Теорія автоматичного керування

2) використовують критерій стійкості Найквіста у відповідному формулюванні.

АФТ розімкнутих систем характеристикою охоплюється за годинниковою стрілкою, а характеристикою не охоплюється. Тому замкнута система, яка має характеристика 1 в розімкнутому стані буде нестійкою, а характеристика 2 - стійкою.

Аналіз стійкості за амплітудними і фазовими частотними характеристиками розімкнутої системи

Даний метод базується на результатах дослідження стійкості за критерієм Найквіста. Для визначення стійкості або нестійкості замкнутої системи можна співставити взаємне розташування амплітудної і фазової характеристики, які можуть бути побудовані як у натуральному, так і в логарифмічному масштабі.

Для розв'язання даного методу побудуємо амплітудні і фазові частотні характеристики для АФХ стійких розімкнутих систем, які зображені на рис. а, б, в (дивись попереднє).

При використанні критерію Найквіста при стійкості замкнутої системи АФХ розімкнутої системи або не охоплює точку зліва, що означає відсутність точок перетину осі при (рис. а), або має дві такі точки переходу через вісь. Проте в цьому випадку (рис. б) в зоні один перехід І через лінію відповідає зростанню аргументу кута , а другий перехід ІІ - його зменшенню.

Перехід І називають додатним, а перехід ІІ - від'ємним.

На рисунку їх позначено знаками „плюс”, „мінус”.

На рисунку в, який відповідає нестійкій замкнутій системі і визначається охопленням точки в зоні де є лише один додатній перехід через вісь .

На основі аналізу можливих варіантів ходу кривих і в зоні, де (лише при цій умові можливе охоплення точки ) можна сформулювати правило визначення стійкості замкнутої системи:

Замкнута система буде стійкою, якщо алгебраїчна сума (з урахуванням знака) числа додатних і від'ємних переходів фазової частотної характеристики через лінії , в зоні де амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи проходить вище лінії , дорівнюватиме , де m - кількість коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи з додатною дійсною частотою.

У розглянутих нами випадках стійкої розімкнутої системи (m=0) умови стійкості замкнутої системи відповідає рис. а.

Тут немає переходів через в зоні де .

На рис.в^* маємо два переходи через лінію р різних знаків, алгебраїчна сума яких дорівнює нулю. У випадку b^* в зоні A(щ)>1 є один додатній перехід, якій визначає нестійку замкнуту систему.

Якщо при щ=0 характеристика W(jщ) розімкнутої системи починається на дійсній осі ліворуч від точки С(-1,j0), то вважають, що в цій точці характеристика робить половину переходу через вісь р.

По взаємному розміщенню характеристик А(щ) і ц(щ) для випадку стійких замкнутих систем можна визначити запаси стійкості по модулю з₁ і по фазі з₂ (рис. а^*) .

Структурно-нестійкі системи і корегуючі ланки

У всіх розглянутих раніше випадках стійкість системи залежала від значення параметрів ланок структурної схеми існуючої системи. САК, в якій стійкість залежить лише від значення параметрів ланок, називають структурно-стійкими. Але є такі САК, в яких досягти стійкості за рахунок зміни параметрів ланок принципово неможливо.

Стійкість цих систем може бути досягнута при зміні структурної схеми.

САК, в яких стійкість не може бути досягнута за рахунок лише зміни параметрів, називають структурно-нестійкими.

Для пояснення розглянемо окремий приклад. Нехай в САК є дві інтегруючі ланки і одна аперіодична ланка першого порядку. Отримаємо характеристичне рівняння замкнутої системи і дослідимо стійкість системи.

Запишемо передаточні функції ланок системи.

і характеристичне рівняння замкнутої системи в загальному вигляді

де -- передаточна функція розімкнутої системи.

Після підстановки відповідних значень дістанемо.

-- коефіцієнт підсилення розімкнутої системи.

Якщо розглянути характеристичне рівняння третього прядку в загальному вигляді

то

При цьому, член вигляду що можливо при У даному випадку не виконується перша умова Гурвіца про те, що всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи повинні бути більше нуля, і система буде нестійкою.

При цьому, яким би чином ми не змінювали значення параметрів дістати неможливо. Тому дана система є структурно-нестійкою.

На основі розглянутого прикладу можна зробити деякі узагальнення.

