Разработка системы диагностики и контроля знаний студентов по математическому анализу с помощью пакета Mathematica

Далее приложен наглядный материал реализации корректирующего задания

Сходимость числовых последовательностей

Найдите предел последовательности Для указанного найдите такое натуральное число , чтобы все элементы последовательности с номерами совпадали с предельным значением до k-го знака после запятой. Если последовательность бесконечно большая, то для заданных значений M надо указать такое значение чтобы для всех членов бесконечно большой последовательности с номерами выполнялось неравенство Изобразите график сходящейся последователь- ности и ее предел.

Алгоритм решения

1) Введсти элемент последовательности как функцию перемен-ной n.

2) Используя символьную математику пакета, найти аналитический предел a последовательности

3) Записать уравнение для определения и решить его, используя символьную математику.

4) Для каждого заданного значения е вычислить .

5) Для (например,) вычислить и сравнить его с е.

6) Выбрав достаточно большое N, вычислить значение элементов последовательности для и изобразить на графике элементы последовательности как функции переменной n.

7) Изобразить на том же графике горизонтальные прямые

Выполнение задания

1. Для бесконечно малых и других сходящихся последователь-ностей:



2. Для бесконечно больших последовательностей:



Контролирующие задания

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Вычисление двойных интегралов

Вычисление двойных интегралов по определению

Пусть ? жорданово множество (в частности, D может представлять собой ограниченную область в плоскости XOY, замыканием которой является замкнутая кусочно-гладкая кривая без точек самопересечения) и задана функция , . Пусть , где ? разбиение прямоугольника П произвольным образом на n прямоугольников , имеющих площади , и диаметры соответственно (диаметром назовем наибольшую диагональ замыкания прямоугольника разбиения). Параметр разбиения . Фиксируя в каждом прямоугольнике произвольную точку , составим интегральную сумму

Предел этой интегральной суммы при стремлении параметра разбиения к 0, будет двойным интегралом от функции по множеству D

Существование предела и независимость его от способа разбиения и выбора точек , , следует из интегрируемости функции на жордановом множестве D.

Постановка задачи 1

Вычислить двойной интеграл как предел интегральной суммы, если , .

Алгоритм решения

1) Прямые ,параллельные OY и разбивающими область D, имеют уравнение

.

2) Разобьём область D на прямоугольники с помощью прямых , параллельных OX. Их уравнения:

.

3) Найдем площадь прямоугольника элементом разбиения области D:

.

4) Вычислим значение подинтегральной функции в правых верхних вершинах прямоугольников разбиения, т.е. в точках

.

5) Составим интегральную сумму

.

6) Вычислим её предел при

Выполнение задания

Функция Int

Назначение: реализует вычисление двойного интеграла от функции f(x,y) как предел интегральной суммы по множеству D.

Прототип: Int[f_,a_,b_,c_,d_]

Параметры: f - подинтегральное выражение в виде f=f(x,y) в интеграле

a, b- границы изменения переменной x,

c, d-границы изменения переменной y.

Возвращаемое значение: значение интеграла как предел интегральной суммы по множеству D

Реализация:

Решение:

Контролирующие задания

Вычислить двойные интегралы по определению: разбивая область интегрирования D прямыми , (,) на прямоугольники, составить интегральную сумму для функции по области ; выбрать значения подынтегральной функции в правых вершинах прямоугольников разбиения и найти предел интегральнoй суммы.

№	a	b	c	d	f(x, y)
1.	0	2	1	3
2.	1	2	-1	1
3.	-1	2	0	2
4.	-2	0	1	2
5.	-2	2	1	3
6.	1	3	2	4
7.	1	3	0	2
8.	1	4	0	2
9.	-1	0	-2	2
10.	-1	1	0	3
11.	-2	2	0	1
12.	-1	0	2	4
13.	0	2	-1	2
14.	0	3	-1	2
15.	-2	0	-1	3
16.	1	2	-1	0
17.	-3	0	2	4
18.	-2	-1	1	2
19.	1	3	0	2
20.	2	4	0	3

Приложение двойных интегралов к вычислению объёмов и площадей

Приложения двойного интеграла определяются его геометрическим смыслом, который заключается в том, что если в формуле , то интеграл выражает площадь области D

.

