Организация ЭВМ и систем. Однопроцессорные ЭВМ

производится сложение (вычитание) мантисс, в результате чего получается мантисса суммы (разности);

порядок результата равен порядку большего числа;

полученный результат нормализуется.

Пример.

Сложить два числа (ЧПЗ) Z=X+Y для S = 2.

В общем случае сложение и вычитание q производится по правилам сложения и вычитания чисел с фиксированной точкой, т.е. с использованием прямого, обратного и дополнительного кодов.

Операции сложения и вычитания чисел с плавающей запятой, в отличие от операций с фиксированной запятой, выполняются приближенно, так как при выравнивании порядков происходит потеря младших разрядов одного из слагаемых (меньшего) в результате его сдвига вправо (погрешность всегда отрицательна).

Требуется вычислить . Формальное выражение для выполнения этой операции можно записать следующим образом:

Z=X*Y=qxSPx*qySPy= qxqyS(Px+Py)=qzSPz .

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

мантиссы сомножителей перемножаются;

порядки сомножителей складываются;

произведение нормализуется;

произведению присваивается знак в соответствии с алгоритмом, приведенным для ЧФЗ, а именно:

В данном случае имеется в виду способ умножения, предполагающий отделение от сомножителей их знаковых разрядов и раздельное выполнение действий над знаками и модулями чисел. Однако на практике в современных ЭВМ используют алгоритмы, не требующие раздельных операций над знаками и модулями, например алгоритм Бута. Информацию о них можно найти в литературе, приведенной в конце главы.

Рассмотрим простейший раздельный алгоритм перемножения ЧПЗ.

Умножение ЧПЗ сводится к следующим операциям:

алгебраическое суммирование порядков - это операции над целыми числами или ЧФЗ с фиксацией точки справа от МЗР;

перемножение мантисс - это операции над правильными дробями или над ЧФЗ с фиксацией точки слева от СЗР;

определение знака произведения.

Операции над целыми числами были рассмотрены ранее. Теперь рассмотрим только перемножение правильных дробей. Вручную дроби можно перемножать столбиком. Подсчет знаков в дробной части такой же, как и при перемножении десятичных дробей. В ЭВМ для перемножения мантисс (как и для целых чисел) возможны два варианта перемножения: "старшими разрядами вперед" и "младшими разрядами вперед".

Если требуется сохранить все разряды, то в устройстве, формирующем произведение, число разрядов должно равняться сумме числа разрядов множителя и множимого. Однако часто в произведении требуется сохранить то же количество разрядов, что и в множимом. Это приводит к потере младших разрядов.

Рассмотрим пример перемножения двух чисел "младшими разрядами вперед" для случая, когда разрядная сетка результата соответствует разрядной сетке сомножителей.

Пример.

Вычислить Z=X*Y=0.1101(2) * 0.1011(2) = 0.8125(10) * 0.6875(10) = 0.55859375(10).

Таким образом, результат Z=0.1000(2)=0.5(10), поскольку последние четыре разряда потеряны.

При перемножении мантисс (правильных дробей) последнее сложение можно не делать, а ограничиться просто последним сдвигом. Из примера видно, что если разрядная сетка ограничена числом разрядов X, то результаты правее вертикального пунктира не фиксируются после выполнения сдвигов. Таким образом, четыре младших разряда будут потеряны, и результат будет приближенный 0.1000(2). В ряде случаев используется округление по правилу: если старший из отбрасываемых разрядов содержит 1, то к младшему из сохранившихся разрядов добавляется 1. В данном примере получается число 0.1001(2).

В заключение отметим следующее:

· если мантисса X или Y равна 0, то перемножение не проводится и Z=0;

· если при суммировании PX и PY возникло переполнение и PZ<0, то это означает, что Z меньше минимального представляемого в машине числа, и Z присваивают 0 без перемножения мантисс;

· если при суммировании PX и PY возникло переполнение и PZ>0, может оказаться, что Z все же находится в диапазоне представляемых в ЭВМ чисел, так как после нормализации полученного qZ переполнение в порядке может исчезнуть.

Рассмотренный в предыдущей теме материал показывает, что умножение - это достаточно длинная операция, состоящая из N суммирований и сдвигов, а также выделений очередных цифр множителя.

Из этого следует актуальность задачи максимального сокращения времени, затрачиваемого на операцию умножения, особенно для систем, работающих в реальном масштабе времени. В современных ЭВМ методы ускорения умножения можно разделить:

· на аппаратные;

· логические (алгоритмические);

· комбинированные.

Аппаратные методы

1. Распараллеливание вычислительных операций. Например, совмещение во времени суммирования и сдвига.

2. Табличное умножение. Это довольно распространенный способ реализации различных функций. Остановимся на нем подробнее.

Пусть X и Y - целые числа длиной в 1 байт. Надо вычислить Z=X*Y. Можно использовать 65 Кбайт памяти и занести в них значения Z для всех возможных комбинаций X и Y, а сомножители X и Y использовать в качестве адреса. Получается своеобразная таблица следующего вида:

Алгоритмические методы

Эти методы разнообразны. Приведем только один пример: при S=16 можно за один такт обрабатывать несколько разрядов множителя (4 разряда). Сдвиги тоже осуществляются на 4 разряда. Следует отметить, однако, что в большинстве случаев алгоритмические методы требуют определенную аппаратную поддержку.

Комбинированные методы

Рассмотрим пример. Пусть X и Y - 16-разрядные числа. Надо вычислить произведение вида Z=X*Y.

