Коэффициент корреляции в психологии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российская академия народного хозяйства и

Государственной службы

При президенте российской федерации

Отделение «Факультет психологии»

Кафедра акмеологии и психологии профессиональной деятельности

Доклад на тему:

«Коэффициент корреляции в психологии»

Тишина Олеся Васильевна

Научный руководитель

Марков Василий Николаевич

Профессор, доктор психологических наук

Москва 2013

1. Корреляция

Корреляция - это один из основных терминов теории вероятности, показывающий меру зависимости между двумя и более случайными величинами. Данная зависимость выражается через коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем больше зависимость между величинами. Корреляция бывает положительной и отрицательной.

Корреляция - это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение, либо коэффициент корреляции. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической.

Корреляция - это понятие, которым отмечают связь между явлениями, если одно из них входит в число причин, определяющих другие, или если имеются общие причины, воздействующие на эти явления (функция является частным случаем корреляции); корреляция может быть более или менее тесной (т.е. зависимость одной величины от другой - более или менее ясно выраженной); число, показывающее степень тесноты корреляции, называется коэффициентом корреляции (это число заключено между -1 и 1).

Корреляция - это взаимная связь явлений, находящихся в известной зависимости друг от друга. Рост безработицы и количество уголовных преступлений находятся в прямой корреляции друг к другу.



Корреляция - это степень зависимости между двумя переменными. Линейная корреляция между двумя переменными х и у определяется знаком и величиной. Между двумя переменными существует положительная корреляция, если данная сумма положительна, и отрицательная корреляция, если сумма отрицательна. Степень корреляции измеряется коэффициентом корреляции r, который меняется от +1 до -1, достигая значения +1, когда х и у полностью положительно коррелируются между собой, и -1, когда х и у полностью отрицательно коррелируются между собой; если r = 0, х и у являются независимыми переменными. r не зависит от единиц измерения х и у.

Корреляция - это вероятностная или статистическая зависимость. В отличие от функциональной зависимости корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.



Корреляция - это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции - это математическая мера корреляции двух величин. Коэффициенты корреляции могут быть положительными и отрицательными. Если при увеличении значения одной величины происходит уменьшение значений другой величины, то их коэффициент корреляции отрицательный. В случае, когда увеличение значений первого объекта наблюдения приводит к увеличениям значения второго объекта, то можно говорить о положительном коэффициенте. Возможна еще одна ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин.

Коэффициент корреляции - это мера выражения тенденции роста одной переменной при увеличении другой. Его значения всегда находятся внутри диапазона -1; +1. Чем ближе значение переменной к -1 или 1, тем значительнее коррелируют между собой исследуемые величины. При К=0 можно говорить о полном отсутствии корреляции между наблюдаемыми величинами. Если К=-1 или К=1, то говорят уже о функциональной зависимости величин.

Коэффициент корреляции или парный коэффициент корреляции в теории вероятностей и статистике - это мера линейной зависимости двух случайных величин.



Коэффициент корреляции - это статистическая мера направления и степени линейной зависимости между двумя случайными переменными (меняется от -1 до +1).

Коэффициент корреляции - это величина, характеризующая направление и силу связи между признаками. Коэффициент корреляции, который одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями), пределы его колебаний от 0 до + - 1.

Коэффициент корреляции - это статистический показатель, показывающий, насколько связаны между собой колебания значений двух других показателей. Например, насколько движение доходности ПИФа связано, перекликается (коррелирует) с движением индекса, выбранного для расчета коэффициента бета для этого ПИФа. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем больше коррелируют ПИФ и индекс, а значит коэффициент бета и, следовательно, коэффициент альфа можно принимать к рассмотрению. Если значение этого коэффициента корреляции меньше 0,75, то указанные показатели бессмысленны.

Коэффициент корреляции - это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1.

2. Сущность понятия корреляция

Термин "корреляция" впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел "закон корреляции частей и органов животных" (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного). В статистику указанный термин ввел в 1886 году английский биолог и статистик Френсис Гальтон (не просто связь - relation, а "как бы связь" - co-relation). Однако точную формулу для подсчёта коэффициента корреляции разработал его ученик - математик и биолог - Карл Пирсон (1857 - 1936).

Корреляционным называется исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя и более) переменными. В психологии переменными могут выступать психические свойства, процессы, состояния и др.

