Проблема Ляпунова в задачах синтезу нелінійних систем керування

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ім. В.М. ГЛУШКОВА

ЗАДОРОЖНИЙ Володимир Фотійович

УДК 519.21

ПРОБЛЕМА ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗУ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова Національної академії наук України.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент Національної академії наук України,

Чикрій Аркадій Олексійович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, завідувач відділом

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент Національної академії наук України,

Мельник Валерій Сергійович, Інститут прикладного системного аналізу Міносвіти та науки України і Національної академії наук України, завідувач відділом,

доктор фізико-математичних наук, професор

Онопчук Юрій Миколайович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова Національної академії наук України, завідувач відділом,

доктор фізико-математичних наук, професор

Карась В'ячеслав Ігнатович, Національний науковий центр Харківський фізико-технічний інститут , завідувач лабораторії.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. За останні десятиліття набула широкого розвитку теорія оптимальних процесів, предметом дослідження якої є задача керування динамічними системами. Серед проблем оптимального керування важливе місце посідає задача синтезу оптимальних керувань і, зокрема, задача стабілізації заданого руху. проблема ляпунов нелінійний керування

У перших роботах О.М.Летова (1961), М.М.Красовського (1963) і В.І.Зубова (1963) показано, що ця проблематика є подальший розвиток проблеми стійкості в застосуванні до керованих систем. Методи дослідження проблем стійкості тісно пов'язані з проблемами оптимального синтезу та оптимальної стабілізації. Зокрема, за висловом М.М. Красовського, метод динамічного програмування Беллмана являє собою по суті об'єднання методів варіаційного числення з другим методом Ляпунова. В цьому напрямку ведуться інтенсивні дослідження в багатьох країнах. Таким чином, другий метод Ляпунова має широке застосування не лише для якісного аналізу диференціальних рівнянь, але є також важливим при побудові оптимального синтезу динамічних керованих систем.

Існує богато журнальних статей, монографій, оглядів, у яких досліджується, розвивається і застосовується до конкретних задач другий метод Ляпунова. Цій проблемі присвячені роботи Г.Н. Четаєва, І.Г.Малкіна, В.І.Зубова, М.М.Красовського, які уже стали класичними.

У роботах В.М.Матросова, В.Лакшмікантама, Р.Беллмана, С.Лефшеца, Є.О.Барбашина, А.А.Мартинюка, М.Ф.Кириченка також запропоновані оригінальні методи побудови функції Ляпунова та показано їх застосування для аналізу та синтезу конкретних динамічних систем.

Не дивлячись на бурхливий розвиток методу функцій Ляпунова, отримані результати та застосування методу Ляпунова і його модифікацій для нелінійних систем залишають невирішеними багато питань аналізу динаміки та оцінки стану нелінійної системи керування. До них відносяться питання отримання конструктивних критеріїв стійкості, розробки алгоритмів побудови функції Ляпунова, яка б задовольняла необхідні й достатні умови стійкості, та на їх основі - методів й алгоритмів оцінок якості динамічної системи, областей притягнення, областей досягнення, оцінку множини станів системи керування. Сучасна практика проектування й експлуатації складних технічних систем ставить нові вимоги до математичних методів аналізу та оцінок - швидкість чисельних методів і достовірність одержаних результатів аналізу з урахуванням невизначених збурень.

Недостатня розробленість математичних методів якісного аналізу динамічних систем і методів оцінки стану фізичних систем, зокрема потоку заряджених частинок, гальмує розвиток прикладних аспектів теорії. Все це і визначає актуальність розв'язуваної в дисертації проблеми глобальних розв'язків рівняння Ляпунова та застосування розробленого методу до дослідження рівняння Власова. Самоузгоджене рівняння Власова є квазілінійним рівнянням в частинних похідних першого порядку, яке описує динаміку потоку заряджених частинок за умови далекодії, тобто в області де зіткненням частинок можна знехтувати. Це важливе кінетичне рівняння має широкий спектр застосувань.

У зв'язку з тим, що другий метод Ляпунова є важливим при розв'язанні задач оптимального конструювання регуляторів-проблема побудови функції Ляпунова для конкретно заданої динамічної системи є актуальною проблемою.

Проблема побудови функції Ляпунова, по суті, є проблемою знаходження розв'язків лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку, коли не виконуються умови відомої теореми Коші-Ковалевської. Таким чином, вона тісно пов'язана з проблемою знаходження спектру лінійного необмеженого оператора. Так її поставив і розв'язував О.М.Ляпунов для квазілінійних диференціальних рівнянь.

Використовуючи необхідні та достатні умови існування функції Ляпунова в області асимптотичної стійкості отримані В.І.Зубовим, необхідні та достатні умови П. Халмоша того, що оператор, що діє в гільбертовому просторі буде оператором Гільберта-Шмідта, а також умови ядерності цього оператора (М.Г.Крейн) в дисертації розвивається підхід до проблеми Ляпунова, започаткований ще самим О.М.Ляпуновим. Але, якщо ідеологічною основою розв'язання вище зазначеної проблеми у Ляпунова були спектральні властивості відповідних скінченних матриць, то в роботі подібну роль виконує спектр спеціально побудованого ядра. При цьому використовується фундаментальна властивість функціоналів на розв'язках динамічної системи бути функціоналами банахових просторів, побудованих на області притягнення. Такий підхід пов'язаний з роботами Ю.Л.Далецького та В.С.Мельника.

Використання методів функціонального аналізу дає змогу побудувати функцію Ляпунова, яка задовольняє необхідні та достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку. Більш конкретно, розширення по Фрідріхсу та теорія Хіллє-Іосіда дають змогу побудувати функцію Ляпунова, яка має похідну майже всюди.

Зауважимо, що для області ассимптотичної стійкості калібровочна функція є функцією Ляпунова, а у рівнянні Фредгольма другого роду, до якого зводиться знаходження цієї функції, інтегральний оператор є ядерним. Можливість застосування апарату нелінійного аналізу до дослідження проблеми Ляпунова дає нові можливості для більш точної побудови функцій Ляпунова. Останнє надзвичайно важливо, зокрема, при знаходженні солітоноподібних розв'язків та дивних атракторів, які мають глибокий фізичний зміст лише тоді, коли ці розв'язки асимптотично стійкі по Ляпунову.

