Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время вопросы, связанные с созданием программ (планов) дополнительного негосударственного пенсионного обеспечения, актуальны для многих российских компаний. Одной из главных задач социально-экономической защиты граждан является обеспечение стабильного дохода пенсионеров. Оказать существенную помощь государству в решении этой задачи призваны негосударственные пенсионные фонды.

Негосударственный пенсионный фонд (НПФ) - это некоммерческая организация, работа которой заключается в пенсионном обеспечении своих клиентов, предварительно заключивших договор пенсионного страхования [1].

Гарантией стабильной работы и выполнения обязательств негосударственных пенсионных фондов является грамотное актуарное обеспечение, использующее современные математические и статистические методы.

Под пенсионной схемой понимается порядок внесения взносов, выплаты дополнительной пенсии и наследования пенсионных накоплений.

В DC схемах уровень пенсий зависит от внесенных взносов и инвестиционной доходности. Необходимо отметить, что сегодня российские НПФ часто применяют такие схемы с установленными взносами, в которых выплата пенсий производится лишь в течение определенного срока либо до исчерпания средств пенсионного счета. Такие схемы не обеспечивают полного покрытия всей оставшейся жизни пенсионера и не дают адекватной социальной защиты. Общим принципом DC планов является расчет пенсии исходя из размеров пенсионных накоплений работников, поэтому все риски перекладываются на плечи будущих пенсионеров [2].

Схемы, в которых пенсия назначается НПФ в момент выхода работника на пенсию и гарантируется (в определенном размере с возможной индексацией, но без возможности уменьшения) на весь период оставшейся жизни пенсионера, относятся к схемам с установленными выплатами (DB).

Целью данного дипломного проекта является оценка параметров схем негосударственного пенсионного обеспечения с учетом инвестирования свободных средств НПФ в рисковые и безрисковые ценные бумаги на основе разработки математического и программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить ряд задач:

· изучить пенсионные схемы, предлагаемые НПФ;

· изучить программные средства, предназначенные для решения поставленной задачи;

· изучить методы моделирования деятельности НПФ;

· построить математическую модель деятельности НПФ по данному договору;

· разработать программный продукт (ПП), позволяющий получить оценку параметров схем пенсионного обеспечения;

· провести анализ компьютерных экспериментов.



1. ТЕОРЕТИКО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

Содержательная постановка задачи.

Пусть схема негосударственного пенсионного обеспечения имеет следующий вид (Рисунок 1.1):

Рисунок 1.1 Схема негосударственного пенсионного обеспечения.

где x - возраст, в котором заключается договор;

n - длина периода получения взносов;

r - возраст, с которого начинаются выплаты пенсий;

m - длина периода выплат пенсий;

w - предельный возраст жизни человека;

C - величина взносов;

B - величина пенсий.

Показатель риска вероятность разорения НПФ.

Необходимо:

1. DC пенсионная схема: при заданных x, n, r, m, w, C, уровне риска и статистических данных о демографических и экономических факторах необходимо найти оценку пенсионных выплат B.

2. DB пенсионная схема: при заданных x, n, r, m, w, B, уровне риска и статистических данных о демографических и экономических факторах необходимо найти оценку страхового взноса C.

Формальная постановка задачи.

Постановка задачи представлена контекстной диаграммой (Рисунок. 1.2).

Рисунок 1.2 Формальная постановка задачи.

1.2 Анализ существующих программных средств, предназначенных для решения поставленной задачи

Существует следующие варианты пенсионных схем:

Рисунок 1.3 Схема негосударственного пенсионного обеспечения.

Некоторые НПФ предлагают клиентам таблицы с рассчитанными пенсионными взносами и выплатами для конкретных входных данных (периоды выплат взносов и пенсий) в зависимости от выбора пенсионной схемы. Другие НПФ предлагают пенсионные калькуляторы, позволяющие рассчитать будущую пенсию или взнос при разных входных данных (пол, возраст, ежемесячная заработная плата, размер пенсионных накоплений и т.д.).

Рассмотрим в качестве примеров следующие программные средства, позволяющие рассчитать параметры пенсионных схем с установленными выплатами и установленными взносами: традиционный пенсионный калькулятор, представленный на сайте «actuary.ru» [4], и компьютерную программу А.Г. Шоломицкого «Моделирование денежных потоков и рисков»[3].

Компьютерная программа "Моделирование денежных потоков и рисков" (пенсионный фонд) Шоломицкий А.

В данной программе пенсионная схема может быть схемой с определенными выплатами (DB) либо с определенными взносами (DC). Метод финансирования, т.е. «конструкцию» пенсионной схемы, можно изменить (кнопка «Актуарная модель» в окне «Актуарий»).

В программе предусмотрено, что актуарий может выполнять периодический пересчет взносов (в DB схеме) либо пенсий (в DC схеме) с целью выравнивания актуарного баланса. Окно «Актуарий» задает схему и параметры начального (в момент 0) актуарного расчета. Нажав кнопку «Пересчитать», моделируется работа актуария, который вычислит расчетные значения ежегодных пенсий, взносов, фонда накопительной системы и т.д. Результаты появятся в таблице и на графике.

Динамическую деятельность актуария можно моделировать, если активировать соответствующую опцию в окне «Динамическое управление». Там же задаются параметры, управляющие тем, как актуарий оценивает будущие значения экономических характеристик (инфляции, инвестиционной доходности и уровня зарплат).

