Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Луцький державний технічний університет

Теорія автоматичного керування

конспект лекцій (частина 3)

для студентів факультету комп'ютерних наук та інформаційних технологій

денної та заочної форми навчання із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами”

(6.092501)

Редакційно-видавничий відділ

Луцького державного технічного університету

Луцьк 2006

УДК 621.658

ББК 30.5

Викладено основи теорії лінійних систем автоматичного керування, розглянуто загальні питання автоматизації, методи математичного описання. Наведено приклад.

Теорія автоматичного управління. Конспект лекцій (частина 3) для студентів факультету комп'ютерних наук та інформаційних технологій денної та заочного форми навчання із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами” (6.092501)/Т.П. Маркова - Луцьк: ЛДТУ, 2006 - 88с.

Укладач: Т.П. Маркова

Рецензенти: В.М. Подоляк, доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск: Л.О. Гуменюк

Затверджено науково-методичною радою ЛДТУ,

Протокол № від 2005 р.

Рекомендовано до друку методичною радою ННВ ІІ та ІТ

Протокол №2 від 21.12.2005р.

Розглянуто на засіданні кафедри АУВП

Протокол № від 2005 р.

Содержание

Тема I Стійкість неперервних лінійних систем автоматичного керування

Поняття стійкості САК

Стійкість за Ляпуновим

Дослідження і аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння

Аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи

Алгебраїчні критерії стійкості

Критерій Рауса--Гурвіца

Критерій стійкості Льєнара--Шіпара

Загальна методика дослідження впливу параметрів системи на її стійкість за допомогою критеріїв Гурвіца та Льєнара--Шіпара

Критерій Вишнєградського

Частотні критерії стійкості. Критерій Михайлова

Доведення критерію Михайлова

Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод D-розбиття)

D-розбиття по одному параметру

Критерії стійкості Найквіста

Випадок стійкої розімкнутої системи

Випадок нестійкої розімкнутої системи

Аналіз стійкості за амплітудними і фазовими частотними характеристиками розімкнутої системи

Структурно-нестійкі системи і корегуючі ланки

Паралельні корегуючі ланки

Послідовні корегуючі ланки

Тема II Якість лінійних неперервних САК і методи їх оцінки

Загальні відомості про якість САК

Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

Аналіз якості САР на основі розв'язання рівняння незбурених коливань

Наближені методи оцінки якості

Аналіз якості за допомогою діаграм зон параметрів

Метод оцінки якості за полюсами і нулями передаточної функції

Частотні методи оцінки якості САР

Метод одиничних трапецій і трикутників

Тема I: Стійкість неперервних лінійних систем автоматичного керування

Поняття стійкості САК

Під стійкістю системи в загальному випадку розуміють її властивість повертатися в початкове (або близьке до того) положення після зникнення дії факторів (збуджень), які вивели систему із стану початкової рівноваги. Стійкість системи є необхідною умовою можливості САК вирішувати поставлені перед нею завдання.

Розглянемо найпростіший приклади, що характеризують різні сторони поняття стійкості системи.

Розглянемо рух кулі по деякому криволінійному шляху рис. (а).

Якщо куля переміщуватиметься зовнішніми силами із положення початкової рівноваги О в положення І або II, то після зникнення цих сил вона повернеться в початкове положення (або близьке до нього) залежно від сил тертя. При цьому можливі коливання кулі відносно початкового положення.

Рис. (в) об'єднує в собі обидва розглянутих варіанти поведінки кулі.

У випадку, що відповідає рис.(б), куля займає нестійке положення рівноваги О. Досить невеликого зміщення кулі відносно цього положення, і вона не зможе самостійно повернутися до початкового стану.

Залежно від початкового положення рівноваги і характеру дії зовнішніх сил при відхиленнях кулі в межах відрізку шляху О -- І вона буде повертатися в положення О. При виході за межі цього відрізку повернення в початкове положення стає неможливим.

Для характеристики поведінки кулі в найзагальнішому випадку нелінійних систем використовується поняття стійкості «в малому», «в великому» і «в цілому» (при окремих видах нелінійностей її називають абсолютною стійкістю).

Рис. (в) відповідає стійкості «у великому», якщо початкові відхилення є тільки в межах О -- І, і стійкості «в малому», якщо початкові відхилення можливі в межах О -- II. У цьому випадку система стійка «в малому» (на відрізку О -- І) і нестійка «в великому» (на відрізку О -- II).

Система є стійкою «у великому», якщо визначено межі області можливих відхилень, в яких система повертається в початкове положення, і відомо, що початкові відхилення системи не виходять за межі цієї області.

Система стійка «в малому», якщо межі області стійкості не визначені, а вказано лише факт її наявності. Система стійка «в цілому», якщо вона повертається в початкове положення рівноваги при будь-яких початкових відхиленнях (рис. а).

Система, стійка «в цілому», завжди є стійкою «у великому» і «в малому». Система, стійка «в великому», є стійкою «в малому».

В теорії автоматичного керування розрізняють поняття незбуреної рівноваги (положення О на рис. а) і збуреного стану, в яке переходить система при дії збурення і наступного його зникнення (положення II на рис. а).

Крім відносно простого випадку початкового положення рівноваги, при якому об'єкт (куля) нерухомий, можливі і складніші випадки, коли незбурений стан системи є рух по деякій траєкторії (наприклад, в програмних САК). Такий стан системи називають незбуреним рухом. При дії на систему зовнішніх факторів виникають відхилення від початкового руху, і такий стан системи називають збуреним рухом.

Незбурений рух системи називають стійким, якщо після зняття зовнішніх сил збурений рух через деякий час ввійде в задану область е.

При цьому можна записати:

,

де - відхилення координат збуреного руху.

