказной работы схем или числа работоспособных схем при их производстве.
Задание № 1
Дано:
Q= -x1-2x2 - min
x1+2x2<=7
2x1+x2<=8
x2<=3
x1,x2>=0
Ограничения-неравенства заменяем ограничениями-равенствами:
x1+2x2=7
2x1+x2=8
x2=3
x1,x2=0
Область допустимых решений (область, где выполняются все ограничения) - заштрихованная площадь. Строим график целевой функции при каком-либо значении правой части: Q = 0
График целевой функции перемещаем параллельно его начальному положению в сторону роста целевой функции до касания с границей области допустимых решений. Граничная точка или отрезок прямой является решением задачи линейного программирования. В данном случае, это отрезок прямой, лежащий между токами (1;3) и (3;2).
Можно не строить график целевой функции, но подсчитать значения целевой функции во всех вершинах допустимого многогранника и выбрать экстремальное значение
Q=-7 - min
Q[0,0]=0
Q[4,0]=-4
Q[3,2]=-7
Q[1,3]=-7
Q[3,0]=-3
Ответ: x2=3.5-0.5x1, 1<=x1<=3
Задание № 2
Найти экстремум унимодальной функции f(x)=x3/3-5x+xln(x), [a0,b0]=[1,5;2], =0,02.
Метод дихотомии:
Решение:
Определим вид экстремума функции, посчитав значения в трех точках:
f(1,5)=-5,767; f(1,7)=-5,96; f(2)=-5,947.
Как видим, вид экстремума - минимум.
x0=( a0+ b0)/2=1,75.
x0'= x0-/2=1,74, f(x0')=-5,9802,
x0”= x0+/2=1,76, f(x0”)=-5,9878.
[a1,b1]=[1,74;2].
l1= b1-a1=0,26,
l1>2, следовательно делаем еще шаг.
6. x1=( a1+ b1)/2=1,87.
x1'= x1-/2=1,86, f(x1')=-6,0008,
x0”= x1+/2=1,88, f(x1”)=-5,9983.
[a2,b2]=[1,74;1,88].
l2= b2-a2=0,14,
l2>2, следовательно делаем еще шаг.
10. x2=( a2+ b2)/2=1,87.
x2'= x2-/2=1,86, f(x2')=-6,0008,
x0”= x2+/2=1,88, f(x2”)=-5,9983.
[a3,b3]=[1,74;1,88].
l3= b3-a3=0,14,
l3>2, следовательно делаем еще шаг…
Метод золотого сечения:
Найти минимум унимодальной функции f(x)=x3/3-5x+xln(x), [a0,b0]=[1,5;2], =0,02.
Решение:
Y0= a0+(3-5)/2(b0-a0)=1,691,
Z0=a0+b0-Y0=1,809.
f(Y0)=-5,9549, f(Z0)=-5,9994 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a1=Y0=1,691,
b1=b0=2,
Y1=Z0=1,809,
Z1=a1+b1-Y1=1,882.
4. l1= b1-a1=0,309>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг.
f(Y1)=-5,9994, f(Z1)=-5,998 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a2=a1=1,691,
b2=Z1=1,882,
Z2= Y1=1,809,
Y2= a2+b2-Z2=1,764.
7. l2= b2-a2=0,309>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг.
f(Y2)=-5,9891, f(Z2)=-5,9994 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a3=Y2=1,764,
b3=b2=1,882,
Y3=Z2=1,809,
Z3= a3+b3-Z3=1,837.
10. l3= b3-a3=0,118>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг…
Метод Фибоначчи:
Найти минимум унимодальной функции f(x)=x3/3-5x+xln(x), [a0,b0]=[1,5;2], =0,02.
Решение:
Y0= a0+( b0-a0)Fn/Fn+2=1,5+(2-1,5) 13/34,
Z0=a0+b0-Y0=1,809.
f(Y0)=-5,9549, f(Z0)=-5,9994 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a1=Y0=1,691,
b1=b0=2,
Y1=Z0=1,809,
Z1=a1+b1-Y1=1,882.
l1= b1-a1=0,309>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг.
f(Y1)=-5,9994, f(Z1)=-5,998 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a2=a1=1,691,
b2=Z1=1,882,
Z2= Y1=1,809,
Y2= a2+b2-Z2=1,764.
l2= b2-a2=0,309>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг.
f(Y2)=-5,9891, f(Z2)=-5,9994 - отбрасываем левую часть интервала неопределенности.
a3=Y2=1,764,
b3=b2=1,882,
Y3=Z2=1,809,
Z3= a3+b3-Z3=1,837.
