Метод розрахунку режимів і формування керуючих впливів в електромеханічних системах на основі інтегралу згортки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет "Львівська політехніка"

УДК 681.5.015.73 : 621.34

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Метод розрахунку режимів і формування керуючих впливів в електромеханічних системах на основі інтегралу згортки

05.09.03 - електротехнічні комплекси та системи

Мороз Володимир Іванович

Львів - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті "Львівська політехніка" Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: Лозинський Орест Юліанович, заслужений діяч науки і техніки, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри електроприводу і автоматизації промислових установок Національного університету "Львівська політехніка"

Офіційні опоненти: Пересада Сергій Михайлович, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри електромеханічних систем автоматизації та електроприводу Національного технічного університету КПІ (м. Київ).

Садовой Олександр Валентинович, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри електромеханіки Дніпродзержинського державного технічного університету (м. Дніпродзержинськ).

Толочко Ольга Іванівна, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри електроприводу і автоматизації промислових установок Донецького національного технічного університету (м. Донецьк).

Захист відбудеться 15 жовтня 2010 року о 12 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д35.052.02 у Національному університеті "Львівська політехніка" (79013, м. Львів-13, вул. Ст. Бандери, 12, ауд. 114 гол. корпусу).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка" (м. Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий 14 вересня 2010 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Коруд В. І.

Загальна характеристика роботи

Вступ. Сучасні досягнення комп'ютерної техніки призвели до появи нових принципів побудови цифрових систем керування електромеханічними об'єктами. Відчутне зниження їхньої вартості та зменшення розмірів дало змогу впровадити інтелектуальні системи керування в більшість господарських чи побутових об'єктів та пристроїв, де раніше безроздільно панувала аналогова техніка. Значно розширилася область застосування комп'ютерного аналізу електромеханічних систем, без чого тепер не обходиться жодна проектно-конструкторська розробка.

Актуальність теми. Програмне забезпечення для комп'ютерного моделювання електромеханічних систем (ЕМС) базується на класичних числових методах, що призначені для роботи з гладкими неперервними функціями без розривів. Як показує практика комп'ютерного дослідження динаміки сучасних електромеханічних систем з імпульсними елементами (наприклад, з гістерезисними регуляторами струму, які є елементами сучасних систем керування асинхронними двигунами) застосування традиційних методів невиправдано збільшує час розрахунку, а в багатьох випадках призводить до недостовірних результатів.

Числова нестійкість, накопичення похибок і погана пристосованість до розривів функції розв'язку є основними проблемами використання традиційних числових методів. Аналогічні труднощі існують в цифрових системах керування електроприводами, зокрема, змінного струму, де існують проблеми їх реалізації в режимі реального часу, накопичення числових похибок на довгих інтервалах роботи та числової нестійкості. Для прикладу, з цими проблемами зустрічаються бездавачеві системи векторного керування асинхронними двигунами з використанням спостерігачів Люенбергера та розширених фільтрів Калмана і вимагають для реалізації потужних сигнальних процесорів.

Отже, постає необхідність створення нових ефективних підходів для розробки комп'ютерних моделей електромеханічних систем і шляхів синтезу та реалізації цифрових систем керування сучасними електромеханічними об'єктами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження виконані у відповідності з Державною науково-технічною програмою "Енергоефективні та ресурсозберігаючі технології генерування, перетворення та використання енергії", а також згідно з напрямком наукових досліджень Національного університету "Львівська політехніка" "Ресурсозберігаючі технології та інтелектуальні системи керування в енергозабезпеченні об'єктів економічної діяльності".

Тематика роботи відповідає науковому напрямку кафедри "Електропривод і автоматизація промислових установок" Національного університету "Львівська політехніка" з комп'ютерного моделювання систем автоматизованого електроприводу та синтезу цифрових систем керування електроприводами.

Подані в дисертації результати використані під час виконання 4 науково-дослідних держбюджетних тем: ДБ "Еплік" (2007 р., державна реєстрація № 0107U001103); ДБ "Оптимум" (2005 р., державна реєстрація № 0105U000607); ДБ "Інтелектуал" (2009 р., державна реєстрація № 0109U001149); ДБ "Оберт" (2009 р., державна реєстрація № 0109U001155), і в науково-дослідних роботах: за договором № 0069 (2006 р., номер державної реєстрації 0106U009581) між СКБ електромеханічних систем "Львівської політехніки" та Федеральним космічним агентством Росії "Розробка та виготовлення електродвигуна електроприводу третьої осі опорно-поворотного пристрою СМ-690" та "Аналіз і синтез цифрових керованих ЕМС" (2007 р., шифр державної реєстрації 0107U005413).

Метою роботи є створення методу дослідження динамічних режимів і формування керуючих впливів в електромеханічних системах.

Поставлена мета вимагає розв'язання наступних задач:

розроблення математичних засад методу дослідження процесів в електромеханічних системах і формування керуючого впливу в електромеханічних об'єктах на основі інтегралу згортки;

створення на їх основі ефективних рекурентних формул для опису з достатньою для інженерних розрахунків точністю динаміки електромеханічних систем і синтезу цифрових регуляторів координат ЕМС, у т. ч. для систем реального часу;

створення методів оцінки похибок відтворення сигналу від часової дискретизації неперервних ЕМС і від кусково-лінійної апроксимації нелінійностей в ЕМС;

перевірка ефективності застосування розробленого методу для розв'язування задач аналізу, синтезу, ідентифікації та реалізації в електромеханічних системах.

Об'єктом дослідження є динамічні процеси в електромеханічних системах.