Значения таких параметров, как инфляция, инвестиционная доходность, заработная плата и смертность участников подвержены колебаниям. Колебания первых трех временных рядов программа позволяет моделировать при помощи сценариев или же стохастически, а также совмещая сценарии со стохастическими (случайными) колебаниями. Модели настраиваются в соответствующих окнах. Смертность участников в данной версии моделируется стационарно, т.е. средние нормы смертности остаются в будущем неизменными. Эти нормы определяются таблицей смертности, загружаемой при начале работы программы. Можно загрузить другую таблицу (кнопка Реальная смертность в окне Актуарий). Отключить случайные колебания смертности можно в окне Технические.

Пенсионный калькулятор «actuary.ru».

Входными данными являются:

· Тип пенсионной схемы

ь с установленными взносами;

ь с установленными выплатами.

· накопления данного участника;

· возраст;

· пол;

· размер взносов/пенсий;

· взносы уплачиваются n лет, с периодичностью (месяц, полгода, год);

· порядок выплаты пенсий: с возраста x лет, с периодичностью (месяц, полгода, год);

· выплачиваются пожизненно / выплачиваются в течение / выплачиваются до исчерпания средств

· таблица ставок доходности (4 варианта);

· таблица смертности;

Результатом работы программы является либо значение взноса, либо размер пенсии в зависимости от типа пенсионной схемы.

Оба программных средства решают поставленные задачи. Пенсионный калькулятор «actuary.ru» рассчитывает параметры на основе принципа эквивалентности обязательств, а программа Шоломицкого использует сценарно - стохастический подход. Вторая программа по функциональным возможностям является наиболее подходящей для решения поставленных задач. Программный продукт Шоломицкого недоступен для общего пользования.

1.3 Структура решения задачи

Решение задачи можно разделить на несколько этапов:

1. проанализировать пенсионные схемы, предлагаемые НПФ, и методы моделирования деятельности НПФ;

2. построить математическую модель деятельности НПФ по данному договору;

3. разработать алгоритмы, реализующие построенную модель и выбранные методы решения;

4. разработать программный продукт (ПП), позволяющий получить оценку параметров схем пенсионного обеспечения;

5. провести компьютерные эксперименты и проанализировать полученные результаты.

1.4 Аналитический обзор моделей и методов решения

Известные подходы к решению задачи

Традиционные подходы актуарной оценки пенсионных схем.

Традиционные актуарные модели строятся на детерминистических принципах, в частности, используют постоянную годовую ставку безинфлянционной инвестиционной доходности.

Существуют следующие традиционные подходы:

1. Индивидуальные

· Нормальные возраста вхождения (entry age normal, EAN);

· Индивидуальные с равномерными премиями (individual level premium, ULP).

2. Групповые

· Агрегатный (aggregate);

· Нормальный достигнутого возраста (attained age normal, AAN).

Подробнее об этих и других методах можно прочитать в книге Шоломицкого А. Г. «Финансирование накопительных пенсий: актуарные и динамические модели» [5].

Моделирование на основе принципа эквивалентности обязательств.

Основная задача при задании параметров предлагаемых Фондом пенсионных схем состоит в корректном определении (с учетом принятых ограничений и допущений) размеров пенсионных взносов и выплат, позволяющих в последующем выполнить взятые Фондом обязательства перед вкладчиками и участниками.

Основополагающим принципом, исходя из которого определяются размеры пенсионных взносов и выплат, является принцип эквивалентности обязательств вкладчика и НПФ. В общем виде этот принцип реализуется приравниванием сумм ожидаемых пенсионных взносов и выплат. Для текущего момента времени, соответствующего дате заключения договора о дополнительном пенсионном обеспечении, эти суммы равны их современной стоимости. Современная страховая (актуарная) стоимость любой из рассматриваемых сумм платежей определяется как соответствующий ей аннуитет, полученный с учетом дисконтирования и вероятностей платежей [6].

Последовательность платежей для страховой пенсионной схемы имеет название страхового аннуитета. В страховом аннуитете выплата каждой суммы не является безусловной, она определяется наступлением определенного события, например, дожитием до данного возраста. События такого рода носят название демографических событий.

На основе анализа демографических данных методами математической статистики можно получить набор статистических данных о продолжительности жизни различных групп населения. Систематизация статистических данных о продолжительности жизни людей в зависимости от их пола и возраста позволяет получить таблицы дожития, на основании которых и может быть рассчитана вероятность дожития до любого возраста.

Стоимость страхового аннуитета или ренты называется также актуарной стоимостью, подчеркивая тем самым вероятностный (статистический) характер расчетов.

При расчетах стоимостей и сумм платежей необходимо также учитывать доходность операций по размещению активов Фонда. В связи с этим возникает проблема прогнозирования на несколько десятков лет уровня доходности операций по размещению активов Фонда. Эта проблема относится, наряду с использованием демографических данных, к классу допущений и ограничений, принятых при решении задачи оценки размеров пенсионных взносов и выплат [6].

Пенсионный калькулятор «actuary.ru» разработан на основе принципа эквивалентности.

Приведем пример расчетов доходности операций, используемых в пенсионном калькуляторе «actuary.ru».

Доходность операций по размещению активов НПФ.

Доходность операций по размещению активов НПФ задается как функция времени в табличном или аналитическом виде.

Пример. Зависимость доходности операции по размещению активов (i, % годовых) от времени приближенно определяется формулой:

,

где

t - время в годах;

[ ] - операция округления до целого числа.

Зависимость (1.1) получена на основе результатов экспертного анализа. Значение показателя степени для функции (1.1) определено исходя из условия равенства доходности операций в 2001 году 10% годовых.

В таблице 1 приведены результаты расчетов доходности операций.



Таблица 1. Результаты расчетов доходности операций.

