Разработка алгоритмов и программ решения уравнения переноса в ядерных реакторах методом поверхностных гармоник

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Российский научный центр «Курчатовский институт»

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Разработка алгоритмов и программ решения уравнения переноса в ядерных реакторах методом поверхностных гармоник

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Бояринов Виктор Федорович

Москва - 2009

Работа выполнена в Институте ядерных реакторов Российского Научного Центра «Курчатовский институт».

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, Краюшкин Александр Викторович

Доктор технических наук Точеный Лев Васильевич

Доктор физико-математических наук, профессор Щукин Николай Васильевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Защита состоится на заседании диссертационного совета Д520.009.06 при РНЦ «Курчатовский институт» по адресу: 123182, Москва, пл. И.В. Курчатова 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор В.Г. Мадеев.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В связи с планируемым ускорением развития ядерной энергетики возрастают требования к ее безопасности, и, следовательно, к точности, надежности и оперативности предсказания поведения ядерных энергетических объектов в различных ситуациях. За последние годы происходило заметное развитие методов, алгоритмов и расчетных кодов для решения уравнения переноса излучения для различных ядерных приложений, связанное в первую очередь с бурным развитием вычислительной техники, с появлением возможности рассчитывать прямыми численными методами задачи большой размерности, например, полномасштабные ядерные энергетические реакторы. Методы решения уравнения переноса излучения можно разделить на следующие группы:

- Метод Монте-Карло.

- Прямые детерминистические методы: метод характеристик, S_N метод, метод вероятностей первых столкновений и др.

- Инженерные методы: как правило, в той или иной форме используют приближение пространственной гомогенизации, диффузионный или нодальный диффузионный метод, сочетание прямых и нодальных диффузионных методов.

Решение уравнения переноса нейтронов во всем объеме современных ядерных реакторов даже на современных компьютерах является достаточно тяжелой задачей. При этом, прямые детерминистические методы, такие как метод характеристик, S_N метод и другие, в принципе, с такой задачей справляются, но, как правило, с весьма значительными вычислительными затратами.

Инженерные подходы, как правило, основываются на том или ином механизме пространственной гомогенизации и дальнейшем решении системы малогрупповых диффузионных уравнений, в том числе и с привлечением нодальных методов. При этом, вычислительные затраты инженерных подходов вполне удовлетворительные. Приемлемая точность расчета достигается за счет настройки инженерных программ на расчеты определенных состояний конкретного аппарата с помощью корректирующих параметров, основанных на результатах более точных расчетов, на результатах экспериментов на сборках и стационарных измерений на реакторах. Однако даже используемые в этих программах поправки не гарантируют корректного описания поведения реактора вдали от этих состояний и при аварийных ситуациях.

Поэтому очень важными являются работы, нацеленные на замену инженерных методов и программ расчета реактора на методы и программы нового поколения, не использующие метод гомогенизации и диффузионное приближение, решающие уравнение переноса во всем объеме реактора непосредственно на основе файлов ядерных данных и при этом имеющие небольшие вычислительные затраты. Данная диссертация делает крупный шаг в этом направлении.

Особое место среди методов решения уравнения переноса занимает метод поверхностных гармоник (МПГ), предложенный проф. Н.И. Лалетиным. Метод поверхностных гармоник занимает промежуточное место между детерминистическими и инженерными методами и обладает достоинствами первых по точности расчета и вторых по вычислительным затратам. Метод поверхностных гармоник является методом решения уравнения переноса нейтронов во всем объеме ядерного реактора и позволяет заменить решение одной задачи большой размерности на решение большого числа задач существенно меньшей размерности и, как следствие, имеет небольшие вычислительные затраты.

Важной особенностью метода поверхностных гармоник является то, что уже в низших приближениях метода достигаются приемлемые для практики точности расчета основных нейтронно-физических функционалов, сравнимые с точностями прямых детерминистических методов, и небольшие вычислительные затраты, сравнимые с вычислительными затратами инженерных методов. Это связано, в первую очередь, с тем, что пробные решения упорядочены по степени их важности, по степени их влияния на основные нейтронно-физические функционалы. В начале 90-х годов, когда начиналась работа над данной диссертацией, уже были заложены основные положения метода поверхностных гармоник: получены основные двумерные и трехмерные конечно-разностные уравнения для разных типов решеток, разработаны программы для расчета симметричных и антисимметричных пробных решений в гетерогенных ячейках.

Однако программная реализация полученных конечно-разностных уравнений метода поверхностных гармоник практически отсутствовала. Поэтому проверка полученных уравнений проводилась с использованием существующих программ решения конечно-разностного группового уравнения диффузии с дополнительными приближениями и только с использованием первых трех пробных решений. Кроме этого, возникала необходимость получения дополнительных конечно-разностных уравнений, в частности, уравнений для конечных по высоте систем и др., а также необходимость разработки алгоритмов реализации этих уравнений как внутри ТВС, так и во всем реакторе. Поэтому актуальной является решение крупной научной проблемы по повышению точности, надежности и оперативности предсказания нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов в различных ситуациях путем разработки эффективных методик и алгоритмов метода поверхностных гармоник.

Цель работы - повышение точности, надежности и оперативности предсказания нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов путем разработки эффективных алгоритмов метода поверхностных гармоник, сочетающих в себе достоинства прямых детерминистических методов по точности расчета и инженерных методов по вычислительным затратам, их программной реализации, верификации и применения для решения нейтронно-физических задач.

Для достижения поставленной цели автор решил следующие задачи:

1. Развитие метода поверхностных гармоник, получение новых конечно-разностных уравнений и разработка алгоритмов для двумерного и трехмерного расчета нейтронно-физических процессов в ядерных реакторах с квадратной и треугольной решетками.

2. Создание программного комплекса SUHAM, реализующего основные двумерные и трехмерные конечно-разностные уравнения метода поверхностных гармоник для реакторов с квадратной и треугольной решетками.

3. Детальная верификация разработанных методик и программного обеспечения, демонстрация применения и эффективности.

4. Разработка и внедрение эффективной уточненной методики подготовки групповых сечений ТВС ГТ-МГР.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

- Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения двумерных групповых конечно-разностных уравнений метода поверхностных гармоник в ядерных реакторах с квадратной и треугольной решетками с разным числом пробных матриц на каждую ячейку.