1. Зовнішньою ознакою структурно-нестійкої системи є відсутність (рівність нулю) в лінійному характеристичному рівнянні замкнутої системи деяких членів (коефіцієнтів).

2. Системи, які мають дві і більше інтегруючих ланок, при інших аперіодичних або безінерційних ланках є структурно-нестійкими.

3. Для досягнення стійкості необхідна зміна структурно-нестійкої системи.

Зміна структурної схеми, як правило, виконується за допомогою введення корегуючих ланок, які бувають двох типів - паралельні і послідовні.

Паралельні корегуючі ланки

Як паралельні корегуючі ланки використовуються місцеві жорсткі від'ємні зворотні зв'язки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Охопимо одну із інтегруючих ланок жорстким від'ємним зворотнім зв'язком і складемо рівняння (передаточну функцію) даної ланки з врахуванням введеного зворотного зв'язку

Рівняння ланки до введення зворотного зв'язку має вигляд

Рівняння ланки з урахуванням зворотного зв'язку матиме вигляд

aбо

Позначивши:

; після ділення всіх членів на дістанемо рівняння інтегруючої ланки охопленої від'ємним зворотним зв'язком:

З цього виразу видно, що інтегруюча ланка охоплена від'ємним зворотним зв'язком, еквівалентна стійкій аперіодичній ланці першого порядку. Зміну вигляду часової характеристики в цьому разі ілюструє графік

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Передаточна функція інтегруючої ланки, охопленої зворотним зв'язком, матиме вигляд

Характеристичне рівняння замкнутої системи в цьому випадку:

-- всі коефіцієнти більше нуля, тому скорегована система є структурно-стійкою.

Послідовні корегуючі ланки

Послідовні корегуючи ланки називають ланку, за допомогою якої на вхід наступної ланки подається величина, пропорційна швидкості зміни вихідної величини попередньої ланки.

Структурна схема при введенні корегуючої ланки матиме вигляд

Розглянемо як зміниться передаточна функція інтегруючої ланки з врахуванням підключення на її вході послідовної корегуючої ланки ПК.

Рівняння у даному випадку матиме вигляд

Тут X_1вих= X_2вх, тому передаточну функцію ланки W₂(p) після введення корегуючої ланки можна записати у вигляді

Характеристичне рівняння замкнутої САР з врахуванням ланки ПК має вигляд:

чи або

Видно, що дана система завдяки введенню послідовної корегуючої ланки перетворилась у структурно-стійку систему.

Тема II Якість лінійних неперервних САК і методи їх оцінки Загальні відомості про якість САК

Розв'язання завдання автоматичного керування об'єктом залежить не тільки від стійкості САК, але й від інших показників, які в загальному випадку часто об'єднують єдиним поняттям - „якість системи керування”, що характерно лише для стійких систем. Якість системи оцінюється багатьма показниками, серед них основними є: характер (вигляд) перехідного процесу, тривалість перехідного процесу, перерегулювання, точність (похибка) системи та інші, специфічні для окремих видів перехідних процесів.

За характером перехідні процеси поділяються на: монотонні, коливальні і аперіодичні з перерегулюванням .

Монотонними є перехідні процеси, при яких відхилення регульованої величини x від встановленого значення x₀ плавно зменшується, без зміни знака похідної .

Рис. а

Коливальним називають перехідні процеси, при яких в системі існують гармонічні коливання з деяким періодом Т і амплітудою, що поступово зменшується.

Рис. б

Аперіодичними процесами перерегулювання називають перехідні процеси, при яких керована величина набуває уставленого значення після одного, двох, або більше коливань з різними періодами (неперіодичні процеси) при наявності перерегулювання .(криві 1 і 2)

Рис. В

Під перерегулюванням розуміють максимальне відхилення керованої величини в бік, протилежний початковому відхиленню від встановленого значення.

На рис. в при початковому відхиленні величина перерегулювання визначається як

(для кривої 1) і (для кривої 2).

Кривій 2 відповідають 2 екстремуми від заданого значення (> ).

Якщо в процесі регулюванні значення регульованої величини знаходиться лише в одній зоні (зверху або знизу встановленого значення), то перерегулювання відсутнє (крива 3) і перехідний процес вважають монотонним.