При переходе к полярным координатам эта формула принимает вид

При переходе к обобщенным полярным координатам, получим формулу площади области , являющейся прообразом области D при переходе к обобщенным полярным координатам:

Постановка задачи 2

Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной заданными кривыми

Алгоритм решения

1) Нарисуйте область D ограниченную кривыми. Для этого мы используем функцию Plot.

2) В двойном интеграле перейдите к повторному и расставьте в нем пределы интегрирования, опираясь на изображение области D. Помните: в крайнем слева интеграле пределы интегрирования константы, во внутреннем интеграле, пределы интегрирования функции определяющие заданные кривые в виде: . По графику видно, что необходимое данную область разбить на 2 части.

3) Для определения пределов интегрирования в повторном интеграле, надо найти точки пересечения графиков .

4) Вычислить повторный интеграл.

Выполнение задания

1) Нарисуйте область D ограниченную кривыми. Для этого мы используем функцию Plot.

2) В двойном интеграле перейдите к повторному и расставьте в нем пределы интегрирования, опираясь на изображение области D. Помните: в крайнем слева интеграле пределы интегрирования константы, во внутреннем интеграле, пределы интегрирования функции определяющие заданные кривые в виде: . По графику видно, что необходимое данную область разбить на 2 части.



3) Для определения пределов интегрирования в повторном интеграле, надо найти точки пересечения графиков .

Функция Solve

Назначение: находит решение системы уравнений.

Прототип: Solve[{= =0,…, = =0},{,…,}]

Параметры: - выражение в виде f=f(x)

-переменные относительно, которых ищется решение

Возвращаемое значение: изображение графика функций f(x).

4) Вычислить повторный интеграл

Контролирующие задания

№	Двойной интеграл	Уравнения кривых, ограничивающих область D
1
2
3
4
5
6
7
8		Треугольник с вершинами A(2,3), B(7,2), C(4,5)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Постановка задачи 3

Найти площадь области, ограниченной линиями: :,

Алгоритм решения

1) Построив данные полукубические параболы, получим криволинейный четырехугольник . Точки и пересечения кривых найдены путем совместного решения системы уравнений, задающих границы области.

2) Так как область симметрична относительно оси , ее площадь равна удвоенной площади криволинейного треугольника , расположенного в первом квадранте.

3) Согласно формуле , получим:

Если интегрировать в другом порядке, то необходимо разбить область прямой, проходящей через точку , параллельно оси на две части. Тогда

.

Выполнение задания

Функция: S

Назначение: реализует вычисление площади области, ограниченной линиями;

Прототип:S[a_,b_,]

Параметры:

a,b- границы интегрирования переменной y,

-границы интегрирования переменной x.

Возвращаемое значение: площадь области.

Реализация:

Постановка задачи 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

Алгоритм решения

1) В уравнении кривой, ограничивающей область D, подставить полярные координаты , или обобщенные полярные . Получится выражение заданной кривой в полярных координатах в виде F()=0 или F()=0

2) Получить уравнение заданной кривой в полярных координатах. Для этого надо выразить из полученного выше выражения для кривой и решить неравенство

3) Расставить пределы интегрирования и вычислить площадь области по формулам и

Выполнение задания

1) В уравнении кривой, ограничивающей область D, подставить полярные координаты , или обобщенные полярные . Получится выражение заданной кривой в полярных координатах в виде F()=0 или F()=0

2) Получить уравнение заданной кривой в полярных координатах. Для этого надо выразить из полученного выше выражения для кривой и решить неравенство

3) Расставить пределы интегрирования и вычислить площадь области по формулам и

Если , с помощью двойного интеграла можно вычислить объём элементарного множества в , называемого цилиндроидом. В частности, цилиндроидом является множество

,

ограниченное сверху гладкой поверхностью, задаваемой функцией ,, снизу -- плоскостью , а с боков -- цилиндрической поверхностью, с образующими, параллельными оси OZ, которая проектируется в плоскость XOY область D. Такое тело является жордановым множеством и его объем вычисляется по формуле

Постановка задачи 5

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями , .

Алгоритм решения

1) Построить изображение фигуры, ограниченной заданными поверхностями

2) Построим проекцию заданного тела в одну из координатных плоскостей. Эта проекция определяет пределы интегрирования в двойном интеграле.(В примере рассматривается проекция на )

3) Если рассматривается проекция в плоскость , нужно расставить в соответствующем повторном интеграле пределы по х и у с учетом возможной симметрии тела.

4) Вычислить полученный повторный интеграл.

Выполнение задания

1) Построить изображение фигуры, ограниченной заданными поверхностями

?Graphics3D?

Построим проекцию заданного тела в одну из координатных плоскостей. Эта проекция определяет пределы интегрирования в двойном интеграле.(В примере рассматривается проекция на )

2) Если рассматривается проекция в плоскость , нужно расставить в соответствующем повторном интеграле пределы по х и у с учетом возможной симметрии тела.

3) Вычислить полученный повторный интеграл.

Контролирующие задания

Найти объемы тел, ограниченных данными поверхностями:

1.	, , , , ,	2.	, , , в первом октанте
3.	,	4.	, , , ,
5.	, , ,	6.	, , , ,
7.	, , , ,	8.	, , , ,
9.	, , , ,	10.	, , ,
11.	, , , ,	12.	, ,
13.	, , ,	14.	, ,
15.	, , ,	16.	, , , ,
17.	, ,	18.	,
19.	, ,	20.	,

Числовые ряды

Числовые ряды с неотрицательными членами

Числовым рядом называют сумму вида

где a_n, n = 1,2,..., - действительные числа, называемые членами ряда. Сумма первых n членов ряда S_n называется n-ой частичной суммой ряда:

.

Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм (S_n) этого ряда. Этот предел S называют суммой ряда и обозначают:

, .

Говорят, что ряд расходится, если предела последовательности частичных сумм не существует или он бесконечен.

Необходимое условие сходимости числового ряда. Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность членов ряда стремилась к 0 при n:

Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Если условие выполнено, то ряд может быть сходящимся или расходящимся. Значит, при выполнении условия необходимо провести дополнительное исследование ряда на сходимость.

Постановка задачи 1

С помощью необходимого признака сходимости ряда установить, какие из заданных ниже рядов заведомо расходятся? Для рядов, для которых условие выполняется, построить графики последовательностей частичных сумм и членов ряда.

Задание 1.1

Выполнение задания

Проверить выполнение необходимого условия сходимости числовых рядов для

Ряд -- расходится

Задание 1.2

Выполнение задания

Значит для ряда выполняется необходимое условие

Построить график частичных сумм

Контролирующие задания

1	a); b)	9	a); b)
2	a); b)	10	a); b)
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8		16

Признаки сходимости

Обобщенным гармоническим рядом называют ряд , который сходится при 1 и расходится при 1.

Рядом типа прогрессии (или геометрическим рядом) называют ряд

составленный из членов геометрической прогрессии (q^k-1) со знаменателем q. Такой ряд сходится при q<1 и расходится при q1.

Теоремы сравнения.

Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами и . Если при всех n, начиная с некоторого, выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами и , причем . Если то ряды и , сходятся или расходятся одновременно.

Пусть - ряд со строго положительными членами.

Признак сходимости Коши. Пусть - верхний предел. Тогда если 0с<1, то ряд сходится, если c>1, то ряд расходится. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых с=1.

Признак сходимости Даламбера. Рассмотрим для ряда предел Тогда ряд сходится, если d<1; ряд расходится, если d>1 (или частное , начиная с некоторого n). Существуют сходящиеся и расходящиеся ряды, для которых d=1.

Признак сходимости Раабе. Пусть для ряда существует предел . Тогда если r>1, то ряд (1) сходится; если r<1, то ряд расходится. Существуют сходящиеся и расходящиеся ряды, для которых r=1.

Признак сходимости Гаусса. Пусть для ряда имеет место представление

при .