Таким чином, з усього сказаного випливає, що функція Ляпунова є важливим параметром компактної динамічної системи і вона відіграє ключову роль, зокрема, при дослідженні стійкості таких систем, побудові синтезу керованих систем та в задачі транспорту потоку заряджених частинок, а самі вищезгадані проблеми, що розглядаються в дисертації є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати дисертації одержано в рамках виконання наукових тем Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова на замовлення міністерств і відомств, зокрема, "Розробка, якісний аналіз та чисельна реалізація методів керування динамічними системами при наявності невизначеності та конфлікту" (номер державної реєстрації Ф4/268-97), "Ігрові задачі для функціонально-диференціальних систем" (номер державної реєстрації Ф7/306-2001).

Мета і задачі дослідження, результати, які виносяться на захист.

Метою роботи є розробка методів розв'язання проблеми Ляпунова для істотно нелінійних систем і на його основі побудова конструктивних алгоритмів аналізу та синтезу динамічних систем керування.

Для досягнення цієї мети в роботі поставлені та розв'язані наступні задачі:

Отримати критерії асимптотичної стійкості положення рівноваги нелінійної динамічної системи, користуючись при цьому розв'язками рівняння Ляпунова, а не інтуїтивно-фізичними методами підбору, тобто критерії повинні задовольняти необхідні та достатні умови асимптотичної стійкості. Показати на простих прикладах їх ефективність, побудувати прямий алгоритм чисельного якісного аналізу динамічної системи на асимптотичну стійкість особливої точки.

Описати найбільш широкий клас функцій, які можуть бути функціями Ляпунова та задовольняють необхідні й достатні умови, встановити зв'язок проблеми Ляпунова з проблемою знаходження спектру динамічної системи. Дати розв'язки цих питань в термінах відомої теореми Хіллє - Іосіда для півгруп стиснення в гільбертовому просторі; дати оцінку простих і складних рухів на границі області асимптотичної стійкості.

На основі методу, розв'язання вище зазначених задач розробити алгоритми конструювання регуляторів оптимального керування і регуляторів оптимальної стабілізації з використанням - проблеми моментів.

Застосувати розроблений метод побудови функції Ляпунова та алгоритмічні критерії синтезу систем керування до задач прискорення і фокусування потоку заряджених частинок в тій області фазового простору, де їх динаміка описується системою Власова-Пуассона та системою Власова-Максвелла; сформулювати принцип конструювання електричних і магнітних полів на основі універсальності рівнянь Максвелла.

На захист виносяться методи розв'язання вище зазначених задач.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

введені функціонали спеціального вигляду на розв'язках динамічної системи в області асимптотичної стійкості, які дозволяють звести рівняння в частинних похідних першого порядку до рівнянь Фредгольма другого роду;

доведено, що функція Ляпунова - Зубова породжує ядерний оператор;

використано розширення по Фрідріхсу, для доведення принципово важливого результату про те що функція Ляпунова є елемент простору Соболєва ;

доведено, що динамічна система в області асимптотичної стійкості особливої точки породжує півгрупу стиснення в просторі Гільберта, побудованому на цій області;

проблема Ляпунова зведена до проблеми знаходження спектра однорідного рівняння Фредгольма 2-го роду і, зокрема, для простих випадків до проблеми спектра матриці Тепліця;

побудовані алгоритми аналітичного й алгоритмічного конструювання регуляторів з використанням відомої Lпроблеми моментів та одержаних критеріїв асимптотичної стійкості;

знайдені розв'язки системи рівнянь Власова-Пуассона в термінах розв'язків рівняння Фредгольма 2-го роду та приведені критерії стійкості рівнозваженого розв'язку, зокрема, знайдені електричне та магнітне поля, які стабілізують пучок на вході на брілюенівськi орбіти;

проведений синтез електромагнітних полів, які прискорюють і фокусують потік заряджених частинок, динаміка якого описується рівнянням Власова - Максвелла.

Практичне значення одержаних результатів. Метод функції Ляпунова має важливе застосування в задачах дослідження стійкості та синтезу нелінійних систем керування. Але, як і за часи О.М.Ляпунова, призастосуванні методу до конкретних задач залишається основна трудність, пов'язана з відсутністю алгоритму побудови функції Ляпунова для конкретно заданої нелінійної системи. В цьому напрямку автором розроблені ефективні способи побудови функцій Ляпунова, як розв`язок інтегрального рівняння Фредгольма, яке може бути використаним для широкого класу нелінійних систем керування без урахування їх специфіки і, таким чином, істотно полегшує розв'язок центральної проблеми побудови функції Ляпунова для конкретної системи.

Важливою проблемою є також застосування чисельних методів для побудови функції Ляпунова. В дисертації розроблені алгоритми прямого чисельного аналізу асимптотичної стійкості положення рівноваги динамічної системи; розроблені алгоритми прискорення та фокусування заряджених частинок в інтенсивному потоці з урахуванням сил Кулона; проведено розрахунок стабілізуючого магнітного поля, яке виводить потік іонів на рівнозважену орбіту Брілюена; запропонована методика розв'язків самоузгоджених рівнянь Власова.

Практичне використання отриманих в дисертації результатів. Метод аналізу динамічних систем був частково використаний для аналізу потоків електронів у плазмовій лінзі та синтезу електричних і магнітних полів, які фокусують цей потік. Робота виконувалась сумісно із співробітниками Інституту фізики НАН України. Також результати дисертації використовувалися для конструювання електричних та магнітних полів, прискорюючих і фокусуючих інтенсивні потоки заряджених частинок. Ця робота виконувалася спільно з працівниками Брюкхавенської Національної лабораторії (BNL, США).

Апробація роботи. Результати, отримані в роботі, були представлені й доповідалися на семінарах Інститутів кібернетики, математики та фізики НАН України, на семінарах Московського, Санкт-Петербурзького і Харкiвського університетів; на Міжнародних конференціях з теорії диференціальних рівнянь і динамічних систем (Canada, Univ. of Wаterloo, August 1997), диференціальні рівняння і застосування (Russіа Sankt-Petersburg, 1217,June 2000), міжнародний конгрес ``Нелинейный анализ и его приложения'' (Росія - Москва, 1--5 вересня 1998), The Second World Congress of Nonlinear Analysis (WCNA 99) ( 10--17 July,1996 in Athens, Greece) i WCNA -2000 ( 19--26, July, 2000, Catania, Italy); Particle Accelerator Conference (PAC 1990 New-York, 17--21, July ) i (PAC 2001 18--22 June, Chicago, Illionois) та European Particle Accelarator Conference (EPAC -2002, Paris, 3 7 June, 2002).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 52 друкованих працях.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних у співавторстві, співавторам належать програмні реалізації алгоритмів і фізичні постановки задач. Особистий внесок здобувача полягає у розробці методу побудови функції Ляпунова, доведенні всіх теорем і конструюванні алгоритмів, які наведені в дисертації.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел із 153 найменувань. Повний обсяг дисертаційної роботи становить 282 сторінки, з них 266 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, формулюється мета роботи, відзначається новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична та практична цінність, приводяться результати, які виносяться на захист. Наводяться дані, про використання основних результатів дисертації, їх апробація.

