Проблема Ляпунова в задачах синтезу нелінійних систем керування

44. Вышинский В.А., Задорожный В.Ф., Яковлев Ю.С. О решении сложных задач динамики на ЭВМ // Проблемы управления и информатики. - 2000. - №1. - С. 88-98.

45. Вышинский В.А., Задорожный В.Ф., Яковлев Ю.С. Проблемы создания ЭВМ для решения задач большой размерности, I // Математичнi машини i системи. - 1990. - №3. - С. 60-68.

46. Вышинский В.А., Задорожный В.Ф., Яковлев Ю.С. Проблемы создания ЭВМ для решения задач большой размерности, II // Математичнi машини i системи. - 2000 . - №1. - С. 38-46.

47. Вишинський В.А., Задорожний В.Ф., Яковлев Ю.С. Оптимiзацiя обчислювального процесу при дослiдженнi якiсних властивостей ЕОМ //Теорiя обчислень, IК НАН України.- 1999. - С. 80-83.

48. Zadorozhny V. The Lyapunov problem in the terminology of the Hille-Iosida theory // The third International conf. Diff. equation and application. - Saint -Petersburg. - 2000.- P. 104.

49. Parsa Z., Zadorozhny V. Formalism for chaotic Behavior of the Bunced Beam // Problems of Automatic Science and Tecnology.- 2002. - № 2.- P. 53-61.

50. Parsa Z., Zadorozhny V. The Chaotic Behavior of the BuncрedBeam // AIP, PAC, New York. 2001. - P. 167-196 .

51. Zadorozhny V. Fridrichs Method in a Liapunov Problem, Applicable Analysis, Newark, USA. 2002. Vol. 81. - P.529 - 537.

52. Parsa Z., Zadorozhny V.F., Goncharov A.A., Litovko J.V. Stationary equilibrium orbits of compensated charged bems in curvilinear magnetic field // КиСА . -2002. - № 5. - С.28-36.

АНОТАЦІЇ

Задорожний В.Ф. Проблема Ляпунова в задачах синтезу нелінійних систем керування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук зі спеціальністі 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2002.

В основу методу розв'язку проблеми Ляпунова для істотно нелінійних компактних динамічних систем в дисертації покладена властивість функціоналів на траєкторіях породжувати функціонали в банахових просторах над областю асимптотичної стійкості. Виконано трансформація на цій основі рівняння Ляпунова в частинних похідних першого порядку до інтегрального рівняння другого роду Фредгольма. Запропоновані конструктивні критерії побудови функції Ляпунова для істотно нелінійних систем. Доказано, що для компактної динамічної системи границя асимптотичної стійкості утворюється неперервними функціями із простору Соболева .

На основі таких рівнянь Фредгольма розроблені алгоритми оптимального синтезу компактних динамічних систем керування, які істотно опираються на - проблему моментів. Таким чином, якісні методи аналізу динамічних систем керування, як і їх оптимальний синтез, пов'язується з прямими обчислювальними методами.

Розробленим методом досліджується інтенсивний потік заряджених частинок в наближені самоузгодженого рівняння Власова. Тут параметрами керування є електричні та магнітні поля, які задовольняють рівнянням Максвела. Розглянуті алгоритми побудови полів, які прискорюють і фокусують потік. Найдені умови зародження детермінованого хаосу в потоці частинок в термінах властивостей неморсівських точок. Розроблений алгоритм виводу потоку іонів на рівнозважену брілюенівську орбіту за допомогою спеціально побудованого магнітного поля з криволінійними еквіпотенціалями.

Ключові слова: Другий метод Ляпунова, інтегральні рівняння, ядра Гільберта - Шмідта, ряд Неймана, слабка збіжність, кінетичні рівняння, потік заряджених частинок, прискорення і фокусування.

Задорожный В.Ф. Проблема Ляпунова в задачах синтеза нелинейных систем управления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы, Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2002.

В основу метода решения проблемы Ляпунова для существенно нелинейных компактных динамических систем в диссертации положено свойство функционалов на траекториях порождать функционалы в банаховых пространствах над областью асимптотической устойчивости. Выполнена трансформация на этой основе уравнения Ляпунова в частных производных первого порядка к интегральному уравнению второго рода Фредгольма. Предложенные конструктивные критерии построения функции Ляпунова для существенным образом нелинейных систем. Доказано, что для компактной динамической системы граница асимптотической устойчивости образуется непрерывными функциями из пространства Соболева .