Тривалість (швидкодія) практично визначається часом t_n , за який відхилення Дx від заданого значення (рис. б) стане меншим за деяку достатньо малу величину е (теоретично тривалість перехідного процесу t_n=). Величина е визначається вимогами точності конкретної системи (процесу) і може дорівнювати від частки процента до 2-5% і більше.

Відхилення (похибку) Дx, яке виникає після закінчення перехідного процесу, називають статистичною помилкою (похибкою), а відхилення Дx(t), яке з'являється в перехідному процесі і відображає відхилення деякого значення регульованої величини у відповідний момент часу від величини x₀ - динамічною похибкою.

Ступень затухання перехідного процесу ш є показником, що характеризує коливальні процеси.

Її визначають за формулою:

Чим більше значення ш, тим швидше затухає перехідний процес.

Іноді для оцінки коливальних процесів використовують показник якості, який називають логарифмічним декрементом затухання.

Він визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд одного знака двох послідовних періодів (рис.б)

Чим більшою є величина d, тим швидше затухає перехідний процес.

Оскільки межею стійкості в площині коренів є уявна вісь, на якій лежать нульові й суто уявні корені, то чим ближче до уявної осі знаходяться корені, тим менший запас стійкості має система. Для оцінки величини запасу стійкості використовують показник - ступінь стійкості, який визначається відстанню найближчого до уявної осі дійсного кореня або абсолютним значенням дійсної складової комплексного кореня.

Ступінь коливальності - показник, який визначається частотою власних коливань системи, що залежить від конструктивних особливостей об'єкта і системи керування в цілому. Як зазначалося раніше, наявність комплексних коренів у характеристичному рівнянні замкнутої системи зумовлює наявність складової коливального характеру в розв'язку рівняння вигляду

де

б,в - відповідно дійсна і уявна складові пари комплексних коренів p_k , p_k+1 вигляду

p_k ,_k+1= -бjв.

Період коливань , число коливань за секунду

Відношення уявної частини комплексного кореня до його дійсної частини м називають коливальністю перехідного процесу. Чим більша величина м, тим більше коливань за одиницю часу матиме дана система.

Ширина смуги пропускання - це показник якості САК при використанні частотних характеристик, який визначається інтервалом частот, при яких амплітуда синусоїдального вхідного сигналу розімкнутої системи становить менше 30%.

На амплітудно-частотних характеристиках смуга пропускання частот визначається частотами, для яких амплітуда більша за 3 дБ. Ширина смуги пропускання частот характеризує швидкодію системи і її фільтруючі властивості. Якість САК визначається технологічними особливостями об'єкта.

Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

Дослідження якості САК може виконуватись на основі розв'язання рівнянь замкнутої системи, а також за допомогою наближених методів оцінки якості.

Як приклад розглянемо рівняння системи стабілізації

;

-- функція збурення.

Після відповідних перетворень це рівняння можна записати у вигляді:

Дане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням n-го порядку. Згідно з принципом суперпозиції, його розв'язок можна подати як алгебраїчну суму загального x_пер і часткового x₀ розв'язків

де x_пер - перехідна складова;

x₀ - частковий розв'язок;

Загальний розв'язок можна дістати на основі рівняння незбурених коливань.

звідки ,

де C₁, С₂, ... ,С_n - сталі інтегрування, які визначаються з початкових умов; p₁, … ,p_n - корені характеристичного рівняння вигляду

Дослідження виразу x_пер залежно від коренів p₁, … , p_n було виконано раніше.

Частковий розв'язок x₀ знаходять при умові , коли вихідне рівняння набуває вигляду , звідки

Побудована, як приклад, характеристика x=f(t) є кривою процесу регулювання в замкнутій системі, яка визначається з рівності

;

З викладеного вище можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу t_n та інші показники якості визначаються загальним розв'язком вихідного рівняння x_пер і залежить тільки від коренів характеристичного рівняння.

Частковий розв'язок впливає лише на загальне значення регульованої величини і на величину помилок (похибок) системи. Тому при дослідженні якості САК на основі розв'язку рівняння замкнутої системи часто обмежуються тільки аналізом величини Х_пер - вивчають поведінку системи залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.

Аналіз якості САР на основі розв'язання рівняння незбурених коливань

Як приклад розглянемо систему другого порядку, рівняння незбурених коливань якої має вигляд:

В операторній формі записується так:

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

,

де (*) p₁<0; p₂<0 - корені характеристичного рівняння

C₁,C₂ - сталі інтегрування, які визначаються початковими умовами.

