Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Доклад на тему: «Пакет расширения Student Package»

Выполнила: студентка группы 4 - Н

Марченко В.Н.

Преподаватель:

Щепин Н.Н.

Донецк - 2016

Содержание

1. Состав пакета и его идеология

2. Подпакет линейной алгебры Linear Algebra

3. Средства визуализации векторных и матричных понятий

4. Визуализация метода наименьших квадратов

5. Подпакет вычислений для первокурсников Calculus1

6. Подпакет вычислений Precalculus

7. Другие возможности и особенности пакета Student Package

Вывод

Список использованных источников

1. Состав пакета и его идеология

Одним из самых серьезных усовершенствований системы Maple 9 стал необычный пакет расширения Student Package. Он состоит из трех частей -- подпакетов:

* Calculus1 -- пакет вычислений с функциями одной переменной для студентов первого курса;

* Linear Algebra -- расширенный пакет по линейной алгебре;

* Precalculus -- пакет вычислений по стандартному курсу математики.

В принципе, пакет Student Package не имеет чего-либо принципиально нового, по сравнению со средствами математических вычислений, описанными в предшествующих главах. Однако подборка его средств наилучшим образом соответствует задачам обучения студентов вузов. Наряду с со средствами командного режима, новый пакет содержит множество специальных интерактивных панелей (окон) в которых весьма наглядно представлены данные для вычислений и результаты вычислений. Эти панели имеют стандартный вид, так что мы ограничимся только несколькими характерными примерами применения данного пакета.

2. Подпакет линейной алгебры Linear Algebra

Подпакет Linear Algebra содержит свыше 60 операторов и функций линейной алгебры. С ними можно познакомиться, используя команду: > with(Student[LinearAlgebra]);

Для использования какой-либо отдельно взятой функции можно использовать следующую синтаксическую конструкцию выбранной функции: Student[LinearAlgebra][command](arguments)

Приведем пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы М при вызове функции вычисления определителя Determinant двумя возможными способами:

> М := <<1,2,3>|<4,5,6>|<7,9,8>>;

> with(Student[LinearAlgebra]):Determinant(M);

9

> Student[LinearAlgebra][Determinant](M);

9

В разделе Interactive справки по этому пакету можно найти интерактивные примеры по линейной алгебре: вычислению собственных значений и векторов матриц, методам исключения Гаусса и Гаусса-Джордана, обращению матриц и решению систем линейных уравнений. В названии функций присутствует слово «Tutor». Например, команда EigenvaluesTutor(М)

вызывает появление интерактивного окна, вычисляющего характеристический полином и вектор собственных значений матрицы М. Например, введем команды:

> М := <<1,2,3>|<2,3,2>|<1,2,1>>;

> EigenvaluesTutor(М);

В результате их исполнения появится диалоговое окно, представленное на рис. 1. В нем показано вычисление характеристического полинома заданной матрицы.

Рис. 1. Окно вычисления характеристического полинома матрицы

Активизируя кнопку Solve for eigenvalues можно вычислить корни характеристического полинома.

Аналогичным образом организовано решение отмеченных задач линейной алгебры в интерактивном режиме. Важно, что при этом обеспечивается наглядный контроль вычислений на каждом шаге. Такая детальность вряд ли нужна инженеру или научному работнику при проведении вычислений, но она полезна студентам при освоении разделов линейной алгебры.

3. Средства визуализации векторных и матричных понятий

Подпакет Linear Algebra содержит несколько функций, дающих прекрасные возможности для визуализации различных понятий в области линейной алгебры и ее приложениях. Рассмотрим их применение в наглядных примерах.

На рис. 2. представлен пример на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора.

Рис. 2. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве

Для визуализации действие функции вычисления кросс-произведения векторов используются функции Cross Product Plot и построение плоскости в которой находятся векторы PlanePlot (рис. 3.).

Рис. 3. Построение плоскости векторов

Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Пример ее применения представлены на рис. 4.

Рис. 4. Визуализация проекции вектора на прямую.

Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Пример ее применения для визуализации решения на рис. 5.

Рис. 5. Визуализация решения системы трех линейных уравнений.

Здесь полезно обратить внимание на то, что графические функции визуализации используют необходимые для такой визуализации методы вычислений. Например, при визуализации решения систем линейных уравнений решаются сами уравнения. Если исполнить команду вывода хотя бы одного уровня информации, то можно получить вывод решений в числовой форме.

4. Визуализация метода наименьших квадратов

Задача приближения облака точек данных отрезком прямых или линией с минимальной ошибкой (регрессия) обычно решается методом наименьших квадратов. Приближающая линия проходит в облаке точек так, чтобы алгебраическое значение площади всех квадратов по сторонам, равными отклонениям точек от линии приближения (регрессии) было равно нулю. Как правило, реализация метода наименьших квадратов основана на решении соответствующим образом подготовленной системы линейных уравнений. Функция LeastSquareFlot обеспечивает наглядную визуализацию результатов метода наименьших квадратов.

Рис. 6 показывает пример визуализации одномерной линейной регрессии для 6 точек. Выводятся данные регрессии (ее уравнение и погрешности -- среднеквадратическая и максимальная), линия регрессии, исходные точки и квадраты, характеризующие площади отклонения.