- Разработаны и программно реализованы алгоритмы метода поверхностных гармоник для расчета пробных матриц в полиячейках реакторов с квадратной решеткой и в ТВС реакторов с треугольной решеткой.

- Получены формулы для трехэтапного расчета двумерного реактора с шестигранными ТВС методом поверхностных гармоник, а также формулы расчета локальных нейтронно-физических функционалов.

- Получены новые трехмерные конечно-разностные уравнения метода поверхностных гармоник.

- Создан комплекс программ SUHAM для решения нейтронно-физических задач в ядерных реакторах, реализующий конечно-разностные уравнения МПГ, описанные в диссертации. Проведены:

Ш детальная верификация комплекса SUHAM на большом числе бенчмарков;

Ш исследование эффекта пространственной гомогенизации ячеек;

Ш исследование влияния высших пространственных гармоник на точность расчета;

Ш применение комплекса SUHAM для исследования методической составляющей неопределенности расчета весов стержней СУЗ в активной зоне реактора БРЕСТ-ОД-300;

- Разработана и внедрена в практику расчетов ГТ-МГР в РНЦ КИ и ОКБМ эффективная уточненная методика подготовки групповых сечений ТВС ГТ-МГР.

Достоверность и обоснованность уравнений, формул, алгоритмов и комплекса программ SUHAM подтверждена большим объемом верификационного материала для ядерных реакторов разных типов.

Практическая ценность полученных результатов определяется, во-первых, тем, что уравнения, формулы и алгоритмы ориентированы на любые типы реакторов, которые характеризуются регулярной решеткой того или иного типа, и, во-вторых, тем, что практически все уравнения и формулы программно реализованы (комплекс SUHAM) и верифицированы.

Проведено исследование эффекта пространственной гомогенизации ячеек.

Показана важность учета гетерогенных эффектов при расчете весов стержней СУЗ в активной зоне реактора БРЕСТ-ОД-300.

Разработанная поэтапная уточненная методика подготовки групповых сечений ТВС ГТ-МГР внедрена в практику расчетов ГТ-МГР в РНЦ КИ и ОКБМ. Использование разработанной методики позволило снизить погрешность расчета критичности ТВС ГТ-МГР до 1 %.

Апробация работы

Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Семинары по проблемам физики реакторов (МИФИ, СОЛ “ВОЛГА”, 1995, 2002, 2004, 2006, 2008);

- Семинары по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики “НЕЙТРОНИКА” (г. Обнинск, 1999, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008);

- Международные конференции по математическим методам и расчетам ядерных реакторов M&C (Саратога, США, 1997; Мадрид, Испания, 1999; Гатлинбург, США, 2003; Авиньон, Франция, 2005; Монтерей, США, 2007; Саратога, США, 2009);

- Международные конференции по физике ядерных реакторов “PHYSOR” (Марсель, Франция, 1990; Сеул, Корея, 2002; Ванкувер, Канада, 2006; Интерлэйкен, Швейцария, 2008);

- Международные конференции по ядерным технологиям, Kerntechnik (Карлсруе, Германия, 1999; Бон, Германия, 2000);

- 2^й международный тематический семинар по технологии ВТГР, INET (Пекин, Китай, 2004).

- Международные семинары OECD/NEA по анализу расчетной неопределенности при моделировании реакторов (Пиза, Италия, 2006; Гарчинг, Германия, 2008).

- 3^й международный семинар OECD/NEA по реакторным системам (Париж, Франция, 2006).

Отдельные части представленной работы отмечены премией ИАЭ им. И.В. Курчатова за лучшую научную работу в 1997 г.

Публикации

По результатам исследований опубликовано 55 работ, в том числе 15 в ведущих рецензируемых научных журналах.

Личный вклад автора

Все основные результаты диссертации получены лично автором.

Автору диссертации принадлежат:

- Программно реализованные и верифицированные алгоритмы решения двумерных групповых конечно-разностных уравнений метода поверхностных гармоник в ядерных реакторах с квадратной и треугольной решетками с разным числом пробных матриц на каждую ячейку.

- Алгоритмы метода поверхностных гармоник для расчета пробных матриц в полиячейках реакторов с квадратной решеткой и в ТВС реакторов с треугольной решеткой.

- Формулы и программно реализованные алгоритмы расчета локальных нейтронно-физических функционалов при трехэтапном расчете двумерного реактора с шестигранными ТВС.

- Новые трехмерные конечно-разностные уравнения метода поверхностных гармоник.

- Комплекс программ SUHAM для решения нейтронно-физических задач в ядерных реакторах и его верификация; комплекс SUHAM-U создан в рамках проекта МНТЦ под руководством и непосредственном участии автора.

- Исследование эффекта пространственной гомогенизации ячеек, а также влияния высших пространственных гармоник на точность расчета.

- Применение комплекса SUHAM для исследования методической составляющей неопределенности расчета весов стержней СУЗ в активной зоне реактора БРЕСТ-ОД-300.

- Поэтапная уточненная методика подготовки групповых сечений ТВС ГТ-МГР и ее верификация.

Основные положения, выносимые на защиту

- Программно реализованные и верифицированные алгоритмы решения двумерных групповых конечно-разностных уравнений метода поверхностных гармоник в ядерных реакторах с квадратной и треугольной решетками с разным числом пробных матриц на каждую ячейку.

- Алгоритмы метода поверхностных гармоник для расчета пробных матриц в полиячейках реакторов с квадратной решеткой и в ТВС реакторов с треугольной решеткой.

- Формулы и программно реализованные алгоритмы расчета локальных нейтронно-физических функционалов при трехэтапном расчете двумерного реактора с шестигранными ТВС и их верификация.

- Новые трехмерные конечно-разностные уравнения метода поверхностных гармоник.

- Комплекс программ SUHAM для решения нейтронно-физических задач в ядерных реакторах и его верификация.

- Исследование эффекта пространственной гомогенизации ячеек, а также влияния высших пространственных гармоник на точность расчета.

- Поэтапная уточненная методика подготовки групповых сечений ТВС ГТ-МГР и ее верификация.