Предмет дослідження - методи дослідження режимів і формування керуючих впливів у детермінованих і стохастичних ЕМС на основі інтегралу згортки.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджується коректним застосуванням аналітичних методів, збіжністю результатів, отриманих з використанням розробленого методу, з одержаними за допомогою відомих класичних методів, а також експериментальних досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше запропоновано метод дослідження режимів і формування керуючих впливів в електромеханічних системах, який ґрунтується на апроксимації інтегралу згортки з врахуванням ненульових початкових умов, що дає змогу за інших рівних умов збільшити швидкодію та числову стійкість у порівнянні з класичними числовими методами при розв'язуванні задач аналізу, синтезу та ідентифікації електромеханічних систем.

2. Вперше на основі створеного методу отримано ефективні рекурентні формули для комп'ютерного моделювання в реальному часі електромеханічних систем та їх елементів, що дає можливість усунути проблему числової нестійкості та застосувати максимально можливий крок з умови теореми відліків Шеннона-Котельникова.

3. Отримала подальший розвиток теорія дискретних систем, зокрема, розроблено математичні засади оцінки похибок від часової дискретизації при аналізі та синтезі дискретних електромеханічних систем, що дає змогу підвищити точність їх функціонування.

4. Розроблено математичний апарат оцінки похибок від кусково-лінійної апроксимації нелінійностей елементів електромеханічних систем, що дає змогу розширити область застосувань аналітичних та числово-аналітичних методів для аналізу, синтезу та ідентифікації нелінійних електромеханічних систем.

5. На основі розробленого методу розвинено теорію синтезу стохастичних систем, що дало змогу створити фізично реалізовані динамічні системи із заданим видом автокореляційної функції вихідного процесу.

Практичне значення одержаних результатів:

отримані рекурентні обчислювальні формули для аналізу динаміки детермінованих і стохастичних ЕМС і синтезу цифрових регуляторів спрощують створення об'єктно-орієнтованих систем і реалізацію алгоритмів паралельних обчислень;

на основі розроблених алгоритмів оцінки похибок від процесу дискретизації неперервних систем і від кусково-лінійної апроксимації нелінійностей в комп'ютерних моделях ЕМС реалізується оптимальний з точки зору точності та швидкодії крок дискретизації;

розроблений метод забезпечує функціонування цифрових систем в широкому діапазоні кроків дискретизації та розрядностей апаратних засобів;

розроблені алгоритми і програми для параметричної оптимізації електроприводів з пружними механічними елементами дають змогу знайти компромісні з огляду на швидкодію та демпфуючі здатності приводу параметри налагодження контуру струму електроприводу повороту кар'єрного екскаватора;

розроблені алгоритми і програми для параметричного синтезу стохастичних систем уможливлюють створення фізично реалізованих динамічних систем із заданим видом автокореляційної функції вихідного процесу.

Результати роботи включені в програми 4 навчальних дисциплін і використовуються у лекціях, лабораторному практикумі, курсовому та дипломному проектуванні під час підготовки бакалаврів напрямку 6.092203 "Електромеханіка", спеціалістів та магістрів спеціальності 7(8).092203 "Електромеханічні системи автоматизації та електропривод" на кафедрі електроприводу та автоматизації промислових установок Національного університету "Львівська політехніка" та увійшли в навчальний посібник з грифом МОН України.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати отримані автором особисто, а в працях, написаних у співавторстві, йому належать: використання апроксимацій інтегралу згортки з врахуванням ненульових початкових умов для оцінки похибок кусково-лінійної апроксимації під час дослідження нелінійних ЕМС - [1]; використання апроксимацій інтегралу згортки з врахуванням ненульових початкових умов для оцінки похибок внаслідок процесів часової дискретизації - [7]; використання рекурентних формул, отриманих з використанням пропонованого методу, для моделювання складних механічних систем з пружними зв'язками та АМ і проведення числових експериментів - [21, 27]; аналіз та вибір раціонального числового методу розрахунку цифрової моделі, проведення розрахунків - [8]; використання апроксимацій інтегралу згортки з врахуванням початкових умов для синтезу і моделювання ЕМС - [10, 19, 22, 32]; використання апроксимації інтегралу згортки для розв'язування задачі синтезу стохастичної ЕМС із заданим видом автокореляційної функції вихідного процесу - [22]; використання рекурентних формул, отриманих на основі пропонованого методу, для розв'язування систем звичайних диференціальних рівнянь, що описують моделі ЕМС, проведення розрахунків - [3, 25, 26]; огляд і аналіз числових методів розв'язування звичайних диференціальних рівнянь, методики вибору кроку інтегрування, застосування операторного методу Лапласа і z-перетворення, виконання всіх прикладів - [30]; аналіз частотних похибок дискретних реалізацій класичних числових інтеграторів частотними методами - [37].

Апробація результатів дисертації. Матеріали роботи доповідались і одержали схвалення на: 3-ій (1999 р.), 4-ій (2003 р.), 5-ій (2007 р.) Міжнародних науково-технічних конференціях "Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці", Львів, Україна; XI - XVI Міжнародних науково-технічних конференціях "Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія і практика" (Харків) у 2003, 2005-2009 рр.; Міжнародних симпозіумах "Проблеми удосконалення електричних машин і апаратів. Теорія і практика (SIEMA'2006, 2007)" (Харків) у 2006, 2007 рр.; Міжнародних конференціях "Моделювання-2006" (16-18 травня 2006 р.) і "Моделювання-2008" (14-16 травня 2008 р.), Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН України, м. Київ; X-ій Міжнародній науково-технічній конференції "Проблеми сучасної електротехніки-2008" (03-05 червня 2008 р., м. Київ, інститут електродинаміки НАН України); XIII International Symposium on Theoretical Electrical Engineering ISTET'05. July 4-7, 2005, Lviv, Ukraine; VII and 9^th International Workshops "Computational Problems of Electrical Engineering" (under auspices IEEE). August 27-30, 2006, Ukraine, Odessa and September 16-20, 2008, Ukraine, Alushta (Crimea); V міжнародній науково-практичній конференції "Комп'ютерні системи в автоматизації виробничих процесів", 2007 р., м. Хмельницький, Україна; Всеукраїнській науково-технічній конференції з міжнародною участю "Електротехніка і електромеханіка" 15-16 листопада 2005 р., м. Миколаїв, Україна; постійно діючих семінарах НАН України "Моделі та методи комп'ютерного аналізу електричних кіл та електромеханічних систем" та семінарах кафедри "Електропривод та автоматизація промислових установок" з 2002 року по 2009 рік.

