Разработка методики отбора кандидатов для участия в социальном проекте
Особенность способа парных сравнений. Решение задач линейного программирования симплекс-методом с применением программного обеспечения Matlab. Обоснование решений в условиях частичной неопределенности с использованием математических игровых моделей.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2018 |
| Размер файла | 566,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Уфимский государственный авиационный технический университет»
Кафедра автоматизированных систем
Практическая работа
по дисциплине «Математические и компьютерные методы научных исследований сложных систем »
Управление в социальных и экономических системах
Уфа 2017
1. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ОТБОРА КАНДИДАТОВ ДЛЯ УЧАСТИЯ В СОЦИАЛЬНОМ ПРОЕКТЕ
Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем формулировки задачи то есть разработки математической модели, выбора метода исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.
Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.
Математическая модель представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.
Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т.д.
Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и может устранить экологические катастрофы - например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами.
Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например, из области механики, электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.
Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.
В специальной литературе иногда говорят о методах преодоления многокритериальности. Ф.Б. Филинов (профессор НИУ «ГУ-ВШЭ») считает, что какого-либо формального математического метода «преодоления» многокритериальности не может быть в принципе, а задача принятия решения в условиях рыночной экономики является многокритериальной. К источникам многокритериальности относятся необходимость использования наряду с критериями предпочтительности критерии допустимости, соблюдения определенных пропорций с учетом интересов основных заинтересованных групп, стратегических и текущих интересов предприятия (организации), несводимости в единый критериальный показатель экономических, социальных и экологических показателей.
Задача многокритериальной оптимизации - задача с несколькими критериями, которые с разных сторон характеризуют различные решения. Чаще всего заранее выделено направление улучшения каждого критерия, например, его увеличение, но одновременное увеличение всех критериев практически всегда невозможны.
Примеры многокритериальных задач - определение долей предприятия на разных рынках (его сегментах), многокритериальная задача о назначениях (распределении работ, должностей между сотрудниками) исходя из системы критериев, задача устранения (снижения) дефицита сотрудников определенной группы персонала и т.д.
В теории многокритериальной оптимизации (МКО) решаются задачи принятия решений одновременно по нескольким критериям. Задача МКО ставится следующим образом: требуется найти числа , удовлетворяющие системе ограничений
, ,
для которых функции
, ,
достигают максимального значения.
Множество точек , удовлетворяющих системе (3.1), образует допустимую область . Элементы множества называются допустимыми решениями или альтернативами, а числовые функции , - целевыми функциями, или критериями, заданными на множестве D. В формулировке задаче (3.1)-(3.2) присутствует целевых функций. Эти функции отображают множество в множество , которое называется множеством достижимости.
В векторной форме математическую модель МКО (3.1)-(3.2) можно записать следующим образом:
при .
Здесь - вектор-функция аргумента .
Впервые проблема МКО возникла у итальянского экономиста В.Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена. В дальнейшем интерес к проблеме МКО усилился в связи с разработкой и использованием вычислительной техники, и уже позднее стало ясно, что многокритериальные задачи возникают также и в технике, например, при проектировании сложных технических систем.
Ввиду этого в теории МКО понятие оптимальности получает различные толкования, и поэтому сама теория содержит три основных направления:
1) Разработка концепции оптимальности.
2) Доказательство существования решения, оптимального в соответствующем смысле.
3) Разработка методов нахождения оптимального решения.
При решении нашей проблемы, решено было построить 2 вида математического моделирования . Первый этот метод главных критерий
Выбирается основной (главный) среди критериев. Пусть это, например, . Все остальные целевые функции переводятся в разряд ограничений по приведенному ниже правилу.
В соответствии с требованиями ЛПР на все критерии накладываются определенные ограничения, которым они должны удовлетворять. Вводится система контрольных показателей , относительно которых по всем критериям должны быть достигнуты значения, не меньше заданных значений :
В отличие от задач оптимизации с одним критерием в МКО имеется неопределенность целей. Действительно, существование решения, максимизирующего несколько целевых функций, является редким исключением, поэтому с математической точки зрения задачи МКО являются неопределенными и решением может быть только компромиссное решение. Например, при поиске плана предприятия, макимизирующего прибыль и минимизирующего затраты очевидна невозможность достижения обеих целей одновременно, так как чем больше затраты, тем больше должно быть продукции и тем больше прибыль.
, .
После выбора основного критерия и установления нижних границ для остальных критериев решается задача однокритериальной оптимизации:
при условиях
.
Этот способ наиболее употребителен в инженерной практике.
В нашей задаче мы выбрали данную целевую функцию
F(x) = x1 > max, но в ходе решения мы понимаем что при
F(x) = x1+ x2+ x3> max
где x1 - это средний бал, x2 - это колечество балов по IQ, x3 - количество грамот
Далее определяем ограничение
1) x1 ? 3,5
x2 ? 80
x3 ? 2
x1 + x2 ? 82
x1 + x3? 3,7
x2 + x3? 82
Графический метод решения задачи линейного программирования
Так как число переменных в задаче равно 3, в исходной постановке задача графическим методом не решается.
Сведем эту задачу к задаче с двумя переменными. Рассмотрим систему ограничений задачи:
Выразим x3 через остальные две переменные.
Решаем данную систему уравнений и получаем:
-x1 + x2 ? 78,3
Приходим к задаче линейного программирования с двумя переменными:
F(x) = x1+x2> max
1) x1 ? 3,5
x2 ? 80
x1 + x2 ? 82
-x1 + x2 ? 78,3
Решаем данную задачу графическим методом.
Строим область допустимых решений в плоскости x1 Ox2, ограниченную неравенствами
1) x1 ? 3,5
x2 ? 80
x1 + x2 ? 82
-x1 + x2 ? 78,3
Для этого строим линии:
(1) x1 + x2 ? 82, прямая проходит через точки (-78,3;0) и (0; 78,3) 1 2
(2) -x1 + x2 ? 78,3, прямая проходит через точки (0, 82), (82, 0).