Использовать непосредственно табличный метод не удастся, поскольку для этих целей потребуется очень большой объем памяти.

Однако можно представить каждый сомножитель как сумму двух 16-разрядных слагаемых, каждое из которых представляет группы старших и младших разрядов сомножителей.

В этом случае произведение примет вид

Z = X*Y = (x15 ... x0)*(y15 ... y0) =

= (x15...x8000...0 + 000...0x7...x0)* (y15...y8000...0 + 000...0y7...y0) =

= 216(x15...x8) (y15...y8) + 28(x15...x8) (y7...y0) + 28(x7...x0) (y15...y8) +

+ (x7...x0)*(y7...y0) .

Таким образом, произведение раскладывается на простые 8-разрядные сомножители. Эти произведения 8-разрядных операндов вычисляются табличным методом, а затем следует сдвиг слагаемых сразу на 16,8,8,0 разрядов и суммирование.

Алгоритмы деления чисел с плавающей запятой в настоящем курсе не рассматриваются. Информацию о них можно найти в литературе, приведенной в конце главы.

2.8 Десятичная арифметика

Необходимый перевод для ЭВМ десятичных чисел в двоичные и обратно требует затраты времени и ресурсов. В цифровых устройствах, где основная часть операций связана не с обработкой и хранением информации, а с самим ее вводом и выводом на какие-либо устройства отображения с десятичным представлением полученных результатов, имеет смысл проводить вычисления в десятичной системе счисления. Но ЭВМ требует информацию только в двоичной форме. Следовательно, десятичные цифры нужно кодировать каким-либо легко реализуемым и быстрым способом. Для этих целей используется двоично-десятичный код, в котором каждая десятичная цифра 0...9 изображается соответствующим 4-разрядным числом (от 0000 до 1001). Такой код называется еще кодом 8421 (цифры, соответствующие весам двоичных разрядов).

Пример.

Представление десятичного числа в двоично-десятичном коде.

Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт, т.е. с помощью 1 байта можно представить десятичные числа от 0 до 99.

Действия над двоично-десятичными числами выполняются как над двоичными. Сложности возникают при переносе из тетрады в тетраду.

Кроме того, следует отметить, что выполнение сложения и вычитания двоично-десятичных чисел со знаком сводится к сложению или вычитанию модулей путем определения фактически выполняемой операции по знаку операндов и виду выполняемой операции. Например, требуется вычислить Z=X-Y при X<0 и Y<0. Тогда выполняется операция |Z|=|Y|-|X|, а затем знак |Z| изменяется на противоположный.

В операции сложения двоично-десятичных чисел участвуют только модули чисел. Поскольку код одноразрядных двоично-десятичных чисел полностью совпадает с их двоичным кодом, никаких проблем при выполнении операции сложения не возникает. Однако многоразрядные двоично-десятичные числа не совпадают с двоичными, поэтому при использовании двоичной арифметики получается результат, в который надо вводить коррекцию. Рассмотрим это подробнее.

Уже отмечалось, что каждая цифра десятичного числа может быть представлена кодом от 0000 до 1001, поэтому если при сложении разряда j двоично-десятичного числа результат меньше, либо равен 9, то коррекции не требуется, так как двоично-десятичный код результата полностью совпадает с его двоичным кодом.

Пример.

Zj=Xj+Yj = 3(10)+5(10), где j - номер разряда десятичного числа

Если при сложении j-разрядов чисел результат Zj будет больше или равен 10, то требуется коррекция результата. Рассмотрим, как машина может идентифицировать эту ситуацию. Существуют два варианта.

Вариант 1. Zj=10...15 = (1010...1111)

Здесь требуется коррекция, т.е. перенос 1 в старший (j+1) десятичный разряд. Необходимость коррекции в этом случае ЭВМ узнает по чисто формальным признакам:

Эту ситуацию можно описать логическим выражением:

Пример.

Zj=Xj+Yj = 5(10)+7(10) , где j - номер разряда десятичного числа.

Перенос из разряда j означает в десятичной системе счисления, что . В то же время в двоичной системе счисления перенос 1 из младшей тетрады в старшую означает, что . Следовательно, при коррекции имеет место соотношение

Zjкор = Zj - 10(10) + 16(10) = Zj + 6(10).

Тогда в рассмотренном выше примере

Вариант 2. Zj=16,17,18 = (8+8, 8+9, 9+9)

В этом случае из младшей тетрады в старшую происходит перенос 1 или 16(10). Но в десятичной системе счисления переносится в старший разряд только 10. Следовательно, для компенсации в младший разряд следует прибавить 6.

Пример.

Zj=Xj+Yj = 8(10)+9(10) = 17(10), где j - номер разряда десятичного числа.

Таким образом, можно сформулировать правило, по которому следует осуществлять коррекцию каждого десятичного разряда результата: если при сложении многоразрядных двоично-десятичных чисел возник перенос из разряда или f=1, то этот разряд требует коррекции (прибавления 6(10)). При этом корректируются все тетрады последовательно, начиная с младшей.

Пример.

Z = X + Y = 927 + 382 = 1309.

При практической реализации двоично-десятичной арифметики поступают несколько по-другому.

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. Одно из слагаемых представляется в коде с избытком 6, т.е. к каждой тетраде двоично-десятичного числа добавляется число 0110. Избыток не обязательно добавлять к одному из слагаемых. Его можно добавить к результату сложения обоих модулей.

2. Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной арифметики.

3. Если при сложении тетрад получается результат Zj больше или равный 10, то автоматически вырабатывается перенос в следующий разряд (тетраду), поскольку фактически Zj16. В этом случае результат в данной тетраде получается в естественном двоично-десятичном коде 8421 и коррекции не требуется. Однако, если избыток добавлять к результату сложения модулей, а не к одному из слагаемых, то при выяснении необходимости коррекции следует учитывать переносы как при сложении модулей, так и при добавлении избытка.

4. Если при сложении в каких-либо тетрадах переносы отсутствуют, то для получения правильного результата из кодов этих тетрад необходимо вычесть избыток 6. Это можно сделать двумя способами:

· просто вычесть число 0110(2) = 6(10);

· сложить с дополнением до 16(10) , т.е. с числом 10(10) = 1010(2).

Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются.

На практике реализуют второй способ.

Пример.

Z = X + Y = 132 + 57 = 189.

Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. Теперь надо к Z' добавить избыток (6(10)):

Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или Y). Тогда к результату избыток прибавлять не нужно.

В данном примере при вычислении Z6' не было переносов из каких-либо тетрад, поэтому необходима коррекция каждой тетрады суммы Z6'. Коррекция производится путем прибавления к каждой тетраде числа 10(10)= 1010(2):



Пример.

Z = X + Y = -93(10) - 48(10) = -(93+48)(10) = -141(10).

Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. После этого к Z необходимо добавить избыток (6(10)):

Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или Y). Тогда к результату избыток прибавлять нет необходимости. В данном примере из двух тетрад переносы существуют, поэтому необходима коррекция только старшей тетрады (из нее нет переноса):

Пример.

Z = X + Y = 99(10) + 99(10) = 198(10).

При сложении модулей возникли переносы. Добавим избыток:

При добавлении избытка 6 переносов не было, однако они имели место при сложении модулей. Их следует учитывать при оценке необходимости коррекции, поэтому, в данном случае, коррекция требуется только для старшей тетрады:

По аналогии с операциями вычитания в двоичном коде операцию X-Y можно представить как X + (-Y). При этом отрицательное число представляется в дополнительном коде, аналогичном дополнительному коду в двоичной арифметике. Этот код используется только для выполнения операций вычитания. Хранятся двоично-десятичные числа (как положительные, так и отрицательные) в прямом коде со знаком.

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. Модуль положительного числа представляется в прямом двоично-десятичном коде (8421).

Модуль отрицательного числа - в дополнительном коде (ДК) с избытком 6.

Для получения ДК необходимо:

- инвертировать значения разрядов всех тетрад числа;

- к младшему разряду младшей тетрады прибавить 1.

Таким образом, цепочка ПК (mod) ОК ОК+1 ДК аналогична цепочке в двоичной арифметике. Только здесь получается ДК с избытком 6, так как дополнение идет не до 10, а до 16.

2. Произвести сложение операндов (X) в ПК и (Y) в ДК.

3. Если при сложении тетрад возник перенос из старшей тетрады, то он отбрасывается, а результату присваивается знак "+", т.е. результат получается в прямом избыточном коде. Он корректируется по тем же правилам, что и при сложении модулей.

4. Если при сложении тетрад не возникает переноса из старшей тетрады, то результату присваивается знак "-", т.е. результат получается в избыточном ДК. В этом случае необходимо перейти к избыточному ПК (т.е. инвертировать все двоичные разряды двоично-десятичного числа и прибавить к младшему разряду 1).

5. Полученный в этом случае результат в ПК корректируется. Для этого к тем тетрадам, из которых возникал перенос при выполнении пункта 2 (при суммировании), необходимо добавить 10(10) или 1010(2). Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются. Таким образом, корректировка происходит в тех тетрадах, которые в положительных числах не корректируются. Следует отметить, что при выполнении операции вычитания большего числа из меньшего (X - Y = Z, при |X||Y|), т.е. при Z0 алгоритм коррекции результата после перевода Z из ДК в ПК требует уточнения. А именно, после перевода Z в ПК необходимость коррекции определяется не только приведенными правилами, но и следующими требованиями:

а) нулевой результат не корректируется;

б) значащие нули справа в результате не корректируются;

в) если Z0 и в нем отсутствуют значащие нули справа (т.е. пп. а, б не имеют места), необходимо анализировать Y. Если в Y есть значащие нули справа, то соответствующие им разряды (тетрады) Z требуют обязательной коррекции, независимо от наличия переносов при сложении XПК и YДК.

Пример.

Z=X-Y=49(10) -238(10) =-189(10).

Представим |Y| в ДК с избытком 6:

Выполним сложение:

Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат получился в ДК (т.е. отрицательный).

Перейдем к нескорректированному избыточному ПК:

Произведем коррекцию результата в соответствии с п. 5 алгоритма:

Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, необходимо добавить знак (-). Окончательный результат будет следующий:

Z= -(0001 1000 1001) = -189(10)

Пример.

Z=X-Y=143(10) -58(10) =85(10).

Представим |Y| в ДК с избытком 6:

Выполним сложение:

Наличие переноса из старшей тетрады указывает на то, что результат получился в ПК (т.е. положительный).

Произведем коррекцию результата в соответствии с п. 3 алгоритма:

Операция умножения сводится к образованию и многократному сложению частичных двоично-десятичных произведений.

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1. Сумма частичных произведений полагается равной нулю.