Рис. 6. Визуализация одномерной линейной регрессии

На другом рисунке (рис. 7) представлен пример визуализации для полиномиальной регрессии (полином третьей степени). В данном случае функция регрессии существенно нелинейна.

Рис. 7. Визуализация полиномиальной регрессии

Наконец рисунок 8 показывает пример визуализации линейной регрессии для данных, приближаемых линейной функцией двух переменных. В данном случае характеристикой отклонения являются объемы кубов.

Рис. 8. Визуализация двумерной линейной регрессии

К сожалению, многомерная регрессия не имеет столь простых методов визуализации. Но даже для простых видов регрессии средства визуализации являются весьма полезными и наглядными. Особенно при преподавании разделов регрессионного анализа в университетах и вузах.

5. Подпакет вычислений для первокурсников Calculus1

Подпакет вычислений для первокурсников Calculus1 содержит довольно изысканные средства для решения задач математического анализа.

В интерактивном режиме подпакет Calculus1 имеет эффектные средства для визуализации таких операций, как вычисление производных и интегралов, представление касательных и перпендикуляров, дуг, линий уравнений, поверхностей и т.д. Эти средства находятся в разделе справки Interactivе данного подпакета. С ними легко познакомиться, поэтому ограничимся парой примеров.

Пусть надо вычислить корень уравнения 0.1*х^3-100 = 0. Для этого исполним команды:

> with(Student[Calculus1]):

NewtonsMethodTutor(.1*х^3-100, x=0..2);

Заданное в функции NewtonMethodTutor выражение появится в интерактивном окне, представленном на рис. 9, в его правой части. Уравнение можно скорректировать. Кроме того, можно задать пределы изменения x, а и b, начальное значение х=х0 и число итераций. В левой части окна представлен график функции и точки, соответствующие значениям выражения в каждой итерации (они даны ниже) Точки соединены отрезками прямых, что дает наглядное представление о ходе итераций. В частности видно, что в нашем случае после кратковременного выбега итерационного процесса он приобретает быстро сходящийся характер.

Рис. 9. Иллюстрация итераций при решении нелинейного уравнения методом Ньютона

А теперь рассмотрим вычисление длины дуги, заданной произвольным выражением, например 2-х^3 в интервале изменения х от 0 до 2. Для этого исполним командe: > ArcLengthTutor(2-х^3, х=0..2);

Интерактивное окно для этого примера представлено на рис. 10. График дает представление исходной функции и функции, описывающей изменение значения длины дуги в заданном интервале изменения х. Кроме того выводится выражение для длины дуги, вычисленное значение длины дуги на заданном интервале и вид команды для вычисления длины дуги в командном режиме (внизу окна). algebra precalculus интерактивный

Рис. 10. Иллюстрация к вычислению длины дуги

6. Подпакет вычислений Precalculus

Пакет вычислений Precalculus служит для визуализации таких операций, как вычисление полиномов, нахождение пределов функций, решение систем неравенств, представление функций и др. Он содержит только интерактивные средства, построенные по аналогии с приведенными ранее средствами. Поэтому и здесь мы ограничимся парой примеров.

Например, для получения графика и корней полинома х^3 + 3*х^2 - 2 достаточно исполнить команды:

> with(Student[Precalculus]):

> PolynomialTutor(х^3+3*х^2-2);

В появившемся интерактивном окне можно наблюдать график полинома и список его действительных корней -- рис. 11.

Рис. 11. Окно с графиком полинома и его вычисленными корнями

Следующий пример иллюстрирует вызов обучающего окна по стандартным функциям: > StandardFunctionsTutor();

При таком задании в окне задается функция синуса, но ее можно изменить на другую функцию или выражение со стандартными функциями -- например, sin(x)/x (рис. 12). Кроме графика исходной функции (он дан красным цветом) строится график преобразованной функции. Используется линейное преобразование с набором заданных параметров а, b, с и d.

Рис. 12. Окно с графиком основной и преобразованной функциями

7. Другие возможности и особенности пакета Student Package

Из других возможностей пакета Student можно отметить расширение возможностей графики с помощью десятков модифицированных или новых опций графики и графических функций. Познакомиться с набором опций можно по справке для данного пакета.

К сожалению, ввиду новизны пакета он содержит явные недоработки. Например, на рис. 10. непонятно, что выводит третья кривая на рисунке -- объяснения по этому поводу нет в справке по примененной функции. При больших x места на графике для представления чисел, отложенных по осям, явно не хватает и цифры отображаются с большими искажениями. Впрочем, стоит отметить, что по пакету представлены исходные коды на Maple-языке, так что чересчур требовательный пользователь может довести пакет «до ума». Несомненно, что корпорация Maple-Soft планирует существенное расширение средств Maplets в программных утилитах, включенных в пакеты расширений систем Maple.

Вывод

Пакет Student -- это, несомненно, один из пакетов, наиболее привлекательных для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, которые студенты университетов и иных вузов обычно используют на практических занятиях, при подготовке курсовых и дипломных проектов. Набор этих функций, разумеется, не ограничивается «скромными» потребностями студентов -- просто это наиболее распространенные функции, в основном относящиеся к математическому анализу.

Список использованных источников

1. Дьяконов В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах, С: ДМК Пресс,2014.-800с

Размещено на Allbest.ru