Тогда а) при >1 ряд (1) сходится;.

b) <1 ряд (1) расходится;

с) =1, >1 ряд (1) сходится;

d) =1, 1 ряд (1) расходится .

Замечание. Признаки сходимости Раабе и Гаусса являются более сильными, чем признаки Коши и Даламбера. То есть, в том случае, когда величины с и d в признаках Коши и Даламбера соответственно равны 1, ответ на вопрос о сходимости ряда может быть получен с помощью признаков Раабе или Гаусса.

Интегральный признак сходимости ряда. Пусть f:[1,) - неотрицательная, монотонно убывающая (или невозрастающая) функция. Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Этот признак имеет место и в том случае, когда функция f удовлетворяет условиям теоремы на некотором промежутке [a,+ ) [1,+ ).

Постановка задачи 2

Пользуясь вышеприведенными признаками сходимости, исследуйте на сходимость ряды , ,, . Где это возможно, вычислите сумму ряда.

Задание 2.1

Рассмотрим ряд

Выполнение задания

Применим к ниму признак Даламбера

Задание 2.2

Рассмотрим ряд

Выполнение задания

Используем признак Коши

Задание 2.3

Рассмотрим ряд

Выполнение задания

Используем признак Раабе

Задание 2.4

Рассмотрим ряд

Выполнение задания

И так же применим признак Раабе

Контролирующие задания

	1	2	3	4
an
bn
cn
dn
	5	6	7	8
an
bn
cn
dn
	9	10	11	12
an
bn
cn
dn
	13	14	15	16
an
bn
cn
dn

Заключение

На основе анализа научной и научно-методической литературы по вопросам использования информационных технологий для организации системы диагностики, коррекции и контроля, а так же рассмотрения содержания курса математического анализа по темам «Предел числовых последовательностей», «Интегральное исчисление» и «Числовые ряды», разработана система контроля знаний студентов. Она включает в себя большое количество заданий фиксированной формы, полученных по 8 разработанным шаблонам .

Они охватывают широкий диапазон знаний, умений и навыков необходимый для их решения. Область применения у них так же велика: от разработки простейших заданий для самостоятельного решения до составления практической части экзаменационных работ.

Так же содержит материал необходимый для коррекции возникших ошибок либо повторного усвоения материала

ЛИТЕРАТУРА

1. Калинина М.И. К вопросу о контроле и оценке знаний учащихся/ сб. статей “Организация контроля знаний учащихся в обучении математики”, сост. Борчугова З.Г., Батий Ю. Ю. - М: Просвещение, 1980.;

2. Растригин Л.А., Эренштейн М.Х. Адаптивное обучение с моделью обучаемого. - Рига : Зинатне, 1986. - 160 c.

3. Зайцева Л.В. Модели и методы адаптации к учащимся в системах компьютерного обучения // Educational Technology & Society. - Nr. 6(3), 2003. - с.204 - 212.

4. Зайцева Л.В., Новицкий Л.П., Грибкова В.А. Разработка и применение автоматизированных обучающих систем на базе ЭВМ. - Под ред. Л.В.Ницецкого. - Рига : “Зинатне”, 1989. - 174 с.

5. Аванесов B.C. Композиция тестовых заданий. - М.: Адепт, 1998. - 217 с .

6. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. - 1978. - Вып. 33. - с. 5 -68.

7. Грушецкий С.В. Адаптивное тестирование в автоматизированных системах контроля знаний // http/kltu.ru/ru/magazine/2004_5

8. Графова С.Р. Автоматизированная обучающая система, как дидактическое средство высшей школы // Автореферат Калининград 2000. - 18 с

9. Эббингауз Г. Основы психологии. С-Пб. 1912

10. Зинченко П.И. Непроизвольное запоминание. М., 1961

11. Бартлет Ф. Психика человека в труде и игре. М., 1959

12. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании проблемы, вопросы использования // Школа - Пресса 1994 - с.205

13. Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии. //М.: Педагогика, 1989. - 192 с.

14. Немов Р.С. Психология. Кн.1.М., 1997

Размещено на Allbest.ru

...