Стійкість за Ляпуновим

О. М. Ляпунов у 1892 р. сформулював поняття стійкості, виходячи з того, що незбурений рух є деякий визначний рух системи, що підлягає дослідженню на стійкість. Він міг бути як усталений, так і не усталений. Згідно з цим, визначення стійкості за Ляпуновим формулюється таким чином: незбурений рух є стійким відносно змінних , якщо при будь-якому довільно заданому додатному числі е, яким би малим воно не було, можна вибрати друге додатне число , таке, що при будь-яких збуреннях, що задовольняють умову при довільних виконуватиметься нерівність

Практично стійкість незбуреного руху за Ляпуновим означає, що при досить малих початкових збуреннях збурений рух буде як завгодно мало відрізнятись від незбуреного. Якщо незбурений рух нестійкий, то збурений рух буде все більше відходити від нього в разі найменших початкових збурень.

Основні особливості визначення поняття стійкості за Ляпуновим полягали в тому, що стійкість розглядалася на нескінченному інтервалі часу, збурення були малими і діяли лише на початкові умови.

У ТАК існує також поняття асимптотичної стійкості, під яким розуміють таку стійкість незбуреного руху, при якому збурений рух при досить малих початкових збуреннях прагне до незбуреного руху.

Теоретично умову асимптотичної стійкості можна записати у вигляді

Іноді умову стійкості технічних систем записують так:

де -- відхилення ординати неусталеного руху відносно відповідної ординати усталеного руху; -- деяка довільно мала величина.

У загальному випадку відповідь на всі питання динаміки САК, в тому числі стійкості, можна получити на основі аналізу характеристики перехідного процесу, яку визначають при розв'язанні диференціального рівняння замкнутої системи.

При виведенні рівняння замкнутої САК, як вказувалось раніше, в багатьох випадках використовується лінеаризація нелінійних залежностей за допомогою ряду Тейлора. Виведене таким чином рівняння називають рівнянням першого наближення.

Дослідження і аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння

Розглянемо лінійну САК стабілізації, рівняння динаміки якої в загальному випадку в операторній формі має вигляд

де-функція збурення.

Після нескладних перетворень це рівняння можна записати у вигляді

декоефіцієнти рівняння, що визначаються параметрами ланок системи (сталими часу, коефіцієнтами передачі та ін.); -- регульований параметр.

Наведене рівняння замкнутої системи є неоднорідне лінійне диференціальне рівняння п-го порядку (n>m).

Його розв'язок, згідно з відомим принципом суперпозиції, можна записати у вигляді

де

- перехідна складова, яка є загальним розв'язком однорідного диференціального рівняння

(це рівняння визначає рух системи після зникнення збурення і називається рівнянням незбурених коливань); -- частковий розв'язок неоднорідного рівняння, який характеризує усталений стан системи;

(при ) і є деякою сталою величиною, яка залежить від параметрів системи і збурення і на стійкість системи не впливає.

Отже, стійкість лінійної системи залежить від розв'язку рівняння незбурених коливань(*)

де - сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов;

- корені характеристичного алгебраїчного рівняння, які визначаються параметрами ланок системи. Характеристичне рівняння має вигляд

.

Із викладеного вище можна зробити такі висновки.

Стійкість лінійних САК не залежить від величини і вигляду збурень.

Стійкість лінійних систем визначається за коренями характеристичного рівняння, які залежать від параметрів системи.

Згідно з викладеним, загальним методом аналізу стійкості є аналіз за коренями характеристичного рівняння.

Аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи

Розглянемо розв'язок рівняння незбурених коливань залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.

1. Нехай всі корені дійсні і від'ємні: р₁ < 0,..., р_п < 0. У цьому випадку перехідна складова

Кожна складова розв'язку рівняння незбурених коливань є експонентою, яка при прямує до нуля.

Для складової можна записати:

Перехідний процес у цьому випадку буде затухаючим, а система -- стійкою.

2.Нехай всі корені дійсні і від'ємні, крім кореня . Тоді всі складові розв'язку будуть затухаючими, крім , яка визначає нестійкість системи в даному випадку.

3.Нехай всі корені характеристичного рівняння дійсні і від'ємні, крім двох:

Сума складових розв'язку , що відповідає сумі цих коренів, матиме вигляд:

Переходячи від показникової форми запису до тригонометричної, згідно з формулою Ейлера можна записати:

Співмножник є синусоїдою з амплітудою, зсунутою відносно початку координат на кут . У цьому випадку характер зміни складової перехідного процесу визначається знаком величини , а у другому співмножнику складової .

Розглянемо три графіки, які відповідають різним значенням .

Так, при і система буде стійкою.

При і , -система буде нестійкою.

При , є складовою, яка зумовить коливання в системі з сталою амплітудою.

4. Якщо всі корені характеристичного рівняння замкнутої системи дійсні і від'ємні, а один з них , то буде сталою величиною.

Для зображення поведінки САК залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння замкнутої системи часто використовують комплексну площину коренів.

При цьому корені - дійсний, додатний, - комплексні з додатною дійсною частиною, відповідають нестійкій САК. Ці корені часто називають «правими коренями».т.к. лежать у правій частині комплексної площини.

Корені, які знаходяться зліва від уявної вертикальної осі (дійсні, від'ємні, , комплексні з від'ємною дійсною частиною , -- «ліві корені»), відповідають стійкій САК.

Отже, перехід коренів з лівої напівплощини в праву при зміні деяких параметрів системи, що зумовлює зміну знака коренів, стійку систему може зробити нестійкою. Згідно з цим вертикальну (уявну) вісь у комплексній площині коренів називають межею стійкості.

Відстань до уявної осі найменшого «лівого» кореня (при відсутності «правих» коренів або коренів, які лежать на уявній осі) характеризує запас стійкості системи.

Наявність нульового кореня або пари чисто уявних коренів , зумовлює особливий випадок поведінки системи -- знаходження її на межі стійкості.

При дослідженні рівняння першого наближення виникає принципове питання: якою мірою результати, які можна дістати при цьому, відповідатимуть реальним нелінеаризованим системам.

Висновки дослідження цього принципового питання, відомі як теореми Ляпунова, наведено нижче без доведень.