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 38 працях, з них - 27 робіт у фахових виданнях, доповідалися на 19 Міжнародних науково-технічних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків з роботи, списку використаних джерел і 3 додатків, її загальний обсяг складає 359 стор., з них 268 стор. основного тексту, 18 стор. списку використаних джерел і 51 стор. додатків, 122 рисунки і графіки, 4 таблиці.

Основний зміст

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційної роботи, сформульовану мету і задачі досліджень, викладена наукова новизна і практичне значення отриманих результатів, дається загальна характеристика роботи.

У першому розділі зроблено огляд сучасних методів аналізу динамічних режимів ЕМС і методів синтезу та реалізації цифрових систем керування. Показано, що основною проблемою існуючих числових методів розв'язування звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) є те, що вони апроксимують розв'язок обмеженим розкладом у ряд Тейлора, який існує лише для неперервних диференційованих функцій. Таким чином, їх застосування для розрахунків динамічних режимів електромеханічних систем з імпульсними елементами, що мають більшість сучасних систем керування електроприводами, є проблематичним. Іншою проблемою класичних числових методів є накопичення похибок і числова нестійкість, які ускладнюють не лише комп'ютерне моделювання, але й синтез і реалізацію цифрових регуляторів.

Огляд літературних джерел підтвердив перспективність застосування інтегральних методів, для яких менш критичною є проблеми числової стійкості та наявності розривів першого роду функції розв'язку.

У другому розділі розглянуто математичні засади розробленого методу дослідження та синтезу ЕМС на основі апроксимацій інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами. Враховано специфіку електромеханічних систем:

система описується правильною дробово-раціональною передатною функцією, що дає змогу застосувати методи теорії автоматичного керування;

верхня межа спектру робочих частот принаймні на порядок менша за частоту дискретизації як цифрової системи керування, так і комп'ютерної моделі, що дає право знехтувати явищами, які пов'язані з впливом вищих гармонік частоти дискретизації, зокрема, процесами в проміжках між тактами дискретизації.

Для знаходження реакції системи y(t) за допомогою інтегралу згортки

повинні бути відомі (задані) обидві його складові: вхідний сигнал або збурення x(t) і динамічна характеристика системи, задана імпульсною перехідною функцією w(t, y).

Аналітичне знаходження інтегралу згортки можливе для відносно обмеженого класу ЕМС та відомого виразу чи знайденої апроксимації для сигналу збурення x(t). У роботі показано, що застосування апроксимації сигналу x(t) поліномами дає змогу знайти інтеграл згортки кількома шляхами: для лінійних і лінеаризованих систем невисокого порядку та у випадку паралельної декомпозиції передатної функції системи на елементарні динамічні ланки можливе аналітичне знаходження виразу для інтегралу згортки, для заданих передатною функцією ЕМС пропонується застосування перетворення Лапласа з використанням поліноміальних апроксимацій вхідного сигналу або модифікованого z-перетворення.

Отже, основою для цих способів аналізу динаміки електромеханічних систем є інтеграл згортки з ненульовими початковими умовами. У класичному варіанті інтегралу згортки початкові умови не враховуються через нижню межу інтегрування, що дорівнює -?. У той же час, для побудови рекурентних рівнянь для розрахунку динаміки електромеханічних систем актуальнішою є проблема знаходження інтегралу згортки для системи, що вже перебуває в русі на заданий момент часу (для визначеності приймемо, наприклад, t = 0), тобто, для ненульових початкових умов.

У роботі розглянуто два випадки опису динаміки системи w(t):

у вигляді передатної функції W(s) - у такому разі для знаходження інтегралу згортки є необхідним застосування перетворення Лапласа;

у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь - у цьому випадку для знаходження інтегралу згортки запропоновано замість традиційно вживаних числових методів використання розроблених рекурентних формул.

Відзначимо, що в цифрових системах необхідно оперувати з сигналами за їхніми дискретними відліками x(t_i), при цьому втрачається інформація в проміжках між ними, що робить прямий шлях знаходження інтегралу згортки недоступним. Тому однією з основних задач у його визначенні є побудова процесу перетворення сигналу для знаходження аналітичного виразу, який би описував вхідний сигнал чи збурення x(t).

Відображення за Лапласом Y(s) вихідної координати ЕМС з передатною функцією

за дії зовнішнього сигналу (збурення) з відображенням X(s) для стану з ненульовими початковими умовами описується виразом:

,

де C₀(s) - многочлен, який відображає початкові умови і знаходиться на основі рекурентної формули відображення похідних від деякої функції y₀(t).

У часовому вимірі вираз

є відображенням для заданих початкових умов загального розв'язку y₀(t) однорідного диференціального рівняння, яке пов'язане з характеристичним поліномом A(s):

де a₀, … , a_n - коефіцієнти характеристичного полінома A(s).

Після застосувати теореми диференціювання для оригіналу отримаємо:

,

де L - оператор відображення за Лапласом;

- початкові умови однорідного диференціального рівняння

,

розв'язком якого є функція y₀(t);

Y₀(s) - відображення за Лапласом розв'язку y₀(t) згаданого вище однорідного диференціального рівняння з ненульовими початковими умовами.

У результаті матимемо:

,

звідки

.

Таким чином, загальний вигляд інтегралу згортки за дії зовнішнього сигналу x(t) на об'єкт з передатною функцією

для ненульових початкових умов

набуде вигляду:

.

