Принципы конструирования интеллектуальных систем

Следует отметить, что реально существующие БФ имеют некоторую степень каузальной полноты ⁺ и , где ⁺ - отношение числа позитивных фактов, имеющих объяснение посредством (+) - гипотез к числу всех (+) - фактов в БФ, а - отношение числа негативных фактов, имеющих объяснение посредством () -гипотез к числу всех () - фактов в БФ. Таким образом,

⁺=, =,

где , - подмножества фактов позитивных и негативных, соответственно, имеющих объяснение посредством () - гипотез о причинах, а БФ⁺ и БФ - подмножества позитивных и негативных фактов, соответственно, т.е. БФ⁺ и БФ.

В случае каузальной неполноты БФ, когда ⁺1 или 1 исследователь назначает пороги ₀⁺ и ₀ такие, что если ⁺ ₀⁺ и ₀, то множество порожденных гипотез Н принимается. Для достижения ₀⁺ и ₀ рассматривается последовательность расширений БФ: БФ₁БФ₂БФ_m такая, что _m⁺= и _m= и _m⁺₀⁺, _{m 0} (естественно положить 0,8 _m⁺ 1 и 0,7 _m 1, так как () - причины не столь явно выражены, как (+) - причины).

Таким образом, первой составляющей ДСМ - метода АПГ являются точно характеризуемые условия его применимости.

Второй составляющей ДСМ - метода АПГ являются КПЭ - рассуждения, формализующие эвристики типа «индукция + аналогия + абдукция», что соответствует способностям (3) (отбор посылок релевантных цели рассуждений) и (4) (способность к рассуждению). Этот основной аспект ДСМ - метода АПГ есть реализация Принципа V (синтез познавательных процедур для ИАД в БФ).

ДСМ - рассуждения (как вид КПЭ - рассуждений) состоят в последовательном применении правил вывода, представляющих индукцию, и правил вывода, представляющих аналогию. Посредством индукции, применяемой к БФ, порождаются гипотезы о () - причинах изучаемых эффектов. Эти гипотезы порождаются посредством обнаружения сходства фактов - позитивных и негативных, соответственно.

Правила правдоподобного вывода, формализующие эмпирическую индукцию, осуществляют поиск и извлечение из БФ зависимостей причинно-следственного типа (гипотез о () - причинах) посредством, как уже говорилось, установления сходства фактов, имеющих определенную структуру. Например, таким сходством могут быть фрагменты структуры химических соединений, имеющих биологическую активность, объективные характеристики организма как в норме, так и при отклонении от нее, соответствующие отсутствию или наличию рассматриваемых заболеваний.

Правила правдоподобного вывода, формализующие индукцию, будем называть правилами правдоподобного вывода 1-го рода (п.п.в.-1).

БФ, к которой применяются п.п.в.-1, содержат представления фактов посредством высказываний вида «объект С имеет множество свойств Q», имеющих истинностное значение ,0, где - тип истинностного значения = 1, 1, 0, , а «0» означает, что число применений правил правдоподобного вывода равно нулю. Типы истинностных значений 1, 1, 0, обозначают, соответственно, оценки «фактически истинно», «фактически ложно», «фактически противоречиво» и «неопределенно». В частности, высказывание «объект С имеет множество свойств Q» имеет истинностное значение 1,0, если С обладает множеством свойств Q; -1,0, если высказывание «объект С не имеет множество свойств Q».

БФ, к которым применяются п.п.в.-1, содержат () - факты и () - факты (примеры неопределенности), представляющие предикат - «объект Х обладает эффектом Y» Х₁Y, где Х - переменная, значениями которой являются представления объектов, а Y - переменная, значениями которой являются представления изучаемых эффектов (множеств свойств). Объекты могут быть охарактеризованы в различных структурах данных. А именно, объект С может быть представлен как множество элементов, как кортеж (упорядоченное конечное множество n элементов), как граф, как пространственный граф и, наконец, как система отношений. Соответственно, сходство фактов определяется специфическим образом для каждой структуры данных.

Предикат Х₁Y является бесконечнозначным, так как его истинностными значениями являются пары , n, где {1, 1, 0}, а nN, N - множество натуральных чисел.

Определим одноместную логическую связку для {1, 1, 0} J: Jp=, где t и f - истинностные значения двузначной логики «истина» и «ложь», соответственно, p - пропозициональная переменная, а V - функция оценки. V_in={, n | ({1, 0, })& (nN)}. Введем также обозначение для множества возможных фактических истинностных значений, соответствующих примерам (фактам или гипотезам) с оценкой «неопределенно» - (,n), где (, n) определяется следующим рекуррентным соотношением:

(, n)={1, n+1, 1, n+1, 0, n+1}, n+1, а n и n+1 выражают число применений правил правдоподобного вывода.

