Понятие приближенного решения некорректно поставленных задач
Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач. Метод подбора решения некорректно поставленных задач и приближенное нахождение квазирешений. Понятие регуляризирующего оператора и особенности систем линейных алгебраических уравнений.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 23.04.2014 |
Размер файла | 182,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
что при d0 регуляризованное решение R(ud,a(ud)) стремится (в метрике F) к искомому точному решению zT, т. е. rF(zT,za(ud)). Это и оправдывает предложение брать в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) регуляризованное решение.
Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изменениям правой части, сводится:
а) к нахождению регуляризирующих операторов;
б) к определению параметра регуляризации a по дополнительной информации о задаче, например, по величине погрешности, с которой задается правая часть ud.
Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.
3.2 О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений: малым изменениям правых частей таких систем могут отвечать большие (выходящие за допустимые пределы) изменения решения.
Рассмотрим систему уравнений
Аz=u, (3; 2,1)
где А -- матрица с элементами aij, А ={aij}, z -- искомый вектор с координатами zj , z={zj}, и -- известный вектор с координатами иi ,u= {ui}, i, j =1, 2, ..., п. Система (3; 2,1) называется вырожденной, если определитель системы равен нулю, detA = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.
Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным установить, является ли заданная система уравнений вырожденной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть неразличимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.
В практических задачах часто правая часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az=и такой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).
В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz= и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz=и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:
что надо понимать под приближенным решением системы (3; 2,1) в описанной ситуации?
Среди «возможных точных систем» могут быть и вырожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?
Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем уравнений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных решений систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).
В основе построения таких методов лежит идея «отбора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.
Неотрицательный функционал W[ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F1 множества F, называется стабилизирующим функционалом, если:
а) элемент zT принадлежит его области определения;
б) для всякого числа d>0 множество F1,d элементов z из F1 , для которых
W[ z ]<=d, компактно на F.
Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче -- СЛАУ)
Аz =u, (3; 2,2)
в которой z и u--векторы, z=(z1, z2, ...,zn)--ОRn, и=(u1,u2, ...,un)--ОRm, А--матрица с элементами aij, А = {aij}, где j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., т, и число п не обязано быть равным числу т.
Эта система может быть однозначно разрешимой, вырожденной (и иметь бесконечно много решений) и неразрешимой.
Псевдорешением системы (3; 2,2) называют вектор z, минимизирующий невязку || Az - u || на всем пространстве Rn. Система (3; 2,2) может иметь не одно псевдорешение. Пусть FA есть совокупность всех ее псевдорешений и z1 -- некоторый фиксированный вектор из Rn, определяемый обычно постановкой задачи.
Нормальным относительно вектора z1 решением системы (3;2,2) будем называть псевдорешение z0 с минимальной нормой || z - z1 ||, т. е. такое, что
|| z0 - z1 || =
Здесь . В дальнейшем для простоты записи будем считать z1= 0 и нормальное относительно вектора z1=0 решение называть просто нормальным решением.
Для любой системы вида (3; 2,2) нормальное решение существует и единственно.
Замечание 1. Нормальное решение z° системы (3;2,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z--z1. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми.
Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожденной системы (3; 2,1) равен r < n и zr+1,zr+2, … , zn-- базис линейного пространства NA, состоящего из элементов z, для которых Аz=0, NA = {z; Аz= 0}. Решение z° системы (3; 2,1), удовлетворяющее n--r условиям ортогональности
(z0 - z1, zS)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)
определяется однозначно и совпадает с нормальным решением.
Нетрудно видеть, что задача нахождения нормального решения системы (3; 2,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А -- симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием
z = Vz*, u = Vu*
ее можно привести к диагональному виду и преобразованная система будет иметь вид
lizi*=ui* , i= 1, 2,. .., п,
где li -- собственные значения матрицы А.
Если симметричная матрица А -- невырожденная и имеет ранг r, то n - r ее собственных значений равны нулю. Пусть
li№0 для i=1, 2, ..., r;
и
li=0 для i=r+1,r+2, …, n.