Структура и объем работы

Диссертационная работа изложена на 265 страницах текста, включая 52 рисунка, 67 таблиц, состоит из введения, четырех глав, заключения, 5 приложений и списка литературы из 123 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель, изложены научная новизна, практическая ценность, достоверность полученных результатов, личный вклад автора, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена двумерным уравнениям и алгоритмам метода поверхностных гармоник, реализованным в комплексе программ SUHAM.

Приведено новое изложение основ метода поверхностных гармоник, которое не меняет их сути, но, по мнению автора, более простое для понимания. Новое изложение основано на следующих положениях.

Если считать известными реальные граничные условия, которые реализуются в ядерном реакторе на границах всех ячеек, то расчет реактора сводится к отдельным расчетам всех ячеек с заданными граничными условиями. При этом решение одной задачи большой размерности сводится к решению большого числа задач существенно меньшей размерности. Граничное условие на внешней границе отдельной ячейки можно представить в виде линейной комбинации известных линейно-независимых граничных условий с неизвестными коэффициентами, а именно, в виде.

где - неизвестные групповые амплитуды;

- векторы неизвестных групповых амплитуд.

- система групповых векторов, определяющих модельные граничные условия;

Векторы распределены по границе ячейки по одной из координатных функций (см. рисунки 1 и 2). По энергетическим группам - это система единичных векторов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рисунок 1 - Схема втекания токов, соответствующая первым восьми координатным функциям для ячейки с квадратной границей

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рисунок 2 - Схема втекания токов, соответствующая первым шести координатным функциям для ячейки с гексагональной границей

В соответствии с этим представлением общее решение уравнения переноса в ячейке (или ТВС) можно представить в виде линейной комбинации пробных групповых решений с теми же коэффициентами.

Здесь - решение группового уравнения переноса нейтронов в ячейке (пробный групповой вектор) с граничным условием, определяемым вектором . Пробная матрица состоит из G пробных векторов , g=1, 2,…,G.

Далее в первой главе приведена полученная автором система двумерных конечно-разностных уравнений МПГ для квадратной решетки с восемью пробными матрицами на каждую ячейку в том виде, в котором она реализована в комплексе SUHAM (подробный вывод приведен в Приложении 1 к диссертации).

,

Здесь - неизвестные групповые векторы (являются функционалами исходных неизвестных векторов ), связанные с разным законом втекания нейтронов в k-ю ячейку; - разные конечно-разностные операторы.

Конечно-разностные уравнения для меньшего числа пробных матриц являются частными случаями полученной системы. Для полученных конечно-разностных уравнений автором расписаны следующие граничные условия:

- граничное условие нулевых токов или потоков;

- альбедное граничное условие;

- периодическое граничное условие;

- неоднородные граничные условия заданных граничных токов или потоков.

Все перечисленные конечно-разностные уравнения с разным числом пробных матриц и с разными граничными условиями реализованы автором в комплексе программ SUHAM.

Далее в первой главе приведены реализованные автором в комплексе программ SUHAM двумерные конечно-разностные уравнения МПГ для треугольной решетки с шестью пробными матрицами на каждую ячейку и соответствующие граничные условия.

Конечно-разностные уравнения для меньшего числа пробных матриц являются частными случаями приведенной системы.

В Приложениях 2 и 3 к диссертации кратко описаны используемые автором алгоритмы решения конечно-разностных уравнений МПГ соответственно для квадратной и треугольной решеток, реализованные в комплексе программ SUHAM. Отметим здесь основные этапы реализованных алгоритмов при решении задачи на собственное значение:

§ выделение члена, ответственного за появление нейтронов за счет деления;

§ организация итераций по источнику деления;

§ организация итераций по высшим гармоникам;

§ организация итераций, связанных с зависимостью коэффициентов конечно-разностных уравнений от искомого собственного значения - сверхвнешние итерации.

Описаны уравнения и разработанные автором алгоритмы метода поверхностных гармоник для расчета пробных матриц в полиячейках реакторов с квадратной решеткой и в ТВС реактора с треугольной решеткой. При этом расчетная гексагональная область (ТВС, кассета) заменяется решеткой из гексагональных ячеек с сохранением объема рассчитываемой области. Для задания тока нейтронов на граничных гранях граничных ячеек переопределены координатные функции из условия сохранения втекающего тока на каждой грани ТВС.

Описан разработанный автором алгоритм трехэтапного расчета двумерного реактора с шестигранными ТВС. Трехэтапный расчет позволяет более полно использовать преимущества метода поверхностных гармоник, еще более понижая размерность решаемых задач.

Групповая функция распределения нейтронов в реакторе представляется в виде суперпозиции пробных матриц в ТВС

В свою очередь пробные матрицы в ТВС представляются в виде суперпозиции пробных матриц в ячейках

В результате распределение нейтронов в реакторе представляется в виде

Здесь - пробные матрицы в ячейках. Элементы матриц получаются в процессе расчета пробных матриц в ТВС, элементы векторов получаются в процессе решения крупно-сеточных уравнений.

Получены формулы расчета локальных функционалов после трехэтапного расчета зоны с разным числом пробных матриц на ТВС. В качестве примера ниже приведена формула для интегрального по объёму ячейки группового вектора реакции типа `x' в k-й ячейке i-й ТВС с учетом трех пробных матриц для ячеек и шести пробных матриц для ТВС.

Вторая глава посвящена получению новых трехмерных конечно-разностных уравнений МПГ.

Полученные ранее в основополагающих работах по МПГ трехмерные конечно-разностные уравнения ориентировались на получение основного уравнения, учитывающего перетечки нейтронов по всем направлениям и дополнительных уравнений, дающих поправки к основному уравнению. Такая форма основного уравнения наиболее близка к обычному конечно-разностному виду уравнения диффузии, которое широко используется в инженерных программах. Автор получил и предлагает для дальнейшей реализации другую систему трехмерных конечно-разностных уравнений с двумя продольными и разным числом поперечных пробных матриц на каждую ячейку (от 3-х до 8-и) и рекомендует решать ее как систему связанных двумерных и одномерных уравнений с источниками. Ниже приведена система трехмерных конечно-разностных уравнений с тремя поперечными и двумя продольными матрицами на каждую ячейку

Новизна этих уравнений заключается в том, что все отличия уравнений этой системы соответственно от двумерного и одномерного уравнений находятся в источниках связи и , а также в используемых переменных. При этом члены источников и описывают соответственно поперечную и продольную утечку из ячейки.