Предикат Х₁Y является бесконечнозначным, так как его оценками являются фактические истинностные значения , n, где {1, 1, 0}, а nN, и множества фактических истинностных значений (, n) (nN).

Этим оценкам Х₁Y соответствуют элементарные формулы J_{, n}(Х₁Y) и J_{, n}(Х₁Y), где {1, 1, 0}. Посредством V_ex обозначим множество логических истинностных значений V_ex={t, f}. Оценки , n и (, n) будем называть внутренними оценками; соответственно, , n будем называть внутренними истинностными значениями. Оценки же t и f будем называть внешними (или внешними истинностными значениями).

Множество внутренних оценок обозначим посредством , где ={, n|({1,1, 0}) & (nN)} {(, n)| nN}.

Напомним, что при n=0 имеем оценки фактов, а при n0 - оценки гипотез, где n - степень правдоподобия гипотезы.

Определим также одноместную логическую связку J_{(, n)}, где {1, 1, 0}, а nN:

J_{(, n)}pМ J_{, i} p

Таким образом, оценка (, n) выражается посредством дизъюнкции высказываний J_{0, n} p, …, J_{, n}p с истинностным значением t, что означает, что v[p]= , i, где i=0, 1, …, n. Логическая связка J_{(, n)} необходима для представления итеративного применения правил правдоподобного вывода с неопределенностью в БФ. Напомним, что 1, 0, - типы истинностных значений, а n - число применений (шагов) правил правдоподобных выводов, выражающее степень правдоподобия гипотез при n (чем больше n0, тем меньше степень правдоподобия гипотезы).

Таким образом, элементарные формулы

J_{, 0} (C₁Q), где =1, 0, а C и Q - константы, выражают факты с истинностными значениями «фактически истинно» (1, 0), «фактически ложно» (1, 0), «фактически противоречиво» (0, 0). Элементарные же формулы J_{(, 0)}(C₁Q) представляют в БФ примеры неопределенности.

Для формулирования п.п.в.-1 (индукции) используются предикаты позитивного и негативного сходства M_n⁺(V, W) и M_n(V, W), где V - переменная, значениями которой являются сходства объектов из (+)-фактов и ()-фактов, соответственно, а W - переменная, значениями которой являются множества свойств, представляющие изучаемый эффект или его часть. Параметр n выражает число применений п.п.в.-1 (n =0, 1, 2,…). Таким образом, имеется семейство предикатов M_n⁺(V, W), M_n(V, W), где nN.

Для простоты изложения будем рассматривать булевскую структуру данных. Тогда M_n(V, W), =+, определяются посредством формул

J_{, n}(X_i1Y_i), nN, {1, 1}, i=1, …, k, где k -число сходных фактов - (+)-фактов для M_n⁺ и ()-фактов для M_n, а также предикатов X=Y, XY, операций алгебры множеств и и логических связок двузначной логики , , , , и (для двух сортов переменных: X_i, V - для объектов и подобъектов, Y_i, W - для множеств свойств).

Так как формулы J_{, n}(X_i1Y_i) для пары C, Q порождают двузначные высказывания J_{, n}(C₁Q), то и предикаты M_n⁺(V, W) и M_n(V, W) являются двузначными (истинными или ложными).

M_n⁺(V, W) и M_n(V, W) являются генераторами гипотез о позитивных и негативных причинах, соответственно, так как посредством п.п.в.-1, содержащих эти предикаты, порождаются гипотезы о (+)-причинах и ()-причинах. Эти гипотезы представимы посредством предиката V₂W: «подобъект V есть причина наличия (отсутствия) множества свойств W».

Охарактеризуем теперь строение M_n⁺(V, W).

Предикат M_n⁺(V,W) определяется посредством параметрического предиката (V,W, k), в котором параметр k выражает число (+)-примеров, имеющих эффект W, а сходством объектов которых является V.

M_n⁺(V, W) определяется следующим образом:

M_n⁺(V, W)Мk(V,W, k), где М- «равенство по определению».

Предикат (V,W, k) выражает четыре условия: экзистенциальное условие (ЭУ), сходство (+)-фактов (или (+)-гипотез) (СФ), эмпирическую зависимость (ЭЗ) и условие исчерпываемости рассматриваемых (+)-примеров изучаемого эффекта в БФ (УИ).

ЭУ выражает то обстоятельство, что существует k (+)-примеров (фактов, если n =0, или гипотез, если n0), где k - переменная величина, таких, что соответствующие k объектов обладают изучаемым эффектом. СФ представляет сходство этих k объектов V, имеющих изучаемый эффект (для химических соединений, обладающих данной биологической активностью, их сходством является фрагмент структуры этих соединений; для описания химических данных больных их сходством является множество общих характеристик историй болезней). ЭЗ выражает причинно-следственную зависимость: если V (установленное сходство объектов) содержится в объекте Х таком, что высказывание «Х обладает эффектом Y» имеет оценку (1, n), где n0, то W есть либо эффект Y, либо его часть (то есть W - следствие V). УИ выражает то обстоятельство, что все сходные (+)-примеры из БФ такие, что их сходством является V, рассмотрены.