10. l3= b3-a3=0,118>2, следовательно, требуется выполнить еще шаг…
Результаты вычислений тремя методами:
|
[ai;bi] Методы |
[a1;b1] |
[a2;b2] |
[a3;b3] |
|
|
Дихотомиии |
[1,74;2] |
[1,74;1,88] |
[1,8;1,88] |
|
|
Золотого сечения |
[1,691;2] |
[1,691;1,882] |
[1,764;1,882] |
|
|
Фибоначчи |
[1,691;2] |
[1,691;1,882] |
[1,764;1,882] |
Задание № 3
Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.
u = d2y/dt2 , u 1, y10(0)= -2,0 , y20(0)= -1,4 , y1к(T)= 0 , y2к(T)= 0 .
Решение
Первоначальное управление u = 1, после переключения u = -1.
1. Находим начальную и конечную траекторию движения.
Для рассматриваемого случая начальная траектория y1 = 0,5 y22 + S1 ,
конечная траектория y1 = -0,5 y22.
2. Подставляем координаты начальной точки y1(0)= y10 , y2(0)= y20 , в уравнения для фазовых координат при управлении и = 1 , находим постоянные К1 , К2 , S1 :
y2 = t + К1 ,
y1 = t2/2 + К1 t + К2 = 0,5 y22 + S1 ,
y20 = 0 + К1 ,
y10 = 0 + 0 + К2 = 0,5 y202 + S1 ,
-1,4 = 0 + К1 , К1 = -1,4
-2,0 = 0 + 0 + К2 = 0,98 + S1 , К2 = -2
S1 =К2 - 0,98 S1 = -2,98
3. Нахождение времени переключения. Для этого используем равенство y1 = - 0,5 y22 (уравнение линии переключения) :
tп2/2 + К1 tп + К2 = 0,5 ( tп + К1 )2
tп = 3,13
4. Находим координаты точки переключения:
у1 п = tп2/2 + К1 tп + К2 ,
y2п = tп +К1
y1п = -1,48 y2п = 1,73 .
5. Находим коэффициенты А1 и А2 , решив систему уравнений:
y1п = - tп2/2 + А1 tп + А2 ,
y2п = - tп + А1
А1 = 4,86
А2 = -11,79
6. Находим время прихода в конечную точку из уравнения:
y2 к = 0 = - tк + А1 , tк = А1
tк = 4,86
Оптимальная траектория движения изображена на рисунке.
Рис. Оптимальная траектория движения.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение минимума функции на заданном отрезке методами перебора, поразрядного поиска, дихотомии, золотого сечения и методом парабол. Нахождение и расчет нулей функции методом Ньютона. Построение графика данной функции, ее минимальное значение.
реферат [55,6 K], добавлен 09.04.2013Построение пространства допустимых решений. Нахождение оптимального решения с помощью определения направления убывания целевой функции. Нахождение оптимальной точки. Поиск экстремумов методом множителей Лагранжа. Условия экстремума Куна-Таккера.
контрольная работа [396,2 K], добавлен 13.09.2010Исследование количества, характера и расположения корней. Определение их приближенных значений итерационными методами: половинного деления (дихотомии) и хорд. Тексты программ. Решение уравнений на языках программирования Borland Delfi и Turbo Pascal.
курсовая работа [500,3 K], добавлен 15.06.2013Нахождение стационарной точки. Расчет безусловного экстремума функции методами прямого поиска. Графическое пояснение метода равномерного симплекса. Метод поиска Хука-Дживса. Метод сопряженных направлений Пауэлла. Разработка программного модуля расчетов.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 16.09.2012Написание приложения "Нахождение безусловного экстремума методом Ньютона" в среде Visual Studio 2010. Требования к аппаратному и программному обеспечению. Функциональное назначение программы, директивы предпроцессора и константы, руководство пользователя.
