Знание в интеллектуальных системах

sup(p) = Mr(q), если {q p}

т.е. вероятностная мера любого утверждения q, из которого следует р, кладется в общую копилку для р [13,14].

Правдоподобность утверждения р определяется следующим образом:

pls(p) = 1 - sup(p)

Легко показать, что sup(p) pls(p). Отсюда степень уверенности утверждения р определяется доверительным интервалом:

conf(p) = [sup(p), pls(p)]

Возвращаясь к примеру, является ли Петров студентом или нет, мы получим доверительный интервал [0, 0], если в БЗ нет никаких сведений о студенте Петрове, и conf(p) = [1, 1], если Петров не является студентом.

Однако, и в подходе Демпстера-Шейфера имеются свои трудности. Так, неясно, что делать при выборе утверждений, доверительные интервалы которых перекрываются или значительно отличаются размерами.

Таким образом, и классическая теория вероятностей, и теория Демпстера-Шейфера нуждаются в обосновании в каждом конкретном случае, когда мы имеем дело с неопределенностью. И только тщательный анализ видов неопределенности может дать ответ, какой из подходов более предпочтителен.

Наконец, остановимся на проблеме представления нечетких знаний, являющейся ключевой при разработке интеллектуальных систем различного назначения. Нечеткие знания по своей природе разнообразны и могут быть условно разделены на следующие категории: неточность, недоопределенность, неоднозначность, словом, любые нечеткости, между которыми нельзя провести четкой границы.

Один из способов описания нечеткости основывается на понятии нечеткого множества, введенного Л. Заде [15]. Пусть - произвольное непустое множество. Нечетким множеством множества называется множество пар:

= {<_A(x)/x}

где

x , (x) [0, 1]

Функция : [0, 1] называется функцией принадлежности нечеткого множества , а - базовым множеством. Для каждого конкретного значения x величина (x) принимает значения из замкнутого интервала [0, 1], которые называются степенью принадлежности элемента х нечеткому множеству .

Носителем нечеткого множества называется подмножество А множества , содержащее те из , для которых значения функции принадлежности _А(x) > 0.

Например, пусть - множество натуральных чисел. Тогда его нечеткое множество «очень малых» чисел может быть таким: = {<1/1>, <0.8/2>, <0.7/3>, <0.6/4>, <0.5/5>, <0.3/6>, <0.1/7>}.

Носителем нечеткого множества является множество А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Отметим, что носитель нечеткого множества - это обычное, «четкое» подмножество множества .

В настоящее время существует целый ряд моделей представления нечеткости в интеллектуальных системах, среди которых модель коэффициентов уверенности в MYCIN, вероятностная логика Нильсона, теория свидетельств Шейфера, теория возможностей Заде, модель голосования Бэлдвина, лингвистическая модель в MILORD и другие.

Несмотря на различную природу нечеткости, формализованную в моделях, мы можем условно разбить эти модели на три группы по типу нечетких множеств, используемых для оценок объектов (значений, функций принадлежности) в моделях.

К первой группе относятся модели с числовым значением функции принадлежности: модель коэффициентов уверенности, вероятностная логика.

Вторая группа включает в себя интервально-значные модели: теория свидетельств, теория возможностей, модель голосования и т.д.

Третья группа - нечетко-значные модели, в частности, лингвистическая модель в MILORD.

Если не учитывать внешние проявления знаний в разных моделях, которые могут изменяться с одной модели на другую, то можно представить любое нечеткое знание в формальном виде M: Z, где M - некоторое нечеткое выражение, отражающее понятия, утверждения, отношения, правила и т.п., а Z - мера доверия к тому, что M истинно.

В моделях с числовым значением обычно Z представляет собой действительное число (в большинстве случаев число интервала [0, 1]) и интерпретируется как степень уверенности истинности выражения М.

Формальным аппаратом для выражения меры доверия Z в интервально-значных моделях является интервал. В различных моделях нижняя и верхняя границы интервала объясняются по разному. Они могут быть нижней и верхней вероятностями как в теории свидетельств, степенями необходимости и возможности в теории возможностей, необходимой и возможной поддержками в модели голосования и пр.

Нечетко-значные модели обычно применяются в случаях, в которых лингвистические переменные используются для описания объектов предметной области. Лингвистические переменные могут быть языковой единицей (словом, словосочетанием и т.д.), отражающей свойства объектов, лингвистическим квантором, определенным на множестве объектов и т.п.

При этом Z интерпретируется лингвистическим значением и представляется некоторым нечетким множеством.