Теорема 1. Якщо всі корені характеристичного рівняння лінеаризованої системи є від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то збурений рух вихідної (нелінеаризованої) системи буде стійким незалежно від значення відкинутих при лінеаризації членів ряду Тейлора.

Теорема 2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи є додатні корені або комплексні корені з додатною дійсною частиною, то збурений рух вихідної системи буде нестійким незалежно від значення відкинутих при лінеаризації членів ряду Тейлора

Теорема 3. При наявності нульових або чисто уявних коренів у характеристичному рівнянні лінеаризованої системи для оцінки стійкості вихідної системи необхідно враховувати нелінійні складові ряду Тейлора, відкинуті при лінеаризації.

Недоліком аналізу стійкості за виглядом коренів характеристичного рівняння є відомі складнощі при аналітичних методах розв'язання алгебраїчних рівнянь високого порядку, які при п > 4 не мають загального розв'язку. Крім того, виникає необхідність багато разів розв'язувати характеристичні рівняння при аналізі впливу параметрів, що змінюються (слід пам'ятати, що кожному новому значенню параметра відповідає п нових коренів характеристичного рівняння).

Отже, в ТАК було розроблено методи, що дозволяють досліджувати стійкість САК без знаходження коренів характеристичного рівняння, які називають критеріїв стійкості. Існують два основних види критеріїв стійкості: алгебраїчні і частотні.

Алгебраїчні критерії стійкості

До алгебраїчних критеріїв стійкості належать критерії Рауса, Гурвіца, Вишнеградського, Льєнара -- Шіпара, до частотних -- критерій Михайлова та його наслідок (друге формулювання критерію), критерій Найквіста, метод -розбиття, логарифмічні критерії.

Алгебраїчні критерії дозволяють оцінювати стійкість за коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.

Як було показано раніше, характеристичне рівняння одноконтурної замкнутої системи має вигляд

.

Після перемноження співмножників, які входять до складу операторів, та зведення подібних членів характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд

.

Аналіз перехідних характеристик типових ланок першого і другого порядків показує, що для рівняння першого і другого порядків необхідною і достатньою умовами є додатне значення коефіцієнтів, що зумовлюється від'ємними знаками дійсних коренів або дійсних частин комплексних коренів.

Для систем вищого порядку (п 3), крім додатного знака коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої системи, необхідно, щоб виконувалися також і інші умови згідно з відповідними критеріями.

Критерій Рауса--Гурвіца

Англійський математик Раус (1877 р.) і австрійський вчений Гурвіц (1895 р.) незалежно один від одного запропонували свої критерії, на основі яких стало можливим сформулювати умови стійкості лінійних САР, виходячи із значень коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Раус запропонував критерій у вигляді алгоритму, на основі якого можна скласти таблицю для оцінки стійкості системи. Критерій Гурвіца було представлено визначниками, які формуються за відповідними правилами. Кінцеві результати -- умови стійкості -- в обох критеріях однакові. Тому в ТАК для них часто використовується одна загальна назва -- критерій Рауса--Гурвіца. Проте, враховуючи більшу простоту формування умов стійкості на основі визначників, на практиці частіше користуються критерієм Гурвіца.

Згідно з цим критерієм, умови стійкості формулюються таким чином: всі корені характеристичного рівняння матимуть від'ємні дійсні частини (або будуть дійсними від'ємними), якщо при додатному знаку всіх коефіцієнтів будуть додатними головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори . Наведемо правило знаходження визначника Гурвіца.

1.По головній діагоналі записують коефіцієнти характеристичного рівняння від до .

2. Місця зверху від діагоналі заповнюють коефіцієнтами з більшим індексом, а знизу від діагоналі -- з меншим індексом.

3. При відсутності відповідного коефіцієнта ставлять нуль.

4. Діагональні мінори визначають із головного детермінанта Гурвіца викреслюванням відповідних стовпчиків і рядків.

Розглянемо конкретний приклад формулювання умов стійкості для системи п'ятого порядку.

Приклад 4. 1. „Знайти головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори для замкнутої системи з характеристичним рівнянням”

Розв'язання. Головний визначник Гурвіца мас вигляд

Діагональні мінори Гурвіца записуються у вигляді

;

;

Умовами стійкості в даному випадку є:

Нагадаємо основні правила розкриття визначників. Загальним правилом є їх розкладання по елементах якого-небудь рядка (і) або стовпчика (k). Для спрощення розрахунків рекомендується розкладати визначник по рядку або стовпчику, які мають найбільше нулів. У загальному випадку формула розкладу має вигляд

де -- коефіцієнти i-го рядка;

-- відповідні доповнення, які знаходять із вихідного визначника викреслюванням відповідних рядка і стовпчика.

Так, доповнення, що відповідає рядку і і стовпчику k, матиме вигляд

Запишемо визначник 2-го порядку:

Визначник 3-го порядку можна обчислити за загальним правилом розкладу по елементах якого-небудь стовпчика або рядка. Наприклад, при розкладі по елементах першого рядка дістанемо

Досить зручно при обчисленні визначників 3-го порядку використовувати також відоме правило Сюрреля, згідно з яким визначник 3-го порядку доповнюється двома першими стовпчиками, після чого добутки трьох співмножників по діагоналях згори вниз беруться із знаком «плюс», а по діагоналі знизу вгору -- із знаком «мінус»:

Можливі також спрощення обчислень на основі того факту, що в окремих випадках можна обмежитись розкриттям лише деяких визначників.

Так, в системі при п = 3 характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд

,

а головний визначник Гурвіца -- вигляд

Розкриваючи його по елементах останнього стовпчика, дістаємо;

Звідси можна зробити висновок, що оскільки а₃ > 0, то Д₃ може бути більше нуля лише тоді, коли Д₂ > 0.

Отже, при n = 3 необхідна і достатня умова стійкості системи Є Д₂>0 (звичайно, при а₀ > 0; а₁ > 0; а₂ > 0; а₃ > 0).

Аналогічно при n=4 достатньо визначити лише значок визначника Д₃. Якщо Д₃ >0 то Д₂>0; Д₄>0.

