Понятие приближенного решения некорректно поставленных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо понимать под «решением» задачи? Каким требованиям должны удовлетворять алгоритмы нахождения « решений »?

Классические концепции и постановки задач не отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примере.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Az=u,

где z -- искомый вектор, и -- известный вектор, А ={a_ij} -- квадратная матрица с элементами a_ij.

Если система невырожденная, т. е. detA № 0, то она имеет единственное решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими способами.

Если система вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со- ответствующих определителей.

Таким образом, прежде чем решить систему, надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы detA.

Если п -- порядок системы, то для вычисления detА требуется выполнить около п³ операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы можем получить значение detА, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения системы, которые не требуют предварительного выяснения вырожденности или невырожденности системы.

Кроме того, в практических задачах часто правая часть u и элементы матрицы А,

т. е. коэффициенты системы уравнений, известны нам приближенно. В этих случаях вместо системы, мы имеем дело с некоторой другой системой A¹z=u¹ такой, что

||А¹-- А||<=h, ||u¹-u||<=d,

где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу А¹, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы.

В этих случаях о точной системе Az = и нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства || А¹--А || <= h и || и¹--и|| <=d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Среди таких «возможных точных систем» могут быть и вырожденные.

Поскольку вместо точной системы мы имеем приближенную систему A¹z=и¹, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением системы? Оно должно быть также устойчивым к малым изменениям исходных данных (А, и).

В данной работе будет введено понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, а также будет рассмотрено несколько методов нахождения таких решений.

1. ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

Различают корректно поставленные, и некорректно поставленные задачи. Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений (для эллиптических, например,-- задача Дирихле и ей аналогичные, для гиперболических -- задача Коши).

Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении «решения» z по заданным «исходным данным» и, z=R(u). Мы будем считать их эле- ментами метрических пространств F и U с расстояниями между элементами ; u₁, u₂ОU; z₁,z₂ОF. Метрика обычно определяется постановкой задачи.

Пусть определено понятие «решения» и каждому элементу иОU отвечает единственное решение z=R(u) из пространства F.

Задача определения решения z=R(u) из пространства F по исходным данным иОU называется устойчивой на пространствах (F, U), если для любого числа e > О можно указать такое число d (e) > 0, что из неравенства r_U(u₁,u₂)<=--d (e) следует r_F(z_1,z₂)<=--e, где z₁=R(u₁), z₂=R(u₂); u₁,u₂ОU; z₁,z₂ОF.

Задача определения решения z из пространства F по «исходным данным» и из пространства U называется корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U), если удовлетворяются требования (условия): квазирешение регуляризирующий алгебраический уравнение

1) для всякого элемента и ОU существует решение z из пространства F,

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (F, U). В математической литературе длительное время существовала точка зрения, согласно которой всякая математическая задача должна удовлетворять этим требованиям .

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными.

Следует отметить, что определение некорректно поставленных задач относится к данной паре метрических пространств (F, U), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной .

Задача нахождения приближенного решения некорректно поставленной задачи вида

Az = и, иО U, (1; 3,1)

в естественном классе элементов F является практически недоопределенной. Эта задача является некорректно поставленной, например, в случаях, когда А -- вполне непрерывный оператор. Тогда обратный ему оператор A^-1 вообще говоря, не будет непрерывным на U и решение уравнения (1; 3,1) не будет устойчивым к малым изменениям правой части и (в метрике пространства U). Исходными данными здесь являются правая часть уравнения u и оператор А.

Предположим, что оператор А нам известен точно, а правая часть уравнения (1; 3,1) известна с точностью d, т. е. вместо ее точного значения u_T нам известны элемент и¹ и число d такие, что r_U(u_T,u¹)<=--d. По этим данным, т. е. по (u¹, d), требуется найти такой элемент z_d , который стремился бы (в метрике F) к z_T при d®0. Такой элемент мы будем называть приближенным (к z_T) решением уравнения Az = и¹.

Элементы zОF, удовлетворяющие условию r_U(Az, и¹)<=--d, будем называть сопоставимыми по точности с исходными данными (и¹, d). Пусть Q_d--совокупность всех таких элементов z ОF. Естественно приближенные решения уравнения Az=и¹ искать в классе Q_d элементов z , сопоставимых по точности с исходными данными

(и¹,--d ).

Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком широк. Среди этих элементов есть такие, которые могут сильно отличаться друг от друга ( в метрике пространства F ). Поэтому не все элементы класса Q_d можно брать в качестве приближенного решения уравнения (1;3,1).

2. МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ

Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на использовании дополнительной информации относительно решения. Возможны различные типы дополнительной информации.

В первой категории случаев дополнительная информация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до компактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй категории случаев для нахождения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, используется лишь качественная информация о решения (например, информация о характере его гладкости).

В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора, имеющий широкое практическое применение, метод квазирешения, а также метод замены исходного уравнения близким ему и метод квазиобращения. В качестве некорректно поставленной задачи мы будем рассматривать задачу решения уравнения

Az=u (2; 0,1)

относительно z, где uОU, zОF, U и F--метрические пространства. Оператор А отображает F на U. Предполагается, что существует обратный оператор А^-1, но он не является, вообще говоря, непрерывным.

Уравнение (2; 0,1) с оператором А, обладающим указанными свойствами, будем называть операторным уравнением первого рода, или, короче,-- уравнением первого рода.

2.1 Метод подбора решения некорректно поставленных задач

Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (2; 0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов z некоторого заранее заданного подкласса возможных решений М (МОF) вычисляется оператор Az, т. е. решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент z₀ из множества М, на котором невязка r_U(Az,u) достигает минимума, т. е.

r_U(Az₀,u)=inf r_U(Az,u)

zОM

Пусть правая часть уравнения (2;0,1) известна точно, т. е. и=u_T, и требуется найти его решение z_T. Обычно в качестве М берется множество элементов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством конечномерного пространства. Если искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) принадлежит множеству М, то и достигается эта нижняя граница на точном решении z_T. Если уравнение (2;0,1) имеет единственное решение, то элемент z₀, минимизирующий r_U(Az,и), определен однозначно.

Практически минимизация невязки r_U(Az,и) производится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возможности как угодно приблизиться к искомому точному решению.

Пусть {z_n} -- последовательность элементов, для которой r_U(Az_n,u)--®0 при n®Ґ. При каких условиях можно утверждать, что при этом и r_F(z_n,z_T)--®0, т. е. что {z_n} сходится к z_T?

Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.

Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требований, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и z_n®z_T. Эти требования заключаются в компактности множества М и основываются на приводимой ниже известной топологической лемме.

Лемма. Пусть метрическое пространство F отображается на метрическое пространство U и Uo -- образ множества Fo, FoМ F, при этом отображении. Если отображение F®U непрерывно, взаимно однозначно и множество Fo компактно на F, то обратное отображение Uo®Fo множества Uo на множество Fo также непрерывно по метрике пространства F.

Доказательство. Пусть z -- элементы множества F (zОF), а u--элементы множества U (uОU). Пусть функция u=j(z) осуществляет прямое отображение F®U, а функция z=y(u)--обратное отображение U®F.

Возьмем произвольный элемент u₀ из Uo. Покажем, что функция y(u) непрерывна на u₀. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число e₁ > 0, что для всякого d > 0 найдется элемент и¹ из Uo, для которого r_U(и¹, и₀) <d, в то время как r_F(z¹,z₀)>=--e₁. Здесь z=y(u¹), z₀=y(u₀) и z¹ОFo, z₀ОF₀.

Возьмем последовательность {d_n} положительных чисел d_n , сходящуюся к нулю при ﮥ. Для каждого d_n найдется элемент u_n¹ из Uo, для которого r_U(и_n¹, и₀)< d_n , но r_F(z_n¹,z₀)>=--e₁ , где z_n¹=y(u_n¹). Очевидно, последовательность {u_n¹} сходится к элементу u₀. Так как z_n¹ принадлежат компактному на F множеству Fo, то из последовательности {z_n¹} можно выбрать подпоследовательность {Z¹n_k}, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z₀ ОF. При этом z₀¹№z₀ , так как для всякого n_k r_F(Z¹n_k,z₀)>=--e₁ , следовательно и r_F(z¹₀,z₀)>=--e₁ . Этой подпоследовательности {Z¹n_k} отвечает последовательность элементов u¹n_k=--j (Z¹n_k) из Uo, сходящаяся к u¹₀=--j(z¹₀) и являющаяся подпоследовательностью последовательности {u¹_n}. Так как последовательность {u¹_n} сходится к и₀ =j(z₀), то u¹₀=j(z¹₀)=u₀=j(z₀) , т. е. j(z₀)=--j(z¹₀). В силу взаимной однозначности отображения F®U z¹₀=z₀, что противоречит ранее установленному неравенству z¹₀№z₀. Лемма доказана.