Полагаем, что система (3; 2,2) разрешима. При этом ui*= 0 для i =r + 1, ..., n.
Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их приближения А и u:
|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом
(3;2,4)
Пусть li -- собственные значения матрицы А. Известно, что они непрерывно зависят от А в норме (3; 2,4). Следовательно, собственные значения lr+1 , lr+2, …,ln могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h.
Если они не равны нулю, то
zi*=.
Таким образом, найдутся возмущения системы в пределах любой достаточно малой погрешности А и и, для которых некоторые zi* будут принимать любые наперед заданные значения. Это означает, что задача нахождения нормального решения системы (3; 2,2) является неустойчивой.
Ниже дается описание метода нахождения нормального решения системы (3; 2,2), устойчивого к малым (в норме (3; 2,4)) возмущениям правой части и, основанного на методе регуляризации.
3.3 Метод регуляризации нахождения нормального решения
Пусть z° есть нормальное решение системы
Аz = и. (3; 3,1)
Для простоты будем полагать, что приближенной может быть лишь правая часть, а оператор (матрица) А -- точный.
Итак, пусть вместо и мы имеем вектор и, || и -- и || <=d--; т. е. вместо системы (3;3,1) имеем систему
Аz = u. (3; 3,2)
Требуется найти приближение zd к нормальному решению системы (3;3,1), т. е. к вектору z° такое, что zd z° при d 0. Отметим, что векторы u и u (один из них или оба) могут не удовлетворять классическому условию разрешимости.
Поскольку система (3; 3,1) может быть неразрешимой, то inf ||Az-u|| = m >=0, где inf берется по всем векторам z О Rn.
Естественно искать приближения zd в классе Qd векторов z, сопоставимых по точности с исходными данными, т. е. таких, что || Az - u ||<=m+d. Но поскольку вместо вектора u мы имеем вектор u, то мы можем найти лишь
m=inf || Az - u ||.
zО Rn
Отметим, что из очевидных неравенств
||Az - u ||<=||Az - u || + || u - u || ,
||Az - u ||<= || Az - u || + ||u - u ||
следуют оценки m<=m+d, m<=m+d, приводящие к неравенству | m -- m | <=d. Поэтому будем искать приближение zd к нормальному решению z° в классе Qd векторов z, для которых || Аz -- и || <=m +2d. Отметим, что если имеется информация о разрешимости системы (3;3,1), то m = 0 и в качестве класса Qd можно брать класс векторов z, для которых || Аz -- и|| <= d. Класс Qd есть класс формально возможных приближенных решений.
Но нельзя в качестве zd брать произвольный вектор из класса Qd, так как такое «приближение» будет неустойчивым к малым изменениям правой части уравнения (3;3,2). Необходим принцип отбора. Он естественным образом вытекает из постановки задачи. В самом деле согласно определению нормального решения искомое решение z° должно быть псевдорешением с минимальной нормой. Поэтому в качестве приближения к z° естественно брать вектор zd из Qd, минимизирующий функционал W[ z ] = ||z||2 на множестве Qd.
Таким образом, задача сводится к минимизации функционала W[ z ] = ||z||2 на множестве Qd векторов z, для которых выполняется условие || Аz -- u || <=m +2d.
Пусть zd -- вектор из Qd, на котором функционал ||z||2 достигает минимума на множестве Qd. Его можно рассматривать как результат применения к правой части u уравнения (3; 3,2) некоторого оператора R1(u,--d), зависящего от параметра d. Справедлива
Теорема 1. Оператор R1(u,--d) обладает следующими свойствами:
1) он определен для всякого uОRm и любого d > 0;
2) при d 0 zd== R1(u,--d) стремится к нормальному решению z° уравнения Аz=u, т. е. он является регуляризирующим для уравнения Аz=u .