Таким образом, предикат положительного сходства выражает условия ЭУ, СФ, ЭЗ и УИ. Кроме того, следует задать нижнюю границу числа k сходных (+)-примеров из БФ (наименьшей границей является 2: k 2).

Следующие подформулы выражают перечисленные выше условия.

ЭУ: J_{(1, n)} (X₁₁Y₁)&…& J_{(1, n)} (X_k1Y_k),

СФ: (X₁…X_k=V)&(V),

ЭЗ и УИ: XY((J_{(1, n)} (X₁₁Y₁)&(VX)) ((WY)&(W)&(X=X₁X=X_k))). В ЭУ, СФ, ЭЗ и УИ k является переменной, значениями которой являются натуральные числа k2.

ЭУ выражает тот факт, что в БФ на n-ом шаге применения правил правдоподобного вывода существуют k (+)-примеров J_(1,i)(X_i1Y_i),

i=1, …, k.

СФ выражает установленное сходство V (+)-примеров из ЭУ. ЭЗ и УИ выражают тот факт, что V предполагаемая причина эффекта W.

Аналогично для ()-примеров из БФ определяется предикат негативного сходства M_n(V, W). Для ()-примеров определяется параметрический предикат (V,W, k), тогда M_n(V, W)Мk(V,W, k). Заметим, что предикаты M_n⁺(V, W) и M_n(V, W) зависят от параметра n, выражающего число применений правил правдоподобного вывода к БФ, изменяющих ее состояние.

Пусть С - значение V, а Q - значение W, тогда правила правдоподобного вывода (п.п.в.-1 для индукции) формулируются следующим образом:

(I)⁺ Если M_n⁺(С, Q) истинно и M_n(С, Q) ложно, то высказывание «С есть причина Q» имеет истинностное значение 1, n+1;

(I) Если M_n⁺(С, Q) ложно и M_n(С, Q) истинно, то высказывание «С есть причина Q» имеет истинностное значение 1, n+1;

(I)⁰ Если M_n⁺(С, Q) истинно и M_n(С, Q) истинно, то высказывание «С есть причина Q» имеет истинностное значение 0, n+1

(I) Если M_n⁺(С, Q) ложно и M_n(С, Q) ложно, то высказывание «С есть причина Q» имеет оценку (, n+1).

Выразим теперь эти правила правдоподобного вывода (п.п.в.-1) формально:

(I)⁺ , (I) , (I)⁰ , (I) .

П.п.в.-1 являются семейством правил, т.к. (I) зависят от параметра n, выражающего степень правдоподобия как истинностных значений =, n, где =1, 0, так и множества истинностных значений (, n).

Порождаемый предикат V₂W (подобъект V есть причина наличия (отсутствия) эффекта W) является результатом извлечения из БФ сходства соответствующих примеров (ЭУ и СФ), выражающего зависимость причинно-следственного типа (ЭЗ и УИ). Предикат V₂W есть результат индуктивного обобщения посредством сравнения рассматриваемых примеров из БФ.

Начальное состояние БФ может быть представлено следующим образом:

БФ= БФ⁺БФБФ, где

БФ⁺={X,Y|J_1,0(X₁Y)},

БФ={X,Y|J_1,0(X₁Y)}, а БФ={X,Y|J_(,0)(X₁Y)}

где X,Y - упорядоченная пара объект, эффект;

БФ, где {+, , }, есть множества пар X,Y таких, что выполняются J_1,0(X₁Y), J_1,0(X₁Y) и J_(,0)(X₁Y), соответственно.

Формулируемые ниже правила правдоподобного вывода по аналогии - п.п.в.-2 - используются для уменьшения неопределенности фактов из БФ. П.п.в.-2 используют результаты применения п.п.в.-1 (индукции) - гипотезы вида J_{, n}(C₂Q), где {1,1, 0}, а n1.

П.п.в.-2 формулируются посредством предикатов аналогии П_n⁺(V,W), П_n(V,W), П_n⁰(V, W) и П_n(V,W). П_n⁺(V,W) и П_n(V,W) определяются, соответственно, посредством параметрических предикатов (V,W,k) и (V,W,k), где k - параметр, выражающий число порожденных гипотез, представленных формулами J_(1,n)(X_i2Y_i) и J_(1,n)(X_i2Y_i) для и , соответственно, где i=1, …, k.