Эту лемму можно сформулировать короче.

Если отображение FoUo компакта Fo на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отображение UoFo также непрерывно.

Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание F^*₀ множества Fo, компактного на F, является компактом.

Таким образом, минимизирующая последовательность {z_n} в методе подбора сходится к z_T при nҐ, если:

а)z_T принадлежит классу возможных решений М;

б) множество М -- компакт.

Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части u_T мы имеем элемент u_d такой, что r_U(u_d,u_T )<=--d, причем u_d принадлежит множеству AM (образу множества М при отображении его с помощью оператора A) и М есть компакт. Пусть {d_n} -- последовательность положительных чисел таких, что d_n 0 при nоо. Для каждого п методом подбора можно найти такой элемент z^d_n , что r_U(A z^d_n ,u_d)<=d_n . Элементы z^d_n будут близки к решению z_T уравнения Az=u_T. В самом деле, при отображении с помощью непрерывного оператора образ AM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором A^-1, непрерывно на AM. Так как

rU(A zdn ,u)<=--rU(A zn ,ud)+rU(ud,uT),

то

r_U(A zdn ,uT)<=dn+d=gdn.

Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ М следует, что r_F(z^d_n ,z_T)<=--e(--g^d_n) , причем e(--g^d_n)0 при g^d_n0. Таким образом, при нахождении приближения z^d_n к z_T надо учитывать уровень погрешности d правой части u_d.

На основе изложенных соображений М. М. Лаврентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению (2; 0,1) задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения u=u_T существует единственное решение z_T уравнения (2; 0,1), Az_T=u_T, принадлежащее заданному компакту М. В этом случае оператор А^-1 непрерывен на множестве N=AM и, если вместо элемента u_T нам известен элемент u_d такой, что r_U( u_T, u_d)<=d и u_dОN, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= u_d можно взять элемент z_d=A^-1u_d . При d0 (u_dОN) z_d будет стремиться к z_T. Множество F₁ (F₁ М F), на котором задача нахождения решения уравнения (2; 0,1) является корректно поставленной, называют классом корректности. Так, если оператор А непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит z_T, является классом корректности для уравнения (2; 0,1). Таким образом, если задача (2; 0,1) корректна по Тихонову и правая часть уравнения uОAM, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ.

Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(2;1,1)

на множестве М₁ монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множество M₁ -- компакт в пространстве L₂.

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z₁(s), z₂(s), .... z_n(s), ...} из M₁. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

E₁ = {Zn1 (s), Zn2 (s), ..., Znk (s), ...},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M₁, z*(s)--ОL₂, такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости подпоследовательности Е₁ к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как известно, сходимость подпоследовательности E₁ к функции z*(s) по метрике L₂.

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М₁ уравнения (2; 1,1) с приближенно известной правой частью u¹ О АМ₁ можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u¹ . Эта последняя задача эквивалентна задаче нахождения на множестве M₁ функции, минимизирующей функционал

N[z,u1]=|| A₁z - u¹ ||²_L2 .

Пусть r_U(u_T, u¹)<=--d. Тогда, очевидно, в качестве приближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию z_d, для которой

|| A₁z_d - u¹ ||²_L2<= d² . (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A₁z интегральной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозначить значения искомой функции в узловых точках через z_i , то задача построения приближенного решения уравнения (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномерного вектора, минимизирующего функционал N[z,и¹] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы корректности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позволяет найти приближение к квазирешению. В следующем параграфе вопрос о квазирешении рассматривается подробнее.

2.2 Квазирешения

Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) -- вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым изменениям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

z=A^-1u (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда решение ищется на компакте ММF и правая часть уравнения принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, позволяющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и_T нам известно ее приближенное значение u¹, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как символ А^-1u может не иметь смысла.

Стремление устранить затруднения, связанные с отсутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) -- обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹ОМ, минимизирующий при данном и функционал r_U(Az¹,и) на множестве М, называется квазирешением уравнения (2; 0,1) на М,

Если М -- компакт, то квазирешение, очевидно, существует для любого иОU и если, кроме того, иОAM, то квазирешение z¹ совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство



Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uОU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непрерывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z¹ -- квазирешение и и¹=Аz¹. Очевидно, и¹ есть проекция элемента u на множество N = AM. По условию теоремы она определяется однозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности отображения множества М на множество N, следует единственность квазирешения z¹.