Пусть --zd -- вектор, на котором функционал W[ z ] = ||z||2 достигает минимума на множестве Qd. Легко видеть из наглядных геометрических представлений, что вектор zd лежит на границе множества Qd, т.е. ||Azd - u ||=m +2d =d1.
Это следует непосредственно также из того, что функционал W[ z ] = ||z||2 является сстабилизирующим и квазимонотонным. Стабилизирующий функционал W[ z ] называется квазимонотонным , если каков бы ни был элемент z из F1 , не принадлежащий множеству M0 , в любой его окрестности найдется элемент z1 из F1, для которого W[ z1 ]<--W[ z ], т.е. если функционал не имеет локальных минимумов на множестве F1\ M0.
Задачу нахождения вектора zd можно поставить так: среди векторов z, удовлетворяющих условию ||Az - u ||=m +2d , найти вектор zd с минимальной нормой, т. е. минимизирующий функционал W[ z ]=||z||2.
Последнюю задачу можно решать методом Лагранжа, т. е. в качестве zd брать вектор za, минимизирующий функционал
Мa [z, u] = ||Az - u ||2+--a||z||2, a>0,
с параметром a, определяемым по невязке, т. е. из условия ||Аza-- u||=d1. При этом параметр a определяется однозначно .
Поскольку Мa [z, u] -- квадратичный функционал, то для любых u--ОRm и a> 0 существует лишь один минимизирующий его вектор za. В самом деле, допустим, что существуют два вектора za и za, минимизирующие его. Рассмотрим векторы z, расположенные на прямой (пространства Rn), соединяющей za и za:
z = za + b(--za - za).
Функционал Мa [z, u] на элементах этой прямой есть неотрицательная квадратичная функция от b. Следовательно, она не может достигать наименьшего значения при двух различных значениях b: b = 0 (z = za) и b=1 (z = za).
Компоненты zja вектора za являются решением системы линейных алгебраических уравнений
получающихся из условий минимума функционала Мa [z, u]:
Здесь
Компоненты zja могут быть определены и с помощью какого-нибудь другого алгоритма минимизациифункционала Мa [z, u].
Вектор za можно рассматривать как результат применения к u некоторого оператора za=R(u, a), зависящего от параметра a.
Покажем, что оператор R0(u, a) является регуляризирующим для системы (3;3,1), т. е. обладает свойствами 1) и 2) определения 2 (см. 3.1.2.). В п. 3.3.2. было сказано, что он определен для всяких u--ОRm и a > О и, следовательно, обладает свойством 1). Теперь покажем справедливость свойства 2), т. е. существование таких функций a=a(d) , что векторы za(d) = R0(u, a(d)) сходятся к нормальному решению z° системы (3; 3,1) при d0. Это непосредственно следует из приводимой ниже теоремы 2.
Теорема 2( Тихонова). Пусть z° есть нормальное решение системы Az= u и вместо вектора u мы имеем вектор u такой, что ||u--u||<=d. Пусть, далее, b1(d) и b2(d) -- какие-либо непрерывные на [0, d2] и положительные на (0,--d2] функции, монотонно стремящиеся к нулю при d 0 и такие, что
Тогда для любой .положительной на (0, d2] функции a=a(d) , удовлетворяющей условиям
векторы za(d) = R0(u, a(d)) сходятся к нормальному решению z0 системы Az = u при d0, т. е.
Примечание. Доказательства теорем в данном разделе опущены, т.к. основной теоретической частью работы является раздел «Метод Подбора. Квазирешения». Метод Тихонова описан из-за использования его в численном эксперименте.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для реализации численного примера был выбран метод Тихонова решения плохо обусловленных СЛАУ. В качестве исходной была взята СЛАУ Az=u, имеющая в матричной записи вид:
Определитель матрицы коэффициентов этой системы близок к нулю - он равен 0.000125. Попробуем решить эту систему с помощью обратной матрицы:
z=A-1u
Получим z1=316
z2=-990
z3=832
Теперь предположим, что правая часть нам известна приближенно, с погрешностью 0.1 Изменим, к примеру, третий элемент вектора-столбца с 1 на 1.1 :
Попробуем решить новую систему также с помощью обратного оператора. Мы получаем другой результат:
z1=348
z2=-1090
z3=916.