Нехай початкові умови (при t=0) задані:

Знайдемо їх значення з рівняння (*)

З цієї системи рівнянь знайдемо:

Підставляючи дане значення у вираз , дістанемо:

Звідки:

або:

Підставляючи знайдені значення C₁ i C₂ в рівняння незбурених коливань, дістанемо:

(**)

Аналіз цього виразу дає змогу зробити принциповий висновок про те, що якість лінійних САР залежить не тільки від вигляду коренів характеристичного рівняння, а й від початкових умов.

(А стійкість - лише від коренів характеристичного рівняння).

Позначимо першу складову в рівнянні (**) А, а другу - В. Проаналізуємо вирази А і В при різних коренях р₁ і р₂ та початкових умовах, побудувавши відповідні характеристики A(t) i B(t). При цьому слід мати на увазі, що корені рівняння матимуть вигляд:

; ,

звідки видно, що і при умові - корені дійсні і різні, а при - корені комплексні.

Розглянемо окремі можливі випадки при дійсних від'ємних коренях

Нехай початкові умови будуть додатними:

Тому, що , то чисельник і знаменник у виразі , а у виразі чисельник менше нуля, а знаменник більше нуля. Початкові значення

Відповідні залежності :

Результуюча величина

Із побудованого графіка видно, що . Отже, в цьому випадку в системі виникає перерегулювання.

Знайдемо екстремум функції із умови

,

звідки

Розділивши обидві частини рівняння на

, отримаємо

, або

Прологарифмувавши це рівняння, дістанемо значення часу , яке відповідає екстремуму функції

Підставивши відповідні числові значення у вихідний вираз , знайдемо екстремальне значення .

Нехай а . Аналізуючи величини , бачимо, що в цьому разі . Оскільки , то зникнення складової більше вплине на величину , ніж на . Тому перехідний процес може не мати пере регулювання (крива1)

Нехай і . Похідна від початкових умов з від'ємним знаком різною мірою впливає на вирази . У цьому разі можливе і зміщення перехідного процесу в зону від'ємних значень (крива 2).

Проведений аналіз і знайдені вирази показують, що за виглядом коренів і початковими умовами можна відповісти на всі основні питання про якість САР. Водночас викладена методика потребує аналізу дуже складних виразів при високих степенях рівняння. У зв'язку з цим у ТАК велике поширення дістали різні наближені методи.

Наближені методи оцінки якості

Існують три види наближених методів оцінки якості: кореневі, інтегральні й частотні.

Кореневі методи оцінки якості:

До даного виду методів належать:

1. Оцінка якості по розміщенню коренів на комплексній площині;

2. Аналіз за допомогою діаграми (у тому числі нормованих), які визначають межі зон параметрів, що зумовлюють вид коренів характеристичного рівняння;

3. Кореневих годографів та ін.

Оцінка якості по розміщенню коренів на комплексній площині може проводитись також за різними ознаками. Одним із методів цієї групи є метод оцінки якості за найменшим коренем - коренем, який лежить найближче до вертикальної осі комплексної площини коренів.

Якщо найменший дійсний корінь , то аперіодична ступінь стійкості системи дорівнює . Якщо найближче до вертикальної осі розміщуватиметься пара комплексних коренів , то ступінь стійкості називають коливальним.

Коливальність системи в цьому разі

Як було зазначено раніше, при наявності комплексних коренів у розв'язку рівняння незбурених коливань системи з'являється складова вигляду:

Період коливання у цьому разі . Амплітуда синусоїдальних коливань має зсув по фазі відносно початку координат на кут .

За час, що відповідає періоду коливань T, нове значення амплітуди обчислюється за формулою:

Звідси випливає, що чим більша величина коливальності , тим довше загасатиме перехідний процес. При цьому ступінь стійкості буде зменшуватись.

Так, при аперіодичній стійкості складова перехідного процесу, яка відповідає найменшому дійсному кореню дорівнює .

Тривалість затухання перехідного процесу до величини, що ставить 5% від початкового значення , яке умовно вважаємо таким, що відповідає закінченню перехідного процесу в даній системі можна знайти з виразу

Звідки , або .

