Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

Вінницький національний технічний університет

Спеціальність 01.05.02 - “Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Математичні моделі квазідетермінізації процесів в складних системах

Камінський Вячеслав Вікторович

Вінниця - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: Заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор

Мокін Борис Іванович,

Вінницький національний технічний університет, ректор

Офіційні опоненти:доктор технічних наук, професор

Зайченко Юрій Петрович

Національний технічний університет України

"Київський політехнічний інститут",

професор Навчально-наукового комплексу

“Інститут прикладного системного аналізу”

НАН України та Міністерства освіти і науки України

доктор технічних наук, професор

Квєтний Роман Наумович,

Вінницький національний технічний університет,

завідувач кафедри автоматики та інформаційно-

вимірювальної техніки

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут інформаційної

інфраструктури Державного департаменту з питань

зв'язку та інформатизації і НАН України, м. Львів,

відділ інформаційних технологій та систем

Захист відбудеться 06.10.2006 р. о 930 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 05.052.01 у Вінницькому національному технічному університеті за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Вінницького національного технічного університету за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

Автореферат розісланий __05.09.2006 р.__

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Захарченко С.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні роки стрімко зростають роль та можливості інформаційних технологій, і тому з'являються додаткові можливості для постановки та розв'язку актуальних для науки та практики нових задач в умовах невизначеності даних, які традиційно вважаються одними з найбільш складних. Проблеми математичного моделювання та розв'язку таких задач витікають із того, що для них існує тільки один об'єктивний та строгий математичний результат, який можна отримати за максимінним принципом. Якщо цей принцип або результат його використання є неприйнятним, то залишається використовувати експертні оцінки та суб'єктивні гіпотези щодо невизначених параметрів об'єкта моделювання. З цією метою в останні десятиліття широко застосовуються нечіткі множини (НМ) та лінгвістичні змінні, які дозволяють зменшити невизначеність даних за рахунок використання їх нечітких описів. Але, як відомо, теорія нечітких множин (ТНМ) має такі особливості, які призводять до ряду принципових проблем у процесі використання НМ як інструмента моделювання невизначених параметрів складних систем. Основні із цих проблем пов'язані з тим, що аксіоматичні основи ТНМ не дозволяють знайти таку інтерпретацію ступенів належності НМ, щоб одержати якесь об'єктивне джерело (або розрахунковий алгоритм) для визначення їх значень. Тому експертні оцінки становлять єдине джерело для одержання функцій належності НМ. Крім того ТНМ не має істотних формальних засобів для обмеження впливу суб'єктивних рішень експерта на результат визначення функції належності й формального контролю несуперечності цих рішень. З цих причин між станом недовизначеності (коли відомі тільки границі простору невизначеності) і станом нечіткого подання невизначеного параметра (коли стають відомими значення ступенів належності всіх елементів простору невизначеності) існує істотний логічний розрив, що значно ускладнює роботу експерта.

Тому є доцільною та актуальною розробка нових підходів до математичного моделювання складних систем в умовах невизначеності даних, які дозволять зняти або значно зменшити гостроту відзначених проблем.

Серед математичних моделей складних систем в умовах невизначеності даних на особливу увагу заслуговують моделі систем з неповністю визначеним вектором вхідних даних, неповністю відомими параметрами системи та лише з частково заданими координатами вектору вихідних даних. Такі моделі логічно віднести до обернено-прямих.

До використання таких моделей може бути зведено багато технічних та оптимізаційних задач. Зокрема обернено-прямою за своєю суттю є задача оцінювання стану електромережі та відтворення поточної картини електроспоживання за даними телеметрії, яка розглядається в цій роботі. Такий підхід до моделювання складних систем на цей час мало досліджений як на прикладному, так і на загально математичному рівні: відсутні формалізація таких задач та методи їх розв'язку, не існує спеціального формального понятійного апарату, який би дозволив адекватно відображати їх особливості. Тому розробка аксіоматичних засад теорії детермінізації та квазідетермінізації процесів в складних системах та технологій математичного моделювання систем з частково невідомими даними як на вході, так і на виході моделей, побудованих на цих засадах, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема роботи пов`язана з тематикою госпдоговірних тем №№ 8307, 8309, 8310 (№№ держреєстрації 0101U003920, 0101U003921, 0101U003922) між Вінницьким національним технічним університетом та ВАТ “АК Вінницяобленерго”, за якими за участю та під керівництвом автора виконувалась розробка та впровадження в експлуатацію системи відтворення електроспоживання в умовах недостатньої кількості телеметричної інформації. В цій системі використані розроблені в роботі математичні та комп'ютерні моделі і алгоритми квазідетермінізації режимів електроспоживання.

Мета та задачі дослідження. Метою дослідження є розширення можливостей та підвищення ефективності квазідетермінізації процесів в складних системах на основі нових технологій моделювання систем в умовах невизначеності даних.

Для досягнення цієї мети в даній роботі передбачається розв'язати наступні основні задачі:

1. Виконати постановку та формалізацію задачі детермінізації процесів в складних системах, як задачі математичного моделювання з частково невідомими даними як на вході, так і на виході моделі та запропонувати різні підходи до її розв'язання; сформулювати загальну математичну модель детермінізації процесів в складних системах; розрізнити процеси детермінізації та квазідетермінізації складних систем.

