Разработка программной реализации математической модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

Задача контрольной работы состоит в разработке программной реализации математической модели воздействия в РТУиС, носящего характер случайной величины с равномерным законом распределения на интервале, границы которого определяются из таблицы вариантов заданий (таблица 1).

Таблица 1 - Исходные данные

Контрольная работа должна содержать:

А) описание алгоритма моделирования случайной величины методом нелинейного преобразования, обратного функции распределения;

Б) описание функции плотности вероятности для равномерного закона распределения;

В) описание этапов моделирования случайной величины с равномерным законом распределения, заданного через функцию плотности вероятности, с помощью метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения

Г) текст программ, реализующей моделирование, на любом известном студенту языке программирования высокого уровня.

Решение

Задачи моделирования случайных процессов, имеющих место в системах передачи и обработки сигналов, часто приводят к необходимости получения случайной величины с негауссовским законом распределения. Наиболее эффективным аналитическим методом получения негауссовских случайных величин является метод монотонного нелинейного преобразования (метод обратных функций).

Найдем закон распределения величины y полученной нелинейным преобразованием непрерывной случайной величины x (рис.1). Будем считать, что существует взаимно однозначное преобразование . Обратное преобразование обозначим

Рис. 1. Функциональное преобразование случайной величины

Из рис. 1 видно, что всегда, когда СВ x попадает в интервал СВy попадает в интервал . Поэтому выполняется равенство , откуда следует, что и при получаем соотношение

(1)

В соответствии с условием задачи рассмотрим типичный пример получения случайной величины с заданным законом распределения из случайной величины с равномерным распределением. По условию задана случайная величина x с равномерным законом распределения w(x)=1, x=[26, 95], необходимо получить случайное число y с заданным законом распределения w(y), которому соответствует некоторое нелинейное преобразование, например, . Далее по формуле (1) получаем плотность вероятности

Теперь решим обратную задачу: найдем вид преобразования ш(x) по заданной плотности распределения ,y = ш(x). Для этого проинтегрируем левую и правую части (1)

(2)

откуда находим функцию распределения F ( y), тогда случайной величины y можно найти с помощью преобразования y = ш(x).

Описанный выше метод моделирования называется методом обратных функций. Для моделирования СВ с заданной функцией распределениянеобходимо осуществить нелинейное преобразование вида

(3)

Формула (3) означает решение уравнения

 (4)

где означает, что СВ x имеет равномерное распределение на отрезке [3, 12].

Комбинируя формулы (2) и (3), можно по реализации СВ x с произвольной функцией распределения моделировать величины с требуемойфункцией распределения F(y). Моделирующий алгоритм дает суперпозициянелинейных преобразований (2) и (3):

Получим с помощью метода обратных функций моделирующие алгоритмы для ряда распределений, используемых при моделировании случайных процессов и полей.

Рассмотрим СВ с рэлеевским законом распределения. В этом случае плотность распределения вероятностей (ПРВ), функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид:

,

где у -- параметр рэлеевского распределения. При этом СВ y можно получить решая уравнение (4), откуда получаем:

(5)

где x - равномерно распределенная в интервале [0, 1] СВ (переход от ln(1? x) к lnx в последней формуле основан на том, что СВ 1? x и x имеют здесьодинаковые законы распределения).

Аналогично, для получения СВ, описывающей интервалы времени между соседними заявками, поступающими на вход телекоммуникационной системы и имеющей показательный закон распределения

, y ? 0 ,

решая уравнение F ( y) = x , т.е. , находим обратную функцию Таким образом, показательную СВ y можно сформировать изравномерной СВ x с помощью функционального преобразования

Путём преобразований

(6)

можно сформировать СВ, распределенные соответственно по закону арксинуса

и закону Коши

Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения СВ у, формируемых согласно алгоритмам (6), не изменится, если аргумент р(x ?1/ 2) у тригонометрических функций заменить аргументом 2 р x .

Рассмотрим СВ y , имеющую ПРВ:

Соответствующая функция распределения

Уравнение (2) в данном случае примет вид

Находя отсюда y , получим

где , r > 0.

Рассмотрим моделирование СВ с плотностью

(7)

Интегрируя формулу (2.7), получим для функции распределения выражение

Отсюда получаем уравнение

из которого следует моделирующий алгоритм

К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения СВ с заданным законом распределения из равномерно распределенных СВ. В частности, у СВ с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается через элементарные функции. В подобных случаях для формирования СВ с заданным распределением используются различные аппроксимации функции , а также другие подходы к решению задачи моделирования.

Программная реализация

алгоритм нелинейный распределение моделирование

Исходным материалом для формирования на ЭВМ случайных величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале (3,12) случайные числа, которые вырабатываются на ЦВМ программным или же физическим датчиком случайных чисел.

Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет асимптотически нормальное распределение).

Рассмотрим сначала общие приемы получения случайных чисел с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.

Пусть -- функция плотности, - функция распределения вероятностей случайной величины , а -- функция, обратная функции . Тогда случайная величина имеет заданный закон распределения , если случайная величина равномерно распределена в интервале (3,12).

uses crt;

var i,c: integer;

x,q,w: real;

begin

randomize;

clrscr;

writeln('q - ravnomerno raspredel. sl. velichina');

writeln('x - sl. vel. s odnoi iz plotnostei veroyatnosti');

writeln(' 1. f(x)=tg(x)/ln(sqrt(2)), ves - 0,3');

writeln(' 2. f(x)=4/Pi , ves - 0,7');

writeln(' x=0..Pi/4');

writeln;

writeln('q ');

writeln('n ');

writeln('# ');

for i:=1 to 10 do begin

q:=random;

w:=random;

c:=2;

if w<0.3 then begin

x:=arctan(sqrt(exp(q*ln(2))-1));

c:=1;

end;

if w>=0.3 then

x:=q*Pi/4;

gotoxy((i-1)*6+4,7);

write(q:6:2);

gotoxy((i-1)*6+4,8);

write(x:6:2);

gotoxy((i-1)*6+4,9);

write(c:6);

end;

readln;

end.

Размещено на Allbest.ru