"Корреляция" в прямом переводе означает "соотношение". Если изменение одной переменной сопровождается изменением другой, то можно говорить о корреляции этих переменных. Наличие корреляции двух переменных ничего не говорит о причинно-следственных зависимостях между ними, но дает возможность выдвинуть такую гипотезу. Отсутствие же корреляции позволяет отвергнуть гипотезу опричинно-следственной связи переменных. Различают несколько интерпретаций наличия корреляционной связи между двумя измерениями:

1. Прямая корреляционная связь. Уровень одной переменной непосредственно соответствует уровню другой. Примером является закон Хика: скорость переработки информации пропорциональна логарифму от числа альтернатив. Другой пример: корреляция высокой личностной пластичности и склонности к смене социальных установок.

2. Корреляция, обусловленная третьей переменной. Две переменные (а, с) связаны одна с другой через третью (в), не измеренную в ходе исследования. По правилу транзитивности, если есть R (а, b) и R (b, с), то R (а, с). Примером подобной корреляции является установленный психологами США факт связи уровня интеллекта с уровнем доходов. Если бы такое исследование проводилось в сегодняшней Российской Федерации, то результаты были бы иными. Очевидно, все дело в структуре общества. Скорость опознания изображения при быстром предъявлении и словарный запас испытуемых также положительно коррелируют. Скрытой переменной, обусловливающей эту корреляцию, является общий интеллект.

2. Случайная корреляция, не обусловленная никакой переменной.

4. Корреляция, обусловленная неоднородностью выборки. Представим себе, что выборка, которую мы будем обследовать, состоит из двух однородных групп. Например, мы хотим выяснить, связана ли принадлежность к полу с уровнем экстраверсии. Считаем, что "измерение" пола трудностей не вызывает, экстраверсию же измеряем с помощью опросником Айзенка ETI-1. У нас две группы: мужчины-математики и женщины-журналистки. Не удивительно, если мы получим линейную зависимость между полом и уровнем экстраверсии - интроверсии: большинство мужчин будут интровертами, большинство женщин - экстравертами.

Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xt и у, то такую корреляцию называют парной.

При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, например от x1 до xn) с другой измеренной величиной у (также изменяющейся в каком-то интервале у1... yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая - аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения - это задача уже другого анализа, регрессионного. Статистический смысл термина значимость означает, что анализируемая зависимость проявляется сильнее, чем это можно было бы ожидать от чистой случайности.



Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.

Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями - это может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), т.е. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака.

Аналитически функциональная зависимость представляется в следующем виде:



В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, поэтому получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изменение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как s равно или меньше.

По своему характеру корреляционные связи - это соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, например, зависимость сумм затрат обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму расходов обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад s.

Такая зависимость графически изображается в виде экспериментальных точек, образующих поле рассеяния, или, как принято говорить, поле корреляции. Следовательно, такие двумерные данные можно анализировать с использованием диаграммы рассеяния в координатах «х - у», которая дает визуальное представление о взаимосвязи исследуемых совокупностей.

Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель - коэффициент корреляции r. Если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравнением, то принято говорить о существовании линейной корреляции.

Корреляция (correlation) - это такой тип ассоциации одной переменной с другой, при котором изменение одной величины сопровождается изменением другой, то есть имеется сопутствующая вариация. Корреляция бывает положительной или отрицательной. Первая описывает ситуацию, в которой при увеличении одной переменной увеличивается и другая, а вторая - в которой переменные изменяются обратно пропорционально: одна увеличивается, а другая уменьшается.

Корреляция может измеряться статистически, коэффициентом корреляции или коэффициентом ассоциации, подобных форм существует множество. Большинство из них сосредоточено на линейной связи (изменение одной переменной прямо пропорционально изменению другой). В виде графика идеальная связь означает прямую линию, соединяющую все точки. Коэффициенты корреляции изобретены по существу, как меры отклонения от этой линии. Криволинейная корреляция означает нелинейное изменение переменных - темпы изменения одной быстрее, чем у другой. При отсутствии ассоциации говорят, что переменные имеют статистическую независимость.