Результатом применения п.п.в.-2 являются гипотезы о наличии (отсутствии) изучаемого эффекта у соответствующих объектов, относительно которых имелась оценка «неопределенно». Таким образом, п.п.в.-2 порождают предсказания вида J_{, n+1}(C₁Q), где {1,1, 0}, или J_{, n+1}(C₁Q), а n - число шагов, за которое были получены гипотезы о () - причинах, используемые в предикатах П_n⁺(V,W) и П_n(V,W) (гипотезы с истинностными значениями 0, n используются в предикате П_n⁰(V,W)).

Предикат (V,W,k) выражает условие такое, что объект V содержит позитивные причины Х₁, …,Х_k для множеств свойств Y₁, …,Y_k, соответственно, а множество свойств W, представляющее изучаемый эффект, покрывается множествами Y₁, …,Y_k (k - параметр). Это условие выразимо формулой (X_i (J_(1,n)(X_i2Y_i)&(X_iV)&()).(1)

Вторым условием, содержащимся в П_n⁺(V,W), является условие исчерпываемости всех причин, вынуждающих наличие множества свойств таких, что они включаются в V. Это условие выразимо формулой

Y(X(J_(1,n)(X₂Y&(XV))((Y=Y_i))). (2)

Третьим условием, содержащимся в П_n⁺(V,W), является условие, утверждающее, что V не содержит ни отрицательных причин Z, ни Z таких, что J_(0,n)(Z₂U) Z для любого непустого подмножества свойств U множества W.

Это условие выразимо формулой

U((UW)(U))Z((J_(1,n)(Z₂U) J_{(0, n)}(Z₂U))&(ZV)). (3)

П_n(V,W) определяется аналогично с заменой в (1) и (2) J_{(1, n)} на J_(1,n) и с заменой в (3) J_(1,n) на J_(1,n).

Определение предиката П_n⁺(V,W) образовано конъюнкцией условий (1), (2) и (3) и применением кванторов существования к переменным Y₁, …,Y_k: Y₁, …, Y_k((1)&(2)&(3)).

Предикаты П_n⁰(V,W) и П_n(V,W) определяются следующим образом:

П_n⁰(V,W)?X₁Y₁X₂Y₂(J_(1,n)(X₁₂Y₁)& J_(1,n)(X₂₂Y₂)&(Y₁Y₂)&(X₁Y₁)&(X₂ Y₂) & (Y₁ W)&(Y₂W))XY(J_{(0, n)}(X₂Y)) & (XV)(YW)),

П_n(V,W)?П_n⁺(V,W)П_n(V,W) П_n⁰(V,W)

Из определений П_n⁺(V,W), П_n(V,W) и П_n⁰(V,W) следуют утверждения (а) и (в):

(а) VW(П_n⁺(V,W)П_n(V,W)), (в) VW(П_n (V,W)П_n⁰(V,W)), где {+, }.

Аналогично п.п.в.-1 формулируются п.п.в.-2 (правила вывода для аналогии):

(II)⁺ , (II) , (II)⁰ , (II)

Из определений предикатов П_n⁺(V,W), П_n(V,W) и П_n⁰(V,W) следует, что они представляют формализацию выводов по аналогии. В самом деле, П_n(V,W) содержат в качестве подформул формулы J_(,n)(Х₂Y), где {1,1}, а n0. Эти подформулы получены в результате применения п.п.в.-1 (индукции) к БФ (и ее расширениям посредством п.п.в.-2). Но J_(,n)(Х₂Y) является сходством фактов или гипотез J_,i(V_j1W_j), где i n, а потому результат п.п.в.-2, которым является J_{, n}(V₁W) сходен с J_,i(V_j1W_j), что соответствует структуре вывода по аналогии [7].

Рассмотрим теперь строение ДСМ-рассуждений.

1. Шагом ДСМ-рассуждения будем называть однократное применение п.п.в.-1 (индукции) или п.п.в.-2 (аналогии).

2. Тактом ДСМ-рассуждения будем называть упорядоченное последовательное применение п.п.в.-1 и п.п.в.-2 (т.е. двух шагов).

3. Первым Этапом (Этап I) ДСМ-рассуждения будем называть последовательное применение тактов (п.п.в.-1 п.п.в.-2)₁ (п.п.в.-1 п.п.в.-2)₂…(п.п.в.-1 п.п.в.-2)_n1 (п.п.в.-1 п.п.в.-2)_n такое, что множество порожденных гипотез на такте n совпадает с множеством гипотез на такте n1, где n - номер первого такого совпадения. Такт n будем называть тактом стабилизации первого этапа ДСМ-рассуждения.

Таким образом, Этап I осуществляет итерацию тактов «индукция - аналогия» до стабилизации порождения гипотез.