На основе таких уравнений Фредгольма разработанные алгоритмы оптимального синтеза компактных динамических систем управления, которые существенным образом опираются на - проблему моментов. Таким образом, качественные методы анализа динамических систем управления, как и их оптимальный синтез, связаны с прямыми вычислительными методами.

Разработанным методом исследуется интенсивный поток заряженных частиц в приближении самосогласованного уравнения Власова. Здесь параметрами управления являются электрические и магнитные поля, которые удовлетворяют уравнениям Максвела. Рассмотренные алгоритмы построения полей, которые ускоряют и фокусируют поток. Найденные условия зарождения детерминированного хаоса в потоке частиц в терминах свойств неморсовских точек. Разработанный алгоритм вывода потока ионов на равновесную брилюэновскую орбиту с помощью специально построенного магнитного поля с криволинейными еквипотенциалями.

Ключевые слова: Второй метод Ляпунова, интегральные уравнения, ядра Гильберта-Шмидта, ряд Неймана, слабая сходимость, кинетические уравнения, поток заряженных частиц, ускорение и фокусирование.

Zadorozhny V.F. Lyapunov problem in the synthesis of nonlinear systems of control.

Thesis for pursuing Doctoral degree in physics and mathematics, specialization 01.05.02 - mathematical modeling and computation methods - Cybernetics Institute, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to study of the Lypunov problem for nonlinear dynamical systems, which has been of interest to many investigators and still unsolved.

Here, the Lyapunov first - order partial differential equation is transformed to the Fredholm equation of second kind, the latter lying at the foundation of investigations carried out in the thesis. Based on results of V. Zubov and P. Halmos this approach made it feasible to apply the direct Lyapunov method to essentially nonlinear problems for which empirical methods of constructing the Lyapunov function generates a certain kernel operator in the domain of its asymptotic stability. Efficient criteria of asymptotic stability in the terms of spectrum of the dynamic system are developed. Moreover it is proved that the boundary of the domain of asymptotic stability features zeroes in its spectrum. The influence of spectrum zeroes on the behavior of a dynamic system on its boundary is analyzed. It is shown that a zero eigen - value is associated with a periodic motion while a zero limit point with a deterministic chaos.

It is proved that the asymptotic stability in the Euclidean space generates a contraction semigroup in the Hilbert space. Due to this result the Lyapunov problem falls within the realms of the Hille-Iosida theory.

This method allows applying the well - known -problem of moments for the synthesis of optimal dynamical systems. Using the Fridrichs extension and some a priori inequality a weak solution of the Lyapunov equation is obtained in the thesis. In particular, it is shown that the Lyapunov functions satisfying necessary and sufficient conditions within the domain of a singular point asymptotic stability of some dynamical system should be absolutely continuous.

As is well known, a phase volume is compressing for some dissipative dynamical system and one tends to volume of measure 0 as . This volume may be m-dimensional chaotic attractor in n-dimensional phase space (). Using the property of the compressible semi group on compact into (Euclidean space) we is able to prove arising chaotic attractor and its stability. In dissertation is established that chaos may be iff the spectrum of dynamical system has the value 0 on the boundary of the attraction domain. Further the research concerns special cases.

To find the focusing and accelerating field the following result is used: for any charged particle velocity fields, generating the mentioned velocity field and satisfying the Maxwell equations. This makes it feasible to construct optimal electric and magnetic fields on the basis of the optimal control theory.

Here an approach for solving the Vlasov - Poisson equations is advanced which is based on the direct Lyapunov method and properties of vector field on a compact manifold in the neighborhood of a singular point. Within the attraction domain the VPE are transformed to the Fredholm equations. The self-focused and accelerating particle beams are studied using analytic solution of the self-consistent Vlasov equation. In so doing the soliton- like solutions and solution stability are discussed.

A new approach to the problem of solution of the kinetic equation for the beam distribution function, very useful from the practical point of view, is discussed. As the consideration in this main result, we obtain complement of the Skrinsky's condition for the self-focused bunched beam. This problem belongs to the theory of nonlinear systems in which both regular and chaotic motion is possible. The kinetic approach, based on Vlasov-Poisson equations, is used to investigate the focusing and acceleration of bunched beam.

Special attention is given to the studies of stability in a bunched beam by means of two norm, which may be used to describe of a motion high - energy particles beam.

Key words: Asymptotic stability, Lyapunov equation, kernel operator, Vlasov-Poisson equation, and Hilbert -Schmidt - Merser theory.

Размещено на Allbest.ru