Уравнения метода поверхностных гармоник для конечных по высоте систем

Автором рассмотрены конечные по высоте решетки с граничными условиями равенства нулю потоков нейтронов на экстраполированных границах. В качестве исходных уравнений использовались трехмерные конечно-разностные уравнения с тремя поперечными и двумя продольными пробными матрицами на каждую ячейку. Предполагалось, что неизвестный вектор распределен по оси Z следующим образом:

Для нумерации ячеек здесь использовался двойной индекс `ij', z_j - координата j-го слоя ячеек и z_j=0 для центрального слоя; B_z - известный высотный баклинг.

В результате проведенных преобразований получено следующее конечно-разностное уравнение

Где

Дополнительно получены формулы для нейтронно-физических функционалов для таких систем.

Приведенные формулы для матрицы эффективных сечений и вектора реакции были автором программно реализованы. Проверка полученных уравнений и оценка получаемого уточнения проведена на расчетах конечных по высоте сборок РБМК и однородных критических сборок TRX-1, TRX-2, TRX-3, BAPL-1, BAPL-2, BAPL-3. Проведено два типа расчетов. Первый тип - это расчет по двумерным конечно-разностным уравнениям МПГ, в которых высотная утечка учитывалась простым добавлением к матрице эффективных сечений члена . Второй тип - это уточненный расчет по полученным уравнениям. Максимальное отличие в k_эфф сборок РБМК в этих двух расчетах достигало 0,06 %, а для однородных критических сборок отличие в k_эфф в этих двух расчетах колебалось от -0,5 % до 0,2 %.

Трехмерные уравнения метода поверхностных гармоник с одной неизвестной на одну ячейку и одну энергетическую группу

С помощью определенных преобразований трехмерных конечно-разностных уравнений с тремя поперечными и двумя продольными пробными матрицами на каждую ячейку и некоторых приближений автором получено трехмерное конечно-разностное уравнение МПГ с одной неизвестной на одну ячейку и одну энергетическую группу в виде:

Полученное уравнение по внешнему виду совпадает с конечно-разностном аналогом диффузионного уравнения и является самым простым трехмерным конечно-разностным уравнением МПГ. Следует отметить, что это уравнение учитывает все поперечные поправки, которые учитываются в двумерном конечно-разностном уравнении МПГ с тремя пробными матрицами на каждую ячейку. Кроме этого, в нем учтены перетечки нейтронов вдоль оси Z. Полученное уравнение реализовано в комплексе программ SUHAM. Представленные в третьей главе верификационные расчеты с использованием этого уравнения показали достаточно высокую точность, несмотря на имеющиеся приближения.

Третья глава посвящена описанию разработанного автором комплекса программ SUHAM для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов, его верификации и применению.

Комплекс программ SUHAM предназначен для реализации конечно-разностных уравнений метода поверхностных гармоник, для расчета нейтронно-физических процессов в ядерных реакторах с треугольной и квадратной решетками блоков (ТВС). Комплекс SUHAM состоит из двух самостоятельных комплексов - SUHAM-W и SUHAM-U. Комплекс SUHAM-W работает в связке с модулями программы WIMS-SH, отвечающими за подготовку групповых сечений изотопов и материалов и эффективных сечений ячеек для двумерных конечно-разностных уравнений МПГ. Комплекс SUHAM-U работает в связке с модулями программы UNK, отвечающими за подготовку групповых сечений изотопов и материалов и решение уравнений изотопной кинетики. Модули комплекса SUHAM, реализующие конечно-разностные уравнения МПГ, применяются для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов во всем объеме активной зоны реактора методом поверхностных гармоник.

Перечислим основные возможности комплекса SUHAM-W по решению двумерных конечно-разностных уравнений МПГ (программа SUHAM-2.5).

Решение уравнений традиционного метода гомогенизации (групповых уравнений диффузии):

Ш с нулевыми токами или потоками на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе;

Ш с заданными альбедо на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе;

Ш с периодическими граничными условиями в квадратной решетке;

Ш с заданными групповыми токами на каждой внешней грани рассчитываемого объекта (амплитуды токов на разных гранях могут быть разными).

Решение сопряженных уравнений традиционного метода гомогенизации (сопряженного уравнения диффузии) с нулевыми токами на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе.

Решение уравнений МПГ с разным числом пробных матриц (от 3 до 8 для квадратной решетки и от 3 до 6 для треугольной решетки):

Ш с нулевыми токами или потоками на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе;

Ш с заданными альбедо на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе;

Ш с периодическими граничными условиями в квадратной решетке.

Решение уравнений МПГ с тремя пробными матрицами с заданными групповыми токами на каждой внешней грани рассчитываемого объекта (амплитуды токов на разных гранях могут быть разными).

Решение сопряженных уравнений метода поверхностных гармоник с тремя пробными матрицами с нулевыми токами на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе.

Подготовка традиционных групповых характеристик ТВС (полиячеек):

Ш на основе традиционных характеристик ячеек при использовании решения традиционных уравнений метода гомогенизации с нулевыми токами на внешней границе ТВС;

Ш на основе эффективных характеристик ячеек при использовании решения уравнений метода поверхностных гармоник с тремя пробными матрицами с нулевыми токами на внешней границе ТВС.

Подготовка эффективных групповых характеристик ТВС (полиячеек) для крупно-сеточных уравнений МПГ с разным числом пробных матриц:

Ш на основе традиционных характеристик ячеек. При этом используются решения уравнения традиционного метода гомогенизации с разными граничными условиями;

Ш на основе эффективных характеристик ячеек. При этом используются решения уравнения МПГ с тремя пробными матрицами с разными граничными условиями.

Комплекс SUHAM-W использует в качестве библиотеки ядерных данных библиотеку программы WIMS-D. Комплекс SUHAM-U использует в качестве библиотеки ядерных данных библиотеку программы UNK, которая представляет собой современную микрогрупповую (порядка 7000 микрогрупп) библиотеку сечений, основанную на современных файлах ядерных данных ENDF-B, JEFF, JENDL. Использование модулей программы UNK позволило готовить блокированные резонансные сечения в микрогрупповых расчетах без использования теоремы эквивалентности, а также проводить расчеты выгорания изотопов с использованием реальных спектров в каждой выгорающей зоне, полученных из полномасштабного расчета объекта по комплексу SUHAM. Разработка программного комплекса SUHAM-U проводилась в рамках проекта МНТЦ под руководством и непосредственном участии автора.