Очевидно, что z¹ = А^-1u=А^-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А^-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А^-1P -- непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z¹ непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восстанавливаются все условия корректности, т. е. задача нахождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некоторое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квазирешений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в следующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, однородное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Доказательство. Пусть z¹ -- квазирешение и u¹=Az¹. Так как множество М выпукло, то в силу линейности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и¹ есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется однозначно. Далее доказательство завершается, как в теореме 1.

Пусть F и U -- гильбертовы пространства, МОS_R -- шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А -- вполне непрерывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) можно представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) j_n оператора А*А, где А* -- оператор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А -- самосопряженный положительный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть l₁>=l₂>=…>=l_n>=… -- полная система его собственных значений, a j₁,--j₂,…,--j_n,…--отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

(2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3. Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве SR выражается формулами:

(2;2,3)

Если

(2;2,4)

и

если

(2;2,5)

Здесь b -- корень уравнения

(2;2,6)

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

--r_U² (Az, u) == (Az -- u, Az -- u) (2;2,7)

где (v,w ) -- скалярное произведение элементов v и w из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

A*Az=A*u. (2;2,8)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {j_n}:

(2;2,9)

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим с_n=b_n/l_n. Следовательно, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||<R и речь идет о нахождении безусловного экстремума функционала (2; 2,7). Ряд (2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на условные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||² = R². Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) + b (z, z),

а последняя -- к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||² = R² , которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3 Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в бесконечномерном пространстве. Для приближенного нахождения квазирешения естественно переходить к конечномерному пространству. Можно указать достаточно общий подход к приближенному нахождению квазирешений уравнения (2; 0,1) , в котором А--вполне непрерывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. достаточные условия существования единственного квазирешения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М -- выпуклый компакт и сфера в пространстве U строго выпукла. Пусть

M₁ М--M_2--М...М--M_n М...

-- возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М_n такая, что замыкание их объединения совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) существует на каждом множестве М_n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т_n совокупность всех квазирешений на множестве М_n .

Покажем, что в качестве приближения к квазирешению z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т_n . При этом

Пусть N_n = АМ_n и В_n -- множество проекций элемента и на множество N_n . Очевидно, что В_n = АТ_n и N₁ Н N₂ Н …Н N_n; тогда

r U(u,N1)>= …>=r U (u,Nn)>=… r U (u,N)= r U (u,Az1) . (2;3,1)

Так как множество всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n₀(e), что для всех п >n₀(e)

rU(u,Nn)<--rU(u,N)+--e (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

(2;3,3)

Поскольку то

(2;3,4)

Каждое множество В_n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта N_n. Поэтому в В_n найдется такой элемент у_n , что

r_U(y_n ,u) = inf r_U(y,u)

yОB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую N, так как N -- компакт. Пусть у₀ -- какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} -- подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.



Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

rU(u,y0)=--r_U(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀=Az¹.

Так как у₀ -- произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к Аz¹. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению можно брать любой элемент z¹_n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_nz* при nҐ.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квазирешения на компакте М сводится к минимизации функционала r_U(Az, u) на множестве М_п , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4 Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству N=AM, изучались М. М. Лаврентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части u--ОU. В простейшем случае это делается следующим образом.

Пусть F--єU--єН -- гильбертовы пространства, А -- линейный, ограниченный, положительный и самосопряженный оператор, S_R є {х, ||x||<=R, xОF} есть шар радиуса R в пространстве F, В -- вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В качестве класса корректности М берется множество D_R=BS_R -- образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R. Уравнение (2; 0,1) заменяется уравнением

(A+aE)z є Az+az=u (2:4,1)

где a>0 - числовой параметр. Решение уравнения

z_a=(A+aE)^-1u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е -- единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения r_F(z_T,z_d) приближенного решения от точного можно использовать модуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u₁, u₂ О N и r_U(u₁,u₂)<=_--d. Тогда

w(d,N)= sup r_F(A^-1u₁,A^-1u₂).

u₁,u₂ ОN

Очевидно, что если r_U(u_T,u_d)<= d и z_d=A^-1u_d , то

r_F(z_T,z_d)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,D_R) = sup || z ||, то легко D_R получить оценку уклонения z_a от z_T. Очевидно, что

|| z_a - z_T ||<=||z_a¹ - z_T|| + ||z_a - z_a¹||, (2;4,3)

Где z_a¹=(A + aE)^-1u_T.