Получаем замкнутую область ABCD (см. рисунок ниже).
Рисунок 3.2. График функции
Рисунок 3.3 График функции допустимых значений
Строим линию уровня целевой функции F(x) = x1 + x2 и вектор градиента n =(1;1). Направление градиента - направление наибольшего роста функции. Двигаем линию уровня в противоположном направлении, пока не достигнем крайней точки области. Ясно, что минимальное значение функция примет в точке C(1,7;80). Тогда получаем для исходной задачи:
x1= 1,7
x2= 80
Исходя из найденных данных найдем x3.
Соответственно x3 = 2
И при подставлении данных в целевую функцию при поставленных ограничения она достигает максимума.
Данный метод мы рассмотрели для отбора лучших кандидатов на наш проект.Следующий способ для отбора лучших кандидатов - это метод анализа иерархий. Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения, по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. МАИ включает в себя процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Такой подход к решению проблемы выбора исходит из естественной способности людей думать логически и творчески, определять события и устанавливать отношения между ними.
Список применений метода весьма разнообразен: исследования транспортной системы Судана, пивоваренная промышленность Мексики, проведение анализа «стоимость-эффективность», распределение ресурсов.
В Израиле профессор Ами Арбель нашел метод полезным при принятии решений как по формализуемым, так и неформализуемым факторам, для которых отсутствовали связывающие их аналитические зависимости. Метод постоянно используется при планировании промышленности Питтсбурга, банковского дела, сталелитейной промышленности, в сфере городского
хозяйства и координации общественных услуг. Кроме того, необходимо отметить, что и в России этот метод получает все большее распространение: различные виды маркетинговых исследований, определение сценариев развития города, оценки различных коммерческих рисков и т.д. Во многих Вузах России, имеющих экономические специальности, вводятся соответствующие дисциплины.
В МАИ основная цель исследования и все факторы, в той или иной степени, влияющие на достижение цели, распределяются по уровням в зависимости от степени и характера влияния. На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина - цель проводимого исследования. Второй уровень иерархии составляют факторы, непосредственно влияющие на достижение цели. При этом каждый фактор представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют факторы, от которых зависят вершины 2-го уровня. И так далее. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех, пока в иерархию не включены все основные факторы или хотя бы для одного из факторов последнего уровня невозможно непосредственно получить необходимую информацию. По окончании построения иерархии для каждой материнской вершины проводится оценка весовых коэффициентов, определяющих степень ее зависимости от влияющих на нее вершин более низкого уровня. При этом используется метод попарных сравнений.
Метод парных сравнений (версия Т. Саати).
В данной модификации, как и в классическом варианте метода парных сравнений, производится сравнение изучаемых факторов между собой. Причем в данном методе факторы сравниваются попарно по отношению к их
воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику. Пусть в конкретной задаче необходимо определить состав некоторого объекта. Причем пусть A1, A2, ...,An основные факторы, определяющие состав объекта.
Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений.
Таблица 2.1 - матрица парных сравнений
|
A1 |
A2 |
... |
An |
||
|
A1 |
1 |
a12 |
a1n |
||
|
A2 |
a21 |
1 |
a2n |
||
|
... |
... |
||||
|
An |
an1 |
an2 |
1 |
||
Если обозначить долю фактора Ai через wi, то элемент матрицы aij= wi/ wj. Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно aij= 1/aji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратносимметричной матрицей, имеющей ранг равный 1.
Работа экспертов состоит в том, что, производя попарное сравнение факторов A1, ...,An эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w1, w2, ..., wn неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w. В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора (w1, w2, ..., wn). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора.
Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы. Подробнее об этом будет написано ниже. Подчеркнем, что эксперт сравнивая n факторов реально проводит не n (как это происходит при заполнении обычных анкет) сравнений, а n*(n-1)/2 сравнений. Но это еще не все.
На самом деле (учитывая соотношение aij=aiк* aкj справедливое для всех значений индекса k) производится опосредованное сравнение факторов Ai и Aj через соответствующие сравнения этих факторов с фактором Ak. Принимая во внимание сделанное замечание можно утверждать, что в действительности эксперт производит значительно больше сравнений, чем даже показывает первая оценка равная n*(n-1)/2. Таким образом, каждая клетка матрицы парных сравнений реально содержит не одно число (результат непосредственного сравнения), а целый вектор (с учетом всех опосредованных сравнений через сравнения с другими факторами). Учет этих дополнительных сравнений позволяет значительно повысить надежность получаемых результатов, или позволяет значительно уменьшить количество необходимых экспертов.
Один из основных методов отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгебры. Очевидно, что искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу (maxколичества существующих алгоритмов отыскивается векторное уравнение A*w=). В этом случае по одному из большого max, а затем достаточно решитьmax*w.
Здесь необходимо отметить следующее. Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметричной матрицы, имеющей ранг равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n).
При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное числоmax будет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемую рассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.
Другой подход в определении вектора w состоит в следующем. Суммируются по строкам элементы матрицы парных сравнений (для каждого значения i вычисляется сумма ai=ai1+ ai2+...+ ain). Затем все ai нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор w. Таким образом wi=ai/(a1+ a2+...+ an). Этот способ нахождения вектора w, значительно проще в реализации, но он не позволяет определять качество исходных данных. Приведенное выше описание метода является разработкой собственно Т. Саати и его группы. При всех его достоинствах данная версия не лишена некоторых недостатков. На этих недостатках мы и остановимся. Как уже отмечалось, рассматриваемая версия метода парных сравнений, позволяет определить качество исходных данных. Причем Саати рекомендует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом.
Эта возможность является серьезным достоинством данного метода, но на наш взгляд в некоторых случаях данное преимущество переходит в свою противоположность. В том случае, когда проблема не в экспертах, а в собственно объекте изучения. Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере двумя факторами: (а) личными качествами эксперта; (б) степенью неопределенности объекта оценки.