Отже, тривалість перехідного процесу обернено пропорційна ступеню стійкості. Звідси можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу прямо пропорційна ступеню затухання коливального перехідного процесу, для якого

.

Якщо ставляться обмеження по тривалості або коливальності , то це приведе до необхідності розміщення всіх інших коренів у деякій зоні, обмеженій величиною h, і кутом

Всі складові кривої перехідного процесу вигляду або , що визначається коренями, які лежать в межах даної зони, будуть затухати швидше. Показані на рисунку криві перехідних процесів відповідають від'ємним дійсним кореням:

Отже, чим менший корінь, тим довше затухає перехідний процес. Тому в деяких випадках можна задовольнитись дослідженнями по мінімальному кореню , якому відповідає найбільш тривалий процес, що визначає тривалість перехідного процесу в усій системі .

У зв'язку з викладеним виникає задача знаходження мінімального кореня. Для її розв'язання Вознесенським у 1941р. було запропоновано метод приблизного знаходження мінімального кореня, який полягає ось у чому.

1. Знаходять мінімальне значення кореня за умови, що за час величина відхилення регульованої величини x від її початкового значення , буде дорівнювати .

Цю вимогу можна виконати, якщо найменша дійсна частина кореня характеристичного рівняння замкнутої системи не буде меншою за деяку величину .

Оскільки всі інші складові перехідного процесу вигляду будуть затухати швидше, то рівняння системи зведеться до рівняння першого порядку:

Згідно з поставленою умовою , тому можна записати

(*)

2. Виконують перевірку “мінімальності” знайденого за формулою (*) кореня в умовах даної системи.

З цією метою вертикальну вісь комплексній площині коренів переміщують вліво на відстань

У новій системі координат (після переміщення вертикальної осі) характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд:

(*)

(в дане рівняння підставляють абсолютне значення величини мінімального кореня )

3. Якщо нова система з характеристичним рівнянням (*) буде нестійкою, то це означає, що визначений за заданими умовами якості системи мінімальний корінь в дійсності не є мінімальним. Тому в даній системі неможливо виконати поставлену умову . В цьому випадку можливі такі варіанти наступних дій: або згодитись з тим, що поставлену умову виконати не можливо, або змінити її відносно і і знайти відповідне нове значення мінімального кореня і перевірити його мінімальність. На основі даного методу можна також визначити значення настрою вальних параметрів системи для знаходження потрібних показників якості.

Аналіз якості за допомогою діаграм зон параметрів

Характерним прикладом цієї групи методів може бути розширена діаграма Вишнеградського, яка будується на основі розглянутої раніше діаграми при вивченні критерію стійкості Вишнеградського.

На розширеній діаграмі виділяються чотири зони: , які відповідають різним виглядам коренів і їх розміщенню відносно вертикальної осі в комплексній площині коренів.

Зона , як відомо, задовольняє умову . Її межею є рівнобічна гіпербола , рівняння якої , де - параметри Вишеградського. Цій зоні, яка є зоною нестійкого стану системи, відповідає наявність коренів з додатною дійсною частиною (або дійсних додатних) в характеристичному рівнянні замкнутої системи.

Зони в площині є зонами стійкого стану системи, але їм відповідають різні види розміщення коренів і, як результат, різний вигляд перехідних процесів.

Особливості розміщення коренів і вигляд перехідного процесу, що відповідає кожній зоні, покажемо на графіках, де

а, б, в - розміщення в комплексній площині коренів.

а₁, б₁, в₁ - характеристики відповідних перехідних процесів.

г, д, е, є - варіанти розміщення коренів, що відповідають (нестійкій) зоні.

Зона , межа якої КМВ є зоною аперіодичних процесів. Їй відповідають від'ємні дійсні корені характеристичного рівняння системи третього порядку . Умова знаходження коренів у даній зоні має вигляд:

,де -

коефіцієнти перетвореного характеристичного рівняння після ділення всіх членів на і зображення його у вигляді .

Зона , межа якої KMN відокремлює зону монотонних процесів . Ближчим до вертикальної осі є дійсний корінь . Рівняння межі зони має вигляд:

Розміщення коренів і вигляд перехідного процесу в зоні , межа якої ДMB показано на мал. в, в_1. Тому, що дійсний корінь розміщується далі від вертикальної осі, характер перехідного процесу коливальний.