2. Формалізувати поняття слабкої множини (СМ) та на його основі створити основні засади теорії слабких множин, як нового, більш загального в порівнянні з теорією нечітких множин, засобу моделювання складних систем в умовах невизначеності їх параметрів.

3. Запропонувати підхід до математичного моделювання складних систем на основі слабких множин, який би дозволив моделювати невизначені параметри цих систем за умови відсутності навіть їх нечітких та лінгвістичних значень.

4. Встановити зв'язок між СМ та НМ, згідно якого слабко задані параметри складних систем могли б приймати відповідні нечітко задані значення.

5. Запропонувати принцип узагальнення для слабких множин, який дозволить знайти слабко задане значення звичайної функції слабкого аргументу, що значно розширить можливості математичного моделювання складних систем зі звичайними функціональними зв'язками між входом та виходом в умовах невизначеності вихідних даних.

6. Ввести метрику в просторі слабких описів невизначених параметрів, яка дасть можливість відрізнити неперервні та спадні слабко задані параметри складних систем.

7. Застосувати розроблену технологію моделювання складних систем на основі обернено-прямих математичних моделей та слабких множин до енергетичних систем електропостачання з метою відтворення картини електроспоживання за умов недостатності телеметричних даних. Для цього: створити теоретико-множинні моделі навантажень у вузлах електромережі в умовах їх невизначеності на основі звичайних, нечітких та слабких множин; створити методи побудови слабких множин навантаження у вузлах електромережі на основі експертних оцінок параметрів цих слабких множин та експертну систему, яка їх реалізує; розробити принципи переходу від слабко до нечітко заданих невизначених параметрів електроспоживання та від слабко заданих даних та результатів відтворення картини електроспоживання до їх детермінованих аналогів; розробити алгоритми квазідетермінізації та нечіткої квазідетермінізації процесів в системах електропостачання (СЕП) з використанням слабко заданих параметрів режиму електромережі.

Об'єктом дослідження є процеси в складних технічних системах в умовах невизначеності даних, до яких зокрема відносяться процеси електроспоживання в електроенергетичних системах електропостачання.

Предметом дослідження є математичні моделі відтворення процесів в складних системах в умовах невизначеності даних.

Методи дослідження. Виконані дослідження базувались на методології загальної теорії систем, системотехніки, теорії електричних систем, системного аналізу, теорії прийняття рішень, теорії нечітких множин та теорії можливостей. В якості засобів розв'язування поставлених задач використовувалось математичне та комп'ютерне моделювання. В процесі формулювання та обґрунтування основних положень та результатів роботи використовувалась математична логіка та теорія доведень, зокрема логіка висловлювань та логіка предикатів. В дослідженнях використовувались електронний процесор Excel, універсальна математична система Mathcad, а також мови програмування С++ та VBA.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Виконано постановку та формалізацію задач детермінізації та квазідетермінізації процесів в складних системах, що дозволило запропонувати новий підхід до математичного моделювання систем з частково невідомими даними як на вході, так і на виході системи, по новому сформулювати загальну математичну модель детермінізації процесів в складних системах та формалізувати задачу відтворення режиму споживання електроенергії у вузлах електричної мережі.

2. Розроблено основні засади теорії слабких множин (ТСМ), як нового, більш універсального в порівнянні з теорією нечітких множин, засобу моделювання невизначених параметрів складних систем. Ця теорія на відміну від існуючих вперше дає можливість моделювати складні системи в умовах, коли не задані не тільки числові, але навіть нечіткі та лінгвістичні значення їх невизначених параметрів. За необхідності введені в ТСМ слабкі описи можна використовувати як першу стадію формування нечітких описів невизначених параметрів. Це дозволяє обмежити рамки суб'єктивних рішень експерта по формуванню нечіткого опису та на формальному рівні контролювати його несуперечність, що неможливо було б досягнути, базуючись тільки на теорії нечітких множин.

3. Введено такі нові основоположні принципи теорії слабких множин та розроблено математичні та комп'ютерні моделі процесів застосування цих принципів: принцип узагальнення для слабких множин, який вперше дозволяє розповсюдити область визначення функціональних зв'язків між входом та виходом складної системи на клас слабко заданих параметрів, що значно розширює можливості математичного моделювання складних систем із звичайними функціональними зв'язками між входом та виходом системи в умовах невизначеності вихідних даних; принцип нечіткої середньої реалізації, який вперше дозволяє автоматично та узгоджено без використання експерта перейти від слабкого до нечіткого опису невизначеного параметра системи; принцип критичної грані впевненості, який дозволяє у випадку необхідності виконати перехід безпосередньо від слабко заданого до детермінованого значення параметра, минаючи стадію нечіткого опису цього параметра.

4. Вперше запропоновано теоретико-множинні моделі навантажень у вузлах СЕП в умовах їх невизначеності на основі звичайних, нечітких та слабких множин. Ці моделі на відміну від існуючих дозволяють застосувати єдиний підхід до розв'язання задачі відтворення режиму електроспоживання в електромережах, у вузлах яких одночасно задані детерміновані, нечіткі та слабкі значення навантажень.