курсовая работа [456,3 K], добавлен 13.10.2014Создание программы в среде программирования MatLab для решения задачи одномерной оптимизации (нахождение минимума и максимума заданных функций) методом золотого сечения, построение блок-схемы алгоритма и графическое изображение исследованных функций.
реферат [112,0 K], добавлен 14.06.2010Анализ методов определения минимального и максимального значения функции многих переменных без ограничений. Нахождение экстремума функции при наличии ограничений. Синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 10.04.2011Теоретические основы вариационного исчисления и область применения метода. Практическое решение задач оптимизации методом вариационного исчисления. Нахождение экстремума функционала и частных производных. Составление дифференциального уравнения Эйлера.
лабораторная работа [99,5 K], добавлен 16.12.2014Нахождение с заданной погрешностью корней уравнения. Оценка скорости сходимости. Нахождение промежутка, в котором содержится какой-либо корень уравнения для методов итераций и Ньютона. Разработка текста компьютерных программ для решения данных уравнений.
лабораторная работа [253,9 K], добавлен 19.12.2012Выполнение отделения корней для заданной функции. Описание уточнения корней с использованием метода дихотомии, Ньютона, простой итерации. Выявление абсолютной погрешности методов. Создание листинга программ. Рассмотрение результатов работы программ.
лабораторная работа [16,1 K], добавлен 19.04.2015Описание методов дихотомии (половинного деления) и касательных. Их применение для решения нелинейных уравнений. Графическое отделение корней. Блок-схемы алгоритмов. Тексты (листинги) программ на языке Delphi. Тестовый пример решения задачи с помощью ЭВМ.
курсовая работа [944,6 K], добавлен 15.06.2013Организация входных и выходных данных для задачи нахождения общей точки для всех кругов на плоскости. Словесное описание действий и операций, выполняемых программой для получения конечного результата. Выбор технических и программных средств приложения.
курсовая работа [314,1 K], добавлен 30.06.2014Выбор наиболее эффективного метода поиска экстремума для функции. Оценка погрешности определения точки минимума. Проверка унимодальности уравнения аналитическим методом и по графику. Сравнение алгоритмов по количеству обращений к функции и по точности.
контрольная работа [909,0 K], добавлен 14.08.2019Выполнение заданий на вычисление функции на указанном диапазоне и построение графика функции. Нахождение суммы числового ряда. Нахождение корней уравнения командой "Подбор параметра". Описание технологии работы со списками в электронной таблице Excel.
контрольная работа [35,3 K], добавлен 15.11.2010Создание программы для обучения пользователя пониманию и нахождению координат точки на координатной плоскости. Обоснование этапов обработки информации, общая концепция программы "Декартовая система координат", определение ее состава и структуры.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 20.10.2022Особенности точных и итерационных методов решения нелинейных уравнений. Последовательность процесса нахождения корня уравнения. Разработка программы для проверки решения нелинейных функций с помощью метода дихотомии (половинного деления) и метода хорд.
курсовая работа [539,2 K], добавлен 15.06.2013Решения алгебраических уравнений методом выделения корней. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов; дихотомия, бисекция. Одномерная оптимизация многоэкстремальных функций; метод золотого сечения. Многомерная оптимизация градиентным методом.
курсовая работа [956,7 K], добавлен 04.03.2013Обзор стрелковых тренажеров, их достоинств и недостатков. Выбор веб-камеры, разработка общего алгоритма программы. Реализация спускового крючка. Создание пристрелки для настройки тренажера. Линейная аппроксимация, нахождение координат точки прицеливания.
дипломная работа [3,4 M], добавлен 26.12.2014Анализ основных этапов решения задачи синтеза регуляторов в классе линейных стационарных систем. Нахождение оптимальных настроек регулятора и передаточной функции замкнутой системы. Изучение состава и структуры системы автоматизированного управления.
контрольная работа [3,0 M], добавлен 11.05.2012Минимизация квадратической функции на всей числовой оси методами Ньютона, наискорейшего спуска и сопряженных направлений. Нахождение градиента матрицы. Решение задачи линейного программирования в каноническом виде графическим способом и симплекс-методом.
контрольная работа [473,1 K], добавлен 23.09.2010