Охарактеризуем теперь применение ДСМ-рассуждений к БФ и начальному состоянию БЗ, содержащей правило вывода Г, аксиомы булевской структуры данных и аксиомы каузальной полноты, являющиеся основанием для принятия гипотез посредством абдукции [7]. Применение п.п.в.-1 к БФ и последующее применение п.п.в.-2 на этапе I порождает расширение - БФ₁, определяемое ниже.

Для характеризации этапа I введем следующие определения:

БФ₀=БФ, БФ=БФ⁺БФБФ,

где БФ={X,Y| J_{, 0}(X₁Y)} {1,1, 0}, а БФ={X,Y | J_{(, 0)}(X₁Y)};

БФ₁⁺={V,W| J_{1, 2}(V₁W)},

БФ₂⁺={V,W| J_{1, 4}(V₁W)},

БФ₃⁺={V,W| J_{1, 6}(V₁W)},

БФ_n⁺={V,W| J_{1, 2n}(V₁W)}.

Аналогично определяются БФ_n и БФ_n⁰, а БФ_n={V,W| J_{(, 2n)}(V₁W)}.

_n=БФ₀(), {1,1, 0, },

_n=_n⁺_nn⁰ _n,

где , i0 - часть базы знаний, порожденная ДСМ-рассуждением за n тактов. Очевидно, что

{V,W| J_{, 2n}(V₁W)}= {V,W| П_2n1(V,W) & J_(,2n1) (V₁W)}, где {+,, 0}; а {V,W| J_{(, 2n)}(V₁W)}= {V,W| П_2n1(V,W)& J_(,2n1) (V₁W)}.

Очевидно, что БФ_n⁺={V,W| П⁺_2n1(V,W)&J_(,2n1) (X₁Y)}.

Таким образом,

БФ₁={V,W| П₁(V,W)&J_(,1) (V₁W)},

БФ₂={V,W| П₃(V,W)&J_(,3) (V₁W)},

БФ₃={V,W| П₅(V,W)&J_(,5) (V₁W)},

БФ_n ={V,W| П_2n1(V,W)&J_(,2n1) (V₁W)}, где {+,, 0, }.

Заметим, что БФ есть база фактов, в которой факты представлены формулами J_{, 0} (C₁Q) и J_(,0)(C₁Q); однако БФ_i , где {1,1, 0, }, i=1, 2, … являются фрагментами базы знаний, так как они порождены ДСМ-рассуждением, включающим на последнем шаге п.п.в.-2.

Другими фрагментами базы знаний являются БЗ_n, порожденные ДСМ-рассуждениями, последним шагом которых являются п.п.в.-1.

БЗ₀={V,W| J_{(, 0)}(V₂W)},

БЗ₁={V,W| J_(,1) (V₂W)},

БЗ₂={V,W| J_(,3) (V₂W)},

БЗ₃={V,W| J_(,5) (V₂W)},

БЗ_n ={V,W| J_(,2n1) (V₂W)},

где {1,1, 0}, n1.

Соответственно,

БЗ_n ={V,W| J_(,2n1) (V₂W)}, где n1.

Очевидно, что БЗ_n ⁺={V,W|М⁺_2n2(V,W)&М_2n2(V,W)& J_(,2n2) (V₂W)}, где n2.

Аналогично определяются БЗ_n для = 1, 0, для М⁺_2n2(V,W)& М_2n2(V,W), М⁺_2n2(V,W)& М_2n2(V,W) и М⁺_2n2(V,W) &М_2n2(V,W), соответственно.

Определим также БЗ_n, _n и _n, где

БЗ_n= БЗ_n⁺ БЗ_n БЗ_n⁰ БЗ_n,

_n=, {1,1, 0, },

_n= БЗ_{0 n}⁺ _{n n}⁰ _n, где n1.

Базисом ДСМ-рассуждения является пара БФ₀, БЗ₀, n- м тактом - пара _n, _n+1, где БЗ₀={V,W| J_{(, 0)}(V₂W)}.

Условием стабилизации (окончанием Этапа I) ДСМ-рассуждения является равенство _n=_n+2.

Определим отношение вложения ? для _m и _m:

_m ?_m+2 ?(⁺_m ⁺_m+2) & (_mm+2) & (_m⁰⁰_m+2) & (_{m+2 m}),

_m?_m+2?(⁺_m⁰_m+2) & ( _m ⁰_m+2) &(_m⁰⁰_m+2)& (_{m+2 m}).

Эти определения выражают уменьшение фактов и гипотез с оценками «неопределенно» в последовательности тактов ДСМ-рассуждений.

Рассмотрим БФ_n , где {+,, 0, }, а n=0,1,….

Тогда каждой паре C,QБФ_n взаимно однозначно соответствует элементарная формула J_{, n} (C₁Q), если {1,1, 0, }, и формула J_(,n)(C₁Q), если =. Множество всех таких формул, соответствующих БФ_n, где {1,1, 0, }, обозначим посредством _n. _n будем называть описанием БФ_n, а _n будем называть описанием _n.