5. Вперше розроблені методи побудови слабких множин навантаження у вузлах СЕП та експертна система, яка реалізує ці методи. Розроблені методи можуть використовуватись також для побудови слабких описів невизначених параметрів режиму інших складних систем. В сукупності з розробленими засадами ТСМ ці методи дають можливість розширити умови, за яких можливо відтворити процеси в цих системах, підвищити точність та ефективність такого відтворення та зменшити залежність отриманих результатів від суб'єктивних оцінок експертів.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Запропонована в роботі нова технологія математичного моделювання, яка базуються на використанні започаткованих в роботі теорій слабких множин, а також детермінізації та квазідетермінізації процесів в складних системах, дозволяє ставити та розв'язувати задачі відтворення станів складних систем, а також інші задачі в умовах невизначеності даних, коли невідомі не тільки детерміновані, але навіть і нечітко задані значення цих даних.

2. Розроблені методи побудови слабких множин, експертна система та комп'ютерні моделі реалізації цих методів можуть використовуватись для побудови слабких описів невизначених параметрів складних систем з метою їх самостійного використання або як перший етап побудови нечіткого подання невизначених параметрів з наступним автоматизованим або автоматичним переходом до відповідних нечітко заданих значень.

3. Створені теоретико-множинні моделі навантажень у вузлах електромережі дозволяють застосувати єдиний підхід до розв'язування задачі відтворення режиму електроспоживання в електромережах, у вузлах яких одночасно задані детерміновані, нечіткі та слабкі значення навантажень.

4. Отримані в роботі результати дозволили розробити нові алгоритми квазідетермінізації та нечіткої квазідетермінізації процесів в системах електропостачання з використанням слабко заданих параметрів режиму електромережі. Ці алгоритми розширюють область використання відомого алгоритму детермінізації, який вимагає наявності всіх необхідних даних, та дають можливість підвищити точність та ефективність розв'язання задачі відтворення параметрів електроспоживання, розширити умови, за яких може бути досягнуте таке відтворення, а також зменшити залежність його результатів від суб'єктивних оцінок експертів.

Одержані наукові результати використані в процесі розробки та декількох наступних модернізацій програмного комплексу “Аналітична Система Відтворення Електроспоживання” (АСВЕС), який впроваджений та успішно функціонує в оперативно-диспетчерській службі Вінницьких центральних високовольтних електромереж. Проводиться поетапне впровадження АСВЕС також в оперативно-диспетчерській службі Вінницьких східних високовольтних електромереж. АСВЕС дозволяє здійснювати поточний диспетчерський контроль електроспоживання в підприємствах електромереж з метою оптимального керування цим процесом, зменшення комерційних втрат електроенергії, виявлення вузлів мережі з неврахованим споживанням електроенергії, контролю виконання графіків обмежень електроспоживання і розв'язання інших задач енергозбереження в умовах недостатньої кількості реальних телевимірів.

Основні результати наукових досліджень дисертаційної роботи та створені автором комп'ютерні моделі використовуються у навчальному процесі кафедри електричних систем електроспоживання та електрозбереження Вінницького національного технічного університету при читанні лекцій з дисциплін “Електропостачання”, “Алгоритмізація оптимізаційних задач енергетики”, “Математичні методи оптимізації електроенергетичних систем” та “Системи автоматизованого проектування в електроспоживанні”, під час виконання лабораторних робіт та курсового і дипломного проектування студентами спеціальностей 7.090603 і 8.090603.

Обґрунтованість та достовірність отриманих результатів та наукових висновків забезпечується коректністю та строгістю постановок задач; коректним застосуванням апарату теорії нечітких множин, теорії можливостей та теорії електричних систем; строгим доведенням основних теоретичних положень та тверджень. Достовірність отриманих результатів перевірена за допомогою розроблених математичних та відповідних їм комп'ютерних моделей шляхом виконання обчислювальних експериментів на ЕОМ, а також в процесі експлуатації розробленої за результатами роботи та впровадженої у виробництво аналітичної системи відтворення електроспоживання.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові положення і результати, наведені в дисертаційній роботі, одержано здобувачем самостійно. В опублікованих у співавторстві роботах здобувачу належать: формалізація задачі детермінізації [1]; загальна математична модель детермінізації процесів в складних системах та формалізація понять детермінізації та квазідетермінізації [2, 10, 6, 15]; поняття функції розмитості та показника розмитості нечітких множин [9]; нетрадиційні відношення включення та рівності, а також нетрадиційні операції об'єднання, перетину, різниці, декартового добутку нечітких множин, теореми про комутативність та асоціативність нетрадиційних операцій, а також про зв'язок між переліченими нетрадиційними та звичайними операціями над множинами -рівня [3, 4, 5]; математична формалізація слабких множин, формулювання основних понять та положень теорії слабких множин, теореми про відношення лінійного нестрогого порядку в просторі напрямлених рівнів належності та про наявність найбільшого та найменшого елемента в цьому просторі [7, 12, 13, 16]; в [8, 17] - теоретико-множинні моделі навантажень у вузлах електромережі; теорема про необхідні та достатні умови, за яких слабка множина має тільки одну реалізацію; теорема про те, що слабка множина потужності вузла електромережі з відомою активною потужністю має тільки одну реалізацію, і ця реалізація є звичайною множиною потужності цього вузла; доведення того, що між будь-якими можливими значеннями активної потужності вузла електромережі та відповідними слабкими множинами активних потужностей цього ж вузла існує бієктивна відповідність.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати виконаних в дисертації досліджень доповідались на міжнародних науково-технічних конференціях "Контроль і управління в складних системах" (м. Вінниця, 1995, 1997, 2001, 2003, 2005); 12-й міжнародній конференції з автоматичного управління (м. Харків, 2005); науково-технічних конференціях Вінницького національного технічного університету (ВНТУ) в період з 1995 по 2003 років; розширеному засіданні кафедр “Електромеханічних систем автоматизації”, “Моделювання та моніторингу складних систем”, “Електротехнічних систем електроспоживання та енергозбереження” і “Електричних станцій та систем” (м. Вінниця, ВНТУ, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 17 наукових роботах, у тому числі 9 статтях із яких 8 у наукових виданнях за переліком ВАК України, 3 - в матеріалах міжнародних наукових конференцій, 4 - в збірках тез міжнародних наукових конференцій, 1 - в збірці наукових праць.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку літератури (274 найменувань), чотирьох додатків. Повний обсяг роботи - 234 стор. (основна частина - 146 стор.), рисунків - 47.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету та задачі досліджень, відзначено наукову новизну та практичну цінність роботи.

В першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертаційної роботи та поставлені задачі досліджень.

Другий розділ присвячено розробці засад теорії слабких множин, яка згідно поставлених задач дослідження створює теоретичну базу для математичного моделювання складних систем в умовах невизначеності їх параметрів, коли відсутні не тільки числові, а навіть нечіткі та лінгвістичні значення цих параметрів.

Для формалізації основного поняття слабкої множини попередньо введені поняття: простору ненапрямлених рівнів належності M_a (на відміну від ступенів належності в теорії нечітких множин), як множини, яка утримує найменший minM_a та найбільший maxM_a елементи відносно деякого, заданого на ній, нестрогого лінійного порядку D_a ; напрямленості, як властивості рівня належності, яка може приймати одне із двох можливих значень із простору напрямленостей рівнів належності M_w = {+, -}, на якому задано нестрогий лінійний порядок D_w-- такий, що D_w = {(+, +), (+, -), (-, -)}; простору напрямлених рівнів належності M_aw, як множини M_aw = M_a M_w \ {( maxM_a; minM_w)} із заданим на ній бінарним відношенням строгого досконалого порядку S_aw таким, що

Діагональні відношення E_a, E_w, E_aw на M_a, M_w, M_aw прийняті за відношення рівності елементів відповідних множин, а їх доповнення - за відповідні відношення нерівності. Відношення S_a = D_a \ E_a, S_w = D_w \ E_w та D_aw = S_aw E_aw прийняті за відношення строгого порядку на множинах M_a, M_w та нестрогого порядку на M_aw, що є природним для теорії бінарних відношень. Елементи множини M_aw є упорядкованими парами (, w), M_a, wM_w, для яких вводиться також більш просте та зручне позначення a^--w. У випадку відомого значення напрямленостей (наприклад w + та y ) будемо також писати (, +), (, ) або a^--+, та називати рівень a^--+ позитивно напрямленим, а рівень - негативно напрямленим.

Доведено теореми, одна із яких (теорема 1) задає необхідні і достатні умови для відношення D_aw , виражаючи його через відношення D_a , E_w та S_w , а друга (теорема 2) визначає найменший minM_aw та найбільший maxM_aw елементи множини M_aw:

Теорема 1. Відношення D_aw на M_aw є відношенням лінійного нестрогого порядку напрямлених рівнів належності тоді та тільки тоді, коли для будь-яких(a, w_a), (b, w_b) M_aw істинним є вираз

Теорема 2. Множина напрямлених рівнів належності утримує найменший та найбільший елементи, для яких справедливі рівності minM_aw = (minM_a, minM_w), maxM_aw = (maxM_a, maxM_w).

Слабкою множиною в універсумі X в дисертації названо множину упорядкованих пар {(x, _A(x)) | xX _A: X M_aw}, а векторну функцію _A - функцією напрямлених рівнів належності, або просто функцією рівнів (ФР) СМ . ФР довільної СМ можна подати у вигляді пари функцій a_A : X M_a--, w_A : X M_w таких, що (a_--A(x) = 1 w_--A(x) -) (w_--A(x) = - a_--A(x) 1), xX. Першу функцію пари a_A, яка ставить у відповідність кожному елементу універсума X деякий ненапрямлений рівень належності, будемо називати функцією ненапрямлених рівнів (ФНР) СМ , а другу функцію пари w_A, яка задає тим самим елементам напрямленість їх рівнів належності - функцією напрямленостей слабкої множини .

Таким чином функцію рівнів слабкої множини можна подати у векторному вигляді, як функцію _A, або в координатному, як пару функцій (a_A, w_A).

Введені також поняття пустої та повної слабкої множини, а також носія слабкої множини supp:

В роботі детально розглядається випадок простору ненапрямлених рівнів M_a = [0; 1] із заданими на ньому природними відношеннями порядку , та оберненими до них , , а також діагональним відношенням = та його доповненням . В цьому випадку M_aw = [0; 1] {+, -} \ {(1; -)}. Для зручності відношення S_w, D_w, E_w, на множині M_w = {+, -}, а також відношення S_aw, D_aw, E_aw, на множині M_aw будемо позначати однаково знаками , , =, , аналогічно відповідним відношенням на множині дійсних чисел. Відношення, обернені до відношень S_w, S_aw та D_w, D_aw, будемо теж позначати однаково знаками та відповідно.

