Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование системы, состоящей из объекта управления и формирующего фильтра

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе будет рассмотрено математическое моделирование системы, состоящей из объекта управления и формирующего фильтра. Математическое моделирование будет производиться в виде теоретического исследования объекта с целью изучения его передаточной функции, а также синтезирования устойчивой системы. Примером объекта управления, рассматриваемого в данной работе, может служить звено системы автоматического управления.

Система «объект управления - формирующий фильтр», рассчитываемая в этой курсовой работе, может приближенно считаться реальным звеном системы автоматического управления.

Анализ устойчивости системы будет проводиться на основе критерия Ляпунова, а также рассмотрения графиков переходной функции и амплитудо-частотной характеристики.

Выбор в качестве критерия проверки устойчивости - критерия Ляпунова обусловлен его простотой и наглядность, а так же не высокой сложностью нахождения корней характеристического уравнения с помощью системы компьютерной алгебры MathCAD.

Графический же метод (исследования графиков переходного процесса и амплитудо-частотной характеристики) позволяет без дополнительных вычислений определить прямые и косвенные оценки устойчивости системы.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Принципиальная электрическая схема объекта управления:

R1=355

R2=448

R3=133

R4=165

R6=351

L1=25

L3=50

C1=36017

C2=19885

Входная величина: e(t)

Выходная величина: i1

передаточный фильтр устойчивость система

1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЯ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Структурная схема объекта управления

1.1 Составление уравнений по 2-ому закону Кирхгофа

Рассмотрим принципиальную электрическую схему объекта правления (рисунок 1) и составим по ней систему уравнений по 2ому закону Кирхгофа для контуров в дифференциальной форме:

(1)

1.2 Линеаризация системы уравнений

Избавимся от интегралов в 1-ом и 4-ом уравнениях системы /1/, увеличив степень дифференцирования:

(2)

Уменьшим степень дифференциалов системы /2/ и введем фиктивные переменные:

(3)

Выразим токи через фиктивные переменные:

(4)

Вычислим производные от фиктивных переменных:

(5)



По полученной системе уравнений и уравнению для выходной величины объекта регулирования запишем математическую модель в нормальной форме Коши для уравнения наблюдения уравнения выходной величины объекта:

Подставив численные значения величин, составим матрицу:

(6)

 (7)

(8)

(9)

1.3 Построение графа и структурной схемы объекта управления

По полученной математической модели построим граф объекта управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 - Сигнальный граф объекта управления

Построим структурную схему объекта управления:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4 - Функциональная схема объекта управления

1.4 Определение передаточной функции объекта управления

По рисунку 3 определим все возможные пути прохождения сигнала и рассчитаем их передаточные коэффициенты:

(10)

,

Определим все возможные контуры (рисунок 3) и рассчитаем их передаточные коэффициенты:

(11)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

Определим передаточную функцию объекта управления по формуле Мейсона. Для этого рассчитаем определитель графа и все соопределители графа.

Определитель графа:

(12)

Соопределители графа:

(13)

(14)

Передаточная функция, по формуле Мейсона, равна:

, (15)

где - определитель графа; - сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров имеющихся в графе; - сумма произведений коэффициентов передачи двух не касающихся контуров; - сумма произведений трех не касающихся контуров; - сумма коэффициентов передачи прямых путей от входа к выходу; - соопределитель графа.

(16)

1.5 Анализ устойчивости системы

Проведем анализ устойчивости системы (объекта управления) методом Ляпунова. Для этого определим корни характеристического уравнения, полученного из выражения /16/. Характеристическое уравнение имеет вид:

(17)

Найдем корни этого уравнения:

(18)

Полученные корни - действительные с различными знаками, что свидетельствует о неустойчивости системы (объекта управления).

1.6 Временные и частотные характеристики объекта управления

Используя полученную в предыдущем пункте передаточную функцию объекта управления, построим временные и частотные характеристики

1.6.1 Переходная функция

Описывает реакцию системы на входное воздействие в виде функции Хевисайда при нулевых начальных условиях

(19)



Рисунок 5 - Переходная функция объекта управления

По виду графика переходного процесса можно также судить о неустойчивости системы (объекта управления). График имеет вид бесконечно возрастающей по экспоненте кривой. Данный вид графика не позволяет определить прямые оценки устойчивости.

1.6.2 Весовая функция

Описывает реакцию системы на входное воздействие в виде единичной, ступенчатой функции при нулевых начальных условиях.

(20)



Рисунок 6 - Весовая функция

1.6.3 Амплитудо-частотная характеристика

Показывает зависимость амплитуды от частоты.