У роботі показано, що для випадку усталеного режиму з ненульовим значенням вихідної координати загальний вираз для інтегралу згортки спрощується:

електромеханічний інтеграл згортка рекурентний

,

де h(t) - перехідна характеристика системи з передатною функцією 1/ A(s);

h(?) - статичний коефіцієнт підсилення,

Застосування паралельної декомпозиції (розкладання передатної функції ЕМС на елементарні динамічні ланки) полегшує процес знаходження інтегралу згортки - знаходять реакції для елементарних складових: дробів виду

, і ,

а потім підсумовують для одержання остаточного відгуку системи.

Елементарну динамічну ланку, що відповідає парі комплексно-спряжених полюсів,

,

можна записати як суму синусної та косинусної складових з належними часовими відповідниками:

,

де

коефіцієнт демпфування ланки;

- власна частота коливної ланки;

,

K_c = c - вагові коефіцієнти, відповідно, синусної та косинусної складових.

Використання розкладання повної передатної функції електромеханічної системи на елементарні складові (паралельна декомпозиція - рис. 1) з відповідними імпульсними перехідними характеристиками w_i(t) дає змогу отримати переваги:

вводиться лише одна точка (вузол) дискретизації неперервного сигналу x(t) для його дискретної апроксимації x^*(t), що зменшує сумарні похибки від втрати інформації під час переходу до дискретної системи;

визначення коренів характеристичного рівняння неперервної передатної функції та їх дискретне відображення зменшує вплив поганої обумовленості характеристичного рівняння дискретної передатної функції зі зменшенням кроку. Це дає змогу, як показано в роботі, зменшити чутливість синтезованої дискретної системи до похибок округлення та обмеженої розрядності обчислювального пристрою.

Рис. 1. Паралельна декомпозиція неперервної передатної функції

У роботі знайдено загальні розв'язки інтегралу згортки за дії сигналу x(t) для набору ненульових початкових умов для згаданих трьох випадків розміщення полюсів передатної функції, що відповідають елементарним динамічним ланкам - інтегратору, аперіодичній ланці першого порядку і коливній ланці другого порядку.

Зокрема, інтегральна ланка має характеристичний поліном

з відповідним коефіцієнтом a₁ = T, а імпульсна перехідна характеристика описується виразом

.

Таким чином, інтеграл згортки для інтегральної ланки за ненульової початкової умови y₀ описуватиметься виразом

.

Характеристичним поліномом аперіодичної ланки першого порядку є з відповідними коефіцієнтами a₁ = T, a₀ = 1, а її імпульсна перехідна характеристика описується виразом

.

Аналогічно, інтеграл згортки з врахуванням ненульової початкової умови виглядатиме таким чином:

.

Ланка другого порядку описується парою комплексно-спряжених полюсів і має, як згадувалося, синусну і косинусну складові. Характеристичний поліном для них є однаковим:

з коефіцієнтами a₂ = 1, a₁ = 2,

.

Отже, для ненульових початкових умов y₀ та y'₀ для синусної y_s(t) та косинусної y_c(t) складових, відповідно, інтеграл згортки запишеться:

;

.

У разі допустимості апроксимацій сигналу x(t) поліномами нульового і першого порядків ефективним методом отримання рекурентних рівнянь для знаходження інтегралу згортки є z-перетворення. Дослідження показали перевагу модифікованого z-перетворення з коефіцієнтом часового зміщення m = 0.5 для компенсації півперіодного запізнення фіксатора нульового порядку, що відповідає апроксимації сигналу серединними прямокутниками і призводить до простих рекурентних формул:

для інтегратора:

,

для аперіодичної ланки першого порядку:

.

Аналіз отриманих результатів свідчить, що отримані рекурентні формули особливо ефективні для великих значень кроків моделювання - 10 відліків на період тестової синусоїди і менше та не поступаються за точністю формулам Адамса і ФДН 3-4-го порядків.

Дослідження показали, що раціональний порядок апроксимаційного полінома для відновлення сигналу x(t) за дискретними відліками обмежується 5-им порядком через погану обумовленість і появу осциляцій апроксимуючого полінома вище 5-го порядку на ділянці апроксимації та поза нею. Аналіз похибок здійснено за частотними характеристиками дискретних передатних функцій застосованих апроксимацій за явною та неявною схемами - поліноміальна апроксимація розглядається як дискретний фільтр з відповідною передатною функцією. У роботі побудовані тривимірні графіки частотних похибок відновлення сигналу за відліками для поліноміальних апроксимацій за обома схемами до 5-го порядку включно, що показано на рис. 2 для діапазону до 1/10 частоти квантування ₀ - такий діапазон є робочим практично для всіх цифрових систем.

Аналіз показаних на рис. 2 частотних похибок відновлення сигналу поліноміальними апроксимаціями показав переваги неявної обчислювальної схеми з точки зору амплітудних і, найголовніше, фазових частотних похибок, які є визначальними для замкнених САР. З графіків видно, що зменшення частотних похибок у робочому діапазоні практично припиняється після збільшення порядку апроксимаційного полінома до третього, підтверджуючи неефективність формул високого порядку. Як свідчить частотний аналіз, єдиним способом апроксимації сигналу без фазових похибок є використання для відновлення сигналу за його відліками полінома першого порядку за неявною схемою (апроксимація трапеціями).

Рис. 2. Частотні похибки апроксимацій за явною/неявною схемами

Після підставляння поліноміальних апроксимацій у формулу інтегралу згортки з початковими умовами для інтегральної ланки отримано рекурентні формули, що відомі як явні/неявні формули Адамса. Аналогічна процедура для аперіодичної ланки першого порядку з використанням поліноміальних апроксимацій від нульового до третього порядків продукує відповідні рекурентні обчислювальні формули, які наведено нижче.