2. Анализируется очередная тетрада множителя, и множимое прибавляется к сумме частичных произведений столько раз, какова цифра, определяемая этой тетрадой.

3. Сумма частичных произведений сдвигается на одну тетраду, и повторяются действия, указанные в п. 2, пока все цифры (тетрады) множителя не будут обработаны. Направление сдвига зависит от того, какой вариант перемножения выбран - "старшие разряды вперед" или "младшие разряды вперед".

4. Каждая операция суммирования завершается десятичной коррекцией, соответствующей случаю суммирования двоично-десятичных чисел без избытка 6 (т.е. необходимо добавить 0110 к тем тетрадам, из которых был перенос или в которых f=1).

Пример.

Z = X * Y = 25(10) * 13(10) = 325(10).

X = 25(10) = 0010 0101(2-10); Y = 13(10) = 0001 0011(2-10).

Для решения примера выберем вариант перемножения "старшие разряды вперед". В соответствии с п. 1 алгоритма полагаем сумму частичных произведений P0=0. (Частичные произведения будем обозначать Pi).

Формирование второго частичного произведения - более длительная операция, поскольку вторая анализируемая тетрада содержит 3(10), поэтому каждая операция суммирования требует проверки необходимости коррекции. Вычислим P2, последовательно суммируя слагаемые, образующие P2:

Таким образом, второе частичное произведение, состоящее из трех слагаемых, имеет вид

P2 = 0111 0101.

Теперь можно вычислить сумму первого и второго частичного произведений, т.е. результат:



Окончательный результат: Z = 0011 0010 0101(2-10) = 325(10).

Следует отметить, что в данном случае при суммировании операндов не возникало переносов, поэтому коррекция осуществлялась только по признаку f=1.

Операция деления выполняется путем многократного вычитания, сдвига и анализа результата подобно тому, как это делается при обычном делении. В настоящем курсе эта операция не рассматривается. Информация о ней может быть найдена в литературе, приведенной в конце главы.

2.9 Нарушение ограничений ЭВМ

При выполнении арифметических операций возможны ситуации, когда нарушаются ограничения, связанные с конечной длиной разрядной сетки ЭВМ. При этом в ЭВМ формируются признаки соответственно:

для ЧФЗ:

- переполнение, когда результат не вмещается в отведенное количество бит (имеются в виду ЧФЗ справа от МЗР);

для ЧПЗ:

- положительное переполнение порядка, когда PZ>Pmax;

- отрицательное переполнение порядка, когда PZ<Pmin (исчезновение порядка).

Конкретная реакция различных ЭВМ и различных операционных систем на признаки нарушения ограничений в общем случае различна. Однако все они обязательно выполняют следующие операции:

- при обработке программы после выполнения операций, где возможно переполнение, предусматривается анализ соответствующего признака и в зависимости от его значения, реализуется то или иное конкретное действие;

- при возникновении признака в любом месте программы в ЭВМ формируется запрос на прерывание и выполняется программа его обслуживания.

2.10 Представление буквенно-цифровой информации

По своей природе компьютеры могут работать лишь с числами. И для того чтобы они могли хранить в памяти и обрабатывать буквы или другие символы, каждому из них должно быть поставлено в соответствие некоторое число, т.е. использована та или иная система кодировки символов.

До недавнего времени было принято представлять один символ буквенно-цифровой информации в виде одного байта. С помощью одного байта в общем случае можно закодировать 28=256 символов. Исторически сложилось так, что различные производители стали использовать для представления символов внутри ЭВМ различные коды. В мире имели хождение десятки схем подобного кодирования символов. Но ни одна из этих схем не была столь универсальной, чтобы описать все необходимые символы. По большому счёту, даже для отдельного языка, например, английского, не существовало единой системы кодирования, включавшей в себя все обычно используемые буквы, знаки пунктуации, технические и математические символы.

Среди однобайтовых систем кодировок наибольшее распространение в мире получил Стандартный американский код обмена информацией ASCII, имеющий несколько модификаций. В базовом варианте кода ASCII для кодирования каждого символа используется 7 бит, т.е. можно закодировать 27=128 символов, например:



Обычно код информации и управляющих символов представлялся в виде двухразрядного шестнадцатеричного числа. Восьмой бит в байте использовался для расширения отображаемого набора символов или для проверки правильности переданной кодовой комбинации, например проверки на четность.

В отечественных ЭВМ также использовались различные коды. Так, в ЕС-ЭВМ использовался двоичный код обработки информации (ДКОИ), 8-разрядный код обмена информацией (КОИ-8). Использовались также 7-разрядный код КОИ-7 и его модификации, причем код КОИ-7 наиболее близок к базовому варианту кода ASCII. Код КОИ-8 за счет использования 8-го бита позволял представлять помимо служебных символов, цифр и латинских букв еще и русские буквы.

Между тем все эти однобайтовые схемы кодирования часто даже не были совместимы друг с другом. Например, две разные кодировки могли использовать один и тот же код для представления двух разных символов или присваивать разные коды одной и той же букве. В этой ситуации для любого компьютера, а особенно сервера, приходилось поддерживать несколько разных кодировок, которые могли понадобиться. Но даже и тогда при передаче данных на другую платформу или при их преобразовании в другую кодировку всегда оставался риск, что эти данные окажутся повреждёнными.