Знание и нетрадиционные логики. Как известно, классическая логика типа логики предикатов первого порядка есть формальная система, состоящая из множества термов и операций, множества правил конструирования правильно построенных выражений (синтаксиса), системы аксиом и множества правил вывода. Она дает различные средства формализации и анализа правильности дедуктивных рассуждений. Язык классической логики является основой для выражения декларативных знаний, где рассуждение определяется как операция доказательства общезначимости (противоречивости) логического утверждения.

Так, логика предикатов первого порядка с равенством дает возможность:

выразить, что нечто обладает определенным свойством, не указывая, что именно (роль -квантификации);

выразить, что каждый элемент некоего класса обладает определенным свойством, без указания, что представляет из себя каждый такой элемент (роль -квантификации);

выразить, что хотя бы одно из двух утверждений истинно, не говоря, какое именно (роль дизъюнкции);

явно сказать, что нечто ложно (роль отрицания);

утверждать или оставлять неустановленным тот факт, что два различных выражения означают один и тот же объект (роль равенства).

Эти парадигмы полезны и подчас необходимы при решении многих проблем искусственного интеллекта.

Велика роль формальной логики также в семантическом анализе знаний и обосновании выводов. Представить знание - это значит выразить в некотором формализме имеющийся у нас образ мира. Соответствие между миром и его представлением устанавливается семантическим анализом. Такой анализ имеет целью определить объекты представления и уточнить образ мира, определяемый представлением. Следовательно, оно должно позволить осуществлять анализ истинности высказываний о мире. Иначе говоря, для плодотворности представления нужно, чтобы оно могло быть предметом анализа, использующего информацию из этого представления для выявления того, что свойственно миру, а что нет. С этой точки зрения обоснованный вывод или дедукция «подтверждаются» видением мира, который определяется семантическим анализом представления.

Семантический анализ представленного в некотором формализме знания должен позволять определить, что в этом воображаемом мире влечет истину, а что - ложь. Даже если анализ облечен другими аспектами, подобная операция относится по определению к компетенции формальной логики и делает особенно полезным обращение к теории моделей.

Классическая логика формализует строго корректные рассуждения и, к сожалению, не принимает во внимание некоторые аспекты человеческих рассуждений (здравый смысл, неопределенность, противоречивость, нечеткость информации). Имея дело с неполной, неточной, противоречивой или нечеткой информацией, человеческие рассуждения всего лишь правдоподобны и должны подвергаться пересмотру (ревизии). Для представления такой информации, семантического ее анализа и обоснования выводов и разработаны нетрадиционные, «нестандартные» логики, являющиеся расширением классических логик. Эти расширения касаются языка логики и понятия вывода.

Возвращаясь к примеру о том, что большинство студентов юны, мы видели, что связывание этого утверждения квантором общности приводило к его состоятельности, если не было исключений. Любое исключение типа «Петров - студент, но он не юн» приводило к противоречию БЗ. Перечисление всех исключений становится нереальным при работе с прикладными системами. Таким образом, роль квантора общности при анализе рассуждений здравого смысла может быть подвергнута сомнению.

Однако, не перечисляя все исключения, мы можем выразить исключение неявным образом, например, х Студент(х) & Юн(х) - существуют неюные студенты без указания их имен. Однако, такого типа формулы сложны при их обработке вследствие нечеткости термина «существуют». Можно ли ограничиться одним неюным студентом или их большинство? Отсюда и роль квантора существования также становится недостаточной при анализе и выводе рассуждений здравого смысла.

Далее, если в БЗ имеется факт «Иванов - студент», то вывод «Иванов юн» может быть осуществлен только введением предположения об уникальности имен, т.е. (Иванов = Петров). Отсюда для вывода желаемых заключений в логике предикатов с равенством необходимо сначала доказать, что эти заключения не попадают под случай исключений.

Если закон исключенного третьего (tertium non datur) выполняется в классической формальной логике, то он может не выполняться в нетрадиционных логиках. Действительно, почему Студент(Петров) Студент(Петров) = И, когда мы можем считать, что статус Петрова не известен.

Роль отрицания также может быть неоднозначной в таких логиках. Будем называть факты, принимающие значение «ложь», негативными фактами. Они явно присутствуют в БЗ. Кроме явного отрицания в БЗ могут находиться факты, которые не доказуемы в данной системе, как их отрицания (negation as failure), если мы придерживаемся предположения (гипотезы) о замкнутом мире. Содержательно это значит, что факт q считается доказуемым, если любое доказательство q терпит неудачу. Придерживаясь этого предположения, считаем, что нет «брешей» в знании предметной области и это знание полно.