Рекурентні формули для дискретної моделі ланки першого порядку

Порядок полінома	Рекурентна формула
Явні формули	0
	1
	2
	3
Неявні формули	0
	1
	2
	3

Інтеграл згортки для коливної ланки другого порядку за ненульових початкових умов y₀ та y'₀ визначається формулами для синусної та косинусної складових. Їхньою особливістю є необхідність для задавання початкової умови не лише значення координати y₀, але й її похідної y'₀, що робить їх невигідними для побудови рекурентних обчислювальних схем.

У роботі показано, що використання перетворення Лапласа і z-перетворення безпосередньо до ланки другого порядку також створює складні вирази, які непридатні для практичного вжитку. У разі застосування перетворень сигналу вищих порядків вирази ускладнюються ще відчутніше. З метою спрощення рекурентних формул для опису дискретної моделі ланки з парою комплексно-спряжених полюсів пропонується звести диференціальне рівняння другого порядку

,

що її описує, до системи двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку і застосувати до кожного з них описані перетворення з використанням операцій дискретизації (див. рис. 3). Таке перетворення дещо знижує точність через введення ще одного додаткового вузла дискретизації, зате спрощує отримані рекурентні рівняння і дає можливість безпосереднього доступу до проміжних координат.

Рис. 3. Структурна модель коливної ланки другого порядку

У роботі запропоновано реалізацію дискретної моделі даної структури:

для дискретної моделі аперіодичної ланки (аналог диференціального рівняння першого порядку

застосування модифікованого z-перетворення, що дає змогу отримати моделювальне рекурентне рівняння

;

для дискретної моделі інтегратора використано неявні формули числових інтеграторів, з яких вибрано формулу другого порядку (відому як неявний метод трапецій):

,

що не вносить фазних похибок і для імпульсних сигналів забезпечує точність аналогічну до інтеграторів вищих порядків.

У роботі показано, що розроблений метод можна поширити на опис електромеханічної системи у формі системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з відповідними початковими умовами:

при

де T₁, …, T_n - власні сталі часу ЕМС ; y₁, …, y_n - проміжні координати стану; x₁, …, x_n - зовнішні збурення; f₁, …, f_n - відповідні функції; y₁₀ , … , y_n0 - початкові умови.

Це відповідає декомпозиції ЕМС на елементарні аперіодичні ланки (одиничні дійсні полюси) з відповідними структурними зв'язками між собою. У цьому випадку проміжні координати визначатимуться інтегралом згортки з початковими умовами:

У випадку заміни функцій їхніми поліноміальними апроксимаціями, для прикладу, 1-го порядку, на проміжку кожна функція апроксимуватиметься відповідною лінійною залежністю

- для явної схеми

- для неявної схеми,

де - значення функції відповідно в точках .

Після підстановки апроксимацій функцій, позначивши і прийнявши t_i = 0, після аналітичного інтегрування отримано розв'язок системи диференціальних рівнянь як системи рекурентних рівнянь:

для явної обчислювальної схеми, позначено верхнім індексом "я":



для неявної обчислювальної схеми, позначено верхнім індексом "н":

Застосування апроксимації функцій поліномом другого порядку створює складніші вирази, використання яких нераціональне у цифрових електромеханічних системах з обчислювальними пристроями з малим обсягом оперативної пам'яті та невисокою швидкодією. Знайдені таким чином рекурентні рівняння є стійкими для будь-якого кроку розв'язування, оскільки мають властивість сильної стійкості.

У третьому розділі зроблено аналіз похибок розробленого методу. Доведено теорему про те, що моделюючі рекурентні формули, які отримані на підставі апроксимацій інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами і описують динаміку стійких САК, які задані правильними дробово-раціональними функціями, є сильно стійкими формулами. Наслідки з теореми:

· числові похибки рекурентних рівнянь, що отримані на підставі апроксимації інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами, загасають зі швидкістю загасання імпульсної перехідної функції системи з передатною функцією 1/A(s);

· властивість сильної стійкості отриманих формул дає змогу виконувати обчислення на дуже довгих проміжках без накопичення похибок;

· стійкість отриманої рекурентної формули не залежить від виду схеми побудови апроксимаційного полінома - явної чи неявної.

Із застосуванням інтегралу згортки розв'язано задачу оцінки похибки від процесу часової дискретизації неперервної електромеханічної системи, зокрема, показано, що похибка від дискретизації сигналу на проміжку часу за допомогою апроксимації заданого порядку визначатиметься виразом:

З отриманого виразу видно, що похибка дискретизації залежить не лише від виду вхідного сигналу та його апроксимації, але й від імпульсної перехідної характеристики системи w(t). Ілюстрація процесу оцінки похибок показана на прикладі фіксатора нульового порядку, для оцінки похибки якого достатньо використовувати уточнення за допомогою полінома першого порядку. Для апроксимаційних поліномів нульового (нижній індекс ₍₀₎) та першого порядків (нижній індекс ₍₁₎), побудованих за відліками x(t_i) та x(t_i+1) на проміжку часу , матимемо:

.

Підставляючи отримані вирази апроксимацій x^*(t) у формулу для знаходження похибки, одержимо вираз для визначення похибки вихідного сигналу системи з фіксатором нульового порядку на вході

.

На підставі одержаної загальної формули для елементарних динамічних ланок отримано вирази для оцінки похибок вихідного сигналу від процесу дискретизації. Таким чином, матимемо для інтегратора

,

для аперіодичної ланки:

.

Розв'язана також задача оцінки похибок від лінеаризації досліджуваної системи шляхом її кусково-лінійної апроксимації. На підставі загальної формули із застосуванням декомпозиції електромеханічної системи розв'язок задачі оцінки похибки лінеаризації отримано для двох типів елементарних динамічних ланок:

для інтегральної:

;

аперіодичної:

,

де T₀, T_h, K₀, K_h - значення сталої часу та коефіцієнта підсилення, відповідно, на початку і в кінці інтервалу дискретизації.