Умова знаходження коренів у зоні має вигляд:

Ступінь затухання перехідного процесу

Для задовільної якості перехідного процесу вважають, що значення має бути не менше 80%. Це відповідає умові .

Для переходу від параметрів Вишнеградського до параметрів відповідних ланок системи досить громіздкі, для спрощення яких було побудовано спеціальні номограми, які наведені в технічній літературі.

Метод оцінки якості за полюсами і нулями передаточної функції

Даний метод також належить до кореневих. Розглянемо передаточну функцію замкнутої системи за збуренням

,

де - відповідно відхилення регульованої величини і збурення; W(p) - передаточна функція розімкнутої системи.

Звідси дістанемо

Маючи на увазі, що відхилення визначає перехідну складову загального розв'язку, запишемо

.

Як відомо, характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд

1+W(p)=0,

тому знаменник передаточної функції можна подати як n співмножників

,

де - корені характеристичного рівняння замкнутої системи, які називають полюсами передаточної функції.

Чисельник передаточної функції аналогічно можна подати у вигляді m співмножників (m<n) виразу W(p)=K_*N(p), де К- коефіцієнт підсилення розімкнутої системи, а N(p) - многочлен вигляду:

, де -

корені чисельника передаточної функціії, які називають нулями передаточної функції.

Згідно з викладеним можна записати

.

Звідси видно, що амплітуда перехідного процесу залежить від розміщення полюсів і нулів передаточної функції. Так в ідеальному випадку при (при n=m)

.

При система еквівалентна безінерційній (підсилюваній ) ланці. На основі викладеного можна стверджувати, що для швидкого затухання перехідного процесу потрібно, щоб полюси і нулі передаточної функції розміщувались ближче один до одного.

Частотні методи оцінки якості САР

Частотні методи досліджування, які дістали найбільше поширення на практиці, базуються на математичній залежності характеристики перехідного процесу x(t) від дійсної частотної характеристики замкнутої системи за збуренням (або за заданим сигналом). В основу доведення цієї залежності лежить відоме положення, що будь-яку періодичну обмежену дійсну функцію, яка має скінченну кількість розривів і екстремумів, можна розкласти в нескінченний ряд синусоїдальних функції - ряд Фур'є.

При доведенні функціональної залежності виходять з того, що в системі діє збурення у вигляді одиничного кидка збурення (од. імпульсна ф-ція або ф-ція Дірака), яке розкидається в ряд Фур'є.

В результаті цього доведення і досить складних перетворень було знайдено відому залежність

.

Дійсну частотну характеристику замкнутої системи за збуренням знаходять з виразу відповідної передаточної функції замкнутої системи

,

де - передаточна функція об'єкту за збуренням; - передаточна функція розімкнутої системи. Після підстановки у вираз дістанемо амплітудно-фазову частотну характеристику замкнутої системи за збуренням :

,

де - відповідно уявна і дійсна частотні характеристики замкнутої системи за збуренням.

Практично розгляд характеристикиобмежується зоною суттєвих частот .

Під зоною суттєвих частот розуміють зону зміни частоти від 0 до , в якій виконується умова (при ця умова не порушується).

В зоні суттєвих частот виконується апроксимація характеристики , яку замінюють рівнозначними фігурами - трапеціями і трикутниками.

При заміні в зоні суттєвих частот мають виконуватись такі правила:

Прямолінійні частини фігур мають по можливості точно збігатися з кривою .

Всі n фігур (трапеції і трикутники) повинні мати однією зі своїх сторін вертикальну вісь.

Алгебраїчна сума площ всіх n фігур, якими замінюють характеристику має дорівнювати площі, обмеженій характеристикою .

Кількість фігур n має бути по можливості менша.

Після заміни рівнозначними фігурами обмежуючись розглядом інтеграла в зоні суттєвих частот, зарисуємо

(*).

З цієї формули робимо висновок, що ординату перехідного процесу можна дістати як величину, пропорційну сумі площ (інтегралів) еквівалентних фігур.

Приклад:

Характеристику замінено двома трапеціями №1 і №2. Загальна алгебраїчна площа обох фігур дорівнює площі, обмеженій характеристикою і горизонтальною віссю.