Разработка комплекса SUHAM-U проводилась следующим образом:

§ Из программы WIMS-SH были выделены модули, связанные с расчетом пробных матриц в ячейках.

§ Программа SUHAM-2.5, построенная как единая программа, была структурно переработана, в результате чего были получены отдельные модули, связанные с расчетом пробных матриц в ТВС и с решением конечно-разностных уравнений МПГ как внутри ТВС и небольших сборок с одной точкой на ячейку, так и крупно-сеточных уравнений МПГ с одной точкой на ТВС.

§ Различные пути расчета построены с помощью управляющих командных файлов, при этом, возможен как расчет всего реактора, начиная от подготовки групповых сечений материалов и кончая решением конечно-разностных уравнений во всем объёме реактора с помощью единого управляющего файла, так и расчет каждого этапа по отдельному управляющему файлу. Последнее особенно удобно на этапе отладки, а также для поиска различных ошибок в задании начальных данных, что очень существенно для расчета больших объектов.

На рисунке 3 представлена общая структура комплекса программ SUHAM.

Схема комплекса, представленная на рисунке 3, означает, что комплекс состоит из трех не связанных комплексов:

1. Комплекс SUHAM-W состоит из двух программ - WIMS-SH и SUHAM-2.5. Обоюдная стрелка означает, что обмен информацией между программами WIMS-SH и SUHAM-2.5 происходит через внешние носители в полуавтоматическом режиме.

2. Программа SUHAM-0 не привязана ни к какой библиотеке и считывает групповые сечения материалов с внешнего носителя. Фактически это переработанная программа SUHAM-2.5.

3. Комплекс SUHAM-U объединяет программу SUHAM-0 и модули комплекса UNK, отвечающие за подготовку групповых микроскопических сечений изотопов и макроскопических сечений материалов, а также за решение уравнений изотопной кинетики.

Рисунок 3 - Общая структура комплекса программ SUHAM

Более подробно остановимся на структуре комплекса SUHAM-U. В настоящее время комплекс SUHAM-U существует в двух вариантах (их объединяет общая библиотека и частичное использование одинаковых модулей): вариант SUHAM-U-2D предназначен для решения двумерных нейтронно-физических задач, а вариант SUHAM-U-3D - для решения трехмерных нейтронно-физических задач.

В комплексе SUHAM-U-3D в настоящее время реализованы трехмерные конечно-разностные уравнения МПГ с тремя поперечными и двумя продольными пробными матрицами на каждую ячейку для реакторов с квадратной решеткой блоков. Верификация комплекса SUHAM-U-3D проведена на трехмерном международном бенчмарке C5G7.

Комплекс SUHAM-U-2D организован в виде отдельных путей расчета, которые построены с помощью управляющих файлов. Следующие основные возможности (пути расчета) комплекса SUHAM-U-2D реализованы в настоящее время:

Двухэтапный расчет ТВС, сборок с квадратной решеткой. Решение группового уравнения переноса проводится методом ПГ с разным числом пробных матриц от 3-х до 8-и с граничными условиями нулевых токов или потоков на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе.

Двухэтапный расчет ТВС, сборок с треугольной решеткой. Решение группового уравнения переноса проводится методом ПГ с разным числом пробных матриц от 3-х до 6-и с граничными условиями нулевых токов или потоков на каждой внешней грани рассчитываемого объекта в каждой энергетической группе.

Подготовка традиционных групповых характеристик ТВС (полиячеек) на основе эффективных МПГ-характеристик ячеек при использовании решения уравнений метода ПГ с тремя пробными матрицами для квадратной и треугольной решеток с нулевыми токами на внешней границе ТВС.

Подготовка эффективных групповых МПГ-характеристик ТВС (полиячеек) для квадратной и треугольной решеток:

Ш на основе традиционных характеристик ячеек (конечно-разностное групповое уравнение диффузии) для крупно-сеточных уравнений МПГ с разным числом пробных матриц;

Ш на основе эффективных МПГ-характеристик ячеек для крупно-сеточных уравнений МПГ с разным числом пробных матриц.

Трехэтапный расчет двумерной зоны реактора с шестигранными ТВС. При расчете ТВС решается двумерное групповое конечно-разностное уравнение МПГ с тремя пробными матрицами на каждую ячейку. При крупно-сеточном расчете активной зоны решаются двумерные конечно-разностные уравнения МПГ с 3, 4, 5 или 6 пробными матрицами на каждую ТВС. Реализованы формулы расчета локальных функционалов при расчетах с разным числом пробных матриц на каждую ТВС.

Расчет выгорания ТВС ВВЭР-1000. При решении группового уравнения переноса нейтронов используются модули комплекса SUHAM-U, реализующие двумерное групповое конечно-разностное уравнение МПГ с тремя пробными матрицами на каждую ячейку.

При организации комплекса SUHAM предусмотрены специальные файлы, предназначенные для хранения промежуточной информации: пробных матриц ячеек для каждой ТВС; пробных матриц ТВС; матриц реакций в ячейках для каждой ТВС; матриц уровней нейтронов для каждой пробной матрицы в ТВС и др.

Верификация комплекса SUHAM проводилась на следующих объектах:

· ТВС PWR;

· ТВС ВВЭР-1000 с урановым и MOX топливом, включая расчет выгорания - ~ 100 вариантов;

· Двумерный и трехмерный международные расчетные бенчмарки сборки PWR (C5G7);

· Международный экспериментальный бенчмарк на сборке PWR VENUS-2;

· Полномасштабная двумерная зона ВВЭР

· Полиячейки и модельные сборки РБМК

· Двумерная зона БРЕСТ-ОД-300

Конфигурации рассчитанных бенчмарков представлены на рисунках 4 - 12.