У роботі показано перспективність застосування екстраполяції за Річардсоном як альтернативного способу підвищення точності отриманих рекурентних рівнянь та оцінки похибок на кроці як від часової дискретизації, так і від наявності нелінійностей. Перевагами цієї екстраполяції є можливість використання різницевих апроксимацій 1-2-го порядків та наступного підвищення порядку отриманої рекурентної формули, а також її придатність для розв'язування нелінійних задач.

У четвертому розділі отримані в роботі теоретичні результати були піддані експериментальній перевірці на задачах комп'ютерного моделювання електромеханічних систем. У випадку відсутності аналітичного розв'язку як еталонний метод використовувався класичний метод Адамса зі стратегією автоматичного вибору кроку розв'язування з точністю 10^-6.

Просте лінійне RLC-коло (рис. 4) є базовим елементом багатьох електротехнічних систем і, водночас, зручним прикладом для ілюстрації переваг пропонованого в роботі методу розрахунку через можливість порівняння з аналітичним розв'язком і через наявність тривалих коливань, які для класичних методів є джерелом накопичення похибок (рис. 5).

Рис. 4. Просте RLC-коло



Рис. 5. Результати моделювання перехідних процесів у простому RLC-колі

Отримані результати комп'ютерного моделювання були порівняні з аналітичним розв'язком. Для кроку h = 0.06 мс, який відповідає приблизно 30 відлікам за період власних коливань електричного кола відносна середньоквадратична похибка не перевищувала 0.27% для напруги на конденсаторі u_C і 0.53% - для струму i.

Рис. 6. Т-подібна заступна електрична схема моделі АМ

Одним з основних елементів сучасних електроприводів змінного струму є асинхронна машина (АМ), через що є доцільною оцінка переваг розробленого методу при її моделюванні. У багатьох випадках достатню точність відтворення робочих координат забезпечує модель за еквівалентною Т-подібною заступною електричною схемою (рис. 6) у діючих значеннях, де вжито позначень: U_f1 - діюче значення фазної напруги; I₁ - діюче значення струму статора; I₂' - зведене до статора діюче значення струму ротора; r₁ - активний опір статора; x₁ - реактивний опір розсіювання статора; r - активний опір кола намагнічування; x - реактивний опір кола намагнічування; r₂', x₂' - зведені до статора активний та реактивний опори ротора;

зведений до статора еквівалентний імпеданс ротора, залежний від ковзання s;

s = (₀ - )/₀ - ковзання AM,

де ₀ - синхронна кутова швидкість; - кутова швидкість ротора.

Така модель описується системою диференціальних рівнянь

і є суттєво нелінійною: момент навантаження АМ має вентиляторну механічну характеристику (рис. 7); електромагнітний момент у функції ковзання машини s описується нелінійною залежністю; еквівалентні сталі часу кіл статора і ротора:

,

в процесі пуску змінюються (показано на рис. 8 для АМ типу 4А200L6).

Протягом процесу пуску АД типу 4А200L6 співвідношення між кроком моделювання h = 1 мс та еквівалентними сталими часу статора і ротора змінювалася в межах

, ,

а інтегральна середньоквадратична відносна похибка не перевищувала 0.14% для діючих значень струмів, 0.17% - для обертового моменту, 0.06% - для кутової швидкості ротора.

Рис. 7. Залежності моментів АМ і навантаження від ковзання

Рис. 8. Величини еквівалентних сталих часу моделі AM

Використання розробленого методу розрахунку дало змогу проводити обчислення для збільшеного до h = 40 мс кроку моделювання (це лише 25 (!) точок на весь інтервал пуску, які на графіку показані відповідними символами , і Д - рис. 9). Під час цих обчислень інтегральна середньоквадратична відносна похибка не перевищувала 0.9% для струмів, 1.3% - для моменту, 0.9% - для кутової швидкості ротора. При цьому величина співвідношення між кроком моделювання h та еквівалентними сталими часу статора і ротора змінювалася в межах і - для таких співвідношень кроку розв'язування і сталих часу класичні числові методи непридатні через числову нестійкість і низьку точність.

Рис. 9. Результати моделювання процесу пуску АМ для кроку 40 мс

Використання розробленого методу для аналізу динаміки моделі АМ з короткозамкненим ротором в - координатах, яка описується в стаціонарній системі координат статора системою диференціальних рівнянь п'ятого порядку, що пов'язує складові струму ротора () і струму статора () дало змогу отримати час розв'язування в середовищі MATLAB 1.6 с і є меншим за модельний час (2.5 с). Це робить можливим побудову моделі в реальному часі (рис. 10).

Рис. 10. Кутова швидкість та момент моделі АМ в - координатах

Для фіксованого кроку моделювання h = 0.1 мс тривалість розрахунку пропонованим методом була від 2 до 40 разів меншою порівняно з відомими числовими методами, а відносні інтегральні середньоквадратичні похибки за струмами для даного методу не перевищували 0.9%, за моментом - 0.7%, за швидкістю - 0.09%. Заміна моделюючих рекурентних формул першого порядку на формули другого порядку підняло точність розрахунків на порядок за незначного збільшення часу розрахунку (менше 10%).

Складовою багатьох ЕМС є механічна частина з пружними зв'язками, яка показана на рис. 11 і описується диференціальним рівнянням другого порядку

,

Рис. 11. Функціональна схема простої коливної механічної системи

де m = 0.04 кг - маса рухомої частини механічної системи; = 0.1 - коефіцієнт демпфування (угамування); C = 2 Н/м - коефіцієнт пружності; F- зовнішнє зусилля; x - переміщення рухомої частини механізму.

Під час розрахунків з фіксованим кроком розв'язування h = 0.05 с (100 точок на часовий проміжок перехідного процесу 5 с) середньоквадратичні похибки розробленого методу стосовно аналітичного розв'язку складали 0.85% для переміщення і 0.43% - для швидкості.