К сожалению, предположение о замкнутом мире не всегда бывает продуктивным при рассмотрении случаев пересматриваемых рассуждений. Пусть Т - множество формул, и имеет место предположение о замкнутом мире, т.е. ASS(T) = {q | q - атомарная формула и not T + q}. Тогда для случая T = {a b} в ASS(T) находятся как а, так и b, которые вместе с {a b} дают противоречие.

Что касается вывода и его свойств, прежде всего, остановимся на правилах вывода Modus Ponens и Modus Tollens. Как мы уже видели на примере о том, что большинство студентов юны и Петров - студент, вывод о юности Петрова получается применением правила Modus Ponens. Считая эти утверждения выполнимыми, мы оставляем возможность для пересмотра (ревизии) заключения при поступлении новой информации. Сложнее обстоит дело с Modus Tollens, который получается применением теоремы дедукции и аксиомы контрапозиции к утверждению p q, т.е. если p q + q p и выводимо q, то будет выводимо p или + p q и + q, то + p. Возвращаясь к нашему примеру, мы имеем:

большинство студентов юны;

Петров не юн.

Следовательно, применяя Modus Tollens, получим: «Петров не является студентом». Интуитивно чувствуется, что для таких выполнимых утверждений, идя от следствия к причине, степень уверенности конкретного факта, связанного с причиной, становится недостаточной для такого вывода.

Из всех свойств вывода остановимся на свойстве немонотонности. Как мы уже видели, свойство монотонности препятствует прямой формализации пересматриваемых рассуждений. Следовательно, с чисто синтаксической точки зрения построение немонотонной системы вывода делает необходимым ослабление свойств дедуктивных систем классической логики.

Логика умолчаний Рейтера является одной из версий немонотонных рассуждений [16]. В ней немонотонность обусловлена необщезначимостью правил вывода, присущих той или иной прикладной области.

Тесно связан с рассуждениями по умолчанию абдуктивный вывод, теория которого была заложена Пирсом. Формально абдукция устанавливает, что из P Q и Q возможно вывести P. Однако абдукция является несостоятельным правилом вывода, означающим, что заключение необязательно истинно для каждой интерпретации, в которой истинны посылки [17].

Пусть Th, f и h - три множества замкнутых формул языка логики предикатов первого порядка, представляющие знание о рассматриваемой предметной области, наблюдаемое событие этой области и объяснение этого события соответственно. Предположим, что f совместимо с Th (т.е. Th & f выполнимо), но f не является логическим следствием Th, т.е. Th не объясняет f. Следовательно, необходимо вывести дополнительные факты h, объясняющие f в предполагаемой интерпретации, описанной Th.

Формально экзистенционально квантифицированная конъюнкция h литер есть абдуктивное объяснение наблюдаемого события относительно знания Th, если Th, h ¦ f, где, как и раньше, ¦ - знак логического следования.

Рассмотрим пример.

Пример 1.

Th:х (Студент(х) Юн(х))

f:Юн(Петров)

h:Студент(Петров), Студент(Иванов) & Юн(Иванов)

Студент(Петров) & Смертен(Петров) - три абдуктивных объяснения наблюдаемого события f относительно Th.

Заметим, что представление абдуктивного объяснения в виде конъюнкции фактов является синтаксическим ограничением, отличающим абдукцию от других моделей объяснений, например, от индуктивного обобщения.

Ключевой вопрос в абдуктивных рассуждения заключается в нахождении так называемых «интересных» объяснений. Эти объяснения могут быть формально охарактеризованы двумя семантическим свойствами: непротиворечивостью и минимальностью. Интуитивно минимальные и непротиворечивые абдуктивные объяснения интересны в том смысле, что они являются довольно общими фактами относительно Th и не вступают в противоречие со знанием предметной области.

Считаем, что абдуктивное объяснение h для наблюдаемого события f относительно Th непротиворечиво (с Th), если Th & h - выполнимая формула.

Продолжая пример 1 видим, что Студент(Петров) - непротиворечивое абдуктивное объяснение события Юн(Петров) относительно х (Студент(х) Юн(х)). Однако, другое объяснение Студент(Иванов) & Юн(Иванов) является противоречивым абдуктивным объяснением наблюдаемого события Юн(Петров) относительно х (Студент(х) Юн(х)), так как одновременно были бы выводимы Юн(Иванов) и Юн(Иванов).