Метод одиничних трапецій і трикутників

Для зручності обчислення інтегралів різних фігур, якими можна замінити характеристики різних реальних систем в ТАК, було введено поняття одиничних (типових) трапецій і трикутників, а також побудовано спеціальні таблиці, які дістали назву таблиць h-функцій. У цих таблицях наведено результати розрахунків інтегралів виду різних одиничних фігур(для одиничних фігур їх початкова висота і діапазон пропускання частот дорівнюють одиниці).

Розглянемо деяку трапецію. Трапеція характеризується початковим значенням , коефіцієнтом нахилу її сторони , а також інтервалом пропускання частоти .

Розрахуємо перехідний процес відповідної трапеції при .

При

- поточне значення частоти(подібність трикутників ABC і ADK). Позначимо перехідну функцію одиничної трапеції . Підставляючи відповідне значення в формулу (*) і інтегруючи в певних межах:

.

Враховуючи, що є інтегральним синусом і величина його наведена в таблицях і маючи на увазі, що після перетворень отримаємо:

.

Для одиничної трапеції , тоді

.

Цей вираз визначає характер залежності перехідної функції одиничної трапеції від двох величин .

Для типового (одиничного) трикутника при і , значення перехідної функції дістанемо з виразу для одиничної трапеції, поклавши і . Тоді матимемо

.

Видно, що перехідна функція для одиничного трикутника є функцією лише однієї величини - часу

.

Значення h - функцій одиничних трапецій і трикутників при різних і наведена в таблицях. При цьому замість реального часу в таблицях взято так званий табличний час .

При користуванні таблицями для одиничних фігур з метою обчислення ординат перехідного процесу, що відповідають деякому реальному моменту часу і реальним фігурам, які апроксимують характеристику , слід дотримуватись такої методики:

Задаємо значення реального часу , для якого знаходимо відповідне значення табличного часу: , де - частота пропускання реальної фігури .

Для реальних трапецій визначаємо нахил сторони реальної трапеції і по таблицях h - функцій типових трапецій з нахилом знаходимо відповідне значення .

Знайдені з таблиць значення множимо на відповідної реальної фігури і, як результат, дістанемо складову ординати реального перехідного процесу, що відповідає даній фігурі. Подібним чином проводимо розрахунки і для інших фігур:

(для фігури )

4. Результуючу ординату перехідного процесу знаходимо як алгебраїчну суму ординат всіх фігур для даного моменту часу: .

Аналогічно знаходимо ординати перехідного процесу і для інших моментів часу, після чого по точках будуємо характеристику .

Наведена методика дає можливість побудувати перехідну характеристику за умови дії одиничного кидка навантаження і дістати відповіді на основні питання якості про характер перехідного процесу, його тривалість, величину перерегулювання.

Проведені дослідження дають можливість робити деякі оцінки якості САР безпосередньо за виглядом дійсної частотної характеристики замкнутої системи за збуренням .

Основні висновки таких оцінок наведемо без доведень:

Якщо характеристика при деякому значенні має розрив неперервності (), то це означає наявність уявного кореня в характеристичному рівнянні замкнутої системи і знаходження САР на межі стійкості.

Наявність високого і гострого шпилю характеристики , а також зміна її знака свідчать про мляве затухання коливального процесу.

Для того, щоб перерегулювання не перевищувало 18% функція має бути незростаючою, тобто при .

Максимальне значення перерегулювання (%) можна дістати за формулою

,

де - максимальне значення функції, - початкове значення функції.

Умова монотонності перехідного процесу має вигляд при

.

6. Якщо є приблизно трапецієподібна характеристика, то тривалість перехідного процесу знаходиться в межах

.

Якщо має максимум, то

.

Для характеристик , які мають максимум, в технічній літературі наводяться криві, за якими залежно від величини

можна знайти перерегулювання і час регулювання .

Теорія автоматичного управління. Конспект лекцій (частина 3) для студентів факультету комп'ютерних наук та інформаційних технологій денної та заочної форми навчання із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами” (6.092501)

Укладач: Т.П. Маркова

Редактор: Л.Ю. Тиха

Комп'ютерний набір та верстка: С.В. Шлапа

Редакційно-видавничий відділ

Луцький державний технічний університет

43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75

Ум. друк. арк. 5,5 Тир.50. Дата випуску 2006 р.

Обл. - вид. арк.5,2 Зам. 1773

Размещено на Allbest.ru

...