№	Год	i (%)	№	Год	i (%)	№	Год	i (%)
1. 2. 3. 4. .	1996 1997 1998 1999 2000	40 29 21 16 12	6. 7. 8. 9. 10.	2001 2002 2003 2004 2005	10 8 7 7 6	11. 12. 13. ... 70.	2006 2007 2008 . . . . 2066	6 5 5 . . . 5

Величина доходности операций по размещению активов Фонда, определяемая зависимостью (1.1), учитывает составляющие, связанные с налогообложением, компенсацией расходов Фонда на обеспечение его уставной деятельности, вознаграждением компаний по управлению активами и созданием резервов.

Сценарный подход моделирования.

Сценарий для моделирования -- это совокупность исходных данных и предположений, используемых при моделировании пенсионной системы. Среди исходных данных и предположений можно выделить следующие основные элементы [7]:

1. Демографический фактор, в том числе:

· показатели, определяющие прогноз общей численности населения с разбивкой на половозрастные группы;

· разделение каждой половозрастной группы на подгруппы: не пенсионеры, пенсионеры по разным основаниям, плательщики страховых взносов (как не пенсионеры, так и пенсионеры) и т. д;

2. Макроэкономический фактор;

3. Доходность инвестиций;

4. Индексация базовой, страховой и накопительной частей трудовой пенсии;

5. Пенсионный возраст;

6. Коэффициенты, используемые для расчета размера пенсии (остаточная продолжительность жизни и дополнительные коэффициенты для расчета трудовой пенсии по инвалидности);

7. Ставки пенсионных взносов на базовую, страховую и накопительную части трудовой пенсии.

Сценарным подходом к моделированию деятельности пенсионного фонда является управление активами и обязательствами, известное как Asset-Liability Management (ALM) [8]. ALM предполагает моделирование сценариев развития активов и обязательств фонда. В основе такого моделирования лежат предположения о том, как будут изменяться финансово-экономические и демографические факторы, влияющие на платежеспособность фонда. На базе этих предположений тем или иным способом получают сценарии динамики финансово-экономических и демографических факторов, которые в свою очередь определяют изменение величин активов и обязательств фонда во времени. Возможные пути решения этой задачи включают:

а) разработку основного сценария изменения активов и обязательств и проведение анализа чувствительности и/или стресс-тестирования;

б) разработку и анализ нескольких, более или менее благоприятных для пенсионного фонда сценариев (анализ «что-если»);

в) проведение Монте-Карло симуляций для получения тысяч сценариев и анализ выявляемых закономерностей (стохастическое имитационное моделирование, или динамический финансовый анализ).

Одной из сильных сторон анализа «что-если» является возможность моделирования последствий событий, которые случаются очень редко, но имеют огромные последствия. К числу таких событий, имеющих значение для пенсионного фонда, можно отнести:

а) резкое изменение динамики смертности населения, например, в связи с эпидемией;

б) экономический кризис, вызывающий значительные изменения процентных ставок, доходностей, уровня заработной платы, занятости, показателей инфляции и т.п.;

в) политические события, способные спровоцировать панику населения, ведущую к массовому расторжению пенсионных договоров;

г) террористические акты и проч.

Хорошо известный недостаток анализа «что-если» - возможность проработки лишь ограниченного числа сценариев.

Динамический финансовый анализ, или ДФА, позволяет преодолеть этот недостаток. В рамках ДФА для моделирования изменения активов и обязательств во времени используются стохастические модели. Поэтому ключевым элементом моделей ДФА является генератор сценариев. С его помощью получают тысячи реализаций тех случайных величин, которые были выбраны как основные факторы, определяющие результаты деятельности пенсионного фонда. Среди таких факторов - демографические свойства популяции фонда, процентные ставки и доходности инвестирования, а также темпы инфляции.

Наряду с факторами, моделируемыми как случайные величины, ДФА-модели включают переменные, значения которых задаются самим исследователем. Эти переменные отражают стратегические решения, принятые руководством пенсионного фонда. К числу таких переменных относятся размеры страховых взносов и пенсионных выплат, параметры для расчёта выкупных сумм и т.п.

На основе сгенерированных сценариев и заданных значений «стратегических» параметров оценивается рациональность той или иной стратегии. Критерии, по которым проводится такая оценка, могут включать построение эффективных границ или проверку платежеспособности компании. Результаты оценки могут быть использованы для пересмотра выбранных значений «стратегических» параметров. В таком случае производится перерасчёт всей модели [9].

Для построения математической модели выберем методологию ДФА.

Имитационное моделирование.

В основе ДФА лежит метод имитационного моделирования.

Имитация - это численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени.

Система -- это совокупность объектов, например, людей или механизмов, функционирующих и взаимодействующих друг с другом для достижения определенной цели.

* Назначение имитационного моделирования - в использовании компьютерных технологий для имитации различных процессов или операций (т.е. моделирование), выполняемых реальными устройствами.

* Для научного исследования системы строят модель с математическими или логическими отношениями, позволяющими получить представление о поведении системы.

* Если модель простая, то используют математические методы, получая при этом аналитическое решение о поведении системы.

* Большинство существующих систем являются очень сложными, для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически.

* При моделировании компьютер используется для численной оценки модели, а с помощью полученных данных рассчитываются ее реальные характеристики [10].

Моделирование случайных величин.

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет.

Случайные величины могут быть трех типов:

· дискретные;

· непрерывные;

· смешанные (дискретно-непрерывные).

Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.

Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной принимает бесконечное несчетное число значений.

Для моделирования случайной величины необходимо знать ее закон распределения.

Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, в основе которого лежит их формирование из исходной последовательности случайных чисел, распределенных в интервале [0,1] по равномерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0,1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

· использование таблиц случайных чисел;

· применение генераторов случайных чисел;

· метод псевдослучайных чисел.