Мы видим, что малому изменению правой части данной системы отвечают весьма значительные изменения решения. Очевидно, эта система - плохо обусловленная, и здесь не может идти речи о нахождении решения близкого к точному с помощью обратного оператора.
Будем искать решение методом Тихонова. В теоретической части было показано, что целесообразно использовать регуляризирующий оператор следующего вида:
(aE + ATA)za=ATud ,
где E - единичная матрица, za------приближенное нормальное решение, AT - транспонированная исходная матрица, a------параметр регуляризации,
ud -- --правая часть, заданная неточно. Эту задачу можно решать стандартными методами, задав предварительно функцию a=a(d)--,--удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. В моем примере это функция a(d)=d/4d.--Далее будем решать регуляризованную задачу с точностью e=_.001 ,последовательно изменяя значения a.
В качестве контр-примера можно подставить в программу любую функцию a(d) , не удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. Любая положительная функция монотонно возрастающая, не обладающая свойством a(d)0 при d0, не будет минимизировать невязку.
Текст программы приведен в приложении 1. Полная распечатка результатов приведена в приложении 2. Здесь же представлены окончательные значения на выходе из программы.
Приближение к нормальному решению
Z(1)= 3.47834819174013E+0002
Z(2)=-1.08948394975175E+0003
Z(3)= 9.15566443137791E+0002
Значение правой части при подстановке прибл. решения
U1(1)= 9.99997717012495E-0001
U1(2)= 1.00000741970775E+0000
U1(3)= 1.09948402394883E+0000
Значение параметра регуляризации:
2.61934474110603E-0010
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Текст программы для реализации метода Тихонова на языке PASCAL
Uses CRT;
type
real=extended;
const
matrixA: array[1..3,1..3] of real = ((-19/20,1/5, 3/5),
(-1 ,0.1, 0.5),
(-0.01 ,0 ,1/200));
One: array [1..3,1..3] of real = ((1,0,0),
(0,1,0),
(0,0,1));
U:array[1..3] of real = (1,1,1.1);
var
i,j,k,q:byte;
A,At,A1,A2,Ar,One1:array[1..3,1..3] of real;
delta,Det,S,alpha:real;
B,Z,U1:array[1..3] of real;
f:text;
Procedure TransA;
begin
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
At[i,j]:=A[j,i]
end;
Function Koef(par1,par2:byte):real;
var
Sum:byte;
Tmp:real;
begin
Sum:=par1+par2;
Tmp:=1;
for k:=1 to sum do
Tmp:=Tmp*(-1);
Koef:=Tmp;
end;
Function AlAdd(par1,par2:byte):real;
type
element=record
value:real;
flag:boolean;
end;
var
BB:array[1..2,1..2] of real;
AA:array[1..3,1..3] of element;
k,v,w:byte;
N:array[1..4] of real;
P1:real;
begin
for v:=1 to 3 do
for w:=1 to 3 do begin