Следовательно,

||za - zT||<=w(d,DR) + d/a. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,D_R) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение параметра w как функцию d, при котором правая часть в неравенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2.5 Метод квазиобращения

Известно, что задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вдаваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в.

Рассмотрим прямую задачу. Пусть D -- конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁, x₂, ..., x_n), ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S, a t -- время. Пусть, далее, j(x) -- заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в нахождении решения u=u(x,t) уравнения

(2;5,1)

в области G є {x О D, t > 0}, удовлетворяющего граничным условиям

u(х, t) =0 при xОS (2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)=--j(x). (2; 5,3)

Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ОC отвечает решение задачи (2; 5,1)-- (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t;--j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х) по известной функции u(х,t;--j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате измерений и, следовательно, известна приближенно. Будем полагать, что uОL₂. Такая функция может и не соответствовать никакой «начальной» функции j(х). Таким образом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), определенная в области D, y(x)--ОL₂. На функциях j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

f₀=inf f(j)

jОC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи -- выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0.

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

u(x, t) = 0 для х О S, 0 < t < T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при заданной функции y(x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀=0 . Поэтому рассматривается задача нахождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа e > 0 найти функцию je(x), на которой f (je)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вместо оператора теплопроводности находится «близкий» ему оператор В_a , для которого задача с обращением отсчета времени

Baua = 0, x О D, t < Т, a > 0;

ua (x,T)=--y(x);

u_a (x,t) = 0 для xО S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=u_a(x,0). Обычно в качестве оператора В_a берут оператор и решают прямую задачу

xО D, t<T, a>0;

ua (x,T)=--y(x);

u_a (x,t) = 0 для xО S, 0< t<= Т

Du_a=0 для xО S, 0< t<= Т.

Затем полагают

j (x)=ua(x,0).

Следует отметить, что u_aне сходится в обычном смысле при a--_.

3. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изменения правой части уравнения

Аz= u, (3; 0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выводить за пределы множества AF -- образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А известен точно.

3.1 Понятие регуляризирующего оператора

Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор A^-1 не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

Пусть z_T есть решение уравнения Az =u_T, т. е. Az_T=u_T. Часто вместо u_T мы имеем некоторый элемент u_d и известное число d > 0 такие, что r_U(u_d,u_T)<=--d, т. е. вместо точных исходных данных (u_T,А) мы имеем приближенные исходные данные (u_d, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исходным данным (u_d, A, d) найти приближение z_d к элементу z_t, обладающее свойством устойчивости к малым изменениям u_d. Очевидно, что в качестве приближенного решения z_d уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= u_d, т. е. элемент z_T, определяемый по формуле

z_d=A^-1 u_d

так как оно существует не для всякого элемента u--ОU и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.

Числовой параметр d характеризует погрешность правой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить z_d с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с погрешностью d исходных данных u_d . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при d0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части u_d уравнения (3; 0,1) к точному значению u_T, приближенное решение z_d стремилось бы (в метрике пространства F) к искомому точному решению z_t уравнения Az_T =u_T.

Пусть элементы z_T О F и u_T--О U связаны соотношением Az_T = u_T.

Определение 1. Оператор R(и,--d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно элемента u_T), если он обладает свойствами:

1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого u_dОU такого, что

rU(ud,uT)<=--d;

2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, u_d)<=d1 такое, что из неравенства

r_U(u_d,u_T)<=--d<=----d0;

следует неравенство

rF(zd,zT)<=--e,

Где zd=R(ud,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u,d). Через z_d обозначается произвольный элемент из множества {R(u_d,d)} значений оператора R(u_d,d).

В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).

Определение 2. Оператор R(u,--a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно элемента u_T), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числа d1>0,--a1>0, что оператор R(u,--a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0,--a1), и любого uОU, для которого

rU(u,uT)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u,--d), определенный на множестве Ud₁є{u;--r(u,u_T)<=--d1} элементов иОU, что для любого e > 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u¹ОU и r_U(u¹,u_T)<=--d<=--d(e), то

rF(za,zT)<=--e ,

где za=R(u1,--a(u1,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u¹,--a(u¹,d)). Следует отметить, что при a= d получаем определение 1 .

Если rU(ud,uT)<=--d, то известно, что в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с приближенно известной правой частью ud можно брать элемент za=R(d,--a), полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u,--a--), где a=a(ud)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных ud. Это решение называется регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр a называется параметром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласованного с погрешностью исходных данных ud , a=a(ud), определяет устойчивый к малым изменениям правой части и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что rU(ud,uT)<=--d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(ud),

...