Поэтому рассогласованность матрицы выступает как результат взаимодействия этих факторов. И, следовательно, игнорирование такой структуры причин рассогласования приводит к тому, что рекомендуемые мероприятия по повышению согласованности матрицы проводятся не только в ситуациях, когда большая рассогласованность является следствием низкой профессиональности эксперта, но и в случаях, когда подобная неоднозначность является неотъемлемой частью изучаемого объекта, что, как правило, и происходит при изучении рынка недвижимости.
В последнем случае необходимо изучать объект такой, какой он есть со всеми присущими ему неопределенностями. Для того, чтобы выделить ту составляющую рассогласованности, которая определяется собственно экспертом, необходимо несколько изменить взгляд на объект и на ожидаемый результат обработки исходных данных. Прежде всего, необходимо признать, что объекту исследования (в частности, рынку) присуща некоторая неопределенность.
И, как следствие, ожидать однозначного результата было бы не разумно. Ответ может и должен быть сформулирован на языке вероятности, т.е. либо в виде доверительных интервалов, либо в виде вероятности реализации интересующего результата, либо в виде математического ожидания результата и его дисперсии и т.д.
Построить алгоритм обработки матрицы сравнений, представляющий результаты в необходимой форме, позволяет отмеченное выше свойство матрицы сравнений: каждый элемент матрицы является, по сути, целым вектором, составленным из различных сравнений (прямых и опосредованных) соответствующих факторов. Учитывая это свойство можно для каждого элемента матрицы сопоставить его среднее значение и его стандартное квадратичное отклонение (СКО).
Далее пользуясь методами стохастического моделирования можно построить последовательности матриц сравнения, каждая из которых будет соответствовать одной из возможных реализаций отношений характерных для данного объекта в рамках его неоднозначности и компетентности оценивающих его экспертов. Определяя для каждой такой матрицы вектор w, получим достаточно большой набор векторов, представляющих возможные реализации структуры объекта в соответствии с его неоднозначностью и компетентностью оценивающих его экспертов. Воспринимая, построенный подобным образом, набор векторов, как статистическую выборку, можно получить необходимый результат в том виде, который необходим в конкретном случае. В частности легко можно получить средние значения компонент вектора w и значения их СКО.
Полученные таким образом значения СКО и являются следствием степени рассогласованности матрицы парных сравнений. Чем больше рассогласованность, тем больше значения СКО.
Казалось бы, что для того чтобы определить уровень рассогласованности не нужны подобные нагромождения, что можно обойтись способом, предложенным Т. Саати и описанным выше. Но все это нагромождение позволяет решить важную проблему, связанную с причинами возникновения этой самой рассогласованности. Дело в том, что, заполняя матрицу сравнений эксперт может заполнить ее только выше главной диагонали. Остальная ее часть рассчитывается с учетом обратной симметричности. Но если эксперт заполняет не только верхнюю, но и нижнюю часть матрицы, то появляется дополнительная информация, позволяющая оценить степень личной компетентности данного эксперта.
Действительно, при сравнении фактора Ai с фактором Aj эксперт поставит оценку aij, а при сравнении фактора Aj с фактором Ai эксперт поставит оценку aji. При этом на взаимное соотношение этих оценок не влияет состояние рынка, а только профессионализм эксперта (в идеальном случае, как уже отмечалось, должно выполняться равенство aji=1/ aij). Таким образом, отклонение aji от 1/ aij является случайной величиной и ее СКО соответствует уровню профессионализма эксперта. Следовательно, учитывая свойства дисперсии, можно из оценок элементов матрицы сравнений убрать влияние непрофессионализма эксперта и в результате уменьшить СКО компонентов вектора w. В итоге вектор w, точнее средние значения его компонент и их СКО, будет соответствовать данному объекту (в частности рынку) и адекватно описывать его.
Таблица 2.2. Значения критериев оценки альтернатив
|
№ |
Критерий |
Значение |
балл |
|
|
1 |
Средний бал участника () |
3,5 до 4 |
0 |
|
|
4 до 4,5 |
1 |
|||
|
4,5 до 5 |
3 |
|||
|
2 |
Баллы за IQ-тест) |
от 82 до 90 |
0 |
|
|
от 90 до 100 |
1 |
|||
|
от 100 до 110 |
2 |
|||
|
и больше 120 |
3 |
|||
|
3 |
Количество граммот ) |
от 2 до 5 |
0 |
|
|
от до 8 |
1 |
|||
|
и больше 8 |
3 |
|||
|
4 |
Желаемы для поступления ВУЗ участника) |
УГАТУ,УГНТУ и др.технические вузы |
3 |
|
|
БГАУ и др. сельскохозяйственные вузы |
2 |
|||
|
УГАИ и др.вузы искусств |
1 |
Следующий шаг - ранжирование критериев, проводится в соответствии с методом анализа иерархий с помощью шкалы относительной важности.
Таблица 2.3 - Матрица попарных сравнений критериев
Собственный вектор приоритетов критериев рассчитывается по формуле
,
где - элементы матрицы (компоненты собственного вектора каждого критерия), n - число критериев.
Нормализованный вектор приоритетов критериев рассчитывается по формуле
По данному критерию подставив под нашу целевую функции F(x) = x1+ x2+ x3> max, мы сможем отобрать нужных нам кандидатов.
При использовании МАИ оценка участника , в том числе и выбор способа его оценки, зависит от информации, составленной нами в ходе заполнения Coogle- таблицы. Организаторы дают свою оценку участникам .
Такой метод подразумевает наличие обширной и разнообразной информации из множества источников, которая позволяет рассматривать каждый фактор наравне с остальными, в то время как для предприятий, возможно, какой-то фактор является ключевым, например, только средний бал участника.