Аналогично абдуктивное объяснение h для события f относительно Th минимально, если каждое абдуктивное объяснение для наблюдаемого события f относительно Th, являющееся логическим следствием h, эквивалентно h.

Из примера 1 видно, что Студент(Петров) - минимальное абдуктивное объяснение события Юн(Петров) относительно х (Студент(х) Юн(х)), а Студент(Петров) & Смертен(Петров) таковым не является. Очевидно, что свойство минимальности устраняет объяснения, которые не являются общими. Так, из двух объяснений Студент(Петров) и Студент(Петров) & Смертен(Петров) общим объяснением является Студент(Петров).

Отметим, что процесс абдукции может быть выполнен с помощью процедуры дедуктивного вывода следующим образом:

Th, h ¦ f

тогда и только тогда, когда Th, f ¦ h. Этот результат получается применением теоремы дедукции и аксиомы контрапозиции.

В другой немонотонной логике, предложенной Мак-Деромоттом и Дойлом, вводится оператор М, интерпретируемый как «непротиворечивый» (как впрочем и в логике умолчания) [18]. Тогда утверждение типа «Как правило (обычно, в большинстве случаев), студенты юны» будет записано в следующем виде: х (Студент(х) & М Юн(х) Юн(х)), т.е. если кто-то является студентом и это не противоречит тому, что он юн, то этот кто-то действительно юн. Если в БЗ вводится информация типа «Петров - студент» и невозможно вывести Юн(Петров), т.е. М Юн(Петров) истинно, то можно сделать вывод о том, что Петров юн.

Однако система вывода здесь немонотонна, так как введение добавочной информации может блокировать предыдущий вывод. Например, после добавления нового факта, что Петров не юн, первоначальное заключение будет отвергнуто, так как в данном случае М Юн(Петров) не будет истинным.

Трудность вывода в немонотонной системе Мак-Дермотта заключается в том, что понятие «непротиворечивости» здесь довольно «слабое» в том смысле, что истинностные значения утверждений Р и М Р не связаны между собой никаким отношением, т.е. пара {M P, P} необязательно может быть противоречивой.

Мур развивает идею немонотонного вывода дальше, вводя два типа рассуждений по умолчанию [19]. Первый тип рассуждений характеризуется тем, что он имеет дело с фактами, касающимися внешнего мира: вообще объекты типа Х имеют свойство Р. Если А - объект типа Х, то можно сделать вывод, что А (по-видимому) обладает свойством Р. Например, если Петров - студент, то можно сделать вывод, что (по-видимому) Петров юн.

Второй тип рассуждений, названный автоэпистемическими рассуждениями, касается рассуждений, связанных с чьими-то убеждениями (верами). Этот тип рассуждений пересматривается, исходя из текущего состояния знаний агента, из его интроспективной природы. Например, если мне ничего не известно о том, что Петров не юн, то я делаю вывод, что Петров, будучи студентом, юн.

Механизм рассуждений интроспективен и основан на предположении о том, что все знания, касающиеся этого вопроса, таковы: «если бы Петров был не юн, то я бы об этом знал». Иначе говоря, можно потребовать от рассуждений «общезначимости» относительно этого состояния знаний. Пересматриваемый характер рассуждений протекает из зависимости от состояния знаний. Оно присуще рассуждающему агенту и может изменяться.

Появление нетрадиционных логик связано также с прикладными аспектами создания различного рада интеллектуальных систем, в частности, экспертных систем. Эти системы служат для решения диагностических и классификационных проблем, проблем управления и принятия решений. Знания в таких системах представляются продукциями, имеющими вид: «если А₁ и А₂ и … и А_n, то В», где A_i (i = ) - условия, а В - выполняемое действие. Чтобы подчеркнуть «экспертный» характер таких продукций, в них добавлен так называемый «фактор определенности», подчеркивающий степень неопределенности данного условия и заключения. Неопределенность знания, таким образом, обрабатывается с помощью распространения факторов определенности от условий продукций к их заключениям. Хотя здесь в явной форме исключения не обрабатываются, неопределенность в продукциях предполагает существование исключений. Факторы определенности выражаются численно с привлечением теории вероятностей или аппарата нечеткой логики. Однако такой подход сталкивается с большими трудностями в силу отсутствия строгой семантики при взвешивании продукций факторами определенности. Здесь проявляется проблема обоснования (подтверждения) численного значения фактора определенности, которая усугубляется конфликтными ситуациями в продукциях, проводящих к конфликтным заключениям. Наглядным примером является хорошо известная система MYCIN, в которой факторы определенности, распространяемые дедуктивно по цепочке вывода, определяются в терминах относительной разницы между апостриорной и априорной вероятностями.