Методика корреляционного анализа используется главным образом для данных интервального уровня, но тесты существуют и для других уровней. Нахождение корреляции не подразумевает причинность. Между переменными иногда обнаруживаются фальшивые связи, поэтому нужны другие доказательства для обоснования вывода о влиянии одной переменной на другую. Нужно также помнить, что кажущаяся ассоциация способна вызываться третьим фактором, систематически воздействующим на обе переменные. Если задействованы три или более переменных, применяются методы многомерного анализа.

3. Корреляция и взаимосвязь величин

Качество корреляционной зависимости обратно пропорционально плотности точек (Один из постулатов Мэрфи). Исследование отдельных статистических объектов позволяет получить о них полезную информацию и описать их стандартными показателями. При этом изучаемую совокупность можно представить в виде ряда распределения путем ранжирования (в порядке возрастания или убывания анализируемого количественного признака), дать характеристику этой совокупности, указав центральные значения ряда (среднее арифметическое, медиана, мода), размах варьирования, форму кривой распределения. Такого рода сведения могут быть вполне достаточными в случаях, когда приходится иметь дело с одномерными данными (т.е. лишь с одной характеристикой, например, зарплатой) о каждой единице совокупности (скажем, о сотруднике фирмы).

Когда же мы анализируем двумерные данные (например, зарплата и образование), всегда есть возможность изучать каждое измерение по отдельности - как часть одномерной совокупности данных. Однако реальную отдачу можно получить лишь при совместном изучении обоих параметров. Основное назначение такого подхода - возможность выявления взаимосвязи между параметрами.

Следовательно, помимо традиционных измерений и последующих вычислений при анализе статистических данных приходится решать проблему и более высокого уровня - выявление функциональной зависимости между воздействующим фактором и регистрируемой (изучаемой) величиной.

Указанные ситуации весьма типичны в статистической практике, и в этом смысле аналитическая работа коммерсанта весьма богата такими примерами.

Зависимость одной случайной величины от значений, которые принимает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике называется регрессией. Если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии. Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы: становление значимости связи между ними; возможность представления этой зависимости в форме математического выражения (уравнения регрессии).

Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости.

Корреляцию и регрессию принято рассматривать как совокупный процесс статистического исследования, поэтому их использование в статистике часто именуют корреляционно-регрессионным анализом. Если между парами совокупностей просматривается вполне очевидная связь (ранее нами это исследовалось, есть публикации на данную тему и т.д.), то, минуя стадию корреляции, можно сразу приступать к поиску уравнения регрессии.

Если же исследования касаются какого-то нового процесса, ранее не изучавшегося, то наличие связи между совокупностями является предметом специального поиска. При этом условно можно выделить методы, которые позволяют оценить наличие связи качественно, и методы, дающие количественные оценки. Чтобы выявить наличие качественной корреляционной связи между двумя исследуемыми числовыми наборами экспериментальных данных, существуют различные методы, которые принято называть элементарными. Ими могут быть приемы, основанные на следующих операциях: параллельном сопоставлении рядов; построении корреляционной и групповой таблиц; графическом изображении с помощью поля корреляции.



Другой метод, более сложный и статистически надежный, - это количественная оценка связи посредством расчета коэффициента корреляции и его статистической проверки. Познакомимся со способом оценки корреляционной связи посредством расчета коэффициента корреляции, рассмотрев конкретный пример.

Пусть у нас имеются n серии значений двух параметров X и Y:

Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами. Как известно, случайные величины X и Y могут быть либо зависимыми, либо независимыми. Существуют следующие формы зависимости - функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость, где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической. Дело в том, что на формирование значений случайных величин X и Y оказывают влияние различные факторы. Под воздействием этих факторов и формируются конкретные значения X и Y. Допустим, что на Х и У влияют одни те же факторы, например Z1, Z2, Z3, тогда X и Y находятся в полном соответствии друг с другом и связаны функционально. Предположим теперь, что на X воздействуют факторы Z1, Z2, Z3, а на только Y и Z1, Z2. Обе величины и X и Y являются случайными, но так как имеются общие факторы Z1 и Z2, оказывающие влияние и на X и на Y, то значения X и Y обязательно будут взаимосвязаны. И связь -- это уже не будет функциональной: фактор Z3, влияющий лишь на одну из случайных величин, разрушает прямую (функциональную) зависимость между значениями X и Y, принимаемыми в одном и том же испытании. Связь носит вероятностный случайный характер, в численном выражении меняясь, от испытания к испытанию, но эта связь определенно присутствует и называется статистической. При этом каждому значению X может соответствовать не одно значение Y, как при функциональной зависимости, а целое множество значений.