У першому розділі викладається суть проблеми Ляпунова та дається огляд літератури. Зроблена детальна постановка задачі, яка розв'язується в дисертації. Зокрема відзначається, що другий метод Ляпунова має широке застосування не лише для якісного аналізу диференціальних систем, але є також ефективним методом оптимального синтезу динамічних керованих систем.

Можна сказати, що другий метод Ляпунова є основним апаратом тих, хто досліджує стійкість динамічних систем, коливні рухи, проблеми керування та стабілізації. Особливо важливе використання функцій Ляпунова в проблемі синтезу оптимальних динамічних систем. На сьогоднішній день в самому методі існує проблема - проблема побудови функції Ляпунова для конкретно заданої диференціальної системи збуреного руху з нульовим положенням рівноваги. Також зібрано багато бiблiографiї щодо другого методу Ляпунова.

У даний час існує багато журнальних статей i монографій, в яких досліджується, розвивається i застосовується другий метод Ляпунова. Перелік робіт цих авторів: Г.Н.Четаєв, І.Г. Малкiн, А.І. Лур'є, Г.Н. Дубошин, В.П. Демiдович, М.М. Красовський, Є.О. Барбашин, В.І. Зубов, О.М. Летов, Р.Белман, В. Хан, С.І. Харiс i П. Мiлес, Т. Iошидзава, І.П.Ла-Салль i С.Лефшец, Л. Хатванi, М.Ф. Кириченко, В. Лакшмiкантам, А.А. Мартинюк, В.М. Матросов. Вони відображають сучасний рівень розвитку другого методу Ляпунова в якісній теорії диференціальних рівнянь. Різні способи побудови функції Ляпунова не спираються на теореми існування функції Ляпунова, а тому, згідно традиції, їх можна назвати інтуїтивними, що не зменшує ні їх роль, ні значення в розвитку методу, а також дослідженні конкретних задач.

Разом з тим, О.М.Ляпунов будував свої функції, користуючись розв'язками відповідного рівняння в частинних похідних першого порядку. Таким чином, О.М. Ляпунов зв'язав свій метод побудови функції з повним інтегралом ним же побудованого рівняння в частинних похідних першого порядку. Повний інтеграл дає загальний розв'язoк динамiчної системи і в нелiнiйному випадку це є єдиний аналiтичний спосiб побудови цього розв'язку. Крім цього, проблема синтезу оптимальних розв'язків пов'язана не з задачею Кошi, як у випадку керувань, а з загальним розв'язком керованої системи. Звiдси й складнiсть проблеми i важливiсть методу Ляпунова.

Перейдемо до викладення результатів першого розділу.

Позначимо простір векторних полів класу на компактi, .

Як відомо, векторне поле породжує однопараметричну підгрупу дифеоморфiзмiв за допомогою диференціального рівняння

, (1)

далi будемо позначати через . Тут вектор-функцiя X(x) не залежить явно від часу t, тобто будемо розглядати лише автономні системи.

В и з н а ч е н н я 1. Функція :MR називається функцією Ляпунова для векторного поля , якщо похідна Dv в силу векторного поля на множині стаціонарних розв'язків системи (1) задовольняє умові , а в інших точках x M, Dv(X(x)) < 0.

В и з н а ч е н н я 2. Динамiчною системою будемо називати диференцiальне рівняння (1), яке має розв'язок на осi [0, ) для всіх .

Якщо iснують розв'язки для всіх i для , то динамiчну систему (1) будемо називати компактною.

Нехай X(0) = 0, тодi, очевидно, x = 0 стаціонарна точка векторного поля X.

В и з н а ч е н н я 3. Будемо вважати, що розв'язок стійкий, якщо для кожного існує таке що з нерівності витікає співвідношення ,. Тут норма вектора в просторі , надалі позначимо , а область є областю притягнення точки , якщо для всіх тривіальний розв'язок x = 0 стійкий i T(x) 0 при .

Нагадаємо, що якщо , є асимптотично стійкою для всіх , то її окіл, i він є відкритою множиною. Замикання його утворюється, як відомо, цілими траєкторіями рівняння (1) i буде позначатися , де =/ - границя множини .

Для побудови спеціальних функціоналів на розв'язках динамічної системи (1) в околі розглядається спочатку наступна обернена задача.

Нехай область притягнення розв'язку для (1), а її замикання i границя утворена цiлими траєкторiями, тодi згiдно відомої теореми Зубова iснує неперервна функцiя , не зростаюча на розв'язках (), така, що майже скрізь вона має похiдну в силу рівняння (1) таку, що

Pозглянемо тепер множину неперервних функцiй , якi належать класу C(M), M.

Очевидно, що

( 2 )

Якщо зафiксувати початкове значення , i розглянути клас функцій C(), то інтеграл задає функцiонал f(g) на просторi неперервних функцiй C() :

, ( 3 )

де Будемо писати . Функцiонал (3) очевидно лiнiйний i неперервний, якщо , .

Замiтимо, як було показано В.І.Зубовим, що обмежена функцiя Ляпунова iснує завжди для так вибраної областi при цьому N = 1.

Таким чином, iснування функцiї Ляпунова в областi асимптотичної стiйкостi спричиняє iснування лiнiйного обмеженого функцiоналу в просторi C, який породжується згiдно ( 3 ).

З iншого боку функцiя є розв'язок рiвняння

(4)

де функцiя задана iз класу C, а функцiя задовольняє рiвнянню i являється знаковизначеною функцiєю на компактi M.

Таким чином, в області де і розглядаються на розв'язках .

В роздiлi 1 дослiджується мiра Рiса-Радона на компактi, яка породжується функцiоналом для кожної фiксованої точки iз

Далi цей пiдхiд розповсюджується на випадок, коли , де простiр функцiй сумованих по модулю, тобто

Таким чином дослiджуються рiвняння

. ( 5 )

Основний результат першого роздiлу полягає в доведеннi, що розв'язoк рiвняння (5) в областi можна записати у виглядi iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду

( 6 )

дезадана функцiя, , ядро , повна ортонормована система функцiй в , а - дiйснi числа, для яких наводиться алгоритм обчислення.