Указанные выше недостатки 8-битовых систем кодирования символов привели к появлению 16-битовых систем, в которых для кодирования любого символа используются два байта. В настоящее время международным стандартом стала двухбайтовая система кодирования символов Unicode, разработанная Unicode Consortium. Unicode Consortium является некоммерческой организацией, основанной для разработки и развития стандарта Unicode, определяющего представление символьной информации в современных программных продуктах и стандартах, и для содействия его широкому распространению и использованию.

Система Unicode присваивает уникальный двухбайтовый код любому символу, независимо от платформы, независимо от программы, независимо от языка. Unicode был принят как стандарт такими лидерами компьютерной индустрии, как Apple, HP, IBM, JustSystem, Microsoft, Oracle, SAP, Sun, Sybase, Unisys, и многими другими. Именно эта схема кодирования используется такими современными технологиями и стандартами, как, например, XML, Java, ECMAScript (JavaScript), LDAP, CORBA 3.0, WML и так далее. Именно Unicode является официальной схемой реализации стандарта ISO/IEC 10646, определяющего способы кодировки символов. Эта кодировка поддерживается во множестве операционных систем, во всех современных браузерах Интернет. Повсеместное распространение стандарта Unicode и доступность поддерживающих его средств в настоящее время являются одними из наиболее важных направлений развития индустрии программного обеспечения. Следует отметить, что для сохранения преемственности программного обеспечения Unicode включает в себя как подмножества прежние наиболее распространенные однобайтовые системы кодирования символов.

Использование Unicode в многоуровневых приложениях или программных комплексах, построенных в рамках архитектуры клиент-сервер, а также при представлении данных в сети Интернет, приводит к значительному снижению расходов на поддержку этих продуктов или сервисов по сравнению со случаем использования старых схем кодирования. Unicode позволяет создавать единый программный продукт или Интернет-сайт для множества платформ, языков и стран без каких-либо переделок. Его использование при передаче данных между различными системами предохраняет эти данные от повреждения.

2.11 Заключительные замечания

Представленный выше материал дает только общее представление о выполнении арифметических операций над двоичными числами в различных системах счисления. Реальные алгоритмы выполнения арифметических операций, используемые в современных ЭВМ, позволяют существенно ускорить процесс вычислений, особенно для операций умножения и деления. Однако эти алгоритмы весьма громоздки и сложны для первоначального понимания. Более полную информацию о них можно найти в литературных источниках, перечисленных ниже.

Библиографический список

1. Искусство программирования. Т.1. Основные алгоритмы. 3-е изд., испр. и доп. / Д. Кнут; Под ред. Ю.В. Козаченко М.; СПб.; Киев: ВИЛЬЯМС, 2000. 729 с.

2. Искусство программирования. Т.2: Получисленные алгоритмы. 3-е изд., испр. и доп. / Д. Кнут; Под ред. Ю.В. Козаченко М.; СПб.; Киев: ВИЛЬЯМС, 2000. 832с.

3. Основы информатики: Учебник для вузов А.Я. Савельев. М.: МГТУ им. М.Э. Баумана, 2001. 328 с.

4. Информатика: Системы счисления и компьютерная арифметика: / Е.Андреева, И.Фалина; М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. 256 с.

5. Электронные вычислительные машины и системы: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. / Б.М. Каган;М.: Энергоатомиздат, 1991. 592 с.

6. Программирование арифметических операций в микропроцессорах: Учеб. пособие для технических вузов. / Злобин В.К., Григорьев В.Л. М.: Высшая школа, 1991. 303 с.

7. Микропроцессоры и их применение в системах передачи и обработки сигналов: Учеб. пособие для вузов / Б.А. Калабеков; М.: Радио и связь, 1988. 368 с.

8. Введение в микропроцессорную технику / Ч. Гилмор; Под ред. В.М. Кисельникова. М.: Мир, 1984. 334 с.

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды систем счисления вы знаете?

2. В каких случаях целесообразно применять двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления?

3. Чем двоичная система счисления отличается от двоично-десятичной?

4. Как различаются прямой, обратный и дополнительный коды для представления чисел?

5. Когда следует применять прямой, обратный и дополнительный коды для представления чисел?

6. Что такое переполнение разрядной сетки?

7. В каких случаях возникает переполнение разрядной сетки?

8. Для чего используют модифицированные коды?

9. Опишите алгоритм перевода из дополнительного кода в десятичную систему.

10. Поясните понятие «арифметика повышенной точности».

11. Опишите формат ЧФЗ.

12. Для чего нужны ЧФЗ, почему при работе с ними вводят масштабный коэффициент?

13. Опишите формат ЧПЗ.

14. В каких случаях используют ЧПЗ? В чем преимущества ЧФЗ и ЧПЗ?

15. Что такое нормализация числа?

16. Назовите существующие форматы ЧПЗ, используемые в ЭВМ.

17. От чего зависит точность представления ЧПЗ в ЭВМ?

18. Для чего используется нормализация числа?

19. Какие методы ускорения умножения вы знаете? Кратко охарактеризуйте их.

20. В каких случаях используется десятичная арифметика?

21. Зачем нужна двоично-десятичная коррекция?

22. Какие признаки формируются в ЭВМ при нарушении ограничения на длину разрядной сетки?

23. Каким образом хранится символьная информация в ЭВМ?

Контрольные задания к главе 2

Контрольное задание имеет две формы:

Форма 1 - ответы на теоретические вопросы.

Форма 2 - выполнение арифметических операций.

Выбор формы задания зависит от дополнительных указаний преподавателя.