Определение. Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

Определение. Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Примерами корреляционной зависимости являются: зависимость массы от роста:

- каждому значению роста (X) соответствует множество значений массы (Y), причем, несмотря на общую тенденцию, справедливую для средних, большему значению роста соответствует и большее значение массы - в отдельных наблюдениях субъект с большим ростом может иметь и меньшую массу;

- зависимость заболеваемости от воздействия внешних факторов, например, запыленности, уровня радиации, солнечной активности и т.д.;

- количество (X) вводимого объекту препарата и его концентрация в крови (Y);

- между показателями уровня жизни населения и процентом смертности;

- между количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене.

Именно корреляционные зависимости наиболее часто встречаются в природе в силу взаимовлияния и тесного переплетения огромного множества самых различных факторов, определяющих значения изучаемых показателей. Корреляционную зависимость Y от X можно описать с помощью уравнения вида:

Уравнение называется выборочным уравнением регрессии Y на X. Функцию f(x) называют выборочной регрессией Y на X, а ее график - выборочной линией регрессии Y на X. Совершенно аналогично выборочным уравнением регрессии X на Y является уравнение:

В зависимости от вида уравнения регрессии и формы соответствующей линии регрессии определяют форму корреляционной зависимости между рассматриваемыми величинами - линейной, квадратической, показательной, экспоненциальной. Важнейшим является вопрос выбора вида функции регрессии f(x) или ф(y), например линейная или нелинейная (показательная, логарифмическая и т.д.) На практике вид функции регрессии можно определить, построив на координатной плоскости множество точек, соответствующих всем имеющимся парам наблюдений (x;y).

Например, на графике 1 видна тенденция роста значений Y с ростом X, при этом средние значения Y располагается визуально на прямой. Имеет смысл использовать линейную модель (вид зависимости Y от X принято называть моделью) зависимости Y от X. На графике 2 средние значения Y не зависят от x, следовательно линейная регрессия незначима (функция регрессии постоянна и равна). На графике 3 прослеживается тенденция нелинейности модели.

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что:

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю. Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:

Доказать, что X и Y - зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y:

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно:

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.

4. Виды корреляции

Виды корреляционной связи между измеренными переменными могут быть различны: так корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна, если с увеличением или уменьшением одной переменной, вторая переменная также растёт, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами (полиномиальная, гиперболическая).

Если повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о положительной корреляции. Чем выше личностная тревожность, тем больше риск заболеть язвой желудка. Возрастание громкости звука сопровождается ощущением повышения его тона.

Если рост уровня одной переменной сопровождается снижением уровня другой, то мы имеем дело с отрицательной корреляцией. По данным Зайонца, число детей в семье отрицательно коррелирует с уровнем их интеллекта. Чем боязливей особь, тем меньше у нее шансов занять доминирующее положение в группе. Нулевой называется корреляция при отсутствии связи переменных.

В психологии практически нет примеров строго линейных связей (положительных или отрицательных). Большинство связей - нелинейные. Классический пример нелинейной зависимости - закон Йеркса-Додсона:. возрастание мотивации первоначально повышает эффективность научения, а затем наступает снижение продуктивности (эффект "перемотивации"). Другим примером является связь между уровнем мотивации достижений и выбором задач различной трудности. Лица, мотивированные надеждой на успех, предпочитают задания среднего диапазона трудности - частота выборов на шкале трудности описывается колоколообразной кривой.



Примеры распределений испытуемых в пространстве двух признаков: а) строгая положительная корреляция, б) сильная положительная корреляция, в) слабая положительная корреляция, г) нулевая корреляция, д) отрицательная корреляция, е) строгая отрицательная корреляция, ж) нелинейная корреляция, з) нелинейная корреляция.

5. Отрицательная и положительная корреляция

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени. Рассмотрим следующую задачу. Была проведена серия измерений двух случайных величин X и Y, причем измерения проводились попарно: т.е. за одно измерение мы получали два значения - xi и yi. Имея выборку, состоящую из пар (xi, yi), мы хотим определить, имеется ли между этими двумя переменными зависимость.