Рисунок 4 - Конфигурация ТВС PWR (1/8 часть)

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рисунок 5 - Отдельные конфигурации ТВС ВВЭР-1000

Рисунок 6 - 2D/3D международный расчетный бенчмарк сборки PWR (C5G7)

Рисунок 7 - Полиячейки РБМК

Рисунок 8 - Активная зона ВВЭР-1000

	2			4			2
	3			1			3
	2			4			2

Рисунок 9 - Модельные сборки РБМК с разными граничными условиями - 11 вариантов

Рисунок 10 - Вид сборки VENUS-2 в плоскости X-Y

Рисунок 11 - Конфигурация зоны ВВЭР с 30 % загрузкой MOX топлива

Рисунок 12 - Двумерная модель реактора БРЕСТ-ОД

Сравнение проводилось как с экспериментальными результатами (сборка VENUS-2), так и c результатами расчетов по программам KENO, MCU, MCNP, UNK, RECOL, APOLLO-2, TVS-M, CONKEMO, CASMO-4, DIF3D и VENTURE.

На рисунке 13 представлены обобщенные результаты сравнения расчета критичности по комплексу SUHAM c результатами расчета по вышеперечисленным программам (всего 228 сравнений). По оси X - номер сравнения, по оси Y - отличие в % от результата с которым проводится сравнение.

Рисунок 13 - Сравнение расчетов критичности по комплексу SUHAM с результатами расчетов по другим программам (228 сравнений)

Видно, что все отличия, в основном, лежат в пределах 0,5 %.

В таблице 1 приведены обобщенные результаты сравнения критичности и энерговыделения для различных объектов.

Таблица 1. Обобщенные результаты сравнения критичности и энерговыделения

	keff, %	Emax, %	RMS(E) , %
ТВС PWR	0,4 - 0,7	4,4	< 1,0
ТВС ВВЭР-1000	-0,4 - 0,5	2,5	< 1,0
2D C5G7 (PWR)	0,02	4,3	1,5
3D C5G7 (PWR)	0,12	2,9	1,0
VENUS-2 (PWR)	-0,5	6,5	2,5
Зона ВВЭР	0,3	4,7	1,6

Особое внимание следует обратить на результаты сравнения для двумерной и трехмерной сборки PWR C5G7. Дело в том, что в этом бенчмарке заданы семигрупповые сечения всех материалов и, поэтому отсутствует константная составляющая погрешности расчета. Цифры, представленные в таблице для этого бенчмарка, можно принимать как оценку методической составляющей погрешности расчета по комплексу SUHAM (сравнение проводилось с результатами расчета по программе MCNP). Отметим также, что для экспериментального бенчмарка PWR VENUS-2, программы MCNP, MCU и др. дают максимальные отличия в локальном энерговыделении в твэлах от 7 % и выше.

Дополнительно для ТВС ВВЭР-1000 проводились многочисленные сравнения других функционалов: эффектов реактивности, весов поглотителей из B₄C с естественным и обогащенным бором, весов U-Gd-х стержней. Из результатов этих сравнений оценены предельные погрешности программы SUHAM при расчете этих функционалов:

· вес бора в воде - до 1,2 %;

· эффект Доплера - до 6 %;

· полный температурный эффект - до 9 %;

· вес поглотителей из B₄C - до 2,2 %;

· Вес U-Gd стержней - до 5%.

Эффект гомогенизации ячеек

В процессе верификации комплекса SUHAM исследовался эффект гомогенизации ячеек при расчете ТВС PWR и ВВЭР-1000, т.е. разница между результатами расчетов с использованием и без использования гомогенизации ячеек. Это исследование интересно тем, что дот сих пор гомогенизация ячеек используется в большинстве инженерных программ.

На рисунках 14 и 15 представлен эффект гомогенизации ячеек в локальном поглощении для ТВС PWR и ВВЭР-1000 - типичное пространственное распределение отклонений локальных поглощений, полученных с использованием гомогенизации ячеек, от локальных поглощений без гомогенизации ячеек.

Рисунок 14 - Эффект гомогенизации ячеек в локальном поглощений для ТВС PWR

Рисунок 15 - Эффект гомогенизации ячеек в локальном поглощении для ТВС ВВЭР-1000

Видно, что максимальные ошибки (пики), возникающие в результате гомогенизации ячеек, наблюдаются в местах расположения неоднородностей: в выгорающих поглотителях (ТВС PWR) и уран-гадолиниевых стержнях (ТВС ВВЭР).

Эффект гомогенизации ячеек достигает:

для ТВС PWR - до 0,5 % в k_эфф, до 7,4 % в поглощении в ячейках с выгорающим поглотителем и до 3 % в локальном энерговыделении;

для ТВС ВВЭР-1000 - до 1 % в k_эфф, до 26 % в локальном энерговыделении и до 11,6 % в локальном поглощении.

Вывод: гомогенизация ячеек, которая используется в инженерных программах, приводит к значительным погрешностям.

Влияние высших пространственных гармоник на точность расчета

В процессе верификации исследовалось влияние высших пространственных гармоник - разность между результатами расчетов с максимально возможным числом пробных матриц (8 для квадратной решетки и 6 для треугольной решетки) и с тремя пробными матрицами на ячейку (ТВС) - на точность расчета как ТВС PWR и ВВЭР-1000 (мелко-сеточные расчеты), так и полиячеек РБМК и двумерной зоны ВВЭР-1000 (крупно-сеточные расчеты).

Для мелко-сеточных расчетов получились следующие отличия:

· для ТВС PWR: 0,13 % в k_эфф и 3 % в локальном энерговыделении и поглощении, при этом среднее по всем твэлам отклонение по модулю в энерговыделении не превышает 1 %;

· для двумерного международного расчетного бенчмарка сборки PWR (С5G7): 0,05 % в k_эфф, 1 % - максимальное отличие в энерговыделении в твэле, 0,4 % - среднеквадратическое отличие в энерговыделении в твэле;

· для ТВС ВВЭР-1000: заметное влияние проявляется только для одной ТВС с MOX и уран-гадолиниевым топливом и достигает 0,2 % в k_эфф, и 2 % в энерговыделении (максимальное отличие).

Видно, что влияние высших гармоник в мелко-сеточных расчетах небольшое. Вывод: такие объекты, как ТВС PWR и ВВЭР-1000, а также сборки PWR можно рассчитывать по уравнениям МПГ с тремя пробными матрицами на ячейку.

Для крупно-сеточных расчетов получились следующие отличия:

· для полиячеек РБМК отличия превышают 2 % в k_эфф и 4 % в энерговыделении;

· для сборок и двумерной зоны ВВЭР-1000 отличия достигают до 0,4 % в k_эфф, превышают 20 % в энерговыделении в ТВС и 7,5 % в энерговыделении в твэлах.