Доведено, що ядерна функція не залежить вiд вибору ортонормованної множини, тобто оператор - ядерний оператор а його спектр утворений числами i для всякої областi маємо і = 1,2,, якщо лежить в областi притягнення точки . Як вiдомо, оператор R буде ядерним тодi й лише тодi коли

Зазначимо, що в основi доведень цих тверджень лежать вiдомi факти сучасного аналiзу.

Так, наприклад, iстотно використовується аналiтична форма функцiоналу в банаховому просторi, а також деякi результати П.Халмoша вiдносно апрiорних нерiвностей для оператора Гiльберта Шмітда в просторi і слабка збiжнiсть.

Це дає можливiсть пiдiйти до проблеми Ляпунова зовсiм з iншого боку й отримати нетривiальнi результати для нелiнiйних компактних динамiчних систем, для яких i призначався метод.

Далі розглядається функціонал в просторі , де є область притягнення для точки системи

( 7 )

Теорема 1.1. В просторi функцiя Ляпунова v породжує лiнiйний обмежений функцiонал для всякого фiксованого початкового значення i компактний оператор, якщо початкова умова розглядається для всіх .

Якщо взяти за основу властивість розв'язків системи (7 ) в області , то має місце наступне твердження.

Теорема 1.2. Якщо розв'язок x=0 рівняння ( 7) асимптотично стiйкий для всiх початкових збурень , то функцiонал заданий на розв'язках буде обмежений в просторi .

Тут , а початкові значення названі початковими збуреннями. Тепер можна ввести в розгляд наступний оператор R

, . ( 8 )

Для так заданого оператора доводиться апріорна нерівність

, ( 9 )

яка використовується для доведення ядерності оператора R в просторі ).

В основу доведення цієї нерівності покладено те, що оператор R буде симетричним і інтегральним в ), як доведено Р.Халмошем, якщо має місце нерівність (9).

Наводяться приклади побудови оператора для конкретно заданих динамічних систем. Зокрема, показано, що для динамічних одновимірних систем оператор R задається матрицею Тепліця.

У пункті 1.4, використовуючи властивості ядерного оператора R, а саме, незалежність сліду Sp R оператора R від вибору ортонормованої системи в області ), доводиться, що рівняння Ляпунова-Зубова

зводиться до інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду

( 10 )

де задана функція, яка в достатньо малому околі буде функцією Ляпунова, тобто

i ;

довільне число, , а ядро є ядром оператора . Доводиться, що ядро k може бути задано у вигляді , ортонормована система в області , власні числа () ядра

Виявилось, що вони не залежать від вибору ортонормованої системи , a залежать лише від векторного поля , заданого в області .

Таким чином, множину можна використати для побудови критеріїв асимптотичної стійкості в вибраній області положення рівноваги динамічної системи, заданої за допомогою векторного поля Х.

Якщо ядро рівномірно-неперервна функція, то завжди можна знайти велике число N, що

,

де , ( 11 )

, .

У цих умовах має місце відома альтернатива Фредгольма, тобто для всякої області рівняння (10) зводиться до рівняння Фредгольма з виродженим ядром. В роботі доведено, що серед власних чисел однорідного рівняння

( 12 )

будуть нульові, а тому при , і, таким чином, якщо розглядати всю область притягнення , то потрібно в силу нерівності (11) використовувати повне ядро

У дисертації показано, що для аналізу поведінки збуреної системи в деякому околі нуля, можна використати як розв'язок рівняння (10), так і спектр однорідної задачі (12). Якщо достaтньо мале число, то, як відомо, розв'язок рівняння (10) можна шукати у вигляді інтегрального рівняння,

,

де резольвента ядра , або відомого ряду Неймана.

На границі згідно теореми Ляпунова Зубова маємо:

. ( 13 )

Це рівняння дає змогу виділити область асимптотичної стійкості.

Можна скористатися спектром ядра в області . Якщо Re в області , то існує такий окіл нуля, що для всіх початкових збурень із , розв'язок x=0 буде асимптотично стійким.

Для динамічних систем, які породжуються ліпшiцевим векторним полем X(x) на компакті і єдиною особливою точкою x = 0 ( X ( 0 ) = 0 ), розроблений алгоритм аналізу її асимптотичної стійкості для початкових збурень із заданого околу нуля

Задаємося околом нуля (x=0) динамiчної системи

В областi будуємо ортонормовану систему функцiй

Знаходимо значення елементiв матрицi K:

.

Вiдмiтимо, що для багатовимiрних задач (n>2) зручно застосовувати алгоритми й програми обчислень квадратур, розроблених в Iнститутi прикладної математики ім.В.М.Келдиша. Досвiд застосування їх нами дає пiдстави стверджувати, що вони дуже зручнi для зазначених цiлей, якщо

4. Обчислюємо матрицi i за їх допомогою визначаємо числа за формулами , де Останнє рiвняння може бути використане для контролю обчислень.

Формуємо матрицю

Знаходимо визначники:

а) якщо n=2m, то ,

;

б) якщо n=2m+1, то

.

7. Перевiряємо виконання необхiдних i достатнiх умов асимптотичної стiйкостi: дiйсний многочлен повинен мати всi коренi з вiд'ємними дiйсними частинами, тобто якщо , то

, -

якщо n=2m+1, то

, -

На базi такого алгоритму в Iнститутi кiбернетики iм. В.М.Глушкова НАН України розроблена програма для аналiзу стану положення рiвноваги динамiчних систем.

Задачі й приклади, що розглядаються в першому розділі обмежуються лише демонстрацією методу та послідовності дій його застосування.

У другому розділі вивчається зв'язок асимптотичної стійкості положення рівноваги динамічної системи на компакті iз i півгруп стиснення в . Півгрупа в вводиться наступним чином:

Нехай , , півгрупа розв'язків рівняння (1) тоді, як відомо, можна ввести півгрупу , , в згідно умови на щільній множині неперервних функцій і по неперервності розповсюдити .

В и з н а ч е н н я 4. Півгрупа півгрупа стиснення, якщо має місце умова

Теорема 2.1. Півгрупа в просторі буде півгрупою стиснення, якщо область асимптотичної стійкості стаціонарного розв'язку х = 0 рівняння (1).

Генератором півгрупи буде оператор , звуження якого на векторне поле , задається похідною

( 14 )

Введемо в розгляд квадратичну напівобмежену знизу форму

( 15 )

де , щільна область визначення оператора .

Доведено, що на форма знаковизначена

( 16 )

Властивості операторів і , що вищенаведені, дають можливість:

1. Застосовувати розширення по Фрідріхсу й довести, що границя області утворюється елементами простору Соболєва .