Хотя экспертные системы с факторами определенности продолжают развиваться и проявляют завидное упорство к дальнейшему распространению, нетрадиционные логики для обработки неопределенной, противоречивой, неточной и нечеткой информации продолжают вносить свой вклад в модели и методы представления и обработки знаний.

Резюмируя сказанное, отметим, что при представлении и обработке неполных, противоречивых и немонотонных знаний в интеллектуальных системах необходим аппарат таких нетрадиционных логик как логика умолчания, немонотонная модальная логика, автоэпистемическая логика и ряд других [20,21]. Для представления и обработки нечетких знаний, отражающих неточность, неопределенность, неоднозначность знаний, используются такие нестандартные логики как вероятностная логика, логика возможности, нечеткая логика и другие.

Литература

1. Кондрашина Е.Ю., Литвинцева Л.В., Поспелов Д.А. Представление знаний о времени и пространстве в интеллектуальных системах. / Под ред. Д.А. Поспелова. Москва: Наука, 1989, 328 стр.

2. Искусственный интеллект. - В 3-х книгах. Книга 2. Модели и методы: Справочник. / Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Радио и связь, 1990, 304 стр.

3. Асмус В.Ф. Платон. М.: Мысль, 1975, 220 стр.

4. Платон. Сочинения в 3-х томах. Под ред. В.Ф. Асмуса и А.Ф. Лосева. T.1. M., 1968.

5. Чанышев А.Н. Аристотель. Издание 2, дополненное. М.: Мысль, 1987, 221 стр.

6. Аристотель. Соч.: В 4-х томах. М., 1975-1983.

7. Delgrande J.P. and Mylopoulos J. Knowledge Representation: Features of Knowledge. // Fundamentals of Artificial Intelligence. An Advanced Course. W. Bibel and Ph. Jorrand (eds.) / Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag. 1986, vol. 232, pp. 3-36.

8. Вагин В.Н. Не-факторы знания и нетрадиционные логики. // Третья международная школа-семинар по искусственному интеллекту для студентов и аспирантов (Браславская школа-1999). Сборник научных трудов. Беларусь, 1999, стр. 10-14.

9. Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М.: Прогресс, 1981, 288 стр.

10. Тей А., Грибомон П., Луи Ж. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. От классической логики к логическому программированию. М.: Мир, 1990, 429 стр.

11. Journal of Applied Non-Classical Logics. Special Issue. Uncertainty, Conditionals and Non-Monotonicity. Vol. 1, № 2, 1991, 310 p.

12. International Journal of Intelligent Systems. Special Issue. Reasoning under Incomplete Information in Artificial Intelligence. Vol. 5, № 4, September 1990, 472 p.

13. Dempster A.P. A Generalization of Bayesian Inference. // Journal of the Royal Statistical Society, vol. 30, 1968, pp. 205-247.

14. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990, 287 стр.

15. Zadeh L.A. Fuzzy Logic and Approximate Reasoning. // Synthese 30, 1975, pp. 407-428.

16. Reiter R. A Logic for Default Reasoning. // Artificial intelligence, 13, 1980, pp. 81-132.

17. Marquis P. Extending Abduction from Propositional to First-Order Logic. P. 141-155. // Lecture Notes in Artificial Intelligence. Vol. 535. / Ph. Jorrand, J. Kelemen (eds.) Fundamentals of Artificial Intelligence Research. Springer-Verlag, 1991, 255 p.

18. McDermott D. and Doyle J. Non-Monotonic Logic I. / Artificial Intelligence, 13, 1980, pp. 41-72.

19. Moore R.C. Semantical Considerations on Non-Monotonic Logic. // Proceedings IJCAI_83, Karlsruhe, 1983, pp. 272-279.

20. Vagin V.N. Non-Classical Logics in Semiotic Systems. // CAI'98. Sixth National Conference with International Participants. Proceedings Workshop Applied Semiotics and Abstracts of CAI'98. Reports, vol. III, Pushchino, 1998, pp. 34-39.

21. Вагин В.Н. Зачем нужны нетрадиционные логики? // Международный форум информатизации_98: Доклады международной конференции «Информационные средства и технологии», том 1, 20_22 октября 1998, М.: Издательство «Станкин», с. 6-14.

Размещено на Allbest.ru