Переваги пропонованого методу проявилися при розрахунку перехідних процесів у моделі механізму дводвигунного приводу обертання кар'єрного екскаватора-лопати, яка може бути подана еквівалентною розгалуженою тримасовою системою з функціональною моделлю рис. 12 з врахуванням люфтів у передачах і моменту сухого тертя. Математичною моделлю є система нелінійних диференціальних рівнянь 6-го порядку.

Рис. 12. Функціональна модель механізму приводу обертання кар'єрного екскаватора

Час розрахунку для точності 10^-4 пропонованим методом зі стратегією автоматичного вибору кроку розв'язування був на 2 порядки менший, ніж для класичних числових методів, і з великим запасом перекривав необхідний для реалізації обчислень в реальному часі. Отримані результати моделювання показані на рис. 13.

Рис. 13. Значення кутових швидкостей і пружних моментів в моделі механічної частини приводу обертання кар'єрного екскаватора під час пуску

Потрібно відзначити, що за наявності люфтів та сухого тертя числові методи для розв'язування жорстких систем диференціальних рівнянь розв'язували задачу зі значними похибками навіть після задавання точності на рівні 10^-6 або призводили до недостовірних результатів. Середньоквадратична похибка розробленого методу для пружних моментів не перевищувала 0.25%, а для кутових швидкостей - не більше 0.18%. Додаткові числові експерименти показали, що перехід до формул другого порядку замість першого дає змогу знизити відносні похибки стосовно еталонного розрахунку до рівня 0.09% за пружними моментами і до 0.065% за кутовими швидкостями за незначного збільшення часу розрахунку (приблизно на чверть). Це в більшості випадків є надлишковим через те, що числові значення параметрів моделі відомі, зазвичай, з точністю не вище 5-10%.

Комп'ютерні експерименти підтвердили, що пропонований метод розрахунку з формулами першого порядку забезпечує за однакового кроку точність розв'язування звичайних диференціальних рівнянь на рівні неявних формул Адамса та вдвічі вищу від методів ФДН третього-четвертого порядків, є стійким для будь-якого кроку дискретизації та дає змогу розв'язувати задачі з розривами у функції розв'язку.

Рис. 14. Функціональна схема електроприводу з безконтактним двигуном

Використання пропонованого методу розрахунку динамічних режимів у випадку застосування запису математичної моделі ЕМС як системи звичайних диференціальних рівнянь показано на прикладі (рис. 14) розрахунку динаміки трифазного безконтактного двигуна постійного струму для системи керування з давачем положення ротора в режимі пуску. Наявність імпульсних елементів у схемі керування роблять цей об'єкт доволі складним для розрахунку класичними числовими методами. Математичний опис електромагнітних процесів системою нелінійних диференціальних рівнянь п'ятого порядку:

;

;

;

;

,

де L - індуктивність обмотки фаз статора; M_ф - взаємна індуктивність між обмотками фаз статора; R - активний опір обмоток фаз статора; i_A, i_B, i_C - струми фаз статора; U_A, U_B, U_C - напруги фаз статора; , - відповідно, кутова швидкість і кут повороту ротора; C_m - стала за моментом і кутовою швидкістю; p - кількість пар полюсів; J - сумарний момент інерції приводу; M - момент двигуна; - коефіцієнт магнітного демпфування.

Момент трифазного безконтактного двигуна постійного струму нелінійно залежить від кута повороту ротора:

.

Для відтворення високочастотних складових перехідного процесу в досліджуваній системі застосовано малий крок, через що використані найпростіші моделювальні формули. Аналіз динаміки проведено для моделі розробленого в СКБ електромеханічних систем Національного університету "Львівська політехніка" моментного безконтактного двигуна ДБМ 160-2 малогабаритної квантово-механічної системи, розробленого і виготовленого на замовлення Федерального космічного агентства Росії. Результати розрахунку розробленим методом перехідних процесів струмів фаз і кутової швидкості під час пуску показано на рис. 15.

Рис. 15. Струми фаз двигуна і кутова швидкість для кроку h = 2 мс

Інтегральна середньоквадратична відносна похибка для струмів фаз моделі для кроку h = 2 мс не перевищувала для розробленого методу 0.25%. Для кроків розв'язування, які перевищують у 2.8 рази електромагнітні сталі часу обмоток двигуна, метод Рунґе-Кутта 4-го порядку вже призводив до неправдоподібних результатів. За тих самих умов розроблений метод дає цілком вірогідний результат з інтегральною середньоквадратичною відносною похибкою для струмів фаз не більше 1.2%.

Для ілюстрації переваг пропонованого методу з використанням апроксимації інтегралу згортки проведено моделювання режимів пуску і накидання номінального навантаження імпульсного нереверсивного електроприводу з силовою частиною за принципом широтно-імпульсної модуляції (ШІМ) та релейним гістерезисним регулятором струму (рис. 16), що також широко використовуються в сучасних електроприводах змінного струму. Комп'ютерні розрахунки його динамічних режимів через наявність великої кількості розривів першого роду у функції розв'язку є складним завданням для класичних числових методів розв'язування ЗДР, у той же час розроблений метод забезпечує достовірне відтворення проміжних координат системи і на два порядки вищу швидкодію (рис. 17).

Прикладом складної нелінійної моделі 10-го порядку є модель електроприводу механізму обертання кар'єрного екскаватора ЭКГ-5А за системою Г-Д з тиристорним збудником генератора типу БУТВ (рис. 18). У ній враховано наявність дводвигунного приводу і відповідної йому еквівалентної тримасової механічної пружної системи, нелінійності системи регулювання та тиристорного збудника типу БУТВ, криву намагнічування генератора, люфти у механічних передачах.