2. Ввести в коло ідей другого методу Ляпунова відому теорію півгруп Хілле-Іосіда й пов'язати (тепер уже іншим, аніж у першому розділі, шляхом) другий метод Ляпунова з проблемою спектра оператора .

Базуючись на цьому, доведено, зокрема, що, якщо виконуються умови (необхідні та достатні) асимптотичної стійкості В.І. Зубова, то завжди існує така функція , що

,

та ( 17 )

і якщо , то , якщо ж , то .

Тепер розв'язки рівняння (1) можна класифікувати за допомогою півгруп чистого (цілком неунітарного) стиснення та класу унітарних операторів.

Теорема 2.4. Декомпозицiя пiвгрупи стиснення на областi вiдповiдає декомпозицiї розв'язкiв динамiчної системи (1) на розв'язках якi асимптотично стягуються до нуля i розв'язки якi лежать на границi асимптотичної стiйкостi нуля i належать до цiлих траєкторiй, тобто, якщо iснує хоч один момент часу , що то i тобто, якщо , то

Мiж iншим, звiдси легко дійти до висновку, що для всякої областi унiтарна пiвгрупа буде пустою, i що така декомпозицiя буде єдиною.

В термінах спектра оператора це означає, що в областi i для поверхнi оператор антиспряжений, тобто iснує такий самоспряжений оператор A, що в просторi .

Ці дослідження дають можливість довести, що функція Ляпунова на є її калібровочною функцією.

Третій розділ присвячений проблемі синтезу оптимальних керувань - проблемі аналітичного та алгоритмічного конструювання регуляторів. Для задач такого типу використовуються критерії асимптотичної стійкості, отримані в першому й другому розділах, а також проблема моментів. Остання своїм вiдправним пунктом має деякi iдеї i задачi, поставленi А.А.Марковим, L - проблема моментiв в абстрактному банаховому просторi формулюється наступним чином.

Задано n лiнiйно незалежних елементiв . Необхiдно знайти умови для чисел i такi, щоб iснувала лiнiйна операцiя , така, що

Крейном М.Г. було показано, що мiж L - проблемою i задачею найкрaщого наближення в нормованих просторах iснує подвійний зв'язок.

L - проблема природним чином ставить задачу синтезу оптимальних керувань на фундамент функцiонального аналiзу i, таким чином, зв'язує абстрактнi математичнi конструкцiї з iнженерними задачами керування. На такий звя'зок вперше указав М.М. Красовський. Вiн трактує задачу вибору оптимального програмового керування, як розв'язок L - проблеми в спецiально пiдiбраному лiнiйному нормованому просторi. До цього напрямку відносяться роботи Р.Куликовського, Л.Нейштадта. Р. Калман застосував методи, пов'язані з L - проблемою моментів до синтезу лiнiйних стацiонарних задач. У цих працях зв'язок мiж задачами оптимального керування i L - проблемою моментiв реалiзується за рахунок того, що існує загальна аналітична форма розв'язку задачі Коші.

Такий пiдхiд безпосередньо до задач синтезу не може бути застосований. Потрiбно знати повний iнтеграл керованої системи, де керування виступають як параметри, тобто необхiдно знати повний iнтeграл рiвняння Гамiльтона Якобi в формi, яку тому надає принцип максимуму Понтрягiна. Бiльш конкретно. Нехай задано векторне поле X (x,u) в деякому околi нуля (x=0), причому вектор X диференцiйований по x i неперервно залежить вiд векторного параметра u, який належить компакту i Параметр u будемо називати керуванням. Крiм цього, векторне поле X таке, що а компакт такий, що в ньому реалiзується злiченна множина щільна в , тобто щiльна там, а , де і відповідно області визначення і значення . При цих умовах диференцiальна система

( 18 )

на компактi буде називатися динамiчною компактною керованою системою.

У подальшому будемо завжди допускати, що i множина мiстить хоча б одно керування , для якого положення рiвноваги x=0 асимптотично стiйке, тобто система керована (не виключено, що ).

Задача. Серед керувань знайти таке , яке б переводило всi точки заданої областi в точку x=0 за найкоротший час (задача оптимальної швидкодiї).

Керування будемо шукати як слабку границю послідовності , вкладеної в простiр або , якi топологiчно подвiйнi (спряженi) до просторiв або відповiдно. Функцiї тут будуть звичайними елементами цих просторів. У множинах і вводиться топологiя слабкої норми при цьому згiдно теоремам Рiса i Данфорда-Петiса цi елементи є вiдповiдними лiнiйними функцiоналами.

Будемо розглядати банахові сепарабельнi нормованi простори або , якi щiльнi в в силу обмеженостi mes . Топологiчно подвiйнi до них простори визначаються двома нормами: сильна i слабка норми. Слабка норма визначається наступним чином. Вибираємо для цiєї мети злiченну множину елементiв i вводимо, позначаючи слабку норму,

.

Якщо покласти , то згiдно теореми Бiшопа буде такою нормою в , що тодi i лише тодi, коли

.

Топологiя в (топологiя слабкої норми) в буде однією i тiєю ж для любого довiльного набору функцiй i спiвпадає з слабкою топологiєю. Головним мотивом, за яким вводиться слабка топологiя є те, що в цiй топологiї простiр сепарабельний, а його пiдмножина компактна. Тут має мiсце вiдома теорема Банаха - Алаоглу про те, що, якщо Q - окiл нуля в просторi B (нормованому та секвенцiальному), то множина слабо -* компактна, а простiр секвенцiально компактний.

З iншого боку, гамiльтонiан, який зустрічається в задачах оптимiзацiї, породжує рiвняння Гамiльтона Якобi для кожного фiксованого керування . Нехай кожному вiдповiдає розв'язок рiвняння Фредгольма (див. нижче), тодi, користуючись тим, що принцип максимума видiляє компактну множину можна отримати в слабкiй -* топологiї збiжну послiдовнiсть функцiоналiв , де , що очевидно еквiвалентно теоремi iснування оптимiзуючого розв'язку. Таким чином, об'єднуючи принцип максимуму (необхiднi умови) з методом Ляпунова (достатнi умови), знаходимо розв'язки узагальненого рiвняння ГамiльтонаЯкобi. Тепер все, що необхiдно для цього, - це отримати послiдовнiсть , якiй вiдповiдає послiдовнiсть , розв'язкiв рiвняння за умови . Це означає, що де i, таким чином,

,

де слабка -* границя регулярної мiри . Показано, що функцiонал при породжується мiрою.

Задача оптимальної стабілізації. Нехай заданий критерій якості перехідного процесу x(t,u) у вигляді інтегралу .