Аналогично посредством _n обозначим множество всех формул, соответствующих БЗ_n. _n будем называть описанием БЗ_n, а _n будем называть описанием _n.

Пары S_n=_n, _n1 и S_n=_n, _n1 будем называть n -м состоянием интеллектуальной системы типа ДСМ. Легко показать, что тактам ДСМ-рассуждения, представимыми посредством состояний ИС S_n и S_n+1 соответствуют пары S_n=_2n1, _2n2 и S_n+1=_2n1, _2n.

Вторым Этапом ДСМ-рассуждения, который осуществляется после достижимости равенства _n=_n+2 (это равносильно _n=_n+2), является абдуктивное принятие гипотез согласно уточненной схеме Ч.С. Пирса [23], представленной в данной статье Принципом Х.

Для ДСМ-метода АПГ будем рассматривать тип (в) предметных областей («миров») W, к которым применяются ИС типа ДСМ. Это означает, что выполняются относительно W условия применимости (), () и ().

Условие () представимо аксиомами каузальной полноты АКП⁽⁺⁾ и АКП⁽⁾.

АКП⁽⁺⁾: XYV₁…V_kW₁…W_k((J_1,0(X₁Y)

n(J_(1,n)(V_i2W_i)(V_iX)(V_i )

(W_i ) (W_i=Y))),

АКП⁽⁾: XYV₁…V_kW₁…W_k((J_1,0(X₁Y)

n(J_(1,n)(V_i2W_i)(V_iX)(V_i )

(W_i ) (W_i=Y))).

В случае, если существуют единственные причины V эффектов W АКП⁽⁺⁾ упрощается:

XYV(J_1,n(X₁Y)n(J_1,nV₂Y) (VX)(V_i ))).

Таким образом, в предметной области W типа (в) в каждом позитивном факте для соответствующего эффекта Y существует причина V. Аналогичное имеет место для отрицательных фактов. Это условие обобщается для случая существования k причин V₁,…,V_k в АКП⁽⁾, где {, }.

В абдуктивной схеме принятия гипотез Ч.С. Пирса имеется отношение объяснения, представленное предикатом «Н объясняет D», где Н - множество гипотез, а D - множество фактов из предметной области W.

Уточним абдуктивную схему Ч.С. Пирса, используя метаязык для ДСМ-рассуждений, содержащий переменные для элементарных формул , , (быть может с нижними индексами) и переменные для множеств элементарных формул вида J_{, n} (C₂Q) и J_{, 0} (C₁Q), ({1,1, 0}, n1), обозначаемые посредством , (быть может с нижними индексами), соответственно.

Определим в метаязыке предикат Е⁺(, ) -« позитивно объясняет » - следующим образом, используя метапредикат «?» графического равенства формул:

Е⁺(, )?nXYV₁…V_kW₁…W_k((? (J_(1,n)(V_i2W_i)(V_iX)(V_i ) (W_i ) (W_i=Y))))&(? J_1,0(X₁Y))).

Аналогично определим Е(, ) - « негативно объясняет ».

В случае существования единственной гипотезы о (+)-причине

Е⁺(, )?nXYV((?J_1,n(V₂Y)) (? J_1,0(X₁Y) (VX) &(V ))).

Далее определим предикат Е(, ) - « объясняет »:

Е(, )? Е⁺(, ) Е(, ).

Пусть и - переменные, областью определения которых являются, соответственно, элементарные формулы J_{, n} (C₂Q) и J_{, 0} (C₁Q), где =1, а n1.

Определим предикаты (,) и (,), где {+, }:

(,)?(()(()E(,))),

(,)?(()(()E(,))), где {+, }.

Имеет место следующее

Утверждение ():

(АКП⁽⁾(,₀)), где {+, }, а ₀ - описание начального состояния базы фактов - БФ₀.

Очевидно, что имеют место утверждения (АКП⁽⁺⁾⁺(_2n1,₀)) и (АКП⁽⁾(_2n1,₀)), если выполняется условие стабилизации ДСМ-рассуждения _n=_n+1. Из этих рассуждений в силу конечности ₀ и определения Этапа I ДСМ-рассуждения следует Утверждение (), а также ((АКП⁽⁺⁾(АКП⁽⁾)(_2n1,₀)), где (_2n1,₀) ?⁺(_2n1,₀)(_2n1,₀).

Уточним теперь схему абдуктивного принятия гипотез (абдукции) Ч.С. Пирса [23] средствами ДСМ-рассуждений.