Оценка числа итераций.

Для оценки числа итераций K используется правило остановки имитационных экспериментов [11]:

,

Где a - уровень достоверности;

- квантиль стандартного нормального распределения уровня ; - точность оценки вычислений; - дисперсия случайной величины за период.

Построение математической модели.

Математическая модель разорения НПФ.

Основной задачей является оценка параметров пенсионной схемы (взноса или выплат) для одного договора негосударственного пенсионного обеспечения при заданном уровне риска. Уровень риска НПФ оценивается на основе вероятности разорения , t ? [0, tw ], где величина капитала на каждый год t исследуемого периода.

Примем следующие допущения:

· величина взноса - C, величина пенсии - B;

· рассматривается стационарная однородная популяция из N человек;

· пенсионные договоры независимы, т.е выход из одного договора не влечет выхода других;

· каждый участник в возрасте x вступает в схему в момент t = 0;

· все платежи осуществляются в целые моменты времени t = 0, 1, 2, ... (время в годах);

· взнос каждого участника C вносится в начале каждого года в течение n лет, либо до выбытия из схемы (единственная причина выбытия - смерть);

· взнос не привязан к уровню зарплаты;

· инвестирование денежных средств происходит в два вида активов: акции и облигации;

· в возрасте r лет начинаются ежегодные выплаты в течение m лет в размере B;

· tw - предельный возраст таблицы смертности;

· в случае смерти участника до или после назначения негосударственной пенсии фонд выплачивает правопреемникам участника определенную выкупную сумму.

· время жизни каждого из застрахованных определяется по таблице продолжительности жизни. Используется округленное остаточное время жизни К(х). К(х) является случайной величиной, принимающей неотрицательной целые значения;

· в качестве показателя риска фонда рассматривается вероятность разорения.

Величина капитала отражает финансовую состоятельность компании (фонда), её способность выполнять взятые на себя обязательства.

Следовательно, величина капитала в каждый момент времени t?[0, tw], где tw - предельный возраст таблицы смертности, определяется из следующего соотношения[11]:

,

где CSt - суммарный взнос, вносимый в момент времени t;

It -1 - доход от единицы вложенных средств в момент времени t - 1;

г - доля капитала, составляющая страховой резерв в момент времени t - 1, определяется в соответствии с нормативным диапазоном Инспекции НПФ в зависимости от доли вложения в рисковые активы [4];

Bt - суммарные пенсионные выплаты в момент времени t, которые получаем с учетом коэффициентов индексации пенсии;

Vt - суммарные выкупные суммы, выплачиваемые в момент времени t;

Dt - суммарные расходы фонда в момент времени t.

Для t = 0 капитал компании будет равен сумме взносов всех участников, то есть .

Вычисление составляющих капитала фонда .

Суммарный взнос.

,

где - число живых участников в момент времени t;

- длина периода получения взносов.

Суммарные пенсионные выплаты.

?

Где - коэффициент индексации пенсии в год t.

- нормы инфляции.

- момент выхода на пенсию.

- длина периода выплат пенсий.

Инвестиционный доход.

,

где - доля вложения в рисковые активы.

и - годовые доходности от вложения в рисковые и безрисковые активы соответственно.

Существуют следующие подходы по формированию инвестиционных стратегий участников пенсионных схем [13]:

1. Подход, основанный на пассивном инвестировании, был предложен Малкиелем в книге “A Random walk down Wall Street” [1996]. Толерантность к риску, по его мнению, связана с местом инвестора в жизненном цикле.

Таблица 2. Структура инвестиционного портфеля по подходу Малкиеля.

Направления инвестирования	Доли активов (%) в портфеле в зависимости от возраста участника
	20-летние	30 - 40-летние	50-летние	60-летние и старше
Акции	70	60	50	30
Облигации	25	35	45	60
Наличность	5	5	5	10

2. Простой и практический подход «100 минус возраст» предполагает, что при инвестировании только в акции и государственные облигации доля инвестирования в акции определяется как 100 минус свой возраст (возраст инвестора) со знаком %. Таким образом, например, 20-летний должен вложить около 80% своих сбережений в акции.

3. Подход Хикмана сравнивает попарно доходности шести активов: акции небольших компаний, акции, корпоративные облигации, среднесрочные и долгосрочные облигации Казначейства и Т-ноты (краткосрочные бескупонные облигации Казначейства США). Для каждой пары определяется длина инвестиционного горизонта, после которого с определенной пороговой вероятностью более рисковый актив по доходности начинает превышать менее рисковый.

Таблица 3. Структура инвестиционного портфеля по подходу Хикмана.

Длина инвестиционного горизонта (в годах)	Инвестиционная стратегия
40-34	95% в акции небольших компаний, 5% в Т-ноты
33-26	95% в акции, 5% в Т-ноты
25-16	95% в корпоративные облигации, 5% в Т-ноты
15-9	95% в среднесрочные облигации, 5% в Т-ноты
8-3	95% в долгосрочные облигации, 5% в Т-ноты
2-1	100% в Т-ноты

В статье [11] говорится, что инвестиционная стратегия, основанная на подходе Хикмана, является наиболее рисковой и неустойчивой, поэтому не будем использовать ее для достижения поставленных целей.

Страховой резерв.

Доля капитала, составляющая страховой резерв в момент времени t-1, определяется в соответствии с нормативным диапазоном Инспекции НПФ в зависимости от доли вложения в рисковые активы [15]:

,

Суммарные выкупные выплаты.



,

,

,

где - число участников, умерших в момент времени t;

- выкупная сумма наследникам в случае смерти участника до назначения негосударственной пенсии;

- выкупная сумма наследникам в случае смерти участника после назначения негосударственной пенсии;

nv - количество выплат наследникам (например, 5).