Потрібно знайти такі керування із заданого компакту що

1) незбурений рух буде асимптотично стійким для початкових збурень із ;

2) інтеграл J на керуваннях досягає найменшого можливого значення для усіх початкових умов .

У роботі доведено, що оптимальне за відношенням до критерія J керування буде оптимальним і по відношенню до демпфіруючої функції Ляпунова тобто , тут власні вектори матриці .

У четвертому розділі на базі розвинутого в дисертації методу розв'язку рівняння Ляпунова досліджується транспорт потоку заряджених частинок.

Потреби такого транспорту (а це є певний спосіб передачі енергії і інформації) виникають в різних галузях, і зокрема, в сучасних технологіях виготовлення мікросхем, в електронній мікроскопії, медицині, потужних дослідницьких прискорювачах елементарних частинок і вивченні процесів і наслідків їх зіткнень. При цьому основну роль відіграють проблеми керування рухом пучків, забезпечення їх стабільності, моделювання хаосу і нелінійних явищ. Досить добре вивчені потоки в ламінарній частині, тобто в вузькій лінійній частині пучка, яка несе порівняно незначну енергію, але ще досить мало вивчені неламінарні, турбулентні потоки, які несуть основну енергію.

Проблеми сучасної нелінійної фізики пучків тісно пов'язані з дослідженням кінетичних рівнянь і, зокрема, рівнянь ВласоваПуассона, Власова-Максвелла. Дослідження властивостей і побудова розв'язків відповідних квазілінійних і нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь - без залучення методів першого наближення важлива актуальна проблема. Ці проблеми залишаються досить актуальними.

Проблема транспорту заряджених частинок це перш за все проблема механіки багатьох частинок, яка приводить до математичної проблеми опису і дослідження структур, локалізованих в скінченній області, як в інтегрованих так і неінтегрованих польових моделях. Оскільки механіка заряджених частинок є статистичною механікою, остільки виникає проблема міри в динамічних системах. Доказується, що міра, яка характеризує поведінку системи, породжує функція Ляпунова. За суттю, функція Ляпунова є глобальний параметр динамічної системи. Таким чином, приходимо до проблеми Ляпунова проблеми знаходження функції Ляпунова, тобто проблеми вирішення рівняння в частинних похідних першого порядку спеціального вигляду. Таке рівняння буде рівнянням

Власова, якщо розглядати його в розширеній області, в якій вихідне квазілінійне рівняння набирає вигляду лінійного.

Для теорії динамічних систем мають цінність рішення, які не пов'язані з характеристиками динамічної системи. Таким чином прямий метод Ляпунова пов'язаний з методом Якобі. Сучасні досягнення аналізу дозволяють звести рівняння в частинних похідних першого порядку до інтегрального рівняння Фредгольма. Гільберт і Вейль водночас відмічали важливість такого зведення. Нині воно більш актуальне в силу тих причин, що останнє має значно кращі властивості. Для аналізу причин виникнення локалізованих структур (солітонів, вихорів, дивних атракторів) досить важливим є поняття узагальненого (слабкого) розв'язку, а також границі збіжності мір. Вищезазначене зведення дає можливість конструктивно користуватися цими поняттями. Таким чином виводиться ефективний критерій стійкості, зародження хаосу і виникнення вихрових рухів у потоках.

Основна увага приділяється прискоренню і фокусуванню потоку заряджених частинок. У дисертації розглядається потік, який описується рівнянням Власова. Самоузгоджене рівняння Власова враховує, як відомо, колективну взаємодію частинок пучка під впливом зовнішних електричних і магнітних полів і полів, які наводяться зарядом і струмом пучка. Такі поля визначаються рівняннями Максвелла.

Рівняння Власова

( 19 )

для невідомої функції розподілу f(t,x,v) в фазовому просторі P={x,v} oписує динаміку процесу та є квазілінійним рівнянням першого порядку, так як електричне E і магнітне H поля залежать від f.

Спочатку розглядається електростатичнa задача. В цьому випадку розв'язок f шукається у вигляді хвилі , a електростатичне поле E підкоряється відомому рівнянню Пуассона для потенціалу U:

( 20 )

де U - електростатичний потенціал, а e - заряд частинки.

Таким чином рівняння (19) зводиться до рівняння

, ( 21 )

яке в розширеному просторі буде лінійним типу рівняння Ляпунова, до якого застосовується метод розв'язку, розвинутий у перших двох розділах.

Фізична задача фокусування зводиться до математичного питання асимптотичної стійкості стаціонарних розв'язків рівняння (21), які визначаються як неявні функції із рівняння , де -розв'язок лінійного рівняння

Доводиться, що розв'язок буде асимптотично стійким за відношенням до величини тоді і лише тоді, коли будуть використовуватися наступні умови:

( 22 )

Використовуючи цей результат, досліджене питання стійкості повздовжного руху потоку з електронів у плазмовій лінзі за відношенням до початкових теплових збурень.

Показано, що в цьому випадку є можливість вибрати таку систему ортонормованих функцій в поперечному розтині пучка радіуса R, що ядро k можна записати у вигляді суми ряду , належать комплексній площині Z, яка ортогональна до осі основного руху.

Таким чином, розв'язок однорідного рівняння (21) визначається розв'язком інтегрального рівняння де декартова система координат в площині з центром на осі основного руху .

У пункті 4.5 за допомогою цих рівнянь досліджується рівнозважений потік Брілюена. Показано, що він нестійкий за відношенням до початкових збурень, тобто до збурень, які спричиняються тепловим розкидом швидкостей частинок. У спеціально побудованій криволінійній системі координат, що значно спрощує розрахунки, знайдено потенціал U, який забезпечує вхід пучка в рівнозважену зону Брілюена. В декартовій системі координат він має наступний вигляд

де , а параметр пучка, який характеризує його форму на участку від емітера до виходу на рівнозважену орбіту.

Відомо, яку важливу роль відіграють гідродинамічні моделі потоку при розв'язках задач, пов'язаних з синтезом електроннооптичних систем, коли постулюється ламінарність потоку.

У гідродинамічних моделях інтенсивних потоків виникає проблема правомірності такого підходу. В дисертації показано, що гідродинамічними моделями можна скористатися тоді, коли розв'язок рівняння НавьєСтокса утворюють інтегральний многовид в фазовому просторі відповідних розв'язків рівняння Власова. Ця модель буде коректною за умови асимптотичної стійкості цього многовиду по відношенню до збурень, які утворюються більш точною моделлю рівнянь Власова. Для таких моделей доведено наступне: якщо в гідродинамічному наближенні існують неморсівські точки, то вони є центрами зародження вихорів.