Но это далеко не так, в ходе исследования двух методов решения многокритериальной задачи, выявили достоинства и недостатки метода анализа иерархий и метода главных критерий.
|
Название метода |
Преимущества |
Недостатки |
|
|
Метод главных критерий |
Организаторы сами определяют какой критерий является главным |
Сложно определить, какой критерий должен быть главным |
|
|
Сложно обосновать, какие ограничения должны быть у других критериев |
|||
|
Метод анализа иерархий |
Комплексная оценка участников |
Сложные расчеты и необходимость большого объема информации |
И решили что следующий задачу для отбора кандидатов на предприятия по критериям предприятия будем решать методом анализа иерархий. Следующие строим таблицу значение альтернатив
Значении критериев оценки альтернатив
|
№ |
Критерий |
Значение |
балл |
|
|
1 |
Средний бал участника () |
3,5 до 4 |
0 |
|
|
4 до 4,5 |
1 |
|||
|
4,5 до 5 |
3 |
|||
|
2 |
Выбор будущей специальности участника ) |
Техническое направление |
3 |
|
|
Гуманитарное направление |
2 |
|||
|
Медицинское направление |
1 |
|||
|
Творческое направление |
0 |
|||
|
3 |
Желаемы для поступления ВУЗ участника) |
УГАТУ,УГНТУ и др.технические вузы |
3 |
|
|
БГАУ и др. сельскохозяйственные вузы |
2 |
|||
|
УГАИ и др.вузы искусств |
1 |
|||
|
4 |
Профильный класс ) |
Математический |
3 |
|
|
Естественный |
2 |
|||
|
Социальный |
1 |
Следующий шаг - ранжирование критериев, проводится в соответствии с методом анализа иерархий с помощью шкалы относительной важности.
Таблица 2.4 - Матрица попарных сравнений критериев
|
) |
) |
) |
) |
||||
|
) |
1 |
0,50 |
0,50 |
0,33 |
0,58333333 |
0,130 |
|
|
) |
2 |
1,00 |
0,33 |
3,00 |
1,58333333 |
0,355 |
|
|
) |
2 |
0,33 |
1,00 |
0,50 |
0,95833333 |
0,214 |
|
|
) |
3 |
1,00 |
0,33 |
1,00 |
1,33333333 |
0,299 |
|
|
4,45833333 |
1 |
Собственный вектор приоритетов критериев рассчитывается по формуле
,
где - элементы матрицы (компоненты собственного вектора каждого критерия), n - число критериев.
Нормализованный вектор приоритетов критериев рассчитывается по формуле
По данному критерию подставив под нашу целевую функции
F(x) = x1+ x2+ x3 + x4 > max, мы сможем отобрать нужных нам кандидатов для предприятий на которых будет организована экскурсия.
Экспериментально использование
Любой человек в своей повседневной жизни вынужден решать большое число разнообразных задач. Над решением некоторых задач он не задумывается («покупка продуктов»), другие же вызывают трудности и долгие размышления («сбор кубика Рубика»). Приведенные примеры простых и сложных задач объединяет то, что их можно разбить на отдельные понятные шаги. Последовательность таких шагов допустимо использовать как памятку, помогающую решить поставленную задачу. Такую последовательность можно назвать алгоритмом.
Конечно, собрать кубик Рубика можно и без памятки, просто перемещая грани в случайном порядке. Но перебор возможных вариантов может занять долгое время, это будет непроизводительный и неоптимальный процесс. Гораздо удобнее иметь список шагов, последовательное выполнение которых всегда будет приводить к положительному результату. Именно эти принципы легли в такое понятие как «алгоритм».Алгоритм -- совокупность инструкций (шагов), описывающих порядок операций исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий.
Что такое «исполнитель»?Для наилучшего понимания алгоритма вообще, необходимо также рассмотреть понятие «исполнитель алгоритма». Под исполнителем в понятии алгоритма подразумевается абстрактная система, способная выполнять действия, описываемые алгоритмом, а также обладающая рядом характеристик.
В качестве исполнителя чаще всего подразумевается то или иное техническое средство (3D-принтер, станок с ЧПУ, ЭВМ), однако стоит понимать, что это широкое понятие: исполнителем может являться, например, человек.
Тем не менее, исполнителем может быть названа только система, одновременно обладающая рядом параметров:- средой;- системой команд;- элементарными действиями;- отказами, в случае, если выполнение действий невозможно.
Свойства алгоритмов Ограничения, накладываемые на понятие «исполнитель» приводят к тому, что само понятие «алгоритм» также обладает рядом свойств и ограничений. Алгоритмы получили широкое распространение именно благодаря этим ограничениям, которые способствуют стандартизации. Среди свойств алгоритмов можно выделить:- массовость (способность алгоритма оставаться правильным при разных наборах входных данных);- определенность (на любом шаге алгоритма у исполнителя должно быть достаточно данных, чтобы его выполнить);- детерминированность (при одних и тех же наборах входных данных должен получаться один и тот же результат);
Зачем нужны алгоритмы? Вышеприведенные свойства обеспечивают алгоритмам широкое применение. Так алгоритмы служат для стандартизации описаний любых процессов. Без алгоритмов были бы невозможны любые виды вычислений, а решение любой проблемы начиналось бы «с нуля» -- даже если она была решена множество раз. Применение алгоритмов позволяет быстро решать однотипные задачи, сократить время на поиск решения, автоматизировать процесс его нахождения, а также распространять найденное решение в стандартизованной -- а значит, понятной всем форме.В нашей методике разработке отбора кандидатов для участия в социальном проекте была предложена разработки алгоритма, что нам это дало то что мы наглядно видим как происходит отбор кандидатов.