Форма 1. Ответы на вопросы

1. На листах ответа должны быть указаны номер группы, фамилия студента и номер его варианта.

2. Номера вопросов выбираются студентом в соответствии с двумя последними цифрами в его зачетной книжке. В табл. 2.7 аn-1 - предпоследняя цифра номера, аn - последняя цифра. В клетках таблицы стоят номера вопросов, на которые необходимо дать письменный ответ

Таблица 2.7

anan-1	0	1	2	3	4
0	1,5,9,13,19	2,6,10,14,20	3,7,11,15,21	4,8,12,16,22	1,7,12,17,23
1	3,8,10,18,20	4,6,12,13,22	2,7,9,16,23	1,5,11,14,21	3,6,9,14,19
2	1,6,9,18,19	2,5,10,17,20	1,8,11,16,21	3,5,9,18,22	2,7,9,17,19
3	1,5,9,13,19	2,6,10,14,20	3,7,11,15,21	4,8,12,16,22	1,7,12,17,23
4	3,8,10,18,20	4,6,12,13,22	2,7,9,16,23	1,5,11,14,21	3,6,9,14,19
5	1,6,9,18,19	2,5,10,17,20	1,8,11,16,21	3,5,9,18,22	2,7,9,17,19
6	1,5,9,13,19	2,6,10,14,20	3,7,11,15,21	4,8,12,16,22	1,7,12,17,23
7	3,8,10,18,20	4,6,12,13,22	2,7,9,16,23	1,5,11,14,21	3,6,9,14,19
8	1,6,9,18,19	2,5,10,17,20	1,8,11,16,21	3,5,9,18,22	2,7,9,17,19
9	1,5,9,13,19	2,6,10,14,20	3,7,11,15,21	4,8,12,16,22	1,7,12,17,23
anan-1	5	6	7	8	9
0	2,8,9,15,19	3,5,10,16,20	4,6,11,13,21	1,8,11,17,22	2,5,12,18,23
1	4,7,10,13,20	1,6,12,14,23	2,7,11,15,20	3,5,11,18,21	4,8,10,15,22
2	1,6,10,14,22	3,7,12,16,19	4,7,12,15,23	2,5,10,13,23	4,6,9,17,21
3	2,8,9,15,19	3,5,10,16,20	4,6,11,13,21	1,8,11,17,22	2,5,12,18,23
4	4,7,10,13,20	1,6,12,14,23	2,7,11,15,20	3,5,11,18,21	4,8,10,15,22
5	1,6,10,14,22	3,7,12,16,19	4,7,12,15,23	2,5,10,13,23	4,6,9,17,21
6	2,8,9,15,19	3,5,10,16,20	4,6,11,13,21	1,8,11,17,22	2,5,12,18,23
7	4,7,10,13,20	1,6,12,14,23	2,7,11,15,20	3,5,11,18,21	4,8,10,15,22
8	1,6,10,14,22	3,7,12,16,19	4,7,12,15,23	2,5,10,13,23	4,6,9,17,21
9	2,8,9,15,19	3,5,10,16,20	4,6,11,13,21	1,8,11,17,22	2,5,12,18,23

Форма 2. Выполнение арифметических операций над числами

Все действия, производимые над операндами и результатами, включая перевод чисел из одной системы счисления в другую, должны быть подробно расписаны в соответствии с алгоритмами, рассмотренными в этом разделе.

В операциях перемножения указать вариант операции, т.е. "старшими разрядами вперед" или "младшими разрядами вперед".

Результаты представить в десятичной системе счисления.

На листах ответа должны быть указаны номер группы, фамилия студента и номер варианта задания.

Номер варианта задания выбирается студентом в соответствии с двумя последними цифрами в его зачетной книжке. В табл. 2.8 аn-1 - предпоследняя цифра номера, аn - последняя цифра. В клетках табл. 2.8 стоят номера вариантов заданий, полный список которых приведен в табл. 2.9.

Таблица 2.8

anan-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	19	34	27	5	14	20	30	9	26
1	28	2	31	4	13	6	15	8	32	10
2	21	35	3	12	22	33	7	16	23	18
3	29	24	11	36	28	25	30	29	17	34
4	20	9	12	8	22	5	15	4	27	1
5	11	36	21	35	14	32	24	33	18	31
6	19	10	13	7	23	6	16	3	26	2
7	17	25	1	15	34	33	27	29	12	20
8	14	2	22	5	35	8	36	9	21	11
9	3	16	4	18	6	19	7	13	10	17

Задание 1. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧФЗ справа от МЗР в формате 1-го байта. Определить модуль результата. Формат результата - 2 байта.

Задание 2. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧПЗ с основанием 2 в следующем формате: несмещенный порядок - 4 бита, мантисса - 8 бит. Формат результата - тот же. Округление производить после приведения операнда к нормализованной форме. Результат нормализовать.

Задание 3. Выполнить арифметические действия над операндами, представив их в двоично-десятичном коде.