AA[v,w].value:=A2[v,w];
AA[v,w].flag:=true
end;
for v:=1 to 3 do AA[par1,v].flag:=false;
for v:=1 to 3 do AA[v,par2].flag:=false;
{ for v:=1 to 3 do begin
for w:=1 to 3 do write(AA[i,j].value:2:3,' ');
writeln
end; }
k:=1;
for v:=1 to 3 do
for w:=1 to 3 do
begin
if AA[v,w].flag then
begin
N[k]:=AA[v,w].value;
{ writeln(N[k]);}
k:=k+1
end;
end;
BB[1,1]:=N[1]; BB[1,2]:=N[2];
BB[2,1]:=N[3]; BB[2,2]:=N[4];
{writeln('alg dop',par1,par2,' ',BB[1,1]*BB[2,2]-BB[1,2]*BB[2,1]);}
AlAdd:=BB[1,1]*BB[2,2]-BB[1,2]*BB[2,1];
end;
Function DetCount:real;
var
S1:real;
z:byte;
begin
S1:=0;
for z:=1 to 3 do S1:=S1+A2[1,z]*Koef(1,z)*AlAdd(1,z);
DetCount:=S1;
end;
Procedure RevMatr;
begin
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
Ar[j,i]:=Koef(i,j)*AlAdd(i,j)/DetCount;
{ for i:=1 to 3 do begin
for j:=1 to 3 do write(Ar[i,j],' ');
writeln;
end;}
end;
Function AllRight:boolean;
begin
writeln(f,'Ґўп§Є Ї® 1-¬г н«-вг',(abs(U[1]-U1[1])));
writeln(f,'Ґўп§Є Ї® 2-¬г н«-вг',(abs(U[2]-U1[2])));
writeln(f,'Ґўп§Є Ї® 3-¬г н«-вг',(abs(U[3]-U1[3])));
writeln(F);
if (abs(U[1]-U1[1])<0.001) and (abs(U[2]-U1[2])<0.001) and
(abs(U[3]-U1[3])<0.001) then AllRight:=true
else AllRight:=false
end;
Function Pow(par1:real;par2:byte):real;
var
S2:real;
z:byte;
begin
S2:=1;
if par2=0 then begin
Pow:=1;
exit
end
else
for z:=1 to par2 do S2:=S2*par1;
Pow:=S2;
end;
BEGIN
clrscr;
Assign(f,'c:\tikh.txt');
Rewrite(f);
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
A[i,j]:=matrixA[i,j];
TransA;
Det:=0.000125;
{----------------------------}
for i:=1 to 3 do begin
S:=0;
for j:=1 to 3 do begin
S:=S+At[i,j]*U[j];
B[i]:=S
end;
end;
{----------------------------}
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
begin
S:=0;
for k:=1 to 3 do begin
S:=S+At[i,k]*A[k,j];
A1[i,j]:=S
end
end;
{-----------------------------}
q:=1;
repeat
alpha:=q/pow(4,q);
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
One1[i,j]:=One[i,j]*alpha;
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
A2[i,j]:=One1[i,j]+A1[i,j];
RevMatr;
{------------------------------}
for i:=1 to 3 do begin
S:=0;
for j:=1 to 3 do begin
S:=S+Ar[i,j]*B[j];
Z[i]:=S
end;
end;
for i:=1 to 3 do begin
S:=0;
for j:=1 to 3 do begin
S:=S+A[i,j]*Z[j];
U1[i]:=S
end
end;
q:=q+1;
until AllRight;
{------------------------------}
clrscr;
writeln('ЏаЁЎ«Ё¦ҐЁҐ Є ®а¬ «м®¬г аҐиҐЁо');
for i:=1 to 3 do writeln('Z(',i,')=',z[i]);
writeln;
writeln('‡ 票Ґ Їа ў®© з бвЁ ЇаЁ Ї®¤бв ®ўЄҐ ЇаЁЎ«. аҐиҐЁп');
for i:=1 to 3 do writeln('U1(',i,')=',U1[i]);
writeln;
writeln('‡ 票Ґ Ї а ¬Ґва ॣг«паЁ§ жЁЁ:');
writeln(alpha);
Close(f);
readln;
END.