Рисунок 3.1.1 Алгоритм процесса отбора участников
Проведем эксперемент где увидим каким образом будет происходит процесс отбора участников
в данной таблице заявленных участников из 9 человек по нашим выявленным криетреиям проходят только эти 4 участника
Таблица Результаты отбора участников
|
|
Общая сумма баллов |
|||||
|
Участник 1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2,25 |
|
|
Участник 2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
1,5 |
|
|
Участник 3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1,25 |
|
|
Участник 4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
Участник 5 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
|
|
Участник 6 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1,75 |
|
|
Участник 7 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2,25 |
|
|
Участник 8 |
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
Участник 9 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1,75 |
По критериям выдвинутыми предприятиям видно то что из этих 4 участников проходят только, как показано на в следующей таблице
Таблица Результаты отбора участников по критериям предприятий
|
|
Общая сумма баллов |
||||||
|
Участник 1 |
3 |
3 |
2 |
2 |
10 |
2,5 |
|
|
Участник 2 |
3 |
3 |
2 |
2 |
10 |
2 |
|
|
Участник 3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
5 |
1,25 |
|
|
Участник 4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
9 |
2,25 |
|
|
Участник 5 |
1 |
0 |
2 |
1 |
4 |
1 |
|
|
Участник 6 |
3 |
1 |
3 |
2 |
9 |
2,25 |
|
|
Участник 7 |
2 |
2 |
2 |
3 |
9 |
2,25 |
|
|
Участник 8 |
3 |
3 |
2 |
1 |
9 |
2,25 |
|
|
Участник 9 |
1 |
2 |
3 |
2 |
8 |
2 |
В результате видно что кандидатами отбора на социальный проект попадают учстники1,4,7,8 которые соответствуют требованиям и предприятия и организаторов.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ MATLAB
Решение задач линейного программирования.
Для изготовления четырех видов продукции использкетсятри вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.
Тип сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие
Запасы сырья
Необходимо сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей прибыли, найти оптимальный план производства
Требуется: линейный программирование математический игровой
1) сформулировать математическую модель задачи линейного программирования;
2) решить задачу линейного программирования симплекс-методом;
3) решить задачу в программной среде MATLAB;
4) составить двойственную задачу, найти её решение.
Решение задачи № 1
Математическая модель:
Z=5x1 + 7x2+3x3+6x4 max
2x1 + x2+3x3 + 2x4 ? 200
x1 + 2x2 + 4x3 +8x4 ? 160
2x1 + 4x2 + x3 + x 4 ? 170
Применение симплекс-метода
2x1 + x2+3x3 + 2x4 = 200
x1 + 2x2 + 4x3 +8x4 = 160
2x1 + 4x2 + x3 + x 4 = 170
Z=5x1 + 7x2+3x3+6x4
1 шаг Вводим новые переменные:
Основные переменные - х5, х6, х7.
Неосновные переменные - х1, х2, x3, x4.
Выразить основные переменные через неосновные:
Х5 = 200 - 2х1 -х2-3x3 -2x4
Х6 = 160 -х1 -2 х2 -4x3-8x4
Х7 = 170 -2x1 -4 х2 -x3 -x4
Z=5x1 + 7x2+3x3+6x4
Х1 = (0, 0, 0, 0, 200, 160,170)
Шаг 2: Вводим ограничения для х2:
Х5 = 200 - х2 ? 0 х2 ? 200
Х6 = 160 - 2х2 ? 0 х2 ? 80
Х7 = 170 - 4х2 ? 0 х2 ? 42,5 - min => x7 в неосновной., x2 в основной
Оcновные переменные - х2, х5, х6.
Неосновные переменные - х1, x3, x4, x7.
Выразим новые основные переменные через неосновные (х2 выражаем из урав-ия х7:
х2 = 85/2-x1/2-x3/4-x 4/4-x7/4
х5 = 315/2 -3/2* х1 - 11/4*х3-7/4*x4-x7/4
х6 = 75 - 7/2*х3 -15/2* х4 +x7/2
Z= 595/2+3/2*x1+ 5/4*x3 + 17/4*x4 +7/4*x7
Х2 = (0, 85/2, 0, 0, 315/2,75,0)
Шаг 3: Вводим ограничения для х4
Х2 = 85/2-1/4*х4 ? 0 х4 ? 170
Х6 = 75 - 15/2*х4 + х5 ? 0 х4 ? 10 - min=> x6- неосновная переменная, х4 основная
Х5= 315/2-7/4*х4?0 х4 ? 90
Оcновные переменные - х2, х4, х5.
Неосновные переменные -х1+х3+х6+х7.
Выразим новые основные переменные через неосновные (х4 из х6:
Х4 = 10 - 7/15*х3 -2/15x6 +1/15*x7
Х2 = 40-1/2*x1-2/15*x3-1/30*х6 - 4/15* х7
Х5 = 140 - 3/2*х1 - 29/15*х3+ 7/30*x6+2/15x7
Z= 340+ 3/2*х1 - 11/15*х3+ 1 7/30*x6+22/15x7
Х3 = (0, 40, 0, 10, 140, 0, 0)
Шаг 4: Вводим ограничения х1
Увеличение за счет х5, так как коэффициент положительный.
х2 =40-1/2* х1 ? 0 x1 ? 80 - min=> x2 в неосновной, х1 в основной
х5 = 140 - 3/2*х1 ? 0 x1? 280/3
5 шаг
Оcновные переменные - х1, х4, х5.
Неосновные переменные - х2, х3, х6, х7.
Выразим основные переменные через неосновные(х1из х2) :
Х1 = 80-2х2 -4/15*х3 + 1/15*х6-8/15х7
Х5 = 20+-3х2 -23/15*х3 + 2/15*х6-14/15х7
Х4 = 10 -7/15*х3 + 2/15*х6-1/15х7
Z= 460-3x2-17/15*х3 + 7/15*х6-34/15х7
Х4 = (80, 0, 0, 10, 20, 0,0)
X1=80
X2=0
X3=0
Z=5*80+7*0+3*0+6*10=460
Реализация в программной среде MATLAB задачи № 1
Код
clc;
f=[5 7 3 6];
f=-f;
A=[2 1 3 2
1 2 4 8
2 4 1 1];
b=[200;160;170];
lb=[0 0 0 0];
X=linprog(f,A,b,[],[],lb,[]);
disp(X);
fd=-f*X;
disp(fd);
Решение
Optimization terminated.