Суммарные расходы фонда.

,

где a - доля отчислений на покрытие расходов от взносов;

b -доля отчислений на покрытие расходов от инвестиционного дохода [16].

Имитационная модель для вычисления вероятности разорения.

Оценка вероятности разорения реализуется с помощью имитационного моделирования.

Рассматривается индикаторная случайная величина

,

Вероятность разорения ,

Оценка вероятности разорения,

K - число испытаний.

,

Схема имитационной модели:

Этап 1. Задаются входные параметры модели (размеры взносов и пенсий, исходные массивы данных).

Этап 2. Моделируются значения за период [t - 1, t] параметров: норма инфляции , годовые доходности акций и облигаций, размеры возрастных когорт участников и.

Этап 3. По формулам (1.3 - 1.10) рассчитываются составляющие капитала фонда для данного периода и производится расчет капитала по формуле (1.2) для данного периода t ? [0, tw ].

Если , то = 1, иначе = 0.

Этапы 1--3 повторяются K раз.

Этап 4. Вычисление .

Оценка числа испытаний

Для оценки числа итераций K используется правило остановки имитационных экспериментов, формула (1.1).

- дисперсия случайной величины .

Т.к. дисперсия оцениваемой величины неизвестна, то необходимо провести пробные испытания и оценить ее.

Моделирование демографических факторов.

,

Где случайная величина - индикатор смерти в возрасте

.

- округленное остаточное время жизни - случайная величина, принимающая неотрицательные целые значения.

,

,

lx+t, lx+t+1, lx - среднее число доживших до возраста х+t, x+t+1 и x лет соответственно (значения берутся из таблицы смертности).

Случайным образом разыгрывается продолжительность жизни каждого участника и подсчитывается численность живых и умерших в каждый момент времени t[12].

Моделирование экономических факторов.

Нормы инвестиционной доходности.

Для того чтобы получить годовые доходности от вложения в акции и облигации для каждого года на всем исследуемом интервале времени используем ресамплинг (resampling) метод, описанный в работе [14].

Основная идея ресамплинга заключается в том, что случайные величины (СВ) не генерируются специальными генераторами, а берутся непосредственно из исходных выборок (конкретных требований к размерам которой нет). Ресамплинг позволяет оценивать вероятностные характеристики сложных систем, основываясь на сравнительно малых объёмах статистических данных.

В рамках данной работы ресамплинг-процедура будет выглядеть следующим образом: для каждого периода вложения, случайно выбираем месячные доходности из набора данных, проводя выборку с возвращением, пока мы не отберем число месяцев соответствующее интересующему периоду. Например, чтобы построить 10-летней период вложения мы случайно отбираем 120 месяцев.



Рисунок 1.4 Ресамплинг метод.

Годовая доходность от вложения капитала в акции или облигации находится на основе средней геометрической, как

, (i = 0,1)

где - годовая доходность,

- месячная доходность, полученная с помощью процедуры ресамплинг, .

Месячные доходности находятся по следующим формулам [14]:

Если - цена пая, , - значения ИПЦ, то

индекс инфляции:

,

индекс реальной цены:

,

значения месячных доходностей:

,



Нормы инфляции.

Для моделирования инфляции также применим ресамплинг метод. В качестве исходных данных будут использоваться ежемесячные значения индекса потребительских цен (ИПЦ), но так как ИПЦ содержит сезонную компоненту, ресамплинг процедура немного изменится [14]:

1. исходная выборка значений ИПЦ разбивается на 12 подвыборок. В каждой значения индекса для соответствующего месяца (1-ая подвыборка - январские значения, 2-ая - февральские и т.д.);

2. случайным образом из каждой подвыборки отбираются по одному значению индекса потребительских цен.

Рисунок 1.5 Ресамплинг метод.

Годовая инфляция находится как произведение 12-ти случайным образом отобранных значений ИПЦ.

,

Оценка пенсионного взноса и пенсии.

Оценку страхового взноса получаем из условия: , где ) - оценка вероятности разорения, - допустимый уровень вероятности разорения фонда. Если условие не выполняется, то меняем значение взноса: и находим новую оценку вероятности разорения).



2. ПРОЕКТНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Алгоритмизация методов решения

Имитационная модель вычисления вероятности разорения.

Алгоритм вычисления величины капитала и оценки вероятности разорения представлен на Рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. Алгоритм вычисления вероятности разорения.

Моделирование экономических факторов.

Нормы инвестиционной доходности.

Рисунок 2.3. Алгоритм нахождения ,t ? [0, tw ].



Нормы инфляции.

Рисунок 2.2. Алгоритм нахождения t ? [0, tw ].

Моделирование демографических факторов

Рисунок 2.4. Алгоритм нахождения и для одного испытания, t ? [0, tw ].



Оценка параметра пенсионной схемы.

Рисунок 2.5. Алгоритм оценки пенсионной выплаты по заданному уровню риска НПФ.

Рисунок 2.6. Алгоритм оценки страхового взноса по заданному уровню риска НПФ.

2.2 Программная реализация

Выбор подхода к разработке программного обеспечения.

На настоящий момент наибольшее распространение получили такие подходы к разработке ПО как Процедурное и Объектно-ориентированное программирование.

Процедурное программирование -- это парадигма программирования, основанная на концепции вызова процедуры. Процедуры (подпрограммы, методы или функции) просто содержат последовательность шагов для выполнения. В ходе выполнения программы любая процедура может быть вызвана из любой точки, включая саму данную процедуру.

Преимущества процедурного подхода:

· Возможность повторного использования одного и того же кода из нескольких мест программы без его копирования.