Приложение 2
Распечатка результатов пересчета на каждом шаге
невязка по 1-му эл-ту 7.75620788018006E-0002
невязка по 2-му эл-ту 9.12970302562861E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.09101153877771E+0000
невязка по 1-му эл-ту 3.51667654246499E-0002
невязка по 2-му эл-ту 4.81631787337596E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.09057642915500E+0000
невязка по 1-му эл-ту 8.14255746519741E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.75271999674588E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.09024740493812E+0000
невязка по 1-му эл-ту 1.64128226088452E-0004
невязка по 2-му эл-ту 1.40420815653456E-0003
невязка по 3-му эл-ту 1.09002512985506E+0000
невязка по 1-му эл-ту 1.09651876415789E-0003
невязка по 2-му эл-ту 8.01044623892439E-0003
невязка по 3-му эл-ту 1.08980075500722E+0000
невязка по 1-му эл-ту 3.24092274239579E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.28969442769472E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.08943309314635E+0000
невязка по 1-му эл-ту 4.29878415191160E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.47864580098997E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.08840358157784E+0000
невязка по 1-му эл-ту 4.64764022304719E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.53489294761093E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.08488736141985E+0000
невязка по 1-му эл-ту 4.70263264899617E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.53524096326819E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.07252416252061E+0000
невязка по 1-му эл-ту 4.54618391386039E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.47935415193105E-0002
невязка по 3-му эл-ту 1.03007092553528E+0000
невязка по 1-му эл-ту 3.97950585276394E-0003
невязка по 2-му эл-ту 1.29378307693635E-0002
невязка по 3-му эл-ту 9.00028069734717E-0001
невязка по 1-му эл-ту 2.71895340473448E-0003
невязка по 2-му эл-ту 8.83742514077426E-0003
невязка по 3-му эл-ту 6.14624514462952E-0001
невязка по 1-му эл-ту 1.25089904346179E-0003
невязка по 2-му эл-ту 4.06552487723671E-0003
невязка по 3-му эл-ту 2.82729125073012E-0001
невязка по 1-му эл-ту 4.15581257891512E-0004
невязка по 2-му эл-ту 1.35064829843828E-0003
невязка по 3-му эл-ту 9.39264706989556E-0002
невязка по 1-му эл-ту 1.18814900667952E-0004
невязка по 2-му эл-ту 3.86149131520602E-0004
невязка по 3-му эл-ту 2.68533566153482E-0002
невязка по 1-му эл-ту 3.22671215741144E-0005
невязка по 2-му эл-ту 1.04868192738639E-0004
невязка по 3-му эл-ту 7.29267248287954E-0003
невязка по 1-му эл-ту 8.61328853146714E-0006
невязка по 2-му эл-ту 2.79931897352870E-0005
невязка по 3-му эл-ту 1.94668264668650E-0003
невязка по 1-му эл-ту 2.28298750498679E-0006
невязка по 2-му эл-ту 7.41970775380851E-0006
невязка по 3-му эл-ту 5.15976051172231E-0004
Приближение к нормальному решению
Z(1)= 3.47834819174013E+0002
Z(2)=-1.08948394975175E+0003
Z(3)= 9.15566443137791E+0002
Значение правой части при подстановке прибл. решения
U1(1)= 9.99997717012495E-0001
U1(2)= 1.00000741970775E+0000
U1(3)= 1.09948402394883E+0000
Значение параметра регуляризации:
2.61934474110603E-0010
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод Крамера в решении системы линейных алгебраических уравнений. Прикладное программное обеспечение, используемое в данном процессе. Практическое применение табличного редактора Excel, оценка его возможностей и принципы решения поставленных задач.
курсовая работа [196,0 K], добавлен 13.12.2014Системы линейных алгебраических уравнений. Код программы для решения систем линейных алгебраических уравнений. Математические и алгоритмические основы решения задачи методом Гаусса. Программная реализация решения. Алгоритмы запоминания коэффициентов.
лабораторная работа [23,5 K], добавлен 23.09.2014Изучение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с использованием табличного процессора MS Excel 2007. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Прикладное программное обеспечение, применяемое для решения СЛАУ.
курсовая работа [184,5 K], добавлен 20.11.2013Требования к языкам программирования, их эффективность, лаконичность, ясность, реальные возможности. Создание языка С#. Применение систем линейных алгебраических уравнений для практических задач, сущность и особенности метода Крамера для их решения.