80.0000
0.0000
0.0000
10.0000
460.000
Результаты идентичны, следовательно, задача решена верно.
Реализация в программной среде MATLAB двойственной задачи
Код
clc;
f=[200 160 170];
A=[2 1 2
1 2 4
3 4 1
2 8 1];
A=-A;
b=[5;7;3;6];
b=-b;
lb=[0 0 0];
X=linprog(f,A,b,[],[],lb,[]);
disp(X);
fd=-f*X;
disp(fd)
Решение
Optimization terminated.
0.0000
0.4667
2.2667
460.0000
Задание № 2
Данные для задачи № 2
Таблица «Стоимость перевозки»
Сформулировать математическую постановку и решить следующую транспортную задачу. На трех складах поставщиков нефтепродуктов А1, А 2 и А3 находится по 400, 200 и 150 тонн нефтепродуктов соответственно. Перевозка одной тонны продуктов со склада А1 в пункты В1, В2, В3 и В4 потребеителей соответственно стоит с11, с12, с13, с14 у.е., перевозка одной тонны со склада А2 в те же пункты соответствено с21, с22, с23, с24 у.е., а перевозка одной тонны со склада А 3 в те же пункты соответственно с31, с32, с33, с34 (см. таблицу «Стоимость перевозки»). В пункты В1, В2, В3 и В4 надо доставить по 100, 200, 150, 300 тонн нефтепродуктов соответственно.
Составить такой план перевозки нефтепродуктов, при котором транспортные расходы будут минимальными.
Требуется:
1) решить задачу методом потенциалов;
2) решить задача в программной среде MATLAB;
3) проанализировать полученные результаты, сравнив решения, полученные различными методами.
Метод наименьшего элемента в столбце:
Z = 100*1 + 200*1 + 150*4 + 150*4 + 150*6= 2400 т/км
Метод потенциалов
u1 + v1 = 1 Предположим, что u1 = 0,
u2 + v2 = 1 тогда v1 = 1
u1 + v3= 4 v3 = 4
u1 + v4 = 4 v4 = 4
u3 + v4 = 6 u3 = 2
u3 + v4 = 2 u2=0
v2 = 1
Проверяем:
u1 + v2 ? 7 0 + 1 ? 7 - верно
u2 + v1 ? 4 0 + 1 ? 4 - верно
u2 + v3 ? 6 0 + 4 ? 6 - верно
u2 + v4 ? 7 0 + 4 ? 7 - верно
u3 + v1 ? 2 2 + 1 ? 2 - неверно
u3 + v3 ? 9 2 + 4 ? 9 - верно
-100 +150 0 250
0 -150 100 50
Z= 100*2 +200*1+150*4+250*4+50*6=2300
U1+V3=4 Пусть U1=0, тогда
U1+V4=4 V3=4
U2+V2=1 V4=4
U3+V1=2 V2=0
U3+V4=6 U2=1 U3=2 V1=0.
Проверяем:
U1+V1?1 0+0?1 - верно
u1+v2?7 0+0?7 - верно
U2 + V1? 4 1+0?4 - верно
U2+V3?6 1+4?6 - верно
U2+V4 ?7 1+4?7 - верно
U3+V2?2 2+0?2 - верно
U3+V3?9 2+4?9 - верно
Реализация в программной среде MATLAB задачи № 2
Код
clc;
f=[1 7 4 4 4 1 76 7 2 2 9 6];
Aeq=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
beq=[400 200 150 100 200 150 300];
lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
x=linprog (f,[],[],Aeq,beq,lb,[]);
disp(x);
fopt=f*x;
disp(fopt)
Результаты идентичны, следовательно задача решена верно.
Задание № 3
Данные для задачи № 3
Найти наилучшее решение задачи принятия решений в условиях частичной неопределенности методом теории матричных игр.
Требуется:
1) Произвести упрощение платежной матрицы, упростив дублирующие и заведомо невыгодные стратегии (если таковые имеются);
2) Проверить, содержит ли матрица седловую точку;
3) Найти решение игры.
Решение для задачи № 3
Матричные игры - игры, где 2 игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число чистых стратегий и задан платеж второго игрока первому. Матрица задает выигрыш первого игрока и проигрыш второго.
Лучшей стратегией для первого игрока является выбор такой, что из максимума по столбцам необходимо выбрать минимум - это верхняя цена игры в чистых стратегиях, она равна 33. Лучшей стратегией для второго игрока является выбор такой, что из минимума по строкам необходимо выбрать максимум - это нижняя цена игры в чистых стратегиях, она равна 31. Данная матрица не содержит седловую точку, оптимальное решение должно находиться между 31 и 33.
Реализация в программной среде MATLAB задачи № 3 Для игрока А
Код
f=[1 1 1 1 1];
A=[32 29 21 35 20
37 34 31 25 31
31 33 30 30 21];
A=-A;
b=[1;1;1];
b=-b;
lb=[0 0 0 0 0];
X=linprog(f,A,b,[],[],lb);
disp(X);
V=f*X;
disp(V);
Vopt=1/V;
disp(Vopt);
P=X*Vopt;
disp(P);
Оптимальным решением является 31 31,6000 33.
Реализация в программной среде MATLAB задачи № 3 для игрока В
Код
f=[1 1 1 ];
f=-f;
A=[32 37 31
29 34 33
21 31 30
35 25 30
20 31 21];
b=[1;1;1;1;1];
lb=[0 0 0];
X=linprog(f,A,b,[],[],lb);
disp(X);
V=-f*X;
disp(V);
Vopt=1/V;
disp(Vopt);
P=X*Vopt;
disp(P);
Оптимальным решением является 31 ? 31,6000 ? 33.
Вывод
В ходе работы была решена задача линейного программирования, транспортная задача и задача по принятию решений в условиях неопределенности.ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
3. ОБОСНОВАНИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ
Для игр с одним активным игроком множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий с единственной коалицией; такие игры называются нестратегическими. Важным классом таких игр являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых управленческих решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа».