Рис. 16. Функціональна схема імпульсного електроприводу постійного струму

Рис. 17. Форма струму якоря для різних методів

Рис. 18. Функціональна схема електроприводу обертання кар'єрного екскаватора

Розроблений метод для модельного часу 6 с забезпечував час розрахунку 0.13 с, а для традиційних одно- і багатокрокових числових методів для розв'язування нежорстких систем звичайних диференціальних рівнянь зі стратегією автоматичного вибору кроку час обчислень зростав до 40-60 с. Максимальне відхилення між результатами, отриманими обома способами, не перевищувало 0.5% для найгіршого випадку. Відомі числові методи для розв'язування жорстких систем диференціальних рівнянь, зокрема, методи ФДН, призводили до безглуздих результатів у разі наявності в моделі навіть незначних люфтів і моментів сухого тертя.

Покращення точності комп'ютерної моделі досягнуто модифікацією отриманого алгоритму - після застосування явної схеми побудови рекурентних рівнянь з використанням апроксимацій нульового порядку виконувалося уточнення за допомогою неявної формули з використанням апроксимацій серединними прямокутниками. У цьому випадку для кроку моделювання h = 0.01 с спостерігалося зменшення середньоквадратичної похибки обчислень за кожною координатою:

за струмом - з 0.86% до 0.25%;

за швидкістю двигунів - з 0.41% до 0.27%;

за швидкістю механізму - з 0.25% до 0.023%;

за пружними моментами - з 4.2% до 1.65%.

Приклади розрахунків напруги генератора, якірного струму та пружних моментів у валах механізму під час пуску до номінальної швидкості для пропонованих в роботі рекурентних формул, показані, відповідно, на рис. 19 і на рис. 20.

Рис. 19. Напруга генератора і якірний струм моделі електроприводу під час досліджень режиму пуску

Рис. 20. Результати розрахунку пружних моментів у валах механізму обертання

У п'ятому розділі показано, що застосування отриманих в роботі теоретичних результатів є ефективним інструментом для розв'язування широкого кола практичних задач, зокрема, і задач ідентифікації, параметричного синтезу та практичної реалізації елементів цифрових систем керування.

Ілюстрація задачі ідентифікації параметрів показана на прикладі оперативної ідентифікації контуру вихрових струмів генератора електроприводу підіймання кар'єрного екскаватора. За основу прийнята відома структурна модель кола збудження генератора постійного струму з масивною станиною, яка показана на рис. 21 з позначеннями: U_d - напруга обмотки збудження генератора; R_d - опір обмотки збудження; I_d - струм збудження; I - струм намагнічування; I_k , R_k - струм та опір фіктивного контуру вихрових струмів;

, - сталі часу кіл розсіювання і вихрових струмів,

де L_s , L - індуктивності розсіювання та намагнічування.

Основним недоліком такої моделі є відсутність врахування у перехідних процесах значних змін еквівалентного опору R_k контуру вихрових струмів внаслідок ефекту їх витіснення в масиві станини.

Рис. 21. Структурна модель кола збудження генератора постійного струму з врахуванням контуру вихрових струмів

Доступними для вимірювання в реальному електроприводі з метою ідентифікації та наступного використання системою керування є миттєві значення напруги і струму збудження генератора u_d та i_d, напруги на якорі генератора e_G.

Структурна модель дає змогу записати в операторній формі вираз для еквівалентного опору R_k на підставі вимірів напруг і струмів

.

Після переходу до часової форми із застосуванням розробленого методу отримано формули з використанням апроксимації сигналу прямокутниками:

.

На рис. 22 показано результати ідентифікації в реальному часі у перехідних режимах відношення поточного опору фіктивного контуру вихрових струмів до опору обмотки збудження R_k/R_d генератора 4ГПЭМ-220 електроприводу підіймання кар'єрного екскаватора ЭКГ-5А (зав. №8443) за схемою ТЗГ-Г-Д з однофазним тиристорним збудником типу БУТВ. Інформаційні сигнали координат електроприводу містили наведені в провідниках високочастотні шуми та імпульсні завади, а їх квантування виконувалося 12-розрядним АЦП з періодом дискретизації 10 мс. Часові залежності отриманих інформаційних сигналів u_d(t) та u_G(t) показані на рис. 23.

Рис. 22. Результати ідентифікації параметра R_k/R_d контуру вихрових струмів за реальними експериментальними даними

Рис. 23. Графіки експериментально знятих напруг на обмотці збудження u_d(t) та на якорі генератора u_G(t) електроприводу підіймання екскаватора

Для реалізації алгоритму ідентифікації в режимі реального часу використано 3 операції віднімання, 2 - множення та одна - ділення, що дало змогу отримати швидкодіючу процедуру ідентифікації, придатну для роботи в режимі реального часу.

Переваги розробленого методу показано також на прикладі реалізації спостерігача пружного моменту. Експериментальні дослідження з комп'ютерної реалізації проводилися на основі електроприводу постійного струму КЕМРОН (Болгарія) з двигуном типу 13МВ-НСР з постійними магнітами і параметрами: U_ном = 86 В; М_ном = 13 Н•м; n_ном = 750 ^об/_хв.; n_max = 1500 ^об/_хв.; І_ном = 30А; J₁ = 0.028 кг•м² і вбудованим в корпусі двигуна тахогенератором з характеристиками: U_ТГ = 20 В; n_ТГ = 1000 ^об/_хв. Як другу масу використано двигун постійного струму типу П42 УХП4, що працює в генераторному режимі та використаний як тахогенератор. Параметри генератора: Р_ном = 3.8 кВт; U_ном = 220 В; І_ном = 21.4 А; n_ном = 1500 ^об/_хв.; J₂ = 0.18 кг•м²; R_a = 1.98 Ом. Обидва двигуни з'єднані через спеціально виготовлену пружну муфту з коефіцієнтом жорсткості C₁₂ = 300 ^Н•м/_рад. Вимірювання проміжних змінних та наступні обчислення здійснювалися персональним комп'ютером зі спеціалізованою платою аналогового вводу/виводу ADA-1292.

...