курсовая работа [118,1 K], добавлен 13.11.2009Численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, определенных интегралов. Методы аппроксимации дискретных функций и методы решения задач линейного программирования.
методичка [185,7 K], добавлен 18.12.2014Рассмотрение двух способов решения систем линейных алгебраических уравнений: точечные и приближенные. Использование при программировании метода Гаусса с выбором главного элемента в матрице и принципа Зейделя. Применение простой итерации решения уравнения.
курсовая работа [879,8 K], добавлен 05.06.2012Численные методы решения задач. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Уточнение корня по методу половинного деления. Решение систем линейных уравнений методом итераций. Методы решения дифференциальных уравнений. Решение транспортной задачи.
курсовая работа [149,7 K], добавлен 16.11.2008Постановка задачи линейного программирования и формы ее записи. Понятие и методика нахождения оптимального решения. Порядок приведения задач к каноническому виду. Механизмы решения задач линейного программирования аналитическим и графическим способами.
методичка [366,8 K], добавлен 16.01.2010Методы решения систем линейных уравнений трехдигонального вида: прогонки, встречных прогонок, циклической редукции. Параллельные алгоритмы решения. Метод декомпозиции области. Основные возможности и особенности технологии CUDA. Анализ ускорения алгоритма.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 21.06.2013Использование MS Excel для математических расчетов. Описание численных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений с методами Крамера и Зейделя и с помощью табличного процессора MS Excel.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 14.02.2021Анализ методов решения разреженных недоопределенных систем линейных алгебраических уравнений с помощью эффективных алгоритмов, основанных на декомпозиции линейных систем и учете их сетевых свойств. Использование встроенных методов пакета Mathematica.
курсовая работа [4,2 M], добавлен 22.05.2014Применение итерационных методов численного решения системы линейных алгебраических уравнений при вычислении на ЭВМ. Математические и алгоритмические основы решения задачи, метод Гаусса. Функциональные модели и блок-схемы, программная реализация решения.
курсовая работа [527,5 K], добавлен 25.01.2010Решение системы линейных уравнений методами деления отрезка пополам, Гаусса и подбора параметров. Формализация задач при моделировании; построение математических, алгоритмических и программных моделей задач с помощью электронных таблиц Microsoft Excel.
лабораторная работа [1,4 M], добавлен 21.07.2012Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса, его этапы. Система уравнений для определения коэффициентов сплайна, представляющая собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений. Программная реализация, тестовый пример.
курсовая работа [431,8 K], добавлен 15.06.2013Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя. разработка программы для решения СЛАУ с произвольным количеством уравнений. Реализация методов Зейделя и простых итераций для получения вектора решений СЛАУ.
курсовая работа [25,0 K], добавлен 20.11.2008Метод Гаусса-Зейделя как модификация метода Якоби, его сущность и применение. Разработка программы решения системы линейных алгебраических уравнений на языке VB, проверка правильности работы программы в MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab.
курсовая работа [325,5 K], добавлен 27.10.2013Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Решение задачи математическим методом. Блок-схема алгоритма и листинг программы. Расчет трудоемкости разработки программы. Расчет себестоимости и цены программы.
дипломная работа [144,8 K], добавлен 25.04.2012Краткое описание этапов разработки программного продукта. Анализ поставленных задач и определение основных функций программы. Разработка пользовательского интерфейса. Составление программной документации. Техническое задание на разработку проекта.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 06.04.2013Выполнение арифметических операций с помощью вспомогательных переменных, которые позволяют вычислить искомую переменную. Использование оператора цикла с предусловием и полной формы условного оператора. Примеры решения задач на работу с двумерным массивом.
курсовая работа [518,8 K], добавлен 07.03.2014Объектно-ориентированное программирование: основная идея, сопровождение, модификация, термины и положения. Понятие объекта как логической единицы, правила (методы) обработки данных. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
курсовая работа [125,1 K], добавлен 22.04.2009