Зависимость между случайными величинами может иметь функциональный характер, т.е. быть строгим функциональным отношением, связывающим их значения. Однако при обработке экспериментальных данных гораздо чаще встречаются зависимости другого рода: статистические зависимости. Различие между двумя видами зависимостей состоит в том, что функциональная зависимость устанавливает строгую взаимосвязь между переменными, а статистическая зависимость лишь говорит о том, что распределение случайной величины Y зависит от того, какое значение принимает случайная величина X.

Отрицательная корреляция - это вид корреляционной зависимости между случайными величинами, при к-рой условные средние значения одной из них уменьшаются при возрастании значений другой величины. Об отрицательной корреляции между величинами с корреляции коэффициентом говорят в том случае, когда p меньше 0.

Связь между двумя переменными может быть следующей - когда значения одной переменной убывают, значения другой возрастают. Это и показывает отрицательный коэффициент корреляции. Про такие переменные говорят, что они отрицательно коррелированы.

Примером отрицательной корреляции может быть взаимосвязь между бесполезно потраченным временем и средним баллом. Бесполезно потраченное время можно операционально определить, как количество часов в неделю, потраченное на определенные занятия, например на игру в видеоигры, просмотр телесериалов или игру в гольф (конечно, эти виды! деятельности можно назвать и «терапией»). Ниже приведены гипотетические данные для других восьми студентов. На этот раз вы увидите обратную взаимосвязь между количеством часов в неделю, потраченных впустую, и средним баллом:

Взаимосвязь между временем, посвященным занятиям, и оценками является примером положительной корреляции. Приведенные ниже данные, полученные в ходе гипотетического исследования восьми студентов, говорят о наличии положительной корреляции. В данном случае первой переменной является время, операционально определенное как количество часов в неделю, потраченных на учебу, а второй - средний балл (СБ), варьирующийся от 0,0 до 4,0.

Значительное время, потраченное на учебу (42 часа), связано с высоким средним баллом (3,3), а самое малое время (16 часов) - с низким баллом (1,9).

Примером отрицательной корреляции может быть взаимосвязь между бесполезно потраченным временем и средним баллом. Бесполезно потраченное время можно операционально определить, как количество часов в неделю, потраченное на определенные занятия, например на игру в видеоигры, просмотр телесериалов или игру в гольф (конечно, эти виды! деятельности можно назвать и «терапией»). Ниже приведены гипотетические данные для других восьми студентов. На этот раз вы увидите обратную взаимосвязь между количеством часов в неделю, потраченных впустую, и средним баллом:

Обратите внимание, что при отрицательной корреляции переменные имеют обратную взаимосвязь: большое количество потраченного зря времени (42) связано с низким средним баллом (1,8), а небольшое (16) - с более высоким (3,7).

Силу корреляции показывает особая величина описательной статистики, носящая название «коэффициент корреляции». Коэффициент корреляции равен -1,00 в случае прямой отрицательной корреляции, 0,00 при отсутствии взаимосвязи и + 1,00 при полной положительной корреляции. Наиболее распространенным коэффициентом корреляции является пирсоново r, названное так в честь британского ученого, соперничающего в известности с сэром Рональдом Фишером. Пирсоново r вычисляется для данных, полученных с помощью интервальной шкалы или шкалы отношений. В случае других шкал измерений рассматриваются другие виды корреляции. К примеру, для порядковых данных (т. е. упорядоченных) вычисляется «ро» Спирмена. В приложении С показано, как вычислять пирсоново r.

Так же как среднее арифметическое и стандартное отклонение, коэффициент корреляции является величиной описательной статистики. В ходе заключительного анализа определяется, является ли конкретная корреляция значимо большей (или меньшей) нуля. Таким образом, для корреляционных исследований нулевая гипотеза (Н0) говорит, что действительное значение r равно 0 (т. е. нет никаких взаимосвязей), а альтернативная гипотеза (Н) - что r № 0. Отвергнуть нулевую гипотезу - значит решить, что между двумя переменными существует значимая взаимосвязь. В приложении С показано, как определить, является ли корреляция статистически значимой.



6. Линейная и нелинейная корреляция

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y. Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:

- вычисление выборочных коэффициентов корреляции;

- составление корреляционной таблицы;

- проверка статистической гипотезы значимости связи.

Определение. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и ф(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возрасте, чем у школьников одного и того же класса.