Пусть задан некоторый вектор П = (П1,П2,..,Пn), описывающий n состояний внешней среды, и вектор X=(X1,X2,..,Xm), описывающий m допустимых решений. Ситуации такого рода можно описать набором (X,П,W(X,П)), W:XЧП>R1 - функция выигрыша лица, принимающего решения. Требуется найти вектор X* =(0,0,..,0, Xi ,0,..,0), который обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X,П) по некоторому критерию K.
Информацию o функции полезности представляют матрицей размерности m x n c элементами wij=F(Xi,Пj), где F - правило принятия решений. Существуют различные правила принятия решений. ЛПР, не желающие рисковать, рассматривают при анализа ситуаций наихудшие возможные состояния природы и принимают решения так, чтобы максимизировать доход в случае их реализации (правило максимина). Другой способ поведения может предпочесть ЛПР со значительной склонностью к риску. Для принятия решений в условиях неопределенности существуют различные критерии оптимальности (таблица 2)
Таблица 2. Коэффициенты оптимальности
|
Показатель |
Формула |
Название |
|
|
Наибольшее мат. ожидание выигрыша |
Критерий Байеса |
||
|
Наибольшая осторожность |
Критерий гарантированного результата |
||
|
Наименьшая осторожность |
Критерий оптимизма |
||
|
Крайняя осторожность |
Критерий пессимизма |
||
|
Минимальный риск |
Критерий Сэвиджа |
||
|
Компромисс в решении |
k - коэффициент «оптимизма» |
Критерий ГурвицаотносительновыигрышейКритерий Гурвица относительно матрицы рисков |
Задача 1. Студент во время сессии решает следующую проблему [2]. Его приглашают вечером на мероприятие, в котором он хотел бы поучаствовать. При этом возможны 3 решения: Str1 (полностью участвовать в мероприятии), Str 2 (участвовать частично в мероприятии, а затем повторить курс); Str 3 (отказаться от участия в мероприятии и готовиться к экзамену).
Профессор, принимающий экзамен, является человеком непредсказуемым и поэтому экзамен может быть легким (П1), средней трудности (П2), весьма трудным (П3).
В зависимости от сложности экзамена и подготовки к нему, можно ожидать следующие оценки на экзамене по стобалльной шкале (см. таблицу 1).
Таблица 1. Матрица выигрышей
|
Виды решений |
Варианты внешней среды |
|||
|
П1 |
П2 |
П3 |
||
|
Str 1 |
85 |
65 |
45 |
|
|
Str 2 |
95 |
85 |
75 |
|
|
Str 3 |
100 |
90 |
80 |
Нужно найти оптимальную стратегию Stri по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
Задача 2.
Принимая решения в условиях риска, мы считаем известным распределение вероятностей будущих состояний природы. Для этого применяются правило максимизации ожидаемого дохода (правило Байеса), правило отсутствия достаточной уверенности (правило Лапласа), правило минимального сожаления (правило Сэвиджа).
Таблица 3. Матрица выигрышей игрока А
|
Стратегии управления |
Ситуация П1 |
Ситуация П2 |
СитуацияП3 |
СитуацияП4 |
СитуацияП5 |
||
|
Стратегия А1 |
60 |
85 |
70 |
40 |
35 |
||
|
Стратегия А2 |
70 |
80 |
65 |
50 |
20 |
||
|
Стратегия А3 |
55 |
70 |
40 |
35 |
50 |
||
|
Стратегия А4 |
75 |
80 |
60 |
45 |
30 |
||
|
Стратегия А5 |
40 |
55 |
30 |
50 |
25 |
||
|
qj |
0,25 |
0,20 |
0,10 |
0,30 |
0,15 |
Инвестиционная привлекательность проекта определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, оценка которых известна при каждой стратегии и каждом состоянии природы.
Эти данные представлены в следующей матрице выигрышей игрока А (табл. 3) размера 5 х 5, в последней, дополнительной строке которой указаны вероятности состояний природы. Выбрать стратегию развития предприятия так, чтобы наиболее эффективно использовать капиталовложения.
Подсчитаем показатели эффективности стратегий:
· по критерию Байеса при условии, что инвестор А доверяет данному распределению вероятностей состояний природы:
60*0,25 + 85*0,20 + 70*0,10 + 40*0,30 + 35*0,15 = 56,25
70*0,25 + 80*0,20 + 65*0,10 + 50*0,30 + 20*0,15 = 58,00
55*0,25 + 70*0,20 + 40*0,10 + 35*0,30 + 50*0,15 = 49,75
75*0,25 + 80*0,20 + 60*0,10 + 45*0,30 + 30*0,15 = 58,75
40*0,25 + 55*0,20 + 30*0,10 + 50*0,30 + 25*0,15 = 42,75
· по критерию Лапласа, если инвестор А не доверяет данному распределению вероятностей состояний природы и не может отдать предпочтения ни одному из рассматриваемых состояний природы:
(60 + 85 + 70 + 40 + 35)/5 = 58
(70 + 80 + 65 + 50 + 20)/5 = 57
(55 + 70 + 40 + 35 + 50)/5 = 50
(75 + 80 + 60 + 45 + 30)/5 = 58
(40 + 55 + 30 + 50 + 25)/5 = 40
· по критерию Вальда:
35; 20; 35; 30; 25
· по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы (например, l=0,3):
(1-0,3)*35 + 0,3*56,25 = 41,375
(1-0,3)*20 + 0,3*58,00 = 31,400
(1-0,3)*35 + 0,3*49,75 = 39,425
(1-0,3)*30 + 0,3*58,75 = 38,625
(1-0,3)*25 + 0,3*42,75 = 30,325
· по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица с показателем оптимизма (например, l=0,4):
85*0,4 + (1-0,4)*35 = 55
80*0,4 + (1-0,4)*20 = 44
70*0,4 + (1-0,4)*35 = 49
80*0,4 + (1-0,4)*30 = 50
55*0,4 + (1-0,4)*25 = 37
· по критерию Сэвиджа:
40; 65; 35; 20; 25
15 -10 5 35 40
15 5 20 35 65
25 0 30 35 20
- 25 -20 -10 5 20
10 -5 20 0 25
Результаты подсчета показателей эффективности и оптимальные стратегии представлены в таблице 4.6.