Видно, что влияние высших гармоник в крупно-сеточных расчетах довольно значительное. Вывод: такие объекты как полиячейки и сборки РБМК необходимо рассчитывать по уравнениям МПГ с восемью пробными матрицами на ячейку, а сборки и двумерную зону ВВЭР-1000 - с шестью пробными матрицами на ТВС.

Нодальные возможности комплекса SUHAM

Когда комплекс SUHAM применяется для решения диффузионного уравнения для объектов, состоящих из гомогенных ячеек или ТВС, он работает, как хорошая нодальная программа. Автором продемонстрированы нодальные возможности комплекса SUHAM при расчете двумерных бенчмарк-задач для типичных ядерных реакторов с квадратной и треугольной решетками. Конфигурации рассчитанных сборок представлены на рисунках 7 и 8. Для полиячеек РБМК использовалось граничное условие периодичности, а для сборки ВВЭР-1000 - альбедное граничное условие (два варианта). В 7 вариантах полиячеек РБМК (44) использовалось 4 варианта гомогенных ячеек (соответствуют рабочей ячейке РБМК со свежим топливом с обогащением топлива 2 %, ячейке с поглотителем СУЗ, ячейке с вытеснителем СУЗ и ячейке со свежим дополнительным поглотителем) с заданными двухгрупповыми диффузионными константами. Двумерная сборка ВВЭР-1000 состояла из 5-и типов гомогенных ТВС с заданными двухгрупповыми диффузионными константами.

В качестве ссылочных результатов были использованы: для полиячеек РБМК - мелко-сеточные расчеты по программе SUHAM; для двумерной зоны ВВЭР-1000 - экстраполированные результаты расчета по программе DIF3D-FD.

Результаты расчетов по программе SUHAM с максимальным числом пробных матриц на каждую ячейку близки к ссылочным значениям:

§ для полиячеек РБМК отличия достигают 0,1 % в k_эфф и 0,35 % в энерговыделении;

§ для сборки ВВЭР-1000 - 0,05 % в k_эфф и 5 % в энерговыделении, при этом среднеквадратическое отклонение в энерговыделении меньше 1 %;

Вычислительные затраты

По программе SUHAM автором проведены двухэтапный (ячейки - сборка) и трехэтапный (ячейки - полиячейки - сборка) расчеты 11 модельных сборок РБМК с разными граничными условиями (см. рисунок 9). Каждая из этих сборок представляет собой решетку из 81 ячеек (99) и, в то же время, может быть представлена в виде решетки из 9 полиячеек (33). При трехэтапном расчете размерность решаемых задач заметно ниже, но число решаемых задач заметно больше.

Показано, что вычислительные затраты в трехэтапном расчете в 2,5- 5 раз меньше времени двухэтапного расчета. Это является численной демонстрацией преимущества МПГ в вычислительных затратах за счет уменьшения размерности решаемых задач. Выигрыш в вычислительных затратах будет увеличиваться с увеличением размерности решаемой задачи.

Проведено сравнение вычислительных затрат для двумерного и трехмерного бенчмарков C5G7. Эти бенчмарки интересны тем, что в них отсутствуют вычислительные затраты на подготовку групповых сечений. Сравнение проводилось с вычислительными затратами по программам, использующим детерминистические методы. Сравнение показало, что вычислительные затраты по программе SUHAM для двумерного бенчмарка более, чем на порядок меньше вычислительных затрат по программам, использующим метод характеристик и метод вероятностей первых столкновений, а для трехмерного бенчмарка - в разы меньше затрат по программам, использующим метод характеристик и метод дискретных ординат.

Применение комплекса SUHAM для исследования методической составляющей неопределенности расчета весов стержней СУЗ в активной зоне реактора БРЕСТ-ОД-300

Обычно при расчетах реакторов типа БРЕСТ (см. рисунок 12) используются следующие приближения:

простейшая гомогенизация ТВС, а именно, в каждой кассете все материалы перемешиваются с весом только их объемов;

диффузионное приближение.

В диссертации автором использованы возможности программы SUHAM для исследования упомянутых выше и других приближений расчета на двумерных расчетах весов кластеров СУЗ. Особое внимание уделено учету гетерогенных эффектов внутри ТВС (рисунок 16) и кластеров СУЗ (рисунок 17).

Рисунок 16 - Сечение ТВС реактора БРЕСТ-ОД-300

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рисунок 17 - Схема сечения кластера СУЗ реактора БРЕСТ-ОД-300

Из анализа результатов расчетов можно сделать следующие выводы.

· Как элементарная гомогенизация кассет, так и гомогенизация кассет с весом потоков приводят к значительным ошибкам как в k_эфф (до 1 %), так и в весах групп кластеров СУЗ (до 22 %).

· Использование гетерогенных моделей кассет без использования их дальнейшей гомогенизации допускает гомогенизацию микроячеек внутри кассет без существенной потери точности, за исключением случая очень малых по значению весов стержней СУЗ: отличие достигает 0,03 % в k_эфф и до 0,6 % в весах групп стержней.

· Учет гетерогенных эффектов внутри ТВС и кластеров СУЗ может достигать до 1 % в k_эфф и до 22 % в весах групп кластеров СУЗ.

Основной вывод исследований, проведенных автором с применением программы SUHAM - в быстром реакторе БРЕСТ-ОД-300 необходимо учитывать гетерогенные эффекты внутри ТВС и кластеров СУЗ.

Верификация формул расчета локальных нейтронно-физических функционалов при трехэтапном расчете двумерной активной зоны с шестигранными ТВС

Автором получены формулы для расчета локальных нейтронно-физических функционалов методом поверхностных гармоник с тремя, четырьмя, пятью и шестью пробными матрицами на каждую ТВС соответственно, используемые при трехэтапном расчете двумерного реактора с шестигранными ТВС. Эти формулы, вместе с конечно-разностными уравнениями МПГ были реализованы автором в комплексе SUHAM. Здесь представлена проведенная при непосредственном участии автора верификация этих формул вместе с конечно-разностными уравнениями.

