Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Общие понятия проверки статистических гипотез

1.1 Сущность и виды проверки статистических гипотез

1.2 Выбор критериев для проверки статистических гипотез

1.3 Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез

Глава 2. Проверка различных типов статистических гипотез

2.1 Критерий Различия Манна-Уитни

2.2 Критерий Сдвига Вилкоксона

2.3 Критерий Согласия Пирсона

Заключение

Список литературы

Приложение



Введение

Последние годы отмечены стремительным расширением области применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различных науках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии, управлении и т. д. Один из основных разделов статистики - теория проверки статистических гипотез. Понятие практической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).

Статистическая проверка гипотез проводится с помощью некоторого статистического критерия по общей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения (критической статистики), на основании которой принимается окончательное решение. Например, могут рассматриваться гипотезы об общем законе распределения исследуемой случайной величины, об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности и др. Результат проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе), либо неотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором - ее нельзя считать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы. Для статистической проверки гипотез используются разные критерии. В частности, когда проверяется согласие между выборочным и гипотетическим распределениями, используется критерий согласия, например, критерий Пирсона «хи-квадрат», критерий Колмогорова-Смирнова и др.

Статистические критерии приводятся вместе с указанием как тех областей, где их применение вполне оправдано, так и тех областей, где применение требует осторожности. Большое внимание уделено построению критериев, в том или ином смысле наилучших.

Цель работы: создать программный продукт для проверки статистических гипотез.

Поставленная цель определила задачи работы:

1. Определить сущность, понятие проверки статистических гипотез.

2. Рассмотреть этапы проверки статистических гипотез.

3. Рассмотреть критерии проверки статистических гипотез.

4. Ознакомиться с различными проверками статистических гипотез в среде программирования Delphi 10 Lite.



Глава 1. Общие понятия проверки статистических гипотез

1.1 Сущность и виды проверки статистических гипотез

В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметров или закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей).

Например, исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности» или «генеральные средние двух анализируемых совокупностей равны». Такие предположения называются статистическими гипотезами.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Иными словами, статистической гипотезой называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки. Обозначается гипотеза буквой Н. Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине.

Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.

Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер. С помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения по тем или иным результатам статистического изучения данного явления. Если вероятность ошибки невелика, то статистические показатели исчисленные при изучении явления, могут быть использованы для практических целей при малом риске ошибки.

Гипотезы в свою очередь классифицируются на:

- простые и сложные;

- параметрические и непараметрические;

- основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой.

Например: «Среднедушевой совокупный доход населения России составляет 10000 рублей в месяц»; «Уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равен 9%». [9, c. 76].

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значений параметра.

Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях - непараметрическими.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н₀. При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен.

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н₁.

В качестве нулевой гипотезы Н₀ принято выдвигать простую гипотезу, так как обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

- гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

- гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

- гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

- гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др. [2, c. 23].

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н₀ имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев а нулевая гипотеза Н₀ может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность - уровнем значимости и обозначают.?

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев (?нулевая гипотеза Н₀ принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н_х. Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как Вероятность 1 - называют мощностью критерия.

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой.

Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью а (отклонить правильную в действительности гипотезу Н₀), следует принять тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода, т.е. большая мощность. Снижения вероятностей обеих ошибок и можно добиться путем увеличения объема выборки.

Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н₀ также может быть двух видов:

- будет принята нулевая гипотеза Н₀, когда в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н₀; вероятность такого решения 1;

- нулевая гипотеза Н₀ будет отклонена в пользу альтернативной Н₁, когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу альтернативной Н₁; вероятность такого решения 1 мощность критерия.

В отношении свойств генеральной совокупности могут выдвигаться некоторые гипотезы о величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте связи между переменными.

Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных.

Основой проверки статистических гипотез являются данные случайных выборок, При этом безразлично, оцениваются ли гипотезы в отношении реальной или гипотетической генеральной совокупности. Последнее открывает путь применения этого метода за пределами собственно выборки: при анализе результатов эксперимента, данных сплошного наблюдения, но малой численности. В этом случае рекомендуется проверить, не вызвана ли установленная закономерность стечением случайных обстоятельств, насколько она характерна для того комплекса условий, в которых находится изучаемая совокупность.