Таблица 4.6 Таблица показателей эффективности и оптимальных стратегий
|
Стратегии |
Критерии |
||||||
|
Байеса |
Лапласа |
Вальда |
Ходжа-Лемана l=0,3 |
Гурвица l=0,4 |
Сэвиджа |
||
|
А1 |
56,25 |
58 |
35 |
41,375 |
55 |
40 |
|
|
А2 |
58,00 |
57 |
20 |
31,400 |
44 |
65 |
|
|
А3 |
49,75 |
50 |
35 |
39,425 |
49 |
35 |
|
|
А4 |
58,75 |
58 |
30 |
38,625 |
50 |
20 |
|
|
А5 |
42,75 |
40 |
25 |
30,325 |
37 |
25 |
|
|
Оптимал. стратегии |
А4 |
А1, А4 |
А1, А3 |
А1 |
А1 |
А4 |
Замет...
Подобные документы
Широкое применение вычислительной техники как в общей математике, так и в одном из её разделов – математических методах. Ознакомление с решением задач линейного программирования симплекс-методом и графически. Составлена программа на языке Delphi.
курсовая работа [57,1 K], добавлен 04.05.2010Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.03.2012Построение математической модели. Выбор, обоснование и описание метода решений прямой задачи линейного программирования симплекс-методом, с использованием симплексной таблицы. Составление и решение двойственной задачи. Анализ модели на чувствительность.
курсовая работа [100,0 K], добавлен 31.10.2014Сущность линейного программирования. Математическая формулировка задачи ЛП и алгоритм ее решения с помощью симплекс-метода. Разработка программы для планирования производства с целью обеспечения максимальной прибыли: блок-схема, листинг, результаты.
курсовая работа [88,9 K], добавлен 11.02.2011Практические навыки моделирования задач линейного программирования и их решения графическим и симплекс-методом с использованием прикладной программы SIMC. Моделирование транспортных задач и их решение методом потенциалов с помощью программы TRAN2.
контрольная работа [199,8 K], добавлен 15.06.2009Разработка программы, решающей базовую задачу линейного программирования симплекс-методом с помощью симплекс-таблиц. Выбор языка программирования и среды разработки, программные модули и их взаимодействие между собой. Листинг разработанной программы.
курсовая работа [415,8 K], добавлен 08.09.2013Постановка задачи линейного программирования. Решение системы уравнений симплекс-методом. Разработка программы для использования симплекс-метода. Блок-схемы основных алгоритмов. Создание интерфейса, инструкция пользователя по применению программы.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 05.01.2015Оптимизационные исследования задач линейного и нелинейного программирования при заданных математических моделях. Решение задач линейного программирования и использование геометрической интерпретации и табличного симплекс-метода, транспортная задача.
курсовая работа [408,7 K], добавлен 13.06.2019Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.
контрольная работа [191,1 K], добавлен 05.04.2016Решение базовых задач линейного программирования симплекс-методом, их реализация на языке программирования С++. Математическое обеспечение; разработка алгоритма программы, решающей задачу с помощью симплекс-таблиц с произвольными свободными членами.
курсовая работа [217,8 K], добавлен 25.05.2014Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 11.04.2012Анализ решения задачи линейного программирования. Симплексный метод с использованием симплекс-таблиц. Моделирование и решение задач ЛП на ЭВМ. Экономическая интерпретация оптимального решения задачи. Математическая формулировка транспортной задачи.
контрольная работа [196,1 K], добавлен 15.01.2009Обзор и сравнительный анализ современных математических пакетов. Вычислительные и графические возможности системы MATLAB, а также средства программирования в среде MATLAB. Основные возможности решения задач оптимизации в табличном процессоре MS Excel.
дипломная работа [6,6 M], добавлен 04.09.2014Обзор алгоритмов методов решения задач линейного программирования. Разработка алгоритма табличного симплекс-метода. Составление плана производства, при котором будет достигнута максимальная прибыль при продажах. Построение математической модели задачи.
курсовая работа [266,4 K], добавлен 21.11.2013Методы определения оптимального плана производства (приобретения) продукции с учетом ограниченного обеспечения ресурсами различного вида. Технология поиска оптимального решения задач линейного программирования (ЗЛП) с помощью итоговой симплекс-таблицы.
лабораторная работа [42,8 K], добавлен 11.03.2011Разработка структурной диаграммы программного модуля для целочисленного решения задачи линейного программирования с использованием симплекс-метода. Краткое описание всех уровней диаграммы с назначением всех ее блоков. Язык программирования Visual C#.
курсовая работа [874,7 K], добавлен 27.02.2013Описание симплекс метода решения задачи линейного программирования. Решение задачи методом Литла на нахождение кратчайшего пути в графе, заданном графически в виде чертежа. Из чертежа записываем матрицу расстояний и поэтапно находим кратчайший путь.
задача [390,4 K], добавлен 10.11.2010Классификация задач математического программирования. Сущность графического метода решения задач линейного программирования, алгоритм табличного симплекс-метода. Описание логической структуры и текст программы по решению задачи графическим методом.
курсовая работа [263,5 K], добавлен 27.03.2011Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.
курсовая работа [663,9 K], добавлен 10.06.2014Решение задачи линейного программирования графическим методом, его проверка в MS Excel. Анализ внутренней структуры решения задачи в программе. Оптимизация плана производства. Решение задачи симплекс-методом. Многоканальная система массового обслуживания.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 02.05.2012