Далі, на основі цих результатів, розроблений алгоритм побудови електростатичного поля Е, яке виводить пучок електронів на рівнозважену орбіту. Пошук поля Е, як функції точки х на відрізку зводиться до наступної задачі: задані чисел , задано число і функцій . Потрібно знайти функцію таку, що

 ( 23 )

буде мати розв'язок в заданому класі функцій . Таким чином, пошук поля Е звівся до розв'язку добре відомої задачі проблеми моментів. Якщо, наприклад то неперервна функція. Тепер її можна знайти як розв'язок (23), для якої

ВИСНОВКИ

Другий метод Ляпунова або метод функцiї Ляпунова, це та база, на якiй будуються основнi алгоритми аналiзу та синтезу систем керування. Сам метод мiстить в собi проблему побудови функцiї Ляпунова для iстотно нелiнiйних систем, яка б давала конструктивнi критерiї необхiдних i достатнiх умов стiйкостi, особливо асимптотичної стiйкостi. Застосування другого методу до задач оптимального синтезу, показало, що інтуїтивні методи побудови, пiдбору i таке iнше, функцiї Ляпунова значно звужують клас функцiй, якi можуть бути застосованi в задачах аналiтичного конструювання регуляторiв.

У дисертацiї в проблему Ляпунова вводяться сучаснi методи аналiзу, що дало змогу диференцiальне рiвняння в частинних похiдних першого порядку, яке породжується векторним полем на компактi з одною iзольованою, асимптотично стiйкою точкою (рiвняння Ляпунова), звести до iнтегрального рiвняння Фредгольма 2-го роду. Важливим пунктом цього зведення являється доведення наступного:

Функцiя Ляпунова в областi притягнення нерухомої точки породжує ядерний оператор, спектр якого лежить злiва вiд нуля.

На границi областi притягнення в спектрi вiдповiдного диференцiального оператора обов'язково з'являється нуль. Нуль в спектрi може бути як власним числом, так i точкою занулення спектру, з чим однозначно пов'язаний характер поведiнки динамiчної системи на границi областi притягнення нерухомою точкою.

Побудована функцiя Ляпунова у виглядi ряду Неймана, якщо задана функцiя Ляпунова в довiльному малому околi нуля.

Доведено, що асимптотично стiйкi областi положення рiвноваги накладають на векторне поле певнi обмеження. Одна з них, - дивергенцiя векторного поля вздовж будь-якого розв'язку є вiд'ємною. Це значить, що пiвгрупа асимптотично стiйкої динамiчної системи в породжує пiвгрупу стиснення в на компактi. Використовуючи це, проблема Ляпунова вводиться в круг iдей теорiї ХiллєIосiда. Показано, що резольвента такої пiвгрупи являється оператором Фредгольма. Наводиться спосiб побудови функцiї Ляпунова, яка має похiднi в силу динамiчної системи майже всюди, тобто виконуються умови В.I.Зубова про необхiднi й достатнi умови асимптотичної стiйкостi положення рiвновги.

Застосування інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду дає можливiсть використовувати L-проблему в задачах оптимального синтезу (зокрема в задач оптимальної стабiлiзацiї). Ранiше в такiй постановцi розв'язувалися лише задачi програмового керування. Застосувувати L - проблему моментiв тут вдається тому, що рівняння Фредгольма дають змогу знайти повний інтеграл для рiвняння Ляпунова, і таким чином інтегральнi критерiї асимптотичної стiйкостi та L - проблема моментів вiдкривають можливостi прямих комп'ютерних методiв аналiзу й синтезу динамiчних систем.

Одержанi результати застосованi до аналiзу потоку заряджених частинок i синтезу електричних i магнiтних полiв, фокусуючих i прискорюючих потiк. У основi такої прикладної роботи покладена базова ідея В.І. Зубова, що довiльнi рухи заряджених частинок в просторi станiв можуть бути реалiзованi полями, якi задовольняють рiвняння Максвелла. Таким чином, електромагнiтнi поля розглядалися в дисертацiї як довiльнi параметри керування, якi синтезувалися як оптимальнi, а потiм визначалися заряд i струм. Детально дослiдженi умови виходу криволiнiйного потоку електронiв на рiвнозважену (Брiлюенiвську) орбiту.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИССЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Задорожный В.Ф. Исследование асимптотической устойчивости линейных систем способом сведения к системам меньшей размерности // Техн. кибернетика .- 1970. - Вып. 16. - С. 72-89.

2. Задорожный В.Ф. К вопросу о стабилизации нелинейных систем управления // Автоматика. - 1970. - №6. - С. 20-25.

3. Задорожный В.Ф. Об одном способе анализа устойчивости систем с переменными параметрами // Кибернетика и вычислит. техника.- 1970. - Вып. 5. - С. 51-53.

4. Задорожный В.Ф. Субоптимальные управления линейными многомерными объектами с переменными параметрами // Автоматика. - 1972. - №1. - С. 31-36.

5. Задорожный В.Ф. Устойчивость в большом нелинейных систем // Мат. физика.- Киев: Наук. думка, 1972. - Вып. 11. - С. 26-30.

6. Задорожный В.Ф. Проблема моментов и синтеза многомерных нелинейных систем управления // Кибернетика и вычисл. Техника, 1972. - Вып. 14. - С. 77-84.

7. Задорожный В.Ф. Об эргодических свойствах оптимальных систем управления // Автоматика. - 1973. - №5. - С. 31-34.

8. Задорожный В.Ф., Мартынюк А.А. Оценка влияния связей между подсистемами на устойчивость агрегированной нестационарной линейной системы // Прикл. механика. - 1972. - Вып. 8. - №9. - С. 65-71.

9. Задорожный В.Ф. проблема моментов в задачах аналитического конструи-рования регуляторов // Кибернетика и вычислит. техника .- 1973 . -Вып. 19. - С. 93-101.

10. Задорожный В.Ф., Мартынюк А.А. О решении общей проблемы агрегирования как проблемы моментов // Мат. Физика. - Киев: Наук. думка, 1973. - Вып. 14 - С. 49-56.

11. Задорожный В.Ф. проблема моментов в задачах качественного анализа многомерных систем // Второй национальный конгресс по теорет. и прикл. механике, 8-14 октября, 1973, Болгария: резюме докл.- Варна, 1973. - С. 44.

12. Задорожный В.Ф., Мартынюк А.А. Прямой метод Ляпунова и L-проблема моментов в задачах устойчивости многомерных систем // Проблемы аналитической механики теории устойчивости и управления. - М.: Наука, 1975. - С. 51-54.