Особенно часто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценки существенности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике. Трудоемкость статистико-социологических исследований приводит к тому, что почти все они строятся на несплошном учете. Поэтому проблема доказательности выводов в социальной статистике стоит особенно остро. Применяя процедуру проверки статистических гипотез, следует помнить, что она может гарантировать результаты с определенной вероятностью лишь по «беспристрастным» выборкам, на основе объективных данных. [3].

1.2 Выбор критериев для проверки статистических гипотез

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатов наблюдения.

Статистический критерий - это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0.

Как уже отмечалось выше, следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер, так как принимаемые вывод основываются на изучении свойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегда существует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятность последнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки.

При проведении проверки статистических гипотез в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о:

1) принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности;

2) виде распределения изучаемых признаков;

3) величине средней арифметической и доли;

4) наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками;

5) о форме корреляционной связи.

При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибку двоякого рода:

а) ошибка первого рода - проверяемая гипотеза (нулевая гипотеза Н0) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от нее;

б) ошибка второго рода - проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к принятию. [4].

В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими. Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1) сформулировать проверяемую гипотезу Н0. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза;

2) выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

- формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;

- выбирается статистическая характеристика гипотезы;

- выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий;

- определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F) по соответствующей таблице;

- вычисляется фактическое значение статистического критерия;

- проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется. [8].

Уровнем значимости будет называться такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Исходя из величины уровня значимости, можно определить критическую область, под которой понимается такая область значений выборочной характеристики, попадая в которую они будут свидетельствовать о том, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута. К критической области относятся те значения, появление которых при условии верности гипотезы было бы маловероятным.

Допустим, что рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область, тогда при условии верности проверяемой гипотезы Н0 вероятность этого события будет не больше уровня значимости. Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным и, следовательно, проверяемая гипотеза Н0 может быть отвергнута.

Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза Н0 не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы Н0 равна 1.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность браковать проверяемую гипотезу, когда она верна, т.е. меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода.

Все значения рассматриваемой характеристики, не принадлежащие к критической области образуют так называемую область допустимых значений. Если наблюдаемое значение характеристики находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза принимается с вероятностью.

Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н0, чтобы при заданном условии значимости можно было бы найти критическую точку Ккр распределения f(k), которая распределила бы область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н0. [7].

Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия Кнабл и определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н0.

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае.

Как уже отмечалось ранее, проверка статистических гипотез применяется в разных областях для изучения массовых явлений. Изучение массовых явлений, как правило, осуществляется по неполной информации. В составе собранных данных могут встречаться единичные наблюдения, у которых отдельные значения изучаемых признаков заметно отличаются от общей тенденции изменения большинства значений. Причины таких отличий могут быть разными:

1) из-за ошибок наблюдения;

2) вследствие случайного стечения различных обстоятельств, каждый из которых в отдельности несущественный, но совокупное их влияние привело к таким резко выделяющимся от общей картины значениям признаков;

3) как следствие нарушения однородности изучаемой совокупности.

В общем случае все значения изучаемых признаков фиксируются по известным единицам совокупности по их части, отобранной с учетом всех требований. Следовательно, первичные статистические данные, включая и резко «выделяющемся», соответствуют конкретным случаям проявления изучаемого явления. Следовательно, субъективное отбрасывание «выделяющихся» единиц недопустимо.

Рассмотрим использование критериев для проверки статистических гипотез на примере закона нормального распределения. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем и методов статистики

- при оценке репрезентативности выборки (расчете ошибки выборки и распространении характеристик выборки на генеральную совокупность);

- измерении степени тесноты связи и составлении модели регрессии;

- построении и использование статистических критериев и др.

Как показывают многочисленные статистические исследования, частоты эмпирических распределений за редким исключением будут отличаться от значений теоретического распределения. Расхождения между частотами эмпирического и теоретического распределения могут быть несущественными и объяснены случайностями выборки и существенными при несоответствии выбранного и эмпирического законов распределения.

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону нормального распределения используются особые статистические показатели-критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии К.Пирсона, А.Н. Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.

Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем больше эти отклонения, тем хуже теоретическое распределение соответствует эмпирическому. Статистические характеристики таких критериев согласия являются некоторыми функциями этих отклонений. [10].