Верификация полученных формул проводилась с использованием расчетов международного бенчмарка для двумерной зоны ВВЭР-1000 с MOX топливом. Модель бенчмарка состоит из полномасштабной двумерной зоны ВВЭР-1000 с гетерогенной 30 % MOX загрузкой топлива. Активная зона состоит из свежих и выгоревших ТВС следующих типов: UOX ТВС с U-Gd стержнями выгорающего поглотителя и профилированные MOX ТВС с U-Gd стержнями выгорающего поглотителя. Рассматриваются двадцать восемь ТВС в 60 угле с симметрией переноса. Система бесконечна по высоте и имеет граничное условие вакуума на боковой поверхности.

Конфигурация зоны показана на рисунке 11.

Сравнение проводилось с расчетами по программам MCNP и MCU по следующим функционалам: k_эфф зоны, усредненные по ТВС скорости реакции деления для 28-ми ТВС, распределение скорости реакции деления в топливных стержнях внутри ТВС №3, №21 и №27. Дополнительно проводилось сравнение между расчетами по программе SUHAM-U с разным числом пробных матриц на ТВС. программный гармоника реактор

Рисунок 18 демонстрирует отличия усредненных по ТВС скоростей реакции деления в расчетах по комплексу SUHAM с 6-ю пробными матрицами на ТВС от значений, рассчитанных по программам MCNP и MCU, а рисунок 19 показывает отклонения скоростей реакции деления в топливных стержнях внутри ТВС №27 в расчетах по SUHAM с 6-ю пробными матрицами на ТВС от значений, рассчитанных по программам MCNP и MCU для диагонального направления от нижнего левого стержня (угла) к верхнему правому стержню (углу). Среди этих стержней находятся стержни с максимальными отклонениями.

Рисунок 18 - Отличия усредненных по ТВС скоростей реакции деления в расчетах по комплексу SUHAM от значений, рассчитанных по программам MCNP (ряд 1) и MCU (ряд 2)

Рисунок 19 - Отличия скоростей реакции деления в топливных стержнях внутри ТВС №27 в расчетах по комплексу SUHAM от значений, рассчитанных по программам MCNP (ряд 1) и MCU (ряд 2) для диагонального направления от нижнего левого стержня (угла) к верхнему правому стержню (углу)

Основными результатами этих расчетов являются:

· сходимость результатов в расчетах по комплексу SUHAM с разным числом пробных матриц на ТВС к значениям в расчете с 6-ю пробными матрицами на каждую ТВС;

· сходимость результатов в расчетах по комплексу SUHAM с увеличением числа пробных матриц на ТВС к соответствующим значениям, рассчитанным по программам MCNP и MCU для функционалов как по ТВС, так и по топливным стержням;

· максимальное отличие усредненных по ТВС скоростей реакции деления в расчетах по комплексу SUHAM с 6-ю пробными матрицами на ТВС от соответствующих значений, рассчитанных по программам MCNP и MCU, не превышает 3,5 %, а среднеквадратическое отличие не превышает 1,4 %;

· для всех рассмотренных ТВС максимальное отличие скоростей реакции деления в топливных стержнях в расчете по комплексу SUHAM с 6-ю пробными матрицами на ТВС от соответствующих значений, рассчитанных по программам Монте-Карло, не превышает 4,7 %, среднеквадратические отличия не превышают 1,6 %;

Проведенная верификация реализованных в комплексе SUHAM формул расчета локальных нейтронно-физических функционалов при трехэтапном расчете двумерной активной зоны ВВЭР методом поверхностных гармоник показало их высокую точность.

Верификация комплекса SUHAM на расчетах выгорания топлива в ТВС ВВЭР-1000 с урановым и MOX топливом

Описана проведенная при непосредственном участии автора верификация комплекса SUHAM на сравнительных расчетах выгорания топлива в ТВС ВВЭР-1000 с урановым и MOX топливом.

Объектами для бенчмарк расчетов являются ТВС реактора ВВЭР-1000 с урановым топливом и MOX топливом. ТВС с урановым топливом состоит из двух типов топливных стержней с урановым топливом и стержней с U-Gd топливом. ТВС с MOX топливом состоит из трех типов топливных стержней с MOX топливом и стержней с U-Gd топливом.

Расчеты выгорания проводились при следующих условиях:

· мощность ТВС равна 52,13855 кВт/см (на 1 см высоты);

· температура топлива равна 1036,0 К;

· температура оболочки твэла равна 600,0 К;

· температура теплоносителя равна 575,7 К.

Пересчет всех спектров в выгорающих материалах проводился в следующих временных точках: 0,1, 0,5, 1,0 и далее через 1,0 до 50,0 МВтсут/кг ТМ включительно, где ТМ означает тяжелые металлы.

Сравнение проводилось с расчетами по программе RECOL, которая для решения уравнения переноса использует метод Монте-Карло с поточечным энергетическим представлением сечений. Обе программы для подготовки сечений для основных изотопов использовали одинаковые файлы ядерных данных. Расчеты по обеим программам проводились с выгоранием в каждом топливном стержне.

Для сравнения в отдельных точках по выгоранию использовались следующие функционалы:

· k ТВС;

· концентрации основных изотопов (²³⁵U, ²³⁸U, ²³⁹Pu, ²⁴⁰Pu, ²⁴¹Pu, ²⁴²Pu), усредненные по всем стержням ТВС;

· коэффициенты неравномерности энерговыделения в твэлах.

Результаты сравнений k ТВС показали:

Ш Значения k ТВС, рассчитанные по программам SUHAM и RECOL имеют небольшие отличия - максимальное отличие по всем значениям выгорания для ТВС с урановым топливом не превышает 0,4 %, а для ТВС с МОХ топливом - 0,2 %.

Результаты сравнений усредненного по всем топливным стержням ТВС ядерных плотностей изотопов показывают:

Ш для основных изотопов максимальные отличия от значений, полученных по программе RECOL достигают: для ТВС с урановым топливом - 0,9 % для ²³⁵U, -2,1 % для ²³⁹Pu, -2,9 % для ²⁴⁰Pu и -9,3 % для ²⁴²Pu; для ТВС с МОХ топливом - 1,2 % для ²³⁵U, -0,5 % для ²³⁹Pu, 0,4 % для ²⁴⁰Pu и 4,5 % для ²⁴²Pu;

...