После стабилизации ДСМ-рассуждений, представленной равенством _n=_n+1, завершается Этап I. В качестве D, H и отношения «Н объясняет D» рассмотрим ₀ (описание БФ₀), _2n12n (множество порожденных гипотез при условии стабилизации), Е(_2n1,₀) (_2n1 объясняют ₀). Обозначим посредством _2n множество гипотез, где _2n=_2n\ ₀(« \ » - операция разности множеств).

Тогда абдуктивная схема Ч.С. Пирса будет представлена следующим образом:

₀ - множество фактов

_2n12n - множество гипотез

(_2n1,₀), _2n1=_2n+1

h((Jh_2n12n)V[Jh]=t),

где h есть (C₁Q) или (C₂Q), а =, 2n1, {1,1, 0} или =(, 2n1), =, 2n или =(, 2n), V - функция оценки Jh, оценка правдоподобия гипотезы (внутренние истинностные значения), t - внешнее истинностное значение «истинно».

Уточненная абдуктивная схема выражает синтез трех познавательных процедур - эмпирической индукции (п.п.в.-1), аналогии (п.п.в.-2) и абдукции (принятие гипотез посредством объяснения БФ₀). Этап II есть применение абдукции.

Отметим, что _2n1 и _2n порождены конструктивно посредством применения п.п.в.-1 и п.п.в.-2 к БФ₀, ее расширениям _n и автоматически порожденным фрагментам базы знаний _n. Истинностное значение гипотез также порождено конструктивно посредством п.п.в.-1 и п.п.в.-2.

Следующие утверждения являются итогом характеризации ДСМ-рассуждений.

1. П.п.в.-1 (индукция) и п.п.в.-2 (аналогия) являются правилами амплиативных выводов.

2. ДСМ-рассуждения содержат средства фальсифицируемости кандидатов в гипотезы (предикаты М_n⁺, М_n и () - гипотезы и (0) - гипотезы).

3. ДСМ-рассуждения являются синтезом индукции, аналогии и абдукции.

4. () - гипотезы о причинах являются аргументами в выводах по аналогии посредством п.п.в.-2.

5. Так как для ДСМ-рассуждений имеют место утверждения А1 - А9, то ДСМ-рассуждения являются КПЭ - рассуждениями. Это означает, что ДСМ-рассуждения являются логическим аппаратом для когнитивного анализа данных в интеллектуальных системах.

Выше были определены шаг, такт и Этапы ДСМ-рассуждения. Определим также процесс ДСМ-рассуждения, являющийся компонентой ДСМ-метода АПГ.

Ранее была охарактеризована часть БФ⁺, обозначаемая посредством ⁺ такая, что все ее факты имеют объяснение. Аналогичное имеет место и для . Используя определение Этапа II ДСМ-рассуждения, определим теперь ⁺ следующим образом:

 ⁺= {X, Y} | V₁…V_k W₁…W_k((J_1,0 (X₁Y) m (J_(1,m)(V_i2W_i) (V_iX) (V_i ) (W_i )(W_i=Y))).

 ⁺ определяется при условии стабилизации ДСМ-рассуждения, что означает выполнимость равенства _m=_m+1, которое равносильно выполнимости равенств БЗ_m= БЗ_m+1, где {1,1, 0}.

Аналогично определим .

Уточним теперь ранее введенные понятия степеней каузальной полноты ⁺ и : =, где {+, }, а и | - числа элементов и , используя введенное выше определение .

Ранее был охарактеризован процесс расширения начальных состояний баз фактов БФ₀?БФ₁?…?БФ_m при назначенных порогах (+) и () - степеней каузальной полноты ⁺ и , соответственно.

Ранее был охарактеризован процесс расширения начальных состояний баз фактов БФ₀?БФ₁?…?БФ_m при назначенных порогах (+) и () - степеней каузальной полноты ⁺ и , соответственно.

Если _m⁺=⁺, _m= и ₀⁺₁⁺…_m⁺, ₀₁…_m, то будем говорить, что процесс ДСМ-рассуждений имеет абдуктивную сходимость; процессом ДСМ-рассуждений будем называть построение последовательности m - ных состояний S_m=_m+1, _m или S_m=_m, _m1 интеллектуальной системы типа ДСМ.

Разумеется, возможны лишь частичные -абдуктивные сходимости только для =+ или = .

Если существуют m и l такие, что _m⁺⁺ и _l , то порожденные гипотезы в заключительном такте ДСМ-рассуждения принимаются на достаточном основании.

Если существует абдуктивная сходимость процесса ДСМ-рассуждений только для БФ_i⁺ (или БФ_i), то будем говорить, что (+) - гипотезы (() - гипотезы) принимаются на квазидостаточном основании, а процесс ДСМ-рассуждения имеет (+) - абдуктивную сходимость (() - абдуктивную сходимость). Таким образом, процесс ДСМ-рассуждений имеет абдуктивную сходимость, если и только если он имеет (+) - и () - абдуктивную сходимость.