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r. Принимая во внимание формулы:

Видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:



Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0 меньше r меньше 1.

4. Чем ближе r к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе - сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.

Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11:

Требуется:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

2. Оценить характер и силу корреляционной зависимости.

3. Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.

Решение. По известным формулам:

Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру - обратной, по силе - средней. Уравнение линейной регрессии Y на Х:

Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт.). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы:



Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.

Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным - условным вариантам (ui, vi), воспользовавшись формулами при

Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях:

Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.

Выбрав вид функции регрессии, т.е. вид рассматриваемой модели зависимости Y от Х (или Х от У), например, линейную модель, необходимо определить конкретные значения коэффициентов модели. При различных значениях а и b можно построить бесконечное число зависимостей, т.е. на координатной плоскости имеется бесконечное количество прямых, нам же необходима такая зависимость, которая соответствует наблюдаемым значениям наилучшим образом. Таким образом, задача сводится к подбору наилучших коэффициентов.

Линейную функцию ищем, исходя лишь из некоторого количества имеющихся наблюдений. Для нахождения функции с наилучшим соответствием наблюдаемым значениям используем метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов требуется, чтобы еi, разность между измеренными yi и вычисленными по уравнению значениям Yi, была минимальной. Следовательно, находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:



Исследуя на экстремум эту функцию аргументов а и с помощью производных, можно доказать, что функция принимает минимальное значение, если коэффициенты а и b являются решениями системы:

Если разделить обе части нормальных уравнений на n, то получим:

При этом b называют коэффициентом регрессии; a называют свободным членом уравнения регрессии и вычисляют по формуле:



Полученная прямая является оценкой для теоретической линии регрессии. Имеем:

Регрессия может быть прямой (b больше 0) и обратной (b меньше 0). Прямая регрессия означает, что при росте одного параметра, значения другого параметра тоже увеличиваются. А обратная, что при росте одного параметра, значения другого параметра уменьшаются.

Пример 1. Результаты измерения величин X и Y даны в таблице:

Предполагая, что между X и Y существует линейная зависимость, способом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b. Решение. Здесь n=5:

Решая эту систему, получим:

Пример 2. Имеется выборка из 10 наблюдений экономических показателей (X) и (Y).

Требуется найти выборочное уравнение регрессии Y на X. Построить выборочную линию регрессии Y на X.

Решение. 1. Проведем упорядочивание данных по значениям xi и yi. Получаем новую таблицу:

Для упрощения вычислений составим расчетную таблицу, в которую занесем необходимые численные значения.



Согласно формуле, вычисляем коэффициента регрессии:

Нанесем на координатной плоскости точки (xi; yi) и отметим прямую регрессии.

На графике видно, как располагаются наблюдаемые значения относительно линии регрессии. Для численной оценки отклонений yi от Yi, где yi наблюдаемые, а Yi определяемые регрессией значения, составим таблицу:

Значения Yi вычислены согласно уравнению регрессии. Заметное отклонение некоторых наблюдаемых значений от линии регрессии объясняется малым числом наблюдений. При исследовании степени линейной зависимости Y от X число наблюдений учитывается. Сила зависимости определяется величиной коэффициента корреляции.

7. Показатели и коэффициенты корреляции

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин - формулу:

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Замечание 1. Приняв во внимание, что отклонения есть центрированные случайные величины, можно дать корреляционному моменту определение, как математическому ожиданию произведения двух центрированных случайных величин:

Замечание 2. Не сложно доказать, что корреляционный момент можно записать в виде:

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и У - независимые случайные величины, то их отклонения X-М (X) и У-М (У) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим:

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Пусть, например, X и У были измерены в сантиметрах и mxy = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах, то mxy = 200 мм. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику-коэффициент корреляции.

Смотреть видео 14, добавленное в раздел "Показатели и коэффициенты корреляции"

Коэффициентом корреляции гху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Так как размерность mxy равна произведению размерностей величин X и У, x имеет размерность величины X, y имеет размерность величины Y, то rxy - безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом. Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как mxy = 0).

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

Легко убедиться, что коэффициент корреляции rху равен корреляционному моменту нормированных величин X и Y:

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Доказательство: Разделим обе части полученного двойного неравенства на произведение положительных чисел:

8. Корреляция в психологии

Понятие иллюзорной корреляции. Иллюзорная корреляция (illusory correlation) - это психологическое явление, которое наблюдается практически у всех людей, подобно тому, как практически все люди подвержены иллюзии Мюллера-Лайера и другим оптическим иллюзиям.