· Легче отследить поток выполнения программы, чем в случае использования инструкций GOTO или JUMP.

· Возможность поддержки модульности и структурности.

Объектно-ориентированное программирование (ООП) -- парадигма программирования, при которой программа рассматривается как набор дискретных объектов, содержащих, в свою очередь, наборы структур данных и процедур, взаимодействующих с другими объектами.

Преимущества ООП подхода:

· Структурированность полученного кода.

· Возможность использовать разработанные раннее классы с помощью механизмов наследования.

· Легкая расширяемость приложений

В дипломной работе был выбран процедурный подход.

Выбор языка программирования и инструментальных средств разработки.

При реализации данного программного продукта приходилось решать два типа задач:

· Интерфейсные (при реализации графической оболочки);

· Вычислительные (при реализации алгоритмов).

В качестве языка программирования, использованного для реализации предложенных методов, был использован язык C#. Его основные особенности:

· Отсутствие необходимости работы с указателями (как правило)

· Автоматическое управление памятью

· Наличие встроенных синтаксических конструкций для работы с перечислениями, структурами и свойствами классов

· Возможность перегружать операторы, унаследованные от С++ (при этом ликвидирована значительная часть возникавших сложностей)

· Предусмотрена полная поддержка использования программных интерфейсов

Еще один немаловажный факт, обусловивший выбор данного языка: C# - основной язык платформы .NET

Кроме того, в среде разработки Visual Studio .NET реализована удобная среда визуальной разработки приложений на языке C#.

Описание структуры данных.

В качестве входных данных используется информация по стоимостям паев ПИФов акций и облигаций: первая колонка - акции, вторая колонка - облигации (Рисунок 2.7). Формат файла экспорта EXСEL.

Рисунок 2.7. Структура входных данных по стоимостям паев.



Также входными данными являются значений ИПЦ и таблица смертности (Рисунок 2.8, 2.9). Формат файлов экспорта EXСEL.

Рисунок 2.8. Структура входных данных по значениям ИПЦ.

Рисунок 2.9. Структура входных данных по таблице смертности.

Выходными данными является таблица со следующими значениями:

· Результирующее значение взнос/пенсия;

· вероятность разорения для подхода «100минус возраст»;

· вероятность разорения для подхода Малкиеля;

· возраст вступления в схему;

· возраст выхода на пенсию;

· длина периода выплат взносов;

· пенсионная схема DB/DC;

· входные данные пенсия/взнос;

· период статистических данных.

Рисунок 2.10. Структура выходных данных.

Описание структуры программного продукта.

Структура программы формируется из набора форм со встроенными в них элементами программы и дополнительными подключаемыми модулями.

Форма MainForm представляет собой главное окно программы, в котором выполняются все поставленные задачи. На главной форме также возможно выполнить вызов диалоговых форм процедуры Form_Intreval_DC и Form_Intreval_DВ для определения интервала значений пенсий и взноса соответсвенно, FormModelParameter для определения парметров модели.

Программный продукт написан в среде Microsoft Visual Studio 2010 на языке программирования C# с использованием стандартных компонент.

Основные функции и процедуры программы:

· Load_cost_pai ( ) - загрузка данных по стоимостям паев;

· Load_monthly_yield ( ) - загрузка данных по месячным доходностям ПИФов;

· Get_month_yield ( Dictionary<DateTime, double> list_cpi, Dictionary<DateTime, double> list_cost_pai ) - получние месячных доходостей по стоимостям паев, тип возвращаемого значения Dictionary<DateTime, double> ;

· Load_monthly_cpi ( ) - загрузка данных по месячным ИПЦ;

· Load_mortality_table ( ) - загрузка данных по Таблице Смертности

· Get_year_yield ( Dictionary<int, List<double>> list_month_yield) - получение годовой доходности, тип возвращаемого значения double;

· Get_norms_inflation ( Dictionary<int, List<double>> list_cpi ) - получение нормы инфляции, тип возвращаемого значения double;

· Get_Mortality() - получение количества живых и умерших;

· Get_Risk (double c, double b,int period, int strategy, int k, int scheme) - получение значения капитала и вероятности разорения;

· Get_model_parameter ( ) - ввод параметров модели;

· Get_parameter_contract ( ) - ввод параметров договора;

· Get_interval (int scheme) - получение интервала значений взносов/пенсий;

· Prepare_Input_data (int scheme) - запускает таймеры;

· Imitation_100MA_Tick ( ) - запуск таймера для подсчетов капитала для подхода «100 минус возраст»;

· Imitation_Malk_Tick ( ) - запуск таймера для подсчетов капитала для подхода Малкиеля;

· Get_result_parameter ( ) - получение результата (значение взноса / пенсии);

· Save_result ( ) - сохранение результата;

· Close () - выход из программы.

При нажатии кнопки «Загрузка» во вкладке «Загрузка статистических данных» вызываются соответствующие функции:

· Load_cost_pai ( ) - загрузка стоимости паев ПИФов при выборе загрузки «Стоимость паев», затем вызывается функция Get_month_yield ( ), на вход подается список стоимостей паев, на выходе - список ежемесячных доходностей;

· Load_monthly_yield ( ) - загрузка ежемесячных доходностей ПИФов при выборе загрузки «Ежемесячные доходности»;

· Load_monthly_cpi ( ) - загрузка ежемесячных значений ИПЦ;

· Load_mortality_table( ) - загрузка таблицы смертности.

При нажатии кнопки «Прогноз» вызываются функции Get_parameter_contract() - получение входных данных по договору; Get_interval (int scheme) - в зависимости от схемы ( входного параметра) задает интервал; Get_model_parameter() - получение параметров модели.