Критерій Гурвіца здебільшого використовується для систем з n4. При n>4 обчислення стають дуже громіздкими.

Критерій стійкості Льєнара--Шіпара

Цей критерій було розроблено в 1914 р. і розраховано для систем з відносно великим степенем характеристичного рівняння (n 5). Він, по суті, є варіацією критерію Гурвіца. Було доведено, що при умові а₀ > 0, а₁ > 0, . . . ,а > 0 при додатному значенні всіх визначників Гурвіца з індексами 3, 5, . . . будуть додатними також всі визначники з індексами 2, 4, 6. Отже, при Д₃ > 0, Д₅ > 0, . . . визначники Д₂, Д₄, Д₆,...обов'язково будуть додатними. Тому при n = 5 необхідне виконання умов Д₂ > 0, Д₄ > 0, а при n = 6 - умов Д₅ > 0, Д₃ > 0.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є рівність нулю відповідного визначника.

Загальна методика дослідження впливу параметрів системи на її стійкість за допомогою критеріїв Гурвіца та Льєнара--Шіпара

Дослідження впливу деякого параметра Т_х на стійкість системи можна проводити в такій послідовності.

1. Згідно з викладеним вище, відповідно до степеня характеристичного рівняння прийняти умови:

при n = 3 Д > 0, при n = 5 Д₂ > 0, Д₄ > 0, при n = 4 Д₃ > 0, при n = 6 Д₅ > 0, Д₃ > 0.

2. Встановити функціональну залежність відповідного визначника, або визначників (згідно з n.1), і параметра Т_x

Д_х =ѓ (T_x)

Наприклад, при n = 5 такими залежностями мають бути:

Д₄=ѓ (Т_х) і Д₂ = ѓ (Т_x)

3. З умов Д_х=ѓ (T_x)=0 визначити критичні значення Т_х (значення Т_x, при яких система знаходиться на межі стійкості), а також зони, в яких Т_x відповідає стійкому або нестійкому, стану системи.

4. У зоні «стійких значень» Т_x встановити необхідний запас стійкості по параметру Т_x і виділити зону рекомендованих значень цього параметра.

Знайдені значення параметра Т_х за умовами стійкості далі треба узгоджувати з вимогами якості перехідного процесу. Якщо параметр Т_х входить до складу коефіцієнта а_n характеристичного рівняння і визначає статичну точність системи, то вимоги стійкості і якості мають бути узгоджені з вимогами статичної точності.

Для ілюстрації викладеної вище методики розглянемо рис. а і b На рис. a, показано деяку залежність Д₃ = ѓ(Т_х), що відповідає системі 4-го порядку, умовою стійкості якої є Д₃ > 0. Критичні значення параметрів Т_x1 і Т_x2 відповідають Д₃ = 0, і рекомендоване значення параметра Т має лежати в межах Т_х1 - Т_х2.

На рис. б розглянуто випадок, що відповідає системі 5-го порядку (n = 5). У цьому разі умовою стійкості є Д₂ > 0, Д₄ > 0. Тому аналіз виконується з врахуванням взаємного розміщення кривих Д₂ = ѓ(Т_x) і Д₄ = ѓ(Т_x). У цьому випадку параметр Т_х має знаходитися в межах Т_х2 -Т_x3 , де T_x2 і Т_x3 -- критичні значення параметра T_x.

Критерій Вишнєградського

Критерій було розроблено в 1877 р. для систем автоматичного керування парових машин, які мали 3-й порядок рівнянь динаміки, чим обмежується область його використання. Вишнєградський звів характеристичне рівняння а₀р³ + а₁р² + а₂р + а₃ = 0, яке має чотири коефіцієнти, до рівняння з двома коефіцієнтами x, у, які потім дістали назву параметрів Вишнєградського. З цією метою вихідне характеристичне рівняння спочатку було зведено до вигляду

p³+c₁p²+c₂p+c₃=0,

де

і для нього знайдемо умови стійкості С₁С₂-С₃>0

Параметри х і у було запропоновано у вигляді:

звідки знайдено

Після підстановки значень С₁ і С₂ у вираз (4.16) дістанемо

ХУ > 1.

Останній вираз і є умовою стійкості (критерієм) Bишнєградського. Рівняння межі стійкості в площині параметрів X, У має вигляд гіперболи (рис. 4. 5)

ХУ = 0,

яку називають гіперболою Вишнєградського.

Праворуч від кривої лежить зона стійкості ХУ > 1, а ліворуч -- зона нестійких режимів ХУ < 1.

На основі наведених вище формул можна дістати залежності між іншими параметрами, що входять до складу коефіцієнтів а₀...a₃.

Частотні критерії стійкості критерій Михайлова

Критерій Михайлова був запропонований в 1938 р. і є досить зручним для аналізу лінійних систем, особливо високого порядку (n>5).

Оцінка стійкості системи за даним критерієм виконується на основі характеристики (годографа) Михайлова, яка будується таким чином.

1.В характеристичному рівнянні замкнутої системи

a₀pⁿ + а_n-1p^n-1+ ... +a_n-1p+a_n= L(р)

виконують підстановку р = jw, де j =, після чого вираз годографа Михайлова дістають у вигляді

L(jw)=a₀(jw)ⁿ+a₁(jw)^n-1+…+a_n-1(jw)+a_n

2.Вираз L(jw) ділять на дві частини -- дійсну А(w) і уявну В(w). При цьому годограф Михайлова набуває вигляду

L (jw) = А(w)+ j В(w)

де

А (w) = a_n - а_n-2w²+a_n-4w⁴-a_n-6w⁶ ;

B(w)=a_n-1w-a_n-3w³+a_n-5w⁵-…

3. Задаючи значення w в межах від 0 до +, на комплексній площині в координатах А(w) В(w)будують годограф Михайлова, радіус-вектор L(w) якого при зміні w від 0 до + обертається проти годинникової стрілки (рис. 4. 6).