Теорема 3 вводить в просторі напрямлених рівнів належності M_aw метрику r_M так, щоб відстань між будь якою парою однонапрямлених рівнів належності r_M(^w, ^w) була рівна звичайній відстані між відповідними ненапрямленими рівнями належності r_R(, ) | |. Ця теорема формулюється так:

Теорема 3. Функція r_M : R₊₀ така, що

є метрика в просторі M_w , для якої виконується умова

де R₊₀ {0}R₊, R₊ - множина додатних дійсних чисел.

Введена метрика дала можливість означити поняття неперервних, зростаючих, неспадних, незростаючих та спадних функцій рівнів слабкої множини, а також ввести поняття напрямленої осі рівнів належності, як геометричної інтерпретації простору M_aw (рис. 1).

Введено поняття напрямленої координатної системи, в якій віссю абсцис є вісь дійсних чисел, а віссю ординат - напрямлена вісь рівнів належності. Запропоновано графічно зображувати слабкі множини в напрямлених осях координат у вигляді графіку ФР та в звичайних декартових осях - у вигляді графіку ФНР (рис. 2). Оскільки ФНР не утримує інформації про напрямленість рівнів належності, то в останньому випадку частина графіку, яка відповідає позитивно напрямленим рівням належності позначається суцільною лінією, а частина графіку, яка відповідає негативно напрямленим рівням належності - пунктирною лінією. Для однотипності аналогічні позначення використовуються і у випадку ФР в напрямлених осях.

В третьому розділі розглядається зв'язок слабких множин із чіткими та нечіткими множинами через введене далі поняття реалізації слабкої множини. Через цей зв'язок пояснюється семантика функції рівнів слабкої множини. Вводиться принцип узагальнення для слабких множин та класифікація СМ.

Звичайною реалізацією слабої множини в X будемо називати звичайну множину A X таку, що xX (xA w_A(x) = +). Нечіткою реалізацією або просто реалізацією слабкої множини в X будемо називати нечітку множину в X, функція належності якої m_A : X M_a задовольняє

Показано, що звичайна реалізація слабкої множини є окремий випадок її нечіткої реалізації. Із означення реалізації випливає, що ненапрямлені рівні належності (x) в залежності від напрямленості w(x) можна розглядати як мінімально або максимально можливі ступені належності цих елементів реалізаціям слабкої множини. При цьому позитивно напрямлені рівні належності задають мінімально можливі значення ступенів належності, а негативно напрямлені - їх максимально можливі значення. Це відповідає концепції слабкої множини, згідно якої слабка множина не формує в універсумі ніяких звичайних або нечітких множин, а є більш загальною математичною структурою, яка для кожного елемента універсума задає тільки деякі граничні максимально або мінімально можливі значення ступенів належності ще не сформованій нечіткій множині. Показано, що слабкі множини ні за яких умов не переходять у нечіткі (звичайні) множини, але можуть реалізуватися у вигляді нечітких та звичайних множин.

Введено поняття множини всіх реалізацій слабкої множини в X, як системи множин, елементами якої є нечіткі множини в X, функції належності яких задовольняють умові (1):

На множині всіх реалізацій виділені верхня та нижня реалізації СМ в X, як нечіткі множини

Із (2) випливає, що верхня реалізація є найбільшою, а нижня - найменшою із усіх можливих нечітких реалізацій СМ в X. Для практичного використання слабких множин важливо знати, за яких умов існують верхня та нижня реалізації слабких множин та визначальні умови для цих реалізацій. Відповіді на ці запитання дає наступна доведена в роботі теорема.

Теорема 4. Для будь-якої слабкої множини в X існують верхня та нижня реалізації, функції належності яких задовольняють умовам

Введено також поняття області (зони) реалізацій СМ, як множини точок в декартових осях координат, які задовольняють означенню реалізацій СМ, зображеної в цих же осях (рис. 2). Показано, що зона реалізацій слабкої множини обмежується знизу та зверху відповідно її нижньою та верхньою реалізаціями. Саме ця зона дозволяє обмежити рамки суб'єктивних рішень експерта по формуванню нечіткого опису невизначеного параметру та на формальному рівні контролювати їх несуперечність. Адже, якщо графік функції належності неповністю буде лежати в цій зоні, то нечіткий опис невизначеного параметру буде суперечити його слабкому опису. Введені поняття множини рівнів M_A та множини напрямленостей M_wA СМ , , а також позитивно , негативно та змішано напрямлених слабких множин:

Доведені теореми про те, що верхня реалізація будь-якої позитивно напрямленої слабкої множини є звичайною множиною і дорівнює універсуму, а нижня реалізація будь-якої негативно напрямленої слабкої множини є пустою множиною. Показано, що СМ розбиває елементи універсума та будь-яку його непусту підмножину в загальному випадку на два класи, які не перетинаються. Один із цих класів може бути пустим. Перший із цих класів утримує всі елементи універсума (або відповідно його підмножини) із негативною напрямленістю рівнів належності, а другий - з позитивною. Цей факт закріплено в означеннях понять класів позитивної та негативної напрямленостей слабкої множини в X та класів позитивної та негативної напрямленостей звичайної непустої підмножини D універсума відносно заданої в цьому універсумі слабкої множини :