Таблица 2.9. Варианты заданий

№ варианта	Операнды	Задание 1 (ЧФЗ)	Задание 2 (ЧПЗ)	Задание 3 (2-10)
		Операции	Операции	Операции
		X+Y	X-Y	X*Y	X+Y	X-Y	X*Y	X+Y	X-Y	X*Y
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
01	X Y	15 33	15 33	15 33	15.33 33.15	15.33 33.15	15.33 33.15	153 331	153 331	153 331
02	X Y	32 67	32 67	32 67	32.67 67.32	32.67 67.32	32.67 67.32	326 673	326 673	326 673
03	X Y	17 37	17 37	17 37	17.37 37.17	17.37 37.17	17.37 37.17	173 371	173 371	173 371
04	X Y	30 63	30 63	30 63	30.63 63.30	30.63 63.30	30.63 63.30	306 633	306 633	306 633
05	X Y	19 41	19 41	19 41	19.41 41.19	19.41 41.19	19.41 41.19	194 411	194 411	194 411
06	X Y	28 59	28 59	28 59	28.59 59.28	28.59 59.28	28.59 59.28	285 592	285 592	285 592
07	X Y	21 45	21 45	21 45	21.45 45.21	21.45 45.21	21.45 45.21	214 452	214 452	214 452
08	X Y	26 55	26 55	26 55	26.55 55.26	26.55 55.26	26.55 55.26	265 552	265 552	265 552
09	X Y	23 49	23 49	23 49	23.49 49.23	23.49 49.23	23.49 49.23	234 492	234 492	234 492
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
10	X Y	24 51	24 51	24 51	24.51 51.24	24.51 51.24	24.51 51.24	245 512	245 512	245 512
11	X Y	25 53	25 53	25 53	25.53 53.25	25.53 53.25	25.53 53.25	255 532	255 532	255 532
12	X Y	22 47	22 47	22 47	22.47 47.22	22.47 47.22	22.47 47.22	224 472	224 472	224 472
13	X Y	27 57	27 57	27 57	27.57 57.27	27.57 57.27	27.57 57.27	275 572	275 572	275 572
14	X Y	20 43	20 43	20 43	20.43 43.20	20.43 43.20	20.43 43.20	204 432	204 432	204 432
15	X Y	29 61	29 61	29 61	29.61 61.29	29.61 61.29	29.61 61.29	296 612	296 612	296 612
16	X Y	38 54	38 54	38 54	38.54 54.38	38.54 54.38	38.54 54.38	385 543	385 543	385 543
17	X Y	31 65	31 65	31 65	31.65 65.31	31.65 65.31	31.65 65.31	316 653	316 653	316 653
18	X Y	16 35	16 35	16 35	16.35 35.16	16.35 35.16	16.35 35.16	163 351	163 351	163 351
19	X Y	13 31	13 31	13 31	13.31 31.13	13.31 31.13	13.31 31.13	133 331	133 331	133 331
20	X Y	18 72	18 72	18 72	18.72 72.18	18.72 72.18	18.72 72.18	187 721	187 721	187 721
21	X Y	15 48	15 48	15 48	15.48 48.15	15.48 48.15	15.48 48.15	154 481	154 481	154 481
22	X Y	41 58	41 58	41 58	41.58 58.41	41.58 58.41	41.58 58.41	415 584	415 584	415 584
23	X Y	22 81	22 81	22 81	22.81 81.22	22.81 81.22	22.81 81.22	228 812	228 812	228 812
24	X Y	19 74	19 74	19 74	19.74 74.19	19.74 74.19	19.74 74.19	197 741	197 741	197 741
25	X Y	46 73	46 73	46 73	46.73 73.46	46.73 73.46	46.73 73.46	467 734	467 734	467 734
26	X Y	38 62	38 62	38 62	38.62 62.38	38.62 62.38	38.62 62.38	386 623	386 623	386 623
27	X Y	14 51	14 51	14 51	14.51 51.14	14.51 51.14	14.51 51.14	145 511	145 511	145 511
28	X Y	23 36	23 36	23 36	23.36 36.23	23.36 36.23	23.36 36.23	233 362	233 362	233 362
29	X Y	34 71	34 71	34 71	34.71 71.34	34.71 71.34	34.71 71.34	347 713	347 713	347 713
30	X Y	19 64	19 64	19 64	19.64 64.19	19.64 64.19	19.64 64.19	196 641	196 641	196 641
31	X Y	42 69	42 69	42 69	42.69 69.42	42.69 69.42	42.69 69.42	426 694	426 694	426 694
32	X Y	35 68	35 68	35 68	35.68 68.35	35.68 68.35	35.68 68.35	356 683	356 683	356 683
33	X Y	21 75	21 75	21 75	21.75 75.21	21.75 75.21	21.75 75.21	217 752	217 752	217 752
34	X Y	17 66	17 66	17 66	17.66 66.17	17.66 66.17	17.66 66.17	176 661	176 661	176 661
35	X Y	35 52	35 52	35 52	35.52 52.35	35.52 52.35	35.52 52.35	355 523	355 523	355 523
36	X Y	28 83	28 83	28 83	28.83 83.28	28.83 83.28	28.83 83.28	288 832	288 832	288 832

Таблица 2.10. Пример выполнения контрольного задания (форма 2)

№ варианта	Операнды	Задание 1 (ЧФЗ)	Задание 2 (ЧПЗ)	Задание 3 (2-10)
		Операции	Операции	Операции
		X+Y	X-Y	X*Y	X+Y	X-Y	X*Y	X+Y	X-Y	X*Y
№	X Y	18 33	18 33	18 33	18.33 33.18	18.33 33.18	18.33 33.18	183 331	183 331	183 331

Задание 1. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧФЗ справа от МЗР в формате 1-го байта. Определить модуль результата. Формат результата - 2 байта.

1. Выполним операцию сложения Z = X+Y = 18(10) + 33(10) = 51(10).

X = 18(10) = 0001 0010(2); Y = 33(10) = 0010 0001(2).