Возможно, явление иллюзорной корреляции будет легче понять, если назвать его словами "иллюзия связи", а суть иллюзорной корреляции заключается в том, что человек по той или иной причине видит связь между параметрами, свойствами, явлениями, которой на самом деле нет. Обычно иллюзорная корреляция наблюдается в паре "свойство - признак наличия этого свойства". Например, если человек считает, что цвет волос может говорить о степени умственного развития человека, а жесткость волос - о жесткости характера, то речь идет как раз об иллюзорной корреляции. На самом же деле, понятно, никакой связи между цветом волос и интеллектом или между жесткостью волос и характером нет.



Экспериментально явление иллюзорной корреляции впервые исследовал Лорен Чепман (кстати, это однофамилец нашего знаменитого, хотя и провалившегося агента-нелегала Анны Чапман) еще в 1967 году. И именно этот исследователь ввел сам термин "иллюзорная корреляция". Исследование проводилось так. Испытуемым в течение определенного времени предъявлялись (проецировались на экран) пары слов, например, "бекон - яйца". Пары составлялись следующим образом: левым словом оказывалось одно из следующих четырех слов: бекон, лев, бутоны, лодка, а правым - одно из следующих трех слов: яйца, тигр, тетрадь.

Таким образом испытуемому предъявлялось 12 пар слов: "бекон - яйца", "бекон - тигр", "бекон - тетрадь" и т.д. Причем эти пары слов предъявлялись много раз и чередовались в случайном порядке, но каждая пара предъявлялась равное количество раз.

Затем испытуемых просили оценить частоту появления каждой пары слов. И это ключевой момент эксперимента. Не смотря на то, что объективно частота предъявления каждой пары слов была одинаковой, более высокой испытуемые объявили частоту предъявления пар слов, имеющих, по выражению автора эксперимента "сильную вербальную ассоциацию". Это следующие пары слов: "бекон - яйца" (ассоциация по смежности) и "лев - тигр" (ассоциация по сходству).

Таким образом, испытуемые имели иллюзорные представления о том, что слово "бекон" теснее связано со словом "яйца", а слово "лев" со словом "тигр", чем другие слова друг с другом. Напомню, что на самом деле каждая из 12 пар слов предъявлялась равное количество раз.

Итак, при иллюзорной корреляции человек, как говорится, путает Божий дар с яичницей: видит связь там, где ее на самом деле нет.

Иллюзорная корреляция и проективные тесты. Исследовал Лорен Чепман (вместе со своей женой Джин Чепман) и роль иллюзорных корреляций в определении характера человека с помощью так называемых проективных тестов. Исследовались такие проективные тесты как "рисунок человека" и "тест Роршаха".

При этом супругов Чепман интересовал вопрос о том, почему психологи продолжают пользоваться проективными тестами, хотя в научных исследованиях многократно показывалась их несостоятельность как психодиагностического инструмента, т.е. отсутствие связи между предлагаемыми разработчиками этих тестов ключами и интерпретациями с психологическими характеристиками тестируемых индивидов. Чепманы предположили, что подобная настойчивость в использовании не валидных тестов обусловлена явлением иллюзорной корреляции, которому подвержены психологи (как и все люди).



Прежде чем перейти к описанию собственно экспериментов необходимо сказать несколько слов о проективных тестах.

Проективные тесты основаны на предположении о том, что при интерпретации бессодержательных визуальных стимулов (кляксы) или при выполнении неопределенного задания (нарисовать человека) испытуемый якобы обязательно проявит свои черты характера. Например, разработчик теста "Рисунок человека" Карен Маховер утверждала, что паранойяльный (подозрительный) субъект при рисовании человека особый акцент придаст глазам, озабоченный своей мужественностью - нарисует мускулистого человека, озабоченный собственным интеллектом - нарисует большую голову и пр. В ключах же к тесту Роршаха утверждается, например, что если человек имеет гомосексуальные склонности, то в кляксах он увидит: ягодицы, задний проход, гениталии, женскую одежду, людей неопределенного пола, людей с признаками обоих полов.