Показано, що введені поняття мають такі властивості:

Для означення принципу узагальнення для слабких множин в цьому розділі попередньо введено поняття верхньої та нижньої точних граней для будь-якої підмножини MM_aw, а також верхньої _A(x) та нижньої _A(x) точних граней напрямлених рівнів належності елементів множини D X відносно слабкої множини в X по аналогії до відповідних понять числових множин. Базуючись на цих поняттях введено принцип узагальнення для слабких множин, заданих в області визначення деякого звичайного відображення f : XY

Введений принцип має основоположне значення для ТСМ. Він дозволяє визначати значення звичайних функцій при слабкому рівні визначеності їх аргументів, що дає можливість математично моделювати функціональні зв'язки між входом та виходом складної системи в умовах відсутності навіть нечітко виражених вхідних даних. Доведено теореми, які дозволяють виразити верхню та нижню точні грані напрямлених рівнів належності через звичайні верхню та нижню точні грані множин дійсних чисел. Коротко їх можна сформулювати так:

Ці теореми дають можливість практично реалізувати розрахунки за введеним принципом узагальнення, використовуючи відомі методи визначення верхніх точних граней звичайних числових множин.

В четвертому розділі формалізовано поняття обернено-прямих математичних моделей складних систем, а також задач детермінізації та квазідетермінізації процесів в цих системах, як задач відтворення їх невідомих параметрів та координат вхідного та вихідного векторів для кожного моменту часу за рахунок відомих координат цих векторів та відомих законів, які управляють системою. Введена нова класифікація задач квазідетермінізації в залежності від інформаційної ситуації, в якій розв'язуються ці задачі. Загальна задача детермінізації інтерпретована до такої технічної системи як СЕП, розроблені теоретико-множинні моделі навантажень елементів СЕП на основі звичайних, нечітких та слабких множин.

Аксіоматичні засади теорії детермінізації побудовані на таких постулатах: для будь-якої технічної системи S існує непустий клас систем , якому вона належить; на класі діють закони Z, яким підкоряється кожна система цього класу; кожна система S_i класу в кожний момент часу може бути подана у вигляді скінченної множини E_i елементів, i 1,2, … q де q - кількість систем в класі ; універсум елементів є відома скінченна множина, потужність якої не змінюється в часі. Для класу введено декомпозицію D_K цього класу, як пару виду D_K (U, P), де P {|| p_ij ||, i 1,…, w; j 1,…, n} - простір можливих властивостей всіх елементів універсуму U, || p_ij || - матриця властивостей елементів універсуму U, w - кількість елементів універсуму U, n - максимальна кількість властивостей елемента із U.

Нехай система S потребує відтворення. На основі декомпозиції D_K класу для системи S введено простір моделей системи S на декомпозиції D_K, як декартів добуток C P, де: C (E²) - простір структур можливих моделей системи S. Носій цього простору E(U) є множиною елементів моделі системи S, де (U) - множина всіх підмножин універсуму U; (E²) - множина бінарних відношень на E таких, що їх транзитивне замикання зв'язне

Упровадження для системи S простору моделей дає можливість розглядати її як динамічну систему, для якої множина всіх її елементів, структура та матриця властивостей можуть змінюватись: від системи S можуть відділятись окремі підсистеми та елементи, до неї можуть приєднуватись окремі елементи та цілі системи з класу , структура c може змінюватись в силу зміни зв'язків між елементами навіть при сталій потужності множини елементів E. Така технічна система як електрична мережа, добре ілюструє вищенаведені поняття та визначення. Структура моделі цієї системи з такими елементами, як підстанції та лінії, може змінюватись в часі залежно від стану комутаційних пристроїв, а також за рахунок виходу із ладу і демонтажу існуючих та введення в дію нових елементів.

Введено поняття закону Z на просторі моделей , як відображення виду

- простори можливих вхідних та вихідних параметрів, h - кількість елементів скінченої множини E. Згідно вищенаведених означень кожна модель

Загальна математична модель детермінізації процесів складної системи має вигляд: (y_в, y_н) = Z((x_в, х_н),(c, p_в, p_н)), де відповідно y_в, y_н - відомі та невідомі компоненти вектора вихідних параметрів y; x_в, х_н - відомі та невідомі компоненти вектора вхідних параметрів x; p_в, p_н - множина відомих та невідомих параметрів системи S. Сукупність даних (x_в, y_в, p_в) названа детермінувальною якщо вона достатня для відтворення значень трійки (х_н, y_н, p_н). Якщо ж наявна сукупність даних не є детермінувальною, то виникає необхідність в квазідетермінізації, тобто визначенні невідомих параметрів системи x_н, y_н, p_н з прийнятною в межах задачі похибкою. В роботі запропоновано новий підхід до квазідетермінізації процесів в складних системах шляхом доповнення наявної сукупності даних до детермінувальної за рахунок не тільки нечітких, але й слабких оцінок невизначених параметрів. Для реалізації нового підходу до квазідетермінізації режимів електроспоживання в СЕП вперше запропоновані теоретико-множинні моделі електричних навантажень у вузлах електромережі на основі звичайних, нечітких та слабких множин та введені поняття активної та реактивної звичайної {p}, {q} нечіткої , та слабкої , множин потужності. Для випадку відомої активної потужності P вузла СЕП: {p} { p | 0 p P}. У випадку невизначеної активної потужності ці моделі, з використанням введеної в просторі M_aw метрики r_M, мають вигляд:

Доведені теореми та твердження, які показують, що між числовим значенням потужності вузла електромережі та відповідними звичайною, нечіткою та слабкою множинами потужності цього вузла існує взаємно однозначна відповідність, а нечіткі та слабкі множини потужності зводяться до звичайної множини потужності у випадку, коли потужність вузла відома. Доведені також теореми, які показують, як у випадку відомої потужності P вузла електромережі можна однозначно перейти від теоретико-множинного до числового подання цієї потужності та навпаки. Зокрема для найбільш універсального випадку СМ доведено, що: P sup{supp} і P sup (R₊₀)_P. Базуючись на відомому принципі узагальнення для нечітких множин та введеному в цій роботі принципі узагальнення для слабких множин, отримані функціональні зв'язки між нечіткими та слабкими множинами активної потужності та відповідними множинами реактивної потужності. Ці залежності здатні значно спростити та прискорити виконання експертних процедур оцінки слабких та нечітких величин потужностей вузлів та елементів СЕП.

В п'ятому розділі розроблені принципи, математичні моделі та методи, які дозволили реалізувати новий підхід до квазідетермінізації картини електроспоживання в СЕП в умовах недостатньої кількості телевимірів з використанням слабких оцінок невизначених параметрів, та показана їх працездатність, ефективність та адекватність. Для цього обґрунтовано та сформульовано вимоги до методів побудови ФР слабкої множини потужності (СМП) вузла електромережі, у відповідності з якими розроблено методи побудови двох видів функції рівнів СМП: нормальної, яка виражена через гауссову функцію стандартного виду, та лінійної (рис. 3). За кожним із методів експерт оцінює тільки два параметри: найбільше (P_min) та найменше (P_max) можливе значення потужності, стосовно яких навіть нижня (відповідно верхня) границя впевненості в тому, що така потужність має місце, дорівнює 100% та відповідно 0%. Показано, що ФР нормальної nN_P та лінійної nL_P СМ активної потужності мають вигляд

Введено поняття фаззифікації слабких множин, як процесу переходу від слабкої до нечіткої множини. Розроблено принцип фаззифікації СМ, названий принципом середньої реалізації. Цей принцип вперше дозволяє обмежити рамки суб'єктивних рішень експерта по формуванню нечіткого опису невизначеного параметра та на формальному рівні контролювати несуперечність такого опису, що неможливо було б досягнути тільки за рахунок засобів ТНМ. Крім того розроблений принцип дозволяє взагалі обійтись без використання експерта в процесі переходу від слабкої до нечіткої множини. Згідно цього принципу НМ в R₊₀ є середньою реалізацією СМ в R₊₀

Таким чином, замінюючи СМ її середньою нечіткою реалізацією, ми переходимо до такої НМ, ступені належності якій всіх елементів універсума дорівнюють середнім можливим значенням таких ступенів, які не суперечать СМ. Цей принцип нагадує принцип переходу від випадковості до детермінізму шляхом заміни всіх наявних випадкових величин їх математичними очікуваннями. На рис. 4 показана нормальна активна СМП та її середня нечітка реалізація отримана з допомогою створеної автором комп'ютерної моделі побудови функції рівнів СМП на базі математичної системи MathCad при P_min 1 МВт та P_max 3 МВт.

Введено поняття посилення та сильного значення слабкої множини. Запропоновано принцип посилення слабких множин, названий принципом критичної грані впевненості (КГВ), який дозволяє перейти від слабкої множини до відповідного числового значення, минаючи стадію нечіткого опису. За цим принципом особа, що приймає рішення, задає критичну грань впевненості у вигляді напрямленого рівня належності n_кр, а сильне значення слx СМ в X визначається як прообраз n_кр при відображенні n_A, тобто

Базуючись на математичних моделях та методах, розроблених в цій роботі, вперше синтезовано алгоритм квазідетермінізації картини електроспоживання в СЕП та новий алгоритм нечіткої квазідетермінізації з використанням слабко заданих навантажень у вузлах електромережі. Це дало можливість розширити алгоритм звичайної детермінізації на ту частину електромережі, яка не є спостережуваною, і в якій не задано не тільки числових, але й нечітких чи лінгвістичних значень параметрів режиму, та зменшити залежність отриманих результатів від суб'єктивних оцінок експертів. Опираючись на результати досліджень автора та інших розробників АСВЕС, в цьому розділі виконана оцінка ефективності розроблених алгоритмів квазідетермінізації процесу електроспоживання в СЕП. Показано, що із зростанням відносної кількості трансформаторних підстанцій, обладнаних телеметричними пристроями, швидкість спадання максимальної похибки квазідетермінізації зменшується (рис. 5 демонструє цю залежність для високовольтних мереж ВАТ “АК Вінницяобленерго”). Тому доцільність додаткових капіталовкладень в розвиток інформаційно-вимірювальних систем залежить від того, яка точка на кривій рис. 5 вже досягнута, і яка точність детермінізації режимів електроспоживання задовольняє користувача АСВЕС - чим правіше лежить на кривій рис. 5 вже досягнута точка інформаційного забезпечення АСВЕС, тим менш доцільними стають подальші капіталовкладення в інформаційно-вимірювальні системи.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі створено нову технологію моделювання складних систем в умовах невизначеності даних, на основі якої побудовані математичні моделі квазідетермінізації процесів в складних системах. На основі цих моделей розроблені методи та алгоритми відтворення процесу електроспоживання для енергетичних систем електропостачання в умовах відсутності детермінувальної сукупності даних.