1.3 Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным для в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона ₂; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия Фишера F; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдента и т. д.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (К_набл.).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н₀) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н₀), определяемые на заданном уровне значимости а по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (К_кр).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н₀) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Если конкурирующая гипотеза - правосторонняя, например, Н₁: а > а₀, то и критическая область правосторонняя (рисунок 1). При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (К _кр.п) принимает положительные значения.

Рисунок 1



Если конкурирующая гипотеза - левосторонняя, например, Н₁: а < а₀, то и критическая область - левосторонняя (рисунок 2). При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (К_кр.л).

Рисунок 2.

Если конкурирующая гипотеза - двусторонняя, например, Н₁: а=а₀, то и критическая область - двусторонняя (рисунок 3). При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются 2 критические точки (К_кр.л и К_кр.п).

Рисунок 3.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

- если наблюдаемое значение критерия (К_набл) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей;

- если наблюдаемое значение критерия (К_набл) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀ путем сравнения наблюдаемого (К_набл) и критического значений критерия (К_кр).

При правосторонней конкурирующей гипотезе:

- если К_набл < К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

- если К_набл > К_кр, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При левосторонней конкурирующей гипотезе:

- если К_набл >- К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

- если К_набл < - К_кр, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

При двусторонней конкурирующей гипотезе:

- если - К_кр < К_набл < К_кр, то нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить;

- если К_набл > Ккр или К_набл < -К_кр, то нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1) сформулировать нулевую Н₀ и альтернативную Н₁ гипотезы;

2) выбрать уровень значимости ;

3) в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н₀ выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. - специально подобранную случайную величину К точное или приближенное распределение которой заранее известно;

4) по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение К (критическую точку или точки);

5) на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия К_набл;

6) по виду конкурирующей гипотезы Н₁ определить тип критической области;

7) определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия К_набл, и в зависимости от этого -принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀.

Следует заметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, это не означает, что высказанное предположение о генеральной совокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречат имеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанной могут обладать и другие гипотезы.

Можно интерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:

- если в результате проверки нулевую гипотезу Н₀ нельзя отклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ больше, а конкурирующей Н₁ - меньше 1 - ;

- если в результате проверки нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁, то имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Н₀, вероятность нулевой гипотезы Н₀ меньше, а конкурирующей Н₁ - больше 1 -. [7].

статистический гипотеза сдвиг вилкоксон



Глава 2. Проверка различных типов статистических гипотез

2.1 Критерий Различия Манна-Уитни

Назначение критерия. Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n₁*n₂?3 или n₁=2, n₂?5.

Описание критерия. Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам [2].

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U_эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы:

Н₀: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

H₁: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Ограничения критерия U:

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n₁*n₂?3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n₁*n₂?60. Однако уже при n₁*n₂>20 ранжирование становиться достаточно трудоемким.

На наш взгляд, в случае, если n₁*n₂>20, лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбинации с критерием л,, позволяющим выявить критическую точку, в которой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляемыми выборками. .Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.

Пример. Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального интеллекта. Попытаемся установить уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 1.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Таблица 1. Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (n=14) и психологического (m=12) факультетов

Алгоритм 1. Подсчет критерия U Манна-Уитни.

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n₁+п₂).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n₁ - количество испытуемых в выборке 1;

n₂ - количество испытуемых в выборке 2;

Т_х - большая из двух ранговых сумм;

n_х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. I Приложения. Если U_эмп.>U_{кp 005}, Н_о принимается. Если U_эмп?U_{кp_005}, Н_о отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.



Таблица 2. Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психа-логического факультетов

Общая сумма рангов: 165+186=351. Расчетная сумма:

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более "высоким" рядом оказывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.

Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:

H₀: Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Н₁: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U:



Поскольку в нашем случае п\Фп2, подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей п_х:

Такую проверку рекомендуется производить в некоторых руководствах [6]. Для сопоставления с критическим значением выбираем меньшую величину U: U_эмп=60.

По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для n₁=14, n₂=12.

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если U_эмп?U_кp

Построим "ось значимости".

U_эмп=60

U_эмп>U_кp

Ответ: H₀ принимается. Группа студентов-психологов не превосходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.



Скриншот программы по определению критерия Манна-Уитни

2.2 Критерий Сдвига Вилкоксона

Назначение критерия. Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью мы определяем, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Описание критерия Т. Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка_; и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от - 30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.