Существенно отметить, что расширения БФ_i?БФ_i+2 ({+, }) осуществляются так, что к () - фактам в БФ_i, не имеющих объяснений в БФ_i+1 добавляются новые () - факты такие, что они имеют сходство с этими () - фактами из БФ_i.

Если при всех практически возможных расширениях БФ₀ найдется i такое, что БФ_i⁺?БФ_i+2⁺ и _i+2⁺_i⁺, то будем говорить, что имеет место (+) - абдуктивная расходимость процесса ДСМ-рассуждений. (аналогично определяется () - абдуктивная расходимость).

Процесс ДСМ-рассуждений является практической реализацией Принципа XI (эволюционной эпистемологии решения задач в ИС) и Следствия 1 Принципов I - XI, которое утверждает, что ИС должны быть человеко-машинными системами применимыми к открытым предметным областям.

Если _2n1 и _2n являются описаниями _2n1 и _2n, соответственно, таким, что выполняются:

1. условия стабилизации ДСМ-рассуждения

2. АКП⁽⁺⁾ и АКП⁽⁾, то будем говорить, что ИС типа ДСМ является совершенной.

Так как ДСМ-рассуждения являются правдоподобными рассуждениями, то существенно охарактеризовать процедурную семантику приписывания истинностных значений порождаемым гипотезам Jh, где =, n, n0, а

h=.

Напомним, что - типы внутренних (фактических) истинностных значений, , n - фактические истинностные значения (n0); t, f - внешние (логические) истинностные значения («истинно», «ложно») двузначной логики. Гипотезы Jh являются результатом Этапа I ДСМ-рассуждения. В силу определения J-операторов Jh =, где V[h] - функция оценки.

Однако возникает вопрос оценки гипотез после применения Этапа II: какова оценка Jh, если Jh приняты при выполнимости (,) в абдуктивной схеме Ч.С. Пирса; и если Jh не приняты при невыполнимости (,)? Это означает, что существуют _2n1 и ₀ такие, что (_2n1, ₀) истинное или ложное высказывание метаязыка ДСМ-рассуждений.

В случае истинности АКП⁽⁺⁾АКП⁽⁾ (_2n1, ₀) истинно, так как имеет место ((АКП⁽⁺⁾АКП⁽⁾) (_2n1, ₀)) (аналогичное имеет место для (АКП⁽⁾(_2n1, ₀)), где {+, }).

В случае выполнимости АКП⁽⁺⁾ АКП⁽⁾) степени каузальной полноты =1, где {+, }. Тогда положим, что V[Jh]=t,1, где t,1 - оценка АКП⁽⁾. Соответственно, положим

Jh_{2n1 2n} V[Jh]=t,1, заменив t на t,1.

Рассмотрим далее процесс ДСМ-рассуждений. Пусть имеет место абдуктивная сходимость. Следовательно, существуют m и l такие, что: _m⁺⁺ и _l . Тогда определим функцию оценки такую, что [АКП⁽⁺⁾]=,

[АКП⁽⁾]=.

Соответственно для Jh определим V[Jh] следующим образом:

[J_1,sh]= ,

[J_1,sh]=.

Таким образом, относительно процесса ДСМ-рассуждений осуществим пересмотр истинностных значений t на t, или f,, где - степень каузальной полноты, выражающая абдуктивную сходимость или расходимость.

Рассмотрим ранее определенные ⁺ и , которым соответствуют их описания ⁺ и , а также БФ⁺={X,Y|J_1,0(X₁Y)} и БФ={X,Y|J_1,0(X₁Y)} и соответствующие им =, где {+, } (очевидно, что =.

Пусть 1, где {+, }, тогда имеет место аналог Утверждения ()

Утверждение (). Если [АКП⁽⁾]=t, , то (, ), где {+, }, _2n1, ₀, а - множество тех и только тех гипотез о -причинах, которые объясняют .

В соответствии с Утверждением () абдуктивная схема Ч.С. Пирса может быть уточнена следующим образом:

₀ - множество фактов, _{0 0}

_{2n1 2n} - множество гипотез

_2n1, _2n

(, ₀), _2n1=_2n+1

h((Jh)

(V[Jh]=t, ⁺(V[Jh]=t, )),

где - множество тех и только тех гипотез, которые порождены посредством п.п.в. - 2 (аналогией).

ДСМ-рассуждение (Этапы I и II) могут быть представлены посредством следующей схемы обобщенного немонотонного вывода [40]:

₀: АКП⁽⁺⁾АКП⁽⁾ (_2n1=_2n+1),

_2n12n

где ₀ - посылки (описание БФ₀), _2n12n - множество следствий (гипотез), а АКП⁽⁺⁾АКП⁽⁾ (_2n1=_2n+1) - условие, при выполнимости которого выводимы следствия из _2n12n.

...