13. Задорожный В.Ф., Станишевский А.Ю. Принцип сравнения в задачах синтеза налинейных систем // Кибернетика и вычислит. тех- ника .- 1975. - Вып. 27. - С. 63-72.

14. Задорожний В.Ф. Устойчивость по Ляпунову и L-проблема в задачах анализа и синтеза // Известия АН СССР, Механика твердого тела. 1975. - №4. - С.157.

15. Задорожный В.Ф., Зарипов И.Г. Численный анализ устой- чивых движений динамических систем // Там же.- 1976. - Вып. 20. - С.26-31.

16. Задорожный В.Ф. Оптимальный разворот твердого тела вокруг неподвижной точки с приведением в заданное положение.- Киев,1976. - 14с.- (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики; 76-20).

17. Задорожный В.Ф. Синтез оптмальных динамических систем в переменных угол действие // II Всесоюз. конф. по оптимальному упр. в мех. системах: Тез. докл. - Казань, 1977. - С. 58.

18. Задорожный В.Ф. Синтез оптимальных быстродействий управляемых систем // Мат. физика. - 1977. - Вып. 27. - С.3-7.

19. Задорожный В.Ф., Нурминский Е.А., Станишевский А.Ю. Минимаксный подход в задачах синтеза многомерных динамических систем // Кибернетика.- 1977. - №5. - С.111-114.

20. Задорожный В.Ф. Проблема Ляпунова и меры в динамических системах // Тез. докл. Всесоюз. конф. памяти Г.В.Каменкова. - М.: Наука, 1978. - С. 37-38.

21. Zadorozhny V.F., Petrenko V.N. On the method of generalized solutions of the Liouvilie equations in the study of compact dynamic systems //Proc. of the Second International Workshop of nonlinear аnd turbulent processes in physics. - New York.- 1983. - Vol.3. - Р.1653-1655.

22. Задорожный В.Ф., Одарич О.Н. Полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби в окрестности особой точки // Третий респ. симпоз. по дифференц. и интегральным уравнениям, 1-3июня 1982 : Тез. докл. - Одесса, 1982. - С. 47.

23. Задорожный В.Ф., Петренко В.Н. Уравнения Лиувилля в задачах синтеза формирующих полей в устройствах електронно-лучевой микрообработки материалов // Физико-технологические вопросы кибернетики.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, 1984. - С. 73-80.

24. Задорожный В.Ф., Одарич О.Н. Почти периодические колебания оптимальных систем, сохраняющих меру// Тр. IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. - Киев: Наук. думка, 1984. - 2. - С.130-132.

25. Задорожный В.Ф. Исследование диффеоморфизмов Римановых многообразий в алгебре алгоритмов // Вопр. механики и процессов упр.- 1984.- Вып. 7: Упр. динамическими системами. - С.141-147.

26. Задорожный В.Ф., Петренко В.Н. К методу обобщенных решений уравнения Лиувилля в исследовании компактных днамических систем // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. -Киев: Наук. думка, 1985.- Ч.2. - С. 39-41.

27. Задорожный В.Ф., Чечко Г.А. Почти-переодическое движение сыпучей среды в вибрирующем цилиндре // Прикладная механика. - 1985.21. - №8. - С.92 - 96.

28. Задорожный В.Ф., Чечко Г.А. Вибрационное перемешивание жидкости между двумя концентрическими цилиндрами // Межвед. Респ. сб. Вычислительная и прикладная математика.- 1986. -Вып.59. - С.7-15.

29. Задорожный В.Ф. Проблема Ляпунова и абстрактная задача Коши. Метод функций А.М.Ляпунова в современной математике // Всесоз. науч. конф.- 27-29 мая, 1986, Харьков.- Тез. докл. - 1986. - С 40.

30. Задорожный В.Ф., Цвилий В.П., Черноусенко В.М. Эволюция и устойчивость вихревых структур в сплошных средах // В кн. Проблемы физической кинетики и физики твердого тела.- Киев: Наук. думка, 1990. - С. 402-412.

31. Задорожный В.Ф., Шевченко А.В. Сложные движения механической системы и вычислительный процесс //Прикладная механика, 1991. - 37. - №9. - С. 106-114.

32. Zadorozhny V. On the stability volume of measure zero into the dissapative dynamical systems// Nonlinear Studies. - 1999. Vol.5. - №1. - P. 115-122.

33. Zadorozhny V. Integrability into Region of Asymptotic stability// Abstract of conf. on Diff. Equation and Dynamical Systems, Waterloo, Canada. - 1997. - Р. 197.

34. Zadorozhny V. On the arise of the deterministic chaos in dynamical systems // Nonlinear problems in aviation and aerospace. - London. - 1998. - P. 794 - 803.

35. Zadorozhny V. The Lyapunov function is global parameter of dynamical systems // Нелинейный анализ и его приложения, Abstract. - М.:Наука, 1999. - С. 64.

36. Гончаров А.А Добровольский А.Н., Задорожный В.Ф. О трансформации радиального профиля интенсивного ионного пучка в плазменной линзе // ТФ. - 1997. - 67. - №8. - С. 97-99.

37. Goncharov A.A., Dobrovolsky A.N., Protsenko I.M., Zadorozhny V.F. Role of Aberrations in High-Current Plasma Lenses // IEEE Transactions on PLASMA SCIENCE - 1997. - Vol. 25. - №4. P. 709-713.

38. Goncharov A.A., Litovko J.V, Onishchenko J.N., Zadorozhny V.F. On 2D Electron Cloud Dynamics in High-Current Plasma Lens for You Beam Focusing // Beam Stability and Nonlinear Dynamics. AIP CP, New York. - 1997. -№ 405. P. 188-584.

39. Parsa Z., Zadorozhny V. On the Beam Dynamics which Has beem Described by Vlasov Equation // AIP CАP, Accel - 1998. -№ 235. P. 576-584.

40. Parsa Z., Zadorozhny V. Focusing and Acceleration of Bunched Beams //AIP Proc. CAP-277- 2000. P. 347-359.

41. Parsa Z., Zadorozhny V., On Landau Scenario of chaotization for beam distribution // PAC99, center for acceleration physics, BNL-66257, CAP-247, Theory-99 - 1999. P.302-317.

42. Parsa Z., Zadorozhny V. Focusing and Acceleration of Bunched Beams//Book ed. Bruce J.King. Colliders and collider Physics at the Highest energies. - New York. - 1999. - P.249-259.

43. Parsa Z., Zadorozhny V. Nonlinear Dynamics On Compact and Beam Stability// Nonlinear Analysis. - 2001.- 47. - P.4897-4904.

...