(21)

Рисунок 7 - Амплитудо-частотная характеристика

По графику амплитудо-частотной характеристики определим косвенные оценки качества системы (объекта управления).

1. Показатель колебательности:

,

,

.

2. Резонансная частота:

.

3. Полоса пропускания частот :

,

.

4. Частота среза при :

.

1.6.4 Фазово-частотная характеристика объекта управления

Характеризует зависимость сдвига фаз в зависимости от частоты.

(22)

Рисунок 8 - Фазовочастная характеристика

2. РАСЧЕТ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

2.1 Определение спектральной плотности

По заданной корреляционной функции /23/ определим спектральную плотность:

(23)

Спектральная плотность случайного сигнала:

(24)

Построим график спектральной плотности:

Рисунок 9 - Спектральная плотность

2.2 Определим передаточную функцию формирующего фильтра

Для этого определим корни числителя и знаменателя функции описывающей спектральную плотность (выражение /24/) и выполним выборку по корням для того, чтобы сформировать устойчивый фильтр.

2.2.1 Определение корней, найдем корни числителя и знаменателя

(25)

Корни:

(26)



Рисунок 10 - Корни на комплексной плоскости

2.2.2 Выполним выборку по полученным корням

Выберем корни, лежащие в верхней полуоси:

условия для этого

Данным условиям удовлетворяют корни:

2.2.3 Сформируем выражение для передаточной функции формирующего элемента

(27)

Так как сомножитель знаменателя получается из уравнения /26/, то заменим его этим уравнением.

(28)

Преобразуем от j? к p:

(29)

Получена передаточная функция формирующего фильтра.

3. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ-ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР

3.1 Синтез системы объект управления - формирующий фильтр

Синтезируем систему вида:

Рисунок 11 - Структурная схема системы объект управления - формирующий фильтр

3.2 Определение общей передаточной функции системы

Так как объект управления и формирующий фильтр соединены последовательно (рисунок 10), то общая передаточная функция системы будет иметь вид:

(30)

3.2.1 Анализ устойчивости системы объект управления - формирующий фильтр

Проведем анализ устойчивости методом Ляпунова. Определим корни характеристического уравнения:

(31)

полученного из выражения /30/.

Корни равны:

(32)

(33)

Корни:

(34)



Рисунок 12 - Корни на комплексной плоскости

Получено 6 чисто действительных корней (4 положительных и 2 отрицательных) и 4 комплексно сопряженных. Из полученного набора корней следует, что синтезированная система неустойчива.

3.3 Построение общей переходной функции

(35)



Рисунок 13 - Переходная функция системы

3.3.1 Анализ прямых оценок качества

Так как система неустойчива, то проведение анализа прямых оценок качества не представляется возможным.

3.4 Построение общей весовой функции

(32)



Рисунок 14 - Весовая функция системы

3.5 Построение общей амплитудо-частотной характеристики

(33)



Рисунок 14 - Амплитудо-частотная характеристика

3.5.1 Анализ косвенных оценок качества системы

Несмотря на то, что система неустойчива, мы в состоянии провести косвенные оценки качества.

1. Показатель колебательности:

,

,

.

2. Резонансная частота:

.

3. Полоса пропускания частот :

,

.

4. Частота среза при :

.

3.6 Построение общей фазово-частотной характеристики

.

Рисунок 15 - Фазово-частотная характеристика

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Так как рассматриваемая система и до и после включения в нее формирующего фильтра является неустойчивой, то сложно оценить изменение состояния системы после включения в нее формирующего фильтра. Однако, если предположить, что система устойчива, то можно провести сравнительный анализ по косвенным оценкам качества (сводная таблица прил. А).

После включения в систему формирующего фильтра:

- в 103 уменьшилась резонансная амплитуда, что снизит ее колебательность;

- на 36% уменьшилась полоса пропуская частот, что уменьшит влияние помех на систему, однако может снизить быстродействие;

- на 27% уменьшился диапазон среза, что уменьшит время переходного процесса и увеличит быстродействие системы.

Примечание: данные выводы справедливы при допущении, что система устойчива.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1. Сводная таблица параметров качества системы до и после внесения в нее формирующего фильтра

	Параметры системы до внесения в нее формирующего фильтра	Параметры системы после внесения в нее формирующего фильтра	Абсолютная разница по значениям параметров, ед.	Относительная разница по значениям параметров, %
Резонансная амплитуда, Amax				98
Полоса пропускания частот, ?1??2, с-1	0?22	0?16	8	36
Частота среза при A= Amax, ?ср, с-1	80.	58	22	27

Размещено на Allbest.ur

...