Оцінка стійкості системи здійснюється за виглядом і розміщенням кривої відносно квадрантів площини А(w) -- В(w).

Доведення критерію Михайлова

Згідно з теоремою Безу вищої алгебри, характеристичне рівняння замкнутої системи n-го порядку можна записати у вигляді n співмножників

а_о(р -- р₁) (р -- р₂) ...( р -- р₂) = 0,

де р₁ р₂, . . . , р_n -- корені характеристичного рівняння.

Після підстановки р =jw в характеристичне рівняння дістанемо вираз годографа Михайлова у вигляді

A₀(jw-p₁)(jw-p₂)…(jw-p_n).

У комплексній площині величина jw знаходиться на уявній осі. Як було показано раніше при дослідженні стійкості системи за виглядом коренів характеристичного рівняння, зона стійкості знаходиться зліва від уявної осі в комплексній площині коренів. При цьому кожний вектор-співмножник (jw -- р_k) у випадку стійкої системи знаходитиметься в лівій напівплощині коренів і може бути знайдений як різниця двох векторів jw і р_k Кінець кожного вектора-співмножника (jw -- р_k) при зміні w ковзатиме по уявній осі, збігаючись з кінцем вектора jw (рис. 4. 7). На рисунку показано розміщення коренів для стійкої системи 3-го порядку, якій відповідають один дійсний корінь р₁ та два комплексних корені р_2,3 з від'ємною дійсною частиною.

При зміні w від -? до +? кінці всіх векторів-співмножників переміщуватимуться по уявній осі від -? до + ?. При цьому, кожний з них повернеться на кут .

Відомо, що аргумент вектора, який дорівнює добутку кількох векторів, є сума її аргументів, тому радіус-вектор годографа Михайлова при п співмножниках повернеться на кут . Тому що кожний вектор-співмножник, що відповідає дійсному кореню, або вектор-співмножник, який відповідає двом комплексним кореням, «симетричний» відносно дійсної осі, то можна обмежитись діапазоном зміни частоти від 0 до + ?. При цьому радіус-вектор годографа Михайлова повернеться

Згідно з викладеним вище, критерій стійкості Михайлова можна сформулювати таким чином: для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб радіус- вектор годографа Михайлова при зміні частоти від 0 до + ?, почавши обертання з точки, яка лежить на дійсній осі праворуч від нуля, обертаючись проти годинникової стрілки і ніде не перетворюючись в нуль, пройшов послідовно n квадрантів комплексної площини повернувшись на кут .

Приклади годографів Михайлова стійких і нестійких систем показано відповідно на рис. а і б.

Характеристики на рис. *, а відповідають системам з різними степенями п характеристичного рівняння. На рис.б криві 1,4,5 є характеристиками нестійких систем. Крива 2 -- 2' відповідає нестійкій системі, тому що не витримується принцип послідовності обходу квадрантів комплексної площини, а крива 2 -- 2" -- стійкій системі при n = 4.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа Михайлова через початок координат комплексної площини.

Запас стійкості системи може характеризувати відстань від точки перетину годографом Михайлова дійсної осі до початку координат у випадку стійкої системи (відстань 0' -- 0 на рис. a, б).

Друге формулювання (наслідок) критерію Михайлова. Цей метод дослідження стійкості має ту перевагу порівняно з основним формулюванням, що дозволяє визначити стійкість системи по взаємному розміщенню дійсної А(w) і уявної В(w) складових без побудови самого годографа Михайлова. Крім того, друге формулювання критерію Михайлова дає змогу зручніше знаходити запас стійкості за деяким параметром.

Розглянемо особливості взаємного розміщення дійсної і уявної складових А(w) і В(w) для стійкої (рис. а) і двох нестійких (рис. б, в) систем.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Характерною рисою стійкої системи і її відмінність від нестійких систем є переміжний характер розміщення точок перетину осі w дійсної А(w) і уявної В(w) складовими годографа Михайлова. На рис. 4. 9, б, в переміжний характер перетину характеристиками A(w) та В(w) осі w відсутній.

Як було зазначено раніше, при знаходженні системи на межі стійкості годограф Михайлова проходить через початок координат. У цьому випадку розміщення А(w) та В(w) відповідає кривим 1 і 1" на рис. г, які перетинаються в одній точці w₂ на осі w.

Якщо система стійка, то вигляд годографа Михайлова відповідає кривій 2 і кривим 1 та 1" на рис. 4. 9, г. При цьому запас стійкості характеризує відстані між точками w₁ і w₂ на осі w.

Критичне значення певного параметра системи можна знайти з умови перетину характеристик А(w) та В(w) в одній точці на осі w.

Частоту, при якій характеристики А(w) та В(w) перетинаються на осі w, називають критичною частотою.

Згідно з викладеним, наслідок критерію Михайлова можна сформулювати таким чином: для стійкості замкнутої системи корені поліномів дійсної А(w) і уявної В(w) частотних складових годографа Михайлова повинні бути дійсними (мати точки перетину з віссю w) і переміжними.

Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод D-розбиття)

При розробці САР важливо встановити вплив окремих параметрів (або параметра) на стійкість системи при фіксованих значеннях інших параметрів. При цьому ставиться завдання встановити зони параметрів, в яких їх зміна не приводить до нестійкої роботи системи.

Дане завдання можна вирішити за допомогою розглянутих вище критеріїв стійкості, але зі зростанням порядку системи рівнянь розрахунки різко ускладнюються.

Соколовим і Неймарком було запропоновано метод, який дозволяє знайти зазначену вище зону в площині одного або двох параметрів. В основі методу лежить дослідження полінома D(р), який відображує характеристичне рівняння замкнутої системи, зведене до вигляду, коли коефіцієнт а₀ в характеристичному рівнянні дорівнює одиниці:

D(р) = рⁿ +a₁ p^n-1 + а₂р^n-2 + . . . +а_n-1р + а_n = 0.