Затем вызываются функции Imitation_100MA_Tick() и Imitation_Malk_Tick (), запускающие таймеры для расчетов, в которых вызывается функция Get_Risk() входными параметрами являются взнос, выплаты, период прогнозирования, стратегия и схемы, на выходе получаем значения капитала и вероятности разорения. Функции Get_norms_inflation (), Get_year_yield () и Get_Mortality() вызываются внутри Get_Risk(), входными параметрами являются ежемесячные значения ИПЦ и доходностей соответственно.

При нажатии кнопки «ок» во вкладке «Договор страхования» вызывается функция Get_result_parameter () для получения и выводы результата.

При нажатии кнопки «Сохранить» во вкладке «Договор страхования» вызывается функция сохранения Save_result ().

При нажатии кнопки «Выход» во вкладке «Договор страхования» вызывается функция Close () и происходит завершение программы.

Описание интерфейса пользователя.

1. Запуск программы.

После запуска программы перед пользователем появится главное пользовательское окно с двумя вкладками «Статистические данные».



Рисунок 2.12. Вкладка «Статистические данные».

Рис.2.13 Вкладка «Договор страхования»

2. Входные данные «Статистические данные».

2.1. Загрузка ежемесячных доходностей.

В вкладке «Статистические данные», при нажатии кнопки «Загрузить» в соответствующих секциях можно загрузить статистические данные.

Рис.2.14 Загруженные статистические данные.

Если все статистические данные загружены, следует перейти во вкладку «Договор страхования» (Рис.2.12).

3. Прогнозирование.

В вкладке «Договор страхования» (Рис.2.13) в секции «Параметры договора» нужно ввести соответствующие данные, далее нажать кнопку «Прогноз».

В ходе прогнозирования в секции «Результаты вычислений» отрисовывается график «Вероятность разорения НПФ», под графиком показывается состояние выполнения расчетов, заполняется таблица результатов, показывается ход времени (Рис.2.15)

Рис. 2.15 Вычисление результатов.

При нажатии кнопки «Пауза» программа приостанавливает выполнение расчетов.

При нажатии кнопки «Продолжить» программа продолжает выполнение расчетов.

При нажатии кнопки «Стоп» программа останавливает расчеты и пользователь может изменить первоначальные настройки и начать новое прогнозирование.

Если программа закончила выполнение расчетов, то под графиком появится сообщение «Результаты готовы»

5. Результат.

Если в секции «Результат» есть надпись «Промежуточный результат», то после ввода вероятности разорения и нажатии кнопки «ок» появится предварительный результат, по полученным расчетам (Рис.2.16)

Рисунок. 2.16 Промежуточный результат.

Если в секции «Результат» есть надпись «Результаты готовы», то после ввода вероятности разорения и нажатии кнопки «ок» появится окончательный результат, по полученным расчетам (Рис.2.17)

Рисунок. 2.17 Готовые результаты.

6. Сохранение результатов.

Для того чтобы сохранить результаты, нужно нажать кнопку «Сохранить» над результирующей таблицей. После чего появится диалоговое окно, в котором вводим название файла, либо выбираем уже существующий файл.

7. Параметры модели

Для того чтобы изменить параметры модели, нужно нажать кнопку «Параметры модели». После чего появится новое окно (Рис.2.18), в котором можно изменить параметры модели. После чего нужно нажать кнопку «ОК» или «Отмена».

.

Рисунок.2.18 Окно «Параметры модели».

7. Помощь.

Нужно нажать кнопку «Помощь». После чего появится новое окно (Рис.2.19). После чего нужно нажать кнопку «ОК».

Рисунок.2.19 Окно «Помощь».

8. О программе.

Для того чтобы посмотреть сведения о программе, нужно нажать кнопку «О программе». После чего появится новое окно (Рис.2.20). После чего нужно нажать кнопку «ОК».



Рисунок.2.20 Окно «О программе».

9. Выход из программы.

Для того чтобы завершить работу программы нужно нажать кнопку «Выход».

2.3 Тестирование ПО

Проверка в нормальных условиях.

Тестирование в нормальных условиях предполагает тестирование на основе данных и условий, которые характерны для реального функционирования программы. В данном случае нормальные условия это: загрузка корректных статистических данных, правильное и корректное указание параметров программы, ввод корректных данных по параметрам договора, параметрам модели, вероятности разорения.

При проверке в нормальных условиях все функции программы работают правильно, и выдается достоверная информация в соответствии с результатами контрольных расчетов.

Пример результата работы программы:

Проверка в экстремальных условиях.

В программе производится контроль всех вводимых параметров. При некорректном вводе выдается соответствующее предупреждение.

На этом этапе тестирования проводилась проверка соответствия типов данных и вводимой информации. Было верно определено, соответствует ли тип вводимой информации необходимому типу. В случаях, когда это условие не выполнялось, выдавалось сообщение об ошибке. Таким образом, пресекался неверный ввод данных.

Рисунок. 2.21 Результат работы программы.

Например, в поле имеющее тип целое число нет возможности внести данные типа строка. При вводе строковой информации в ссылочные поля, программа пытается перевести этого значения в нужный тип, если это не удалось, то выводится сообщение о некорректном вводе данных.

Пример сообщений при неправильном вводе данных:

Также проводилась проверка корректности данных согласно допущениям построенной модели. Например, параметры договора должны быть целыми (кроме значений взноса и пенсии), положительными числами. Программа делает проверку согласно допущениям модели, в случае неправильных данных выводится сообщение об ошибке и рекомендации.