Выполним сложение в ПК:



Результат: Z = 0011 0011(2) = 51(10) .

2. Выполним операцию вычитания Z = X-Y = 18(10) - 33(10) = -15(10).

Результат: Z = 1000 1111(2) = 15(10) .

3. Выполним операцию умножения Z = X*Y = 18(10)*33(10) = 594(10).

X = 18(10) = 0001 0010(2); Y = 33(10) = 0010 0001(2).

Выполним операцию умножения младшими разрядами вперед:



Задание 2. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧПЗ с основанием 2 в следующем формате: несмещенный порядок - 4 бита, мантисса - 8 бит. Формат результата - тот же. Округление производить после приведения операнда к нормализованной форме. Результат нормализовать.

X = 18.33(10); Y = 33.18(10).

Преобразуем дробную часть Х, равную 0.33(10), в двоичное число:

Таким образом, 0.33(10) = 0.01010100(2), a X = 18.33(10) = 00010010.01010100(2).

Представим X в формате ЧПЗ, округлив значение мантиссы до 8 разрядов (ненормализованное число):

Нормализуем X:

Преобразуем дробную часть Y, равную 0.18(10), в двоичное число:

Таким образом, 0.18(10) = 0.00101110(2), a Y = 33.18(10) = 00100001.00101110(2).

Представим Y в формате ЧПЗ, округлив значение мантиссы до 8 разрядов (ненормализованное число):



Нормализуем Y:

1. Выполним операцию сложения Z = X+Y = 18.33(10) + 33.18(10) = 51.51(10).

2. Выполним операцию вычитания Z = X-Y = 18.33(10) + 33.18(10) = -14.85(10).



Результат: Z = (-) 0110 * 0.00111100(2) = - 26 * 0.234375 = - 15(10)

3). Выполним операцию умножения Z = X*Y = 18.33(10)*33.18(10) = 608.1894(10).

Перемножим мантиссы сомножителей (вариант умножения младшими разрядами вперед):

Сложим порядки сомножителей:

Нормализуем произведение:

Результат: Z = 1010 * 0.10011000(2) = 210 * 0.59375(10) = 608(10).

Задание 3. Выполнить арифметические действия над операндами, представив их в двоично-десятичном коде.

1. Выполним операцию сложения Z=X+Y= 183(10) + 331(10) = 514(10).

X = 183(10) = 0001 1000 0011(2-10); Y = 331(10) = 0011 0011 0001(2-10).

Результат: Z = 0101 0001 0100(2-10) = 514(10).

2. Выполним операцию вычитания Z = X - Y = 183(10) - 331(10) = -148(10).

Представим |Y| в ДК с избытком 6:



Выполним сложение:

Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат получился в ДК (т.е. отрицательный).

Перейдем к нескорректированному избыточному ПК:

Произведем коррекцию результата в соответствии с п. 5 алгоритма выполнения операции вычитания двоично-десятичных чисел:

Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, необходимо добавить знак (-).

Результат: Z = - ( 0001 0100 1000)(2-10) = -148(10).

3. Выполним операцию умножения Z = X * Y = 183(10) * 331(10) = 60573(10)

X = 183(10) = 0001 1000 0011(2-10); Y = 331(10) = 0011 0011 0001(2-10).

Для решения примера выберем вариант перемножения "младшие разряды вперед". В соответствии с п. 1 алгоритма полагаем сумму частичных произведений P0=0. (Частичные произведения будем обозначать Pi).

Формирование второго и третьего частичных произведений - более длительная операция, поскольку вторая и третья анализируемые тетрады содержат 3(10), поэтому каждая операция суммирования требует проверки необходимости коррекции. Вычислим P2 ( P2 = Р3 ), последовательно суммируя слагаемые, образующие P2:

Таким образом, второе (а также и третье) частичное произведение, состоящее из трех слагаемых, имеет вид

P2 = Р3 = 0101 0100 1001(2-10).

Теперь можно вычислить сумму первого, второго и третьего частичного произведений, т.е. результат.



Окончательный результат: Z = 0110 0000 0101 0111 0011(2-10) = 60573(10).

3. Принципы построения элементарного процессора

неймановский процессор десятичный

Ранее, при рассмотрении обобщенной структуры ЭВМ, отмечалось, что основным устройством, непосредственно осуществляющим переработку поступающей в ЭВМ информации, является процессор (в больших ЭВМ - центральный процессор). Естественно, что конкретные типы ЭВМ содержат в своем составе процессоры, построенные по различным схемам, и процессоры больших ЭВМ существенно отличаются от процессоров мини- и микроЭВМ (о суперЭВМ и говорить не приходится). Однако основные принципы построения процессоров, в общем-то, одинаковые, причем наиболее наглядно их можно продемонстрировать на примере простейшего микропроцессора. Это оправдано и с той точки зрения, что инженер-разработчик радиоэлектронной аппаратуры или аппаратов автоматического управления имеет дело не с большими ЭВМ, а с микропроцессорными комплектами и построенными на их базе мини- и микроЭВМ. Ввиду этого рассмотрев общие вопросы построения ЭВМ, более подробно остановимся на обобщенной структуре гипотетического микропроцессора.

Ранее рассматривались действия над числами (сложение, вычитание, умножение), представленными в различной форме. Было подчеркнуто, что все эти действия осуществляются с помощью элементарных операций, выполняемых в определенной последовательности.

К таким элементарным операциям относятся:

запись числа в регист...