Можна уявити деяке n-мірне середовище, по координатних осях якого розміщуються коефіцієнти характеристичного рівняння (або параметрів ланок системи). У цьому випадку середовище називають середовищем коефіцієнтів (параметрів). Кожній точці такого середовища відповідає певне значення всіх n коефіцієнтів (параметрів), які визначають п коренів характеристичного рівняння.

При деякому значенні коефіцієнтів система може бути на межі стійкості (при нульових або чисто уявних коренях). Тому відповідна точка в просторі параметрів у цьому випадку повинна задовольняти рівняння

D(jw)=(jw)ⁿ+a₁(jw)^n-1+…+a_n-1(jw) +a_n=0

При зміні параметрів корені будуть змінюватись і переміщуватись на комплексній площині коренів і при деяких значеннях параметрів (коефіцієнтів характеристичного рівняння) можуть переміститись з лівої частини площини коренів у праву, що приведе до нестійкої роботи системи, або, навпаки, з правої напівплощини коренів у ліву, в результаті чого нестійка система стане стійкою.

Отже, переміщення коренів зумовлено рухом відповідних точок в n-вимірному просторі параметрів (коефіцієнтів).

Для практичних цілей важливо встановити зони значень параметрів, які відповідають положенню коренів на межі стійкості, і зони значень параметрів, що відповідають стійким системам. Поділ простору коефіцієнтів (параметрів) на відповідні зони і є основною метою методу D-розбиття.

Так, нехай параметри, які нас цікавлять, входять до складу деяких коефіцієнтів рівняння. Якщо змінювати один з параметрів Т_х, то змінюватимуться всі коефіцієнти, які є функціями цього параметра. Тоді кожному новому значенню Т_x відповідатиме п нових коренів полінома D (р) = 0, положення яких у комплексній площині коренів залежить від числових значень параметра Т_х і, як результат, -- значень відповідних коефіцієнтів.

D-розбиття по одному параметру

Розглянемо методику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Т_x

Вихідне характеристичне рівняння D (р) = 0 представимо у вигляді

Х(р) + Т_xУ(р) = 0.

Знаходимо величину досліджуваного параметра

T_x =

3.Знаходимо комплексний вираз параметра Т_x, використовуючи підстановку р = jw, і виділимо його дійсну А(w) і уявну В(w) складові:

Т_х = А(w)+jB(w);

Т_x становить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів Т_х, при яких система знаходиться на межі cтійкості. Така характеристика називається межею стійкості в площині параметра D, або кривою D-розбиття.

4. В комплексній площині параметра D за правилом штриховки Неймарка знаходимо зону стійкості.

Правило штриховки формулюють так: якщо рухатись по межі D-розбиття від значень w = - до значень w = + , то зона стійкості буде розташована зліва від межі стійкості (це аналогічно тому, що якщо в комплексній площині коренів характеристичного рівняння рухатись вздовж вертикальної (уявної) осі, яка є межею стійкості в площині коренів від -до + , то зона стійкості знаходитиметься зліва від вертикальної осі).

5. Задаючи запас стійкості в зоні, обмеженій кривою D-розбиття, виділимо на дійсній (горизонтальній) осі (бо параметр Т_x є дійсною, фізично реальною величиною) необхідний, робочий діапазон значень параметра Т_x ,який може бути рекомендовано при проектуванні і настроюванні відповідної системи.

Побудова межі стійкості в площині двох параметрів (D-розбиття по двох параметрах). В цьому випадку розв'язується задача аналізу впливу на стійкість системи деяких двох параметрів Т_х і T_y Вважатимемо, що ці параметри входять в характеристичне рівняння лінійно (відсутній добуток Т_xТ_y). Особливістю методу розбиття по двох параметрах є те, що простір двох параметрів є дійсна площина Т_x -- T_y

Вважатимемо, що характеристичне рівняння при необхідності дослідження впливу параметрів Т_х і Т_у у загальному випадку матиме вигляд

D (р, Т_х, Т_y) = 0

Підставляючи р = jw і виділяючи дійсну і уявну частини, дістанемо

D(jw , Т_х, Т_у) = А(w) + В(w) = 0.

У цьому виразі А(w) і В(w) залежать не тільки від w, а й від параметрів Т_x і Т_y. При лінійних залежностях маємо

А(w)=T_xP₁(w)+T_yQ₁+R₁(w)

В(w) = Т_x Р₂(w) +T_yQ₂+R₂(w) (*)

Для деякого значення w = wk із рівняння * можна знайти значення Т_xk і Т_yk при яких А (w) = 0 і В (w) = 0.

При цьому jw буде коренем рівняння D(р) = 0.

У цьому випадку деяка точка N (Т_xk, Т_уk) у площині Т_x -- Т_у лежить

Рис.4.13

на межі, яка ділить площину Т_x-- Т_y на зони стійкості і нестійкості по параметрах Т_x Т_y Як відомо, зоні стійкості відповідають «ліві» корені в площині коренів характеристичного рівняння D (р) = 0, а зоні нестійкості -- «праві» корені.

Розв'яжемо систему рівнянь * відносно Т_x і Т_y. Запишемо головний детермінант системи

і часткові детермінанти

звідки , . Величини Р₂(w), Q₂(w), R₂(w) входять до уявної складової В(w) і є непарними функціями w. Детермінанти Д, Д_x, Д_у є також непарні функції w, тоді як величини Т_х і Т_y будуть парними функціями w.

Задаючи значення w в межах - до +, будуємо в площині Т_x -- Т_y деяку криву, яка є межею. D-розбиття в площині параметрів T_x -- Т_у (рис. 4. 13, а). При побудові кривої D-розбиття і дослідженні стійкості за даним методом можливі три основні випадки.

1. При частоті w_k всі три детермінанти Д, Д_x Д_y не дорівнюють нулю. При цьому вирази Т_х і Т_y при частоті wк в площині параметрів Т_х -- Т_у є прямими, що перетинаються (рис. 4. 13, б).