Отримані в роботі результати дозволяють зробити такі основні висновки:

1. Виконано постановку та формалізацію задач детермінізації та квазідетермінізації процесів в складних системах. Це дозволило запропонувати новий підхід до математичного моделювання систем з частково невідомими даними як на вході, так і на виході системи, сформулювати загальну математичну модель детермінізації процесів в складних системах та формалізувати задачу відтворення режиму споживання електроенергії у вузлах електричної мережі.

2. Створено основні засади теорії слабких множин, як нового більш загального в порівнянні з теорією нечітких множин засобу моделювання складних систем в умовах невизначеності їх параметрів. Ця теорія вперше дає можливість описувати та оперувати такими параметрами системи, для яких не задані не тільки чіткі, але й навіть нечіткі або лінгвістичні значення, а також обмежити рамки суб'єктивних рішень експерта по формуванню нечіткого опису невизначеного параметра складної системи та на формальному рівні контролювати несуперечність такого опису, що неможливо було б досягнути базуючись тільки на ТНМ.

3. Вперше введено принцип узагальнення для слабких множин, який дозволяє знайти слабке значення звичайної функції за відомим значенням слабко заданого аргументу. Саме так в цій роботі розраховується слабка множина реактивної потужності елемента СЕП за відомою слабкою множиною активної потужності. Це дало можливість значно спростити та прискорити виконання експертних процедур оцінки слабких величин потужностей вузлів та елементів СЕП.

4. Розроблено принцип нечіткої середньої реалізації для фаззифікації слабких множин, який вперше дозволяє повністю автоматизувати процес переходу від слабкого до нечіткого опису невизначеного параметра. Саме так відбувається перехід від слабкої до нечіткої множини потужності в розробленому в цій роботі алгоритмі нечіткої квазідетермінізації процесів в СЕП. Це значно підвищило ефективність алгоритму та зменшило залежність результатів його роботи від суб'єктивних рішень експерта.

5. Запропоновано принцип критичної грані впевненості для посилення слабких множин, який дозволяє у випадку необхідності виконати перехід безпосередньо від слабко заданого до детермінованого значення параметра СЕП, минаючи стадію нечіткого опису цього параметра. Саме такий перехід вперше використаний в розробленому автором алгоритмі квазідетермінізації режиму електроспоживання в СЕП, що значно прискорило виконання розрахунків.

6. Створено нові теоретико-множинні моделі електричних навантажень у вузлах електромережі на основі звичайних, нечітких та слабких множин. Ці моделі, на відміну від існуючих, дозволяють реалізувати єдиний підхід до моделювання та одночасного використання як відомих, так і невизначених параметрів режиму СЕП, заданих в детермінованій, нечіткій та слабкій формі.

7. Вперше розроблено два методи побудови функцій рівнів слабких множин потужності вузлів та елементів СЕП, які реалізовані в розробленій автором експертній підсистемі АСВЕС і використовуються як для довгострокового прогнозування, так і для відтворення поточної картини електроспоживання. Обґрунтовані умови, за яких доцільно використовувати кожен із цих методів.

8. Базуючись на математичних моделях та методах, розроблених в цій роботі, вперше синтезовано алгоритм квазідетермінізації картини електроспоживання в СЕП та новий алгоритм нечіткої квазідетермінізації з використанням слабко заданих навантажень у вузлах електромережі. Це дало можливість розширити сферу використання алгоритму звичайної детермінізації процесу електроспоживання в СЕП на ту частину електромережі, яка не є спостережуваною і в якій не задано не тільки числових, але й нечітких чи лінгвістичних значень параметрів режиму, підвищити точність та ефективність розв'язання цієї задачі, та зменшити залежність отриманих результатів від суб'єктивних оцінок експертів.

9. Розроблені в роботі математичні моделі, методи та алгоритми поетапно реалізовані в розробленій за участю та під керівництвом автора аналітичній системі відтворення картини електроспоживання, яка впроваджена і успішно функціонує у високовольтних підприємствах електромереж ВАТ “АК Вінницяобленерго”.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Мокін Б.І., Камінський В.В., Кацив С.Ш. Детермінізація процесів в складних системах з використанням обернено-прямих математичних моделей // Вісник Вінницького політехнічного інституту. - 1997. - N 3. - С. 105 - 109.

2. Мокін Б.І., Камінський В.В., Кацив С.Ш. Система відтворення режиму електроспоживання в умовах недостатньої кількості телеметричної інформації // Вісник Вінницького політехнічного інституту. - 1999. - N 2. - С. 63 - 65.

...