Суть метода состоит в том, что мы сопоставляем выраженность сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого мы сначала ранжируем все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируем ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

Первоначально мы исходим из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом - сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Гипотезы:

Н₀: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H₁: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Ограничения критерия Т Вилкоксона:

1. Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях - 5 человек. Максимальное количество испытуемых - 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц. Критические значения Т приведены в Табл. II Приложения

2. Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюдений п уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Можно обойти это ограничение, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: "Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне".

Пример. В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет) измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре. Сначала у испытуемых измерялась максимальная мышечная сила каждой из рук, а на следующий день им предлагалось выдерживать, на динамометре с подвижной стрелкой мышечное усилие, равное 1/2 максимальной мышечной силы данной руки. Почувствовав усталость, испытуемый должен был сообщить об этом экспериментатору, но не прекращать опыт, преодолевая усталость и неприятные ощущения - "бороться, пока воля не иссякнет". Опыт проводился дважды; вначале с обычной инструкцией, а затем, после того, как испытуемый заполнял опросник самооценки волевых качеств по методике А.Ц. Пуни [5], ему предлагалось представить себе, что он уже добился идеала в развитии волевых качеств, и продемонстрировать соответствующее идеалу волевое усилие. Подтвердилась ли гипотеза экспериментатора о том, что обращение к идеалу способствует возрастанию волевого усилия? Данные представлены в Табл. 2.

Таблица 2. Расчет критерия Т при сопоставлении замеров физического волевого усилия

Код имени испытуемого	Длительность удержания усилия на динамометре (с)	Разность (fпосле- fдо)	Абсолютное значение разности	Ранговый номер разности
	До измерения волевых качеств и обращения к идеалу (fдо)	После измерения волевых качеств и обращения к идеалу (fпосле)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	Г. Кос. Крив. Кур. Л. М. Р. С. Т. X. Ю.	64 77 74 95 105 83 73 75 101 97 78	25 50 77 76 67 75 77 71 63 122 60	- 39 - 27 + 3 - 19 - 38 - 8 + 4 - 4 - 38 + 25 - 18	39 27 5 19 38 8 4 4 38 25 18	11 8 1 6 9,5 4 2,5 2,5 9,5 7 5
Сумма		66

Для подсчета этого критерия нет необходимости упорядочивать ряды значений по нарастанию признака. Мы можем использовать алфавитный список испытуемых, как в данном случае.

Первый шаг в подсчете критерия Т - вычитание каждого индивидуального значения "до" из значения "после". Мы видим из Табл. 2, что 8 полученных разностей - отрицательные и лишь 3 - положительные. Это означает, что у 8 испытуемых длительность удержания мышечного усилия во втором замере уменьшилась, а у 3 - увеличилась. Мы столкнулись с тем случаем, когда уже сейчас мы не можем сформулировать статистическую гипотезу, соответствующую первоначальному предположению исследователя. Предполагалось, что обращение к идеалу будет увеличивать длительность мышечного усилия, а экспериментальные данные свидетельствуют, что лишь в 3 случаях из 11 этот показатель действительно увеличился. Мы можем сформулировать лишь гипотезу, предполагающую несущественность сдвига этого показателя в сторону снижения.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия не превышает интенсивности сдвигов в сторону ее увеличения.

H₁: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия превышает интенсивность сдвигов в сторону ее увеличения.

На следующем шаге все сдвиги, независимо от их знака, должны быть проранжированы по выраженности. В Табл. 2 в четвертом слева столбце приведены абсолютные величины сдвигов, а в последнем столбце (справа) - ранги этих абсолютных величин. Меньшему значению соответствует меньший ранг. При этом сумма рангов равна 66, что соответствует расчетной:

Теперь отметим те сдвиги, которые являются нетипичными, в данном случае - положительными. В Табл. 2. эти сдвиги и соответствующие им ранги выделены цветом. Сумма рангов этих "редких" сдвигов и составляет эмпирическое значение критерия Т:

где R_r - ранговые значения сдвигов с более редким знаком.

Итак, в данном случае,

Т_эмn=1+2,5+7=10,5

По Таблице II Приложения определяем критические значения Т для n=11:

Зона значимости в данном случае простирается влево. Действительно, если бы "редких", в данном случае положительных, сдвигов не было совсем, то и сумма их рангов равнялась бы нулю. В данном же случае эмпирическое значение Т попадает в зону неопределенности:

Т_эмп<Т_кр (0,05)

Ответ: Н₀ отвергается. Интенсивность отрицательного сдвига показателя физического волевого усилия превышает интенсивность положительного сдвига (р<0,05).