Примеры сообщений при неправильном вводе данных:

Также проводилась проверка статистических данных. Так как статистические данные загружаются из файла, проводились следующие проверки данных:

· наличие пустых ячеек;

· наличие некорректных данных

· соответствие периода, введённых пользователем, и самих данных

В программе проводилась проверка данных и обнаружении каких - либо из перечисленных ошибок, выводится соответствующее сообщение.

Примеры сообщений при некорректных статистических данных:



При тестировании в экстремальных условиях, таких как, функционирование в непрерывном режиме, расчет с использованием большого количества входных данных удовлетворяющих структуре, не приводит к зависанию программы, функциональность не нарушается, все данные воспринимаются программой как правильные.

Проверка в исключительных условиях

В программе контролируются все параметры, при выходе которых из допустимого диапазона выдается соответствующее предупреждение и операция, приведшая к этому, блокируется.

Разработанное программное обеспечение позволяет обнаружить некорректный ввод данных, поэтому входные данные программы всегда полны и верны.

Оценка полноты проверки программы.

Программный продукт был проверен на выполнение всех заложенных в него функций.

Система не позволяет пользователю выполнять большинство недопустимых действий, что существенно упрощает процесс тестирования, минимизирует риск возникновения исключительных ситуаций и позволяет достаточно полно проверить работоспособность программного продукта в нормальных и экстремальных условиях.

Тестирование дает положительный результат работоспособности программы.

В итоге программа прошла полную проверку на корректность результатов и содержит защиту от исключительных ситуаций связанных с вводом данных.

2.4 Результаты экспериментальных исследований и их анализ

Был проведен анализ влияния изменений входных параметров модели на полученные результаты. А именно: доходности рискового и безрискового активов рассматривались без учета и с учетом кризиса (с января 2004 по февраль 2013 года); использовались таблицы смертности населения России разных лет (1987 и 2004-2010 года).

В качестве входных статистических парметров использовались следующие данные:

· таблица смертности населения России, мужчины [17] ;

· ежемесячные значения доходностей паевых инвестиционных фондов акций (УралСиб - Фонд Первый) [18] и облигаций (Тройка Диалог - Илья Муромец) [19];

· ежемесячные значения индекса потребительских цен [20].

Параметры договора: возраст вступления в схему 25 лет; возраст выхода на пенсию 60 лет; длина периода выплат взносов 35 лет; длина периода выплат пенсий 10 лет.

1. Анализ влияния изменения таблицы смертности.

Рассматривались таблицы смертности населения России разных лет.

Таблица 4. Анализ влияния изменения таблицы смертности

Год таблицы смертности	DB пенсионная схема, размер пенсии 12000р	DС пенсионная схема, размер взноса 1200р
	100 МВ	Малкиель	100 МВ	Малкиель
1987	1172	1213	12800	12650
2004	1224	1261	12350	12200
2006	1213	1242	12250	12250
2008	1207	1238	12500	12350
2010	1195	1224	12550	12400

3. нализ влияния изменения годовых доходностей

Рассматривались 2 периода:

1. 2004 - 2013 ( с учетом кризиса)

2. 2004 - 2007, 2010-2013 ( без учета кризиса)



Таблица 5. Анализ влияния изменения годовых доходностей.

Период	DB пенсионная схема, размер пенсии 12000р	DС пенсионная схема, размер взноса 1200р
	100 МВ	Малкиель	100 МВ	Малкиель
1	1195	1224	12550	12400
2	975	1012	13050	12900

3. Сравнение результатов компьютерных экспериментов с результатами существующих программных средств.

Сравнение с «Пенсионный калькулятор actuary.ru» и ВТБ ПФ

Таблица 6. Сравнение программных средств.

Схема	Полученный результат	Результат «Пенсионный калькулятор actuary.ru»	Результат «ВТБ ПФ»
DB, пенсия 12000р	Взнос 1195 р	Взнос 1025 р	Взнос 1321 р
DС, пенсия 1200 р	Пенсия 12550 р	Пенсия 14036р	Пенсия 10896 р

2.5 Программная документация

Техническое задание.

Программа «Моделирование и анализ схем пенсионного обеспечения» предназначена для получения оценок параметра пенсионных схем с установленными взносами и установленными выплатами. Программный продукт должен реализовать математическую модель деятельности НПФ по данному договору на определенном промежутке времени.

Основание для разработки.

Инициативная работа под руководством доцента кафедры ВМиК Прокудиной Е.И.

Назначение разработки.

Программа «Моделирование и анализ схем пенсионного обеспечения» предназначена при входных данных: мера риска НПФ, статистических данных и пенсионной схемы - получать значения:

· величины выплат пенсионной схемы с установленными взносами (DС схема);

· величины страхового взноса для пенсионной схемы с установленными выплатами (DB схема).

Требования к функциональным характеристикам ПП.

Программа должна по заданным входным параметрам, используя пользовательские настройки, выполнять поставленные задачи, а также поддерживать следующие функции:

1. Загрузка статистических данных определенной структуры;

2. вычисление корректных значений взносов/выплат для соответствующих пенсионных схем;

3. построение функциональной зависимости меры риска от значений взносов (DB схема) или значений выплат (DC схема) по выполненным расчетам;

4. вывод результатов вычислений на экран с возможностью сохранения.

Требования к организации входных и выходных данных.

Входными данными являются:

1. Статистические данные

1.1. Доходности ПИФов за определенный период (ДД.ММ.ГГ)

а) ежемесячные значения доходностей в виде таблицы (акции, облигации);

б) значения стоимости паев в виде таблицы (акции, облигации).

1.2. Значения индекса потребительских цен (ИПЦ) за определенный период (ДД.ММ.ГГ) в виде таблицы (значения ИПЦ) ;

...