2. Якщо при w = w_к , Д = 0, Д х0, Д_у0, то вирази Т_х = ѓ(Д_x/ Д) T_y =ѓ (Д_y/ Д) не мають спільних розв'язків і відповідно спільних точок перетину в площині Т_х--Т_у. В цьому разі вони є паралельними прямими (рис. * в).

3. При w = w_к всі три детермінанти Д, Д_y , Д_x дорівнюють нулю, що відповідає невизначеності функцій Т_х і Т_y. При цьому одне із рівнянь системи * випливає з другого, відрізняючись від нього на деякий сталий співмножник. Прямі в площині Т_x -- Т_у зливаються одна з одною (рис. *, г) і є при w = w_к деякою особливою прямою з рівнянням вигляду

T_xP₁(w_k)+T_yQ₁(w_k)+R₁(w_k)=0

Такі прямі дістають при w = 0 і w = . При цьому, хоча б один з параметрів Т_x і Т_y входив до складу коефіцієнта при найбільшому степені похідної а₀, або до складу вільного члена рівняння а_n. Особливу пряму можна дістати при w = 0, прирівнюючи нулю коефіцієнт а₀, або при w = , прирівнюючи нулю коефіцієнт а_n.

Якщо коефіцієнти а_n і а₀ не залежать від Т_х і Т_y, то особливих прямих не буде. В принципі особливих прямих може бути кілька, і всі їх треба знайти.

Отже, для знаходження особливих прямих потрібно:

1)прирівняти нулю коефіцієнти а₀ і а_n характеристичного рівняння, якщо вони залежать від параметрів Т_х і Т_y ;

2)визначити значення w, при яких одночасно дорівнюють нулю обидва детермінанти Д і Д_x або Д і Д_y , і знайдені значення підставити в рівняння.

Якщо після даної підстановки дістанемо вираз, що дорівнює нулю, то цей випадок можна не розглядати, тому що особлива пряма проходить у нескінченності.

Для виділення зон стійкості наведемо без доведення такі правила штриховки.

Якщо переміщуватись по кривій D-розбиття від точок w = - до точок w = + при Д > 0, то штриховку слід робити зліва від кривої, а при Д < 0 -- справа. (Знак Д змінюється при переході через особливу пряму в нескінченності, а також через нуль).

Крива D-розбиття при зміні w від --до + штрихується двічі:

один раз при зміні w від -- до 0, а другий -- від 0 до +. Оскільки в обох випадках крива штрихується зліва по ходу зміни w, то вона має подвійну штриховку з одного боку -- одну при прямому ході, а другу при оберненому, тому що при переході w через нуль детермінант Д змінює свій знак. стійкість автоматичний керування

3. Штриховка особливих прямих здійснюється за такими правилами:

якщо особлива пряма і крива D-розбиття зближуються асимптотично, то штриховка особливої прямої одинарна і спрямована до за штрихованого боку кривої D-розбиття (рис. 4. 14, а);

якщо особлива пряма має спільну точку з кривою D-розбиття, але не перетинає її, то штриховка особливої прямої одинарна і біля спільної точки спрямована до заштрихованого боку кривої D-розбиття; в точках перетину з кривою D-розбиття штриховка особливої прямої не змінюється, тому що знак визначника Д у цих точках не змінюється (рис. 4. 14, б);

якщо особлива пряма відповідає випадку Д(wk)=Д_х(wk)= =Д_y(wk) = 0 і в точці перетину її з кривою D-розбиття визначник Д змінює знак, то штриховка особливої прямої подвійна і спрямована до заштрихованого боку кривої D-розбиття (рис 4. 14, в);

якщо особлива пряма перетинає криву D-розбиття, але знак визначника Д в точці перетину не змінюється, то особлива пряма не штрихується і на розподіл коренів не впливає (рис 4. 14, г).

Кожна з особливих прямих штрихується незалежно від наявності точок її перетину з іншими особливими прямими.

За напрямом штриховки кривої D-розбиття і особливих прямих встановлюється область можливої стійкості системи. Для перевірки цього вибирають довільні значення Т_y = Т_y1 і Т_х = Т_x1 і підставляють їх у характеристичне рівняння замкнутої системи. Далі одним із відомих методів аналізують стійкість системи (визначають знаки коренів). Якщо один із коренів буде додатним, то САР є нестійкою і привести її до стану стійкості зміною параметрів Т_x і Т_у неможливо. Якщо всі корені від'ємні, то дана зона дійсно є зоною стійкості

Критерії стійкості Найквіста

Критерії стійкості Найквіста було розроблено в 1932р. американським ученим для дослідження електронних підсилювачів із зворотнім зв'язком.

Особливістю критерію Найквіста є те, що він дає змогу:

1) оцінювати динамічні властивості замкнутих систем по частотних характеристиках відповідних розімкнутих систем;

2) досліджувати динамічні властивості замкнутої системи при відсутності рівнянь динаміки систем або окремих елементів.

У цьому разі достатньо мати експериментальні частотні характеристики системи або відповідних ланок, які можуть бути визначені на реальних елементах системи або на їх моделях.

При відсутності математичного описання ланок (або й системи в цілому) цей критерій є незамінним для дослідження динамічних процесів в системах регулювання. Водночас він дещо складніший за розглянуті раніше.

Розглянемо суть критерію Найквіста.

Нехай є деяка розімкнута система із n ланок. Її передаточна функція має вигляд:

, де

відповідно оператори лівих і правих частин рівнянь динаміки ланок;

- вихідна величина останньої (n-ї) ланки;

- вхідна величина першої ланки;

- коефіцієнт рівнянь, які визначаються параметрами ланок.

Якщо замкнути розімкнуту систему за допомогою основного від'ємного зворотного зв'язку, то При цьому

.

Звідки .

Даний вираз є характеристичним рівнянням замкнутої системи, записаним через передаточну функцію розімкнутої системи . Це видно із таких перетворень:

або

Використавши вираз , запишемо

Звідки

Записуємо чисельник у загальноприйнятій формі, дістанемо

При цьому треба пам'ятати, що - характеристичне рівняння замкнутої системи, а - характеристичне рівняння розімкнутої системи.