Представим выполненные действия в виде алгоритма:

Алгоритм 2. Подсчет критерия Т Вилкоксона

1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.

2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах ("после" - "до"). Определить, что будет считаться "типичным" сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы.

3. Перевести разности в абсолютные величины и записать их отдельным столбцом (иначе трудно отвлечься от знака разности).

4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.

5. Отметить кружками или другими знаками ранги, соответствующие сдвигам в "нетипичном" направлении.

6. Подсчитать сумму этих рангов по формуле:

где R_r - ранговые значения сдвигов с более редким знаком.

7. Определить критические значения Т для данного п по Табл. II Приложения. Если Т_эмп меньше или равен Т_кр, сдвиг в "типичную" сторону по интенсивности достоверно преобладает.



Скриншот программы по определению критерия Вилкоксона

2.3 Критерий Согласия Пирсона

Назначения критерия. Критерий ч² применяется в двух целях;

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Описание критерия. Критерий ч² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем применить критерий ч².

Гипотезы:

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач,

которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Н₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Н₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Третий вариант:

Н₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... не различаются между собой.

Н₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... различаются между собой.

Критерий ч² позволяет проверить все три варианта гипотез.

Ограничения критерия:

1.Объем выборки должен быть достаточно большим: п?30. При п<30 критерий ч2 дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших п.

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f>5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод ч2, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле:

n_min=k*5.

3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.

4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение ч² уменьшается (см. Пример с по правкой на непрерывность).

5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия ч². Чтобы оживить изложение, рассмотрим шутливый литературный пример.

Шутливый пример. В гениальной комедии Н. В. Гоголя "Женитьба" у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать: "Уж как трудно решиться, так просто рассказать нельзя, как трудно. Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича, я бы тогда тотчас решилась. А теперь поди подумай! просто голова даже стала болеть. Я думаю, лучше всего кинуть жребий" [1, с. 487]. И вот Агафья Тихоновна положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного - всех!

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами25 минут;

благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича5 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Павловича8 раз;

благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча 5 раз.

Представим это в виде таблицы (Табл. 3.).

Таблица 3. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между 4 женихами

женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтазарыч	Всего взглядов
Количество взглядов	14	5	8	5	32

Гипотезы:

Н₀: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения.

Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялась равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по ¹/₄ всех ее взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

где п - количество наблюдений;

к - количество разрядов признака.

В нашем случае признак - взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака - 4 направления взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений - 32.

Расчеты будем производить в таблице по алгоритму.

Алгоритм 3. Расчет критерия ч2

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле:

н=к-1

где к - количество разрядов признака.

Если н=1, внести поправку на "непрерывность".

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как ч²_ЭМП.

8. Определить по Табл. III Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы V.

Если ч²_эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если ч²_эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл. 4.



Таблица 4. Расчет критерия ч2 при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Разряды - женихи	Эмпирическая частота взгляда (fэj)	Теоретическая частота (fт)	(fэj-fт)	(fэj-fт)2	(fэj-fт)2/ fт
1 2 3 4	Никанор Иванович Иван Кузьмич Иван Павлович Балтазар Балтазарыч	14 5 8 5	8 8 8 8	+6 -3 0 -3	35 9 0 9	4.500 1.125 0 1.125
Суммы	32	32	0		6.750

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на f_т. В данном случае это возможно, так как f_т для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (f_эi-f_т)²/f_т до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где f_эj - эмпирическая частота по j-тому разряду признака; f_т - теоретическая частота; j - порядковый номер разряда; k - количество разрядов признака. В данном случае:



Для того, чтобы установить критические значения % , нам нужно определить число степеней свободы V по формуле: н=k-l

где k - количество разрядов. В нашем случае н=4-1=3. По Табл. IX Приложения 1 определяем:

Построим "ось значимости". Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина ч2 . Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости -слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

ч² _эмп<ч² _кр.

Ответ: Н₀ принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.



Скриншот программы по определению критерия Пирсона



Заключение

Проверка статистических гипотез - необходимая методика, используемая для получения данных в статистике.

...