Я думаю, читатель легко заметил, что описанные выше связи между признаками и чертами характера чисто ассоциативные и основаны на бытовых, житейских, тривиальных представлениях. Действительно, почему бы человеку с сомнениями в своей мужественности и не рисовать мускулистых людей, а гомосексуалистам - не видеть в кляксах задние проходы? Но на самом деле никакой связи тут нет.

И Чепманы экспериментально показали, что такого рода иллюзорным корреляциям при интерпретации упомянутых проективных тестов подвержены и профессиональные психологи, и не имеющие никакого отношения к психологии люди.

Схема эксперимента была несколько похожа на схему эксперимента по выявлению иллюзорных корреляций, который мы рассмотрели выше. Испытуемым предложили рисунки человека, выполненные как пациентами психиатрической клиники, так и здоровыми людьми, и соответствующие психологические характеристики. Например, к рисунку человека с большой головой прилагалась характеристика "обеспокоен уровнем своего интеллекта". При этом, обратите внимание (!), одни и те же психологические характеристики прилагались к разным рисункам. Например, характеристика "относится к людям с недоверием и подозрением" прилагалась как к рисункам с выраженным акцентом на глазах, так и к рисункам, не имеющим каких-либо особенностей изображения глаз. Причем таких сочетаний было, как и в уже рассмотренном эксперименте, одинаковое количество.

Испытуемых попросили установить связь между особенностями рисунков и психологическими характеристиками авторов этих рисунков. И как читатель, должно быть, уже догадался, испытуемые продемонстрировали иллюзорную корреляцию: например, утверждали, что такая черта характера как подозрительность сочетается именно с выраженным акцентом на глазах. Более того: такая же картина наблюдалась и в следующей серии экспериментов, в которой эти две характеристики (выраженные глаза и подозрительность) вообще не встречались вместе!

Похожим образом проводился и эксперимент с пятнами Роршаха. К пятнам прилагались интерпретации, сформулированные лицами, прошедшими психодиагностику, и психологические характеристики этих людей. Например, интерпретация "задний проход" равное количество раз совпадала с каждым из следующих четырех психологических характеристик: он проявляет сексуальное влечение к другим мужчинам; он полагает, что окружающие сговорились вокруг него; он испытывает грусть и депрессию в течение длительного времени; он испытывает сильное чувство собственной неполноценности.

Как и в предыдущем эксперименте испытуемые вновь продемонстрировали явление иллюзорной корреляции, увязав интерпретацию "задний проход" с психологической характеристикой "он проявляет сексуальное влечение к другим мужчинам".

Иллюзорная корреляция в нашей жизни. Конечно, иллюзорные корреляции искажают наше с Вами восприятие не только в лабораториях. Например, именно явление иллюзорной корреляции во многом определяет формирование стереотипов по отношению к тем или иным народам, или социальным слоям.

На иллюзорных корреляциях построены многие лженауки (в особенности лженауки о душе), в частности, физиогномика, соционика, графология, типология преступников Чезаре Ломброзо, френология, измышления Б. Хигира о том, что имя человека определяет его характер, а также явно оккультные учения, такие как хиромантия. Многие аспекты психологического оккультизма также коренятся в иллюзорных корреляциях. На иллюзорных корреляциях основаны и многие представления современного психоанализа, и других видов психотерапии (например, когда кашель объявляется проявлением тайного желания сказать гадость, а боль в спине - проявлением тяжелой психологической ноши, которую взвалил на себя человек).

9. Корреляция в повседневной жизни

корреляция психология иллюзорный индивид

Усиление интереса в психологической науке к потенциалу корреляционного анализа обусловлено целым рядом причин. Во-первых, становится допустимым изучение широкого круга переменных, экспериментальная проверка которых затруднена или невозможна. Ведь по этическим соображениям, к примеру, нельзя провести экспериментальные исследования самоубийств, наркомании, деструктивных родительских воздействий, влияния авторитарных сект. Во-вторых, возможно получение за короткое время ценных обобщений данных о больших количествах исследуемых лиц. В-третьих, известно, что многие феномены изменяют свою специфику во время строгих лабораторных экспериментов. А корреляционный анализ предоставляет исследователю возможность оперировать информацией, полученной в условиях, максимально приближенных к реальным. В-четвертых, осуществление статистического изучения динамики той или иной зависимости нередко создает предпосылки к достоверному прогнозированию психологических процессов и явлений.

...