Розглянемо два окремих випадки - стійкої і нестійкої розімкнутої системи - і сформулюємо умови, які мусять задовольняти відповідні замкнуті системи.

Випадок стійкої розімкнутої системи

Нехай замкнута система зазнає гармонічних впливів, тому , виходячи з , запишемо:

, де

- АФХ розімкнутої системи;

- частотні характеристики.

Многочлени чисельника і знаменника, як і при доведені критерію Михайлова, можна подати у вигляді n співмножників або , де , - корені характеристичного рівняння відповідно замкнутої системи для чисельника і розімкнутої - для знаменника. Отже, можна записати

При стійкій розімкнутій системі всі корені є від'ємними і розміщуються в лівій напівплощині коренів.

При цьому кожен із співмножників вигляди при зміні w від 0 до повернеться на кут , а загальний кут повороту вектора буде дорівнювати:

Для стійкості замкнутої системи всі корені характеристичного рівняння замкнутої системи також мають розміщуватися в лівій напівплощині. Вектор при зміні в діапазоні як добуток співмножників вигляду повернеться на кут

Для результатуючого кута повороту вектора маємо

.

Для графічної інтерпретації цього висновку розглянемо, де , як було показано раніше, є амплітудою - фазовою частотною характеристикою розімкнутої системи.

Для того щоб побудувати вектор на дійсній осі береться точка С координатами і будують відповідний вектор Початок цього вектора містить у точці С, а кінець на змінні частоти від 0 до обходить всі точки АФХ розімкнутої системи . Отже, вектор дорівнює

Вважаючи, що повороту вектора , позначеного в напрямку обертання проти годинникової стрілки відповідає додатне значення кута обертання, а по годинниковій стрілці - від'ємне, дістанемо, що при змінні частоти від 0 до .

При зміні частоти від до вектор повернеться на той самий кут, але проти годинникової стрілки. Тому результуючий кут від 0 до

.

Подібним чином переміщується вектор у діапазоні і .

Тому при обході всіх точок АФЧХ розімкнутої системи (1) кут обертання буде дорівнювати нулю. Це відповідає умові стійкості.

Якщо АФХ розімкнутої системи має вигляд характеристики 2, то умова стійкості замкнутої системи не виконується, оскільки

Це показує, що не завжди замкнута система є стійкою при стійкій розімкнутій системі.

Умови стійкості розімкнутої системи:

Якщо розімкнута система САК є стійкою, то для стійкої замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи не охоплювала точку з координатами при зміні частоти від 0 до .

Випадок нестійкої розімкнутої системи

Серед коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи мають бути корені, які лежать у правій напівплощині. Нехай таких коренів буде m. При цьому кожний вектор - співмножник вигляду при зміні w від 0 до повернеться за годинниковою стрілкою на кут , а загальний кут повороту всіх m векторів - співмножників буде Отже, із загальної кількості n векторів - співмножників, які відповідають розімкнутої системі і визначають кут обертання вектора , ліворуч від вертикальної осі буде знаходитись n-m, а праворуч m векторів.

Обчислимо результуючий кут обертання вектора

Кут обертання вектора

Результуючий кут обертання вектора

Умова стійкості замкнутої системи: якщо розімкнута САК є нестійкою, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до охоплювала точку з координатами проти годинникової стрілки і поверталась на кут (m - кількість додатних коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи).

Виходячи із обох розглянутих випадків поведінки розімкнутої системи, сформуємо загальну умову стійкості замкнутої системи: для стійкості замкнутої лінійної системи автоматичного керування необхідно і достатньо, щоб при русі точки N по АФЧХ і розімкнутої системи при зміні w від 0 до вектор CN, початок якого лежить в точці C з координатами , повертається на кут

де - відповідно степені характеристичних рівнянь замкнутої і розімкнутої систем; m - кількість додатних коренів у характеристичному рівнянні розімкнутої системи.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На практиці, як правило, і тому при умова стійкості замкнутої системи матиме вигляд .

На рис. а, б, в показано характеристики, які відповідають стійким розімкнутим системам. Визначивши дійсний кут на основі обходу точок характеристики при зміні w від 0 до і порівнюючи його значення з умовою стійкості замкнутої системи , встановимо, що для характеристик розімкнутої системи а, б замкнута система буде стійкою, для характеристик в - нестійкою.

Якщо амплітудно фазова частотна характеристика розімкнутої системи проходить через саму точку С , то замкнута система буде знаходитись на межі стійкості.

В астатичних розімкнутих системах з інтегруючими ланками з передаточною функцією вигляду АРХ. не є замкнутим контролем, тому що характеристичне рівняння розімкнутої системи має нульові корені.

Нехай, наприклад, система складається із двох аперіодичних ланок першого порядку із сталими часу і однієї інтегруючої ланки. Характеристичне рівняння розімкнутої системи в загальному випадку

,

де є добуткові поліномів лівих частин рівнянь ланок.

Видно що перший корінь є нульовим: При двох інтегруючих ланках матимемо два нульових корені, тому що

Передаточна функція розімкнутої автоматичної системи при одній інтегруючий ланці має вигляд

,

при двох -

при k -

Аналогічно АФХ розімкнутих систем при одній інтегруючий ланці записується у вигляді

при двох:

Побудовані АФХ астатичної системи при при зміні w від 0 до показуємо відповідно суцільною і пунктирною лініями. При характеристика має розрив, що утруднює оцінку стійкості замкнутої системи. Вектор при зміні частоти від до при переході через 0 змінює стрибком фазовий кут від до , але в якому напрямку змінюється фазовий кут при переході через початок координат, визначити неможливо. Для усунення цієї невизначеності при астатичній системі довільного порядку (з різними k) користуються такими правилами:

1) побудувати гілку АФХ розімкнутої системи при зміні частоти межах ; побудовану характеристику доповнюють дугою відповідного кута обертання нескінченно великого радіуса - вектора R характеристики, якій дорівнює ;

...